1.4两条直线的交点
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组 无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系 数之间的关系来判定两直线的位置 关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0
3 6 ＝ 2 4 6 15
y= x
练习
求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－ 7=0的交点，且垂于直线x+3y－5=0的 直线方程。
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线： 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+y+2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
Y
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)(3)
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
M
O X
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程；L1：x－2y+2=0，L2：2x－y－2=0 解：解方程组 x= 2 x－2y+2=0 y=2 2x－y－2=0 ∴L1与L2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
练习
A2x+B2y+C2=0
只有一个解，那么这个解为坐标的点 就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+yБайду номын сангаас2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
Y
x= －2 y=2
∴L1与L2的交点是M（- 2，2）
第二章 解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点
解下列方程组： ⑴
3x+2y－7＝0
⑵
3x+2y－6＝0
⑶
2x－3y+4＝0 3x－2y－7＝0 6x－4y－14＝0
1.4两条直线的交点.(正式)
1.4两条直线的交点一、学习目标(一)知识点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养抽象思维能力与类比思维能力．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养转化思想．二、重点、难点1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、学习过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1、A2、B1、B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．(四)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例2 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：2．A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)A=3，C≠-2；(2)A=3，C=-2；(3)A≠3．3．已知两条直线：l1：(3+m)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8．m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．。
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)(2)
3 2 2 －3
3 2 6 ＝ 6 4 15
3 2 7 ＝ 6 4 14
一般情况如何呢？
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 唯一解
1 2
A1B1C1≠0,A2B2C2≠0
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
AB A B
1 1 2 2
L1,L2相交
1 2
无穷多解
无解
A B C A B C
1 1 2 2
L1,L2重合
1 2
A B C A B C
L1,L2平行
练习1：判定下列各组直线的 位置关系。
(1) 重合 L1: 7x+2y-1=0 L2: 14x+4y-2=0 L ( 3 2)x y 7 ( x ( 3 2 ) y 6 0 平行 2 L 1:
(3)
k1 k 2
k1 k2 b1 b2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
k1 k2 b1 b2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
第二章 解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点
解下列方程组： ⑴
3x+2y－7＝0
⑵
3x+2y－6＝0
⑶
2x－3y+4＝0 3x－2y－7＝0 6x－4y－14＝0
6x+4y－15＝0
答案
（1）有唯一解
X=1
Y=2
（2）无解
（3）无数解
问题一：方程组解的情况与方 程组所表示的两条直线的位置 关系有何对应关系？
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
北师大版高中数学必修2教案备课两条直线的交点
1.4 两条直线的交点学 习 目 标核 心 素 养1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.两直线的交点已知两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若点P (x 0，y 0)是l 1与l 2的交点， 则⎩⎨⎧A 1x 0＋B 1y 0＋C 1＝0，A 2x 0＋B 2y 0＋C 2＝0. (2)若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，有唯一解⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两条直线相交，交点坐标为(x 0，y 0)．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？ 提示：满足．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)B [解方程组⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，故两条直线的交点坐标为(2,3)．]2．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．a ≠2 [由题意得6a －12≠0，即a ≠2.]3．直线y ＝kx ＋3过直线2x －y ＋1＝0与y ＝x ＋5的交点，则k 的值为________． 32 [由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，y ＝x ＋5，得交点(4,9)， 代入y ＝kx ＋3得9＝4k ＋3，∴k ＝32.]两直线的交点问题(1)l 1：2x ＋3y －7＝0，l 2：5x －y －9＝0； (2)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0； (3)l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0.[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋3y －7＝0，5x －y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1， 所以交点坐标为(2,1)，所以l 1与l 2相交． (2)解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋5＝0， ①4x －6y ＋10＝0， ②①×2得4x －6y ＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0， ①4x －2y ＋3＝0， ②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l 1∥l 2.