北京市四中自主招生考试素质测数学试题(含答案)

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2023-2024学年北京市第四中学九年级上学期开学考试数学试卷含详解

数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C.D.2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，253.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A.36cmB.82cmC.83cmD.86cm8.图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点．求证：12CD AB =．方法一方法二证明：如图，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,AE BE ．证明：如图，取BC 的中点E ，连接DE ．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a ______，C 点坐标为_____；（2）当x 何值时两车相遇？（3）当x 何值时两车相距200千米？25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD 的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点Q ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点P ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点Q 为线段AB 的“银杏点”．已知3214A B （，），（，）．（1）在()()()()12341,3,2,6,2,2,4,4Q Q Q Q ----中，线段AB 的“银杏点”是_________；（2）点Q 为直线2y kx =-上一点，若点Q 是线段AB 的“银杏点”且不在第四象限，求k 的取值范围；（3）已知正方形CDEF 边长为1，以()2,T t 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M ，N 在线段AB 上．若正方形CDEF 上的任意一点都存在线段MN ，使得该点为线段MN 的“银杏点”，直接写出t 的取值范围．数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：A 3=，不是根式，故不符合题意；B C是最简二次根式，故符合题意；D25，可化为故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，25【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A 、123+=，不能构成三角形，则此项符合题意；B 、222345+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；C 、22251213+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；D 、22272462525+==，能构成直角三角形，则此项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．3.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=【答案】B【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论．【详解】解：A 5=，选项的运算结果不正确，不符合题意；B =，选项的运算结果正确，符合题意；C ．3=-，选项的运算结果不正确，不符合题意；D ．-=故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则．4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分【答案】D 【分析】结合平行四边形和菱形的性质即可求解．【详解】解：A ：菱形与平行四边形的对角线都不具有相等的性质，故A 错误；B ：菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不具有这一性质，故B 错误；C ：菱形的对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不具有这一性质，故C 错误；D ：菱形与平行四边形的对角线都具有互相平分的性质，故D 正确．故选：D【点睛】本题综合考查菱形和平行四边形的性质．熟记相关结论是解题的关键．5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性即可求解．【详解】解：∵70k =-<∴y 随x 的增大而减小∵23<∴12y y >故选：A【点睛】本题考查一次函数的性质．关键是掌握一次函数的增减性．6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可．【详解】解：100859080958590808580908455x x ++++++++====乙甲，，∴()()()()22222110090859080909590505S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙，()()()2222128584908428084145S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-=⎣⎦甲，∵9084>，5014>，∴乙的平均分较高，成绩波动较大，甲的平均分较低，成绩波动较小；故选：D ．【点睛】本题考查了算术平均数、方差．解题的关键在于正确的计算．7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】连接AM，根据三角形中位线定理求出AM，根据题意求出AB，解直角三角形得到答案．【详解】解：连接AM，∵点E和F分别为MN和AN边的中点，∴AM＝2EF，∵EF的最小值是6cm，∴AM的最小值是12cm，由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，∴AB＝12cm，∴ACAB＝cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，则CD＝cos32ACACD==∠（cm），故答案选：D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、解直角三角形，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．8.图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设两个直线关系式，再表示出z ，x 之间的关系式，即可得出图象．【详解】解：根据图像可知y 与x 是一次函数，z 和y 是正比例函数，设关系式为y kx b =+，1z k y =，∴0,0k b <>，10k >，∴<>，1100k k k b ，∴1111()z k y k kx b k kx k b ==+=+，可知z 与x 是一次函数，且图象经过一，二，四象限；∴图像B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．【答案】5x ≥##5x≤【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.【详解】解：式子5x -50x -≥，即5x ≥故实数x 的取值范围是5x ≥.故答案为：5x ≥【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．【答案】①.1②.2.83【分析】用“夹逼法”的整数部分即可．【详解】解：∵1<2<4，∴12，≈1.414．=2≈2.83．故答案为：1，2.83．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．【答案】y=-x-1，满足()y=ax+a a 0＜即可【分析】根据题意假设解析式，因为函数值随自变量增大而减小，所以解析式需满足a 0＜，再代入（-1,0）求出a 和b 的等量关系即可．【详解】设一次函数解析式()y=ax+b a＜0代入点（-1,0）得0=-a+b ，解得()a=b a 0＜所以()y=ax+a a 0＜我们令a=-1y=-x-1故其中一个符合条件的一次函数解析式是y=-x-1．故答案为：y=-x-1．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，根据题意得出a 和b 的等量关系，列出其中一个符合题意的一次函数解析式即可．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．【答案】86【分析】利用加权平均数的计算方法解题即可．【详解】解：选手的综合成绩为9050%8040%9010%86⨯+⨯+⨯=，故答案为：86【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．【答案】165【分析】根据图形和三角形的面积公式求出ABC 的面积，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，AE BC ⊥，BD AC ⊥，∴ABC 的面积1144822BC AE =⨯=⨯⨯=，由勾股定理得，5,AC ==则8125BD ⨯⨯=，解得165BD =，故答案为：165【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．【答案】5【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD ＝BC ＝EB ＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD ＝AB ＝8，∠EDC ＝90°，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ＝5，∴AD ＝5，∵EA ＝3，ED ＝4，在△AED 中，32+42＝52，即EA 2+ED 2＝AD 2，∴∠AED ＝90°，∴CD ＝AB ＝3+5＝8，∠EDC ＝90°，在Rt △EDC 中，CE 22224845ED DC +=+=故答案为：5【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．