四年级数学培优班讲义_余治军

第一讲同级运算中的巧算

一、知识要点：我们知道，运用运算定律、运算性质可以达到计算正确而快捷的目的。对于同级运算，我们可以让数带着符号“搬家”，或者通过添括号、去括号来进行巧算：

1、同级运算中，数带着它前面的运算符号“搬家”，计算结果不变；

2、加减混合运算，添（去）括号法则：

括号前是加号，添（去）括号不变号；括号前是减号，添（去）括号要变号。

3、乘除混合运算，添（去）括号法则：

括号前是乘号，添（去）括号不变号；括号前是除号，添（去）括号要变号。

二、精选例题：

例1：计算：

（1）823＋92－23 （2）4952－267－652 （3）96×144÷48 （4）570×16÷30 解题指引：根据数的特点，让数带着符号“搬家”，以改变原有的计算顺序，实现简算。

例2：计算：

（1）2012－77－23 （2）4000÷125÷8 （3）660÷121×11 （4）56×144÷7÷12 解题指引：括号有改变运算顺序的作用。要改变原有运算顺序，可以添加括号，但要遵循添括号法则。

例3：计算：（1）1308－（308－247）（2）537－（543－163）－57 （3）（91×48×75）÷（25×13×16）

解题指引：是按既有顺序计算还是适当改变运算顺序，使计算简捷，取决于对各数特点的把握。去括号同样要遵守其规则。

例4：计算：

（1）2003－2002＋2001－2000＋1999－1998＋1997（广东省“育苗杯”数学通讯赛试题）（2）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）（第二届华罗庚金杯数学邀请赛试题）解题指引：依据数的特点综合运用“数搬家”、去括号、添括号，可使计算简便。

例5：计算：（1）29＋299＋2999＋29999＋299999 （2）6347－2997－998

（3）64×25×87×125×5

解题指引：对于（1）（2）两小题，可以按凑整法，给每个加数、减数补上一个数，使其成为整十、整百、整千……的数，依据和不变或差不变的规律，要注意“多加要减”、“多减要加”。对于第（3）题，可先把64改写成2×4×8，再分别与5、25、125结合。为了使计算快捷，我们有必要记住和灵活使用算式：2×5=10、4×25=100、8×125=1000

三、精选练习：

计算：（1）908－（308－159）（2）200÷（25÷4）（3）5600÷（25×7）

（4）372÷90×30 （5）745＋（672－545）－572 （6）4567－3456＋1056－167

（7）60000÷2÷125÷5÷8 （8）28÷3×26×15÷26÷14 （9）25×96×125

四、精选作业：

计算：（1）6300÷25 （2）3333×2222÷6666

（3）5÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷35）

第二讲等差数列

一、知识要点：我们把1，3，5，7，9，……这样按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数称为末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，那么这个数列就叫做等差数列，这个相等的差叫做这个等差数列的公差。在等差数列中有如下规律：项数=（末项－首项）÷公差＋1

末项=首项＋（项数－1）×公差

等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

二、精选例题：

例1：写出数列1，3，5，7，9，……中的第40个数。

解题指引：首先要弄清这列数的排列规律，判断其是否属于等差数列，在此基础上选择恰当的计算公式进行计算。

例2：已知一列数：2，5，8，11，14，…，80，…问：80是这列数中的第几个数？

解题指引：这是一个公差为3的等差数列，“80是这列数中的第几个数”可看作“从首项2开始到80止一共有多少个数”。我们要选择哪一计算公式呢？

例3：计算（1）1＋2＋3＋4＋……＋78＋79＋80

（2）2＋5＋8＋……＋23＋26＋29

（3）1－2＋3－4＋5－6＋……＋2009－2010＋2011

解题指引：这里是求等差数列各项和的问题，在利用公式“等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2”时，要先计算出项数。而对于第（3）小题，显然需要将所有加数结合成一组，所有减数结合成一组，分别计算。当然，此小题还可依据算式特点将相邻的两个数结合成一组进行简算。

例4：某体育馆西侧看台有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？

解题指引：从题意可知，每排的座位数构成了一个等差数，求一共有多少个座位，其实质就是等差数列求和。根据求和公式，想想我们需要先解决什么问题？

例5：学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。

（1）若有20人参赛，那么一共要进行多少场选拔赛？

（2）若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？

解题指引：如果将20位参赛选手排成一队，第一位选手需与其他19位选手共赛19场，第二位选手因与第一位选手已赛过，只需与另外18位选手赛18场，同样，第三位选手只需与剩下的17位选手赛17场，……依此类推，比赛场数分别是19，18，17，……，3，2，1，这样求解也就不难了。当然，此题也可这样思考：每一位选手都赛了19场，如此一来，20人要赛380场，但每一场比赛都被计算了两次，因此，我们就找到了一种快捷的计算办法。依据这一思路，我们很容易找到第（2）小题的答案。

三、精选练习：

1、已知等差数列5，10，15，20，……，205，这个等差数列共有多少项？

2、已知等差数列2，5，8，11，14，……，问47是其中第几项？

4、下面一列数是按一定的规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，……，求：（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？

5、计算：（1）6＋11＋16＋……＋76 （2）880－3－6－9－……－57

（3）1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋12＋……＋1997－1998－1999＋2000

6、下面的算式是按一定的规律的，那么第100个算式的得数是（）。

2＋3，3＋6，4＋9，5＋12，……

7、有12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？

8、时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推，12点钟敲12下，半点时敲1下。（1）从1点至5点共敲多少下？（2）一昼夜共敲多少下？

四、精选作业：

1、1至100各数，所有不是9的倍数的自然数的和是（）。

2、把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少有（）个。

3、一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、

4、3、4、

5、4、5、

6、……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？