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.[跟进训练]1．直线ax ＋2y ＋8＝0，x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0相交于一点，求a 的值．[解] 解方程组⎩⎨⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴直线x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax ＋2y ＋8＝0，得－2a ＋4＋8＝0，∴a ＝6.过两直线交点的直线方程12线5x －y ＋3＝0的直线方程．[解] 法一：由⎩⎨⎧3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，又所求直线与直线5x －y ＋3＝0平行， 所以斜率k ＝5，由点斜式得y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.法二：设所求直线方程为3x ＋2y －7＋λ(x －y ＋1)＝0，即(λ＋3)x ＋(2－λ)y －7＋λ＝0.∵直线与5x －y ＋3＝0平行， ∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝134， ∴所求直线为3x ＋2y －7＋134(x －y ＋1)＝0， 即5x －y －3＝0.经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )； ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C ′＝0；③过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ1，λ2为参数).,当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l 1；,当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l 2.[跟进训练]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1， 直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.直线恒过定点问题1．不论k 取什么值，直线y ＝kx ＋2恒过定点，试求出此定点．提示：由直线的方程可知当x ＝0时y ＝2，此时与k 的取值无关．故直线恒过点(0,2)．2．不论m 取什么值：直线y －2＝m (x ＋3)恒过定点．求出此定点． 提示：由直线方程可知当x ＝－3时y ＝2与m 的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．【例3】 求证：无论k 取何值时，直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0必过定点，并求出该定点坐标．[证明] 法一： 当k ＝1时，直线方程为x ＝1. 当k ＝0时，直线方程为x ＋y ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝0得交点P (1，－1)， 将P (1，－1)代入原方程左边得k ＋1－(k －1)×(－1)－2k ＝k ＋1＋k －1－2k ＝0， 即点P 的坐标总适合直线方程．∴无论k 取何实数，点P (1，－1)总在直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0上． 法二：将原方程化为k (x －y －2)＋x ＋y ＝0， 要使其对任意实数k 恒成立，则有⎩⎨⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.∴不论k 为何实数，原直线都过定点(1，－1)．若将本例中的直线方程改为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5应如何求解． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边 (m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0.∴⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4.∴不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)．1．求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f (x ，y )＋mg (x ，y )＝0的形式，欲使此式成立与m 的取值无关，则⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.由此方程组求得定点坐标．2．分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解定点． 2．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．1．思考辨析(1)两条直线不相交就平行．( )(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) (3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． ( ) (4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．直线2x －y ＝7与直线3x ＋2y －7＝0的交点坐标是( ) A ．(3，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，－1) D ．(3,1)A [联立两直线的方程，得⎩⎨⎧ 2x －y ＝7，3x ＋2y －7＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，即交点为(3，－1)，故选A.]3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]4．已知直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：x ＋y －2＝0，设其交点为P . (1)求交点P 的坐标；(2)设直线l 3：3x －4y ＋5＝0，分别求过点P 且与直线l 3平行及垂直的直线方程．[解] (1)∵直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ， 由⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，∴P (0,2)． (2)∵l 3：3x －4y ＋5＝0，设与l 3平行的直线方程为3x －4y ＋C ＝0(C ≠5)， 将P (0,2)代入得C ＝8，∴过点P (0,2)且与l 3平行的直线方程是3x －4y ＋8＝0. 设与l 3垂直的直线方程为4x ＋3y ＋C ＝0， 将P (0,2)代入得C ＝－6，∴过点P (0,2)且与l 3垂直的直线方程是4x ＋3y －6＝0.。
苏教版高中数学选择性必修一两条直线的交点 课件
选择性必修第一册
第1章 直线与方程
1.4 两条直线的交点
学习目标 课程标准
重难点
能用解方程组的方法求 两直线的交点掌握两直 1.两条直线交点的求解 线相交的条件
当堂检测
知识回顾 一、两条直线的交点
几何元素及关系 点A 直线l
点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A
代数表示 A(a，b) l：Ax＋By＋C＝0 Aa＋Bb＋C＝0 方程组的解是
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解析】(1)解方程组 2x＋y＋3＝0， x－2y－1＝0，
得 x＝－1， y＝－1，
所以直线 l1 与 l2 相交，交点坐标为(－1，－1)．
2x＋y＋2＝0，
x＝－10， 3
得 y＝14. 3
所以
l1
与
l2
相交，且交点坐标为
(
10 3
,
14 3
)
.
2x－6y＋3＝0，① (2)解方程组 y＝1x＋1，②
32
②×6 整理得 2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重合．
2x－6y＝0，① (3)解方程组 y＝1x＋1，②
讲授新课
知识点一 两条直线的交点
判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝13x＋12； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝13x＋12.
