2016-2017学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(理科)

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山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3-6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=；（2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是棱1111,A B BC 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -3cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

【真题】2016-2017年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)与答案

2016-2017学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．（5分）设复数z=，则其共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（）A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥αC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．m∥n，m⊥α⇒n⊥α5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两位同学约定周日早上8：00﹣8：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣e）C．（e，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（1，2），则与的夹角为．15．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3a n+1（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，DD1∥平面A1B1BA，DD1∥平面B1BCC1．（1）证明：DD1∥BB1；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，且BB1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，M，N分别为棱A1B1，B1C1的中点，求四面体D﹣MNB的体积．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线的斜率k=﹣1．（1）求a的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B={0，1}．故选：A．2．（5分）设复数z=，则其共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：z==，∴．故选：B．3．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n ﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{a n+b n}为等差数列，正确．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，因此数列{a n•b n}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．4．（5分）设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（）A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥αC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．m∥n，m⊥α⇒n⊥α【分析】A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交；B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或m⊂α；C，m∥n，m∥α⇒n∥α或m⊂α；D，m∥n，m⊥α⇒n⊥α；【解答】解：对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错；对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或m⊂α，故错；对于C，m∥n，m∥α⇒n∥α或m⊂α，故错；对于D，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；故选：D．5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出tan2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．7．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，C答案符号要求；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为正方形，对角线应从左上到右下，不存在满足条件的答案；故选：C．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一条对称轴是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣=kπ+，k∈Z，利用正弦函数的对称性即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin （x﹣）+，令x﹣=kπ+，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，取k=﹣1，可得：x=﹣．故选：A．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD 交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D．10．（5分）甲、乙两位同学约定周日早上8：00﹣8：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}事件对应的集合表示的面积是s=900，满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，事件对应的集合表示的面积是=200，根据几何概型概率公式得到P=．故选：C．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣e）C．（e，+∞）D．【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a 有两个正根，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，要使﹣=a有两个正跟，即使g（x）与y=a有两个交点，则实数a的取值范围（﹣∞，﹣e）．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，g（x）在（0，1）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞1，g（x）在（1，+∞）单调递减，∴g（x）在x=1时取最大值，最大值g（1）=﹣e，要使﹣=a有两个正跟，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣e），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．14．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（1，2），则与的夹角为．【分析】求出与的坐标，计算它们的模长和数量积，利用夹角公式计算夹角的余弦即可．【解答】解：=（0，3），=（3，3），∴（）•（）=9，||=3，||=3，∴cos＜，＞==，∴＜，＞=．故答案为．15．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为．【分析】命题：∀（x0，y0）∈D，z≤m成立，即m≥（z）max，作出可行域，求出z有最大值即可．【解答】解：由题意可知，命题：∀（x0，y0）∈D，z≤m成立，即m≥（z）max 作出可行域，如图，由z=3x﹣2y，得过点Q（，）时，z有最大值，则m的最小值为．故答案为：16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得a n．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；=2a n﹣1﹣2n﹣1+1，S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n﹣1+1）②当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n﹣1=a n，=2n﹣1，即a n﹣2a n﹣1变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以a n=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3a n+1（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．【分析】（1）由题意可设数列{a n}的公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得2×=a3+a5，化为3q2﹣10q+3=0，解得q．（2）b n=log3a n+1=n，可得a n•b n=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可设数列{a n}的公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴2×=a3+a5，∴3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=log3a n+1=n，∴a n•b n=n•3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2S n=1+（3+32+…+3n﹣1）﹣n•3n=﹣n•3n．∴S n=+．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．A B C D E F G（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．【分析】（1）将硬币连续投掷三次，列举出所有的8种情况，由此能求出硬币连续投掷三次，筹码停在C处的概率．（2）筹码停在A或B或C或D处有4种情况，从而得到筹码停在A或B或C或D为，由此得到该约定对乙公平．【解答】解：（1）将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．∴硬币连续投掷三次，筹码停在C处的概率p=．（2）该约定对乙公平．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，DD1∥平面A1B1BA，DD1∥平面B1BCC1．（1）证明：DD1∥BB1；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，且BB1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，M，N分别为棱A1B1，B1C1的中点，求四面体D﹣MNB的体积．【分析】（1）利用线面平行的性质可证DD1∥AA1，DD1∥CC1，于是可得AA1∥平面BCC1B1，再利用线面平行的性质得出AA1∥BB1，从而由平行公理可得出DD1∥BB1；（2）连接AC，BD交点为O，取OB的中点E，设D1B1交MN于F，连接EF，则=V D﹣MNE+V B﹣MNE=S△MNE•DE+S△MNE•BE=S 可证DB⊥平面MNE，于是V D﹣MNB•DB．△MNE【解答】证明：（1）∵DD1∥平面A1B1BA，DD1⊂平面DD1A1A，平面DD1A1A∩平面A1B1BA=AA1，∴DD1∥AA1．同理可得DD1∥CC1，∴AA1∥CC1，又AA1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1，又AA1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴AA1∥BB1，又DD1∥AA1．∴DD1∥BB1．（2）连接AC，BD交点为O，取OB的中点E，设D1B1交MN于F，连接EF，∵M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，∴B1F BE，∴BB1∥EF，又BB1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥D1B1，∵四边形A1B1C1D1是菱形，∴D1B1⊥A1C1，∴D1B1⊥平面MNE，∴DB⊥平面MNE．∵六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，BB1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，∴MN=AC=，EF=2，BD=2，=V D﹣MNE+V B﹣MNE=S△MNE•DE+S△MNE•BE=S△MNE•DB=××∴V D﹣MNB2=．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线的斜率k=﹣1．（1）求a的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=﹣a=﹣1，解得a=1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l 的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l 的参数方程带入曲线C 的普通方程可得：（3sin 2α+1）+2cosα•t ﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲 23．（10分）已知实数a ，b ，c 均大于0．（1）求证：++≤a +b +c ；（2）若a +b +c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a ，b ，c 均大于0， ∴a +b ≥2，b +c ≥2，c +a ≥2，三式相加，可得：++≤a +b +c ；（2）∵a +b ≥2，b +c ≥2，c +a ≥2，∴≤++≤a +b +c=1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．第21页（共23页）设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22页（共23页）⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x第23页（共23页）①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题和答案详细解析

