秋学期九年级数学上册 22.2一元二次方程的解法4导学案华东师大版

合集下载

华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的的解法拓展导学案

2121222=-+-x x x x 0624=--x x 06)1(5)1(2=+---x x x x 华东师大版九年级上册导学案§22.2一元二次方程的解法拓展【课前预习学案】★(一)温故知新：1、若一元二次方程通过适当变形为(x -m )2=n (n ≥0)，可用法求解较为简便；方程通过适当变形为(x +a )(x +b )=0，可用法求解；对任意一个一元二次方程如果有解，都可以用法和法。

2、掌握好了上述方法的同学，请按要求解下列方程：(有一定的难度哦，相信你能行的!)（用因式分解法）（用公式法）（用配方法）（用开平方法）；；； .0154)53(2)4( 2312)3( 03161)2( )0(0)1(2222=++--==-+≠=-x x p p y y m n mx★(二)自我探究：1、上述几种方法是解一元二次方程的基本方法，但对于一些特殊的一元二次方程或更高次数的一元方程，这些方法就有一定的局限了。

我们一起来看看一种新的解方程的方法：解一元二次方程：(3x +5)2- 9(3x +5)+20=0分析：若用常规思路，即整理成一般形式，再选用适当方法求解；还可以将(3x +5)看作一个整体，进行“换元”，从而达到降次的目的，将原方程转化为一元一次方程求解。

解：设3x +5= y ，则原方程化为y 2- 9y +20=0，解得y 1=4，y 2=5.当y =4时，即3x +5=4，解得x =31-；当y =5时，即3x +5=5，解得x =0. ∴原方程的解为x 1=31-，x 2=0. 模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (x +2)2-13(x +2)+36=0 (2) (x 2-x )2-7(x 2-x )-8=02、换元法不只是在解这种特殊的一元二次方程时可用，它真正的威力在解某些高次方程或分式方程时才会显现出来，以下面三个题为例：解方程：(1) (2) (3) 解：(1),65,12+-=-y y y x x 则原方程化为设.3,221==y y 解得；解得时，即当2,212==-=x x x y 5.1,313==-=x x x y 解得时，即当 .5.1221是原方程的解，经检验，==x x6151=+++x x x x 0241124=+-y y 0324)12(22=----xx x x 06,)2(22=--=m m m x 则原方程化为设,.2,321-==m m 解得；，解得时，即当3332±===x x m .,222此时方程无解时，即当-=-=x m.3321-==∴x x ，原方程的解为 (3),21,122=+=-y y y x x 则原方程化为令,112,1,01222=-==+-x x y y y 即解得去分母得 .10122==+-x x x ，解得去分母整理得.1是原方程的解经检验，=x模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (2) (3)【课后练习题案】一、填空：1、若一元二次方程x 2-4x -5=0的一根是直角三角形斜边上中线的长，则该直角三角形两直角边长平方的和是 .2、. )252(63301322的值为，则一元二次方程--+÷--=-+x x x x x x x 3、. ,0212的值为则若分式a a a a =--- 二、用换元法解下列方程：(1)(3x -1)2+1-3x=6 (2)04)1(3122=++-+x x x x (3)22322=+-+x x x x (4)0)5)(2(22=--x x三、.,4)1(22222的值求已知y x y x +=++四、已知m 是方程x 2-2020x +1=0的一个根，求m 2-2019m +120202+m 的值。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法(4)导学案(无答案)华东师大版(new)

一元二次方程的解法一、学习目标1.掌握求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力;2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.二、学习重点重点:用公式法解简单系数的一元二次方程；难点:推导求根公式的过程。

三、自主预习用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0）。

因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0.移项，得 x 2＋ab x ＝________，配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即（____________） 2＝___________因为 a ≠0，所以4a 2＞0,当b 2－4ac ≥0时，直接开平方,得___________________。

所以 x ＝_______________________即 x ＝_________________________由以上得到了一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式:小结：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

四、合作探究用公式法解下列方程：(1） 2x2＋x－6＝0; (2） x2＋4x＝2；解(1)这里a＝__ _，b＝_ __，c＝______,b2－4ac＝____________ ＝_________所以x＝a acb b24 2-±-＝_________＝____________即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____（2）将方程化为一般式，得_________________＝0。

因为 b2－4ac＝_________所以 x＝_____________＝_______________原方程的解是 x1＝________，x2＝_____（3） 5x2－4x－12＝0；（4） 4x2＋4x＋10＝1－8x。

五、巩固反馈1。

用公式法解下列方程：(1) x2－6x＋1＝0；（2)2x2－x＝6；（3）4x2－3x－1＝x－2； (4)3x（x－3）＝2(x－1）（x＋1)。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法导学案(新版)华东师大版

