19-4.1简谐运动 振幅 周期和频率 相位
简谐振动和振动的周期与频率
简谐振动和振动的周期与频率振动是物体在某个平衡位置附近做往复性运动的现象，而简谐振动是一种特殊的振动形式。
本文将介绍简谐振动的基本概念、特性以及与振动周期和频率的关系。
一、简谐振动的基本概念简谐振动是指当物体相对于某个平衡位置做往复振动时，其运动满足以下条件：1. 振动轨迹为线性回复运动，即在平衡位置两侧来回振动；2. 振动的加速度与位移成正比，且方向相反；3. 振动的周期保持不变。
二、简谐振动的特性简谐振动具有以下几个重要的特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体振动过程中处于位移为零的位置，也是物体所能达到的最稳定位置。
2. 振幅：振幅是指物体在振动过程中最大位移的绝对值，记作A。
振幅决定了振动的大小。
3. 周期：简谐振动的周期是物体完成一次往复运动所需的时间，记作T。
周期与振动频率的倒数成反比关系。
4. 频率：简谐振动的频率是振动单位时间内所完成的往复振动次数，记作f。
频率与周期的倒数成正比关系。
三、振动周期与频率的计算1. 振动周期的计算公式为：T = 2π√(m/k)，其中T表示振动周期，m表示物体的质量，k表示弹簧的劲度系数。
振动周期与质量和弹簧的劲度系数的平方根成正比。
2. 振动频率的计算公式为：f = 1/T，其中f表示振动频率。
振动频率与振动周期的倒数成正比。
四、简谐振动周期与频率的影响因素1. 振动的质量：物体的质量越大，一次振动所需的时间增加，即振动周期增大。
2. 弹簧的劲度系数：劲度系数越大，相同质量的物体在振动过程中对应的位移越小，即振动周期减小。
3. 振幅：振幅的增大会导致振动过程中位移的增大，从而影响振动周期和频率。
4. 外力的影响：外力对振动的周期和频率也会产生影响，如在简谐振动中加入阻尼力或外力作用。
五、结论简谐振动是一种特殊的振动形式，其运动满足线性回复运动、加速度与位移成正比且方向相反、振动周期保持不变的条件。
简谐振动的周期与物体质量和弹簧的劲度系数成正比，而与振幅和外力有关。
简谐振动中的振幅周期频率和相位
三 相位（Phase）描述振动物体运动状态的物理量
x Acos(t ) x
A
v A sin(t ) o
用相位来描述运动状态，
就可以区分位置和速度都相 同的状态。
A v
v v
T 2
xt 图
v
T
v
t
t : t 时刻的相位，描述 t 时刻的运动状态。
相位在 0 ~ 2内π变化，质点无相同的运动状态；
解：1）因T = 2s。于是
2
T
(rad / s)
将已知条件代入运动方程 x Acos(t )
得： x0 A cos 即 考虑到 t = 0时 v0 A sin
于是运动学方程为 x 0.12
3
0
cos(
t
)
3
m 16
3
于是运动学方程为 x 0.12 cos( t ) m
2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；
或 3）已知由振振动动表曲达线式求，出求振出动：表达式。
A、、 及、a、F 等
12
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m，物体的 质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向X轴正向拉长到
0.04m 处静止释放，求：振动方程。
2π 2π
表示 2π秒时间内物体完 成全振动的次数。
T
（也称圆频率）
4
说明： 1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均由振动系统本身的性 质所决定。
对于弹簧振子：
k , 1 k , T 2 m
m
2 m
k
简谐运动的表达式还可以写为:
x Acos( t ) Acos(2 t ) Acos(2 t 5 )
简谐运动中的振幅周期频率和相位资料重点
o
t
- A2
o
A1
-A1
A2
x
A1
x1 反相
两质点同时到达各
A2 o
- A2
x2
自相反方向的极端位置，
T
同时越过原点但向相反
t
方向运动.