2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= ．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．19．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD（2）若二面角A ﹣EF ﹣C 是二面角，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 21．已知函数f （x ）=2lnx+ax ﹣（a ∈R ）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f （x ）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：zi=2﹣i，∴z===﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33【解答】解：∵Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．4．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解： =（1，cosα），=（sinα，1），若，可得•=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d==，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．故选：C．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点， =﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由⇒可得y2﹣y﹣4=0，y A +yB=，yAyB=﹣4，|yA﹣yB|=△AOB的面积为，可得： |yA ﹣yB|=，，解得k=|AB|=•，|yA ﹣yB|=．故选：A．11．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA =，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴xA ＜π≤xB，即＜π≤，解得．故选B．12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x），f′（x）=g′（x），即x02﹣2ax=a2lnx+b，3x﹣2a=由3x0﹣2a=得x=a或x=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，故b的最大值为．故选A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ﹣1 ．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1 ．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为π．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= 2n+2﹣4﹣．【解答】解：∵数列{an}中，，∴a2=0，n≥2时，an=2an﹣1+3n﹣4，∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1+3，化为an+1﹣an+3=2（an﹣an﹣1+3），a2﹣a1+3=2．∴数列{an ﹣an﹣1+3}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an ﹣an﹣1+3=2n，即an﹣an﹣1=2n﹣3．∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴Sn=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，∴，∴．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．分布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P 0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE ⊥平面ABCD ，∴∠BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角， ∴AB==2，∴tan．∴直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，∴由题意得，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，当x＞1时，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．四、解答题（共1小题，满分10分）的参数方程为，（其中φ为参22．在直角坐标系xOy中，曲线C1数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时， =∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。

山西省太原市2018届高三上学期期末考试数学理试题(解析版)

太原市2017～2018学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，所以.2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（）A. 93B. 123C. 137D. 167【答案】C【解析】.3.已知，都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.4.对于复数，定义映射.若复数在映射作用下对应复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】A【解析】，对应点，在第四象限.5.等差数列的前项和为，，，则（）A. 21B. 15C. 12D. 9【答案】B【解析】依题意有，解得，所以.6.已知，，，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.7.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，故8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的，，依次输入的为2,2,5，则输出的（）A. 10B. 12C. 60D. 65【答案】D【解析】，，判断否，，，判断否，，，判断是，输出.故选.9.展开式中的常数项为（）A. 1B. 21C. 31D. 51【答案】D【解析】常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为10.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.11.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，三棱锥的体积为12.已知函数，（），若对任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，画出图象如下图所示，由图可知，时不符合题意，故选.【点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查选择题的解题策略中的特殊值法.主要的需要满足的是，根据不等式的解法，大于在中间，小于在两边，可化简为，左右两边为二次函数，中间可以由对数函数图象平移得到，由此画出图象验证是否符合题意.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】函数在上为减函数，故最大值为.14.不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则__________．【答案】4【解析】原式【点睛】本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对后平方再开方，就可以计算出最后结果.15.已知，那么__________．【答案】2017【解析】，故，由此得.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.16.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,．则异面直线与所成角的余弦值为_____。

数学---山西太原市2016届四校联考高三(上)期末考试(理)

