2016年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案

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2016年全国高中数学联赛A卷真题word版

2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193，则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ，()()i w z w z 47+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点，C B A ,,是其底面圆周上的三点，满足︒=∠90ABC ，M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ，则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1，则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数，满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++，则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中，已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数，()11=f ，且对任意0<x ，均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为21,O O ，直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明：AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数，3>p .数列{}n a 的定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11，Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明：对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。

2016年全国高中数学联合竞赛加试(A)含答案解析(PDF版)

O1O2 与 AB, AC 分别交于点U ,V ．
X
证明：△ AUV 是等腰三角形．
A
O1 U
O2 V
B
C
Y
证法一作 ∠BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外
接圆分别为ω1 和 ω2 .
由内角平分线的性质知，BP = CP
AB . AC
由条件可得 BX CY
−
a12
)
．
由已知得，对
i
=
1,
2,,
2015 ，均有
ai
−
a2 i +1
>
11 9
a2 i +1
−
a2 i +1
≥
0
．
若 a2016 − a12 ≤ 0 ，则 S ≤ 0 ．
…………………10 分
以下考虑 a2016 − a12 > 0 的情况．约定 a2017 = a1 ．由平均不等式得
∑ ∑ ∑ 1
试确定所连线段数目的最大值．
解以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证
明 G 的边数不超过 15．
设
G
的顶点为
v1,
v2
,,
v10
，共有
k
条边，用
deg(vi )
表示顶点
vi
的度.
若
deg(vi
)
≤
3
对
i
=
1,
2, ,10
都成立，则
∑ =k
1 2
10 i =1
deg(vi )
≤= 1 ×10× 3 2

2016-2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

12018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设集合 A = {1, 2, 3,, 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈，则 B C 的元素个数为．答案： 24 ．解：由条件知，B C = {2, 4, 6,, 198} {12, 1, 32 ,2,, 992}= {2, 4, 6,, 48} ，故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 α 3 Q 在平面 α 上，使得直线 PQ 与 α 所成角不小于 30︒ 且不大于 60︒ ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为．答案：8π ．解：设点 P 在平面α上的射影为O ．由条件知，3tan [3]OP OPQ OQ =∠∈即OQ ∈ [1, 3] ，故所求的区域面积为 π ⋅ 32 - π ⋅12 = 8π ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的概率为答案：910解：先考虑 a bc + def 为奇数的情况，此时 a bc , def 一奇一偶，若 abc 为奇数，则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列，进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! = 36 种情况，由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种．从而 abc + def 为偶数的概率为72729116!72010-=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则∆PF 1F 2 的面积为．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x =1()2PT PS -= 2, y =1()2PV PU -= 1即 P (2, 1) ．进而由 x P =PU = 1, PS = 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b⋅+⋅=⋅+=，解得a 2= 20, b 2 = 5 ．从而121212PF F P P S F F y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减，且满足 f (π) = 1 f (2π) = 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩p p 的解集为．答案：[π - 2, 8 - 2π] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[-1, 0] 上严格递增，再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间．注意到f (π - 2) = f (π) = 1, f (8 - 2π) = f (-2π) = f (2π) = 2 ，所以1 ≤ f ( x ) ≤2 ⇔ f (π - 2) ≤ f ( x ) ≤ f (8 - 2π) ，而1 < π - 2 < 8 - 2π < 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π - 2, 8 - 2π] ．6. 设复数 z 满足z = 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 + 2 zx + 2 = 0 有实根，则这样的复数 z 的和为．答案：32-解：设 z = a + b i (a , b ∈ R , a2 + b 2 = 1) ．将原方程改为 (a + b i) x 2 + 2(a - b i) x + 2 = 0 ，分离实部与虚部后等价于ax 2 + 2ax + 2 = 0 ， ①bx 2 - 2bx = 0 ．②若b = 0 ，则 a 2 = 1 ，但当 a = 1 时，①无实数解，从而 a = -1 ，此时存在实数 x = -1±3满足①、②，故 z = -1满足条件．若 b ≠ 0 ，则由②知 x ∈ {0, 2} ，但显然 x = 0 不满足①，故只能是 x = 2 ，代入①解得 a 14=-，进而 b =154±，相应有 z =1154i -± 综上，满足条件的所有复数 z 之和为-1+1154i -++1154i --=32- 7. 设O 为∆ABC 的外心，若AO u u u r = AB u u u r + 2 AC u u u r，则sin ∠BAC 的值为．答案：104解：不失一般性，设∆ABC 的外接圆半径 R = 2 ．由条件知， 2 AC u u u r =AO u u u r AB -u u u r ① 故 AC =12BO = 1 ．取 AC 的中点 M ，则 O M ⊥ AC ，结合①知 O M ⊥ BO ，且 B 与 A 位于直线OM 的同侧．于是 c os ∠BOC = cos (90︒ + ∠MOC ) = -sin ∠MOC =-MOOC14=-在∆BOC 中，由余弦定理得BC =222cos OB OC OB OC BOC +-⋅∠10=进而在∆ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC =1024BC R = 8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 = 3a 1 , a 2 + a 8 = 2a 5 ，且a i +1 ∈ {1+ a i ,2 + a i }, i = 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为．答案：80 ．解：设b i = a i +1 - a i ∈ {1, 2}(i = 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 = a 10 - a 1 = b 1 + b 2 ++ b 9 ， ①b 2 + b 3 + b 4 = a 5 - a 2 = a 8 - a 5 = b 5 + b 6 + b 7 ． ②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数，其中t ∈ {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2+ (13C ) 2+ (23C ) 2+ (33C )2= 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22= 4 种方式．最后由①知，应取 b 1 ∈ {1, 2} 使得b 1 + b 2 ++ b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条件的数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20⨯4 = 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R+上的函数 f ( x ) 为3log 109()49x x f x xx ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩p f设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求 abc 的取值围．解：不妨假设 a < b < c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9, +∞) 上严格递减，且 f (3) = 0, f (9) = 1，故结合图像可知a ∈ (0, 3) ，b ∈ (3, 9) ，c ∈ (9, + ∞) ，并且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ∈ (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) = f (b ) 得 1- log 3 a = log 3 b -1，即 l og 3 a + log 3 b = 2 ，因此 a b = 32= 9 ．于是 abc = 9c ． …………………8 分又0 < f (c ) = 4 c1， …………………12 分故 c ∈ (9, 16) ．进而 abc = 9c ∈ (81, 144) ．所以， a bc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分注：对任意的 r ∈ (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a ∈ (0, 3), b ∈ (3, 9) ），满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，并且 ab = 9 ，从而 a bc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有a n (2S n - a n ) = 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n <n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n +1 < 1 ．证明： (1) 约定 S 0 = 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有 1 = a n (2S n -a n ) = (S n - S n -1)(S n + S n -1) = S n 2 - S n -12 ， S n = n + S 0 = n ，即 S n =n n = 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n = S n - S n -1 n 1n -n 10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n +1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n +均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n +1 > S n > S n -1 >n 此时从而a n a n +1 <n 1n -1n +n ) <1n +n 1n +n )= 1． …………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 = 4 x 的过点 F (1, 0) 的弦，∆AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x = ty +1 ，与抛物线方程联立可得 y 2- 4ty - 4 = 0 ，故 y 1 y 2 = -4 ． ①注意到∆AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey = 0 ，与x =24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y = y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 + y 2 + y 3 + 0 = 0 ，从而y 3 =- ( y 1 + y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分∠APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 + 64 y 2 y 2 -192 y 2 = y 6 + 64 y 2 y 2 -192y 2，故 ( y 2 - y 2 )( y 4 + y 2 y 2 + y 4 -192) = 0 ．当 y 1 2 = y 2 2 时， y 1 =- y 2，故 y = 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 1 4 + y 1 2 y 22 + y 24 -192 = 0 时，注意到①，有 (y 1 2 + y 2 2 )2=192+(y 1 y 2) 2=208y 1 2 + y 2 2 =8 = 212y y ，故满足①以及 y 1 + y 2 =的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其体积平分，则棱与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角．
因 MH AH 1 ，结合 HK 与 AB 平行知， HK HC 3 ，即 HK 3 ，
2
AB AC 4
4
这样 tan MKH MH 2 ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan 2 ．