【答案】2【分析】根据三角形中线定理求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，再进行计算即可．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ∴是ABC 的中线，1=2DE BC ∴，12BC = ，=6DE ∴，在Rt AFC 中，=90AFC ∠︒，点E 是AC 的中点，8AC =，1==42EF AC ∴，==64=2DF DE EF ∴--，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．【答案】①.12323x x x ++②.1，5，1【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．【详解】∵A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），∴12323W x x x =++，故答案为：12323x x x ++；设总成本价为M 元，根据题意，得()()()12313123133252223132M x x x x x x x x x x =++=++≥++++，∵123,,x x x 均为正整数，1231323W x x x ++=≥，∴()132********M x x ≥+≥⨯=++，当且仅当，131x x ==时，成本最低，此时292x ≥，故25x =，故答案为：1，5，1．【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．【答案】1-【分析】根据零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则对各项进行计算再从左往右依次计算即可．【详解】解：原式12=-+-1=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则是解答本题的关键．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．【答案】2-【分析】根据()222415x x x -++=-，将1x =代入求解即可．【详解】解：∵()222415x x x -++=-，将1x =代入得，)21152-+-=-，∴代数式的值为2-．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值．解题的关键在于正确的运算．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．【答案】（1）见解析（2）BC ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，矩形ABCD 即为所求；【小问2详解】证明：∵AB DC a AD BC b ====，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：BC ，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．【答案】（113（2）绳索AC 的长为2.5m【分析】（1）根据勾股定理求出OB ，根据实数与数轴解答即可．（2）设秋千的绳索长为x m ，根据题意可得3AD x m -＝（），利用勾股定理可得22263x x +-＝（），即可得到结论．【小问1详解】在Rt OAB V 中，OB 22OA AB +2232+13，∴13OC ＝，∴点C 13，13；【小问2详解】解：设秋千绳索AC 的长度为xm ，由题意可得AC ＝AB ＝xm ，∵21CD m DB m ＝，＝，∴AD AB BD x m -＝﹣＝（1），在Rt ADC 中，222AD DC AC +＝，∴22212x x +（﹣）＝，解得 2.5x ＝，即AC 的长度为2.5m ，答：绳索AC的长为2.5m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC中，90ACB∠=︒，点D是AB的中点．求证：12CD AB=．方法一证明：如图，延长CD到点E，使得DE CD=，连接,AE BE．方法二证明：如图，取BC的中点E，连接DE．【答案】见解析【分析】方法一：证明四边形ACDE为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出DE是BC的中垂线，即可得证．【详解】证明：（法一）∵点D是AB的中点，∴AD BD=．∵DE CD=，∴四边形ACBE是平行四边形．∵90ACB∠=︒，∴ACBE是矩形．∴AB CE=．∵12CD CE=，∴12CD AB=．（法二）∵点D 是AB 的中点，∴AD BD =．∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =．∴∥DE AC ．∴DEB ACB ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90DEB ∠=︒．∴DE 是BC 的垂直平分线．∴CD DB =．∵12BD AB =，∴12CD AB =．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）3a =，直线2l 的表达式为1y x =+；（2）312k ≤≤．【分析】（1）点()1A a ，和点()23B ，，分别代入各自的函数表达式，即可求解；（2）求得过点()10-，时，k 的值，再求得两直线平行时k 的值，根据函数图象即可解答．【小问1详解】解：∵点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，∴33a k k =+-=，∵直线2:l y x m =+过点()23B ，，∴32m =+，∴1m =，∴直线2l 的表达式为1y x =+；【小问2详解】解：函数()313y kx k k x =+-=-+，当1x =时，3y =，即直线3y kx k =+-恒过点()13，，当=1x -时，10y x =+=，即直线1y x =+过点()10-，，将点()10-，代入3y kx k =+-，得03k k =-+-，解得32k =，当两直线平行时，1k =，∵当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，如图，∴312k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．【答案】（1）证明见解析（2）55︒，【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义证明ABD ADB ∠=∠，得到AB AD =，即可证明平行四边形ABCD 是菱形；（2）由菱形的性质可得902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，进而得到70DCE ∠=︒，110BCD ∠=︒；进一步求出55ACD MCD ==︒∠∠，则由角平分线的性质得到OD DF ==，则2BD OD ==．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，∴70DCE ABC ∠=∠=︒，180110BCD ABC =︒-=︒∠∠；∵15CEM =︒∠，∴55DCM DCE CEM =-=︒∠∠∠；∵四边形ABCD 是菱形，∴1552ACD BCD ==︒∠∠，∴ACD MCD ∠=∠，又∵OD AC DF CM ⊥⊥，，∴OD DF ==，∴2BD OD ==．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a______，C点坐标为_____；（2）当x何值时两车相遇？（3）当x何值时两车相距200千米？【答案】（1）3，(3,180)（2）15 8（3）58或103【分析】(1)由S与x之间的函数的图象可知3a=，即得快车的速度为100km/h，由慢车5h行驶300km，知慢车的速度为60km/h，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了180km，据此即可求得点C的坐标；(2)由15300(10060)(h)8÷+=，可得当x为158时两车相遇；(3)分两种情况：①当两车行驶的路程之和为100km时；②当两车行驶的路程和为500km时，分别计算即可求得【小问1详解】解：由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，∴由此可以得到3a=，∴快车的速度为3003100(km/h)÷=，由图可得，慢车5h行驶300km，∴慢车的速度为300560(km/h)÷=，360180(km)⨯=，∴快车到达乙地时，慢车行驶了180km，即两车相距180km，(3,180)C∴，故答案为：3，(3,180)；【小问2详解】解：由(1)可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，∴两车相遇所需时间为15300(10060)(h)8÷+=，∴当x为158时两车相遇；【小问3详解】解：①当两车行驶的路程之和为300200100(km)-=时，两车相距200km ，此时5100(10060)8x =÷+=；②当两车行驶的路程和为300200500(km)+=时，两车相距200km ，3x = 时，快车到达乙地，即快车行驶了300km ，∴当慢车行驶200km 时，两车相距200km ，此时10200603x =÷=，综上所述，x 为58或103时，两车相距200km ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．【答案】（1）①21x -，21x -+；②画图见解析（2）右，1（3）5【分析】（1）①根据绝对值的意义化简即可；②描点画出图象即可；（2）画出23y x =-的图象，结合图象即可解答；（3）先解不等式22x a x -<+，得出223a x a -<<+，然后根据题意得出21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，最后解不等式即可解答．【小问1详解】解：当1a =时，21y x =-，①当12x ≥时，21y x =-，当12x <时，21y x =-+；②图象如下：【小问2详解】解：当0y =时，230x -=，解得32x =，当32x ≥时，23y x =-，当32x <时，23y x =-+；画图如下：，观察图象，发现：函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向右平移1个单位得到；【小问3详解】解：∵22x a x -<+，∴222x x a x --<-<+，∴223a x a -<<+，∵对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，∴21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得15a ≤≤，∴a 的最大值为5．【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．。

