中考数学复习指导：走进中考圆计算问题

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圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

圆的有关计算中考复习

圆的有关计算中考复习圆是我们学习几何的重要内容之一，在中考中经常会考到与圆有关的问题。

下面我将为大家总结一下与圆相关的一些重要知识点和解题技巧。

一、圆的基本概念1.圆的定义：平面上距离一个定点（圆心）固定距离（半径）的所有点的集合。

2.圆的元素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、割线等。

3.小提琴引理：对于平面上任意两点A、B，圆中心O，如果AB是圆的直径，则A、B、O三点共线。

二、圆的性质1.圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

2.圆的面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积。

3.判定两条线段构成一个圆的条件：两条线段的长度相等。

三、圆的判定1.一个点在圆内的判定：如果一个点到圆心的距离小于半径，那么这个点就在圆内。

2.一个点在圆上的判定：如果一个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上。

3.一个点在圆外的判定：如果一个点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外。

四、圆与其他几何图形的关系1.圆与直线的关系：圆的切线垂直于直线。

2.圆与角的关系：角内接于圆上的弧的长度是角的两倍。

3.圆与四边形的关系：四边形内切于圆的条件是四个内角顶点的对角线交点在圆的圆心上。

五、圆的相关定理和公式1.弧长定理：圆的弧长等于圆心角的度数与整圆面积的比值。

2.弧度制和角度制的换算公式：弧度制的角度=（角度制的角度×π）/180，角度制的角度=（弧度制的角度×180）/π。

3.圆心角的计算：圆心角的度数等于弧度制中的弧所对的角的弧度数。

六、圆的运用问题1.圆的位置问题：题目中给出了圆心、半径或者其他与圆有关的点的位置关系，要求求解其他未知量。

2.圆的面积和周长问题：题目中给出了圆的面积或者周长，要求求解半径或者直径等未知量。

3.动点问题：题目中给出了与圆有关的动点，要求求解动点所在的位置。

以上就是与圆相关的一些重要知识点和解题技巧，在中考复习中遇到与圆有关的问题时，可以根据这些知识点和技巧进行解题思路的整理和方法的选择，希望能对大家的复习有所帮助。

2024年中考重点之圆的基本性质与计算

2024年中考重点之圆的基本性质与计算圆作为几何图形中的重要概念，在数学中起着重要的作用。

本文将探讨圆的基本性质和计算方法。

一、圆的定义与特点圆由一个固定的点（圆心）和到该点距离相等的所有点（圆周）组成。

圆的基本特点包括：1. 圆心距：圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于圆的半径。

2. 直径：穿过圆心的线段，且两端的点都在圆上。

直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆周上的一段弯曲线段，两个端点属于圆上。

4. 弦：连接圆上任意两点的线段。

二、圆的基本计算公式1. 圆的周长：圆的周长也称为圆的长度，可以用公式C = 2πr来计算，其中r代表圆的半径，π取近似值3.14或3.1416。

2. 圆的面积：圆的面积可以用公式A = πr²来计算，其中r代表圆的半径，π取近似值3.14或3.1416。

三、圆的性质与定理1. 圆的各条弦的性质：- 弦长相等的弦，其对应的弧长也相等。

- 相等弧周角（一个圆心角）所对的弦等长。

- 垂直弦上的两个弧的和等于180度。

2. 圆周角定理：- 圆周角等于其对应的圆心角的一半。

3. 切线与弦的性质：- 切线与半径垂直相交。

四、圆的常见应用圆作为数学中常见的几何图形，在实际应用中也有广泛的运用，如：1. 圆形的轮胎和车轮：圆的旋转特性使得车辆能够平稳行驶。

2. 圆形的钟表和计时器：钟表和计时器的盘面通常为圆形，通过刻度和指针来进行时间的测量和记录。

3. 圆形的器皿和容器：如圆形的盘子、碗、杯子等，常见于生活中的餐具和容器。

综上所述，圆作为几何图形的重要概念，具有许多基本性质和特点，并且在实际生活中有广泛的应用。

熟练掌握圆的基本性质和计算方法，将有助于中考数学题目的解答和实际问题的解决。

同学们要通过大量的练习和实践，深入理解圆的性质与计算，从而在中考中取得好的成绩。

中考复习圆的计算技巧

中考复习圆的计算技巧圆是数学中一个重要的几何形状，我们在中考复习中经常会遇到与圆相关的计算题目。

正确掌握圆的计算技巧能够帮助我们更好地解决这类题目。

本文将介绍一些常用的圆的计算技巧，旨在帮助同学们在中考中取得好成绩。

一、圆的周长和面积计算1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界一周的长度。

周长的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径，π约等于3.14。

根据这个公式，我们可以很方便地计算出圆的周长。

例题1：一个圆的半径为10cm，求其周长。

解：根据公式C = 2πr，将半径r代入公式得到C = 2 × 3.14 × 10 ≈ 62.8cm。

因此，该圆的周长约为62.8cm。

2. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。

面积的计算公式为：S = πr²，其中r为圆的半径，π约等于3.14。

通过这个公式，我们可以轻松地计算圆的面积。

例题2：一个圆的半径为8cm，求其面积。

解：根据公式S = πr²，将半径r代入公式得到S = 3.14 × 8² ≈ 200.96cm²。

因此，该圆的面积约为200.96cm²。

二、圆的问题转化与利用有时候，我们在解决与圆相关的问题时，可以通过一些转化和利用的方法简化计算过程。

1. 圆的问题转化为正方形或矩形在某些情况下，圆的问题可以转化为正方形或矩形的问题来解决。

例如，一个圆在某一平面上切割得到的扇形，可以转化为一个与之相似的矩形，从而简化计算过程。

例题3：一个半径为6cm的圆被切割成扇形，其圆心角为60°。

求该扇形的面积。

解：将扇形转化为与之相似的矩形，可以发现圆心角60°正好是矩形的1/6，而圆的面积与扇形的面积之间的比例为1:6。

因此，扇形的面积等于圆的面积除以6。

根据例题2的计算结果，该圆的面积为200.96cm²，将其除以6得到扇形的面积约为33.49cm²。

重难点07 圆中的计算及其综合(解析版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)

重难点07圆中的计算及其综合圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°，∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32°B．42°C．48°D．52°【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝35°．【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∵点O为△ABC的内切圆的圆心，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∴∠AOB＝125°，∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，∴∠OGE＝90°，∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35°．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（）A．40°B．25°C．40°．D．30°【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠ABC＝50°，再根据已知易得：＝，从而可得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠ABD＝25°，即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝50°，∵点D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，∴∠ACD＝∠ABD＝25°，故选：B．3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】先利用圆周角定理可得∠AOB＝106°，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝37°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝53°，∴∠AOB＝2∠ACB＝106°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝37°，∵∠CAB＝17°，∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝20°，故选：C．4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B 两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数60°．【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：由图可知：∠P＝30°，∵＝，∴∠AOB＝2∠P＝60°，故答案为：60°．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是62.5°．【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OA，OC是△ABC的角平分线，∴，．∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∴，∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，∴．故答案为：62.5°．题型02“知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CDAB；③OM=ON；④FE∠=∠；⑤CODAOB∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

考点19与圆有关的计算-中考数学考点一遍过

考点19与圆有关的计算-中考数学考点一遍过考点19：与圆有关的计算在中考数学中，与圆有关的计算是一个重要的考点。

掌握了这个考点，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。

一、圆的周长和面积的计算圆的周长C和面积S是圆的两个重要的数学量。

它们可以通过半径r或直径d来计算。

1.圆的周长C的计算：圆的周长C可以通过下面的公式计算：C=2πr或C=πd其中，π取近似值3.142.圆的面积S的计算：圆的面积S可以通过下面的公式计算：S=πr²或S=(π/4)d²其中，π取近似值3.14例题1：一个圆的直径为14cm，求其周长和面积。

解：已知直径d=14cm，半径r=d/2=14/2=7cm。

根据公式可得：C = πd = 3.14 × 14 ≈ 43.96cmS = πr² = 3.14 × 7² ≈ 153.86cm²二、圆的弧长和扇形面积的计算除了圆的周长和面积，还有两个与圆有关的重要计算量：圆的弧长和扇形面积。

1.圆的弧长L的计算：当所给定的角度为α（单位为度）时，弧长L可以通过下面的公式计算：L=（α/360）×2πr其中，α为角度，r为半径。

2.扇形的面积A的计算：当所给定的角度为α（单位为度）时，扇形的面积A可以通过下面的公式计算：A=（α/360）×πr²其中，α为角度，r为半径。

例题2：一个半径为10cm的扇形的角度为72°，求其弧长和面积。

解：已知r=10cm，α=72°。

根据公式可得：L = （α/360）× 2πr = （72/360）× 2 × 3.14 × 10 ≈37.68cmA = （α/360）× πr² = （72/360）× 3.14 × 10² ≈ 157cm²三、圆的坐标计算圆在平面直角坐标系中可以通过圆心的坐标和半径来确定。