22.2一元二次方程的解法【学习目标】1. 会用直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程；2. 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法；3. 能感受到方程在生活中的应用的价值。

【重点】灵活选择解方程的方法来解方程；【难点】一元二次方程解法的灵活选择。

【使用说明与学法指导】1.通过静思近几节课一元二次方程的解法，归纳概括出解法方程的特征；2.通过回顾概括A、B层能够掌握一元二次方程的四种解法，A层能解较复杂的一元二次方程，B层能熟练运用四种解法；C层至少要掌握一种解法，特别是公式法。

预习案一、回顾概括1.一元二次方程有哪几种解法？2.每一种解法方程的特点是什么？配方的关键点是什么（口诀）二、我的疑惑探究案探究点一：直接指出下列方程用什么方法解比较合适？（1）27)12(32=+x （2）03422=--x x（3）025122=-x （4）022=-x x（5）()051=-+x x x （6）0652=--x x 合作交流：四种解法中，优先选取顺序是什么：探究点二：用适当的方法解下列方程例1.自主探究：（1）022=-x x （2）012122=-+x x合作交流：小组对所做的题目找出最简便的方法，为什么？达成共识。

【小结】【针对性练习】1.解方程：211232=-x x 0562=++x x【拓展提升】求最值：求二次三项式362++x x 的最小值【课堂小结】说一说四种解法中，优先选取的顺序？如何选择合适的方法？训练案一、选择题1．方程052=-x x 的解是( )A ．5=xB ．01=x ，52=xC ．0=xD ．51=x ，52-=x2．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有一个解为1-，则有( )A ．0=++c b aB ．0=+-c b aC ．1-=++c b aD ．1-=+-c b a3．方程)5(4)5(2-=-x x 最适合的解法是（）A ．直接开平方法B ．公式法C ．配方法D ．因式分解法4.用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，解得方程的根为（）A ．223+=xB ．3231+=x ，3232-=xC ．223-=xD ．2231+=x ，2232-=x二、填空题5．一元二次方程342=-x x 的一般形式为，其二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .6．（1）方程092=-x 的解是；（2）方程1)3(2=-x 的解是 .7．（1）++x x 62 =+x ( 2) ；（2）+-x x 692 =( 2). 8.当时，代数式632-x 的值等于21.三、解答题：9.解方程：0622=--x x 10.解方程：05)1(=-+x x x11.解方程：05.6)1(52=-x 12.解方程：01622=--x x13.国庆将至，某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为用适当的方法解这个方程：。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式教案华东师大版

4.一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x －2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根．解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c 都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a .证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )＝(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]．∵a ，b ，c 是三角形三条边的长，∴a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c >0，a ＋b >c ，b ＋c >a ，a ＋c >b .∴(b ＋c )－a >0，(a ＋b )－c >0，b －(a ＋c )<0，∴(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m －1)]2－4m 2>0，解得m <14.∵m 为非负整数，∴m ＝0.而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m ＝0后，常常会草率地认为m ＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.。

华师大版数学九年级上册教案：22.2一元二次方程的解法教案(4)

华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法教案（４）教学内容：公式法。

课本Ｐ28页~Ｐ30页；教学目标１、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．２、通过公式法解一元二次方程来解决实际问题；３、体验特殊到一般的过程。

重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学准备：课件教学方法：练习引导法教学过程：一、练习１、解下列方程（１）2299990x x --= (2) 2510x x --=2、若,,a b c 是△ＡＢＣ的三条边，且222506810a b c a b c +++=++，判断△ＡＢＣ的形状。