2024北京四中初三3月月考数学试卷和答案

2024北京四中初三3月月考数学学生须知：1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（共16分，每题2分）1. 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）A. B. C. D.2. 北京故宫博物院成立于1925年10月10日，它是在明清皇宫及其收藏基础上建立起来的集古代建筑群、宫廷收藏、历代文化艺术为一体的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．馆内约有180万余件藏品，将1800000用科学记数法表示为（）A. 51.810⨯B. 61.810⨯C. 51810⨯D. 418010⨯3. 如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若150AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（）A. 60︒B. 50︒C. 45︒D. 30︒4. 一个正多边形的内角和是1440°，那么这个正多边形的每个外角是（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°5. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（）A. a b <B. 0a b +>C. 0ab >D. 0b a ->6. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若8AE =，:2:3DE BC =，则AC 等于（）A. 9B. 10C. 12D. 167. 如图，O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接FD ，70F ∠=︒，则A ∠的度数为（）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒8. 炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：1日2日3日4日5日6日供应量（个）901009010090100销售量（个）809085809085记()V t 为6月t 日冰激凌的供应量，()W t 为6月t 日冰激凌的销售量，其中1t =，2，…，30．用销售指数()(1)(1)(,)100%()(1)(1)W t W t W t n P t n V t V t V t n +++⋅⋅⋅++-=⨯+++⋅⋅⋅++-（1n ≥，n N ∈）来评价从6月t 日开始连续n 天的冰激凌的销售情况．当1n =时，(),1P t 表示6月t 日的日销售指数．给出下列四个结论：①在6月1日至6日的日销售指数中，()4,1P 最小，()5,1P 最大；②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③()()1,34,3P P =；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =其中所有正确结论的序号是（）．A. ①②B. ②③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：32312m mn -=______．11. 方程512x x-=-的解为______．12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，则m 的值为______．13. 如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点．若60P ∠=︒，OA =PA =______．．14. 若22330a b +-=，则代数式()()2421a a b a b ---+的值为______．15. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节那天，超市的粽子打9折出售，小阳同学买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，则平时每个粽子卖______元．16. 有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是_______，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.计算：236sin 602-+︒--18. 解不等式组：453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩19. 小区里有个圆形花坛，春季改造，小区物业想扩大该花坛的面积，他们在图纸上设计了以下施工方案：①在O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD长为半径画圆；③大O 即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（____________）（填推理的依据）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=______OB ，O S ∴= 大______O S 小．20. 已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最小整数时，求方程的根．21. 如图，在AOC 中，OA OC =，OD 是AC 边上的中线．延长AO 至点B ，作COB ∠的角平分线OH ，过点C 作CF OH ⊥于点F ．（1）求证：四边形CDOF 是矩形；（2）连接DF ，若4sin 5A =，9AC =，求DF 的长．22. 平面直角坐标系xOy 中，点(1,)A m 在反比例函数6y x =的图象上．一次函数y kx b =+的图象过点A 和x 轴上的一点(),0B n ，与反比例函数的另一交点为点C ．（1）当0n <且3AB BC =时，求m 的值和点B 的坐标；（2）在x 轴上移动点B ，若23BC AB BC ≤≤，直接写出n 的取值范围．23. 海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．京北校区成绩在7080x ≤<这一组的是_______：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79c ．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数京北校区79.5m 海淀校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值：（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A ，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A 的学生更多，直接写出结果并说明理由；（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 与O 相切，AD BC ∥，连结OD AC ，．（1）求证：B DCA ∠=∠；（2）若tan B =OD = 求O 的半径长．25. 如图1，长度为6千米的国道AB 两侧有M ，N 两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C 和D ，其中A 、C 之间的距离为2千米，C 、D 之间的距离为1千米，N 、D 之间的乡镇公路长度为2.3千米，M 、C 之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB 上修建一个物流基地T ．设A 、T 之间的距离为x 千米，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和为y 千米．以下是对函数y 随自变量x 的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x 与y 的几组值，如下表：x （千米）0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y （千米）10.58.5a 6.5b 10.512.5表中a 的值为＿＿＿，b 的值为＿＿＿；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决以下问题：①若要使物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小，请直接写出x 的取值范围；②如图3，有四个城镇M 、N 、P 、Q 分别位于国道A C D E B ----两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S ，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小，则物流基地T 应该修建在何处？26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21:1C y x =-，将1C 向右平移，得到抛物线2C ，抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2．（1）求抛物线2C 的表达式；（2）过点(),0P p 作x 轴的垂线，交1C 于点M ，交2C 于点N ，q 为M 与N 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点(),p q 组成的图形记为图形T ．