山西太原市2016届四校联考高三(上)期末(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝P B ．P ∪M C ．M ∩PD ．∁U (M ∪P )＝∅2．条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ≥2，则⌝ p 是⌝ q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．将函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π4B ．x ＝－π2C ．x ＝π8D ．x ＝π44．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．121B ．132C ．142D ．1545．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(－9)的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝64－4n5，设A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12|(n ∈N *)，当A n取得最小值时，n 的取值是( ) A ．16 B ．14 C ．12D ．108．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C ．1D ．49．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为2053π，则这个直三棱柱的体积等于( )A. 2B. 3 C ．2D. 510．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.12C.65D ．211．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若离心率e ＝5－12(e ≈0.618)，则称椭圆C 为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是( ) ①在黄金椭圆C 中，a ，b ，c 成等比数列；②在黄金椭圆C 中，若上顶点，右顶点分别为E ，B ，则∠F 1EB ＝90°；③在黄金椭圆C 中，以A (－a,0)，B (a,0)，D (0，－b )，E (0，b )为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点F 1，F 2.12．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，[－2]＝－2；若f ′(x )是函数f (x )＝ln|x |导函数，设g (x )＝f (x )·f ′(x )，则函数y ＝[g (x )]＋[g (－x )]的值域是( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{0}D ．{偶数}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z ＝3＋i 1－3i 2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝______.14．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6的展开式中含有x 2的项为______． 15．从甲，乙，丙，丁四个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为______． 16．已知数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0，若ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n 成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝5，则数列{k n }的通项公式k n ＝________.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分)设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值，并化简f (x )；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .18．(12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2 000]，(2 000,4 000]，(4 000,6 000]，(6 000,8 000]，(8 000,10 000]五组，并作出如下频率分布直方图(如图)：(1)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6 000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；(2)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关？附：临界值表参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.19.(12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．20．(12分)在空间中，取直线l 为轴，直线l 与l ′相交于O 点，夹角为30°，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面．已知直线l ∥平面α，l 与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y 轴，建立直角坐标系． (1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为22的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P ，过点P 作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M ，N ，试证明线段MN 的长为定值，并求出这个定值．21．(12分)设f (x )＝1＋a x 1－a x(a ＞0且a ≠1)，g (x )是f (x )的反函数．(1)设关于x 的方程log a t（x 2－1）（7－x ）＝g (x )在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；(2)当a ＝e(e 为自然对数的底数)时，证明：∑nk ＝2g (k )＞2－n －n 22n （n ＋1）；(3)当0＜a ≤12时，试比较|∑nk ＝1f (k )－n |与4的大小，并说明理由．四、选作题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (选修4－1：几何证明选讲)22．(10分)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点 E ，AD 交BC 于点F . (1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且A C ＝B C ，求∠BAC .(选修4－4：坐标系与参数方程)23．(10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N .(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．(选修4－5：不等式选讲)24．(10分)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C [P ＝{x |x ＞1或x ＜－1}，M ＝{x |x ＞1}， ∴M ∩P .]2．A [根据题意，|x ＋1|＞2⇔x ＜－3或x ＞1，则⌝ p ：－3≤x ≤1，又由题意，⌝ q ：x ≥2，则⌝ q 为x ＜2，所以⌝ p 是⌝ q 的充分不必要条件．]3．B [将函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin(2x ＋π6)的图象，再向右平移π3个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x ＝k π，即 x ＝kπ2，k ∈Z ，结合所给的选项可得只有B 满足条件．]4．B [由已知，程序的功能是利用循环结构，计算S ＝12×11的结果，并输出．所以S ＝12×11＝132.]5．C [根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的锥体， ∴该几何体的体积为V 几何体＝13S 底面h＝13×12×π×(42)2×3 ＝2π.]6．A [设f －1(－9)＝x ，则f (x )＝－9，设x ＞0，则－x ＜0. 当x ＜0时，f (x )＝(13)x ，∴f (－x )＝(13)－x ＝3x .∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－3x . ∴－3x ＝－9， ∴x ＝2.]7．D [由a n ＝64－4n 5，可得等差数列的首项为a 1＝12，公差d ＝－45，则数列{a n }为递减数列，由a n ＝64－4n5＝0，解得n ＝16.∴数列{a n }的前15项大于0，第16项等于0，第17及以后项均小于0. 而a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12|最小，此时n ＝10.] 8．B [不等式表示的平面区域阴影部分(图略)，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝54＋(5b 4a ＋a 5b )≥54＋1＝94.]9．B [设△ABC 和△A 1B 1C 1的外心分别为O 1，O 2，连接O 1O 2，可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点，连接OA ，OB ，OC ，O 1A ，O 1B ，O 1C ，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3，根据正弦定理，得△ABC 外接圆半径O 1A ＝BC2sin A ＝1.∵球O 的体积为V ＝4πR 33＝2053π，∴OA ＝R ＝5，在Rt △O 1OA 中，O 1O ＝OA 2－O 1A 2＝2，可得O 1O 2＝2O 1O ＝4，∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面积S △ABC ＝12AB ·AC sin 2π3＝34，∴直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为S △ABC ×O 1O 2＝ 3.]10．C [如图，延长AG 交BC 于点F ， ∵BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →， ∴AF 为边BC 上的中线， ∴AF →＝12AB →＋12AC →，又∵CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，且CD →∥AG →， ∴15∶(λ－1)＝12∶12， ∴15＝λ－1， ∴λ＝65.]11．D [对于①，由e ＝5－12，可得e 2＋e －1＝0，由e ＝ca，a 2－c 2＝b 2，可得c 2＋ac －a 2＝0，即ac ＝b 2，则a ，b ，c 成等比数列，故①正确；对于②，在黄金椭圆C 中，上顶点，右顶点分别为E (0，b )，B (a,0)，即有EF 1→＝(－c ，－b )，EB →＝(a ，－b )，由①知有EF 1→·EB →＝－ac ＋b 2＝0，则∠F 1EB ＝90°，故②正确；对于③，设内切圆的半径为r ，由四边形ADEB 的面积可为四个三角形的面积，可得12·2a ·2b＝4·12r ·a 2＋b 2，解得r ＝ab a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b 2＝ a 3ca 2＋ac＝a 2ca 2c＝c ，则内切圆过焦点，故③正确．] 12．