３、解字母系数的一元二次方程：20,(0)ax bx c a ++=≠二、学习公式法１、复习配方法再解方程20,(0)ax bx c a ++=≠２、求根公式一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：224,(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥ ３、用公式法解一元二次方程例１、解方程（１）2260x x +-= （２）242x x +=解：（１）给公式中的,,a b c 赋值，得 2,1,a b c ===- 计算24b ac -的值，得 224142(6)49b ac -=-⨯⨯-= 代入公式求根，得24214922174b b ac x a-±-=-±=⨯-±= 即123,22x x ==- （２）将方程化为一般形式，得 2420x x +-=给公式中的,,a b c 赋值，得 1,4,a b c ===- 计算24b ac -的值，得 224441(2)24b ac -=-⨯⨯-= 代入公式求根，得2424242142622(26)226b b ac x a-±-=-±=⨯-±=-±==-± 即1226,26x x =-+=--例２、解下列方程（１）254120x x --= （２）2441018x x x ++=- 解：（１）给公式中的,,a b c 赋值，得 5,4,a b c ==-=- 计算24b ac -的值，得 224(4)45(12)256b ac -=--⨯⨯-= 代入公式求根，得2424256224164b b ac x a-±-=±=⨯±= 即1262,5x x ==-（2）将方程化为一般形式，得 241290x x ++=给公式中的,,a b c 赋值，得 4,12,a b c === 计算24b ac -的值，得 224124490b ac -=-⨯⨯= 代入公式求根，得 242120241208b b ac x a-±-=-±=⨯±= 即1232x x ==- 例３、解决22.1节中的问题１解：设宽为x 米，则(10)900x x +=将方程化为一般形式，得 2109000x x +-=给公式中的,,a b c 赋值，得 1,10,a b c ===-计算24b ac -的值，得 2241041(900)3700b ac -=-⨯⨯-= 代入公式求根，得2421037002110103725537b b ac x a-±-=-±=⨯-±==-± 即125537,5537x x =-+=--它们都是所列方程的根，但负数根2x 不符合题意，应舍去。

九年级数学上册第22章《一元二次方程》(第4课时)一元二次方程的解法导学案新华东师大版

一元二次方程的解法1.掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2.理解解方程中的程序化，体会化归思想。

二、学习重点重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。

三、自主预习自学教材，根据我们学习过的完全平方公式，完成下列的填空：（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；（3）x2＋x＋（）＝（x＋）2；从这些填空中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________四、合作探究探究1.用配方法解下列方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.解（1）移项，得x2－6x＝____.方程左边配方，得x2－2·x·3＋2＝7＋___，即（______）2＝____.所以x－3＝____.原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.（2）移项，得x2＋3x＝－1.方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，即所以原方程的解是：x1＝_______，x2＝________小结：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？探究2.用配方法解下列方程：（1）（2）小结：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，我们应先将二次项系数化为1，再进行解方程。

五、巩固反馈1.用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).2.用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2-8x+18的值总不小于10。

3.若a , b , c是三角形ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法第4课时精品导学案华东师大版1

22.2一元二次方程的解法第四课时公式法和一元二次方程根的判别式教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】导学过程阅读教材第28页至第32页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=242b b aca-+-x2=242b b aca---分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac＞0，则2244b aca-＞0直接开平方，得：即x=242b b aca-±-∴x1= ，x2=（2）b2-4ac=0，则2244b aca-=0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。

（3）b2-4ac＜0，则2244b aca-＜0，此时（x+2ba）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程实数根。

由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。

华东师大版九年级数学上册《22.2一元二次方程的解法—4.一元二次方程根的判别式》【教案】 (华

《一元二次方程根的判别式》一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。

而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。

解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。

本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。

【知识与能力目标】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法目标】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度价值观目标】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、知识回顾用配方法一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠1x =,2x =【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现： 2224(x )24b b ac a a -+= 【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根: 1x =,2x =（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例.不解方程判定下列方程的根的情况： (1)232302x x --= (2)2162490x x -+=(3)290x -+=(4)2231028x x x x +=+解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜14且m ≠-1; （2）m=14; （3）m ＞14 .【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B3.如果一元二次方程2m x -4x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围时( )A.m＜4B.m＜4且m≠0C.m＜1D.m＜1且m≠04.k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？5.已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0（1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当k取何值时，方程没有实数根？【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件. 【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.略。

