2018届北京市第四中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
北京四中高三上学期文科数学期中考试试卷(附答案)
又 g (1) = 1 − 4 ln 2 < 0，g (2) = 2 > 0，所以存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得 g (x0) = 0． 综上，存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2)−f (1)． (3) f (1.01) > −2.01．
2
[6
即 f (x) 的递减区间为： kπ +
2 π , kπ +
2π ] , k ∈ Z，
[ 由 0,
π
]
∩
[ kπ
+
π , kπ +
2π
6]
=
[
π
,
3 +
π
]
,
k
∈ Z，
所以
f
2 (x)
6
[
的递减区间为：
3 π,
π
]6 ．
2
62
19.
(1) 因为 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2 (a2 + 6) = a1 + a3，
答案: 2019-10-29 — 参考答案
12345678
CDCCAABB 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 − 3i 10. ∀x ∈ (0, +∞)，都有 lg x ⩽ 0 成立 11. π
6 12. y√= x 13. 5
5 14. ①②
15.
(1) 由 x − 5 ⩽ 0，得 −1 < x ⩽ 5， x+1
3
A. π
数学---北京四中2018届高三(上)期中试卷(文)(解析版)
北京四中2018届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣1} 2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．24．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b5．（5分）设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A．B．C．D．7．（5分）实数x，y满足则z=2x+y的最小值为（）A．15 B．3 C．﹣3 D．﹣158．（5分）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数则f（f（2））等于．10．（5分）已知双曲线方程为=1，则该双曲线的渐近线方程为．11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜ϕ＜2π）的部分图象如图所示，则ω=，φ=．12．（5分）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值是．13．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BA=4，BC=2，D是AC边上一点，且，则=．14．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数ϕ（x）组成的集合：对于函数ϕ（x），存在一个正数M，使得函数ϕ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sin x时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B，现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B④若函数f（x）=，则f（x）有最大值且f（x）∈B，其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，且a2是S2与1的等差中项．（I）求{a n}的通项公式；（II）若数列的前n项和为T n，且对∀n∈N*，T n＜λ恒成立，求实数λ的最小值．16．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sin C的值．17．（13分）已知函数f（x）=2（cos x﹣sin x）sin x，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（II）求函数f（x）在上的最大值与最小值．18．（13分）已知函数，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（II）当a=1时，试问曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+a ln x，a∈R（I）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（II）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；（III）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．20．（14分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵B={﹣2，﹣1}，集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故选：B．2．C【解析】∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．3．C【解析】∵向量，满足=0，（）•=﹣=2﹣==2，则||=，故选：C．4．B【解析】1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．5．A【解析】依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A6．C【解析】对于A，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意；对于B，令f（x）=0得x4=1，∴x=±1，即f（x）有两个零点，不符合题意；对于D，f（x）的定义域为（0，+∞），不符合题意；故选C．7．C【解析】画出实数x，y满足的可行域，如图：由，解得A（﹣3，3）．得在直线x﹣y+1=0与直线x+y=0的交点A（﹣3，3）处，目标函数z=2x+y的最小值为：﹣2×3+3=﹣3．故选：C．8．B【解析】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．二、填空题9．3【解析】∵函数，∴f（2）=8，f（f（2））=f（8）=3，故答案为：310．【解析】双曲线方程为=1，则该双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．11．2【解析】由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，T=﹣=，∴T=π，∴ω==2；又f（）=sin（2×+φ）=0，∴由正弦函数的图象和性质可得：φ=2kπ+π﹣，k∈Z，且0＜φ＜2π，∴φ=．故答案为：2，．12．4【解析】正数x，y满足x+y=1，则=（x+y）（+）≥2•2=4，当且仅当x=y=，取得最小值4，故答案为：4．13．﹣4【解析】△ABC中，∠ABC=120°，BA=4，BC=2，，∴=+=+=+（﹣）=+，∴=（+）•（﹣）=﹣﹣•+=﹣×42﹣×4×2×cos120°+×22=﹣4．故答案为：﹣4．14．①③④【解析】（1）对于命题①，“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”，∴命题①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④，∵函数f（x）=，有最大值，当x＞0时，x+≥2，∴0＜，即0＜f（x）；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣＜0，即﹣，∴≤f（x）＜即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为：①③④．三、解答题15．解：（I）因为a n+1=2a n（n∈N*），可得数列{a n}的公比为2，所以S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，因为a2是S2与1的等差中项，所以2a2=S2+1，即2×2a1=3a1+1，所以a1=1，所以{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（II）由（I）可得：，所以，，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，数列的前n项和，因为，所以，所以，若对∀n∈N*，T n＜λ恒成立，则λ≥2，所以实数λ的最小值为2．16．解：（I）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，由，解得，c=6．（II）由锐角△ABC中，可得，由余弦定理可得：，解得：a=4．由正弦定理：，即．17．解：函数f（x）=2（cos x﹣sin x）sin x，x∈R．化简可得：（I）f（x）的最小正周期为，令，k∈Z，解得，所以函数f（x）的单调增区间为，k∈Z（II）因为，所以，所以．于是，所以0≤f（x）≤1当且仅当x=0时f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0当且仅当，即时取最大值．18．解：（I）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f'（1）=a+1=2，即a=1（II）当a=1时，，x∈（0，+∞）令，当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）单调递减；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）单调递增．又g（1）=0，所以g（x）在（0，1）∪（1，+∞）恒负因此，曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3仅有一个公共点，公共点为（1，﹣1）．19．解：（Ⅰ）a=﹣2时，f（x）=x2﹣2ln x，∴f′（x）=2x﹣，∴f'（1）=0，∵f（1）=1∴所求切线方程为y=1，（Ⅱ），x∈[1，e]当即a≤2时，f'（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增；当即2＜a＜2e时，时，f'（x）＜0，f（x）在（1，）上单调减；时，f'（x）＞0，f（x）在上单调增；当即a≥2e时x∈[1，e]，f'（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；（Ⅲ）方法一：当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=﹣a﹣1，∴﹣1≤a≤2当2＜a＜2e时，f（x）在上单调减，在上单调增，∴f（x）的最小值为，∵2＜a＜2e，∴，，∴，∴2＜a＜2e，当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减；∴f（x）的最小值为f（e）=e2﹣（a+2）e+a，∵，∴f（e）＜0，∴a≥2e综上，a≥﹣1；方法二：不等式f（x）≤0，可化为a（x﹣ln x）≥x2﹣2x，∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x且等号不能同时取，∴ln x＜x，即x﹣ln x＞0因而令，又当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，ln x≤1，x+2﹣2ln x＞0从而g'（x）≥0，（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，∴a的取值范围是[﹣1，+∞）20．解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意可得，又a2=b2+c2，所以因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有解得a=2所以c=1，b2=4﹣1=3故椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0由，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又==即又圆O的半径所以化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得（舍）所以，，故圆O的方程为：．。
北京市第四中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
北京四中2017-2018学年上学期高中一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，则A∪B=A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，6}D. {2，4}【答案】C【解析】集合，故选C.2. 函数y=的定义域为A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）【答案】A【解析】要使函数有意义，则有，解得，即定义域为，故选A.3. =A. 14B. -14C. 12D. -12【答案】B【解析】，故选B.4. 若函数f（x）=，则方程f（x）=1的解是A. 或2B. 或3C. 或4D. ±或4【答案】C5. 若函数f（x）=x，则函数y=f（-2x）在其定义域上是A. 单调递增的偶函数B. 单调递增的奇函数C. 单调递减的偶函数D. 单调递减的奇函数【答案】D【解析】,为奇函数，又为增函数，为减函数，故选D.6. 若，b=，c=，则a，b，c的大小关系是A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b【答案】B【解析】由对数函数的性质，可得，，故选B.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7. 函数的单调递增区间是A. （-∞，2]B. [2，+∞）C. [1，2]D. [1，3]【答案】A【解析】令为增函数，的增区间就是的增区间，故选A.8. 李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s（千米）与行进时间x（秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】最初以某一速度匀速行进，这一段路程是时间的正比例函数；中途甶于自行车故障，停下修车耽误了几分祌，这一段时间变大，路程不变，因而选项一定错误，第三阶段李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，这一段，路程随时间的增大而增大，因而选项，一定错误；这一段时间中，速度要大于开始时的速度，即单位时间内路程变化大，直线的倾斜角要大，故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质、阅读能力以及解决实际问题的能力，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9. 