A [由题意可知g (x )＝f (x )·f ′(x )＝⎩⎨⎧ln xx，x ＞0，ln （－x ）x ，x ＜0，不妨设x ＞0，则y ＝[g (x )]＋[g (－x )]＝[ln x x ]＋[ln x－x]，当ln x x ∈(0,1)时，则ln x －x∈(－1,0)，[ln x x ]＝0，[ln x－x ]＝－1，y ＝[g(x)]＋[g(－x)]＝－1，当ln x x ＝0时，则ln x －x ＝0，[ln x x ]＝0，[ln x －x ]＝0，y ＝[g(x)]＋[g(－x)]＝0，依此类推可得y ＝[g(x)]＋[g(－x)]的值域是{－1,0}．] 13.14解析化简得z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i1－23i ＋（3i ）2 ＝3＋i －2－23i ＝ 3＋i （－2＋23i ）（－2－23i ）（－2＋23i ）＝－43＋4i （－2）2－（23i ）2＝－43＋4i16＝－34＋14i ，故z ＝－34－14i ，所以z·z ＝(－34－14i )(－34＋14i )＝(－34)2－(14i )2＝14. 14．－192x 2解析 ∵a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－(cos π－cos 0)＝2，∴二项式(a x －1x )6＝(2x －1x)6的通项公式为 T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·(－1)k ·x －k 2＝(－1)k ·C k 6·26－k ·x 3－k ，令3－k ＝2，求得 k ＝1， ∴展开式中含有x 2的项为－192x 2. 15.23解析从甲，乙，丙，丁四个人中随机选取两人，共有(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，(丙丁)共六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，共四种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为46＝23.16.3n －1＋12解析 ∵数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0，ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n 成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝5， ∴a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，解得d ＝2，即a n ＝2n －1， ∴ak n ＝2k n －1，又∵等比数列a 1，a 2，a 5的公比为q ＝a 2a 1＝3，∴ak n ＝2k n －1＝3n －1，即k n ＝3n －1＋12.17．解 (1)f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sinx cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)，因为函数f (x )在x ＝π处取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，由诱导公式知sin φ＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝π2，所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)因为f (A )＝32，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6. 又因为a ＝1，b ＝2，所以由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，也就是sin B ＝b sin A a ＝2×12＝22，因为b ＞a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－π6－3π4＝π12.18．解 (1)由频率分布直方图可得，损失不少于6 000元的居民共有(0.000 03＋0.000 03)×2 000×50＝6(户)，损失为6 000～8 000元的居民共有0.000 03×2 000×50＝3(户)，损失不少于8 000元的居民共有0.000 03×2 000×50＝3(户)，因此，这两户在同一分组的概率为 P ＝C 23＋C 23C 26＝25. (2)如表：K 2＝50× 30×6－9×5 39×11×35×15＝4 0501 001＝4.046＞3.841. 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关．19．(1)证明在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC ·cos 60°＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴BC ⊥AC ，∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .(2)解由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，M (λ，0,1)， ∴AB →＝(－3，1,0)，BM →＝(λ，－1,1)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n1＝(1，3，3－λ)． ∵n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量 ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1 ＝1（λ－3）2＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12.∴cos θ∈[77，12]．20．(1)解如图，O ′为双曲线的中心，OO ′为轴l 与平面α的距离|OO ′|＝2，A 为双曲线的顶点，∠AOO ′＝60°，∴|O ′A |＝2 3.在轴l 上取点C ，使得|OC |＝43，过C 作与轴l 垂直的平面，交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D ，E ，DE 的中点为B ，由题意知，|CB |＝2，|CD |＝4，得|BD |＝23，从而双曲线的半实轴长为23，且过点(23，43)．设双曲线的标准方程为y 212－x 2b 2＝1，将点(23，43)代入方程得b 2＝4，∴双曲线的标准方程为y 212－x 24＝1.(2)证明在条件(1)下，双曲线Γ的两切线PM ，PN 都不垂直x 轴，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －x 0）＋y 0，y 212－x 24＝1消去y 得(k 2－3)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－12＝0，由Δ＝0，化简得(x 20＋4)k 2－2x 0y 0k ＋(y 20－12)＝0，令PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，由根与系数的关系得k 1k 2＝y 20－12x 20＋4，∵点P (x 0，y 0)在圆Γ′上，则有x 20＋y 20＝8，得y 20－12x 20＋4＝－1，∴k 1k 2＝－1，知PM ⊥PN ，线段MN 是圆O 的直径，|MN |＝4 2. 21．(1)解由题意，得a x ＝y －1y ＋1＞0，故g (x )＝log a x －1x ＋1，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，由log a t（x 2－1）（7－x ）＝log a x －1x ＋1得t ＝(x －1)2(7－x )，x ∈[2,6]，则t ′＝－3x 2＋18x －15＝－3(x －1)(x －5)．列表如下：所以t 最小值＝5最大值所以t 的取值范围为[5,32]．(2)证明 ∑nk ＝2g (k )＝ln 13＋ln 24＋ln 35＋…＋ln n －1n ＋1＝ln(13×24×35×…×n －1n ＋1)＝－ln n n ＋1 2.令u (z )＝－ln z 2－1－z 2z ＝－2ln z ＋z －1z，z ＞0，则u ′(z )＝－2z ＋1＋1z 2＝(1－1z )2≥0，所以u (z )在(0，＋∞)上是增函数，又因为n （n ＋1）2＞1＞0，所以u ( n （n ＋1）2)＞u (1)＝0，即ln 2n （n ＋1）－1－n （n ＋1）2n （n ＋1）2＞0，即∑nk ＝2g (k )＞2－n －n 22n （n ＋1）.(3)解设a ＝11＋p ，则p ≥1,1＜f (1)＝1＋a 1－a＝1＋2p ≤3，当n ＝1时，|f (1)－1|＝2p ≤2＜4，当n ≥2时，设k ≥2，k ∈N *，则f (k )＝（1＋p ）k ＋1（1＋p ）k －1＝1＋2（1＋p ）k －1＝1＋2C 1k p ＋C 2k p 2＋…＋C k k p k ，所以1＜f (k )≤1＋2C 1k ＋C 2k ＝1＋4k （k ＋1）＝1＋4k －4k ＋1，从而n －1＜∑nk ＝2f (k )≤n －1＋42－4n ＋1＝n ＋1－4n ＋1＜n ＋1，所以n ＜∑nk ＝1f (k )＜f (1)＋n ＋1≤n ＋4，综上所述，总有|∑nk ＝1f (k )－n |＜4. 四、选作题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(选修4－1：几何证明选讲)22．(1)证明因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)解因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF . 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为A C ＝B C ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.(选修4－4：坐标系与参数方程)23．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，方程ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，两边同乘以ρ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0)，直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2ax ，x －y －2＝0，消去y 并整理，得t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0，(*) Δ＝8a (4＋a )＞0.设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根．则|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|. 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，则有 (4＋a )2－5(4＋a )＝0，得a ＝1或a ＝－4. ∵a ＞0， ∴a ＝1.(选修4－5：不等式选讲)24．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －3|－|x －2|，当x ≥3时，f (x )≤－12，即(x －3)－(x －2)≤－12，即－1≤－12成立，则有x ≥3；当x ≤2时，f (x )≤－12，即(3－x )－(2－x )≤－12，即1≤－12，解得x ∈∅；当2＜x ＜3时，f (x )≤－12，即3－x －(x －2)≤－12，解得x ≥114，则有114≤x ＜3.则原不等式的解集为[114，3)∪[3，＋∞)，即[114，＋∞)．(2)由绝对值不等式的性质可得||x －3|－|x －a ||≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|，即有f (x )的最大值为|a －3|.若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则有|a －3|≥a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，a －3≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，3－a ≥a ，解得a ∈∅或a ≤32.则a 的取值范围是(－∞，32]．。