中考数学复习考点知识与典型题专题讲解25 圆的问题

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题25圆的问题中考数学复习考一、与圆有关的概念与规律1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10. 点和圆的位置关系：① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

⇔⇔⇔12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

14．圆内接四边形的特征：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

15.直线与圆有3种位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。

走进中考圆计算问题.doc

走进中考圆计算问题圆内容的计算既有求半径、弦长的问题，又有由弦弧等组成的图形的面积问题。

它即可考查同学们的基础知识，又能考查其综合创新能力。

现举例说明如下，供参考。

一、求弦长问题。

例1、（09嘉兴）如图1，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为9π，则弦AB 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．9图1析解：将⊙P 平移到与⊙O 的圆心重合，如上右图所示，则原阴影的面积恰好是圆环的面积，所以，OA 2π－OC 2π=9π，因此，OA 2－OC 2=9连结OA,OC,由弦AB 与⊙P 相切于点C ，则OC ⊥AB,AB=2AC 。

在Rt △AOC 中，OA 2-OC 2=AC 2，所以，AC 2=9，这样AC=3，故AB=6，应选择C.二、求半径问题。

例2、（09衡阳）如图2，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是2 43cm π，OA=2cm ，求OC 的长．分析：（1）考虑证明含AC 和BD 的两个三角形△OCA 与△ODB 全等；（2）利用（1）的结论，将△OCA 绕点O 旋转90º得到△ODB ，故图中阴影部分的面积恰好为两个扇形的面积差，再利用扇形的面积公式进行计算即可。

（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90 º，∴∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD ∴∠AOC=∠BOD ，又∵OC=OD ，OA=OB ， ∴△OCA ≌△ODB ， ∴AC=BD 。

（2）根据题意，得：360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影；∴360)2(904322OC -=ππ解得：OC ＝1（cm ）．三、求阴影部分的面积问题。

例3、（09遂宁）如图3，把⊙O 1向右平移8个单位长度得到⊙O 2，两圆相交于A 、B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（）A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-32图3析解：由题意，得等腰Rt △AO 1O 2，且斜边O 1O 2是8，这样，有直角边AO 1=O 1O 2·sin ∠AO 2 O 1，=8×sin 45º， ∴S 阴影=12×（）2-2×〔12×（2-245360π⨯⨯〕=8π-16.故选择B 。

2024年九年级数学中考数学第二轮专题复习课件圆有关的计算

1)判断△OAB形状？ A
2)若∠OAB=40°，你能求出图中哪些角的度数？
O B
第一课时
二、母题溯源
如图，在⊙O中，AB是弦，连接OA， OB.若∠AOB=β，你能求出图中哪些角的度数？
A
O B
第一课时
二、母题溯源
如图，已知⊙O中，AB是弦，连接OA， OB. ∠AOB=β;
1）若点M是⊙O优弧上的一点，
AD• AB 4
A
DB
乘积不变.gsp
第一课时
四、归纳小结
与圆有关的计算
1
角度
垂径定理
2
长度
勾股定理
3
相似
面积
转化一般与特殊方程与函数
作业设计
基础性作业
已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，
⊙O的半径为r．如图1，点C在点A，B之间的
M
M
C
优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
AB ∠AOM正弦 AM
第一课时
三、变式拓展三
AM 2 5 5
AD 4 5 5
如何计算线段BD的长？
BD 2 5- 4 5 = 6 5 55
O C
AM D
B
AB=2 5
第一课时
三、变式拓展三
B D
C
E
△ADE∽△ACB AD AE AC AB
AD• AB AE • AC
P
AB=2 5
O
巩固性作业
A O
A
C
O
已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B， ⊙O的半径为r．如图2，点C在圆上运动，当 P
B
NP
B
N
图1

初三圆的解题技巧

初三圆的解题技巧
初三圆的解题技巧
初三圆的解题技巧，考试需要技巧，各位同学知道怎么简单的解答数学中的圆难题吗?看看下面的技巧吧!
初中数学圆解题技巧
半径和弦长计算，弦中心到中间站的距离。

