2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题2第2讲填空题技法专练Word版含解析

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高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分专

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题七第2讲不等式选讲（选修4-5）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(2013·陕西高考改编)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，求关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集．解：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2，∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R.2．若x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的取值范围．解：依题意得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)． 3．设x ，y ，z 为正数，求证：2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．证明：因为x 2＋y 2≥2xy >0，所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )，又因为xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )，所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．4．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．6．(2013·呼和浩特模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，|x |＋2|x －1|≤8，∵f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x≥1，－x ＋2，0<x <1，－3x ＋2，x ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，3x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2a ，x ≥a ，－x ＋2a ，0<x <a ，－3x ＋2a ，x ≤0，若f (x )≥6恒成立，由图像可得a ≥6(图像略)，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。

【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题一第一讲集合、

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a －a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1，所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题1 第2讲数学思想专练2 Word版含解析]

[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.116≤a ＜1C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点即为函数f (x )与y ＝e x 的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10，10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋ (y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎤512，348．已知1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝⎛⎭⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R)． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增， f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.11．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解； (2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看1 2<a 2<2a，所以实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.出方程F(x)＝a2若有4个解，则。

2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题1第4讲数学思想专练四Word版含解析

[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a >2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：选B 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数．又f (0)f (2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240解析：选C 因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDC －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.3．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析：选D 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，即3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.4．已知OA ＝(cos θ1,2sin θ1)，OB ＝(cos θ2，2sin θ2)，若OA '＝(cos θ1，sin θ1)，OB '＝(cos θ2，sin θ2)，且满足OA '·OB '＝0，则S △OAB 等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选B 由条件OA '·OB '＝0，可得cos (θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝π2，θ2＝0，代入，则A (0,2)，B (1,0)，故面积为1.5．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x ＋1且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，又给定条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(3,5)B ．(－2,2)C ．(1,3)D ．(5,7)解析：选D f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos 2x ＋1 ＝2sin 2x －23cos 2x ＋3 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3. 令t ＝2x －π3，当π4≤x ≤π2时，f (x )＝g (t )＝4sin t ＋3，π6≤t ≤2π3，∴当π4≤x ≤π2时，f (x )max ＝7，f (x )min ＝5.∵p 是q 的充分条件，∴对任意x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，|f (x )－m |<2恒成立，即m －2<f (x )<m ＋2恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<f (x )min ，m ＋2>f (x )mim ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2<5，m ＋2>7，解得5<m <7. 6．抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－3，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－1，＋∞)解析：选A 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎨⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m (x 1＋x 2－6)，x 1＋x 2＝－1m ，消去x 2，得2x 21＋2m x 1＋1m 2＋6m ＋1＝0.∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫2m 2－8⎝⎛⎭⎫1m 2＋6m ＋1>0，即(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0. ∵6m 2－2m ＋1>0， ∴m <－12.即当m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，所以如果抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－12.二、填空题7. 若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )x a －yb ＝1，a >0，b >0，当A ∩B 有且只有一个元素时，a ，b 满足的关系式是________．解析：A ∩B 有且只有一个元素可转化为直线x a －yb＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，故圆心到直线的距离为|ab |b 2＋a 2＝1.∵a >0，b >0，∴ab ＝a 2＋b 2.答案：ab ＝a 2＋b 28．(2013·呼和浩特模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________.解析：因为1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2 013－1a 2 014＝1a 1－1a 2 014，又a 1＝1，所以1a 2 014∈(0,1)，所以1a 1－1a 2 014∈(0,1)，故⎣⎡⎦⎤1a 1－1a 2 014＝0. 答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，则|OP |的最小值等于________．解析：因为点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，所以点P 与A 、B 、C 共面，即点P 在平面ABC 内，所以|OP |的最小值等于点O 到平面ABC 的距离，也就是正四面体的高，为63. 答案：63三、解答题10．(2013·海淀模拟)在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．解：(1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC . (2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝2 3. 在△ACD 中，因为M 为AC 的中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD ，∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1.所以BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD . 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN ∥平面PDC . (3)假设直线l ∥CD .因为l ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ，所以CD ∥平面P AB . 又CD ⊂平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以CD ∥AB .又知CD 与AB 不平行，所以假设不成立，直线l 与直线CD 不平行．11．已知函数f (x )＝x －1x ，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，判断方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．解：(1)∵h (x )＝f (x )－g (x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.依题意，知不等式x 2－ax ＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a ≤x ＋1x 在区间(0，＋∞)上恒成立，解得a ≤2，即a 的取值范围为(－∞，2]．(2)当a ＝2时，h (x )＝x －1x－2ln x .∴h (x )＋h (2－x )＝2－2x (2－x )－2ln[x (2－x )]．令t ＝x (2－x )∈(0,1)，构造函数φ(t )＝2－2t －2ln t .∵φ′(t )＝2t 2－2t ＝2－2tt 2>0恒成立，∴函数φ(t )在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0. ∴φ(t )＝2－2t －2ln t ＝0在(0,1)上无解．即方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上无解．12．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N .试问x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 1与抛物线无公共点时，由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由抛物线定义知抛物线上的点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离．所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2.当直线l 1与抛物线有公共点时，把直线l 1的方程与抛物线方程联立，消去x 得关于y 的方程2y 2－3py ＋6p ＝0，由Δ＝9p 2－48p ≥0且p >0，得p ≥489，此时抛物线上的点到直线l 2的最小距离为p 2≥249>2，不满足题意．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0，由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0，所以直线l 的方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)．令x ＝－1，又由y 20＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0.设Q (x 1,0)，则QM ＝(x 0－x 1，y 0)，QN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0.由题意知QM ·QN ＝0，即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0.把y 20＝4x 0代入上式，得(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0.因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0，所以x 1＝1，即在x 轴上存在定点Q (1,0)，使点Q 在以MN 为直径的圆上．。

2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第一讲直线与圆(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175C ．8D ．2 解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0.5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．(2013·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2 B . 3 C ．1 D ．3解析：选A 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－12－2＝ 2.9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ． 1 C.83 D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＜5，|2×－1＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6；两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＞5，|2×－1＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7. 二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。