山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题含解析

太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则AB =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3- D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x +的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 A.34 B. 74 C. 214 D. 25411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A.56π B.34π C.23πD.35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221nn n S a n N*=-+∈，则其通项公式na= .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S . 18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=；（2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由. 20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B B C 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -53cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x xf x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈（1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明：()112m n m n e e+<+. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)

山西省太原市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·闽侯期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·山西月考) 在中，角，，所对的对边分别为，，，若，则（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°4. （2分）(2018·长安模拟) 如果实数满足条件，那么的最大值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 设a=（），b=（），c=log3 ，则a，b，c的大小关系是（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜c＜a6. （2分）(2017·通化模拟) 命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＞3x；命题q：∃x∈（0，+∞），＞x3；则下列命题中真命题是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . （￢p）∨（￢q）D . p∧（￢q）7. （2分）(2014·辽宁理) 将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A . 在区间[ ， ]上单调递减B . 在区间[ ， ]上单调递增C . 在区间[﹣， ]上单调递减D . 在区间[﹣， ]上单调递增8. （2分）(2017·揭阳模拟) 若 =（cos20°，sin20°）， =（cos10°，sin190°），则• =（）A .B .C . cos10°D .9. （2分）(2017·和平模拟) 已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A . [0，4]B . （0，4）C . （4，5）D . （0，5）10. （2分）过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）已知随机变量ξ满足Dξ=2，则D（2ξ+3）=________．12. （1分） (2017高一下·会宁期中) 求值：2log3 +log312﹣0.70+0.25﹣1=________．13. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．14. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．15. （2分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以x+y为其一条渐近线，则双曲线方程为________ 过其右焦点且长为4的弦有________ 条．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．17. （10分） (2016高二下·阳高开学考) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．18. （15分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．19. （10分）四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．20. （10分）(2018·河南模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于不同两点， . 为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.21. （5分） (2017高一下·景德镇期末) 设函数f（x）= ﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2 ， f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在 x1 ，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。