已知，则f（5）=A. B. C. D. lg5【答案】D【解析】令，，故选D.10. 某同学在研究函数（x∈Ｒ）时，分别给出下面几个结论：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的值域为（-1，1）；③函数f（x）在Ｒ上是增函数；其中正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】函数的定义域是实数集，函数是奇函数，故①正确；，故②正确；函数在上可化为, 奇函数在上是增函数，在其定义域内是增函数，故③正确，故选D.【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数值域，属于难题. 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若集合A=[0，2]，集合B=[1，5]，则A∩B=_________.【答案】[1，2]【解析】集合，集合根据集合交集的定义，可得，故答案为.12. 函数y=2-4的零点是_________.【答案】2【解析】令，得，即函数的零点是，故答案为.13. 函数f（x）=（x∈[1，2]）的值域为______________.【答案】[0，1]【解析】,函数的值域是，故答案为.14. 函数f（x）=3x-1，若f[g（x）]=2x+3，则一次函数g（x）=______________.【答案】【解析】，，，故答案为.15. 若函数f（x）=的反函数的图象过点（2，-1），则a=_______.【答案】【解析】的反函数图象过的图象过，即，故答案为.16. 若函数是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围是_______.【答案】（0，1）【解析】函数为奇函数，则：，解得：a＝1.则，由，得x∈(0,1)．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17. 已知：函数f（x）=（x-2）（x+a）（a∈Ｒ），f（x）的图象关于直线x=1对称. （Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，3]上的最小值.【答案】(1) a=0 (2)=-1【解析】试题分析：（I）化简，先求出函数的对称轴，得到,解出即可；(II)先求出函数的对称轴，通过判断对称轴的位置,结合二次函数的单调性，从而得到答案.试题解析：，（Ⅰ）函数f（x）图象的对称轴为x==1，则a=0;（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为x=1∈[0，3]，所以=f（1）=-1.18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】(1) y=0.125x,y=0.5，(2)投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元.【解析】试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．试题解析：（1），，，，（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．令，则所以当，即万元时，收益最大，万元．考点：函数的实际应用问题．19. 已知：函数f（x）= （a>0且a≠1）.（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）设a=，解不等式f（x）>0.【答案】(1)（-1，1）；(2)见解析；(3) {x|-1<x<0}【解析】试题分析：（I）根据对数函数有意义可知真数要大于0，列不等式组，解之即可求出函数的定义域；（Ⅱ）根据函数的奇偶性的定义进行判定，计箄与的关系，从而确定函数的奇偶性；（Ⅲ）将代入，根据函数的定义域和函数的单调性列不等式组，解之即可求出的范围.试题解析：（Ⅰ）由题知：，解得：-1<x<1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数f（x）的定义域为（-1，1），所以对任意x∈（-1，1），f（-x）= ==-f（x）所以函数f（x）是奇函数；（Ⅲ）由题知：即有，解得：-1<x<0，所以不等式f（x）>0的解集为{x|-1<x<0}.【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .卷（Ⅱ）20. 设集合A=，B={x|x-2=0}，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】且，故选D.21. 已知函数f（x）= ，则满足f（x）<0的x的取值范围是A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，-1）D. （-1，+∞）【答案】C【解析】,，故选C.22. 下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型【答案】D【解析】对于，由于均匀增加，而值不是均匀递增，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，故选D.23. 用二分法求方程的一个近似解时，已知确定有根区间为（0，1），则下一步可确定这个根所在的区间为_________.【答案】【解析】设，函数零点在下一步可确定方程的根在，故答案为.24. 已知函数f（x）是定义在Ｒ上的偶函数，当x≥0时，f（x）= ，如果函数g（x）=f（x）-m恰有4个零点，则实数m的取值范围是________.【答案】0<m<1【解析】函数恰有个零点等价于函数与恰有个交点，作函数与的图象如图，由图知，函数与恰有个交点时的取值范围是，故答案为.【方法点睛】函数零点个数的三种判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.25. 函数f（x）= （a>0且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是___________.【答案】【解析】试题分析：当时，函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是，最大值和最小值的和同样是，解得考点：1．指对函数的单调性；2．指对函数的最值．26. 已知函数f（x）=，若f（1-x）=f（1+x），且f（0）=3.（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）试比较（m∈Ｒ）的大小.【答案】(1) b=2，c=3 (2)当m>0时，f（2）<f（3）.当m=0时，f（2）=f（3）. 当m<0时，f（2）>f（3）【解析】试题分析：（I）利用已知,求出的值；利用,得到为图象的对称轴，从而求出的值；（II）通过对的分类讨论得到与的大小关系以及与对称轴的大小关系,利用二次函数的单调性可得到与的大小关系.试题解析：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴x==1，解得b=2，又f（0）=c=3，综上，b=2，c=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x-2x+3，所以，f（x）在区间（-∞，1）单调递减，在区间（1，+∞）单调递增.当m>0时，3>2>1，所以f（2）<f（3）.当m=0时，3=2=1，所以f（2）=f（3）.当m<0时，3<2<1，所以f（2）>f（3）【方法点睛】本题主要考查二次函数的解析式和单调性、分类讨论思想的应用. 属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度. 运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.27. 集合A是由满足以下性质的函数f（x）组成的：对于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]且f（x）在[0，+∞）上是增函数.（Ⅰ）试判断与（x≥0）是否属于集合A，并说明理由；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A的函数f（x），证明：对于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.【答案】(1)， (2)见解析.【解析】试题分析：（I）由已知可得函数的值域，从而可得，对于，只要分别判断函数定义域是否满足条件①，值域是否满足条件②，单调性是否满足条件③，即可得答案；（II）由（I）知，属于集合，原不等式为，利用作差法指数幂的运算法则化简整理可以证明结论.试题解析：（Ⅰ），，理由如下：由于（49）=5>4，（49）[-2，4]，所以（x） A.对于因为在[0，+∞）上是减函数，且其值域为（0，1]，所以在区间[0，+∞）上是增函数.所以≥f（0）=-2，且=<4，所以对于任意x≥0，f（x）∈[-2，4].所以∈A（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，f（x+1）=4-=4-3·，所以2f（x+1）-[f（x）+f（x+2）]=2[4-3·]-[4-6·+4-·]=·>0，所以对于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.。
最新-北京四中2018届高三数学上学期期中测验试题 文
北京四中2018-2018年度第一学期高三年级期中数学试题及答案（文）试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. “”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 是等差数列的前项和，若，则（）A. 15B. 18C. 9D. 124. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题5. 若是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )•( OC-OA )=0，则一定是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（）A． B．C． D．7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8. 已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 函数的递增区间是______.10. 向量，满足，且，，则，夹角的余弦值等于______.11．已知函数的最小正周期是，则正数______.12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm 的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求的面积.16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）当时,求函数的最大值,最小值.17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.（本小题满分13分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和19.（本小题满分14分）已知函数处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. B2. B3. D4. D5. C提示：由题意可知，BC•AC = 0，即BC⊥AC.6. D提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位.7. B8. B提示：先化简f(x)可得，f (x)=，再利用它的图象和性质解决问题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9.提示：注意定义域.10. 12011. 2提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为.12. 10，400π提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r =10.13.14. n (3n+1)π提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由，，得，所以… 3分6分且，故… 7分（Ⅱ）解：据正弦定理得，…10分所以的面积为……13分16. （本小题13分）解：（I）. …3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）故的单调增区间为…8分(III) , …… 10分. …… 11分当时,函数,最小值为.13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C. ………………………… 7分∵DE平面AB 1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分（Ⅲ）……13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则…………1分又…………2分解得…………4分. …………5分…………6分（Ⅱ）由…………9分…………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3－1+b=0.∴b=－2. ……3分经检验，符合题意. ……4分（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，…5分x 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 － 0 +f(x)……7分∴当x=－时，f(x)有极大值+c.又∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分（Ⅲ）对任意的恒成立.由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.又…12分∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.，故结论成立. ……14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）所以a5=a4－3=a……4分（Ⅱ）证明：当所以，……6分②当所以，综上，……8分（Ⅲ）解：①若因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…10分②若因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…12分③若，因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立……13分综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；若a=2，则k=m. m∈N* ……14分。
北京第一八四中学2018年高三数学文测试题含解析