，
n 2,3, ．这里 x 表示不小于实数 x 的最小整数．证明：对 n 3, 4, , p 1 均有 n | pan1 1 ．
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的
a2015

a2 2016
a2016 a12 的最大值．
二、（本题满分 40 分）如图所示，在△ABC 中，X、Y 是直线 BC 上两点（X、B、C、Y 顺次排列），使得 BX AC CY AB ．设△ACX、△ABY 的外心分别为 O1,O2 ，直线 O1O2 分别与 AB、AC 交于点 U、V．证明：△AUV 是等腰三角形．
1. 设实数 a 满足 a < 9a3 −11a < a ，则 a 的取值范围是
．
答案：
a
∈

−
2
3
3
,
−
10 3

．
解：由 a < a 可得 a < 0 ，原不等式可变形为
1 > 9a3 −11a > a = −1，
a
a
即 −1 <
9a2
−11 < 1，所以 a2
∈

2016年高中数学联赛试题答案

2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

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2016全国高中数学联赛广东赛区选拔赛试题(含答案)

【解析】题设即 f '( x)
ex
1 2ax
0, x
0 恒成立 . 设 g(x)
ex
1
，则
2x
g' ( x)
xex ex 1
2x 2
0 ，所以 g(x)是增函数，最小值在接近 0 处取得，使用洛必达法则得：
ex 1 1
lim g ( x) lim
，以 a 的取值范围是 ( ,1/ 2]
2016 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时 , 请依据本评分标准 . 填空题只设 8 分和 0 分两档 ; 其他各题的评阅 , 请严格按照评分标准的评分档次给分 , 不要增加其他中间档次 .
2. 如果考生的解答方法和本解答不同 , 只要思路合理、步骤正确 , 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分 , 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次, 第 10、11 小题 5 分为一个档次 , 不要增加其他中间档次 .
5
5
2
为 5.
3x 4 y 的最小值
3. 将正整数 1,2, , n, 按第 k 组含 k 1个数分组： (1,2), (3,4,5),(6,7,8,9), , 那么
2016 在第 _____ 组．
【答案】 63.
【解析】第
n
n(n 1)
组的最后一个数为
n，当
n=62
Hale Waihona Puke 时，21n(n 1)
62 63
由（ 1）知， AO ⊥平面 BCD ，
∴ OA , OM , BD 两两垂直，分别以射线 OD , OM , OA 为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建