山西省太原市高三数学上学期期末考试试题文

太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则AB =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}1 2.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i + 3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 A.,//m n m n αα⊥⇒⊥ B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒ C. //,////m n m n αα⇒ D. //,m n m n αα⊥⇒⊥5.已知sin αα=，则tan 2α=B. 6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3C. 4D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π=- B. 4x π=- C.3x π= D.2x π=9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD相交于点F ，则AF =A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10.甲、乙两位同学约定周日早上8:00—8:30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为A.23 B. 13 C. 29 D. 7911.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A.56π B. 34π C. 23π D. 35π12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a -与2a b +的夹角为 .15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=；（2）若120,2,1B A C A B A C ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .（1）证明：11//DD BB ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -的棱长均为2，且1BB ⊥平面A B C D ，60,,BAD M N ∠=分别为棱1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x xf x ax x a R e=-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =- （1）求a 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题答案

2017 届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分 36 分）1．已知会合 A={ x| y=lg（ x+1） } ， B={ x|| x| ＜2} ，则 A∩ B=（）A．（﹣ 2，0）B．（0，2） C．（﹣ 1，2）D．（﹣ 2，﹣ 1）【解答】解：由 x+1＞0，得 x＞﹣ 1∴ A=（﹣ 1， +∞），B={ x|| x| ＜ 2} =（﹣ 2，2）∴ A∩ B=（﹣ 1， 2）．应选： C2．已知 zi=2﹣ i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣ 1，﹣ 2）B．（﹣ 1， 2） C．（ 1，﹣ 2）D．（1，2）【解答】解： zi=2﹣ i，∴ z===﹣1﹣2i，∴复数 z 在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣ 2），应选： A．3．已知 S n是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 2（ a1+a3+a5）+3（a8+a10） =36，则 S11=（）A．66 B．55 C．44D．33【解答】解：∵ S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和， 2（ a1 +a3+a5） +3（a8+a10）=36，∴2（ a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得 a1+5d=3．∴ a6=3，∴ S11=6．==11a =33应选： D．4．已知=（ 1， cos α）， =（sin α，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解：=（ 1， cosα）， =（ sin α，1），若，可得? =sin α+cosα=0，即有 tan α==﹣1，由 0＜α＜π，可得α= ．应选： B．5．函数的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解： f（﹣ x）==﹣=﹣ f（ x），∴函数 f（x）为奇函数，则图象对于原点对称，故排A， B，当 x=时，f（）==应选： D6．已知圆 C：x2+y2=1，直线 l：y=k（x+2），在 [ ﹣1，1] 上随机选用一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆 C：x2+y2=1 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1；且圆心到直线 l：y=k（ x+2）的距离为d==，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r ，∴＞1，解得 k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．应选： C．7．履行如图框图，已知输出的s∈[ 0， 4] ，若输入的 t∈ [ m， n] ，则实数 n﹣ m 的最大值为（A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟履行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈0，4，[]当 m=0 时， n∈[ 2，4] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，当 n=4 时， m∈[ 0，2] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，因此实数 n﹣m 的最大值为 4．应选： D．8．某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为21=，2π?1?2 π?1++++应选 D．9．已知 D=，给出以下四个命题：P1： ? （x，y）∈ D， x+y+1≥0；P2： ? （x，y）∈ D， 2x﹣y+2≤0；P3： ? （x，y）∈ D，≤﹣4；P4： ? （x，y）∈ D， x2+y2≤ 2．此中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1： A（﹣ 2，0）点，﹣ 2+0+1=﹣1，故 ? （x，y）∈ D，x+y≥ 0 为假命题；p2： A（﹣ 1，3）点，﹣ 2﹣3+2=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，2x﹣y+2≤0 为真命题；p3： C（ 0， 2）点，=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣ 1， 1）点， x2+y2=2故 ? （x，y）∈ D，x2+y2≤2 为真命题．可得选项 p2，p4正确．应选： C．10．已知抛物线 y2=4x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于A、B 两点，O 为坐标原点，若△ AOB的面积为，则| AB| =（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点为 F（ 1，0），设过焦点 F 的直线为： y=k（x﹣1），由? 可得 y2﹣y﹣ 4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，| y A﹣y B| =△ AOB的面积为，可得：| y A﹣y B| =，，解得 k=| AB| =?， | y A﹣y B| =．应选： A．11．已知函数 f（x）=sin ωx﹣cos ωx（ω＞ 0），若方程 f （x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，] D．（，]【解答】解： f（x） =2sin（ωx﹣），作出 f （x）的函数图象以下图：令 2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣2kπ，或ωx﹣ =2kπ，++∴ x=+，或 x=+k Z，， ?设直线 y=﹣1 与 y=f（ x）在（ 0，+∞）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 x A=，x B=，∵方程 f（x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，∴ x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．应选 B．12．设函数 f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程同样，则实数 b 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设 y=f（x）与 y=g（ x）（x＞0）在公共点 P（x0，y0）处的切线同样、f （′x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意 f（x0） =g（x0），f ′（x0）=g′（x0），即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由 3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有 b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令 h（t） =﹣ t2﹣t2 lnt（ t＞0），则 h′（t） =2t（ 1+lnt ），于是当 2t（1+lnt ）＞ 0，即 0＜t＜时， h′（ t）＞ 0；当 2t（1+lnt）＜ 0，即 t ＞时， h′（t ）＜ 0．故 h（t）在（ 0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是 h（t ）在（ 0， +∞）的最大值为h（）=，故 b 的最大值为．应选 A．二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【解答】解：依据题意，，则 + =（1+t ，0），﹣=（1﹣t ，﹣ 2），若，则有（ 1+t）×（﹣ 2）=（1﹣t ）× 0=0，解可得 t=﹣1；故答案为：﹣ 1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【解答】解：依据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则能够设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有 1﹣=m，解可得 m=﹣ 1，则其方程为： x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣ x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥 A﹣BCD中， BC⊥CD， AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体π ．【解答】解： BC⊥CD， BC=1， CD=，∴ DB=2又因 AB=AD=，∴△ ABD是直角三角形．取 DB 中点 O， OA=OB=OC=OD=1∴ O 三棱外接球的球心，外接的半径R=1，∴ 三棱外接球的体π，故答案：π．16．已知数列 { a n} 中，，其前n和S n=2n+2 4．【解答】解：∵数列 { a n } 中，，∴a2=0，n≥2 ， a n=2a n﹣1 +3n 4，∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1+3，化 a n+1 a n+3=2（a n a n﹣1+3），a2 a1+3=2．∴数列 { a n a n﹣1 +3} 是等比数列，首 2，公比 2．∴a n a n﹣1+3=2n，即 a n a n﹣1 =2n 3．∴a n=（ a n a n﹣1）+（a n﹣1 a n﹣2）+⋯+（ a2 a1）+a1=2n 3+2n﹣1 3+⋯+22 3 1= 3（n 1） 1=2n+13n 2．∴ S n=3×2n=2n+2﹣4﹣．故答案为： 2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知 a，b，c 分别是△ ABC的内角 A， B，C 所对的边， a=2bcosB， b≠ c．（1）证明： A=2B；（2）若 a2+c2=b2+2acsinC，求 A．【解答】解：（1）证明：△ ABC中， a=2bcosB，由，得 sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜ A， B＜π，∴ sinA=sin2B＞ 0，∴ 0＜ 2B＜π，∴A=2B或 A+2B=π，若 A+2B=π，则 B=C，b=c 这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠ π；∴A=2B；（2）∵ a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得 cosB=sinC，∵ 0＜ B， C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（ 1）得 A=2B，∴，∴．18．某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵．某汽车经销商推出 A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采纳上述分期付款的客户进行统计剖析，获取以下的柱状图．已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获取的收益分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购置此品牌汽车一辆．以这100 位客户所采纳的分期付款方式的频次取代 1 位客户采纳相应分期付款方式的概率．（ 1）求甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率；（ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，求 X 的散布列与希望．散布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35， P（ B） ==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率：p=1﹣ [ P（A）?P（A）+P（ B） ?P（B）+P（C）?P（ C） ] =0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，则 X 的可能取值为 2，3，4，5，6，P（X=2） =P（A）P（A）=0.35× 0.35=0.1225，P（X=3） =P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（ A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5） =P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2× 0.45=0.18，P（X=6） =P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴ X 的散布列为：X23456P0.12250.3150.34250.180.04E（X）=0.1225×2 0.315×3 0.3425× 4 0.18× 5 0.04× 6=3.7．++++19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面 ACF⊥平面 BEFD（2）若二面角 A﹣EF﹣ C 是二面角，求直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面 ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴ AC⊥平面 BEFD，∵AC? 平面 ACF，∴平面 ACF⊥平面 BEFD．解：（ 2）设 AC 与 BD的交点为 O，由（ 1）得 AC⊥BD，分别以 OA，OB 为 x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系，∵BE⊥平面 ABCD，∴ BE⊥BD，∵DF∥BE，∴ DF⊥BD，222∴ BD=EF﹣（ DF﹣BE） =8，∴ BD=2 ．设 OA=a，（ a＞ 0），由题设得 A（a，0，0），C（﹣ a， 0， 0），E（0，），F（0，﹣，2），设 m=（x， y， z）是平面 AEF的法向量，则，取 z=2，得=（），设是平面 CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角 A﹣EF﹣ C 是直二面角，∴=﹣ +9=0，解得 a= ，∵BE⊥平面 ABCD，∴∠ BAE是直线 AE与平面 ABCD所成的角，∴ AB==2，∴ tan．∴直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C订交于A、P两点，与 x 轴、 y 轴分别订交于点 N 和 M ，且 PM=MN，点 Q 是点 P 对于 x 轴的对称点， QM 的延伸线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 A1、B1（1）求椭圆 C 的方程；（2）能否存在直线 l，使得点 N 均分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得 a2，2，=4 b =3∴椭圆 C 的方程为．（ 2）假定存在这样的直线l：y=kx+m，∴ M（0，m ），N（﹣，0），∵ PM=MN，∴ P（，2m），Q（），∴直线 QM 的方程为 y=﹣3kx+m，设 A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设 B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴ x2+ =，∴2﹣，x =∵点 N 均分线段 A1 1，B ，∴∴﹣=﹣，∴ k=，∴ P（± 2m，2m），∴，解得m=，∵ | m| =＜b=，∴△＞0，切合题意，∴直线 l 的方程为 y=．21．已知函数 f（x）=2lnx+ax﹣（a∈ R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（ 1）议论函数 f （x）的单一性（ 2）若不等式恒成立，务实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（f x）=2lnx ax﹣（ a∈R），求导 f（′x）= a，++ +当 x=2 时， f ′（ 2） =1+a+f ′（2），∴ a=﹣1，设切点为（ 2，2ln2+2a﹣2f ′（2）），则切线方程y﹣（ 2ln2+2a﹣2f ′（2）） =f ′（2）（ x﹣2），将（﹣ 4，2ln2）代入切线方程， 2ln2﹣2ln2﹣2a+2f （′2））=﹣6f （′ 2），则 f （′2）=﹣，∴ f （′ x）= ﹣ 1﹣ =≤ 0，∴ f（x）在（ 0， +∞）单一递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx）＞ m，+令φ x）=2lnx，（ x＞ 0）求导φ′（x）= ﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，（+∴ φ（ x）在（ 0，+∞）单一递减，由φ（1）=0，则当 0＜x＜1 时，φ（x）＞ 0，当 x＞1 时，φ（ x）＜ 0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数 m 的取值范围（﹣∞， 0] ．四、解答题（共 1 小题，满分 10 分）22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（，此中φ为参数），曲线，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，射线 l：θ=α（ρ≥0）与曲线 C12，C 分别交于点 A，B（均异于原点 O）（ 1）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求OA2OB 2的取值范围．||+||【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线 C1的极坐标方程为，∵ x2+y2﹣ 2y=0，∴曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin；θ2）由（ 1）得，OB222α（ρ||==4sin，∴∵，∴ 1＜ 1+sin2α＜，∴，2∴| OA| 2+| OB| 2的取值范围为（ 2，5）．五、解答题（共 1 小题，满分 0 分）23．已知函数（1）若不等式 f （x）﹣ f（ x+m）≤ 1 恒成立，务实数 m 的最大值；（2）当 a＜时，函数 g（x） =f（x）+| 2x﹣ 1| 有零点，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣ f（x+m ）=| x﹣a| ﹣ | x+m﹣ a| ≤| m| ，∴| m| ≤1，∴﹣ 1≤m≤1，∴实数 m 的最大值为 1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数 a 的取值范围是．。