北京第一八四中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b对等，记(a，b)=，则“”是“a与b对等”的(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案：C略2. 点F为双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3+=0，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，设F（c，0），由OA⊥FA，且OA的方程为y=x，OB的方程为y=﹣x，直线AB的方程为y=﹣（x﹣c），由解得A（，），由解得B（，﹣）由3+=0，即3+=，即3（﹣c，）+（﹣c，﹣）=0可得3（﹣c）+﹣c=0，即3a2+=4c2，由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，即（a2﹣c2）（3a2﹣2c2）=0，即a2=c2，（舍）或3a2=2c2，即c2=a2，c=a=a，可得e==．故选：B．3. 若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数m的取值范围为A. B.C. D.参考答案：A4. “”是“A=30o”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件参考答案：答案：B5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A. 所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）参考答案：B略6. 在R上定义运算：x y=x(1-y).若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x恒成立，则( ）A．-1<a<1 B．0<a<2 C．<a< D．<a<参考答案：C7. 设，且，则等于A．2 B．－2 C．8 D．－8参考答案：C【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C8. 如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：S=，i=4；第2次循环：S=，i=6；第3次循环：S=……第1008次循环：S=，i=2016；此时，i=2018，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．对比选项，故选：C．【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当＞0时，，则不等式＜的解集是A. B. C. D.参考答案：A因为，又因为函数为奇函数，所以，所以不等式等价于，当时，单调递增，且，所以在上函数也单调递增，由得，即不等式的解集为，选A.10. 集合,,则（）A． B． C ． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________。
北京四中2018届高三第二次模拟考试文科数学(含解析)(2018.03)
北京四中2018届高三第二次模拟考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·太原期末]已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2018·豫南九校]抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．[2018·南山中学]下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：甲 乙 丙 丁在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．[2018·行知中学]设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5 BCD．6．[2018·龙岩质检)())0,π大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．[2018·深圳一模]函数()()sin f x xωϕ=+(ω，ϕ是常数，0ω>的部分图象如图所示，为得到函数cos y x ω=，只需将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象（ ）ABC D。
2017-2018北京四中第一学期高三期中数学测试(含答案)
北京四中2017-2018学年第一学期高三期中考试理科数学试卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于A ．{2101}，，，--B ．{210}，，--C ．{21}，--D ．{1}-2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos 20α>3.已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A.12B. 1C.D.24.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b5.已知(1,1),(1,3)x x =-=+a b ，则x =2是a //b 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为 A. 21()f x x x=- B. 31()f x x x =-C. 1()e xf x x =- D. 1()ln f x x x=-7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是A. [1,0]-B. [0,1]C. [1,1]-D. (,1][1,)-∞-+∞8.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--(a ∈R )．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <y Ox二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2021届北京市第四中学2018级高三上学期11月期中考试数学试卷及解析
2021届北京市第四中学2018级高三上学期11月期中考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）1. 已知全集U =R ,集合{}21x A x =<,{}20B x x =-<,则()U A B =（）A. {|2}x x >B. {}02x x ≤<C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤【答案】B【解析】分别求集合,A B ,再求()U A B ⋂.【详解】210x x <⇒<,{}0A x x ∴=<,{}2B x x =<,{}0U A x x =≥,(){}02U A B x x ∴⋂=≤<.故选：B2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈>【答案】A【解析】A 举出反例可判断；B 令x =C 由实数平方的性质可判断；D 由指数函数的性质可得答案.【详解】对于A ．因为1sin 1x -≤≤,错误；对于B ．当x =,正确；对于C ．2,0∈≥∀x R x ,正确；对于 D ．,20x x R ∀∈> ,成立,正确； 故选：A.3. 已知向量(5,)a m =,(2,2)b =-,若a b -与b 共线,则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5- 【答案】D【解析】可求出(3,2)a b m -=+,然后根据a b -与b 共线即可得出62(2)0m --+=,然后解出m的值即可． 【详解】解：(3,2)a b m -=+,(2,2)b =-,且a b -与b 共线, 62(2)0m ∴--+=,解得5m =-． 故选：D ．4. 已知()f x 是R 上的奇函数,当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1-【答案】C【解析】 利用函数的奇偶性,得到1212log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩,进而得到12log 00x x >⎧⎪⎨⎪>⎩或12log ()00x x -->⎧⎪⎨⎪<⎩,进而求解即可【详解】()f x 是R 上的奇函数,当0x >时,()12log f x x =,令0,0x x -,则有12()log ()()f x x f x -=-=-,则当0x <时,12()log ()f x x =--,所以, 1212log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩,所以,当12log 00x x >⎧⎪⎨⎪>⎩或12log ()00x x -->⎧⎪⎨⎪<⎩,解得()(),10,1x ∈-∞-。
北京市第四中学2018年届高三年级上学期期中考试数学[理]试题含答案解析
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北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x>的解集为______.13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则(1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围. 19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M-∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）()4,+∞215. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B =； （Ⅱ）()0,4A B =，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=.从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x+∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()fx +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故（Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。
2018年高考（110）北京市四中2018届高三上学期期中考试
2018年高考（110）北京市四中2018届高三上学期期中考试北京市第四中学2018届高三上学期期中考试语文试题现代文阅读阅读下面的材料，完成下面小题。
一年365天，我们为什么要把归乡的日子选择在春节？这个问题，牵涉到中国时间的秘密。
过去二十年，我一直在研究中国古代历法中节日的排列。
最后我发现了中国古代人时间生活的秘密：一年之中，前半年为重；半年之中，前三个月为重；12个月当中，奇数月份为重；一月之中，前半月为重。
这个排列有两个变例：一是八月份，宋代开始，中秋节成长为大节；另一个变例就是十二月，十二月是偶数月，但节日分量很重，并且集中在后半月，这和来年一月份的前半月结合在一起，构成中国古代时间生活最大的一个节期。
中国古人依照___1___的原则，给自己的时间生活划分出了鲜明的节奏。
当这一原则具体展开于一年的农业生活中时，我们会看到，中国古代节日具有怎样鲜明的内在节奏！一月之中，当人们为前半月的节日忙碌过后，后半月的平静生活显得非常可贵。
当后半月的生活显得过于平静，下一个月新的节日期已经来临。
当一个节日较多的月份结束后，到来的是一个节日相对较少的月份。
然后到来的又是一个节日相对较多的月份。
我们还可以看到，一年之中，当万物萌生的春季这样一个节日繁多的季节结束后，是稳定的成长，是夏季这样一个节日相对减少的季节。
而当收获的金秋来临，同时到来的是又一个节日的盛季。
而那之后是冬季，是一个特殊的过渡时期，节日排列由相对减少到伴随着新年即将来临而转入迎新的准备期。
一年中节日的最高潮将在这之后如期到来。
这一切构成了中国古代农业社会节日生活的内在节奏。
一月又一月，一年复一年，这一内在节奏，与大自然的四季变迁有机地组合在一起，与一个又一个精彩的节日传说结合在一起，为我们先民的时间轨迹雕上了美丽的刻度。
这一内在节奏，有如万象喧然与处子般宁静的契合，有如一曲美丽的乐曲。
八月中秋是中间华美的变奏，而十二月后半的节日集中期与来年正月前半月合而为一，构成一年中澎湃激扬的节日高潮。
北京市第四中学届高三教学上学期期中考教育试数学文习题含分析
一、选择题：本大题共 8个小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.设会合M{0,1,2}，N{x|x 23x20}，则MN ＝（）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】D【分析】试题剖析：∵N {x|x 23x20} {x|1 x 2}，又∵M{0,1,2} ，∴MN {1,2}.考点：会合的交集运算.1111 52.设3） a 4,blog37 ,c3 ，则（A ．abcB ．bacC ．acbD ．bca【答案】C【分析】111 15试题剖析：∵3，∴a1，b0，0c 1，∴acb.a 4,blog37 ,c3考点：比较大小.3.已知i 是虚数单位，a,bR ，则“ab1”是“(abi)22i ”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C .充足必需条件 D.既不充足也不用要条件【答案】A【分析】试题剖析：当a b1时，(abi)2(1 i)22i 建立，反之，当(abi)22i 时，即a2b22abi2i，即a2b20且2ab2，∴ab1或a b1，∴反之不必定成立，∴“a b1”是“(a bi)22i”的充足不用要条件.考点：充足必需条件.4.垂直于直线y x 1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是( )A.x y 2 0B.x y 1 0C.x y 1 0D.x y 2 0【答案】A 【分析】试题剖析：∵直线垂直于直线yx1，∴设直线为 yxb，又∵直线与圆x 22相y1切， ∴|b|1，即b2，∵与圆x 2 y 2 1相切于第一象限，∴ b2，∴直线方程是2x y 20.考点：直线与圆相切问题 .5.已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c ，则实数k ＝()9 B.15A.22【答案】C【分析】试题剖析：∵a (k,3)b(1,4) ，∴ 2a 3b (2k3, 6)，∵ c(2,1) ，且 (2a3)bc，，∴(2k3)2(6)10，即k3.考点：向量的运算.6.若函数f(x)x2a(a R )，则以下结论正确的选项是( )xA. a R ，f(x)在(0, )上是增函数B.a R ，f(x)在(0, )上是减函数C.aR ，f(x)是偶函数D.aR ，f(x)是奇函数【答案】C【分析】考点：函数的单一性、奇偶性.7.已知等差数列{a n }单一递加且知足a 1a 104，则a 8的取值范围是 ()A.(2,4)B.(2,)C.(,2)D.(4,)【答案】B【分析】试题剖析：∵等差数列{a n}单一递加，∴d0，∵a1a104，即a1a19d4，即a129d，∴a8a17d29d7d25d2. 222考点：等差数列的通项公式.8.