如果圆上有所有的线，则切点中心的半径是连通的。

勾股定理对于切线长度的计算是最方便的。

要证明它是相切的，仔细区分半径垂线。

是直径，成半圆形，要连接成直角的弦。

圆弧有中点，有圆心，竖径定理要记完整。

圆的角上有两条弦，弦的两端直径相连。

求切线弦，同弧对角线等。

如果你想画一个外接圆，在两边画一条中间的垂直线。

同样做一个内切圆，内角的平分线是一个梦圆。

如果遇到相交的圆，别忘了做常用和弦。

内外相切的两个圆通过切点的公切线。

如果添加连接线，切点必须在连接线上。

在等角上加一个圆，证明问题就没那么难了。

辅助线是虚线，画的时候注意不要改。

如果图形是分散的，对称旋转进行实验。

基础画图很重要，要熟练掌握。

你要多注意解题，经常把方法总结清楚。

不要盲目加线，方法要灵活多变。

分析和综合方法选择，再多的困难也会减少。

初三圆的解题技巧
初三数学圆知识点总结。

中考圆的七大解题模型

中考圆的七大解题模型中考圆的七大解题模型是指在中考数学中与圆相关的常见问题的解题方法。

这其中包括以下七种解题模型：一、圆的性质运用模型：在解题过程中，我们可以利用圆的性质进行分析和计算。

例如，圆的周长计算公式2πr、面积计算公式πr²等，可以帮助我们解决与周长、面积相关的问题。

二、切线与弦模型：切线与弦是圆中常见的线段，可以利用它们之间的关系进行问题的解答。

比如，利用切线与半径垂直的性质，可以解决与切线长度、切点的位置等问题。

三、正多边形内接圆模型：正多边形内接圆是指一个正多边形内切于一个圆。

利用正多边形内接圆的一些性质，我们可以解决一些和正多边形和圆有关的问题，如多边形的边长、圆的半径等。

四、弦长定理模型：弦长定理是指在一个圆上，两条弦的乘积等于它们分别对应的弦分割的弧段的乘积。

通过运用弦长定理，我们可以解决与圆弧长、圆心角度、弦长等问题。

五、割线模型：割线是指一条直线穿过圆内部，并且与圆的边界有两个交点。

利用割线与弦之间的关系，我们可以解决与割线长、弦长、切点位置等问题。

六、相切与相交模型：当两个圆相切或相交时，它们之间会存在一些特殊的关系。

利用这些关系，我们可以解决与两个圆的半径、圆心、切点、相交弦等问题。

七、轨迹模型：轨迹是指在一定条件下，一个点、一条线或一个图形所组成的曲线或曲面。

利用轨迹的特点，我们可以解决与圆的半径、圆心位置、点的位置等问题。

通过掌握这七大解题模型，我们可以更加方便地解决中考数学中与圆相关的各种问题，提高解题的效率和准确性。

同时，也能够培养我们对于几何形体的认识和推理能力。

2023年中考数学圆的问题

中考圆的问题【考纲解读】在中考数学中，圆的试题不再是考查学生综合能力的压轴题，更多的是出现在选择、填空等客观性试题中，或者位置靠前的解答题中．【命题形式】“圆”的中考命题将立足于圆的基本性质、切线的判定及性质等知识的理解，圆的有关计算和常见推理方法的掌握，更加趋于基础性、开放性和大众化的特点．【满分技巧】一、四点共圆：模块一：辅助圆思想平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．几何条件：OA OB OC ==．辅助圆：以O 为圆心、OA 为半径作圆O ⊙．∵OA OB OC ==，∴点B 、C 在O ⊙上．几何条件：OC OD =,2COD CAD ∠=∠．辅助圆：以O 为圆心、OC 为半径作圆O ⊙．∵OC OD =，2COD CAD ∠=∠，∴点A 、D 在O ⊙上．模块二：四点共圆的判定（一）判定定理①（常用）：如图，若D A ∠=∠，则A 、B 、C 、D 四点共圆.特别地，若︒=∠=∠90D A ，则BC 为直径.判定定理②（常用）：如图，若︒=∠+∠180D A ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.特别地，若︒=∠=∠90D A ，则BC 为直径.判定定理③：（相交弦定理的逆定理）如图，若ED EB EC EA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆.判定定理④：（割线定理的逆定理）如图，若EC ED EB EA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆.一、单选题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，将 BCD 沿射线BD 平移a 个单位长度（a >0）得到B C D ''' ，连接AB '，AD '，则当AB D '' 是直角三角形时，a 的值为（）A ．75B ．165C ．75或165D ．75或3【答案】C【解析】【分析】分两种情况：①当∠D ′AB ′=90°时，分别过点B ′、D ′作B ′M ⊥AB ，D ′N ⊥AB ，先证明△B ′MB ∽△DAB ，于是可设B ′M =3k ，MB =4k ，则BB ′=a =5k ，再判定四边形C ′D ′NM 为矩形，然后再利用Rt △D ′AN ∽Rt △AB ′M ，得到关于k 的方程，求解即可；②当∠D ′B ′A =90°时，根据勾股定理求出BD 的长，再证明△ABB ′∽△DBA 得到AB BB DB BA '=，即454BB '=，由此可求出BB ′的长，从而可得答案．【详解】：①当∠D ′AB ′=90°时，如图所示：分别过点B ′、D ′作B ′M ⊥AB ，D ′N ⊥AB ，∵AB =4，BC =3，且B M AD ' ，∴△B ′MB ∽△DAB ，∴'34B M DA MB AB ==，∴设B ′M =3k ，MB =4k ，则BB ′=a =5k ，∴AM =AB −BM =4−4k ，∵∠N =∠B ′MA =∠C ′=90°，∴四边形C ′D ′NM 为矩形，∴D ′N =C ′M =C ′B ′+B ′M =3+3k ，MN =C ′D ′=4，∴NA =NM −AM =4−(4−4k )=4k ，∵∠D ′AB ′=90°，∴∠B ′AM +∠D ′AN =∠D ′AN +∠AD ′N =90°，∴∠B ′AM =∠AD ′N ，∴Rt △D ′AN ∽Rt △AB ′M ，∴AN B M D N AM '='，∴43(0)3344k k k k k =≠+-，解得725k =∴755BB a k '===；②当∠D ′B ′A =90°时，如图所示：∵AB =4，AD =3，∴在Rt △ABD 中，5BD ===，∵AB ′⊥BD ，∴△ABB ′∽△DBA ，∴AB BB DB BA '=，∴454BB '=，∴165BB a '==，∵在平移过程中，∠AD ′B ′≠90°，∴综上所述，当△AB ′D ′为直角三角形时，a 的长为：75或155，故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，勾股定理，掌握分类讨论方法和构造合适的相似三角形是解题的关键．例2．己知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l 上，且点C 与点B 重合，如图①所示．△ABC 固定不动，将△A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．直到点B ′移动到与点C 重合时停止．设△A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图②所示，则△ABC 的直角边长是（）A ．B ．4C ．D ．3【答案】C【解析】【分析】由当A B ''与AB 重合时，即x m =，此时B '走过的距离为m ，重叠部分面积达到最大值，为A B C '''V 的面积，结合题意即可求出m 的值．再根据，当A C ''与AC 重合时，此时4x m =+．此时B '走过的距离为m +4，由此可求出BB '的长，从而可求出BC 的长，进而即可求出结果．【详解】如图，当A B ''与AB 重合时，即点B '到达B 点，此时x m =．此时B '走过的距离为m ，即为B C ''的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为A B C '''V 的面积，大小为1．∵A B C '''V 为等腰直角三角形∴112A B C S A B A C '''''''=⋅= ，∴A B A C ''''=∴2B C B m ''''===．如图，当A C ''与AC 重合时，即点C '到达C 点，此时4x m =+．此时重叠部分面积即将变小，且B '走过的距离为m +4．∴此时44BB m m '=+-=．∴4426BC BB B C m ''''=+=+=+=，即6BC =．∵ABC 为等腰直角三角形，∴6AB BC =⨯=故选C ．【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的关键是通过函数图象得到A B C '''V 平移过程中重合部分的形状．二、填空题例3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A （0，C （2，0），顶点B 在x 轴上，顶点D 在反比例函数k y x=的图象上，向右平移菱形ABCD ，对应得到菱形''''A B C D ，当这个反比例函数图象经过''C D 的中点E 时，点E 的坐标是________．【答案】(8【解析】【分析】连接AC ，由题意易得出OA 和OC 的长，再根据tan OA ACO OC∠=及特殊角的三角函数值，可确定60ACO ∠=︒，即可证明ABC 和ACD △都是等边三角形，还可求出AC 的长，即得出4AD AC ==，从而得出D 点坐标为(4，．将D 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值．设菱形ABCD 向右平移a 的单位后，反比例函数图象经过C D ''的中点E ．由此即可用a 表示出C '和D ¢的坐标，再由中点坐标公式即可表示出E 点坐标，将E 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a ，即得出E 点坐标．【详解】如图，连接AC ，∵A (2，、C （2，0），∴=OA 2OC =，∵tan 2OA ACO OC ∠==∴60ACO ∠=︒．∴4sin 60OA AC ==︒．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，ABC 和ACD △全等，∴ABC 和ACD △都是等边三角形，∴4AD AC ==，∴D 点坐标为(4，．∵D 点在反比例函数k y x=的图象上，∴4k =，解得：k =，∴反比例函数的解析式为y x=．设菱形ABCD 向右平移a 的单位后，反比例函数图象经过C D ''的中点E ，∴此时C '的坐标为C （2+a ，0），D ¢的坐标为(4+a ，，∴此时E 点的坐标为240()22a a ++++，，即E (3a +，3a=+，解得：5a =，∴E 点的坐标为(35+，即E (8．故答案为：(8．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质以及中点坐标公式，综合性强，较难．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．例4．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片△ABC ，把纸片△ADC 沿AC 的方向平移得到△A ′D ′C ′，连A ′B ，D ′B ，D ′C ，在平移过程中：（1）四边形A ′BCD ′的形状始终是__；（2）A ′B +D ′B 的最小值为__．【答案】平行四边形【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ⊥CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．【详解】解：（1）如图2中，∵A ′D ′=BC ，A ′D ′∥BC ，∴四边形A ′BCD ′是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ⊥CC ″于H ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =2，∠ABC =90°，∴AC ∵BJ ⊥AC ，∴AJ =JC ，∴BJ =12AC ，∵∠BJC =∠JCH =∠H =90°，∴四边形BHCJ 是矩形，∵BJ =CJ ，∴四边形BHCJ 是正方形，∴BH =CH ，在Rt △BHC ″中，BH HC∴BC ''=∵四边形A ′BCD ′是平行四边形，∴A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，∴A ′B +BD∴A ′B +D ′B 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题例5．