人教版八年级数学下册课件：18.2.1矩 形

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
新知 1
矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加
一个角是直角这个特殊条件. 所以说，矩形是特殊的
平行四边形.
例题精讲 【例1】如图18－2－3，在△ABC中，AB＝BC，BD平
线AC，BD相交于点O，且AC＝8 cm，若△ABO是等边
解析
由△ABO为等边三角形，易得AC＝BD， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
即平行四边形为矩形，则面积易求出.
解 在 则OA＝OC，OB＝OD. 又∵ △ABO为等边三角形，∴ OB＝OA. ∴ OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形. ∵ AC＝8 cm， ∴ OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝4(cm).
边形的所有性质；(2)矩形的对角线相等；(3)矩形的 四个角都是直角；(4)矩形是轴对称图形，它有两条
对称轴.
例题精讲
【例2】如图18－2－4，在矩形ABCD中，点E，F分
别在边AB，BC上，且AE＝ AB，将矩形沿直线EF折
叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点
Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ
(4)有两邻角相等的平行四边形是矩形；
(5)对角线相等的平行四边形是矩形；
(6)有三个角是直角的四边形是矩形.
例题精讲
【例4】如图18－2－13所示，四边形ABCD的对角
线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件
是(
)
A. AB＝CD
B. AD＝BC
C. AB＝BC
D. AC＝BD
解析：由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四 边形ABCD是平行四边形，再添加AC＝BD，可根据 对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是
C. AB＝BC，AD＝CD，∠C＝90°
D. AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
2.下列结论正确的是( D )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝
D. ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°,
2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形
门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，
其中正确的是( D )
A. 测量对角线是否相互平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角
新知 2
矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：(1)矩形具有平行四
(2)若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形.
证明：(1)在
ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C.
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE＝ ∠ABD，∠CDF＝ ∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中， AB＝CD， ∠ABE＝∠CDF，
又∵ ∠BAD＝90°， 由勾股定理得：AD ＝BD －AB ，
2 2 2
即AD ＝8 －4 ＝48，即AD＝4
故四边形ABCD的面积为
2
2
2
(cm).
AB· AD＝4×4
＝16
(cm ).,
2
举一反三
1.如图18－2－15，△ABC中，AC的中垂线交AC，
AB于点D，F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例题精讲
【例3】如图18－2－8所示，四边形ABCD中，
∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，E，F分别是BD，AC
的中点，求证：EF⊥AC.
解析 连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半可得AE＝ BD，那么AE＝CE，
再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC.
30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是
( A )
2.已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∠AOD＝120°，AC＝8 cm，则该矩形的面积为 16 cm .
2
3.如图18－2－16，点E是矩形ABCD内任一点，若 AB＝3，BC＝4.则图中阴影部分的面积为
6
.
7. (6分)如图KT18－2－6，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵EF＞PF，∴பைடு நூலகம்F<2PE，故②错误.
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ＝∠EFB＝30°.
∴BE＝2EQ，EF＝2BE.
∴FQ＝3EQ，故③错误.
由翻折的性质，∠EFB＝∠BFP＝30°， ∴∠BFP＝30°＋30°＝60°. ∵∠PBF＝90°－∠EBQ＝90°－30°＝60°， ∴∠PBF＝∠PFB＝60°.
A. 20
B. 12
C. 16
D. 13
2.如图18－2－11，在三角形ABC中，AB＝AC，BC
＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC
于点E，且点D是AB的中点，则AF等于( B )
3.如图18－2－12，△ABC中，AB，BC，CA的中点分
别是E，F，G，AD⊥BC.则下列选项正确的有
∴BE∥AD，BE＝AD. ∴BE∥DC，BE＝DC.
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴四边形BECD是矩形.
举一反三 1. 已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件
能使四边形ABCD成为矩形的是( D )
A. OA＝OC，OB＝OD
B. AC＝BD
C. AC⊥BD
分∠ABC. 四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，
连接CE.
求证：四边形BECD是矩形.
解析 根据已知条件易推四边形BECD是平行四边, 形.结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC， 即∠BDC＝90°，根据“有一角是直角的平行四边形是 BECD是矩形. 证明 ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. ∵四边形ABED是平行四边形，
，则OE等于(A
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.如图18－2－7，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为 点E，若∠DAE＝3∠BAE，则∠EAC的度数为( B )
A. 67.5° C. 22.5°
B. 45° D. 无法确定
新知 3
直角三角形的性质
直角三角形的性质：
(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半.
∴△PBF是等边三角形，故④正确.
综上所述，结论正确的是①④，故选D.
举一反三
1. 如图18－2－5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，AB＝3，∠AOD＝120°，则AD的长为( B )
A. 1
B.
C. 6
D.
2. 如图18－2－6，矩形ABCD中，AC交BD于点O，
∠AOD＝60°，OE⊥AC. 若AD＝
( C )
个.
①∠EDG＝∠EFG；
③∠CDG＝∠C；
②∠B＝∠BDE；
④∠GFC＝∠ADE.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
新知 4
矩形的判定方法
矩形的判定方法有以下几种：
(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)四个角均相等的四边形是矩形；
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
M，N分别是AC，BD的中点. 求证：MN⊥BD.
证明： 连接BM，DM. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， M是AC的中点， ∴BM＝DM＝ ∴MN⊥BD. AC. ∵点N是BD的中点，
8. (6分)如图KT18－2－7，在 连接BD.
ABCD中，∠ABD的平
分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F， (1)求证：△ABE≌△CDF；
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∠A＝∠C，
(2)∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴DE∥BF，DE＝BF.
∴四边形DFBE是平行四边形.
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，
∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到
“四边形ABCD是矩形”的条件有( B ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
新知 4
矩形的面积
矩形的面积公式：S矩形＝长×宽(两邻边的乘积).
例题精讲 【例5】如图18－2－14所示，在 三角形，试求此平行四边形的面积. ABCD中，对角
矩形.
答案 D
点评 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的
判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角
线相等的平行四边形是矩形.
例题精讲 1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的 是( C )
A. AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B. ∠A＝∠B＝∠D＝90°
的直角边等于斜边的一半可得EF＝2BE，判断出①正确；
根据翻折的性质，可知∠PEF＝∠BEF＝60°，∠ABC
＝∠EPF＝90°. 利用三角形内角和定理可知，∠PFE＝
再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半 及勾股定理求出PF＝ PE，判断出②错误；求出BE＝