【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分专题二第1讲三

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题二第1讲三角函数的图像与性质选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．函数y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：选A 因为y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．把函数f (x )的图像向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图像D ．函数f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数解析：选C 由对称轴为x ＝12k π＋π12(k ∈Z)，可知选项A 不正确；将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入函数表达式，经检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≠0，选项B 不正确；经过选项C 中平移后解析式f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，因为cos 2x 为偶函数，所以该选项正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，此时函数f (x )不单调，故选项D 不正确．3.(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则ω的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由图像可知函数的最大值为2，故A ＝2，由f (0)＝2，得sin φ＝22，而|φ|<π2，故φ＝π4；再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ12＋π4＝1，故ωπ12＋π4＝π2＋2k π(k∈Z)，即ω＝24k ＋3(k ∈Z)．又T 4>π12，即T >π3，故0<ω<6，故ω＝3.4．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(]0，2解析：选A 通过取特殊值ω＝2、ω＝1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，排除D ；ω＝1⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，符合题意，排除B ，C.5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图像向右平移π3个单位后所得图像对应的函数为奇函数，则函数f (x )的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称C ．关于直线x ＝5π12对称D ．关于直线x ＝π12对称解析：选C f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．向右平移π3个单位后，所得函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－2π3，又因为g (x )为奇函数，|φ|<π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝5π12时，函数f (x )＝sin π2＝1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3关于直线x ＝5π12对称．6．(2013·山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为 ( )A B C D解析：选D 当x ＝π2时，y ＝1>0，排除C ；y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数；图像关于原点对称，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π<0，排除A.7.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM ·ON ＝0(O 为坐标原点)，则A ·ω等于( )A.π6 B.7π12 C.7π6D.7π3解析：选C 由图可知，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12×4＝π，∴ω＝2. 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，由OM ·ON ＝0，可得7π2144＝A 2，∴A ＝7π12.∴A ·ω＝2×7π12＝7π6. 8．(2013·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：选B y ＝ 3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6.9．(2013·海口模拟)已知函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于( )A ．－cos αB ．－sin αC ．－tan αD ． tan α解析：选D 数形结合可知，函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点时，必在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2内相切，且其切点为(α，－sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，f (x )＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴k ＝－sin αα＝－cos α，即α＝tan α.10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图像上一个最小值点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，函数f (x )的最大值与最小值的和为( )A ．1＋3B ．2C ．－1＋3D.32解析：选A 由最小值点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图像上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴1≤f (x )≤3，∴f (x )的最大值与最小值的和为1＋ 3.二、填空题11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其部分图像如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且A ，B 两点间距离为25，则ω、φ的值分别是________．解析：因为y ＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，又0＜φ＜π，所以φ＝π2.设函数的周期为T ，由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫T 42＋12＝(5)2，所以T ＝8，于是T ＝2πω＝8，得ω＝π4.答案：π4，π212．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数满足cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．解析：方程cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝k ＋1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝k ＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，根据方程在上述区间内有两个解，可得12≤k ＋12<1，即得0≤k <1.答案：[0,1)13．设P 为函数f (x )＝sin πx 的图像上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos πx 的图像上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：据题意结合图像，若使得PQ 长度最小，则P ，Q 分别为图像上相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12，－1，故|PQ |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：17214．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析：如图x ＝3，x ＝6是y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴， ∴周期T ＝6，∴单调递增区间为[6k,6k ＋3]，k ∈Z. 答案：[6k,6k ＋3]，k ∈Z15．(2013·兰州模拟)定义一种运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .令f (x )＝(cos 2x ＋sin x )⊗54.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的最大值是________．解析：依题意得，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin 2x －cos x ＝－cos 2x －cos x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54的值域是[－1,1]，此时函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的值域是[－1,1]，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的最大值是1.答案：116．①存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2使sin α＋cos α＝13；②存在区间(a ，b )使y ＝cos x 为减函数且sin x ＜0； ③y ＝tan x 在其定义域内为增函数；④y ＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 既有最大、最小值，又是偶函数； ⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π.以上命题错误的为________(填序号)．解析：①当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α＋cos α＞1，故①错；②若y ＝cos x 为减函数，则x ∈[2k π，π＋2k π]，k ∈Z ，此时sin x ＞0，故②错；③当x 分别取π，2π时，y 都是0，无单调性，故③错；④∵y ＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2cos 2x ＋cos x －1，∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对；⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π2，故⑤错．答案：①②③⑤。

2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第1部分专题3第1讲《等差数列、等比数列》Word版含解析