已知f(x)11,x1g(x)f(x)kx k只有一个零点，则k的取值范围x，若函数lnx,0x1是（）A．(,1)(1,)B．(1,1)C．[0,1]D．(,1)][0,1]【答案】D【分析】试题剖析：∵函数g(x)f(x)kx k只有一个零点，∴y f(x)与y kx k只有一个交点，图象如下图，∴k的取值范围是(,1)][0,1].考点：函数零点问题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在等差数列{a n }中，已知a 2+a 46，则该数列前 5项和S 5 _______．【答案】15【分析】试题剖析：∵a 2a 4a 1a 56，∴S 55(a 1a 5)56 215.2考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和.x y 1 010.若变量x ，y 知足拘束条件x2y80，则z ＝3x ＋y 的最小值为_______．x 0【答案】1【分析】考点：线性规划.11.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，a15，b10，A60，则cosB_______．【答案】63【分析】a b 15 10 3 b ，∴试题剖析：由正弦定理得：sinB即，∴sinB，∵asinAsin600sinB36cosB.3考点：正弦定理.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)对于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______．【答案】x2(y1)21【分析】试题剖析：∵圆心与点(1，0)对于直线y＝x对称，∴圆心为(0,1)，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为x2(y1)21.考点：圆的标准方程.13.已知向量a,b，知足|a|1,b(2,1)，且a b0(R)，则||________．【答案】5【分析】试题剖析：∵a b0，∴b1,b(2,1)，∴|||b55.，又∵|a|a|a1考点：向量的模.14.已知实数a0且a1，函数f(x)a x,x若数列{a n}知足ax b,x 3.a n f(n)(n N*)，且{a n}是等差数列，则a___b,____.【答案】2,0【分析】试题剖析：∵a n a n,n 3,，∴数列{a n}中的项分别为a,a2,3a b,4a b,，由an b,n 3.于{a n}是等差数列，∴2a2a3ab且2(3a b)a2(4a b)，∴a2,b0.考点：等差数列的定义.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（此题满分13分）已知函数f(x) 23sinxcosx 2sin2x,x R.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期与单一增区间；（Ⅱ）求函数f(x)在0,上的最大值与最小值.4【答案】（1）T，增区间为[k,k],k Z；（2）最小值f(x)min f(0)0，36最大值f(x)max f()1.6【分析】试题剖析：此题主要考察倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单一区间、三角函数的最值等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为f(x)Asin(x)B的形式，利用T2计算周期，再利用y sinx的函数图象解不||等式，求出单一递加区间；第二问，将已知x的取值范围代入表达式，联合图象，求三角函数的最值.试题分析：f(x)3sin2x cos2x12(3sin2x1cos2x)1π222sin(2x)1.6（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T2ππ.2令2k2x2,k Z，解得k x k，262k36因此函数f(x)的单一增区间为[k3,k],k Z.6（Ⅱ）由于0x，因此2x 21sin(2x)1，663，因此426于是12sin(2x)2，因此0f(x)1.6当且仅当x0时，f(x)取最小值f(x)min f(0)0.当且仅当2x6，即x6时最大值f(x)max f()1. 26考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单一区间、三角函数的最值.（此题满分13分）设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1 0,2a n a1S1S n,n N*.(Ⅰ)求a1,并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和.【答案】（1）a11，a n2n1；（2）T n(n1)2n1.【分析】试题剖析：此题主要考察由S n求a n、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，由S n求a n，利用a na1,n1，分两部分求a1和a n，经判断得数列{a n}为等比数列；S n S n1,n2第二问，联合第一问的结论，利用错位相减法，联合等比数列的前n项和公式，计算化简.试题分析：(Ⅰ)S1a1n1时2a1a1S1S1a10,a1 1.因此n2时，a n S n Sn12a n a12a n1a12a n2a n1a n2a n1 S1S1{a n}是首项为a11、公比为q2的等比数列，a n2n1，n N*.考点：S n求a n、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法.（此题满分13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且2b3ccosC．3a cosA(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)若B，BC边上的中线AM7，求ABC的面积．6【答案】（1）A；（2）S3.6【分析】试题剖析：此题主要考察正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特别角的三角函数、三角形的面积公式等基础知识， 考察学生的剖析问题解决问题的能力、 转变能力、计算能力. 第一问，先利用正弦定理将边转变成角，睁开后，利用内角和定理转变 A+C ，即可获得cosA 的值，再综合角 A 的范围，求出角 A ；第二问，在 AMC 中，利用余弦定理解出AC 的边长，最后辈入三角形面积公式中即可.试题分析：（I ）由于(2b 3c)cosA3acosC ，由正弦定理得(2sinB3sinC)cosA3sinAcosC ，即2sinBcosA 3sinAcosC 3sinCcosA=3sin(A+C)．由于B ＝π－A －C ，因此sinB=sin(A+C) ，因此2sinBcosA3sinB ．由于B ∈(0，π)，因此sinB ≠0，因此cosA3 A，因此A．，由于026(Ⅱ)由（I ）知ABπACBC ，C26 ，因此 ．3设ACx ，则MC1x ，又AM7.2在△AMC 中，由余弦定理得AC 2 MC 22AC MCcosCAM 2,即x 2(x )22x x cos 2( 7)2,解得x ＝2.22 3 故S ABC1x 2sin23.23考点：正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特别角的三角函数、三角形的面积公式.（本小题满分13分）已知：aR ，函数 f(x)2x 33(a 1)x 26ax ，（Ⅰ）若a1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ）若|a|1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.3a1a 1【答案】（1）6xy 8 0；（2）f(x)ming(a)1 a3.233a aa3【分析】试题剖析：此题主要考察导数的运算、利用导数判断函数的单一性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将a 1代入f(x)中，对f(x)求导，f(2) 为切点的纵坐标，而f '(2)是切线的斜率，最后利用点斜式写出直线方程；第二问，对f(x)求导，令f '(x)0，将|a|1分红两部分： a1和a 1进行议论，议论函数的单一性，利用单一性判断函数的最小值，综合全部状况，获得 g(a)的分析式.试题分析：定义域：R ，f (x)6x 2 6(a 1)x 6a 6(x1)(xa)（Ⅰ）当a1时，f(x)2x36x26x ，则f(2)16 24 124f(x)6x212x6，则f(2) 24 24 6 6∴yf(x)在 (2,f (2))处切线方程是： y 4 6(x 2)，即6x y8 0，（Ⅱ）f (x)6(x 1)(xa)，令f (x) 0，获得x1，xa①当a1时，1,a[0,2 |a|]，则有x(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)f(x)极大极小f(2a)则最小值应当由 f(0)0与f(a) 3a 2 a 3中产生，当1a 3时，f(a) f(0)，此时f(x)min f(0) 0；当a3时，f(0)f(a)，此时f(x)minf(a)3a 2a 3，②当a 1时，1[0,2 |a|]，则有x(0,1)1(1,2|a|) 2|a|f(x)0f(x)0极小f(2|a|)则f(x)min f(x)极小值f(1)3a1，综上所述：当|a|1时，f(x)在区间[0,2|a|]上的最小值3a1a1f(x)min g(a)01a33a2a3a3考点：导数的运算、利用导数判断函数的单一性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程.（本小题满分14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0),短轴的两个端点分别为B1、B2.（Ⅰ）若F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;（Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C订交于P、Q两点,且FP FQ,求11直线l的方程.【答案】（1）x2y21；（2）x7y10或x7y10.4133【分析】试题剖析：此题主要考察椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的地点关系等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，设出椭圆的标准方程，依据焦点坐标以及F1B1B2为等边三角形，列出a与b的关系式，解出a和b的值，进而得出椭圆的标准方程；第二问，通太短轴长为2，获得椭圆的标准方程，再议论直线l的斜率能否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出x1x2、x1x2，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k的值，进而获得直线l的方程.试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为x2y21(ab0). a2b2依据题意知a 2b, 解得a 24 ,b 21a 2b 2133故椭圆C 的方程为x 2y 2 1 .4 133（Ⅱ）简单求得椭圆C 的方程为x 2y 21.2当直线l 的斜率不存在时, 其方程为x1,不切合题意;当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为y k(x1).y k(x1)22222由x y 2得(2k1)x4kx2(k1)0.12设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2),则8(k 2 1)0对随意xR 都建立，x 1 x 24k 2 ，2(k 2 1)，，，，2k 2 x 1x 22k 21F 1P(x 1 1y 1)FQ 1(x 21y 2)1由于FP FQ,因此 FPFQ 0, 即1111(x 11)(x 21)y 1y 2x 1x 2(x 1x 2)1k 2(x 11)(x 21)(k 2 1)x 1x 2 (k 2 1)(x 1 x 2)k 217k 2 1 0,2k21解得k 21 ,即k7 .77故直线l 的方程为x 7y 1 0或x7y 10.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的地点关系 .20.( 本小题满分 14分)对于函数f 1(x),f 2(x),h(x)，假如存在实数a,b 使得h(x) af 1(x)bf 2(x)，那么称h(x)为f 1(x),f 2(x)的生成函数．（Ⅰ）下边给出两组函数，h(x)能否分别为f1(x),f2(x)的生成函数？并说明原因；第一组：f1(x)sinx,f2(x)cosx,h(x)sin(x)；3第二组：f1()x2x,f2()x2x1,()x2x1；x x hx（Ⅱ）设f1(x)log2x,f2(x)log1x,a2,b1，生成函数h(x)．若不等式23h2(x)2h(x)t0在x[2,4]上有解，务实数t的取值范围；（Ⅲ）设f1(x)x,f2(x)1(1x10)，取a1,b0，生成函数h(x)使h(x)b恒x建立，求b的取值范围．【答案】（1）详看法析；（2）t5；（3）0b 4..【分析】试题剖析：此题主要考察简单的合理推理等基础知识，考察了学生对新定义的接受与应用能力，同时考察了存在性问题及最值问题，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、a b1计算能力.第一问，第二组，设a(x2x)b(x2x1)x2x1，进而得ab1，b1进而判断；第二问，化简h(x)2f1(x)f2(x)2log2x log1x log2x，进而为2t3h2(x)2h(x)3log22x2log2x，再设s log2x，则s[1,2]，进而得y3s22s，进而化为最值问题；第三问，将函数h(x)使h(x)b恒建立，转变成h(x)min，再分状况议论函数h(x)的最小值，即可获得b的取值范围.试题分析：（Ⅰ）①设asinx bcosx sin(x)，即asinx bcosx 1sinx3cosx，322取a1,b3，因此h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数．22②设a(x2x)b(x2x1)x2x1，即(ab)x2(a b)xb x2x1，a b1则ab1，该方程组无解．因此h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函数．b 1（Ⅱ）h(x)2f1(x)f2(x)2log2x log1x log2x2若不等式3h2(x)2h(x)t0在x[2,4]上有解，3h2(x)2h(x)t0，即t3h2(x)2h(x)3log22x2log2x 设s log2x，则s[1,2]，y3log22x2log2x3s22s，ymax5，故，t5．（Ⅲ）由题意，得h(x)x b(1x10)x1若b(1,10)，则h(x)在[1,b)上递减，在(b,10]上递加，则h min h(b)2b，因此1b10b4 2b，得1b2若b1，则h(x)在[1,10]上递加，则h min h(1)1b，因此b 1，得0b1．1b b3b10，则h(x)在[1,10]上递减，则h min h(10)b若10，10 10故b，无解b10综上可知，0 b 4.考点：简单的合理推理.。