-A1
A2
o
A2
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
➢ 超前和落后：
第九章 振 动
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前
k g
mb
( mg kb 0)
自然长度
F
b
当 t 0 时, x0 b ，0 0
mg
则 A
x02
02 2
b
arctg
0 x0
x b cos
1 （单位时间内的振动次数）
T 2π
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
圆频率 2π 2π
T
角频率(angular frequency)
(2 秒内的振动次数)
x
A
o
xt 图
T
T
t
A
2
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
简谐振动为
x2
v2
02
A2
v v
o
vx
• 简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于 初始条件。
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
例题 : 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
x Acos(t ) o
v A sin(t ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
三 相位 t
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
一 振幅
A xmax
二 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期注意T 2π m Nhomakorabeak
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念
机械振动和机械波考点例析一、夯实基础知识1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特征是：F=-kx,a=-kx/m（2）简谐运动的规律：○1在平衡位置： 速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
○2在离开平衡位置最远时： 速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
○3振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。
加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
它是标量。
（4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f.2、深刻理解单摆的概念(1)单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。
(2)单摆的特点：○1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=gL π2。
(3)单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=224TL π.3、深刻理解受迫振动和共振(1)受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
(2)共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
简谐运动的周期、频率、振幅、相位
π 甲和乙的相差为_____ 甲和乙的相差为_____
2
课 堂 练 习 2. 某 简 谐 运 动 的 位 移 与 时 间 关 系 为 ：
x=0.1sin （ 100πt ＋ π ） cm, 由此可知该振动 sin（
50 Ｈz，零时 刻 振 动 物 体 的 速 度 与 规 定 正 方相反 （ 填 向 _____
T＝1.0s f＝1 Hz 振子在5s 5s末的位移的大小 （2）振子在5s末的位移的大小 10cm 振子5s 5s内通过的路程 （3）振子5s内通过的路程 200cm
一定 注意： 内通过的路程一定是 注意： T内通过的路程一定是4A 内通过的路程一定 1/2T内通过的路程一定是 1/2T内通过的路程一定是2A 1/4T内通过的路程不一定是 1/4T内通过的路程不一定是A 内通过的路程不一定
同相：频率相同、初相相同(即相差为0 同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同 反相：频率相同、相差为π 反相：频率相同、相差为π的两个振子 振动步调完全相反
思考与讨论 1、一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成 了一次全振动? 了一次全振动? 相位每增加2 相位每增加2π就意味着发生了一次全振动 2、甲和乙两个简谐运动的相差为 ，意味着什么? 意味着什么?
x = A sin (ωt + ϕ )
课 堂 练 习 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象， 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象，两振 右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象 动振幅之比为_______，频率之比为_______， 动振幅之比为_______，频率之比为_______， _______ _______ 2∶1 1∶1
二、简谐运动的表达式 相位
x = A sin(ωt + ϕ )
简谐振动解析振动规律与周期
简谐振动解析振动规律与周期简谐振动是物体在恢复力作用下沿着一条直线上周期性地来回振动的运动方式。
在物理学中，简谐振动是一种极为常见的现象，它涉及到许多重要的物理概念和数学方法。
本文将对简谐振动的解析表达式、振动规律以及周期进行详细阐述。