一、选择题1．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A ．2B ．3 C.12D.13解析：选A 设等比数列的公比为q ，依题意有S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3，∴S 6－S 3S 3＝8，即q 3＝8，得q ＝2.2．(2013·南昌模拟)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( )A ．42B ．±4 2C ．4D ．±4解析：选B 依题意得S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝－36，a 5＝－4; S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝－104，a 7＝－8，a 5a 7＝32.因此a 5与a 7的等比中项是±32＝±4 2.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 013＝S 2 013＝2 013，则a 1＝( ) A ．－2 014 B ．－2 013 C ．－2 012D ．－2 011解析：选D S 2 013＝2 013a 1 007＝2 013，所以a 1 007＝1，则d ＝a 2 013－a 1 0071 006＝2，a 1＝a2 013－2 012d ＝－2 011.4．(2013·杭州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选A 据已知可得a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，故S m ＝m (a 1＋a m )2>0，S m ＋1＝(m ＋1)(a 1＋a m ＋1)2<0.5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.6．在等比数列{a n }中，对于任意n ∈N *都有a n ＋1·a 2n ＝3n ，则a 1·a 2·…·a 6＝( ) A ．±(33)11 B ．(33)13 C ．±35D ．36解析：选D 由等比数列的性质可知，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝(a 2·a 6)·a 4·(a 1·a 5)·a 3＝(a 3)3(a 4)3＝(a 3·a 4)3，令n ＝2，得a 3·a 4＝32，因此a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝36.7．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＋a n －1＝85，a 2＋a 4＋…＋a n ＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2.由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.8．(2013·西宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．S 102＝0B ．S 102＝1C ．S 102＝3D ．S 102＝4解析：选A 依题意得a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，数列{a n }的项是以6为周期重复性地出现，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0. 注意到102＝6×17.因此S 102＝17×0＝0.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 3－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4解析：选C 依题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.10．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析：选B 已知b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a 2＝a 1，故b 2＝c 1＋a 12＝34c 1＋14b 1<b 1，c 2＝b 1＋a 12＝34b 1＋14c 1>c 1，b 2＋c 2＝a 1＋b 1＋c 12＝2a 1，b 2－c 2＝c 1－b 12<0，即b 2<c 2，b 2c 2＝⎝⎛⎭⎫34c 1＋14b 1·⎝⎛⎭⎫34b 1＋14c 1＝316(b 1＋c 1)2＋14b 1c 1>b 1c 1.又a 3＝a 2＝a 1，所以b 3＝c 2＋a 22＝34c 2＋14b 2<b 2，c 3＝b 2＋a 22＝34b 2＋14c 2>c 2，b 3＋c 3＝c 2＋a 22＋b 2＋a 22＝2a 2＝2a 1，b 3－c 3＝34c 2＋14b 2－⎝⎛⎭⎫34b 2＋14c 2＝c 2－b 22>0，即b 3>c 3，b 3c 3＝⎝⎛⎭⎫34c 2＋14b 2⎝⎛⎭⎫34b 2＋14c 2＝316(b 2＋c 2)2＋14b 2c 2>b 2c 2>b 1c 1.又△A n B n C n 的面积为 S n ＝p (p －a n )(p －b n )(p －c n )＝p (p －a n )[p 2－(b n ＋c n )p ＋b n c n ]，其中p ＝12(a n ＋b n ＋c n )，p (p －a n )和p 2－(b n ＋c n )p 都为定值，b n c n 逐渐递增，所以数列{S n }为递增数列．二、填空题11．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列，得a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：6312．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.故nS n 最小值为－49.答案：－4913．(2013·深圳模拟)已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝______.解析：设等比数列的首项为a 1，公比q ＝2，前n 项和为S n .由题知a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，a 20仍为等比数列，其首项为a 2，公比为q 3，故其前7项的和为T 7＝a 2[1－(q 3)7]1－q 3＝a 1q (1－q 21)(1－q )(1＋q ＋q 2)＝a 1(1－q 21)1－q ·q 1＋q ＋q2＝S 21·27＝13，解得S 21＝912. 答案：91214．公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…，构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.解析：据题意等差数列a 1，a 2，a 6成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝64a 1＝a 1＋(n －1)·(3a 1)，解得n ＝22，即k 4＝22.答案：2215．将正奇数按如下表的规律填在5列的数表中，则2 013排在数表的第________行，第________列．解析：通过观察发现，第三列是以3为首项，8为公差的等差数列，所以通项公式可写成a n ＝8n －5，当n ＝252时，a 252＝2 011.又因为此数表偶数行的数从右向左递增，故2 013排在数表的第252行，第2列．答案：252 216．已知各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝( S n －1＋a 1)2(n ≥2)．若b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________.解析：S n －S n －1＝S 1，S n ＝n S 1，S n ＝n 2a 1，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1.b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1， T n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案：4n 2＋6n2n ＋1。

2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第1部分专题3第2讲《数列》Word版含解析

1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －1－(n －1)(n －2)，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)(n －2)，即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n .解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，① S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，② 由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1， n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·q n －1＝3·3n －1＝3n .对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14. b n ＋1＝(b 1＋1)⎝⎛⎭⎫14n －1＝4×⎝⎛⎭⎫14n －1＝42－n ，即b n ＝42－n －1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )．T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋9(1－3n －1)1－3＋(2－n )·3n ＋1 ＝－152＋⎝⎛⎭⎫52－n ·3n ＋1. 4．(2013·合肥模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＋3＝3a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n ＋1a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n <72(n ∈N *)．解：(1)当n ＝1时，2S 1＋3＝3a 1⇒a 1＝3;当n ≥2时，2S n ＋3＝3a n,2S n －1＋3＝3a n －1，∴2S n －2S n －1＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n .(2)证明：由(1)得b n ＝4n ＋1a n＝(4n ＋1)⎝⎛⎭⎫13n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝5×⎝⎛⎭⎫131＋9×⎝⎛⎭⎫132＋…＋(4n －3)×⎝⎛⎭⎫13n －1＋(4n ＋1)⎝⎛⎭⎫13n ，① ∴13T n ＝5×⎝⎛⎭⎫132＋9×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(4n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(4n ＋1)⎝⎛⎭⎫13n ＋1，② 由①－②得23T n ＝5×⎝⎛⎭⎫131＋4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(4n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝13＋4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫131＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(4n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝13＋4·13·⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－(4n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝13＋2⎝⎛⎭⎫1－13n －(4n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1. ∴2T n ＝7－(4n ＋7)×⎝⎛⎭⎫13n .∴T n ＝72－12(4n ＋7)×⎝⎛⎭⎫13n <72. 5．已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列；(2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值； (3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2，即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0，即a 2－a 1＝a 3－a 2，故a 1，a 2，a 3成等差数列．(2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列．设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4，即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0，解得q ＝1或q ＝1＋52或1－52(舍去负值)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52. (3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1. 证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ， n ≥2，n ∈N *，所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1，即a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1＝a n a n ＋2＋a 2n .由于a n >0，此等式两边同除以a n a n ＋1，得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *时，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－k a，所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－k ab，所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab. 6．设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *)的零点．(1)证明：0<a n <1；(2)证明：n n ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32. 证明：(1)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝n 2>0，且f (x )在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数f (x )在(0,1)内有零点．因为f ′(x )＝3x 2＋n 2>0，所以函数f (x )在R 上单调递增．所以函数f (x )在R 上只有一个零点，且零点在区间(0,1)内．而a n 是函数f (x )的零点，所以0<a n <1.(2)先证明左边的不等式：因为a 3n ＋n 2a n －1＝0，由(1)知0<a n <1，所以a 3n <a n ，即1－n 2a n ＝a 3n <a n ，所以a n >1n 2＋1. 因为a n >1n 2＋1≥1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n >⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 再证明右边的不等式：当n ＝1时，f (x )＝x 3＋x －1.由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＋12－1＝－38<0，f ⎝⎛⎭⎫34＝⎝⎛⎭⎫343＋34－1＝1164>0，所以12<a 1<34. 由(1)知0<a n <1，且a 3n ＋n 2a n －1＝0，所以a n ＝1－a 3n n 2<1n 2. 因为当n ≥2时，1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n <34＋122＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12－1n <32. 所以当n ∈N *时，都有a 1＋a 2＋…＋a n <32. 综上所述，n n ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.。