①若直线y n =与图形T 恰好有2个公共点，直接写出n 的取值范围；②若()1,a y ，()22,a y +，()35,a y +三点均在图形T 上，且满足312y y y >>，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 为BC 边上任意一点，将线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，连接AF ，作FE BD ∥且FE BD =（点E 在点F 的右侧），连接AD 、ED 、EC ．（1）依题意补全图形，若2AF =，请直接写出DE 的长度；（2）若对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，请写出BC 与AF 的数量关系，并证明．28. 对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆．若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”．（1）如图1，点()4,3A ，()0,3B ．①在点O 视角下，线段AB 的“宽度AB d ”为______；②若B 半径为2，在点A 视角下，B 的“宽度B d ”为______；（2）如图2，O 半径为2．点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度O d ”的取值范围；（3）已知点(,0)C m ，1CK =，直线3y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】A【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．2. 【答案】B【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】61800000 1.810=⨯，故选B ．3. 【答案】A【分析】根据150AOD ∠=︒得到180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，结合OC OD ⊥，得90BOD BOC ∠+∠=︒，代入计算即可，本题考查了垂直的应用，邻补角，余角，熟练掌握邻补角，余角是解题的关键．【详解】∵150AOD ∠=︒，∴180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵OC OD ⊥，∴90BOD BOC ∠+∠=︒，∴60BOC ∠=︒．故选A ．4. 【答案】B【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，即可求得10n =，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，解得：10n =，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：()2180n -⋅︒，外角和等于360°．5. 【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，实数的加法、减法、乘法运算的理解，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．根据数轴上右边的数总比左边的大，结合绝对值的几何意义和实数的运算法则逐一分析判定即可．【详解】解：观察数轴可得：0a b <<，a b >，A ． a b b >=，错误，该选项不符合题意；B ． 0a b +<，错误，该选项不符合题意；C ． 0ab <，错误，该选项不符合题意；D ． ()0b a b a -=+->，正确，该选项符合题意；故选：D ．6. 【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．利用平行线的性质可证明ADE ABC △△∽，根据对应边成比例求解即可．【详解】解：∵DE BC ∥，∴,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，∴ADE ABC △△∽，∴DE AE BC AC=，∵8AE =，:2:3DE BC =，∴283AC=，∴12AC =，故选：C ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，圆周角定理，先由直径所对的圆周角是直角得到90D Ð=°，进而得到20DCF ∠=︒，进一步求出70COE ∠=︒，则由圆周角定理可得1352A COE ==︒∠．【详解】解：∵CF 是O 的直径，∴90D Ð=°，∵70F ∠=︒，∴20DCF ∠=︒，∵直径AB ⊥弦CD ，∴90CEO ∠=︒，∴70COE ∠=︒，∴1352A COE ==︒∠，故选：C ．8. 【答案】C【分析】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.810P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，解答即可．本题考查了函数模型的选择和应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.8100P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】5x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：50x +≥，∴5x ≥-，∴实数x 的取值范围是5x ≥-．故答案为：5x ≥-．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10. 【答案】()()322m m n m n +-【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再套用公式是解题的关键．提取公因式，得()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，解答即可．【详解】()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，故答案为：()()322m m n m n +-．11. 【答案】13【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的一般步骤是：去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得分式方程的解，据此求解即可．【详解】解：512x x-=-，去分母，得52x x =-+，解得：13x =，经检验，13x =是原方程的解，故答案为：13．12.【答案】1-【分析】根据反比例函数图象上的点的两个坐标的积等于定值k ，得3515m -⨯=，解答即可，本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．【详解】反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，故3515m -⨯=，解得1m =-，故答案为：1-．13. 【答案】3【分析】连接OP ，根据PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，得到90OAP OBP ∠=∠=︒，结合,OA OB OP OP ==证明OAP OBP △≌△，继而得到1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，利用三角函数计算即可．本题考查了切线长定理，三角函数，熟练掌握定理，三角函数是解题的关键．【详解】连接OP ，∵PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，60APB ∠=︒，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵,OA OB OP OP ==，∴OAP OBP △≌△，∴1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，∵tan tan 30OA APO PA ∠=︒===,∴3PA =，故答案为：3．14. 【答案】2-【分析】根据22330a b +-=得2233a b +=，化简()()22224214441a a b a b a ab a ab b ---+=--+-+()22223131a b a b =--+=-++，代入计算即可，本题考查了整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．【详解】∵22330a b +-=，∴2233a b +=，∴()()2421a a b a b ---+2224441a ab a ab b =--+-+()22223131a b a b =--+=-++31=-+2=-，故答案为：2-．15.【答案】2【分析】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x -=，解方程即可，本题考查了分式方程的应用，正确确定等量关系是解题的关键．【详解】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x-=，解得2x =，经检验，2x =是原方程的根，故答案为：2．16. 【答案】 ①. 2 ②. 6【详解】根据题意知，x <4且x ≠3，则x =2或x =1，∵x 前面的数要比x 小，∴x =2，∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，∴共有2×3=6种结果，故答案为2，6.点睛：本题主要考查数字的变化规律，数字问题时排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.【答案】7-【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，掌握相关的运算法则是解题的关键．先算乘方、特殊角的三角函数值，同时化简绝对值和二次根式，再算加减．【详解】解：236sin 602-+︒-962=-++92=-++-7=--18. 【答案】813x ＜≤【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】∵453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩①②∴解不等式①，得83x ≤，解不等式,②，得1x >， ∴不等式组的解集为813x <≤．19. 【答案】（1）见解析（2；2【分析】（1）根据垂线的尺规作图，规范作图即可．