华师大版-数学-九年级上册-22.2 一元二次方程的解法导学案

22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。

∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。

巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

秋九年级数学上册第22章一元二次方程公式法导学案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九

公式法【学习目标】 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式的推导过程，并应用公式法解一元二次方程．【学习重点】求根公式法的应用．【学习难点】一元二次方程求根公式法的推导．情景导入生成问题用配方法解方程2x 2＋4x ＋1＝0并总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么．自学互研生成能力知识模块一公式法的推导过程阅读教材P 28～P 31的内容．解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．因为a≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0，移项，得x 2＋b a x ＝－c a .配方，得x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，因为a≠0，所以4a 2＞0，当b 2－4ac≥0时，直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b 2a ±b 2－4ac 2a .即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)．归纳：1.此公式使用的前提条件是b 2－4ac≥0，如果b 2－4ac ＜0，方程无实数根，此时就不能将a ，b ，c 代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b 2－4ac 的值，如果为非负数，然后再代入公式求解.2.我们可以不解方程，用它的判别式即可知道方程的解的情况．知识模块二用公式法解一元二次方程X 例：解下列方程：(1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2.解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49，所以x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即x 1＝32，x 2＝－2. (2)将方程化为一般式，得x 22－4ac ＝24，所以x ＝－4±242＝－2±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6仿例：解下列方程：(1)5x 2－4x －12＝0；(2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.解：(1)因为b 2－4ac ＝256，所以x ＝－（－4）±2562×5＝4±1610＝2±85，即x 1＝2，x 2＝－65.(2)整理，得4x 22－4ac ＝0，所以x ＝－12±08，即x 1＝x 2＝－32. 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公式法的推导过程知识模块二用公式法解一元二次方程X 例：(方法二)解：配方得：(x ＋2)2＝6，∴x ＋2＝±6，∴x ＋2＝－6，x ＋2＝6，∴x 1＝－2－6，x 2＝－2＋ 6.检测反馈达成目标1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( D ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．1，－3，12．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( C ) A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－32D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．已知关于x 的方程x 2＋3mx ＋m 2＝0的一个根是x ＝1，那么m ＝__－3±52__． 4．解下列方程：(1)x 2＋3x －2＝0；(2)(x －1)(x －3)＝1.解：(1)x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172； (2)x 1＝2－2，x 2＝2＋ 2.5．(1)解方程：x 2＋4x －5＝0；(2)求证：无论k 取任意值，关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根．解：(1)x 2＋4x －5＝0，(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1；(2)∵Δ＝(－k)2－4(k －2)＝k 2－4k ＋8＝(k －2)2＋4＞0，∴关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法教案华东师大版(2021-2022学年)

22.2 一元二次方程的解法22．2。

1 直接开平方法和因式分解法第１课时直接开平方法【知识与技能】1．理解一元二次方程降次的转化思想．2.会用直接开平方法解形如（x＋b)2=n(n≥0）的一元二次方程．【过程与方法】１.会用直接开平方法解简单的一元二次方程．2.会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程aｘ2＋c＝0，然后迁移到解a(x＋f）２+c＝0型的一元二次方程.【情感态度】1．通过探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯.2.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．【教学重点】运用开平方法解形如(x＋ｍ)2＝ｎ（n≥0）的方程;领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解．【教学难点】通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(ｘ+m）２=n(n≥0）的方程.一、创设情境,导入新知１．叙述平方根的定义.2.求适合ｘ2＝4的ｘ的值．说明：学生不难得出本题的解x=2或x＝－2。

教师可引导学生观察这个方程的特点,探索解这个方程与已学知识（第11章“数的开方”中的平方根）的联系.在求出方程x２＝4的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法．从而引出新课——直接开平方法解一元二次方程．二、合作探究，理解新知问题１：怎样解形如ｘ２=b的方程?教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法,当b≥0时,方程解为x=±错误!未定义书签。

.问题２:怎样解方程ａx2+c=０(ａ≠0）?（1）教师可用①ｘ２－2=0；②2x２－8＝0；③２x２+8=0等方程为例,由学生把它们变形为ｘ２＝-错误!的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程③的解不存在.在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法．(2)引导学生归纳方程ax2+ｃ=0(a≠０)的解法:当a、c异号时，方程ax2+c=0的根为ｘ＝±错误!未定义书签。

华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法4.一元二次方程的根的判别式导学案

20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠华东师大版九年级上册导学案§22.2.4 一元二次方程根的判别式【课前预习学案/参考课本P31-33】★(一)温故知新：用(求根)公式法解一元二次方程2x (x+1)+1=4-2x ，首先将其化为一般形式，为 =0；再找出各项系数，为a= ，b= ，c= ，进而求出代数式 b 2- 4ac 的值，是；最后把a 、b 、c 的值代入求根公式，得x = ，即该方程的解为x 1= ，x 2= .★(二)自我探究：1、一元二次方程是方程中很有意思的一种，蕴藏着很多的奥秘。

通过配方法获得公式法的过程中，我们就领略到了一元二次方程不同寻常之处。

它的各项系数a 、b 、c 究竟还可以帮助我们获得方程的哪些信息呢？你能不解方程，就可以迅速判别下列方程根的情况吗？(1)2x 2- x - 15=0； (2)9y 2 +24y+16=0； (3)2x 2- 10x + 15=0.要解决上面的问题，我们先回到用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中：通过配方，得到22244)2(aac b a b x -=+.只有当b 2-4ac ≥0时，才能直接开平方得到方程的解。