2014年高考数学真题浙江【理】试题及答案

2014高考数学【浙江理】一、选择题1．设全集{N |2}U x x =∈≥，集合2{N |5}A x x =∈≥，则U A =ð( )A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}2．已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A ．902cmB ．1292cmC ．1322cmD ．1382cm4．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位 5．在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(3,0)(2,1)f f ++(1,2)(0,3)f f +=( )A ．45B ．60C ．120D ．2106．已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则( )A ．3c ≤B ．36c <≤C ．69c <≤D ．9c >7．在同一直角坐标系中，函数()(0),()log a a f x x x g x x =>=的图像可能是( )8．记,,max{,},min{,},,x x y y x yx y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，记,a b 为平面向量，则( ) A ． {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ B ． {}{}min ,min ,a b a b a b +-≥ C ．{}2222max ,a b a ba b +-≤+ D ．{}2222max ,a b a ba b +-≥+9．已知甲盒仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3m n ≥≥)，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中. (a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =则( ) A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ<> C ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．设函数221231(),()2(),()sin 2,,0,1,2,...,99399i if x x f x x x f x x a i π==-===，记 10219999()()()()()(),1,2,3k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a k =-+-++-=，则( ) A.123I I I << B ．213I I I <<C ．132I I I <<D ．321I I I <<二、填空题11. 某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是__________；12. 随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15,E (ξ)＝1,则D (ξ)＝__________；13. 当实数x ,y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________；14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有____________种(用数字作答).15.设函数f (x )＝22+0,0x x x x x ⎧<⎨-≥⎩，,若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是__________；16.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线22221x y a b -=(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ,0)满足|P A |＝|PB |,则该双曲线的离心率是___________； 17.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到前面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB ＝15m ，AC ＝25m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是____________(仰角θ为直线AP 和平面ABC 所成角).三、解答题18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知a≠b,ccos2A－cos2B A sin B B cos B.(Ⅰ) 求角C的大小；(Ⅱ)若sin A＝45,求△ABC的面积.19.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝bn(n∈N *).若{a n}为等比数列，且a1＝2,b3＝6＋b2.(Ⅰ) 求a n和b n；(Ⅱ)设c n＝1an－1bn( n∈N *).记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n；(ii)求正整数k使得对任意正整数n∈N *均有S k≥S n.20.如图，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC(Ⅰ)证明：DE⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B—AD—E的大小.21.如图，设椭圆C ：22x a +22y b ＝1(a ＞b ＞0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（I ）已知直线l 的斜率为k ，用a ,b ,k 表示点P 的坐标；（II ）若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .22.已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R ).（I ）若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a ),m (a )，求M (a )－m (a )；（II ）设b ∈R .若[f (x )＋b ] 2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围.2014浙江【理科】参考答案一．选择题二．填空题三、解答题18．【解析】（Ⅰ）由题意得1cos 21cos 22222A B A B ++-= （第21题图）由a b ≠，得A B ≠，又(0,π)A B +∈，得ππ22π66A B -++= 即2π3A B +=，所以π3C =（Ⅱ）由4,5sin sin a cc A A C===，得85a =由,a c <得,A C <从而3cos 5A =，得sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+= 所以，ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==19.【解析】（Ⅰ）由题意12332,6n b n a a a a b b ⋅⋅⋅=-=知3238b b a -==，又由12,a =得公比()22q q ==-舍去，所以数列{}n a 的通项为2,N*n n a n =∈ (1)(1)2123=2n n n n a a a a ++⋅⋅⋅，故数列{}n b 的通项为(1)n b n n =+（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知()*n n 1111111N 2(1)21n n n c n a b n n n n ⎛⎫=-=-=--∈ ⎪++⎝⎭所以()11,N*12n n S n n =-∈+ （ⅱ）因为12340,0,0,0;c c c c =>>> 当5n ≥时，1(1)c [1](1)2n nn n n n +=-+而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n +⋅+≤< 所以，当5c 0,n n ≥<时，综上，对任意N*n ∈恒有4,n S S ≥故4k =20.【解析】（Ⅰ）在直角梯形BCDE 中，由DE=BE=1，CD=2，由AB=2，得222,AB AC BC AC BC =+⊥即又平面ABC ⊥平面BCDE,从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD. （Ⅱ）方法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连结BG ，由（Ⅰ）知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD.所以∠BFG 是二面角B-AD-E 的平面角.在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+,得BD ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB 由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD在Rt △ACD 中，由DC=2，得在Rt △AED 中，由ED=1，得在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠，BG=23在△BFG 中， cos ∠BFG=2222GF BF BG BF GF +-=.所以，∠BFG=6π，即二面角B-AD-E 的大小是6π. 方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示. 由题意各点坐标如下：()()()(()0,0,0,E 1,0,0,0,2,0,,1,1,0D C A B D （0，0，0）设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =,平面ABD 的法向量为()222,,n x y z =，可算得(02,2),(12,2),(1,1,0),AD AD DB =--=--=，，，由11111200020y m AD m AE x y ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，可取(0,1,m =，由222202000m AD y x y m BD ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取(1,m =-，于是||cos ,||||23m n m n m n ⋅<>===⋅⋅由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E 的大小是π6.21.【解析】（1）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+<，由2222,,1y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=由于l 与C 只有一个公共点，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为222222222(,)a km b m b a k b a k-++ 又点P 在第一象限，故点P的坐标为22(P（2）由于直线1l 过原点O 且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离d =，整理得22d =因为22222b a k ab k+≥2222a b ≤=-当且仅当2bk a=时等号成立.所以,点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.22.【解析】（1）因为3333,,()33,,x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩所以2233,,()33,.x x a f x x x a ⎧+>⎪'=⎨-<⎪⎩由于11x -≤≤,(ⅰ)当1a ≤-时，有x a ≥，故3()33f x x x a =+-，此时()f x 在(1,1)-上是增函数，因此， ()(1)43,()(1)43M a f a m a f a ==-=-=--，故()()(43)(43)8M a m a a a -=----=. (ⅱ)当11a -<<时，若(,1),x a ∈3()33f x x x a =+-,在(,1)a 上是增函数,若(1,),x a ∈-3()33f x x x a =-+,在(1,)a -上是减函数,所以, 3()max{(1),(1)},()()M a f f m a f a a =-==.由于(1)(1)62f f a --=-+,因此当113a -<≤时,3()()34M a m a a a -=--+;当113a <≤时,3()()32M a m a a a -=-++;(ⅲ)当1a ≥时，有x a ≤,故3()33f x x x a =-+,此时()f x 在(1,1)-上是减函数,因此()(1)23,()(1)23M a f a m a f a =-=+==-+,故()(1)(23)(23) 4.M a f a a -=+--+= 综上,()()338,1,134,13,132,1,34, 1.a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎪--+-<≤⎪-=⎨⎪-++<<⎪⎪≥⎩(2)令()()h x f x b =+,则3333,,()33,,x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩,2233,,()33,,x x a h x x x a ⎧+≥⎪'=⎨-<⎪⎩因为[]2()4f x b +≤对[1,1]x ∈-恒成立,即2()2h x -≤≤对[1,1]x ∈-恒成立. 所以由(1)知,(ⅰ)当1a ≤-时,()h x 在(1,1)-上是增函数,()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h a b =-+,最小值是 (1)43h a b -=--+,则432a b --+≥-且432a b -+≤,矛盾;(ⅱ)当113a -<≤时, ()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a a b =+,最大值是(1)43h a b =-+,所以32a b +≥-且432a b -+≤,从而323362a a a b a --+≤+≤-且103a ≤≤, 令3()23t a a a =--+,则2()330t a a '=->,()t a 在103（，）上是增函数,故()(0)2t a t ≥=-, 因此230a b -≤+≤;(ⅲ)113a <<时, ()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a a b =+,最大值是(1)32h a b -=++,所以32a b +≥-且322a b ++≤,解得283027a b -<+≤; (ⅳ)当1a ≥时, ()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++,最小值是(1)23h a b =-++, 所以322a b ++≤且232a b -++≥-,解得30a b +=. 综上,得3a b +的取值范围是230.a b -≤+≤。