一、简谐振动的解析表达式简谐振动的数学描述通常采用正弦函数来表示。
具体而言，假设物体的振动方程为：$x = A \sin (\omega t + \phi)$其中，$x$表示物体的位移，$A$表示振幅，$\omega$表示角频率，$t$表示时间，$\phi$表示初始相位。
在上述公式中，角频率$\omega$与周期$T$之间满足以下关系：$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$二、简谐振动的振动规律在简谐振动中，物体在振动过程中呈现出一系列特征，包括振幅、频率、周期和相位等。
1. 振幅振幅$A$代表了物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移距离。
振幅越大，代表物体的振动范围越广。
2. 频率频率$f$表示单位时间内振动的次数，它与周期$T$之间的关系为：$f = \dfrac{1}{T}$3. 周期周期$T$代表完成一次完整振动所需要的时间。
周期与频率之间具有倒数关系，即$T = \dfrac{1}{f}$。
4. 相位相位$\phi$描述了物体在某一时刻相对于振动的起点所处的位置。
相位的变化会导致振动曲线的形状和位置发生相应的变化。
三、简谐振动的周期简谐振动的周期可以通过振动方程中的角频率来计算。
根据前面提到的关系$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$，可以推导出简谐振动的周期公式：$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$在实际问题中，我们可以通过已知的条件来计算出振动的周期。
例如，如果已知某物体的角频率为$\omega = 2\pi \ rad/s$，则该物体的振动周期为$T = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1 \ s$。
简谐振动的特性
简谐振动的特性简谐振动是物体在受到一个恢复力作用下，沿着某一直线定点运动的一种运动形式。
它具有周期性、振幅恒定以及频率稳定等特点。
本文将从频率、周期和振幅等几个方面介绍简谐振动的特性。
一、频率简谐振动的频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
频率与振动周期之间有如下关系：频率 = 1 / 周期频率的倒数就等于振动周期。
例如，一个物体的振动周期为0.1秒，则它的频率为1 / 0.1秒 = 10Hz。
二、周期简谐振动的周期是指一个完整的振动所经过的时间。
周期与频率之间的关系已在上一部分中提到。
简谐振动的周期与其运动物体的质量以及弹性系数密切相关。
当质量和弹性系数不变时，周期始终保持不变。
三、振幅振幅是简谐振动中物体在振动过程中离开平衡位置的最大偏移距离。
振幅大小与振动物体的能量有关，而能量的大小与振幅平方成正比。
振幅越大，物体具有的机械能越大。
四、受力特性在简谐振动中，物体受到的恢复力与其偏离平衡位置的距离成正比，且方向相反。
根据胡克定律，恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离呈线性关系。
五、相位简谐振动的相位是指振动物体相对于某一特定时刻的位置关系。
相位用角度或弧度来表示。
相位角正负号表示了物体相对于平衡位置的偏移方向。
相位的变化规律可由三角函数来表示。
六、谐振现象谐振现象指的是当外力的频率与物体自身振动频率相同时，物体表现出的振幅增大的现象。
这是由于外力与物体振动频率的共振效应所引起的。
当共振发生时，外力与物体发生能量传递，使振幅增大。
七、应用范围简谐振动在日常生活和工程领域中得到了广泛的应用。
例如钟表的摆线引入了简谐振动的原理，以实现精准的时间测量。
在机械振动工程中，简谐振动的特性被广泛应用于减振器的设计和振动分析中。
结语简谐振动具有周期性、振幅恒定和频率稳定等特点，在自然界和工程中都有广泛的应用。
通过对简谐振动特性的研究和理解，可以更好地掌握和应用振动学的相关知识。
拓宽对简谐振动的认识，有助于我们更深入地探索振动现象的奥秘。
简谐振动周期性运动和振动参数
简谐振动周期性运动和振动参数简谐振动是一种周期性运动，它包含了一系列的振动参数。
本文将从简谐振动的定义、周期性运动的特点和振动参数的计算方法等方面进行论述。
首先，简谐振动是指一个物体在某个平衡位置附近做往复振动的运动。
它的特点是运动是周期性的，即在相同的时间间隔内重复。
这种周期性运动的实例可以在生活中找到很多，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等。
对于简谐振动而言，有几个重要的振动参数需要了解。
首先是振动的周期T，它是指完成一个完整振动所需要的时间。
周期的计算公式为T = 2π/ω，其中ω是角频率，它表示单位时间内的振动周期数。
角频率与振动的角速度有关，而角速度则是指单位时间内物体运动的角度改变量。
另一个重要的振动参数是频率f，它是指单位时间内振动的次数。
频率与周期的关系为f = 1/T，即频率的倒数等于周期。
频率通常使用赫兹（Hz）来表示。
振动的幅度A也是一个重要的参数，它是指物体运动离开平衡位置的最大距离。
振动的幅度与振动的能量有关，一般情况下，振动的幅度越大，能量也就越大。
除了上述振动参数外，还有一个衡量简谐振动性质的参数是相位φ。
相位是指物体在某一时刻与参考位置的夹角，通常以弧度（rad）表示。
相位可以用来描述物体的位移状态和与参考点的关系。
在实际问题中，我们可以通过振动参数来计算简谐振动的各个方面。
例如，已知振动的周期T和振动的频率f之间的关系为f = 1/T，我们可以通过已知的一个参数来计算另一个参数。
同样地，已知振动的角频率ω和周期T之间的关系为T = 2π/ω，也可以通过已知的一个参数来计算另一个参数。
总结起来，简谐振动是一种周期性运动，它具有周期性、振动参数和相位等特点。
了解和熟悉简谐振动的定义和振动参数的计算方法，有助于更好地理解和分析振动问题。
通过掌握这些基本知识，我们可以更好地应用于实际问题的解决中。
简谐振动与振幅周期
简谐振动与振幅周期简谐振动是指一个物体围绕平衡位置做周期性的振动。
在自然界中，简谐振动的机制非常普遍，如弹簧振子、摆钟等。