也就是说，只有当系数a 、b 、c 满足b 2-4ac ≥0时方程才有实数根。

因此，我们可以用一元二次方程的各项系数直接判定根的情况。

如，上面的方程(1)2x 2- x - 15=0.因为b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-15)=121＞0，所以方程有两个不相等的实数根；再看方程(2)9y 2 +24y+16=0.因为b 2-4ac= ，所以方程实数根；最后看看方程(3)2x 2- 10x + 15=0的根又是什么情况呢？因为b 2-4ac= ，所以方程实数根.2、归纳：对于一元二次方程 . (1)当b 2-4ac ＞0时，方程有实数根，为x 1= ，x 2= ；(2)当b 2-4ac=0时，方程有实数根，为 = ；(3)当b 2-4ac ＜0时，方程实数根.这里的代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程式，通常用符号“ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况。

最新华东师大版初中数学九年级上册精品教案22.2 一元二次方程的解法

22.2一元二次方程的解法1. 直接开平方法和因式分解法知识与技能：1.会用直接开平方法解形如a（x-k）2=b（a≠0，ab≥0）的方程.2. 灵活运用因式分解法解一元二次方程.3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.过程与方法：创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.情感态度：鼓励学生积极主动地参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.教学重难点：重点：利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程（x+1）2=256？解：（方法1）直接开平方，得x+1=±16.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.（方法2）原方程可变形为（x+1）2-256=0.方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0，即（x+17）（x-15）=0.所以x+17=0或x-15=0.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程：（1）（3x+1）2=7；（2）y2+2y+1=24；（3）9n2-24n+16=11.解：（1）直接开平方，得3x+1=±7.所以原方程的解为x=317-±. （2）原方程可变形为（y+1）2=24. 直接开平方，得y+1=±62.所以原方程的解为x=-1±62.（3）原方程可变形为（n -34）2=911. 直接开平方，得n -34=±311.所以原方程的解为x =3114 . 【教学说明】运用开平方法解形如（x +m ）2=n （n ≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2-4x =0；（2）3x （2x +1）=4x +2；（3）（x +5）2=3x +15. 解：（1）方程左边分解因式，得x （5x -4）=0. 所以x =0或5x -4=0. 所以原方程的解为x 1=0，x 2=54. （2）原方程可变形为6x 2-x -2=0. 方程左边分解因式，得6（x -32）（x +21）=0.所以x -32=0或x +21=0.所以原方程的解为x 1=32，x 2=-21.（3）原方程可变形为x 2+7x +10=0. 方程左边分解因式，得（x +2）（x +5）=0. 所以x +2=0或x +5=0.所以原方程的解为x 1=-5，x 2=-2.【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体化归的思想. 三、运用新知，深化理解 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）3（x -1）2-6=0；（2）x 2-4x +4=5；（3）（x +5）2=25；（4）x 2+2x +1=4. 解：（1）x 1=1+2，x 2=1-2. （2）x 1=2+5，x 2=2-5.（3）x 1=0，x 2=-10. （4）x 1=1，x 2=-3.2. 用因式分解法解下列方程：（1）x 2+x =0；（2）x 2-23x =0；（3）3x 2-6x =-3；（4）4x 2-121=0；（5）（x -4）2=（5-2x ）2.解：（1）x 1=0，x 2=-1. （2）x 1=0，x 2=23.（3）x 1=x 2=1. （4）x 1=211，x 2=-211. （5）x 1=1，x 2=3.3. 把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程为2πx 2=π（x +5）2. 解得x 1=5+52，x 2=5-52（舍去）. 答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评. 四、师生互动，课堂小结1. 引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2. 对于形如a （x -k ）2=b （a ≠0，b ≥0）的方程，只要把（x -k ）看作一个整体，就可将其转化为x 2=n （n ≥0）的形式用直接开平方法解.3. 当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解. 五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体化归的思想.2. 配方法知识与技能：1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能. 过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法. 情感态度：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣. 教学重难点：重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.难点：发现并理解配方的方法. 一、情境导入，初步认识问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m ，则长为（x +6）m. 根据矩形的面积为16 m 2，得到方程为x （x + 6）=16. 整理，得x 2+6x -16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究：如何解方程x 2+6x -16=0？问题1：通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x +m ）2=n （n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x +3）2=25；（2）x 2+6x +9=25；（3）x 2+6x =16；（4）x 2+6x -16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x -16=0转化为（x +3）2=25的形式，从而求得方程的解. 解：（1）移项，得x 2+6x =16. 两边都加上9，即（26）2，使左边配成x 2+bx +b 2的形式，得x 2+6x +9=16+9，左边写成完全平方形式，得（x +3）2=25. 开平方，得x +3=±5，（降次）即x +3=5或x +3=-5.解一次方程，得x 1=2，x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 例1 填空：（1）x 2+8x + 16 =（x + 4）2；（2）x 2-x +41=（x -21）2；（3）4x 2+4x +1=（2x +1）2.例2 解方程：（1）x 2+6x +5=0；（2）2x 2+6x +2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-5. （2）x 1=-2325-，x 2=2325-. （3）x 1=5-2，x 2=-5-2.【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1. 用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x -8=0；（2）x 2-4x +2=0；（3）x 2-21x -1=0. 2. 如果x 2-4x +y 2+6y +2 z +13=0，求（xy ）z的值. 【答案】1. 解：（1）x 1=1+5，x 2=1-5. （2）x 1=-2+2，x 2=2+2. （3）x 1=41+417，x 2=41-417. 2. 解：由题意知，x =2，y =-3，z =-2. 所以（xy ）z=（-6）-2=361. 【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路. 四、师生互动，课堂小结1. 用配方法解一元二次方程的步骤.2. 用配方法解一元二次方程的注意事项. 五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法知识与技能：1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2. 会熟练运用公式法解一元二次方程. 过程与方法：通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.情感态度：经历探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点. 教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的运用. 难点：一元二次方程求根公式的推导. 一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x +2=0；（2）2x 2-3x +5=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-2.（2）无解. 二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx +c =0（a ≠0），试推导它的两个根：x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---.