（2）等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，计算解答即可，本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．【小问1详解】根据题意，完善作图如下：故大O 即为所求．【小问2详解】证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（等腰三角形三线合一）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=，)22222O O S BD OB S πππ∴==== 小大．；2．20. 【答案】（1）94m -＞（2）121,2x x =-=-【分析】（1）根据方程的根的判别式()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，解答即可．（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，解答即可本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【小问1详解】∵方程()222120x m x m -++-=，()21,21,2a b m c m ==-+=-，且方程有两个不相等的实数根，∴()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，∴490m +＞，解得94m -＞．【小问2详解】∵94m -＞且取最小整数，∴2m =-，∴2320x x ++=，解得121,2x x =-=-．21. 【答案】（1）见解析（2）152【分析】（1）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，结合COB ∠的角平分线OH ，得到BOF COF ∠=∠，由此得到()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，结合CF OH ⊥即可判定四边形CDOF 是矩形．（2）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得19,22OD AC AD CD AC ⊥===，结合4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，继而得到932k =，得到32k =，求得152OA OC ==，根据四边形CDOF 是矩形，得152DF OC OA ===．本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角函数的应用和矩形的判定是解题的关键．【小问1详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，∴1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，∵COB ∠的角平分线OH ，∴BOF COF ∠=∠，∴()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，∵CF OH⊥∴四边形CDOF 是矩形．【小问2详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，9AC =，∴19,22OD AC AD CD AC ⊥===，∵4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，∴932k =，∴32k =，∴1552OA OC k ===，∵四边形CDOF 是矩形，∴152DF OC OA ===．22. 【答案】（1）6m =，（2）21n -≤≤-【分析】（1）过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，把(1,)A m 代入6y x =，求得6m =，再证明ABE ACD ∽△△， 34AE BE AB AD CD AC ===，则6134n AD CD -==，求得8AD =，()413CD n =-，2DE AD AE =-=，即可得41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，即可得出点B 坐标；（2）由（1）知：AEBEABAD CD AC ==，所以mABDE BC =，再根据23BC AB BC ≤≤，求得23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1CD p =-，6DE p =-，所以有623p ≤-≤，解得32p -≤≤-，再根据AE BE AD CD =，得61616np p-=--，解得1p n =-，则312n -≤-≤-，求解即可．【小问1详解】解：过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，如图，把(1,)A m 代入6y x =，得6m =，∴()1,6A ，∴6AE =，1OE =，∵AE x ⊥，CD AE ⊥，∴CD x ∥，∴ABE ACD ∽△△，∴AEBE ABAD CD AC ==，∵3AB BC =，∴34AE BE AB AD CD AC ===，∴6134n AD CD -==，∴8AD =，()413CD n =-，∴2DE AD AE =-=，∴41,233C n ⎛⎫--⎪⎝⎭，把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，∴()2,0B -．【小问2详解】解：由（1）知：AE BE AB AD CD AC ==，∴m AB DE BC=，∵23BC AB BC ≤≤，∴263DE DE ≤≤，∴23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1CD p =-，6DE p =-，∴623p≤-≤，∴32p -≤≤-，∵AE BE AD CD=，∴61616np p-=--，∴1p n =-，∴312n -≤-≤-，∴21n -≤≤-；【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数图象，相似三角形的判定与性质，坐标与图形等知识．熟练掌握性质是银题的关键．23. 【答案】（1）78.5（2）海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由见解析（3）78【分析】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．（1）根据中位数的定义，将京北校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．【小问1详解】解：京北校区成绩的中位数787978.52m +==．【小问2详解】解：海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由如下：京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，8090x ≤<之间有7人，90100x ≤≤之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A 的学生有8人；海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A 的学生至少有10人；所以海淀校区赋予等级A 的学生更多．【小问3详解】解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为79.52007730078200300⨯+⨯=+，故答案为：78．24. 【答案】（1）见解析；（2）3r =【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得2390∠+∠=︒，根据直径所对的圆周角为直角可得190B ∠+∠=︒，根据OA OC =可得12∠=∠，从而得出3B ∠=∠；（2）根据角度的关系得出ABC 和DCA △相似，根据B ∠的正切值，设AC =，可以得到BC AB ，与k 的关系，根据Rt OCD △的勾股定理求出k 的值.【小问1详解】解：证明：连结OC ．∵CD 与O 相切，OC 为半径，∴2390∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴190B ∠+∠=︒，又∵OA OC =，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠．【小问2详解】解：∵AB 是O 的直径，AD BC ∥，∴90DAC ACB ∠=∠=︒，∵190239012B ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴3B ∠=∠，∴ABC DCA ∽ ∴AC BC DC AB=∴B ∠，设AC =，2BC k =，则23=∴DC =在ODC 中，OD =，OC k =∴222k +=解得2k =，∴36AB k ==∴O 的半径长为3，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质和判定、切线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 【答案】（1）6.5m ；8.5m（2）见解析（3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤；②D 处【分析】（1）把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，，此时 2.31 3.2 6.5m y NC CD DM =++=++=，当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时8.5m y FD DM FC NC =+++=，计算即可．（2）根据列表，描点，画图三步骤画出图像即可．（3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．【小问1详解】把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，此时 2.31 3.2 6.5m y ND CD CM =++=++=，故 6.5m a =；当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时1 2.32 3.28.5m y FD DN FC CM =+++=+++=，故8.5m b =；故答案为：6.5m ；8.5m【小问2详解】根据题意，画图如下：【小问3详解】①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．