本文将介绍简谐振动的定义、特点以及振幅和周期的关系。
一、简谐振动的定义和特点简谐振动是指一个物体在受到一个恢复力作用下，围绕平衡位置做周期性的振动。
恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离成正比，方向与偏离的方向相反。
简谐振动具有以下特点：1. 回复力大小与位移成正比：物体偏离平衡位置越远，恢复力越大；2. 振动频率恒定：在简谐振动中，物体的振动频率是固定的，与物体的质量和弹簧的劲度系数有关；3. 振动轨迹是正弦曲线：在简谐振动中，物体的振动轨迹是一个正弦曲线，其形状呈现周期性变化。
二、振幅、周期和频率的关系振幅是指简谐振动中物体偏离平衡位置的最大距离。
周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间。
频率是指单位时间内完成的振动次数。
振幅、周期和频率之间存在以下关系：1. 振幅与能量大小有关：振幅越大，物体的能量越大；2. 周期和频率的倒数相等：周期T和频率f满足关系式T=1/f，即一个物体的振动频率为1Hz，那么它的周期就为1秒；3. 振幅和周期无关：振幅的大小不会影响周期的时间。
三、简谐振动在生活中的应用简谐振动在生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 弹簧振子：弹簧振子是简谐振动的典型例子，常见于钟表、弹簧秤等设备中；2. 古典音乐：音乐中的音调、音乐乐器中的弦乐器都是通过简谐振动产生的；3. 摆钟：摆钟利用摆线的简谐振动来计时，具有较高的准确度。
四、简谐振动的驱动力和阻尼在实际情况中，简谐振动往往会受到驱动力和阻尼的影响。
1. 驱动力：当一个物体受到外界施加的周期性力时，简谐振动就变成了受迫振动，此时振动频率与驱动力的频率相同；2. 阻尼：阻尼是指简谐振动过程中能量逐渐耗散的现象。
阻尼分为三种类型：无阻尼（能量不耗散）、弱阻尼（能量耗散较慢）、强阻尼（能量耗散较快）。
结论简谐振动是一种围绕平衡位置作周期性振动的现象。
简谐振动中的振幅周期频率和相位
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
例：已知振动曲线，求： 振动表达式。
解：设振动表达式为：
x Acos(t )
x (cm )
4
o2
-2
1
-4
xt 图
t (s)
由振动曲线知： A 4cm
初始条件： t 0 时 ，x0 2cm, 0 0
由振动曲线还可知： t 1s 时，x1 2cm, 1 0
相位差：两个振动在同一时刻的相位之差，或同 一振动在不同时刻的相位之差。
两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：
( t 20 ) ( t 10 ) 20 10
7
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
四 常数 A 和 的确定 x Acos(t )
v A sin(t )
5
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
t 0 对应
x Acos0 A
v A sin0 0
正的最大位移， 速度为0的状态。
t / 2 对应
x Acos / 2 0 v A sin / 2 A
平衡位置，速度最大且 向 x 负向运动的状态。
初相位 是 t = 0时刻的相位，描述质点初始时刻的
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相位由初始条件决定。
8
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
说明：
A
x02
v02
2
tan v0 x0
振动的周期和频率的计算
振动的周期和频率的计算振动是物体围绕其平衡位置来回运动的现象，所有振动都有一个周期和一个频率。
周期是振动完成一个完整循环所需要的时间，通常用T 表示。
频率是单位时间内发生振动的次数，通常用 f 表示。
周期和频率之间有以下的关系：f = 1 / T （频率等于周期的倒数）要计算振动的周期和频率，可以利用已知的物理量进行推导和计算。
接下来，我们将详细介绍几种常见的振动情景，并给出相应的计算方法。
一、简谐振动的周期和频率计算简谐振动是一种最基本的振动形式，运动物体在平衡位置附近往复运动。
当物体受到一个恢复力，且该力与物体的位移成正比时，物体将进行简谐振动。
1.弹簧振子的周期和频率计算假设有一个弹性系数为 k 的弹簧振子，重物质点质量为 m。
弹簧振子的周期和频率可以通过以下公式计算：T = 2π√(m/k) （周期的计算公式）f = 1 / T = 1 / (2π√(m/k)) （频率的计算公式）2.简谐摆的周期和频率计算简谐摆是一个可以在垂直平面内摆动的物体，如小球系在一根轻质线上，被限制在一个平面内做周期性运动。
假设简谐摆的摆长为 L，重力加速度为 g，那么简谐摆的周期和频率可以通过以下公式计算：T = 2π√(L/g) （周期的计算公式）f = 1 / T = 1 / (2π√(L/g)) （频率的计算公式）二、非简谐振动的周期和频率计算除了简谐振动外，还存在一些非简谐振动的情况，例如阻尼振动和受迫振动。
1.阻尼振动的周期和频率计算阻尼振动是由于存在摩擦力或空气阻力而导致振动系统能量的损耗。
阻尼振动在周期和频率上都会受到阻尼系数的影响，计算方法如下：T = 2π√(m/k - (c/2m)²) （周期的计算公式）f = 1 / T = 1 / (2π√(m/k - (c/2m)²)) （频率的计算公式）其中，m 是物体的质量，k 是弹簧系数，c 是阻尼系数。
2.受迫振动的周期和频率计算受迫振动是指外力周期性地对振动系统施加作用，使得系统发生振荡。
简谐振动的特点与频率
简谐振动的特点与频率简谐振动是物理学中的一个重要概念，广泛应用于力学、波动和振动等领域。
简谐振动具有以下几个特点：周期性、等幅振动、单一频率和相位恒定。
本文将重点讨论简谐振动的特点以及频率的计算。
一、简谐振动的特点1. 周期性：简谐振动是指物体在恢复力的作用下，做周期性的振动。
无论是弹簧振子、摆锤还是弦上的波动，它们都具有明确的周期性特点。
2. 等幅振动：简谐振动的振幅在整个运动过程中保持不变。