如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为m 厘米，小正方形ODEF 的边长为n 厘米，且40m -=．(1)求点B 、点D 的坐标．(2)起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x 轴向右平移，如图2．设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S 平方厘米．①当t=1.5时，S=________平方厘米；②在24t ≤≤这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米；③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t 为________秒．(3)将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x 轴向右平移，在平移过程中，连接AD ，过D 点作DM ⊥AD 交直线BC 于M ，∠DAx 的角平分线所在直线和∠CMD 的角平分线所在直线交于N （不考虑N 点与A 点重合的情形），求∠ANM 的大小并说明理由．【答案】(1)(4,4)B ，(0,2)D ；(2)①3；②4；③1秒或5秒；(3)135︒或45︒，理由见解析．【解析】【分析】（1）由非负数的性质以及算术平方根的性质可得出m ，n 的值，则答案可求出；（2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5cm ，即可计算出重叠部分的面积；②画出图形，计算所得图形面积即可；③小正方形的高不变，根据就即可求出小正方形平移的距离和时间；（3）分当点N 在射线MG 的反向延长线上或当点N 在射线MG 上时，过D 作DQ x ∥轴，过N 作NP x ∥轴，设CMG DMG y ∠=∠=，则PNM NMB y ∠=∠=，2MDQ CMD y ∠=∠=，则902ADQ OAD y ∠=∠=︒-，180180(902)902DAx AOD y y ∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，得出1452NAx DAx y PNA ∠=∠=︒+=∠，从而得出4545ANM PNA PNM y y ∠=∠-∠=︒+-=︒．(1)解：∵40m -=．2n ∴=，4m =，(4,4)B ∴，(0,2)D ，(2)解：①当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm ，S =2×1.5=3cm 2；②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，面积为2×2=4cm 2；③如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm ，∴小正方形平移的距离为1cm 或5cm ，∴t=1或5．综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒，(3)解：如图3，当点N 在射线MG 的反向延长线上时，过D 作DQ ∥x 轴，过N 作NP ∥x 轴，∵MN平分∠CMD，∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y，∠MDQ=∠CMD=2y，∵DM⊥AD，∴∠ADQ=∠OAD=90°−2y，∴∠DAx=180°−∠OAD=180°−（90°−2y）=90°+2y，∵AN平分∠DAx，∴∠NAx=12∠DAx=45°+y=∠PNA，∴∠ANM=∠PNA−∠PNM=45°+y−y=45°，当点N在射线MG上时，同理∠ANG=45°，∴∠ANM=135°，综上：∠ANM=135°或45°．【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质及平移的性质是解题的关键．例6．如图①，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4），（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数ykx（k≠0）的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图②，将△OAB沿y轴向下平移得到△O'A'B'，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中ΔO'A'B'与△OAB重叠部分的面积为S．若点B的对应点B'恰好落在反比例函数ykx=（k≠0）的图象上，求m的值及此时S的值；(3)如图③，连接BC交AO于点D，已知P是反比例函数ykx=（k≠0）的图象上一点，在x轴上是否存在点Q，使得以O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y12 x =(2)m125=，S＝85；(3)当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质求得点C的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）根据平移求得点B'的横坐标为﹣5，即可求得m的值，连接AA'，并延长AA'交BO于点E，求得A E'的值，进而求得S△A'B'O'＝10，证明△ANP∽△A'B'O'，根据相似三角形的性质可得S的值，（3）根据菱形的性质求得点D的坐标，进而分点P（6，2）或（﹣6，﹣2），结合图形求解即可．(1)解：∵四边形ABOC是菱形，∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，∴点C（3，4）．∵点C恰好落在反比例函数ykx=（k≠0）的图象上，∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数表达式为y 12x =；(2)∵将△OAB 沿y 轴向下平移得到△O ′A ′B ′，∴点B '的横坐标为﹣5，∴y 125=-，∴m 125=，连接AA '，并延长AA '交BO 于点E，∴AE ＝4，AA '125=，∴A 'E 85=，∵S △ABO 12=⨯5×4＝10，且将△OAB 沿y 轴向下平移得到△O ′A ′B ′，∴S △A 'B 'O '＝10，∵BO ∥B 'O '，∴△ANP ∽△A 'B 'O '，∴'''ANP A B O S S = （854）2，∴S ＝1048255⨯=；(3)∵四边形ABOC 是菱形，∴AD ＝OD ，∵A（﹣2，4），点O（0，0），∴点D（﹣1，2），若OD为边，则点P在纵坐标为2或﹣2，∴y122==6或y122==--6，∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），如图3，当P（6，2）时，∵四边形ODPQ是平行四边形，∴DP＝OQ＝7，∴点Q（7，0），如图4，当P（﹣6，﹣2）时，∵四边形ODQP是平行四边形，∴OQ与PD互相平分，∴点H（72-，0）∴点Q（﹣7，0），若DO为对角线，∵四边形QOPD 是平行四边形，∴PQ 与OD 互相平分，∵OD 中点坐标（12-，1），∴点P 纵坐标为2，∴点P 坐标为（6，2）．∴点Q 坐标为（﹣7，0）．综上所述：当点P （6，2），点Q 为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O ，D ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，当点P （﹣6，﹣2），点Q （﹣7，0）时，以点O ，D ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形几何，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．二、证明切线的7种方法：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径，证垂直”2、作垂直,证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直方法2、特殊角计算法证垂直方法3、等角代换法证垂直方法4、平行线性质法证垂直方法5全等三角形法证垂直类型二、无公共点:做垂直，证半径方法6角平分线的性质法证半径方法7全等三角形法证半径例1．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，直线OB 交⊙O 于点E 、D ，连接EC 、CD ．（1）试判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）求证：2BC BD BE =⋅；（3）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．【答案】（1）相切，见解析；（2）见解析；（3）5．【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形“三线合一”性质证明OC⊥AB，据此解题；（2）连接OC，90°圆周角所对的弦是直径，证明DE为⊙O的直径，再证明△BCD∽△BEC，最后根据相似三角形的对应边成比例解题；（3）根据正切定义得到12CDEC ，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，设BC=x，根据相似三角形对应边成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，验根即可解题．【详解】解：（1）AB与⊙O相切，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB与⊙O相切；（2）连接OC，∵OC⊥AB，∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，又∵DE为⊙O的直径，∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠E=∠2，∴∠1=∠E，∵∠B =∠B ，∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BD BE BC=，∴BC 2=BD •BE ；（3）∵1tan 2E ∠=，∠ECD =90°，∴12CD EC =，∵⊙O 的半径为3，∴OC =OE =3，∵△BCD ∽△BEC ，∴BC CD BE EC =，设BC =x ，∴132x OB =+，∴OB =2x -3，∵∠OCB =90°，∴OC 2+BC 2=OB 2，∴9+x 2=（2x -3）2，∴x 1=0（舍去），x 2=4，∴OA =OB =5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，切线的证明方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用方程思想解题是关键．例2．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：2AD AB AF=⋅（3）若12BE =，5tan 12B =，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4513【解析】【分析】（1）如图所示，连接OD ，则OA OD =，根据等边对等角可知ODA OAD ∠=∠，由AD 是BAC ∠的平分线，可得OAD CAD ∠=∠，等量代换得ODA CAD ∠=∠，从而可得//OD AC ，进而得90ODB C ∠=∠=︒即可得证；（2）连接OD ，DF ，EF ，由（1）及已知条件证明ABD ADF ∽△△，根据相似三角形的性质即可得证；（3）连接OD ，设O 的半径为R ，由（1）知，OD BC ^，根据已知条件12BE =，5tan 12B =，求得半径R ,连接EF ，由（2）知，AEF B ∠=∠，根据sin sin AEF B ∠=∠，7513AF =，进而根据（2）的结论求得AD ．