26. 【答案】（1）()241y x =--（2）①1n =-或3n >；②12a <<或23a <<【分析】(1)设抛物线1C 向右平移h 个单位，则2()1y x h =--，将点()2,3代入求出h 即可求函数的解析式；(2)①由题意画出函数的T 的图象，再用数形结合求解即可；②分三大类：5a ≤-时，4a ≥时，54a -<<时，先确定、、A B C 所在的图象，计算出123,,y y y 的值，再分小类比较大小即可．【小问1详解】解：设抛物线1C 向右平移h 个单位，∴抛物线2C 的解析式为2()1y x h =--，∵抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2，∴交点坐标为()2,3，∴()2321h =--，解得4h =，∴抛物线2C 的解析式为()241y x =--；【小问2详解】∵抛物线2C 与 1C 交点为()2,3，∴图形T 如图所示：∵21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,)1-，∵直线y m =与图形T 恰好有2个公共点，∴1n =-或3n >时，图形T 与y m =有两个交点；②∵设 1(,)A a y ，2(2,)B a y +， 3)5, (C a y +，∵抛物线1C 的对称轴为0x =，∴50a +≤，即5a ≤-时，、、A B C 三点在抛物线1C 对称轴的左侧，此时123y y y >>，不符合题意；∵抛物线2C 的对称轴为 4x =，∴4a ≥时，、、A B C 三点在抛物线2C 对称轴的右侧，此时321y y y >>，不符合题意；∴54a -<<之间时存在312y y y >>的情况；∵()2²141x x -=--，∴2x =，此时抛物线1C 抛物线 2C 交于点()2,3，当52a +=时，3a =-，∴53a -<≤-时，A B C 、、三点在抛物线 1C 上，∵()12221,21y a y a =-=+-，()2351y a =+-，∴1y 的值最大，不符合题意；当22a +=时， 0a =，∴当30a -<≤时，A B 、两点在抛物线1C 上，C 点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =+-， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a +-=+-，解得 32a =-，当332a -<<-时， 132y y y >>，不符合题意；当12y y =时，()22121a a -=+-，解得 1a =-，当13y y =时，()22111a a -=+-，解得12a =-，当112a -<<-，时，213y y y >>，不符合题意；当102a -<<时， 231y y y >>，不符合题意；当02a <<时，A 点在抛物线1C 上，B C 、点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =--， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a --=+-，解得 12a =，当12y y =时，()22121a a -=--，解得 1a =，当102a <<时， 231y y y >>，不符合题意；当112a <<时，321y y y >>，不符合题意；当12a <<时，312y y y >>，符合题意；当2a <时，、、A B C 三点在抛物线2C 上，∴()2141y a =--，()2221y a =--，()2311y a =+-，当21y y =时，()()222141a a --=--，解得3a =，当23a <<时，312y y y >>，符合题意；当34a <<时，321y y y >>，不符合题意；综上所述：12a <<或23a <<时，312y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．27. 【答案】（1）2 （2）BC =，证明见解析【分析】（1）先证明ABF △是等边三角形，得2BF AF ==，再证明四边形BDEF 是平行四边形，得2DE BF ==．（2）过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，分两种情况：当点D 在线段BN 上时，当点D 在线段CN 上时，分别求解即可．【小问1详解】解：如图，∵线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，∴BF BA =，60ABF ∠=︒，∴ABF △是等边三角形，∴2BF AF ==，∵FE BD ∥且FE BD =，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴2DE BF ==．【小问2详解】解：BC =，证明：过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，当点D 在线段BN 上时，如图，∵60ABF ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴ABC FBC ∠=∠，∵ABF △是等边三角形，∴AF BC ⊥，22AF FN AN ==，∴90FNB FNC ∠=∠=︒，∵FB AF =，∴2FB FN =，在Rt FNB △中，由勾股定理，得BN ===，∵AF BC ⊥，EM BC ⊥，∴EM FN ∥，∵FE BD ∥，∴四边形FEMN 是平行四边形，∵90FNC ∠=︒，∴四边形FEMN 是矩形，∴EF MN =，EM FN =，∴AN EM =，∵FE BD =，∴BD MN =，在ANM 与FMC 中，AD ECAND FMC AN EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ANM FMC ≌，∴CM DN =，∴BD DN MN CM +=+即BN CN =，∴2BC BN =，∴BC ==；当点D 在线段CN 上时，如图，同理可得，BC =，∴对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，则BC =．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．本题综合性较强，属中考常考试题．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．28. 【答案】（1）①2；②3（24O d ≤≤（3）2m <--或1m >-+【分析】（1）①②点P 视角下图形M 的“宽度M d ”的定义解决问题即可．（2）当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，可得O d 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==，由此即可解决问题．（3）如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．求出几种特殊位置点C 的坐标，即可得出结论．【小问1详解】解：①如图1中，(4,3)A ，(0,3)B ，3OB ∴=，4AB =，90∠=︒ABO ，5OA ∴===，∴点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为532-=．②设直线AB 交B 于E ，H ．则在点A 视角下，B 的“宽度B d ” 5.5 2.53AH AE =-=-=，【小问2详解】解：如图2中，当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，O d ∴ 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==∴4O d ≤≤ ．【小问3详解】解：如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．3y =+ 与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ，(0,3)E ∴，(D -，0)，当C 在直线的左侧与直线相切时，(2C --，0)，当C 经过点D 时，(1C -+，0)，观察图象可知满足条件的m 的值为：2m <--1m >-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)

数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。

精品解析：北京市第四中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(原卷版)

18.在平面直角坐标系中，定义两点间的“L—距离”为：，为x轴上两个不同的定点，且．平面内与定点的“L—距离”之和等于定值的动点P的轨迹曲线记为G，下面关于曲线G叙述：
①曲线G关于原点对称；
②曲线G关于直线对称；
③点P纵坐标取值范围是 ;
④曲线G围成图形的面积是．
其中叙述正确的有____________．
（注：如果一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，则把该球称为多面体的外接球．）
21.椭圆经过点，右焦点为，直线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点F的直线与椭圆C交于A、B两点（都不与点P重合），与直线l相交于点M，记的斜率分别为．问：是否存在常数，使得 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3.已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（）
A. B.
C. D.
4.将甲、乙、丙、丁四位学长分配到三个不同活动小组进行交流指导，每个活动小组至少分到一名学长，且甲、乙两名学长不能分到同一个活动小组，则不同的分法种数为（）
A.18B.24C.30D.36
5.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）
A. 或 B. 或
C 或 D. 或
9.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D.