这意味着振幅不受外力的影响，它只取决于振动系统本身的特性。
3. 单一频率：简谐振动只有一种固定的频率，即在整个振动过程中频率保持不变。
这一点与复杂振动不同，后者可能由多个频率的简谐振动叠加而成。
4. 相位恒定：简谐振动的物体在任意时刻的位移和速度之间存在固定的相位差。
相位差的大小和正负可通过振动的周期性确定。
二、简谐振动的频率计算简谐振动的频率与振动系统的物理特性密切相关。
最常用的频率公式为：f = 1 / T其中，f为振动的频率，T为振动的周期。
对于弹簧振子，其周期与弹簧的劲度系数和质量相关。
可以使用以下公式计算其频率：f = 1 / (2π) * sq rt(k / m)其中，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。
对于简谐摆，其周期与摆长和重力加速度相关。
可以使用以下公式计算其频率：f = 1 / (2π) * sqrt(g / L)其中，g为重力加速度，L为摆长。
对于弦上的简谐波，其频率与弦的线密度、张力系数和长度相关。
可以使用以下公式计算：f = 1 / (2L) * sqrt(T / μ)其中，L为弦的长度，T为张力系数，μ为线密度。
需要注意的是，以上公式中的频率均为简谐振动的基础频率，也称为谐波基频。
对于复杂振动，可以通过简谐振动的叠加来表示。
综上所述，简谐振动具有周期性、等幅振动、单一频率和相位恒定等特点。
其频率可以根据振动系统的物理特性进行计算。
掌握简谐振动的特点与频率计算方法有助于我们深入理解振动现象和相关的物理规律。
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
v A sin(t ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
三 相位 t
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
一 振幅
A xmax
二 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
四 常数 A 和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
Байду номын сангаас
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论 已知 t 0, x 0, v 0 求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
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4
物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
弹簧振子的振动
l0 k
m
x
A
o
A
x0 F 0
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
振动的成因
a 回复力 b 惯性
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
3、弹簧振子的运动分析
F
m
x
2
o
x
F kx ma
2
k 令 m
d x 2 x a 2 x 得 即 2 dt 具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而方 向相反特征的振动称为简谐振动
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
扩展:
F kx
不仅适用于弹簧系统
物体所受到的合外力∝ 离系统平衡位置的位移
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
x A cos(t ) A cos[ (t T ) ] 1 频率 x T 2π x t图 A 圆频率 T
o
t
2π 2 π T
A
T 2
周期和频率仅与振动系统本身的物 理性质有关，与计时零点的选择无关
？
1 2 3
4 5 6
7
7 6 5 4 3 2 1
？
2
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
提琴弦线的振动
弓
琴码
5 26 3
3
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
2 简谐振动 简谐振动 简谐振动 最简单、最基本的振动 合成 复杂振动
分解
谐振子
作简谐振动的物体
o
t
t
A
v
v t图
T
o
A
A cos(t π)
2
A 2
a
a t图
o
A
2
t
T
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
三、简谐振动的特征
１、振幅
A xmax
Vmax A , amax A 2
x A cos(t )
① ② ③ ④ ⑤
32
3
30
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
用余弦函数描述一简谐振子的振动，若其速度 ~ 时 间（v ~ t）关系曲线如图所示，则振动的初位相为
例2
√ （A）π/6
（D）2π/3
（B）π/3
（C）π/2
（E）5π/6
V m/s
o
1 Vm 2 Vm
t (s )
31
物理学
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
d 2 0 2 dt
2
转动正向 O
m cos(t )
角谐振动
mgl J
l
*C
P
（C点为质心）
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
４、 简谐振动的判据
（1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0 d2 x 2 x （2）简谐振动的动力学描述 2 dt （3）简谐振动的运动学描述 x A cos(t ) （4）加速度与位移成正比而方向相反
F=-kx
准弹性力
系统本身决定的常数
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