【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成具体的数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此，（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x =aac b b 242-±-就得到方程的根，当b 2-4ac <0时，方程没有实数根.（2）x =aac b b 242-±-叫作一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示. 例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x -1=0； ②5x +2=3x 2； ③（x -2）（3x -5）=0； ④4x 2-3x +1=0. 解：①x 1=1+26，x 2=1-26.②x 1=2，x 2=-31.③x 1=2，x 2=35.④无解.【教学说明】（1）②，③要先化成一般形式；（2）强调确定a ，b ，c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式. 三、运用新知，深化理解用公式法解下列方程：（1）x 2+x -12=0；（2）x 2-2x -41=0；（3）x 2+4x +8=2x +11；（4）x （x -4）=2-8x ；（5）x 2+2x =0；（6）x 2+25x +10=0. 解：（1）x 1=3，x 2=-4. （2）x 1=232+，x 2=232-. （3）x 1=1，x 2=-3.（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6. （5）x 1=0，x 2=-2. （6）无解.【教学说明】用公式法解方程的关键是要先将方程化为一般形式再求解. 四、师生互动，课堂小结 1. 求根公式的概念及其推导过程. 2. 公式法的概念.3. 运用公式法解一元二次方程. 五、教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式知识与技能：1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证.2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 过程与方法：1. 经历一元二次方程根的判别式的产生过程.2. 向学生渗透分类讨论的数学思想.3. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 情感态度：1. 体验数学的简洁美.2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神. 教学重难点：重点：根的判别式的正确理解与运用.难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用. 一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程：（1）x 2+5x +6=0；（2）9x 2-6x +1=0；（3）x 2-2x +3=0. 解：（1）x 1=-2，x 2=-3. （2）x 1=x 2=31.（3）无解.【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识. 二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a ，b ，c 的值，再求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫作一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac .我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：（x +a b 2）2=a acb 2244-.【归纳结论】（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x 1=aacb b 242-+-，x 2=aacb b 242---；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x 1=x 2=-ab2；（3）当Δ<0时，方程没有实数根.例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况：（1））2x 2-3x -23=0；（2）16x 2-24x +9=0；（3）x 2-42x +9=0；（4）3x 2+10x =2x 2+8x . 解：（1）有两个不相等的实数根. （2）有两个相等的实数根. （3）无实数根.（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m +1）x 2-（2m -3）x +m +1=0. （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根. 解：（1）m <41且m ≠-1.（2）m =41. （3）m >41. 【教学说明】注意（1）中的m +1≠0这一条件. 三、运用新知，深化理解1. 方程x 2-4x +4=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根2. 已知x 2+2x =m -1没有实数根，求证：x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】 1. B2. 证明：∵x 2+2x =m -1没有实数根， ∴4-4（1-m ）<0，解得m <0.将方程x 2+mx =1-2m 化为x 2+mx +2m -1=0，∴Δ=m 2-8m +4. ∵m <0，∴Δ>0，∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动，课堂小结1. 用判别式判定一元二次方程根的情况：（1）当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根. （3）当Δ<0时，一元二次方程无实数根.2. 运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件. 【教学说明】可让学生先分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述. 五、教学反思本节课创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时的点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5. 一元二次方程的根与系数的关系知识与技能：1. 引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2. 通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程. 过程与方法：通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神. 情感态度：在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯. 教学重难点：重点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 难点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 一、情境导入，初步认识 1. 完成下列表格：问题：你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项） ②设方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ） 2. 完成下列表格：问题：上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac）二、思考探究，获取新知通过以上的活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=a acb b 242-+-，x 2=a ac b b 242---，则x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac.【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x -15=0；（2）3x 2+7x -9=0；（3）5x -1=4x 2.解：（1）x 1+x 2=6，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=-37，x 1x 2=-3. （3）x 1+x 2=45，x 1x 2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，再找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k =3. 【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x =-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α，β是方程x 2-3x -5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.（1）βα11+；（2）βα22+；（3）βα-. 解：（1）βα11+=-53. （2）βα22+=19.（3）βα-=29或βα-=-29.三、运用新知，深化理解1. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-3x =15；（2）5x 2-1=4x 2；（3）x 2-3x +2=10；（4）4x 2-144=0；（5）3x （x -1）=2（x -1）；（6）（2x -1）2=（3-x ）2.2. 两根均为负数的一元二次方程是（）A. 7x 2-12x +5=0B. 6x 2-13x -5=0C. 4x 2+21x +5=0D. x 2+15x -8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1. 解：（1）x 1+x 2=3，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=0，x 1x 2=-1.（3）x 1+x 2=3，x 1x 2=-8.（4）x 1+x 2=0，x 1x 2=-36.（5）x 1+x 2=35，x 1x 2=32. （6）x 1+x 2=-32，x 1x 2=-38. 2. C 【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。