10.已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为
A. B. C. D.
11.已知抛物线与椭圆有相同焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为（）
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形，则椭圆的方程为____________．

四中提前招生中考数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：（）A. √16B. -√25C. πD. 2√32. 已知 a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是：（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. a - b < 0D. a + b < 03. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是：（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°4. 下列函数中，y=2x-3是（）A. 线性函数B. 反比例函数C. 指数函数D. 对数函数5. 已知 a，b 是实数，且a² + b² = 1，则 ab 的取值范围是：（）A. [-1, 1]B. (-1, 1)C. [0, 1]D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)6. 下列各组数中，成等差数列的是：（）A. 1, 2, 3, 4, 5B. 1, 3, 5, 7, 9C. 2, 4, 6, 8, 10D. 3, 6, 9, 12, 157. 已知函数y = x² - 4x + 3，则该函数的图像是：（）A. 上升的抛物线B. 下降的抛物线C. 直线D. 垂直线8. 在平面直角坐标系中，点 P(-2, 3) 关于 y 轴的对称点是：（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)9. 下列命题中，正确的是：（）A. 平行四边形的对边相等B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等 D. 等边三角形的三个角都相等10. 已知函数 y = kx + b，若 k > 0，b < 0，则该函数的图像位于（）A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知 a = 3，b = -2，则a² - b² = ________。

北京四中自主招生选拨考试数学

北京四中自主招生选拨考试数学试卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写完整；考试结束，监考人员将试卷和草稿纸一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答在试卷上无效．一、选择题（共6小题，每题5分，共30分..以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（） A 、 B 、 C 、 D 、 2 、设满足下列等式：，则代数式的值是………………… （）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算2230x ax a -+-=22<<-a 23≤<a 23≤<-a 23≤≤-a z y x 、、66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-xyz z y x 3333-++3、A 、B 、C 、D 四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B 也中奖：如果B 中奖，那么C 中奖或A 不中奖：如果D 不中奖，那么A 中奖，C 不中奖：如果D 中奖，那么A 也中奖则这四个人中，中奖的人数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 4、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边（） A ．AB 上 B ．BC 上 C．CD 上 D ．DA 上6.用max{a ，b}表示a ，b 两数中的最大数，若函数y=｛x2-1,1-x 2｝，则y 的图象为ABCD 1=AB 112-π41π-13-π61π-ABC D卷Ⅱ（非选择题，共90分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分.把答案写在题中横线上）7. 若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省％(精确至1％)8. 二次函数y=2x 2+3x+5的图像关于直线y=-3对称的函数解析式为： 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线，直线和直线所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为，则的最小值为：10. 如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：，则线段的长为。

北京市四中自主招生考试数学试卷

2011年北京市四中自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A、60°＜A＜80°B、30°＜A＜80°C、10°＜A＜60°D、10°＜A＜30°2、实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A、小于或等于3的实数B、小于3的实数C、小于或等于﹣3的实数D、小于﹣3的实数3、x1，x2是方x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A、﹣1B、或﹣1C、D、﹣或14、代数式的最小值为（）A、12B、13C、14D、115、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A、B、C、D、6、1×2+2×3+3×4+…+99×100（）A、223300B、333300C、443300D、433300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7、多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为_________．8、已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是_________．9、（2002•黄石）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是_________．10、方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=_________．11、已知x=，则x3+12x的算术平方根是_________．12、（2008•昆明）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是_________．三、解答题（共5小题，满分60分）13、现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14、已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15、在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．求：（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17、平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．答案与评分标准一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A、60°＜A＜80°B、30°＜A＜80°C、10°＜A＜60°D、10°＜A＜30°考点：锐角三角函数的增减性。

2024北京四中初三一模数学试卷和答案

2024北京四中初三一模数学班级姓名考号得分一、单选题（共24分）1．（本题3分）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2021年第二季度中国轻纺城市场群的商品成交额达29600000000元，将29600000000用科学记数法表示为（）A ．102.9610⨯B ．112.9610⨯C ．1029.610⨯D ．110.29610⨯2．（本题3分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（本题3分）已知60AOB ∠=︒，自AOB ∠的顶点O 引射线OC ，若:1:4AOC AOB ∠∠=，那么BOC ∠的度数是（）A ．48°B ．45°C ．48°或75°D ．45°或75°4．（本题3分）若a b <，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．0a b -<B ．22a b ->-C ．0a b +<D ．22a b->-5．（本题3分）若关于x 的方程()222110x k x k +++-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤-B ．54k <-C ．54k -≥D ．54k >-6．（本题3分）如果一个多边形的边数由4增加到n （n 为整数，且4n >），那么它的外角和的度数（）A ．不变B ．增加C ．减少D ．不能确定7．（本题3分）甲、乙两名同学随机从A ，B ，C 三个主题中选择一个去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则两人抽到相同主题的概率是（）A ．19B ．13C ．49D ．238．（本题3分）已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法正确的个数是（）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则0a =②方程()2110ax a x -++=有一个整数根是1③存在实数a ，使得()2110ax a x -++≥对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共24分）9．（本题3分）要使分式5x -有意义，则x 应满足的条件是．10．（本题3分）把多项式269mn mn m ++分解因式的结果是．11．（本题3分）方程3221x x=-的根是．12．（本题3分）若(2,3)A m 与(1,5)B m -是反比例函数21k y x+=图像上的两个点，则k 的值为．13．（本题3分）某中学现对小学和初中部一共800人调查视力情况，为方便调查，学校进行了抽样调查．从中随机抽出40人，发现有30人眼睛近视，那么则小学和初中部800人中眼睛近视的人数为．14．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD 中，//,//EF AB FG ED ，DE ：EA=2：3，EF=4，求线段CG ＝．15．