【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题六第一讲算

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(2013·高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限 B. 第二象限C．第三象限 D. 第四象限解析：选D (2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．2．(2013·某某高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.3.(2013·某某高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D解析：选B 设点A(x，y)表示复数z＝x＋y i，则z的共轭复数z＝x－y i对应点为B(x，－y)．4．(2013·某某高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：选D 第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选 A 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s ∈[－3,4]．6．(2013·某某高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8?B ．S ＜9?C ．S ＜10？D ．S ＜11?解析：选B 程序框图的运行过程为：i ＝1，S ＝0→i ＝1＋1＝2→i 不是奇数→S ＝2×2＋1＝5→符合条件→i ＝2＋1＝3→i是奇数→S ＝2×3＋2＝8→符合条件→i ＝3＋1＝4→i 不是奇数→S ＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i ＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件“S ＜9？”．7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 1212 131613 14112112141512013012015…A.190B.1110C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.9．(2013·某某五校联考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9765 625，…，∴5n (n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字呈现周期性变化，且最小正周期为 4.记5n(n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 013)＝f (502×4＋5)＝f (5)，∴52 013与55的末四位数字相同，均为3 125.10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n－(n －1)(n －2)(n －3) D ．n 3－5n 2＋10n －4解析：选B 因为一个圆将平面分为2块区域，即f (1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f (2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f (3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f (4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…，平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝n 2－n ＋2.二、填空题11．(2013·某某高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．(2013·某某模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________.解析：由题意可知：1－a i 1＋a i＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i.因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2.由－2a 1＋a 2＝45，可知a <0，仅有a ＝－2满足．答案：－213．(2013·某某武昌区联考)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sinπ3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋…＋sin 2 013π3＝⎝⎛ sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋⎭⎪⎫sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3×335＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝ 3.答案： 314．(2013·某某高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：根据程序框图，可以逐个进行运算，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋11×2，k ＝2；S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4，k ＝4；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝95，k ＝5，程序结束，此时S ＝95. 答案：9515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案：2πr 416．(2013·某某模拟)给定正整数n (n ≥2)按如图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 013时最后一行的数是________．1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112解析：设最后一行(第n 行)的数为a n ，则通过计算，容易得到：a 2＝3＝3×20，a 3＝8＝4×21，a 4＝20＝5×22，a 5＝48＝6×23，a 6＝112＝7×24，…，由此，可猜测a n ＝(n ＋1)×2n－2，所以当n ＝2 013时最后一行的数是2 014×22 011.答案：2 014×22 011。

2014年浙江省高考理科数学试题及答案解析(名师精校版)

绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn nP k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =ð（）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．（2）已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a b ==时，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（）（A ）902cm （B ）1292cm（C ）1322cm （D ）1382cm 【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos3y x =的图像（）（A ）向右平移4π个单位（B ）向左平移4π个单位（C ）向右平移12π个单位（D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．（5）在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=（）（A ）45（B ）60（C ）120（D ）210【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．（6）已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（）（A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c > 【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（7）在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）记,max{,},x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤r r r r r r （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥r r r r r r（C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+r r r r r r （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r 【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-r r r r 与min{||,||}a b r r的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-r r r r所对的角大于或等于90︒ ，由余弦定理知 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+r r r r r rr r r r r r ），故选D ．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a r ，b r ，a b +r r ，a b -r r放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A 【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m n C C C C p C C C +++=++g g =223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-， ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∴1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m n E m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++，又222(1)(1)n m n C n n P ξ+-===，11222(2)n m m n C C mnP ξ+===，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mnm n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ．解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99L ，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-L ，1,2,3k =，则（）（A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B 【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==L g ，由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯g ， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-g g g g L g g=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->g g ，故213I I I <<，故选B ．解法二：估算法：k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增，此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ，同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==；第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==；第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ= ．【答案】25【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为：由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．（13）当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩ 解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．ξ 0 1 2P15 p 115p --ξ 0 1 2P15 35 15（14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．【答案】60 【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有223436C A =，二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =，因此不同的获奖情况共有362460+=种．解法二：将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．（16）设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是．【答案】5【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a=-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bm B a b a b-++，设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b mQ a b a b ----，PQ 与已知直线垂直， ∴1PQ l k k =-g ，即222222319139b ma b a m m a b --=----g ，即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以5c e a ==．解法二：不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ，由韦达定理得：202391b my b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-g 得00113y x m =--g ，即得0011323y y m =--g 得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以5c =，得5c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．（17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．【答案】539【解析】解法一：∴15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '， 1︒当P 在线段BC 上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-，（020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-．在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+g ，令220225xy x-=+，则函数在 []0,20x ∈单调递减， ∴0x =时，tan θ取得最大值为232002034334592250-==+g2︒当P 在线段CB 的延长线上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=+，（0x >）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+，在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+， ∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+g ，令220225x y x+=+，则2222520'(225x )225x y x-=++，∴当225450204x <<=时'0y >；当454x >时'0y <，所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+，此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=g ，综合1︒，2︒可知tan θ取得最大值为539．解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒， ∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤），'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ，所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x xθ--===++g，设2320(x)tan 3225x f x θ-==+g (20x ≤)， 22322520'(x)3(225)225x f x x +=-++g ，所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <，所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+g ，所以tan θ取得最大值为539．解法三：分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ，过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠，在Rt ABC ∆中，由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===g g ，203tan303DB BC =︒=g ，所以max203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积．解：（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-，sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ，得22B 66A πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=．（2）3c =，4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =，由a c < 得A C <，从而3cos 5A =，故sin sin()B A C =+=433sinAcosC cosAsinC ++=，所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19）已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 与n b ；（2）设11(*)n n nc n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（∴）求n S ；（∴）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∴123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ①，当2n ≥，*n N ∈时，11231(2)n b n a a a a --=L ②，由①÷②知：当2n ≥时，1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=， ∴326b b =+，∴38a =．∴{}n a 为等比数列，且12a =， ∴{}n a 的公比为q ，则2324a q a ==，由题意知0n a >，∴0q >， ∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=L ，即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）．（2）（∴）∴1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++L =2111111111()()()21222321n n n --+--++--+L =21111(1)2221n n +++--+L =111121n n --++=1112n n -+．（∴）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+，而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<g ，所以，当5n ≥时，0n c <，综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ；（2）求二面角B AD E --的大小．解：（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得2BD BC ==，由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ．（2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AB 交于点G ，连接BG ，由（1）知DE AD ⊥，则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角，在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中，由2DC =，2AC =，得6AD =；在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =，得233BF =，23AF AD =，从而 23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中，2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==g ，所以，6BFG π∠=，即二面角B AD E --的大小为6π．解法二：以D 的原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ．设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =r，可算得：(0,2,2)AD =--u u u r，(1,2,2)AE =--u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r ，由00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg u r u u u r g ，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，可取(0,1,2)m =-u r ，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可取(0,1,2)n =-r ，于是||3|cos ,|||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅u r ru r r u r r ．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）如图，设椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -．解：（1）解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<，22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a kb a k-++．解法二：作变换''x x ay y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> 变为圆'C ：22''1x y +=，切点00(,)P x y 变为点00'(',')P x y ，切线00:()l y y k x x -=-（0)k <，变为00':'y (')l by k ax x -=-．在圆'C 中设直线''O P 的方程为''y mx =（0m >），由22''''1y mx x y =⎧⎨+=⎩，解得02021'1'1x m m y m ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即221'(,)11m P mm++，由于'''O P l ⊥，所以'''1O P l k k =-g ，得1ak m b ⋅=-，即bm ak=-，代入得22221'(,)11()()bak P b bak ak -++，即222222'(,)ak b P a k b a k b -++，利用逆变换''x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入即得：22222222(,)a k b P a k b a k b -++．（2）由于直线1l 过原点O 且与直线l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离222222222||1a kb kb a k b a kd k -+++=+，整理得:22222222a b d b b a a k k-=+++，因为22222b a k ab k+≥，所以2222222222222a b a b d a b b b a abb a a k k --=≤=-+++++，当且仅当2bk a=时等号成立．所以，点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（22）已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -；（2）设,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（1）∴33333,()3||33,x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩，∴2233,'()33,x x af x x x a ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于11x -≤≤，（∴）当1a ≤-时，有x a ≥，故3()33f x x x a =+-，所以，()f x 在(1,1)-上是增函数，因此()(1)43M a f a ==-，()(1)43m a f a =-=--，故()()(43)(43)8M a m a a a -=----=．（∴）当11a -<<时，若(),1x a ∈，3()33f x x x a =+-，在(),1a 上是增函数；若()1,x a ∈-，3()33f x x x a =--，在()1,a -上是减函数， ∴()max{(1),(1)}M a f f =-，3()()a m a f a ==，由于(1)(1)62f f a --=-+，因此当113a -<≤时，3()()34M a m a a a -=--+；当113a << 时，3()()32M a m a a a -=-++；（∴）当1a ≥时，有x a ≤，故3()33f x x x a =-+，此时()f x 在(1,1)-上是减函数，因此()(1)23M a f a =-=+，()(1)23m a f a ==-+，故()()4M a m a -=；综上，338,1134,13()()132,134,1a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎪--+-<≤⎪-=⎨⎪-++<<⎪⎪≥⎩．（2）令()()h x f x b =+，则3333,()33,x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩，2233,'()33,x x ah x x x a⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，因为()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，即2()2h x -≤≤对[]1,1x ∈-恒成立，所以由（1）知，（∴）当1a ≤-时，()h x 在(1,1)-上是增函数，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h a b =-+，最小值(1)43h a b -=--+，则432a b --+≥-且432a b -+≤矛盾；（∴）当113a -<≤时，()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a a b =+，最大值是(1)43h a b =-+，所以32a b +≥-且432a b -+≤，从而323362a a a b a --+≤+≤- 且103a ≤≤，令3()23t a a a =--+，则2'()330t a a =->，∴()t a 在1(0,)3上是增函数，故()(0)2t a t >=-，因此230a b -≤+≤；（∴）当113a <<时，()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a ab =+，最大值是(1)32h a b -=++，所以由32a b +≥-且322a b ++≤，解得283027a b -<+≤ （∴）当1a ≥时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是(1)3a b 2h =+-，所以由322a b +-≥-且322a b ++≤，解得30a b +=．综上，3a b +的取值范围是230a b -≤+≤．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件(浙江专版)：集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(3)(2013· 合肥模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈ R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}，若A∩B＝ [0,3]，则实数m的值为________．
[自主解答]
(1)逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y
＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2， y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个． (2)由于∁U(A∪B)＝{0}，A∩B＝{2}，故阴影部分所表示集合为{0,2}．
答案：D
2．(2013· 浙江高考)设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－ 4≤0}，则(∁RS)∪T＝ A．(－2,1] C．(－∞，1] B．(－∞，－4] D．[1，＋∞) ( )
解析： T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－ 2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．
命题及逻辑联结词
充要条件
1．(2013· 重庆高考)已知全集 U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝ A．{1,3,4} C．{3}
∪B)＝{4}．
( B．{3,4} D．{4}
)
解析：∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A
[答案]
q1，q4.
(1)B
(2)C
——————————规律· 总结————————————
三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性 (1)弄清构成命题的p和q的真假性； (2)弄清结构形式； (3)根据真值表判断构成新命题的真假性．
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2014年全国高考浙江省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大EA值。