太原市高三上学期期末数学试卷(理科)D卷(模拟)

太原市高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合，，则（）A . （－1,1）B . （－1,3）C .D .2. （2分）若三点共线，则有（）A .B .C .D .3. （2分）若等差数列满足，则的最大值为（）A . 600B . 500C . 800D . 2004. （2分）(2018·陕西模拟) 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称5. （2分） (2016高一下·舒城期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若，则S5等于（）A . 1B .C .D .6. （2分） (2017高一上·巢湖期末) 设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）A . （0，2）B . （﹣∞，0）C . （1，+∞）D . （1，3）7. （2分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有，则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为1D . K的最小值为18. （2分）(2017·厦门模拟) 设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点处取得最大值，则a的值可以为（）A . ﹣8B . ﹣4C . 4D . 89. （2分） (2018高二下·中山月考) 计算（其中）的结果为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·芮城期末) 若，则一定有（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设等差数列{an}满足（1﹣a1008）5+2016（1﹣a1008）=1，（1﹣a1009）5+2016（1﹣a1009）=﹣1，数列{an}的前n项和记为Sn ，则（）A . S2016=2016，a1008＞a1009B . S2016=﹣2016，a1008＞a1009C . S2016=2016，a1008＜a1009D . S2016=﹣2016，a1008＜a100912. （2分）(2017·石嘴山模拟) 函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜ |）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0， ]上的最小值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·海安模拟) 设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝11，则S20的值为________．14. （1分）(2017·山东模拟) 已知 =（1，1）， =（2，n），若| + |= • ，则n=________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“ ”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数m的取值范围是________16. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则的大小关系为________.（用“<”连接）三、解答题. (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·襄阳期中) 设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1 ，m∈（1，2）．（1）若a= ，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2） q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）= sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．19. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求的值20. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知等差数列的公差不为零，且满足，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．21. （15分） (2016高二上·淮南期中) 设，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2016高二下·福建期末) 已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）若点M的直角坐标为（2，），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．23. （10分）(2017·榆林模拟) 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M（1）试比较ab+1与a+b的大小（2）设max表示数集A的最大数，h=max{，， }，求证h≥2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

太原市高三上学期期末数学试卷(理科)D卷(考试)

太原市高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,如果,则m等于（）A . -1B . -2C . -2或-1D .2. （2分）设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A . 1B . －1C . iD . －i3. （2分）变量x，y有观测数据(xi ， yi)(i＝1,2，，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui ， vi)(i ＝1,2，，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断（）A . 变量x与y正相关，u与v正相关B . 变量x与y正相关，u与v负相关C . 变量x与y负相关，u与v正相关D . 变量x与y负相关，u与v负相关4. （2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sinxB . y=sin2xC . y=tan2xD . y=cos2x5. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知函数f（x）=a（x+a）（x﹣a+3），g（x）=2x+2﹣1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （2，3）C . （﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D . （0，2）6. （2分）给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，则；④若，，，，，则.其中为假命题的是（）A . ①B . ②C . ④7. （2分）如果二次函数不存在零点，则m的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A . -10B . 6C . 14D . 189. （2分）(2016·遵义) 已知点满足方程，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A .B .D .10. （2分）设,则这四个数的大小关系是（）A .B .C .D .11. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A . 12πB . 4πC . 3πD . 12π12. （2分） (2017高一上·昌平期末) 如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A . ω= ，A=3B . ω= ，A=5C . ω= ，A=5D . ω= ，A=3二、二.填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·深圳月考) 已知是顶点为腰长为的等腰直角三角形，为平面内一点，则的最小值是________．14. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 已知，则项的二项式系数是________； ________.15. （1分） (2017高一下·滨海期末) 从1，2，3，4，5五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为6的概率是________．16. （1分）设曲线y=ex在点（0,1）处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________ 。

2015-2016太原市第一学期高三期末试卷_共8页

太原市2015~2016学年第一学期高三年级期末考试化学试卷（考试时间：下午2:30——4:30）说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Cl 35.5 Zn 65 Ag 108第I卷（选择题共74分）一、选择题（本题包括18小题，每小题3分，共54分。

每小题只有一个选项符合题意要求，请将正确选项的序号填在第I卷答题栏内）1.2015年10月，中国中医研究员屠呦呦因发现并提取出青蒿素（结构如图所示）而获得了诺贝尔医学奖。

她发现的青蒿素用以治疗疟疾，挽救了数百万患者的生命。

下列关于青蒿素的叙述正确的是A.青蒿素难溶于水B.青蒿素的摩尔质量为282C.青蒿素属于天然高分子化合物D.青蒿素中C、H、O三种元素的质量比为15：22：52.下列各组中两种气体所含原子数一定相等的是A.温度相同、体积相同的O2和N2B.压强相同、体积相同的H2和O2C.质量相等、密度不等的N2和COD.体积相等、密度相等的CO和C2H43.设N A表示阿伏加德罗常数的数值。

