河北省安平县安平中学高一数学寒假作业12实验班

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二2019年2 月13 日一、选择题1．若l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面2．用m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nC ．若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥αD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n3．已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，PA ＝PB ，PC ＝PD ，则下列结论正确的是( )A ．CD ⊥PDB ．面PAB ⊥面PCDC ．面PAB ⊥面ABCD D ．面PCD ⊥面ABCD4.如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A ­MNCB 的体积为( )A.32B ．32C.3D ．3 5．设a ，b 是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．46． 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．327.如图,在多面体ACBDE 中,BD ∥AE ,且BD=2,AE=1,F 在CD 上,要使AC ∥平面EFB ,则的值为()A .3B .2C .1D . 8在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A ．22B ．32C ．52D ．72 二、填空题9．将边长为a 的正方形沿对角线BC 折叠成三棱锥A ­BCD ，折后AD ＝a ，则二面角A ­BC ­D的大小为________．10.△ABC 是边长为6的等边三角形,P 为空间一点,PA=PB=PC,P 到平面ABC 距离为,则PA 与平面ABC 所成角的正弦值为.三、解答题11如图,在矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为AB 的中点,N 为BC 的中点,沿DE 将△ADE 折起.(1)若平面ADE ⊥平面BCDE,求证:AB=AC;(2)若AB=AC,求证:平面ADE ⊥平面BCDE.12．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1－BCDE . (1)证明：CD ⊥平面A1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1－BCDE 的体积为362，求a 的值．13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；(2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二答案1. 当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1也可能与l 3相交或异面，故A 不正确；l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3，故B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 不正确；l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确．2.D 若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α或m ⊂α，故排除A ；若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m ，n 异面，故排除B ；若m ⊥n ，n ⊂α，则不能得出m ⊥α，例如，m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂α，则m 与α不垂直，故排除C.故选D.3.解析分别取AB ，CD 中点E ，F ，连接PE ，PF ，EF ，则PF ⊥CD ，EF ⊥CD .∴CD ⊥面PEF .∴CD ⊥PE .又∵PE ⊥AB ，∴PE ⊥面ABCD .∴面PAB ⊥面ABCD .4.解析：如图，作出二面角A ­MN ­B 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A ­MNCB 的高．由题意，得AO ＝32.V ＝13×32×33＝32.答案：A 5.对于①，可对在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a 有两个平面α，β与直线b 平行，则面α，β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α，β相交于两条直线m ，n 都与直线b 平行，可得a 与b 平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C ．6.[解析] 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与线AA 1，A 1B 1，A 1D 1所成的角是相等的所以平面AB1D 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的同理平面C 1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB 1D 1与C 1BD 中间且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为S ＝6×34·(22)2＝334，故选A ．7.连接AD 交BE 于点O ,连接OF ,因为AC ∥平面EFB ,平面ACD ∩平面EFB=OF ,所以AC ∥OF.所以.又因为BD ∥AE ,所以△EOA ∽△BOD ,所以DF/FC =2.8.[解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为∠EAB ，设正方体边长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE ＝a ，所以BE ＝5a ．则tan ∠EAB ＝BE AB ＝5a 2a ＝52.故选C ． 9.解析：取BC 的中点O ，连接OA ，OD ，则OA ⊥BC ，OD ⊥BC ，则∠AOD 为二面角A ­BC ­D 的平面角．由题设可知OA ＝OD ＝22a ， ∴OA 2＋OD 2＝AD 2，∴∠AOD ＝90°.10解析:过P 作底面ABC 的垂线,垂足为O,连接AO 并延长交BC 于E,因为P 为边长为6的正三角形ABC 所在平面外一点且PA=PB=PC,P 到平面ABC 距离为,所以O 是三角形ABC 的中心,且∠PAO 就是PA 与平面ABC 所成的角,因为AO=AE=2.且PA==,所以sin ∠PAO===;即PA 与平面ABC 所成角的正弦值为11证明:(1)取DE 的中点M,连接AM,因为在翻折前,四边形ABCD 为矩形,AB=2AD,E 为AB 的中点,所以翻折后AD=AE,则AM ⊥DE,又平面ADE ⊥平面BCDE,所以AM ⊥平面BCDE,所以AM ⊥BC,又N 为BC 的中点,所以MN ⊥BC,因为AM ∩MN=M,所以BC ⊥平面AMN,所以BC ⊥AN,又N 为BC 的中点,所以AB=AC.(2)由(1)设M 是DE 中点,因为N 为BC 的中点,所以MN ∥DC,又BC ⊥DC,所以MN ⊥BC,又AB=AC,所以BC ⊥AN,又MN ∩AN=N,所以BC ⊥平面AMN,所以BC ⊥AM,由(1)知AM ⊥DE,又DE 与BC 不平行,所以AM ⊥平面BCDE,又AM ⊂平面ADE,所以平面ADE ⊥平面BCDE.12(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC . 即在图②中，BE ⊥A1O ，BE ⊥OC ，又A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE .即A 1O 是四棱锥A 1－BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1－BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 13(1)解：如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD2＋PD2＝ 5故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55．所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55． (2)证明：由(1)知AD ⊥PD ．又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ．又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B 所以PD ⊥平面PBC ．(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC 所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1．由已知，得CF ＝BC －BF ＝2．又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC ．在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD2＋CF2＝2 5在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55． 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55．。