【详解】解：（1）如图所示，连接OD ，则OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴OAD CAD ∠=∠，∴ODA CAD ∠=∠，∴//OD AC ，∴90ODB C ∠=∠=︒，∵点D 在O 上，∴BC 是O 的切线；（2）如图所示，连接OD ，DF ，EF ，∵AE 是O 的直径，∴90AFE C ∠=︒=∠，∴//EF BC ，∴B AEF ∠=∠，∵AEF ADF ∠=∠，∴B ADF ∠=∠，由（1）知，BAD DAF ∠=∠，∴ABD ADF ∽△△，∴AB AD AD AF=，∴2AD AB AF =⋅；（3）如图所示，连接OD ，由（1）知，OD BC ^，∴90BOD ∠=︒，设O 的半径为R ，则OA OD OE R ===，∵12BE =，∴12OB BE OE R =+=+，在Rt BDO △中，∵5tan 12B =，设5,12AC k BC k ==则13AB k=∴5sin 13B =，∴5sin 1213OD R B OB R ===+，∴152R =，∴215AE OE ==，227AB BE OE =+=，连接EF ，由（2）知，AEF B ∠=∠，90∠=∠=︒AFE C ，∴5sin sin 13AEF B ∠==，在Rt AFE 中，5sin 1513AF AF AEF AE ∠===，∴7513AF =由（2）知，2752025 271313AD AB AF=⋅=⨯=，∴4513 AD=.【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形相似的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数实际应用，添加辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．例3．已知：如图1，AB是⊙O的直径，DB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，连接OD，AC∥OD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AB2＝2AC•OD；（3）如图2，AB，tan∠ABC＝13，连接AD交⊙O于点E，连接BC交OD于点F，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）26【解析】【分析】（1）先判断出∠COD＝∠BOD，再判断出∠OBD＝90°，进而得出△COD≌△BOD（SAS），即可得出结论；（2）先判断出△ABC∽△ODB，得出AC•OD＝AB•OB，即可得出结论；（3）先判断出BD2＝DE•DA，再判断出△BDF∽△OBF∽△ODB，得出BF2＝OF•DF，BD2＝DF•DO，进而求出AC＝1，BC＝3，进而判断出DF•DO＝DE•DA，即可判断出△DEF∽△DOA，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AC∥OD，∴∠A＝∠BOD，∠ACO＝∠COD，∴∠COD＝∠BOD，∵DB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠OBD＝90°，∴△COD≌△BOD（SAS），∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠BOD，∠ACB＝∠OBD，∴△ABC∽△ODB，∴AB AC OD OB，∴AC•OD＝AB•OB，∴AC•OD＝AB•12 AB，∴AB2＝2AC•DO；（3）如图2，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴△BDE∽△ADB，∴BD DE DA BD=，∴BD 2＝DE •DA ，∵AC ∥OD ，∴OD ⊥BC ，∴△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，∴BF 2＝OF •DF ，BD 2＝DF •DO ，∵AB ，tan ∠ABC ＝AC BC ＝13，∴BC ＝3AC ，∴BC 2+AC 2＝AB 2，∴9AC 2+AC 2＝10，∴AC ＝1，∴BC ＝3，∴OB ＝12AB ＝2，BF ＝12BC ＝32，OF ＝12AC ＝12，∴DB ＝2，DA ＝2，OD ＝5，DF ＝92，∴DF •DO ＝DE •DA ，∴DF DA DE DO=，∵∠EDF ＝∠ODA ，∴△DEF ∽△DOA ，∴DF EF DA OA=，∴EF ＝DF OA DA ⋅=【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线，构造出相似三角形是解本题的关键．例4．如图，以线段AB 为直径的O 交ABC 边BC 于点D ，连接AD ，作ADB ∠平分线DE 交AB 于点F ，交O 于点E ，连接AE ，作AG DE ⊥于点G ，连接OG ，CAD E ∠=∠．（1）求证：AC 为O 切线；（2）求证：OG AD ⊥；（3）若tan 2C =，OFG △的面积为S ，求DAE △的面积（用S 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）18S ．【解析】【分析】（1）根据根据同弧所对的圆周角相等得到∠E =∠B ，再根据直径所对的圆周角的直角、利用等角的余角相等推出∠CAB =90°，即可得到结论（2）连接OD ，根据角平分线的性质，利用等角对等边得GD =GA ，结合全等得到∠AOG =∠DOG ，推出OG 是∠AOD 的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到结论；（3）由题意根据相等的角的正切值相等推出边之间的关系，不妨设AD =2a ，由直角三角形中的勾股定理推出线段OG =a ，DE =，再根据圆周角定理和角之间的互余关系得到△FGO ∽△ADE ，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知在⊙O 中，∠E =∠B ，∵∠CAD =∠E ，∴∠CAD =∠B ，∵∠B +∠DAB =90°，∴∠CAD +∠DAB =90°，即∠CAB =90°，∴CA ⊥AB ，∴AC 为⊙O 切线．（2）如图，连接OD ，∵∠ADB =90°，DE 平分∠ADB ，∴∠ADF =∠BDF =45°，又∵AG ⊥DE ，∴△AGD 是等腰直角三角形，在△OGA 和△OGD 中，AG DG OG OG OA OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OGA ∽△OGD （SSS ），∴∠AOG =∠DOG ，∴OG 是∠AOD 的平分线，∴OG ⊥AD ．（3）如图，连接OD，由（2）可知OG ⊥AD ，令其垂足为M ，∵∠BAD =∠C ，∴tanC =tan ∠BAD =2，不妨设AD =2a ，则BD =4a ，AB=，∴OA =OB =OD，∵△AGD是等腰直角三角形，且OM⊥AD，∴AM=DM=MG=12AD=a，∴AG=DG=2AD，∴MO2a =，∴OG=MO-MG=a，由（1）可知在Rt△AGE和Rt△CAD中，∠E=∠CAD，∴∠GAE=∠C，∴tan∠GAE=tanC=2，∴EG=2AG=，∴DE=DG+EG=，由（2）可知OM⊥AD，BD⊥AD，∴OM∥BD，∴∠FOG=∠B，∠OGF=∠BDF又由（1）可知∠E=∠B，∠ADF=∠BDF=45°∴∠FOG=∠E，∠OGF=∠EAD，∴△FGO∽△ADE，∵OGDE=∴221(()618FGOADES OGS DE∆∆===，∵S△OFG=S，∴S△DAE=18S．【点睛】本题考查切线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，需要善于观察结合图形找到相等的角，根据角的关系推导出边的关系、三角形的形状及相似三角形等，进而求解．例5．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B 作//BD OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD 是⊙O 的切线（2）当四边形POBD 是平行四边形时，求APO ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）45︒【解析】【分析】（1）连接OD ，证明PAO PDO △≌△即可；（2）证明四边形PAOD 是正方形，即可求解．【详解】（1）如图，连接OD ，则OD OA OB== AC 是⊙O 的切线90A ∴∠=︒//BD OP13,2B ∴∠=∠∠=∠又OD OB= 1B ∴∠=∠23∴∠=∠在PAO 和PDO △中23PO PO OA OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAO PDO SAS ∴△≌△=90PDO A ∴∠=∠︒∴PD 是⊙O 的切线．（2）如图，连接OD 四边形POBD是平行四边形PD OBPD OB∴=,//OB OA=∴=PD OA∴四边形PAOD是平行四边形又OD OAQ=∴四边形PAOD是菱形∠=︒90A∴四边形PAOD是正方形∴∠︒．APO=45【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角形全等的证明，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆的切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．例6．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点,D DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若弦MN 垂直于AB ，垂足为1,,4AG G MN AB ==O 的半径；（3）在（2）的条件下，当36BAC ∠=︒时，求线段CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）O 的半径为1；（3）34CE =．【解析】【分析】（1）连接OD ，由题意可得∠B =∠C ，由半径OB 和OD 可得∠B =∠ODB ，从而∠C =∠ODB ，在Rt △DEC 中可知∠C +∠CDE =90°，则∠OBD +∠CDE =90°，从而得出∠ODE =90°，即可得证DE 是O 的切线；（2）连接OD ，过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，设AC 与O 交于点H ，连接OH ，分别求解S △OAH ，S 扇形OAH ，S △OBD ，S 扇形O OD ，然后根据S 阴影=S 扇形OAH +S 扇形OBD –S △OAH –S △OBD 求解即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）证明：方法一：连接,AD ODAB Q 为直径90ADB ∴∠=︒AD BC∴⊥AB AC = ，D ∴为BC 中点O 为AB 中点OD AC∴∥DE AC⊥ DE OD∴⊥OD是O的半径的切线∴是ODE方法二：连接ODOB OD=∴∠=∠OBD ODB⊥DE AC∴∠+∠=︒EDC C90AB AC=∴∠=∠ABC C∴∠=∠ODB C∴∠+∠=︒EDC ODB90 ODE∴∠=︒．90∴⊥OD DE的半径OD是O的切线∴是ODE方法三：连接ODOB OD=∴∠=∠OBD ODB=AB AC∴∠=∠ABC ACB∴∠=∠ODB ACB∴∥OD ACDE AC⊥ DE OD∴⊥OD 是O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解：方法一：连接OM ，MN AB⊥ 90OGM ∴∠=︒AB Q 是直径MN =MG NG =∴=14AG AB =13AG GB ∴=12AG OG OM ∴==在Rt MGO 中222222()2OM OG MG OM OM ∴+=+=1OM ∴=即O 的半径为1方法二：连接AM MB、AB Q 是O 的直径90AMB ∴∠=︒MN AB⊥ 90AMG MAG AMG BMG ∴∠+∠=∠+∠=︒MAG BMG∴∠=∠AMG MBG∴ ∽MG AG BG MG=∴2MG AG BG=∴⨯:1:4AG AB = :1:3AG BG ∴=12AO BO AB == G ∴为OA 中点MN AB MN ⊥=2MG ∴=2MG AG BG=⨯ 12AG ∴=1AO ∴=即O 的半径为1（3）作ABC ∠的平分线BF 交AC 于F 连接AD36BAC AB AC∠=︒= 72ABC ACB ∴∠=∠=︒BF 平分ABC∠36ABF CBP ∴∠=∠=︒72BFC ∴∠=︒即,BAF ABF BFC ACB∠=∠∠=∠BC BF AF∴==CBF BAC C C∠=∠∠=∠CBF CAB∴ ∽2BC CF AC∴=⋅设BC x =则AF x=2CF x∴=-()222x x ∴=-解得：51x =±-51BC ∴=-AB ∴是O 的直径90ADB ∴∠=︒AB AC= 12CD BD BC ∴==512CD -∴=DE AC AD BC⊥⊥ 90ADC DEC C C∴∠=∠=︒∠=∠CDE CAD∴∽△△2CD CE AC∴=⋅2251(35224CD CE AC -∴===【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键．。