解方程 * d2 x 2 x 2 dt 设初始条件为:
简谐振动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0 解得 x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
简谐振动的运动 方程
若某物理量满足*，则其运动方程可用时间 t 的正、 余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
例1 单摆
动力学分析： 5 时， sin
M mgl sin mgl 2 d mgl J 2 dt d 2 g 2 dt l
v0 sin 0 A a0 cos 0 A 2
由 t = 0时
由cos 0大小和sin 0的符号决定 0
由sin 0大小和cos0的符号决定0
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物理学
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
例1
一弹簧振子作谐振动，振幅为m ，周期为 T ，其运动方程 用余弦函数表示，若t=0时，振子在位移为A/2 处，且向负 方向运动，则初位相为 ？
周期 T
注意
2π
A o
A
x
x t图
T
T 2
弹簧振子周期
t
m T 2π k
l 单摆 T 2 π g
J 复摆 T 2π mgl
20
2π
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
讨论: 1、k在串联、并联后的等效计算？
2、k被剪为长度相同的n段后，其中 任意 一段的ki如何计算？
第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
例4.2 如图4.6所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂 一质量为m的物体.设弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R. 若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放.(1)试证明物体m的 运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程.
A
FT
o
l
转 动 正 向 m
J ml P
2
10
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
d g 2 dt l g 2 令 l
2
A
d 2 0 2 dt
2 动 正 向 m
m cos( t )
J ml P
初相位 t 0时，(t ) 相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振 动状态（相貌）. 物体经一周期的振动， 相位改变 2π .
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
(1)( t 0 )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos( t 0 ); v A sin( t 0 )
简谐运动方程
d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
x A cos(t )
A A
x
x t图
T
v A sin( t ) π A cos(t ) 2 2 a A cos(t )
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂 355~415 455~600 330 220
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
３、相位 t x A cos(t )
相位 (位相) (t) t
v
x
π 0 A cos 2 v0 A sin 0 π sin 0 取 2 π x A cos(t ) 2
o
x
x t图
T
T 2
A o
A
t
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
小结
x0 cos 0 A v0 sin 0 A
式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg＝kl，所以上式为
d 2x m 2 kx dt
2
即为
d 2x 2x 0 dt 2
k 式中 .于是该系统作简谐振动. m
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
由 x A cos(t )
dx A sin( t ) 得 v dt
解 (1)若物体m离开初始位置的距离为b时，受力平衡，则此时有
mg mg kb 即 b k
以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正 向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和 定轴转动定律有
mg T1 ma ' T1 R T2' R I T2 k ( x b) a R T1' T1及T2' T2
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第五版
4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
一 简谐运动
1 机械振动 物体或物体的某一部分在一定位置 a 定义： 附近来回往复的运动 平衡位置 b 实例: 心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等 c 周期和非周期振动
1
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4-1 、4-2 简谐振动的动力学特征、运动学
口琴的发音机理
A
x2
v2
2
x0 A cos 0 v0 A sin 0
A x0
2
2 v0 2