2019版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法导学案(新版)华东师大版

2019版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法导学
案（新版）华东师大版
学习内容
一元二次方程的解法（4）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
学习重点
选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
学习难点
理解四种解法的区别与联系。
导学过程
复备栏
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
（3）x2＋(＋1)x＝0；（4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝；（6）x（x＋8）＝16；
3、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
【拓展延伸】
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2的值是（）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）
（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）
【温故互查】
1.我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
2.请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
【设问导读】
【自学检测】
1.分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法：用配方法：
用公式法：用因式分解法：

九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大

解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)2x2－x＋1＝0； ∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0， ∴方程没有实数根．
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其根的判别式的值为4，求m的值．
第22章一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
提示：点击进入习题
新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．

【华东师大版九年级数学上册教案】22.2一元二次方程的解法第4课时

22.2一元二次方程的解法第4课时教课目的1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程.教课重难点【教课要点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教课难点】用公式法解一元二次方程.课前准备无教课过程一、情形导入假如这个一元二次方程是一般形式2＋bx ＋＝0(≠ 0) ，你可否用配方法的步骤求出它们ax c a 的两根？请同学独立达成下边这个问题．2＋ bx＋ c＝0( a≠0)2x1＝－ b＋ b2－4ac，问题：已知 ax，且 b－ 4ac≥0，试推导它的两个根2ax2＝－ b－ b2－4ac2a.二、合作研究研究点一：用公式法解一元二次方程方程 3x2－ 8＝7x化为一般形式是 __________，此中a＝ ________，b＝ ________，c＝________，方程的根为 ____________ ．分析：将方程移项可化为3x 2－7 －8＝0. 此中＝ 3，＝－ 7，＝－ 8，由于b2－ 4ac＝( －x ab c7)2－4× 3× (－ 8) ＝ 145＞ 0，代入求根公式可得7± 145x＝.6故答案分别为3x2－ 7x－8＝ 0， 3，－ 7，－ 8，7± 145.6方法总结：一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0( a≠0)的根是由方程的系数a， b， c 确立的，只需确立了系数a， b， c 的值，代入公式便可求得方程的根．用公式法解以下方程：(1)－ 3x2－ 5x＋ 2＝ 0; (2)2 x2＋3x＋ 3＝ 0；(3)x2－2x＋1＝0.2分析：先确立a， b， c 及 b －4ac 的值，再代入公式求解即可．∵a＝3， b＝5， c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，－5± 49 －5±7∴x＝2× 3＝6，1∴x1＝， x2＝－2；3(2)∵ a＝2， b＝3， c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵ a＝1， b＝－2， c＝1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，2±0 2±0∴x＝2×1＝2，∴x1＝ x2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，第一应将其变形为一般形式，而后确立公式中a，b，c 的值，再求出b2－4ac的值与“ 0”比较，最后利用求根公式求出方程的根( 或说明其没有实数根 ) ．【种类二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为 2 和 6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为()A．7 B ．3C．7 或 3 D ．没法确立分析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3， x2＝7.依据三角形三边的关系，第三边还应知足4＜x＜ 8. 因此第三边的长x＝7.应选A.方法总结：解题的要点是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行弃取．三、板书设计四、教课反省经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，研究求根公式，经过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式合用于全部的一元二次方程．领会数式通性，感觉数学的谨慎性和数学结论确实定性．提升学生的运算能力，并养成优秀的运算习惯。