2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题1第3讲数学思想专练三Word版含解析

[数学思想专练(三)]一、选择题1．(2013·南昌模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( )A ．－332B.332 C ．－342D.342解析：选C 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9，即a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q，化简得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)·(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，则2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. 2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A f (1)＝21＝2，由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2. 若a >0，则f (a )＝2a ，因为2a >20＝1，所以f (a )＝－2无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1，由f (a )＝－2，即a ＋1＝－2，解得a ＝－3，显然满足a ≤0. 综上所述，a ＝－3.3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或833解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.4．a 、b 、c 、d 是空间的四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( ) A ．a ∥b 或c ∥dB ．a 、b 、c 、d 中任何两条直线都不平行C ．a ∥b 且c ∥dD ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线平行解析：选A (1)若a 、b 相交，必须确定一个平面α，由题设知c ⊥α，d ⊥α，则c ∥d ；(2)若a ∥b ，则满足题设条件的直线c 、d 的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a 、b 异面，由c ⊥a ，c ⊥b ，得c 平行或重合于a 、b 的公垂线，同理d 也平行或重合于a 、b 的公垂线，于是c ∥d .综上所述，a ∥b 或c ∥d 必有一个成立．5．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( )A ．－112，0B.112，0C.112，－112D.14，－112解析：选A A ＝{－4,3}．当k ＝0时，B ＝∅，符合要求；当k ≠0时，x ＝－1k .由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以－1k ＝－4或－1k ＝3，所以k ＝14或k ＝－13，所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为－112，0. 6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的范围是{a |－2<a ≤2}．二、填空题7．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n2；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b2＝6⇒a ＋b ＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a ，b )有2×5＋1＝11个．(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a ，b )有2×3＝6个．综上所述，集合A 中的元素共有17个．答案：178．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋10×92＝55；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为2(1－210)1－2＝211－2＝2 046.所以，数列{a n }的前20项之和为55＋2 046＝2 101. 答案：2 1019．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．解析：当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎡⎦⎤(－lg x )＋⎝⎛⎭⎫－1lg x ≤－2 (－lg x )⎝⎛⎭⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ax 3－32(a ＋2)x 2＋6x －3.(1)当a >2时，求函数f (x )的极小值；(2)试讨论函数y ＝f (x )的图像与x 轴公共点的个数．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)， ∴易求得函数f (x )的极小值为f (1)＝－a2.(2)①a ＝0，则f (x )＝－3(x －1)2， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；②若a <0，则f (x )的极大值为f (1)＝－a2>0，f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a <0，∴f (x )的图像与x 轴有3个交点；③若0<a <2，则f (x )的极大值为f (1)＝－a2<0，f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a <0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点， ④若a ＝2，则f ′(x )＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；⑤若a >2，由(1)知f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－4⎝⎛⎭⎫1a －342－34<0，f (x )的极小值为f (1)＝－a 2<0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；综上知，若a ≥0，则f (x )的图像与x 轴只有1个交点；若a <0，则f (x )的图像与x 轴有3个交点．11．(2013·长沙模拟)已知函数f (x )＝23x 3－2x 2＋(2－a )x ＋1，其中a >0.(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[2,3]上的最小值．解：(1)f (x )的定义域为R ，且f ′ (x )＝2x 2－4x ＋2－a . 当a ＝2时，f (1)＝－13，f ′(1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋13＝－2(x －1)，即切线方程为6x ＋3y －5＝0.(2)方程f ′(x )＝0的判别式为Δ＝8a >0. 令f ′(x )＝0，得x 1＝1－2a 2或x 2＝1＋2a 2. f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故间为⎝⎛⎭⎫1－2a 2，1＋2a 2.①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f (x )在区间(2,3)上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值是f (2)＝73－2a .②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f (x )在区间(2，x 2)上单调递减，在区间(x 2,3)上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值是f (x 2)＝53－a －a 2a 3.③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f (x )在区间(2,3)上单调递减，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值是f (3)＝7－3a .综上，当0<a ≤2时，f (x )在区间[2,3]的最小值是73－2a ；当2<a <8时，f (x )在区间[2,3]上的最小值是53－a －a 2a3；当a ≥8时，f (x )在区间[2,3]上的最小值是7－3a .12．(2013·东莞模拟)已知椭圆C 的中心为原点O ，点F (1,0)是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，·＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P 为椭圆的上顶点，且存在实数t 使＋＝t 成立，求实数t 的值和直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2－b 2＝1. ①∵当l 垂直于x 轴时，A ，B 两点坐标分别是⎝⎛⎭⎫1，b 2a 和⎝⎛⎭⎫1，－b 2a ，∴·＝⎝⎛⎭⎫1，b 2a ·⎝⎛⎭⎫1，－b 2a ＝1－b4a 2，则1－b 4a 2＝12，即a 2＝2b 4. ②由①②消去a 得2b 4－b 2－1＝0. ∴b 2＝1或b 2＝－12(舍去)．当b 2＝1时，a 2＝2，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线斜率不存在时，易求A ⎝⎛⎭⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎫1，－22，P (0,1)，所以＝⎝⎛⎭⎫1，22－1，＝⎝⎛⎭⎫1，－22－1，＝(1，－1)，由t 使＋＝t ，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1，当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以＝(x 1，y 1－1)，＝(x 2，y 2－1)，＝(1，－1)，由＋＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1－1＋y 2－1＝－t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1＋y 2＝2－t . 因为y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，解得k ＝－1，此时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，得3x 2－4x ＝0，t ＝x 1＋x 2＝43，所以，当直线斜率存在时，t ＝43，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，综上所述，存在实数t 且t ＝2时，直线方程为x ＝1；当t ＝43时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1.。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题2 第1讲选择题技法专练含解析