北京市四中高三数学上学期期中试卷文(含解析)
北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．5．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．6．（5分）若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数7．（5分）已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（4，+∞）8．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C． D．（﹣∞，﹣1]∪二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2+a4=6，则该数列前5项和S5=．10．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．13．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．14．（5分）已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a=，b=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．16．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（13分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间上的最小值．19．（14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．20．（14分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈上有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数h （x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件．专题：简易逻辑．分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．4．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．5．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．6．（5分）若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数考查函数f（x）=x2+（a∈R）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（a∈R）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断．解答：解析：∵f′（x）=2x﹣，故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数，因此A、B不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对．答案：C点评：本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题．7．（5分）已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（4，+∞）考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a1+a10=4，可得a1=2﹣，表示出a8，即可求a8的取值范围．解答：解：设公差为d，则∵a1+a10=4，∴2a1+9d=4，∴a1=2﹣，∴a8=a1+7d=2+d，∵d＞0，∴a8=2+d＞2．故选：C．点评：正确利用等差数列的通项公式是解题的关键．8．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C． D．（﹣∞，﹣1]∪考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈∪，故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2+a4=6，则该数列前5项和S5=15．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由性质可得a1+a5=a2+a4=6，代入求和公式计算可得．解答：解：∵在等差数列{a n}中a2+a4=6，∴由等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=6，∴数列前5项和S5===15．故答案为：15点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．10．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解解答：解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．13．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（5分）已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a=2，b=0．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由条件得到a n=，根据等差数列的定义，即可得到a2﹣a=a，3a+b﹣a2=a，求出a，b即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴a n=，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2﹣a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b﹣a2=a，即b=0，故答案为：2，0．点评：本题考查函数与数列的关系，考查等差数列的定义，考查基本的运算能力，是一道基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值．解答：解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．16．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）首先利用递推关系式，求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用错位相减法求出前n项的和．解答：解：（Ⅰ）∵S1=a1∴n=1时2a1﹣a1=S1•S1a1≠0，a1=1．所以n≥2时，．（Ⅱ）设T n=1•a1+2•a2+3•a3+…+n•a nqT n=1•qa1+2•qa2+3•qa3+…+n•qa nqT n=1•a2+2•a3+3•a4+…+n•a n+1利用错位相减得：．．点评：本题考查的知识点：数列通项公式的求法，错位相减法的应用．17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；解答：解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•M Ccos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．点评：该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键．18．（13分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解答：解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．20．（14分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈上有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数h （x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．考点：其他不等式的解法；函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题．专题：计算题；综合题；方案型；分类讨论．分析：（Ⅰ）化简h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），使得与相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．（Ⅱ）设，生成函数．化简不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0，在x∈上有解，就是求t＜﹣3h2（x）﹣2h（x）=﹣3log22x﹣2log2x的最小值，即可．（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数使恒成立，分类讨论，求出b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）①设，即，取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．（2分）②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（4分）（Ⅱ）（5分）若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈上有解，3h2（x）+2h（x）+t＜0，即t＜﹣3h2（x）﹣2h（x）=﹣3log22x﹣2log2x（7分）设s=log2x，则s∈，y=﹣3log22x﹣2log2x=﹣3s2﹣2s，（9分）y max=﹣5，故，t＜﹣5．（10分）（Ⅲ）由题意，得1°若，则h（x）在上递减，在上递增，则，所以，得1≤b≤4（12分）2°若，则h（x）在上递增，则h min=h（1）=1+b，所以，得0＜b≤1．（14分）3°若，则h（x）在上递减，则，故，无解综上可知，0＜b≤4．（16分）点评：本题考查其他不等式的解法，函数的概念及其构成要素，函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论，计算能力，函数与方程的思想，是中档题．。
北京市第四中学高三上学期期中——数学(文)数学文
北京市第四中学 2015届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷满分共计150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( D )（A ）{1} （B ）{2} （C ）{0，1}（D ）{1，2}2．设11533114,log ,73a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ C ） （A ） （B ） （C ） （D ）3．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( A )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ A ）（A ） （B ）（C ）（D ）5. 已知向量a ＝(，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数＝( C)（A ） （B ）（C ） （D ）6.若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ C ） （A ），在上是增函数 （B ），在上是减函数 （C ），是偶函数 （D ），是奇函数7．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是B （A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______．1510.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为_______．111．在中，角的对边分别为，，，，则_______．12． 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为_______．x 2＋(y －1)2＝113．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2， 1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________． 514．已知实数且，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列满足，且是等差数列，则 2，0三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-,. （Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. 解：()2cos21f x x x =+-12cos2)12x x =+-. （Ⅰ）的最小正周期为 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z .（Ⅱ）因为，所以，所以，于是 ，所以.当且仅当时，取最小值. 当且仅当，即时最大值.16．（本题满分13分）设数列的前项和为,已知1110,2,*.n n a a a S S n N ≠-=∈ (Ⅰ)求, 并求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和. 解: (Ⅰ)时所以时，1111111122222n n n n n n n n n a a a a a S S a a a a S S ------=-=-=-⇒= .*,2的等比数列，2公比为1是首项为}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT错位相减得:n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.17．（本题满分13分）在中，角的对边分别为，且． (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 若，边上的中线，求的面积．解:（I）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，即2sin cos cos cos B A A C C A = 3sin(A+C) ． 因为B ＝π－A －C ，所以sinB=sin(A+C)， 所以．因为B ∈(0，π)，所以sinB≠0，所以，因为，所以．(Ⅱ)由（I ）知，所以，． 设，则，又在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即2222()2cos,223x x x x π+-⋅⋅= 解得x ＝2. 故212sin 23ABC S x π∆=18．