新华东师大版九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第4课时教案

22.2 一元二次方程的解法第四课时公式法和一元二次方程根的鉴识式教课目标：知识技术目标1. 让学生娴熟应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2. 经过公式的引入，培育学生抽象思想能力．过程性目标1. 让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感觉分类思想；2. 让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，领会求根公式的结构特色．感情态度目标1. 经过一元二次方程求根公式的推导，培育学生数学推理的严实性及慎重性，浸透分类的思想；2. 培育学生追求简易方法的研究精神及创新意识．要点和难点：要点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；难点：对字母系数二次三项式进行配方．教课过程：一、创建情境问题 1 用配方法解方程： x 2-4x+2 ＝ 0．问题 2 思虑如何用配方法解以下方程？(1)4x 2-12x-1 ＝ 0，(2)3x 2+2x-3=0 ．二、研究归纳让学生独立解决问题 1，并思虑：用配方法解一元二次方程的步骤如何？要点是什么？用配方法解一元二次方程的步骤：(1) 移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；(2) 配方，方程的两边同时加前一次项系数一半的平方；(3) 用直接开平方法求解．此中 (2) 是要点．问题 1 的结果是：x 112, x 2 12 ．让学生仿问题 1，谈论试试求解问题 2；当二次项系数不为 1 时，如何应用配方法？指出当二次项系数不为1 时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转变成二次项系数为 1 的方程．3 10110x 2x问题 2 的结果是： (1)； (2)3．研究我们来谈论一般形式的一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠0) 的解．用配方法来解一般形式的一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠0) ．由于 a ≠ 0，因此可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得x 2bx c 0aa，移项，得x 2b x caa ，配方，得x2b x b 2c b 2a2aa2a，即b24acxb22a 4a2．由于 a ≠ 0，因此 4a 2＞ 0，当 b 2-4ac ≥ 0 时，得xb b 24ac 2a4a2，即xb b 24ac 2a2a ．因此xb b 24ac 2a2a，即xbb 2 4ac2a．上边的式子叫做一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0) 的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上边的结论可以发现：(1) 一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠0) 的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确立的．(2) 在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，而后在 b 2-4ac ≥0 的前提下，把 a 、b 、xbb 2 4ac2a(b2-4ac ≥0) 中，可求得方程的两个根．c 的值代入思虑 (1) 当 b 2-4ac ＝0 时，一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0) 的根如何？ (2) 当 b 2-4ac ＜ 0 时，一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠0) 的根如何？例用公式法解以下方程，依据方程根的状况你有什么结论？（ 1） 2x 25x 3 0 ；（ 2） 8 y(2 y 5) 25 ；（ 3） x 2x 1 0 ．学生独立利用公式法解上述3 个方程，而后观察方程的解的状况，观察解题过程，总结一元二次方程根的规律和b 2 4ac 的关系．鼓舞学生独立解方程，在解出方程后指引学生观察方程的解，经过谈论得出以下结论：（1）当 b 24ac 0 时，一元二次方程ax 2 bx c0(a 0) 有实数根bb 2 4acbb 2 4acx 12a， x 22a ；（2）当 b 24ac 0 时，一元二次方程ax 2 bx c0(a 0) 有实数根 x 1 x 2b ；2a（3）当 b 24ac 0 时，一元二次方程ax 2 bx c0(a 0) 无实数根．这里的 b 2 4ac 叫做一元二次方程根的鉴识式，平时用符号“△”来表示，用它可以直接判断方程 ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠0) 的实数根的状况。

华东师大版九年级数学上册导学案：22.2.1一元二次方程的解法—直接开方法因式分解法

九年级数学导学稿课题：一元二次方程的直接开方法和因式分解法共 4课时，第 1 课时。

主备人：一、学习目标：1、会用直接开平方法解形如（a ≠0,ab ≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。

二、教学过程：（一）1、自己认真看课本第20页到第22页例题、结合课本提示，独立思考直接开平方法和因式分解法解方程的方法。

2、自主练习解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2（二）自学检测（8分钟）（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）49122=+-x x 。

4、教师点拨（1分钟）1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：b x =2（b ≥0）；b ax =2（a ≠0,a b ≥0）。

解法的根据是平方根的定义。

要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。

2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。

当堂检测一、选择1．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±82．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确3．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b4．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 二、解答题 (用适当方法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)1．2y 2=8．2．.25)1(412=+x3．3x (x －2)=2(x －2)．4．.32x x =*5．x 2－3x －28=0．6．(2x ＋1)2=(x －1)2．。