第07章-第08章_2012

u(x , ) (x ) + (h ) u( x, y) (cos x x y) + (cos x + x y)
主要内容
偏微分方程的通解
行波解
无界弦的自由振动 无界弦的强迫振动
半无界弦的自由振动
半无界弦的强迫振动
§7.2 行波解
一、行波解的定义
（y≠0）
其特征方程定义为： (xdy - ydx)2 = 0 它是一个常微分方程。由此得到特征曲线如下：
y/x=C
于是作如下自变量变换
x = y /x
h=y
（h ≠0）
原方程变成如下形式： h2uhh = 0
由此得 u(x , h) = h f(x)+ g(x)
即 u(x , y) = y f(y/x)+ g(y/x)
u( x, t ) F ( x at) + G( x + at)
达朗贝尔公式
( x at ) + ( x + at ) 1 x + at u ( x, t ) + ( s)ds 2 2a x at
无界弦的自由振动
( x at ) + ( x + at ) 1 x + at u ( x, t ) + ( s)ds 2 2a x at
u f1 (x ) + f 2 (h ) f1 ( y 3x) + f 2 ( y + x)
u( x,0) e
x2
f1 (3x) + f 2 ( x)
1 u ( x,0) f1 (3x) + f 2 ( x) C 0 f1(3x) + f 2( x) 3 y 3 x2 / 9 3 3 x2 3 3 x2 3 f1 ( x) e C f 2 ( x) e + C f 1 (3 x) e C 4 4 4 4 4 4 3 ( y 3 x )2 3 3 ( y + x )2 3 3 ( y 3 x )2 3 ( y + x )2 u e C+ e + C e + e 4 4 4 4 4 4
Auxx+ Buxy+ Cuyy= 0
其行波解为：u(x,y) = f(y +lx)
代入原方程得关于l的代数方程： Al2+ Bl+ C= 0
1、当 =B2 – 4AC > 0 时，它有二个实根l1和l2 ，则：
u(x,y) = f(y + l1x) + g(y + l2x)
行波解
2、当B2 – 4AC = 0时，它有二个实重根l1=l2=-B/2A ，则：
对于第一部分，它表示弦上质点的振动所构成的外形函 数F(x-at)是以常速度a向x轴正方向传播的，即它代表一 个以速度a沿正方向传播的行波或正向波。
at
~ u F ( x)
~ u F ( x at)
右传播波
O
x0
x0 + at
x
达朗贝尔公式的物理意义
对于第二部分，它表示弦上质点的振动所构成的外形函 数G(x+at)代表一个以速度a沿负方向传播的行波或负向 波。
x
x at
依赖区间
x + at
有关概念：依赖区间、决定区域和影响区域
另一方面，对于初始时刻t=0，过x轴上区间[x1, x2]的端点x1 作斜率为1/a直线 x= x1+at，过端点x2作斜率为-1/a直线x= x2at，则它们与区间[x1, x2]一起围成的三角形区域 x1+at≤x≤x2-at
所谓行波解，是指方程的解依赖于自变量的幂次组 合或线性组合，再以这种组合为新自变量，这样就 使得自变量的数目减少。如果能减少到只含有一个 自变量，于是二个自变量的偏微分方程可化为一个 常微分方程，从而可大大方便求解。
行波解
二、只含二阶导数项的常系数偏微分方程的行波解
只含二阶导数项的常系数线性齐次偏微分方程一般形 式如下：
( x at ) + ( x + at ) 1 x + at 根据达朗贝尔公式： u ( x, t ) + ( s)ds 2 2a x at
可见，u(x, t) 仅仅依赖于 [ x at, x + at] 中的初始条件。 与其它点的初始条件无关。 它是过（x，t）点，斜率分别为 1 a 的直线与 x 轴 所截而得到的区间（如图）。该区间称为点（x，t） 的依赖区间。 t ( x, t )
例 题
2u 2u 2u 3 2 0, y 0, x + 2 +2 例 解定解问题： x xy y x 2 u ( x,0) u ( x,0) e , 0, x + y dy 2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy + dx) 0 解 2u 0 xh x y 3x h y + x