备战2024年中考数学复习之必考点题型全归纳(全国通用)：与圆有关的计算(解析版)

专题31与圆有关的计算【专题目录】技巧1：圆与相似三角形的综合技巧2：用三角函数解与圆有关问题技巧3：圆与学科内知识的综合应用【题型】一、求多边形中心角【题型】二、已知正多边形中心角求边数【题型】三、正多边形与圆【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径【题型】五、扇形面积的相关计算【题型】六、圆锥侧面积的相关计算【考纲要求】1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．3.会求图中阴影部分的面积.【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝180n r.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝n πr 2360或S ＝12lr .【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h .如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．【技巧归纳】技巧1：圆与相似三角形的综合1.【中考·衢州】如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是()A ．3B ．4C .256D .258(第1题)(第2题)2．【中考·南通】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，A B ＝6，AD ＝5，则AE 的长为()A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为()A ．3B ．23C .21D ．35(第3题)(第4题)4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)(第6题)6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝12.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第8题)答案1．D 2.B 3.C 4.4 5.2 6.①④7．证明：(1)如图，连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD.∴BD︵＝CD︵.∴OD⊥BC.又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC.∴BC∥DM.∴OD⊥DM.∴直线DM是⊙O的切线．(2)如图，连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BE D＝∠EBD.∴DB＝D E.∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.∴DF DB＝DB DA，即DB2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.(第7题)8．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(第8题)(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.∴PC PB＝PA PC.∴PC2＝PB·PA.∵PB PC＝12，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OC AE＝PO PA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC ＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PB PC＝BC AC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝2 5.∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.技巧2：用三角函数解与圆有关问题一、选择题1．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为3，AC ＝4，则sin B ＝()A .13B .34C .45D .23(第1题)(第2题)2．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70°，∠C ＝50°，那么cos ∠AEB 的值为()A .3B .33C .12D .323．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin B ＝45.⊙O 过B ，C 两点，且⊙O 的半径r ＝10，则OA 的长为(A ．3或5B ．5C ．4或5D ．4二、填空题4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________.(第4题)(第5题)5．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.6．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB 上的一点(不与A ，B 重合)，则cos C 的值为________．(第6题)(第7题)7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，⊙P 分别与OA ，OC ，BC 相切于点E ，D ，B ，与AB 交于点F ，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan ∠FDE ＝_______.三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，tan B ＝12，半径为2的⊙C 分别交A C ，BC 于点D ，E ，得到DE ︵.(1)求证：AB 为⊙C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第8题)9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E.(1)求证：DC ＝DE ；(2)若tan ∠CAB ＝12，AB ＝3，求BD 的长．(第9题)答案一、1.D 2.C 3.A 二、4.34 5.126.457.12三、(第8题)8．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝12，∴BC ＝2AC ＝2 5.∴AB＝AC 2＋BC 2＝（5）2＋（25）2＝5，∴CF ＝AC·BC AB ＝5×255＝2.∴AB 为⊙C 的切线．(2)解：S 阴影＝S △ABC －S 扇形CDE ＝12AC·BC －n πr 2360＝12×5×25－90π×22360＝5－π.9．(1)证明：连接OC ，如图，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACO ＋∠DCE ＝90°.又∵ED ⊥AD ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EAD ＋∠E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠EAD ，故∠DCE ＝∠E ，∴DC ＝DE.(2)解：设BD ＝x ，则AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋BD ＝1.5＋x.在Rt △EAD 中，∵tan ∠CAB ＝12，∴ED ＝12AD ＝12(3＋x)．由(1)知，DC ＝DE ＝12(3＋x)．在Rt △OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则1.52＋12（3＋x ）2＝(1.5＋x)2，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝1，故BD ＝1.(第9题)技巧3：圆与学科内知识的综合应用【类型】一：圆与三角函数的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第1题)【类型】二：圆与相似的综合2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠AC B＝90°，点P在AB︵上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B 重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.(1)当BA平分∠PBC时，求BECD的值；(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．(第2题)【类型】三：圆与二次函数的综合3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△B DF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．(第3题)答案1．(1)证明：如图，连接OD.(第1题)∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°.又∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD.∴AMAD＝ADAB.∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∠ABD＝∠1，∴sin∠1＝35.∵AM＝185，∴AD＝6.∴AB＝10.∴BD＝AB2－AD2＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°.∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°.∴∠DBN＝∠1.∴sin∠DBN＝3 5 .∴DN＝245.∴BN＝BD2－DN2＝325.2．解：(1)连接PA.∵BA平分∠PBC，∴∠PBA＝∠CBA＝∠ACP.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCD＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∴∠BCD＝∠CBA＝∠PBA.∴A B∥CD.∴∠PBA＝∠D.∴∠BCD＝∠D.∴BC＝BD.又∵∠PCD＝90°，易证得PB＝BC＝BD.又∵AB∥CD，∴PE＝EC.∴BE是△PCD的中位线．∴BECD＝1 2 .(2)∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC.∴PCCD＝ACCB＝12.∴S△PCD＝12PC·CD＝12PC·2PC＝PC2.∴当PC最大时，△PCD的面积最大，即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大．∴当PC＝AB＝AC2＋BC2＝5时，△PCD的面积的最大值为(5)2＝5. 3．(1)解：设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把点B(0，4)，C(－2，0)，D(－8，0)＝c，＝4a－2b＋c，＝64a－8b＋c，＝14，＝52，＝4.∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4.(2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴5设直线CE 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，＝34，＝32，∴直线CE 的函数表达式为y ＝34x ＋32在y ＝34x ＋32中，令x ＝0，则y ＝32，∴如图①，连接AB ，AC ，AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝52，∴BG ＝CG.在△ABG 与△ACG ＝AC ，＝CG ，＝AG ，∴△ABG ≌△ACG.∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)，∴∠ABG ＝90°.∴∠ACG ＝∠ABG ＝90°.∵点C 在⊙A 上，∴直线CE 与⊙A 相切．(第3题)(3)解：存在点F ，使△BDF 的面积最大．设，14t 2＋52t ＋BD ，BF ，DF ，过点F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，设直线BD 的函数表达式为y ＝kx ＋d ＝d ，＝－8k ＋d ，＝12，＝4.∴直线BD 的函数表达式为y ＝12x ＋4.∴点N ，12t ＋∴FN ＝12t ＋42＋52t ＋＝－14t 2－2t.∴S △DBF ＝S △DNF ＋S △BNF ＝12OD·FN ＝12×8－14t 2－t 2－8t ＝－(t ＋4)2＋16.∴当t ＝－4时，S △BDF 最大，最大值是16.当t ＝－4时，142＋52t ＋4＝－2，∴F(－4，－2)．【题型讲解】【题型】一、求多边形中心角例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（）A ．B ．C ．60D ．【答案】B【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB 的度数及OG 的长，再由△OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG ⊥AB 于G∵此多边形为正六边形，∴∠AOB =3606=60°；∵OA =OB ，∠AOB =60°,OG ⊥AB∴△OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴OA =AB =4，∴OG =OA •cos30°=4×2，∴S △OAB =12×AB ×OG =12，∴S 六边形=6S △OAB 故选：B ．例2、如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（）A ． 2,B ． 2,2C ． 2,D ．【答案】C 【提示】连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．解：连接OF，在Rt△OFG中，∠GOF=13603026，OF=4．∴GF=2，∴F（-2，．故选C．【题型】二、已知正多边形中心角求边数例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【答案】C【提示】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360 ，用360 除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10．则这个多边形是正十边形．故选：C．例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．【详解】设圆内接正n 边形的中心角的度数为x 由弧长公式得：331804x 解得45x 即圆内接正n 边形的中心角的度数为45 则360845n故选：B ．【题型】三、正多边形与圆例5、半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b cB ．b a cC ．a c bD ．c b a 【答案】A【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形,BOH 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R ，如图，,,,OB R OH a OH BC 由ABC 为圆O 内接正三角形，60,BOH 则正三角形的边心距为a ＝R ×cos60°＝12R ．如图，四边形ABCD 为圆O 的内接正方形，,,,OB R OH b OH BC 45,BOH四边形的边心距为b ＝R ×cos45°＝22R ，如图，六边形ABCDEF 为圆O 的正内接六边形，,,,OB R OH c OH BC 30,BOH 正六边形的边心距为c ＝R ×cos30°＝32R ．∵12R 22 R 32 R ，∴a ＜b ＜c ，故选：A ．例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．34B ．34C ．2438D ．34【答案】A【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：1462，六个小半圆的面积为：22312 ，中间大圆的面积为：2416 ，所以阴影部分的面积为：12164 ，故选：A ．【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径例7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ，4CD ，则퐶 的长为（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D【提示】根据::2:7:11AOC AOD DOB 求出COD 的度数，根据4CD 得到半径，运用弧长公式计算即可．【详解】∵:7:11 AOD DOB ，+180 AOD DOB ，∴71807018A O D ，又∵:2:7 AOC AOD ，∴20AOC ，∴90COD ，又∵4CD ，∴O D ，∴퐶 =9022180180n O D ．