下列说法正确的是A.1 mol —OH与1mol OH-所含的电子数均为9 N AB.室温下，21.0 g乙烯和丁烯的混合气体中含有的碳原子数1.5 N AC.标准状况下，22.4 L Cl2与足量的Fe完全反应，转移的电子数为9 N AD.一定条件下，0.1 mol SO2与足量的氧气反应生成SO3，转移的电子数为0.2 N A4.根据键能数据估算CH4(g)+4F2(g) = CF4(g)+4HF(g)的反应热△H为化学键C-H C-F H-F F-F键能/（kJ·mol-1）414489565155A.-485 kJ·mol-1B.+485 kJ·mol-1C.+1940 kJ·mol-1D.-1940 kJ·mol-15.下列关于有机物的叙述，不正确的是A.C 4H 8O 2的酯共有4种结构B.淀粉和纤维素互为同分异构体C.乙醇和葡萄糖都能发生氧化反应D.油脂在碱性条件下的水解反应称为皂化反应6.下列说法正确的是A.金属腐蚀的实质是金属被氧化B.为保护地下铁管不受腐蚀，应将其与直流电源的正极相连C.钢铁因含杂质而容易发生电化学腐蚀，所以合金都不耐腐蚀D.原电池反应是导致金属腐蚀的主要原因，故不能用来减缓金属的腐蚀7.下列指定反应的离子方程式正确的是A.向烧碱溶液溶解铝土矿中的中氧化铝：Al 2O 3+2OH -=2AlO- 2+H 2↑B.用过量氨水吸收烟道气中的SO 2：SO 2+2NH 3·H 2O=SO2- 3+2NH+ 4+H 2OC.将饱和FeCl 3溶液滴入沸水中制取Fe(OH)3胶体：Fe 3+＋3H 2O ⇌Fe(OH)3↓+3H +D.用Fe 2+将饮用水（pH 约为7）中少量ClO- 2还原成为Cl -：4Fe 2++ClO- 2+4H +=4Fe 3++Cl -+2H 2O8.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.0.1 mol ·L-1 FeCl3溶液：Na +、H +、I -、SCN -B.使酚酞试液变红的溶液：Na +、K +、HSO- 3、ClO -C.加入Al 能放出H 2的溶液:Cl -、NO3-、Na +、NH 4+D.水电离的c (H +)=1×10-12 mol ·L -1的溶液：K +、Ba 2+、Cl -、Br -9.铅的冶炼过程大致如下：①富集：将方铅矿(PbS)进行浮选；②焙烧：2PbS ＋3O 22PbO ＋2SO 2；③制粗铅：高温===PbO ＋C Pb ＋CO↑，PbO ＋CO Pb ＋CO 2。

高三数学上学期期末考试试题理1 (3)

太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数12z i =+，则22||z z =A.3455i - B. 3455i -+ C. 415i + D.1 3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s =A. -2B. -3C. 4D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视不可能是8.将函数()23sin cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A.56π B. 34π C. 23π D. 35π 12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=；（2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B B C 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB .（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为53cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明：()112m n m n e e+<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2016-2017学年山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案

2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．13．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n=．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z2=（1+2i）2=﹣3+4i，|z2|==5，则==+i．故选：B．3．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n ﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{a n+b n}为等差数列，正确．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，因此数列{a n•b n}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．4．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β【分析】A，选项中，若果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α；B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β；C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β；D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，；【解答】解：对于A，选项中，如果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α，故错；对于B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，正确；故选：D．5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出t an2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．7．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，故A，B，D有可能；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角正方形，但对角线应从左上到右下；故该棱锥的俯视图不可能是C，故选：C．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin （x﹣）+，令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[﹣+2kπ，2kπ+]，k ∈Z，取k=0，可得：x∈[﹣，]．故选：A．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD 交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．【解答】解：平面区域D=，如图：命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则：∀（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x﹣2y，可得，当直线3x﹣2y=z，经过Q时，z由最大值，由解得Q（，），z的最大值就是m的最小值：．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a 有两个正根，设g（x）=﹣，求导，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax2=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，x＞0，求导g′（x）=﹣=﹣=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使﹣=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为960．【分析】由题设中的条件知，可以先把甲、乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙、丁不相邻，可把甲、乙看作是一个人，与丙、丁之外的3个人作一个全排列，由于此4个元素隔开了5个空，再由插空法将丙、丁两人插入5个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将甲、乙绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的3人看作4个元素做一个全排列有A44种站法，此时隔开了5个空，第三步将丙丁两人插入5个空，排法种数为A52则不同的排法种数为2×A44×A52=960．故答案为：960．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得a n．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；=2a n﹣1﹣2n﹣1+1，S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n﹣1+1）②当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n﹣1=a n，即a n﹣2a n=2n﹣1，﹣1变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以a n=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为1+．【分析】由已知及三角形面积公式，余弦定理可求+=2sin（A+），进而可求的最大值．==a2=bcsinA，可得：a2=2bcsinA，【解答】解：由题意可得：S△ABC又∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2bcsinA=b2+c2﹣2bccosA，∴同除以bc，可得：+=+=2sin（A+），∴可得的最大值为1+．故答案为：1+．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，可得a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，∴a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1．3S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=1+2×﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=1+（n﹣1）•3n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．【分析】（1）利用将硬币连续投掷三次，列举出所有8种情况，筹码停在A或B 或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为，从而得到该约定对乙公平．（2）乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，求出E（X）=＞30，从而该规定对甲有利．【解答】解：（1）该约定对乙公平．将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．（2）该规定对甲有利．根据（1）中所列的8种情况可得乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，P（X=20）=，P（X=25）=，P（X=30）=，P（X=45）=，P（X=55）=，可得分布列为：E（X）==＞30，∴该规定对甲有利．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．【分析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1，DQ⊥BB1，由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1⊂平面A1B1BA，得DP⊥BB1，由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，得DQ⊥BB1，又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD．解：（2）由AB=AD=，且cos∠BAD=，在△ABD中利用余弦定理得BD=2，设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），M（1，，），N（﹣1，，），C（﹣2，0，0），A1（2，0，），A（2，0，0），B1（0，1，），D1（0，﹣1，），设平面BMN的法向量为=（a，b，c），=（1，﹣），=（﹣2，0，0），则，取b=10，得=（0，10，），设平面AB1D1的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，1，），=（0，﹣2，0），则，取x=5，得=（5，0，2），∴cosθ==．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）==b+1+，解得a=1，b=﹣1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l的参数方程带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosα•t﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，∴a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，三式相加，可得：++≤a+b+c；（2）∵a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，∴≤++≤a+b+c=1．。