其行波解为：u(x,y) = emx+ ny
代入原方程得关于m,n的代数方程： Am2+ Bmn+ Cn2+Dm+En+F= 0 1、当 =B2 – 4AC > 0 时，它有二个实根n1(m)和n2 (m) ， 则：
u(x,y) = c1 emx+n (m)y + c2 emx+ n (m)y
1 2
~ u G( x + at)
at
~ u G ( x)
左传播波
O
x0 at
x0
x
因此，由达朗贝尔解可知，由任意初始扰动所引起的自 由振动总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去， 传播速度为正好等于泛定方程中的常数a。
达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔解： u( x, t )
F ( x at) + G( x + at)
因此，由达朗贝尔解可知，由任意初始扰动所引起的自由振 动总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播速度 正好等于泛定方程中的常数a。
G( x + at1 )
at1
at1
F ( x at1 )
左传播波
O
at2 at2
右传播波
x x
G( x + at2 )
F ( x at2 )
O
有关概念：依赖区间、决定区域和影响区域
1 1 [ ( x at ) + ( x + at )] + [ ( x + at ) ( x at )] 2 2a
因此，原定解问题的解可表示为左、右行进波的 叠加，此方法称为“行波法”。
达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔解实际上可表示成两个函数的和的形式：
u( x, t ) F ( x at) + G( x + at)
若过x轴上区间[x1, x2]的端点x1作斜率为-1/a直线 x= x1-at， 过端点x2作斜率为1/a直线x= x2+at，则它们与区间[x1, x2]一 起围成三角形区域 x1-at≤x≤x2+at
u(x,y) = f(y + l1x) + xg(y + l1x)
3、当B2 – 4AC < 0时，它有二个复根a±ib ，则： u(x,y) = f[(y + a x)+ ibx] + g [(y + a x) - ibx]
行波解
三、一般常系数偏微分方程的行波解
常系数线性齐次偏微分方程一般形式如下： Auxx+ Buxy+ Cuyy+ Dux+ Euy + Fu = 0
< 0 为椭圆型方程，如稳恒场方程。
偏微分方程的通解
二、偏微分方程的通解
对于给定的偏微分方程，一般不能简单地确定其 通解。但有时，通过对原方程的自变量进行一定 的变换，方程形式会非常简单，此时可求得其通 解。
偏微分方程的通解
例：求解如下偏微分方程的通解：
x2uxx+ 2xy uxy+ y2 uyy= 0
行波解
2、当B2 – 4AC = 0时，它有二个实重根n1(m)=n2 (m) ， 则： u(x,y) = c1 emx+n (m)y + c2xe emx+ n (m)y
1 1
3、当B2 – 4AC < 0时，它有二个复根a (m) ±ib (m) ，则：
u(x,y) = c1 emx+ (a + ib)y + c2 emx+ (a - ib) y
它是一个常微分方程。由特征方程所得到的积分曲线 称为原偏微分方程的特征曲线。
二阶线性偏微分方程的特征线只与该方程的二阶导数 项的系数有关，而与其低阶项的系数是无关的。
偏微分方程的通解
根据特征方程，定义判别式：
= B2 – 4AC 则由此可得到偏偏微分方程的分类准则： > 0 为双曲型方程，如波动方程； = 0 为抛物型方程，如热传导方程；
中的任意点 (x, t) 的依赖区间都落在区间[x1, x2]内，因此解 在该区域中的数值完全由区间[x1, x2]内的初始条件所决定， 与区间外初始条件无关。因此该三角区域称为区间[x1, x2]的 决定区域（如图） 。 t
x x1 + at
x x2 at
x
x1
x2
有关概念：依赖区间、决定区域和影响区域
由此得特征线为 x at c1 , 故作线性变换 原方程改写为
2u 0 xh