故答案选D ．例8、一个扇形的圆心角为120 ，扇形的弧长等于4, 则该扇形的面积等于（）A ．2B ．4C ．12D ．24【答案】C 【提示】根据弧长公式180n rl ，代入求出r 的值，即可得到结论．【详解】解：由题意得，4π＝120180rπ，解得：r ＝6，∴S ＝1642 ＝12π．故选：C.例8、若扇形的圆心角是150 ，且面积是2240cm ，则此扇形的弧长是（）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm【答案】B【提示】先根据S 扇形=2360n R 求出该扇形的半径R ，然后再根据S 扇形=12lR 即可求得弧长l ．【详解】解：由S 扇形=2360n R ，n=150°，可得240π=2150360R ，解得R=24；又由S 扇形=12lR 可得240π=1242l ，解得l =20π．故答案为B ．【题型】五、扇形面积的相关计算例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（）A ．48πcm 2B ．24πcm 2C ．12πcm 2D ．9πcm 2【答案】B【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）．故选：B ．例10、如图，在⊙�中，2OA ，45C ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2 B ． C ．22 D ．2【答案】D【提示】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB 算出结果.【详解】解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602=2 ，故选D.【题型】六、圆锥侧面积的相关计算例11、一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A ．πB ．πC ．πD ．【答案】C【提示】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】这个圆锥的侧面积＝12．故选：C ．例12、用一个半径为3,面积为3 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A ．B ．2C ．2D ．1【答案】D【提示】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得12•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D ．例13、如图，有一块半径为1m ，圆心角为90 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．m 4D ．m 2【答案】C【提示】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r m ，则圆锥的底面半径是： 1224 m ，4 m ．故选：C ．与圆有关的计算（达标训练）一、单选题1．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（）AB ．C ．3D ．2【答案】C【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接OA ，作OM ⊥AB 于M ，得到∠AOM =30°，AB则AM因而OM =OA •cos30°=3，∴正六边形的边心距是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．2．如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形的中心角COD 的度数是（）A ．72°B ．60°C ．48°D ．36°【答案】A 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360n计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴五边形ABCDE 的中心角∠COD 的度数为360725，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360n 是解题的关键．3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（）A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术【答案】C【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可．【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值，即在一个圆中，它的内接正多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接近圆的周长和面积．4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（）A．刘徽，祖冲之B．祖冲之，刘徽C．杨辉，祖冲之D．秦九韶，杨辉【答案】A【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的．古希腊大数学家阿基米德(公元前287-212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值．故选：A．【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．6．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D 点的坐标为 2,0，则点F 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 1,1【答案】A【分析】先连接OF ，由于正六边形是轴对称图形，并设EF 交y 轴于G ，那么30GOF ；在Rt GOF 中，则1GF ，OG 即可求得F 的坐标．【详解】解：连接OF ，设EF 交y 轴于G ，如图所示，∵D 点的坐标为 2,0，∴2OD ，由正六边形ABCDEF 是轴对称图形知：在Rt GOF 中，30GOF ，2OF ．1GF ，OG(F ，故选：A ．【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．7．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，GOK 的两边,OG OK ，分别与,AB CB ，相交于点M ，N ，当180GOK ABC 时，下列说法错误的是（）A ．60GOKB ．MB NB DC C ．112OMBN ABCDEF S S四边形正六边形D ．OMA 与ONB 相等【答案】C 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．【详解】解：如下图所示，连接OA OB OC ，，．∵点O 是正六边形ABCDEF 的中心，OA OB OC ， 180621206FAB ABC ，360606AOB BOC ，AB DC ，16OAB ABCDEF S S △正六边形． 180602AOB OAM ，180602BOC OBN ． OAM OBN ．∵180GOK ABC ，360)180OMB ONB GOK ABC -(，18060GOK ABC ．故A 选项不符合题意．∵180OMA OMB ，OMA ONB ．OAM OBN ≌△△（AAS ）．OMA ONB MA NB ，，OAM OBN S S △△．故D 选项不符合题意．MB NB MB MA AB DC ．故B 选项不符合题意．=OMB OBN OMB OAM OAB OMBN S S S S S S △△△△△四边形． 1=6OAB OMBN ABCDEFS S S △四边形正六边形．故C 选项符合题意．故选：C【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（）A ．48B ．24C ．12D ．4【答案】B【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出AOB 的度数及OG 的长，再由OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG AB 于G∵此多边形为正六边形，∴AOB 3606 60 ；∵60,OG ABOA OB AOB ，∴OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴4OA AB ，122AG BG AB∴OG∴OAB S △12AB OG 1242 4 ∴664OAB S S 六边形24 故选：B ．．【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出中心角的度数及三角形的高的长．二、填空题9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．【答案】54【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605 =72°，∵OC=OD，∴∠OCD=12×（180°-72°）=54°，故答案为：54．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．【答案】十二【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．三、解答题11．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF ；(2)在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 与DE 的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN 并延长即可．【详解】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 交DE 于点G ，则点G 为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O 为正五边形的外接圆，∴直线AO 是正五边形ABCDE 的一条对称轴，点B 与点E 、点C 与点D 分别是一对对称点．∵点M 在直线AO 上，∴射线BM 与射线EF 关于直线AO 对称，从而点F 与点G 关于直线AO 对称，∴CF 与DG 关于直线AO 对称．∴DG =CF ．（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN ，如图2所示；【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．与圆有关的计算（提升测评）一、单选题1．如图，工人师傅准备从一块斜边AB 长为40cm 的等腰直角AOB 材料上裁出一块以直角顶点O 为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥(接缝处忽略)，则圆锥的底面半径为（）A ．5cmB ．C ．4cmD ．【答案】A 【分析】作OC AB 于点C ，首先求出扇形的半径OC 的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径．【详解】解：如图，作OC AB 于点C ，∵AOB 是斜边AB 长为40cm 的等腰直角三角形，∴OA OB ，22240OA OB ，∴OA OB ，∵45A ，∴sin 452OC OA，∴20cm 2OC OA ，∴扇形的弧长902010180，设底面半径为cm r ，则210r ，解得：=5r ，∴圆锥的底面半径为5cm ．故选：A【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长．2．如图，在半径为2，圆心角为90 的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．1B ．2C ．112D ．121 ＋【答案】A【分析】已知BC 为直径，则90CDB ，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB 的面积与ADC △的面积之差．【详解】解：在Rt ACB △中，AB ∵BC 是半圆的直径，∴90CDB ，在等腰Rt ACB △中，CD 垂直平分AB ，CD BD ∴D 为半圆的中点，∴22112142ADCACB S S S △阴影部分扇形．故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（）A ．5124B ．5124C ．3124D ．5122【答案】A【分析】连接OE ，求出弓形CE 的面积，然后根据阴影部分的面积等于ADC △的面积减去弓形CE 的面积求解即可．【详解】连接OE ．∵正方形ABCD 的边长为2，∴1OC OB OE .∵1122222ADC S AD CD △，211144OCE S 扇形，111122COE S △，∴1142CE S 拱形，∴阴影部分的面积5112()4224．故选：A ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．4．如图，ABC 中，AC O 是AB 边上的一点，O 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，点F 为O 上一点，连AF ，若四边形ACEF 是菱形，则图中阴影部分面积是（）A 3B ．23C 3D ．3【答案】A【分析】设AB 与O 相交于点D ，利用菱形的性质可得C F ，AC CE 90CAB OEC ，从而可得180C AOE ，进而可得180F AOE ，然后求出60C F ，从而求出30B ，BC BE Rt BOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，B 的度数，最后根据阴影部分面积BOE 的面积扇形DOE 的面积，进行计算即可解答．【详解】解：设AB 与O 相交于点D ，∵四边形ACEF 是菱形，C F ∴，AC CE ，O ∵ 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，90CAB OEC ，360()180C AOE CAB OEC ，180F AOE ，2AOE F ∵，1180603F ，60C F ，9030B C ，2BC AC ，BE BC CE 在Rt BOE 中，30B ，tan 30OE BE 9060EOB B ，阴影部分面积BOE 的面积扇形DOE 的面积21602360BE OE1233，3，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．5．把边长为的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF 的长为（）D．A．1B．2C【答案】C【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，+x+x，即可解决问题．B'F=x，从而BC【详解】解：如图，∵重叠部分为正八边形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，B'F=x，x+x，∴BG=B'G∴BC x+x+x∴x=1，∴GF，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．6．如图1所示的正六边形（记为“图形1P”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形2P”），作出图形2P的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形3P ”，则图形123P P P ，，的周长之比为3：2：3；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O 上任意一点的最大距离为4+3．以上结论正确的是（）A ．②③B ．①③C ．②D ．①【答案】A 【分析】①根据题意可知过点B 作BN AC 于N ，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得23,2AC CD ，即可判断①；②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；③依题意可知图形2P 的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．【详解】解：标注字母如图，过点B 作BN AC 于N 6BE ∵，,C D 为BE 的三等分点，,A F 为BG 是三等分点2BC CD DE AB ，∵正六边形的每一个内角为3601801206∴ABC 中，2,120AB BC B ，30BAN在Rt ABN △中112BN ABAN BN AC ∵，12AN NC AC ，2AC AN 2CD AC∵ ①不正确，图形1P ，边长为6，所以图形1P 的周长为6636如图，依题意可得2AB BC CD 则4BD ，依题意，2P 是正六边形，所以图形2P 的周长为4624把图2中空白部分记作“图形3P ”，由①可得AC 3P 是正六边形，所以图形3P 的周长为6∴图形123P P P ，，的周长之比为36:24：2故②正确；如图，过点O 作OD AB 于点D ，交内切圆于点E ，则AE 即为所求，。