［选择题技法专练］1．(2013·成都模拟）对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( ）A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0,则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：选B 当a·b＝0时,a与b也可能垂直,故选项A是假命题;当a2＝b2时,｜a｜＝|b｜，故选项C是假命题；当a·b＝a·c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题．2．（2013·重庆高考）错误!(－6≤a≤3）的最大值为( ）A．9 B。

错误!C．3 D.错误!解析:选B 法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知,错误!≤错误!＝错误!，当且仅当a＝－错误!时等号成立．法二：3－a a＋6＝错误!≤错误!，当且仅当a＝－错误!时等号成立．3．设m，n是平面α内的两条不同直线;l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析:选B 因为m⊂α,l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A；因为m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交,若m∥l1且n∥l2，则m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分不必要条件是m∥l1且n∥l2.4．已知0〈a〈1,0〈x≤y<1,且log a x·log a y＝1，那么xy的取值范围是（)A．(0，a2] B．（0，a]C。

错误! D.错误!解析：选A ∵0〈a<1，0<x≤y<1，∴xy>0，log a x>0，log a y>0，∴log a xy＝log a x＋log a y≥2错误!＝2，当且仅当错误!即x＝y＝a时取等号,∴0〈xy≤a2。

浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破第1部分专题五第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013²北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .2．(2013²江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C 过点M 作MM ′垂直于抛物线C 的准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知|MM ′|＝|FM |，所以|FM ||MN |＝|MM ′||MN |＝sin ∠MNM ′，而∠MNM ′为直线FA 的倾斜角α的补角．因为直线FA 过点A (2,0)，F (0,1)，所以k FA ＝－12＝tan α，所以sin α＝15，所以sin ∠MNM ′＝15.故|FM |∶|MN |＝1∶ 5.3．(2013²福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B.45 C.255D.455解析：选C 双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.4．(2013²四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22D.32解析：选C 由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.5．已知双曲线y 22－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 29＝1(x ≠0)D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 解析：选C 依题意得，|F 1F 2|＝22＋3＝25，|PF 1|＋|PF 2|＝6>|F 1F 2|，因此满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹是以点F 1，F 2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P 的轨迹方程是x 24＋y 29＝1(x ≠0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 7．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y得y 2－14y ＋1＝0，所以y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.8．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线C ：y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 解析：选B 抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，所以双曲线的焦距2c ＝12.根据双曲线的渐近线方程得b ＝3a ，代入c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝9，所以b 2＝27，所以所求双曲线方程为x 29－y 227＝1.9．(2013²郑州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2.10．(2013²辽宁五校联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由已知|PF 1|＝43|PF 2|，代入到|PF 1|－|PF 2|＝2中得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8.又双曲线的焦距|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所求的面积为12³8³6＝24.二、填空题11．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F ( 5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 212．(2013²哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0.在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－113．(2013²辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|F P |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：4414．(2013²辽宁五校联考)设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1，A 2的点P ，使得PO ⊥PA 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a 24，与椭圆方程联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2²x 2－ax ＋b 2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a )上还有一实根，由此得0＜b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－c 2c 2＜1，即0＜1－e 2e 2＜1，得12<e 2<1，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 15．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ²2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：由1PF ²2PF ＝0得1PF ⊥2PF ，设|1PF |＝m ，|2PF|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，又c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，a ＋b ＝7.答案：716．(2013²湖北八校联考)已知点A ，D 分别是椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且1PF ²2PF的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．解析：设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF＝(c －x ，－y )，所以1PF ²2PF ＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 到点P 的距离的平方，易知当点P与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1，a 2b 2a 2＋b2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1。

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练：第1部分专题三第2讲高考中的数列(解答题型)

因为对任意n≥1，an≤2＝a1，
所以An＝2.
故Bn＝An－dn＝2－1＝1.
因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.
证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；
(2)错位相减法：(见要点归纳)
(3)裂项相消法：(见要点归纳)
(4)倒序相加法：(见要点归纳)
(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
(6)归纳猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为4的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.
考点
考情
等差、等比数列的判定与证明
1.数列求和问题，多以考查公式法、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点，如2013年浙江T18等．
2．数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，如2013年天津T19等．
[自主解答](1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.

2014高考数学(理)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题2第2讲填空题技法专练Word版含解析

高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专

【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分 专题1 第2讲 数学思想专练2 Word版含解析]