（本小题满分13分）已知：，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++， （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，求在闭区间上的最小值.解：定义域：，2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--（Ⅰ）当时，32()266f x x x x =-+，则(2)1624124f =-+=2()6126f x x x '=-+，则(2)242466f '=-+=∴在处切线方程是：，即，（Ⅱ）()6(1)()f x x x a '=--，令，得到，①当时，，则有则最小值应该由与中产生， 当时，，此时；当时，，此时23min ()()3f x f a a a ==-，②当时，，则有则min ()()(1)31f x f x f a ===-极小值， 综上所述：当时，在区间上的最小值min23311()()01333a a f x g a a a a a -<-⎧⎪==<≤⎨⎪->⎩19.（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知, 解得,故椭圆的方程为2214133x y +=. （Ⅱ）容易求得椭圆的方程为.当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设,则对任意都成立，2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为,所以,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++,解得,即.故直线的方程为或.20．(本小题满分14分)对于函数，如果存在实数使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设121(),()(110)f x x f x x x==≤≤，取，生成函数使恒成立，求的取值范围． 解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a xb x x π+=+，即1sin cos sin 2a x b x x x +=+， 取，所以是的生成函数．② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+，则111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解．所以不是的生成函数． （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式在上有解，，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=-- 设，则，22223log 2log 32y x x s s =--=--，，故，．（Ⅲ）由题意，得()(110)bh x x x x=+≤≤ 若，则在上递减，在上递增，则，所以110b⎧<<⎪⎨≥⎪⎩，得若，则在上递增，则，所以11b b⎧⎪⎨+≥⎪⎩，得．若，则在上递减，则，故101010b b⎧≥⎪⎨+≥⎪⎩，无解 综上可知，。
北京第四中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
北京四中2018～2019学年度上学期高中一年级期中考试数学试卷卷(I)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.的值为( )A. B. C.1 D.【参考答案】D【试题解析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【试题解答】因为,故选D.本题主要考查了对数的性质和运算法则,属于容易题.2.集合,则下列关系正确的是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】根据元素与集合的关系即可判断.【试题解答】因为,所以,故选A.本题主要考查了元素与集合的关系,属于容易题.3.函数的定义域是( )A. B.C. D.【参考答案】C【试题解析】函数要有意义,则需解析式有意义,分式的分母不为0即可.【试题解答】要是函数有意义,则需,解得,所以函数的定义域为,故选C.本题主要考查了函数的定义域,属于中档题.4.若,则( )A.1B.C.0D.【参考答案】A【试题解析】根据函数解析式,只需把代入即可求出函数值.【试题解答】因为,所以当时,,故选A.本题主要考查了根据函数解析式求函数值,属于中档题.5.下列函数中,在区间上为增函数的是( )A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】根据基本初等函数的单调性,逐项分析即可.【试题解答】A选项中是一次函数,,所以在R上是减函数,错误； B选项是幂函数,幂指数,在区间上为增函数,故正确；C选项是二次函数,对称轴为,在区间上无单调性,错误； D选项是指数函数,,在R上是减函数,错误.故选B.本题主要考查了函数的单调性,属于中档题.6.下列函数中,值域是的是( )A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】根据函数性质,逐项分析各选项即可.【试题解答】A中的值域为R,错误,B中的值域为,正确；C中,值域为,错误； D中的值域为R,错误.故选B.本题主要考查了基本初等函数的值域,属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】根据题意可知函数是R上的减函数,只需根据即可判断零点所在区间.【试题解答】因为是R上的减函数,所以是R上的减函数, 又,可知零点在区间上,故选C.本题主要考查了函数零点的存在性,函数的单调性,属于中档题.8.若,则( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】根据指数及对数的性质可分析出范围,从而得到结果.【试题解答】因为,所以,因为,所以,所以选B.本题主要考查了指数的性质,对数的性质,属于容易题.9.已知函数是上的偶函数,当时,,则的解集是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】根据函数是上的偶函数,可知函数图象关于y轴对称,解出当时的解, 由函数图像的对称性,可知时,的解.【试题解答】当时,,所以解得,由是上的偶函数知,函数图象关于y轴对称,所以当时,的解为,综上知,的解集为.故选D.本题主要考查了偶函数的性质及图象,属于中档题.10.若,则函数的图象有可能是( )A. B.C. D.【参考答案】A【试题解析】根据,可知函数是增函数,当时,,由知,可选出答案.【试题解答】根据,可知函数是增函数,排除B,D选项,当时,,由知,排除C选项,故选A.本题主要考查了指数函数的增减性,指数函数的图象,属于中档题.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.计算:________；________.【参考答案】 (1).1 (2).4【试题解析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【试题解答】;故填(1).1 (2).4本题主要考查了对数及指数运算法则,属于中档题.12.若函数的定义域为,则函数的定义域为________.【参考答案】【试题解析】根据的定义域为知,要有意义则需,即可求出的定义域.【试题解答】因为的定义域为,则要有意义则需,解得,所以的定义域为.故填.本题主要考查了抽象函数的定义域,属于中档题.13.函数,则其图象的对称轴方程为 ________；的增区间是________.【参考答案】 (1).2 (2).【试题解析】根据二次函数的性质知,对称轴方程为,当时, 增区间为,据此可写出答案.【试题解答】因为函数,所以对称轴方程为,的增区间是.故填:(1).2 (2).本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间,属于容易题.14.已知函数,若函数有3个零点,则实数的取值范围是________.【参考答案】【试题解析】函数有3个零点,即方程有3个根,因此在同一坐标系内做出的图象与直线,观察它们公共点的个数即可得到答案.【试题解答】因为有3个零点,所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象,如下:根据图象可知,当时,有三个交点.故则实数的取值范围是.本题主要考查了分段函数,函数的零点,函数零点与方程的根,数形结合思想,属于中档题.三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)15.设集合.(I)用列举法写出集合；(II)求和.【参考答案】(I)；(II),.【试题解析】(I)根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示(II)根据交集和并集的运算即可求解.【试题解答】(I)因为x,所以,所以.(II)因为,所以,.本题主要考查了集合的描述法,列举法,交集,并集,属于中档题.16.已知函数.(I)当时,判断的奇偶性,并证明你的结论；(II)当时,求的值域.【参考答案】(I)证明见解析；(II).【试题解析】(I)当时,,,为偶函数,可根据定义证明(II)当时,,配方可写出值域.【试题解答】(I)当时,,,为偶函数,证明:由知,,,.即函数为偶函数.(II)当时,即函数的值域为.本题主要考查了函数的奇偶性,二次函数的值域,属于中档题.17.设函数.(I)利用单调性定义证明:在区间上是单调递减函数；(II)当时,求在区间上的最大值.【参考答案】(I)证明见解析；(II).【试题解析】(I)根据函数单调性的定义证明即可(II)先证明函数在区间[2,＋∞)上是单调递增函数,再结合(I)的结论且,对分类讨论写出函数最大值.【试题解答】(I)任取,∈(0,2],设<,则∵,∴∵,∴∴所以,故在区间(0,2]上是单调递减函数.(II)由(I)可知,在区间(0,2]上是单调递减函数；当,设<,易知总有<,所以在区间[2,＋∞)上是单调递增函数,又,所以在区间上最大值为.本题主要考查了函数单调性的定义证明,分类讨论的思想,属于中档题.卷(II)一、选填题:(本大题共6小题,每小题5分,共30分)18.不等式的解集是A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】根据指数函数的增减性可转化为,即可求解.【试题解答】,即.所以不等式的解集为.故选C.本题主要考查了指数函数的增减性,属于中档题.19.如果是定义在上的奇函数,那么下列函数中,一定是偶函数的是A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】试题分析:由题意得,因为函数是定义在上的奇函数,所以,设,则,所以函数为偶函数,故选B.考点:函数奇偶性的判定.20.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据: 第被感染的计算机数量则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【参考答案】D【试题解析】根据选项中的函数,依次代入x值求出y的值,通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较,误差越小则拟合度越高,误差越大则拟合度越小,计算即可求解.【试题解答】对于A选项,当时,对应的y值分别为,对于B选项,当时,对应的y值分别为,对于C选项,当时,对应的y值分别为,对于D选项,当时,对应的y值分别为,而表中所给的数据为,,当时,对应的y值分别为,通过比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即能更好的反映与之间的关系.故选D.本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题,属于中档题.21.设全集,集合,则_______；_______. 【参考答案】 (1). (2).【试题解析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【试题解答】因为全集,集合,所以,.本题主要考查了集合的交集、补集运算,属于中档题.22.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为, ,则_________；的解集为________.【参考答案】 (1).2 (2).【试题解析】根据函数的图象,观察即可得出答案.【试题解答】根据图象知,所以,根据图象知 ,所以,当时,由图象可知,即的解集为.本题主要考查了函数的图象,属于中档题.23.当时,不等式恒成立,则的取值范围是________.【参考答案】()【试题解析】试题分析:当时,,所以,画出和的图象,从图象可知,要使,需要考点:本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用,考查学生的推理能力和数形结合思想的应用.点评:题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数,所以要画出两个函数的图象,数形结合解决.二、解答题:(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24.设函数.(I)若,求的取值范围；(II)记的反函数为,若在上恒成立,求的最小值.【参考答案】(I)或；(II).【试题解析】(I)根据对数函数的增减性转化为,并注意真数大于零即可求解(II)由题意知,原不等式可转化为在区间[2,)上恒成立即可求解.【试题解答】(I)由已知log a(x2－x)>log a2,因为0<a<1,所以0<x2－x<2,解,得－1<x<2,解,得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2).(II)为的反函数,所以,由已知在区间[2,)上恒成立,因为,所以在区间[2,)上恒成立,即大于等于的最大值,因为0<a<1,所以>1,又x－2∈[0,),所以()的最小值为1,－()的最大值为－1,所以k≥－1,所以k的最小值为－1.本题主要考查了对数函数的增减性,反函数,指数函数,恒成立问题,属于中档题.25.给定数集,若对于任意,有,且,则称集合为闭集合.(I)判断集合是否为闭集合,并给出证明；(II)若集合为闭集合,则是否一定为闭集合?请说明理由；(III)若集合为闭集合,且,证明:.【参考答案】(I)证明见解析；(II)不一定,证明见解析；(III)证明见解析.【试题解析】(I)根据特值,但是4＋4＝8A,判断A不为闭集合,设,可证出,,B为闭集合(II)取特例A＝{x|x＝2k,k∈Z},B＝{x|x＝3k,k∈Z},集合为闭集合,但不为闭集合即可(III)用反正正法,若A B＝R,存在a∈R且a A,故a∈B,同理,因为B R,存在b∈R且b B,故b∈A,若,则由A为闭集合,,与a A矛盾,同理可知若,,与b B矛盾,即可证明.【试题解答】(I)因为,但是4＋4＝8A,所以,A不为闭集合；任取,设,则且所以,同理,,故B为闭集合.(II)结论:不一定.令A＝{x|x＝2k,k∈Z},B＝{x|x＝3k,k∈Z},则由(I)可知,A,B为闭集合,但2,3∈A B,2＋3＝5A B, 因此,A B不为闭集合.(III)证明:(反证)若A B＝R,则因为A R,存在a∈R且a A,故a∈B,同理,因为B R,存在b∈R且b B,故b∈A,因为a＋b∈R＝A B,所以,a＋b∈A或a＋b∈B,若,则由A为闭集合,,与a A矛盾, 若,则由B为闭集合,,与b B矛盾, 综上,存在c∈R,使得c(A B).。