初三数学圆答题技巧

初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。

3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。

二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。

2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。

3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。

4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。

5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。

三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。

2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。

3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。

4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。

5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。

通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。

初三数学圆答题技巧

初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆的基本概念和重要性
初三数学圆是数学中的一块重要内容，它不仅在各类考试中占据一定比例，而且对于培养学生的几何思维和空间想象力也具有重要意义。

因此，掌握好圆的相关知识和解题技巧至关重要。

二、解题技巧：步骤和方法
1.审题：仔细阅读题目，提取关键信息，判断题目类型。

2.画图：根据题目要求，作出相应的图形，便于理解问题。

3.列方程：根据题目所给条件，建立合适的数学模型，列出方程。

4.解方程：运用恰当的解方程方法，求解方程组。

5.检验：将求得的解代入原方程，检验是否符合题意。

6.总结：梳理解题过程，提炼方法技巧。

三、常见题型及解题策略
1.圆的性质和计算：熟练掌握圆的性质，如圆心、半径、角度等，运用公式进行计算。

2.圆与直线的关系：了解圆与直线的位置关系，如相交、相切、相离，根据题意求解。

3.圆与圆的关系：掌握两圆位置关系的判断方法，如内切、外切、相离。

4.三角形的几何问题：利用三角形面积公式、角度和周长公式等解决实际问题。

5.圆中的最值问题：利用二次函数在圆中的性质，求解最值问题。

四、应试技巧：时间分配和答题顺序
1.时间分配：合理安排时间，确保每道题都有足够的时间思考和解答。

2.答题顺序：先易后难，遇到不会的题目可以先跳过，等其他题目完成后再回来解决。

五、总结与建议
掌握初三数学圆的解题技巧，需要不断地练习和总结。

在学习过程中，要注重理论知识与实际应用的结合，培养自己的几何思维和空间想象力。

同时，参加各类模拟考试，了解考试题型和难度，增强自己的应试能力。

中考数学复习：专题6-2 走进中考圆计算问题

专题03走进中考圆计算问题【专题综述】圆内容的计算既有求半径、弦长的问题，又有由弦弧等组成的图形的面积问题。

它即可考查同学们的基础知识，又能考查其综合创新能力。

圆中的有关计算问题应以有关圆的基本性质为基础，求解时常作出弦的垂线，以利用诸如垂径定理，勾股定理和锐角三角函数等知识，这要求在平时学习过程中注重积累和总结。

【方法解读】一、求弦长问题。

例1：如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且OPAB//．若阴影部分的面积为9 ，则弦AB 的长为（）A．3 B．4 C．6 D．9【举一反三】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是_____．二、求半径问题。

例2：如图，圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC的长．【举一反三】如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP.(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长；(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围；(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．三、求阴影部分的面积问题。

例3：如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得到⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-32【举一反三】如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120º，四边形ABCD的周长为10cm．求图中阴影部分的面积？【强化训练】1．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A. 33 cmB. 27 cmC. 123 cmD. 63 cm2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为( )A. 2B. 1C. 2D. 43．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A. 11-42π B.1-12π C. -2π D. 2-4π4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，则BC的长为（）A. 3B. 23C. 4D. 435．已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是_____厘米.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以12AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是________.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=130°，OA=1，则AC的长为_____．8．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是_____．9．如图，四边形内接于圆O，是圆O的直径，，垂足为，平分．（1）求证：AE是圆O的切线；（2）若，求的长．10．如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可．．．．．．）；如果不存在，请说明理由；（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF 2+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—与圆有关的计算

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—与圆有关的计算1.掌握弧长和扇形面积计算公式；2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算考点1：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.考点2：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=；（2）扇形面积公式：213602n R S lRπ==n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh rππ+C 1D 1（2）圆柱的体积：2V r hπ=2、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r hπ=注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（180r 2Rn ΠΠ=）【题型1：正多边形和圆的有关计算】【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A．B ．2C ．3D ．2【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，＝OB•AM＝＝，∴S△AOB∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴AB＝BC＝2，OQ＝3，∴OA＝OB＝，∴OC＝3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3，﹣2），故选：A．【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．πB．3πC．2πD．2π﹣【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B．【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．πB．πC．πD．2π【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】【典例3】（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD ＝CE ，∴四边形OECD 是正方形，∴∠DCE ＝90°，△DCE 和△OEC 全等，∴S 阴影＝S △DCE +S 半弓形BCE＝S △OCE +S 半弓形BCE＝S 扇形COB＝＝，故选：B ．【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB ＝120°，OA ＝15m ，OC ＝10m ，则种草区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 扇形COD ＝＝（m 2）．故选：B．【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．5πB．5﹣4πC．5﹣2πD．10﹣2π【答案】C【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝4，∴OC＝OD＝OB＝2，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×4×4﹣﹣＝8﹣3﹣2π＝5﹣2π．故选：C．【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．米2B．米2C．米2D．米2【答案】C【解答】解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO＝（米），∴AB＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C．【题型4：圆锥的有关计算】【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【答案】D【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．一．选择题（共10小题）1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72°B．60°C．48°D．36°【答案】A【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：A．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，【答案】D【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．3．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【答案】C【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1，∴的长为＝，故选：A．5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．6．若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．60πcm2【答案】A【解答】解：该扇形的面积为：（cm2）．故选：A．7．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3π【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，∴∠ABC＝30°．∴AB＝2AC＝6．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC＝＝．故选：C．8．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（）A．B．6πC．D．【答案】C【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝﹣×2×﹣×1＝4π﹣2﹣2．故选：C．9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（）A．180°B．216°C．240°D．270°【答案】B【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm），∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B．10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【答案】C【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．二．填空题（共8小题）11．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°．【答案】90°．【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．12．已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为12．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为40πm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：40π．14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，则该扇形所在圆的半径为9cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，∴由S＝得：r＝＝＝9cm，故答案为：9cm．15．圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．设母线长是l，则×4πl＝10π，解得：l＝5．故答案为：5．16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是6π．【答案】见试题解答内容【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：＝6π，故答案为：6π．18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为132°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．一．选择题（共7小题）1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38°B．42°C．49°D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．3．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π【答案】A【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，由题意得：CD垂直平分OA，∴AC＝OC，∴△OAC是等边三角形，同理△BOE是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOE＝60°，∴∠COE＝60°，∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，∵圆的直径是4，∴OA＝2，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝OA2＝，∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝，∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣，∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝﹣2×（﹣）＝2﹣．故选：A．5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC 对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，由题意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵的长为π，∴，∴r＝6，∴OB＝6，∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，∴CE＝OE＝，+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．∴阴影部分的面积＝S扇形BOD故选：A．6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（）A．24πB．40πC．48πD．【答案】A【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×8π×6＝24π．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为（4）cm．【答案】（4）．【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴＝＝＝＝，∴OE＝OD＝，在Rt△NOE中，NE＝＝＝，∴CM＝CN＝3NE＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．解法二：作NH⊥BC于点H，则CH＝2，NH＝6，在Rt△NHC中，NC＝＝＝2，∴CM＝CN＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．故答案为：（4）．9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为BC1；的圆心为C，半径为CC2；的圆心为A，半径为AC3……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是．（结果保留π）【答案】．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴AC＝AC1＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；∴BC2＝BC1＝AB+AC1＝2，CC3＝CC2＝BC2+AB＝3，∠CAC1＝∠C1BC2＝C2CC3＝120°，∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，∴的半径为n，所对的圆心角为120°，∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，∴的长为．故答案为：．10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是．【答案】．【解答】解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝20，∴AB＝10，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故答案为：．12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．【答案】cm．【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，故底面周长等于6πcm，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π＝，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝cm，根据勾股定理求得AD＝（cm），所以蚂蚁爬行的最短距离为cm．故答案为：cm．1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【答案】D【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4【答案】C【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°，+S扇形CBF﹣S△ABC∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE＝×2﹣＝2π﹣4．故选：C．3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为18．【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷20°＝18．故这个正多边形的边数为18．故答案为：18．4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10．【答案】10．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，根据题意得＝2π•2，解得x＝6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为2cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．7．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．【答案】．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），＝×π×22＝．∴阴影部分的面积＝S扇形ADO故答案为：．8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【答案】π．【解答】解：连接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的长＝＝π（cm）．故答案为：π．9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【答案】5；．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．。

中考数学复习：圆的解题技巧

中考数学复习：圆的解题技巧第一种场景：遇到弦。

轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB 与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE ＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．第二种场景：遇到直径。

当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。

例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______°；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．【点评】此题考查圆周角的定理，关键是根据折叠的性质和圆周角定理解答．第三种场景：遇到切线。