2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，
不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐； 二是利用直线系方程，过两条相交直线A1x＋B1y＋C1＝ 0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1 ＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋
B2y＋C2＝0，这种方法可以避免解方程组求交点．
法二：设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， 又∵l⊥l3， ∴3× (1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 解得 λ＝11， ∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，
x＋y＋a＝0构成三角形的条件．
(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定
点的坐标．
[自主解答] 法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－
(m－11)＝0，令 m＝0，得 x－3y－11＝0； 令 m＝1，得 x＋4y＋10＝0.
x－3y－11＝0， 解方程组 x＋4y＋10＝0，
得两直线的交点为(2，－3)． 将点(2，－3)代入已知直线方程左边， 得(2m－1)× 2＋(m＋3)× (－3)－(m－11)＝4m－2 －3m－9－m＋11＝0. 这表明不论 m 为什么实数， 所给直线均经过定点 (2，－3)．
法二：将已知方程以 m 为未知数， 整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于 m
2x＋y－1＝0， 取值的任意性，有 －x＋3y＋11＝0.
解得 x＝2，y＝－3. 所以所给的直线不论 m 取什么实数，都经过一个定 点(2，－3)．
[悟一法] 求直线过定点的方法：
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)(2)
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
3 2 2 －3
3 2 6 ＝ 6 4 15
3 2 7 ＝ 6 4 14
一般情况如何呢？
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 唯一解
1 2
A1B1C1≠0,A2B2C2≠0
1 2
AB A B
1 1 2 2
L1,L2相交
1 2
无穷多解
无解
A B C A B C
1 1 2 2
L1,L2重合
1 2
A B C A B C
L1,L2平行
练习1：判定下列各组直线的 位置关系。
(1) 重合 L1: 7x+2y-1=0 L2: 14x+4y-2=0 L ( 3 2)x y 7 ( x ( 3 2 ) y 6 0 平行 2 L 1:
(3)
: L1: 3x+5y-1=0
L2: 4x+3y=5
)
2
相交
问题三：在已知两条直线相交的情况下，如 何去求它们的交点呢？
两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相 交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它 们的方程组成的方程组 的解；反之， A1x+B1y+C1=0 如果方程组
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)(3)
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
M
O X
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程；L1：x－2y+2=0，L2：2x－y－2=0 解：解方程组 x= 2 x－2y+2=0 y=2 2x－y－2=0 ∴L1与L2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
练习
3 2 2 －3
Hale Waihona Puke 3 2 6 ＝ 6 4 15
3 2 7 ＝ 6 4 14
一般情况如何呢？
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 唯一解
1 2
A1B1C1≠0,A2B2C2≠0
1 2
AB A B
1 1 2 2
L1,L2相交
1 2
无穷多解
无解
A B C A B C
A2x+B2y+C2=0
只有一个解，那么这个解为坐标的点 就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+y+2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
第一部分 第二章 §1 1.4 两条直线的交点
6 x＝3－5k， 3x－5y－6＝0， 由 得 y＝kx， y＝ 6k . 3－5k 又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点， －6 6 ∴ ＋ ＝0， k＋4 3－5k 1 解得k＝－6. 1 故直线l的方程是y＝－6x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
得交
2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 3 ∴所求直线的斜率是2. 因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，
2x＋y＋8＝0， 解方程组 x＋y＋3＝0，
得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
D．(3,4) 答案：C
2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点
在 第二象限，则m的取值范围是________． 2－m x＝ 4 ， y＝2x＋m＋2， 解：由 得 y＝－2x＋4， y＝m＋6. 2 因为两直线的交点在第二象限
2－m 4 <0， x<0， ∴ 即 y>0， m＋6>0， 2
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
2.1.4 两条直线的交点
A1 = A2 A1 = A2
B1 C1 B2 C2 B1 C1 = B2 C2
相交 K1≠K2
A1 B ¹ 1 A2 B2
垂直 K1k2=-1
A1 A2 + B1 B2 = 0
我们知道， 我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 成立． 成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？ 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？