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北京市四中2018—2018年高三年级第一学期期中测验数学试卷（文科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合====N M N M N x M 则若},1{},2,1{},,0{（ ）A ．{0,x,1,2}B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．无法确定2．方程1cos 2=x 的解集为（ ） A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k∈-+=ππ3．函数]2,1[3--=在x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．－4D ．－2 4．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于 （ ）A ．21B ．19C ．17D ．15 5．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ ） A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y6．等差数列}{n a 中，a 3、a 8是方程0532=--x x 的两个根，则S 10是 （ ）A ．15B ．25C ．30D ．507．函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，xx f x )21()(,21=≤≤-时又，则有（）A ．)4()1(21f f f <<⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<21)1()4(f f fC ．)4(21)1(f f f <⎪⎭⎫⎝⎛-< D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<<21)4()1(f f f 8．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题（每小题5分共30分）9．函数x y 2cos 3=的最小正周期为 . 10．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 .11．已知数列}{n a 的前n 项和,92n n S n -=则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .12．函数)(x f y =在定义域（0,∞-）内存在反函数，若,2)1(2x x x f -=-)3(f 则= ，则=-)3(1f .13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 14．给出下列命题：①函数)10(≠>=a a a y x 且与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且 的定义域相同； ②函数x y x y 33==与函数值域相同； ③使函数),2(21+∞-++=在区间x ax y 上为增函数的a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21，其中错误命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题13分）已知：a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对. （1）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a 、b 的值； （2）若,cos cos B b A a =试判断△ABC 的形状，证明你的结论.16．（本小题13分）已知：)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,1)(2--=x x x f （1）求函数)(x f 在R 上的解析式； （2）解不等式.1)(<x f17．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++= （1）若)(:,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求：a 的值，并指出这时x 的值.18．（本小题满分13分）已知： 13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0. （1）求：常数a 、b 的值； （2）求：)(x f 的单调区间.19．（本小题13分）已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .20．（本小题14分）已知：函数),,(1)(2R c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(==f f . （1）求：a 、b 、c 的值；（2）当,),0(时+∞∈x 讨论函数)(x f 的单调性，并写出证明过程.北京市四中2018—2018年高三年级第一学期期中测验数学试卷（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题（每小题5分共30分） 9．π 10．43π11． 102-n 8 12．8 －2 13．14 14．②③ 三、解答题15．解：（1）由已知得,60sin sin 2123︒==b A bc ,1=∴b 由余弦定理,3cos 2222=-++A b c b a3=∴a .……………………5分（2）由正弦定理得：,sin 2,sin 2b B R a A R ==,cos sin 2cos sin 2B B R A A R =∴即,2cos 2sin B A =由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.……………………12分16．（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f ；（2）)2,0[)1,(Y --∞17．解析：（1）.1)62sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++=+++=π解不等式.226222πππππ+≤+≤-k x k得),(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ)(x f ∴的单调区间为).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）],2,0[π∈x .67626πππ≤+≤∴x ∴当.3)(,6262max a x f x x +===+时即πππ,43=+a 1=∴a ，此时6π=x .18．解：（1）,63)(2b ax x x f ++=' 由题知：⎩⎨⎧><=+-+-><=+-⇒⎩⎨⎧=-=-'203110630)1(0)1(2a b a b a f f联立<1>、<2>有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9231b a b a 或……………………4分 当a=1,b=3时，0)1(3963)(22≥+=++='x x x x f 这说明此时)(x f 为增函数，无极值，舍去………………6分 当)1)(3(39123)(,9,22++=++='==x x x x x f b a 时 故方程130)(-=-=='x x x f 或有根由表可见，当1-=x 时，)(x f 有极小值0，故⎩⎨⎧==92b a 符合题意………………9分（Ⅱ）由上表可知：)(x f 的减函数区间为（－3，－1）)(x f 的增函数区间为（－∞，－3）或（－，+∞）………………12分19．（Ⅰ）,333313221n a a a a n n =++++- ),2(31333123221≥-=++++--n n a a a a n n ),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a n n 验证n=1时也满足上式：*)(31N n a nn ∈= （Ⅱ）n n n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅=143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S,333332132+⋅-+++=-n n n n S,33133211++⋅-----n n n n S.433413211+⋅-⋅=++n n n n S20．（1） )(x f 为奇函数，)()(x f x f -=-∴，即,1122cbx ax c bx ax --+=+-+ 比较分母的系数，得c=0，又f （1）=2，f （2）=3.得.23,2.3214,21==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b a b a ba 解得 0,23,2===∴c b a 为所求. （2）.22)0(24,3243243242312)(222=>==≥+=+=x x x x x x x x x x f 得由 Q 21211212122212321)4(324324)()(x x x x x x x x x x x f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+=-当0,021,0)(,22021211221><⎪⎭⎫ ⎝⎛->-≤<<x x x x x x x x 时 ⎥⎦⎤⎝⎛<∴22,0)(),()(12在x f x f x f 上是减函数.当2122x x <≤时，.0,021,0212112>>->-x x x x x x⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞>∴,22)(),()(12在x f x f x f 上是增函数.。
最新-北京四中2018届高三数学10月统练试题 文 北师大
2018～2018学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5,7B =，则A B =U （ ） 2．下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上是增函数的是（ ） 3．已知a 、b 为实数，则“22ab>”是“22log log a b >”的（ ） 4．函数2log y x =的图象按向量a 平移后可以得到函数2log (2)3y x =-+的图象，则（ ） 5．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a （ ） 6．设a 、b 是两个非零向量（ ）（A ）{}1,3（B ）{}1,2,3,4,5,7 （C ）{}5,7（D ）{}2,4,5,7（A ）2x y =（B ）32y x x =+（C ）sin y x =-（D ）1y x=-（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）(2,3)=a（B ）(2,3)=-a（C ）(2,3)=-a（D ）(2,3)=--a（A ）一定是等差数列 （B ）一定是等比数列（C ）或者是等差数列，或者是等差数列 （D ）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列（A ）若||||||=-a +b a b ，则⊥a b （B ）若⊥a b ，则||||||=-a +b a b（C ）若||||||=-a +b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a （D ）若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||=-a +b a b7．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根 其中正确命题的个数为（ ） 8．已知函数()f x 的定义域是{|(}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且，函数()f x 满足()()f x f x π=+，当(,)22x ππ∈-时，()2sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．9． 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为 ． 10．函数2()log (21)f x x =+-的定义域是 ． 11．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos(),sin())33ππαα=++b ，则||-=a b ． 12．已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24mn+的最小值为 ．13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且满足1a b c ++=，sin sin A B C +=，则c = ；若3C π=，则ABC ∆的面积S = ．14．已知关于x 的不等式220x ax -+>，若此不等式对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ；若此不等式对于任意的(2,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知x ∈R ，向量2(cos ,1)OA a x =u u r ，sin 2)OB x a =-u u u r ，()f x OA OB =⋅u u r u u u r ，0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为5，求实数a 的值．16．（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值．17．（本小题满分13分）已知函数32()2f x x ax =++，若()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．（Ⅰ）求导函数()f x '及实数a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且1323(2,)n n a a n n n *-=-+≥∈N ． （Ⅰ）求23,a a ，并证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求12a a ++…n a +的值．19．（本小题满分14分）设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求实数c 的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有12121212()()3333f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数2()f x x =是否为定义域上的C 函数，并说明理由； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x（12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数．已知()f x 是R 上的π函数．m 是给定的正整数，设()n a f n =，0,1,2,n =…,m ，且00a =，2m a m =，记12f S a a =++…m a +．对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2018～2018学年第一学期北京四中统练1 高三数学（文科）答题卡○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线39（1）○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ 学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________ 密封线。