所以， l1 与 l2 的交点是 ( 所以，
- 1 2+ k 3+ k (k ? 2+ k
2)
- 1 3+ k , ) 2+ k 2+ k
又因为 l1 , l2 , l3 交于一点，即 交点坐标满足直线 l3 的方程， 交于一点， 的方程，
- 1 3+ k - (k + 1) - 5= 0 2+ k 2+ k
判断两条直线的位置关系有以下结论： 判断两条直线的位置关系有以下结论：
L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 均存在） （k1,k2均存在） 平行 K1=K2且b1≠b2 L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 ≠0） （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
重合 K1=K2且b1=b2
l
2
:- x + 2y + 2 = 0
解:
ì x + 2y + 1= 0 ï 解方程组 ï í ï- x+ 2y+ 2 = 0 ï î
2023年苏教版新教材高中数学选择性必修第一册1.4两条直线的交点 同步练习题含答案解析
1.4两条直线的交点一、单选题1．直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+= D ．220x y +-=【答案】B【解析】由102320x y x y -+=⎧⎨++=⎩得两直线交点为(－1，0)，直线l 斜率与240x y -+=相同，为12，则直线l 方程为y －0＝12(x ＋1)，即x －2y ＋1＝0.2．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ）A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】由题知：①当直线10mx y --=与直线2310x y -+=平行时，三条直线不能构成三角形. 即23m =. ②当直线10mx y --=与直线4350x y ++=平行时，三条直线不能构成三角形.即43m =-.③当直线10mx y --=过直线2310x y -+=与直线4350x y ++=交点时， 三条直线不能构成三角形.所以23104350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得113x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，将11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入10mx y --=，解得23m =-.所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.3．若三条直线2380x y ++=，10x y --=和102x ky k +++=相交于一点，则k =（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．12【答案】B【解析】联立238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即直线2380x y ++=与直线10x y --=交于点()1,2--A ， 将点A 的坐标代入直线102x ky k +++=的方程中，得102k --=，解得12k =-. 4．无论k 为何值，直线(2)(1)450k x k y k ++---=都过一个定点，则该定点为（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(3,1)D ．(3,1)-【答案】D【解析】直线方程可化为(25)(4)0x y k x y +-+--=，则此直线过直线250x y +-=和直线40x y --=的交点．由250,40x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得3,1.x y =⎧⎨=-⎩因此所求定点为(3,1)-．5．设集合()3,2,,1y A x y x y R x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭，(){},4160,,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),44,-∞⋃+∞ B ．()(),22,-∞--+∞C ．()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】C【解析】由题知集合A 表示直线()321y x -=-，即21y x =+上的点，但除去点（1，3）， 集合B 表示直线4160x ay +-=上的点，易知直线21y x =+与直线4160x ay +-=不重合，所以当A B ⋂≠∅时，直线21y x =+与直线4160x ay +-=相交且交点不是点（1，3）， 当0a =时，两条直线相交且交点为（4，9），符合题意； 当0a ≠时，由42a-≠且43160a --≠，得0a ≠且2a ≠-且4a ≠. 综上，2a ≠-且4a ≠.6．经过直线l 1：2x ﹣y +1＝0和l 2：x ﹣y ﹣2＝0的交点，且垂直于直线l 1的方程为（ ） A ．2x ﹣y +13＝0 B ．x +2y +13＝0C ．2x ﹣y ﹣13＝0D ．x +2y ﹣13＝0【答案】B【解析】联立直线l 1：2x ﹣y +1＝0和l 2：x ﹣y ﹣2＝0的方程，解得x ＝﹣3，y ＝﹣5，所以直线l 1：2x ﹣y +1＝0和l 2：x ﹣y ﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），又直线l 1的斜率为2，故所求直线的斜率为12-，所以所求直线的方程为()1532y x +=-+，即x +2y +13＝0． 7．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意. 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m -，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦， 解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.8．直线l 经过两条直线3x +4y ﹣5＝0和3x ﹣4y ﹣13＝0的交点，且与直线x +2y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．2x +y ﹣7＝0 B ．2x ﹣y ﹣7＝0 C ．2x +y +7＝0 D ．