北京四中2018届高三上学期期中测试卷(数学文)WORD版含解析
北京四中2018届高三上学期期中测试试卷数学<文）<试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若全集，集合，，则集合A．B．C．D．2.“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致为4．设，则A. B. C. D.5．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解读式是A．B．C．D．6．函数的零点个数为A．3 B．2 C．1D．07．若，则的值为A．B．C．4D．88. 对于函数,若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在稳定区间的函数有A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知，则____________.10．若函数则不等式的解集为______.11．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。
若=1，则____________.12．函数的图象如图所示，则的解读式为___.13．已知函数.<），那么下面命题中真命题的序号是____________.①的最大值为②的最小值为③在上是减函数④在上是减函数14．已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为______；当时，______.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．<本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.<Ⅰ）求的值；<Ⅱ）求函数的单调增区间及其图象的对称轴方程.16．<本小题满分13分）已知：若是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列.<Ⅰ）求数列、、的公比；<Ⅱ）若，求数列的通项公式.17．<本小题满分14分）已知函数(>．<Ⅰ）求函数的单调递增区间；<Ⅱ）内角的对边长分别为，若且试求角B和角 C.18. <本小题满分14分）已知函数，的图象经过和两点，且函数的值域为.过函数的图象上一动点作轴的垂线，垂足为，连接.<Ⅰ）求函数的解读式；<Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．<本小题满分13分）设且，函数.<Ⅰ）求的值；<Ⅱ）求函数的单调区间.20.<本小题满分14分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．<为正整数）<Ⅰ）在只有项的有限数列，中，其中，b5E2RGbCAP，试判断数列，是否为集合的元素；<Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并求出的取值范围.参考答案及解读一．选择题<2. A解读：当时，，反之，当时，有，或，故应选 A.3. A解读：函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选 A.4． D解读：.故选D.5． B解读：将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解读式为,故选 B.7． D解读：8． C 解读：①中，若存在“稳定区间”则，，即有解，即图像有交点，事实上两函数图像没有交点，故函数不存在“稳定区间”。
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北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，根据集合的并集的概念得到等于。
故答案为：B。
2. 若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：二倍角公式3. 已知向量a,b满足，，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由条件知，。
故答案为：C。
4. 设，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数单调性可知，所以有，故选B考点：函数单调性比较大小5. 已知，，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知，。
根据向量平行的坐标表示得到故是的充分不必要条件。
故答案为：A。
6. 函数的图象如图所示，则的解析式可以为A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。
点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。
7. 实数x,y满足则的最小值为A. 15B. 3C. -3D. -15【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，如图：目标函数可化简为：,根据图像得到当目标函数过点（-3，3）时候，目标函数有最小值，代入得到z=-3.故得到答案为：C。
点睛：这个题目考查的是较为简单的线性规划问题；需要注意的是线规问题，可行域中的线是实线还是虚线，目标函数是什么模型，常见的有形如这个函数的截距型，还有面积型，距离型，斜率型等，注意最值能否取倒。
8. 设函数的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称为D上的“m 型增函数”，已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，。
若为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．考点：函数的值．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若函数则等于__________。
【答案】3【解析】根据题意得到=8，=故结果为：3.10. 已知双曲线C的标准方程为，则双曲线C的渐近线方程为_______。
【答案】【解析】已知双曲线C的标准方程为，得到渐近线方程为：，化简得到。
故结果为：。
11. 已知函数的部分图象如图所示，则_______，_________。
【答案】(1). (2).【解析】由图像知道函数的半周期为，故周期为将函数零点代入得到因为，故得到。
故答案为：(1). (2). 。
点睛：这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。
一般是通过图像可得到振幅，周期，进而得到w，根据图像的最值点或者零点求得函数中的角；有最值首选最值，无最值再选零点，零点分第一零点和第二零点，注意区分即可。
12. 已知正数x,y满足，则的最小值是__________。
【答案】4【解析】由题意，当且仅当，即，时取等号，故答案为9.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．13. 如图，在中，，，，D是AC边上一点，且，则___________【答案】-4【解析】根据题意得到.代入化简得到-4.故答案为：-414. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[-M，M]。
例如，当，时，，现有如下命题：①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；②若函数，则有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则④若函数，则有最大值且，其中的真命题有_____________。
（写出所有真命题的序号）【答案】①③④【解析】对于①，若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f （a）=b，故①正确；对于②，取函数f（x）=x（﹣1＜x＜1），其值域为（﹣1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[﹣M，M]=[﹣1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误；对于③，当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，∴当g（x）∈B时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[﹣M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f（a0）=b﹣g（a0），即f（a0）+g （a0）=b0∉[﹣M，M]，故③正确；此时f（x）= （x＞﹣2），易知f（x）∈[﹣，]，∴存在正数M=，使得f（x）∈[﹣M，M]，故④正确；故答案为：①③④。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. 已知数列的前n项和为，，且是与1的等差中项。
（I）求的通项公式；（II）若数列的前n项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。
【答案】(1) ;(2) 实数的最小值为2.试题解析：（Ⅰ）因为,所以．1分因为是与的等差中项,所以, 即．所以．3分所以是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．所以,．所以是以1为首项,为公比的等比数列．9分所以数列的前项和．11分因为，所以．若，当时，．所以若对,恒成立，则．所以实数的最小值为2．13分考点：数列及其恒成立．16. 锐角中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，已知，，的面积（I）求边c的值；（II）求sinC的值。
【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角形的面积公式得到将已知条件中的值代入可得，。
（2）由同角三角函数的转化可得；再由余弦定理得到，由正弦定理得到。
解析：（I）由可得，（II）由锐角中可得由余弦定理可得：有：,由正弦定理：即 .17. 已知函数。
（I）求函数的最小正周期与单调增区间；（II）求函数在上的最大值与最小值。
【答案】（1），单调增区间为，；（2）时取最大值，最小值。
【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，利用计算周期，再利用的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知x的取值范围代入表达式，结合图象，求三角函数的最值．试题解析：．（Ⅰ）的最小正周期为令，解得，所以函数的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以．当且仅当时取最小值当且仅当，即时最大值．考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值．18. 已知函数，。
（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。
【答案】（1）；（2）公共点为（1，-1）。
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负，，故只有一个公共点。
解析：（I）函数的定义域为，又曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，所以，即（II）当时，，令当时，，在（）单调递减；当时，，在（0，1）单调递增。
又，所以在（0，1）（）恒负因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）。
19. 已知函数（I）若，求曲线在处的切线方程；（II）讨论函数在上的单调性；（III）若存在，使得成立，求实数a的取值范围。
【答案】（1）切线方程为；（2）在上单调减；（3）.【解析】试题分析：（1）当a=﹣2时可得f（x）=x2﹣2lnx，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，进而得直线方程；（2）求导数可得结合x∈[1，e]，利用单调性和导数的关系分和以及讨论可得；（3）结合（2）的单调性，分类讨论分别求a≤2和2＜a＜2e以及a≥2e时函数的最值，使得函数的最值小于等于0，最终并到一起可得范围。
解析：（1）时，，所求切线方程为（2）时，，，此时，在上单调增；当即，时，，上单调减；时，，在上单调增；当即时，，此时，在上单调减；（3）当时，在上单调增，的最小值为当时，在上单调减，在上单调增的最小值为，，当时，在上单调减；的最小值为，综上，点睛：本题考查导数的综合应用，涉及曲线的切线和函数的单调性以及分类讨论的思想，属难题．最后一问考查了函数的有解求参的问题，一般的处理方式是变量分离，转化为函数最值问题；或者直接研究函数的单调性得到函数的最值，使得函数最值大于或者小于0.20. 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上。
（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆C的左焦点的直线l与椭圆C相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程。
【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2，求得a 和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解析：（1）设椭圆C的方程为，（），由题意可得又，所以因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有解得所以c=1，故椭圆C的方程为（II）当直线轴时，计算得到：，，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：，由消去y，得显然成立，设，则，又即又圆O的半径所以化简，得，即解得，（舍）所以，，故圆O的方程为：。
点睛：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系即韦达定理求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力,属于难题.。