2x ﹣y +7＝0【答案】B【解析】联立方程345034130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得x ＝3，y ＝﹣1，故所求直线l 过点（3，﹣1），由直线x +2y +1＝0的斜率为12-，可知l 的斜率为2，由点斜式方程可得：y +1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣7＝0二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD【解析】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，解得：11m n =⎧⎨=⎩，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y --=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2-，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，D 正确10．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点O ，则（ ） A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++= D ．ED BC uu u r uu u r 在方向上的投影向量的模为76【答案】BD【解析】如图，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，垂直BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B，()2,0C ，(A ，因为AE EB =，故E 为AB 的中点，所以12E ⎛ ⎝⎭，设(),D m n ，则(1,AD m n =-uuu r ，()2,DC m n =--uuu r ，因为2AD DC=uuu r uuu r，故(()1,22,m n m n-=--，即1422m m n n -=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：53m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则53D ⎛ ⎝⎭ 设直线BD：y kx =，则533D ⎛⎝⎭代入，解得：k BD ：y =， 设直线CE ：y ax b =+，把()2,0C ，12E ⎛⎝⎭代入，解得：a =，b =所以直线CE：33y x =+，联立y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：54x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩54O ⎛ ⎝⎭，A 选项：0OC EO EC +=≠，A 选项错误；B选项：(31,02AB CE ⎛⋅=-⋅-= ⎝⎭uu u r uur ，故B选项正确；14OA ⎛=- ⎝⎭uu r，5,4OB ⎛=- ⎝⎭uu u r，3,4OC ⎛= ⎝⎭uuu r，512OD ⎛= ⎝⎭uuur所以13OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，故23OA OB OC OD ⎛+++=-=，C 选项错误；ED BC uu u r uu u r 在方向上的投影向量的模为()7,2,06726ED BC BC ⎛⋅ ⋅⎝⎭==uu u r uu u r uu u r ，故E D B C u u u r u u u r 在方向上的投影向量的模为76，D 选项正确.11．已知平面上三条直线1:210l x y -+=，2:10-=l x ，3:0+=l x ky 不能构成三角形，则实数k 的值可以为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交， ①当直线0x ky +=经过直线210x y -+=与直线10x -=的交点()1,1时，10k +=，解得1k =-.②当直线0x ky +=与直线210x y -+=平行时，10121k =≠-，解得2k =-； 当直线0x ky +=与直线10x -=平行时，可得0k =， 综上：2k =-或0k=或1k =-.12．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知ABC 的顶。
2.1.4两条直线的交点
例2
直线 l 经过原点 且经过另两条直线 ,
2 x 3 y 8 0, x y 1 0 的交点 求直线 , l 的方程.
例3
某商品的市场需求量y1 万件 、市场
供应量 y2 万件 与市场价格 x元 / 件 分别 近似地满足下列关系 :
y1 x 70, y2 2 x 20.
已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0 和直线 l2 : A2 x B2 y C2 0相交, 那 么方程 A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 为任意实数 表示的直线 有什么特点 ?
分层训练
• 必做题 • 选做题 • 作业 P87 练习 3 4 P87 习题6 P87 习题 4 8
为 x
际每 .依 题意
市场供应量
y2 y1
市场需求量
x t 元
70 10
x
得方程组
x 70 44 , 2 x t 20 44 ,
平衡价格
图 2 1 16
解得 x 26 , t 6 . 因此 , 政府对每件商品应给予 6 元的补贴 .
问题探究
当 y1 y2 时, 的市场价格称为平衡价 , 此时 格 的需求量称为平衡需求 , 量
1求平衡价格和平衡需求 ; 量 2若要使平衡需求量增加 万件, 政府对每 4
件商品应给予多少元补 ? 贴
y
70
平 衡 需 求 10 量 o
市场供应量
y2 y1
市场需求量
70 10
x
平衡价格
解
1 解方程组
的解
一组
一个 相交
无数组
4《两条直线的交点》课件1.ppt
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线 l1 )
练习： P87
补充练习：
练习
１．求经过两条直线 2 x 3 y 3 0和 x y 2 0 的交点，且与直线 3x y 1 0 垂直的直线 l 的 方程．
分析： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程
两条直线的交点
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程 对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那 么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否 有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0
L2： A2x+B2y+C2=0
方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程
２．求证：不论m为何实数， 直线 l :(2m 1) x (m 3) y (m 11) 0 恒过一定点，并求出此定点的坐标．
分析：化为过两直线交点的直线系方程．
课堂小结：
通过解两条直线对应的方程构成的方程 组来研究两条直线的位置关系
１．方程组有一解：两直线有唯一公共点
相交 重合
２．方程组有无数组解：两直线有无数个公共点 ３．方程组无解：两直线无公共点
平行
作 业
P87 练习3； 4 习题２.１（２） 4
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的 坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次 方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l 和 l2 1 的交点．
思考：若方程组没有公共解呢，两直线应是 什么位置关系？
据此，我们有
4《两条直线的交点》课件1.ppt
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线 l1 )
练习： P87
补充练习：
练习
１．求经过两条直线 2 x 3 y 3 0和 x y 2 0 的交点，且与直线 3x y 1 0 垂直的直线 l 的 方程．
分析： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程
相交 重合
２．方程组有无数组解：两直线有无数个公共点 ３．方程组无解：两直线无公共点
平行
作 业
P87 练习3； 4 习题２.１（２） 4
方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程
２．求证：不论m为何实数， 直线 l :(2m 1) x (m 3) y (m 11) 0 恒过一定点，并求出此定点的坐标．
分析：化为过两直线交点的直线系方程．
课堂小结：
通过解两条直线对应的方程构成的方程 组来研究两条直线的位置关系
１．方程组有一解：两直线有唯一公共点
两条直线的交点
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程 对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那 么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否 有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0
L2： A2x+B2y+C2=0
y
分析：市场平衡 价格和平衡需求 量实际上就是两 相应直线交点的 横坐标和纵坐 标．即为相应方 程组的解．
70
市场应量y2
平 衡 需 求 量
o
10
市场需求量y1
70
平衡价格
x
发散思维：
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x + y = 2,
联立两个方程
x = 1,
解得
x − y = 0.
y = 1.
它对应的就是平面上的点P(1,1).
［例1］当k为何值时，直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与 y＝x＋5的交点?
2 x − y + 1 = 0 解： 解方程组 y = x + 5
得交点(4，9) 将x=４，y=9代入y=kx＋3得9=４k＋3
2.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的 坐标. (1)l1：2x－y＝7 l2：４x＋2y＝1 (2)l1：2x－6y＋４＝0 (3)l1：（
x 2 l2：y＝ + 3 3
l2：x＋（
2 －1）x＋y=3
2 ＋1）y＝2
解： (1)解方程组
15 x= , 2 x − y = 7 8 得 4 x + 2 y = 1 y = − 13 . 4
a2 +1 若 ＞0，则a＞1. a −1
a +1 当a＞1时，－ ＜0， a −1
此时交点在第二象限内.
a2 +1 又因为a为任意实数时，都有a2＋1＞0，故 ≠0 a −1 (因为a≠1，否则两直线平行，无交点)
所以，交点不可能在x轴上.
课堂练习
1.求下列各对直线的交点，并画图： (1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝４. (2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.
是否有惟一解.
考察直线l1:x+y=2,l2:x-y=0 的位置关系，显然这两条 直线不平行，那么怎样求出它们的交点坐标？ 在平面直角坐标系中，我们画出这两条直线的图形，如 图，可以看出它们的交点坐标是P(1,1). 下面给出具体求法: 设l1与l2的交点为P(x，y)，由于点P既在l1上，又在l2上， 应该同时满足这两个方程，其坐标是这两个方程的解。
3 解得k = . 2
［例2］已知a为实数，两直线 l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上. 分析：此题先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断 交点横纵坐标的范围.
a +1 a2 +1 ax + y + 1 = 0 , 得交点 (－ ) 解：解方程组 a −1 a −1 x + y − a = 0
36 x= 2 x + 3 y = 12 7 解： (1)解方程组 得 . x − 2 y = 4 y = 4 7
36 4解方程组
x = 2 x = 2 得 3x + 2 y − 12 = 0 y = 3
∴交点坐标为(2，3)
15 13 ∴两直线交点为( ,− ). 8 4
(2) l1：2x－6y＋４＝0，l2：x－3y＋2＝0
2 −6 4 ∵ 1 = −3 = 2
∴两直线重合.
(3)∵k1＝1－ k2＝－ ∴ k1＝k2
2，
1 2 +1
＝－（
2－1）＝1－
2.
2
又b1＝3≠b2＝－ ∴ l1∥l2.
2 +1
.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上， 交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个 解为坐标的点必是直线l1 和l2 的交点.因此，两条直线是否 有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组.
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 = 0
由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二 元一次方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交 于一点，那么这一点与两条直线的方程又有何关系? 如果我们想要在已知两直线方程的前提下求出交点，又 y 应如何?
o
x
设两条直线的方程是
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0;
l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.