（本题3分）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，AE CD ⊥于F ，交BC 于E ，连接BF ，若45BFE ∠=︒，则CEBE的值为．16．（本题3分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．三、解答题（共72分）17．（本题4分）计算：212sin 602π-⎛⎫︒+--+ ⎪⎝⎭．18．（本题4分）解不等式组：6234211132x x x x+>-⎧⎪--⎨-<⎪⎩19．（本题4分）已知2(2)|3|0a b -++=，若240ax bx +-=，求代数式2461xx -+的值．20．（本题4分）在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F .（Ⅰ）如图①，求证：OE OF =；（Ⅱ）如图②，若EF DB ⊥，垂足为O ，求证：四边形BEDF 是菱形.21．（本题4分）如图，∠AOB ＝120°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD 从OB 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t(0≤t≤15)(1)当t 为何值时，射线OC 与OD 重合；(2)当t 为何值时，射线OC ⊥OD ．22．（本题4分）如图，直线l1：y=2x，直线l2：y=-x+m与x轴交于点A，两直线l1，l2交于点B，点B的坐标为4,3n⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求m，n的值；(2)直线l2上是否存在点D，使得ΔAOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题6分）某跳高集训队，对集训队员进行了一次跳高测试，经过统计，将集训队员的测试成绩（单位：m），绘制成尚不完整的扇形统计图（图①）与条形统计图（图②）.（1）=a________，请将条形统计图补充完整；（2）求集训队员测试成绩的众数；（3）教练发现，测试成绩不包括两名请假的队员，补测后，把这两名队员的成绩（均是0.05的整数倍）与原测试成绩并成一组新数据，求新数据的中位数.24．（本题6分）端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题：（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．（2）汽车从景区到C 地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？（3）车修好后每小时行驶多少千米？25．（本题9分）已知二次函数y=x 2﹣2（k+1）x+k 2﹣2k ﹣3与x 轴有两个交点．（Ⅰ）求k 取值范围；（Ⅱ）当k 取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．26．（本题9分）如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 延长线上一点，连接AE ，交BD 于点F ，交CD 于点G ，连接CF ．(1)求证：CF 与CEG 的外接圆相切；(2)当CE CF =时，判断CG 和EF 有怎样的数量关系？并说明理由；(3)在（2）的条件下，求DG 与CG 的比值．27．（本题9分）如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 与圆O 相切于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB AD BD CD ，，，，PB BC =．(1)求证：2OP OC =；(2)若3OC =，4=AD ，求BD 的长．28．（本题9分）在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别为(3,0)A -、(0,3)B 、(,0)C t ，过点A 作AD BC ⊥交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E ．(1)如图，当1t =时，求E 点的坐标；(2)如图，连接OD ，求ADO ∠的度数；(3)如图，已知点(0,2)P ，若PQ PC ⊥，PQ PC =，直接写出Q 的坐标（用含t 的式子表示）．参考答案1．A【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：1029600000000 2.9610⨯=，故选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．2．C【详解】根据轴对称图形的概念可得：选项A 、B 、D 不是轴对称图形，选项C 是轴对称图形，故选C.3．D【分析】:1:4AOC AOB ∠∠=可知AOC ∠的值；所引射线OC 有两种情况①在AOB ∠内，此时BOC AOB AOC ∠=∠-∠；②在AOB ∠外，此时BOC AOB AOC ∠=∠+∠．【详解】解：:1:4AOC AOB ∠∠= ，60AOB ∠=︒15AOC ∴∠=︒①在AOB ∠外BOC AOB AOC ∠=∠+∠ 601575BOC ∴∠=︒+︒=︒②在AOB ∠内BOC AOB AOC ∠=∠-∠ 601545BOC ∴∠=︒-︒=︒BOC ∴∠为45︒或75︒故选D ．【点睛】本题考查了角的和与差．解题的关键在于确定射线的位置．4．C【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：由a b <可得：A ．a b b b -<-，即0a b -<，故本选项一定成立，不符合题意；B ．不等号两边同时乘以2-，不等号方向改变，因此22a b ->-，故本选项一定成立，不符合题意；C ．2a b b +<，因此0a b +<不一定成立，符合题意；D ．不等号两边同时乘以1-，再加上2，不等号方向改变，22a b ->-，故本选项一定成立，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．D【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题意得∆=（2k+1）2-4（k 2-1）=4k+5＞0解得：k ＞-54故选D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.6．A【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于360︒．利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和为360︒，所以外角和的度数是不变的．故选：A ．7．B【分析】列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽到相同主题的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：列表如下：甲乙ABCA AA AB AC B BA BB BC CCACBCC共有9种等可能结果，其中两人抽到相同主题的有3种，则两人抽到相同主题的概率3193=．故选：B ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．8．C【分析】①分0,0a a =≠两种情况分别讨论即可判断，②当0,0a a =≠时，方程分别为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可，③当1a =时，不等式为2210x x -+≥，即可判断．【详解】①当0a =时，1y x =-+，此时图像与x 轴交于点(1,0)，当0a ≠时，令y =0，则有()2110ax a x -++=，当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根，此时与x 轴只有一个交点，即22(1)4(1)0a a a +-=-=，1a ∴=，故0a =或者1a =时，该函数图像与x 轴都只有一个交点，故①错误，不符合题意；②当0a =时，可得：10x -+=，此时：1x =，当0a ≠时，()2110ax a x -++=是一元二次方程，由求根公式得：x =，解得：1211,x x a==，∴方程()2110ax a x -++=有一个整数根是1，故②正确，符合题意．③当1a =时，不等式为2210x x -+≥，即2(1)0x -≥，其恒成立，即存在实数a ，使得()2110ax a x -++≥对任意实数x 都成立，故③正确，符合题意；故有2个正确，故选：C ．【点睛】本题考查了函数与方程的关系，函数与不等式的关系，对二次项系数分类讨论是解题的关键．9．0x ≥且5x ≠/5x ≠且0x ≥【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；根式中，被开方数是非负数．【详解】解：根据题意，得：50x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥，且5x ≠．故答案为：0x ≥，且5x ≠．【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．10．()23m n +【分析】先提取公因式m ，再利用完全平方公式继续分解即可求解．【详解】解：269mn mn m++()269m n n =++()23m n =+，故答案为：()23m n +．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．2x =【分析】解分式方程即可．【详解】解：3221x x=-，两边同时乘()21x x -得，()3221x x =-，去括号得，342x x =-，移项合并得，2x -=-，系数化为1得，2x =，经检验，2x =是原分式方程的根．故答案为：2x =．【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．12．72-【分析】根据A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点，可知2k +1=2m •3=1×（m -5），故可得出m 的值，进而得出k 的值．【详解】解：∵A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点，∴2k +1=2m •3=1×（m -5），解得m =-1，∴2k +1=-2×3=-6，∴k =-72故答案为：-72．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．13．600人【分析】根据样本估计总体，用800乘以40人中眼睛近视的占比，列出算式计算即可求解．【详解】解：3080060040⨯=（人）．故答案是：600人．【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率．14．6【详解】试题分析：因为EF//AB ，四边形ABCD 是平行四边形ABCD ，AB ∥CD ，AB=CD ，所以EF ∥DG ，因为FG//ED ，所以四边形DEFG 是平行四边形，所以DG=EF=4，因为DE:EA=2:3，所以DE:EA=EF:AB=2：5，EF=4，所以AB=10，所以CD=10，所以CG=DC-DG=10-4=6．即线段CG=6．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．平行线分线段成比例定理．15【分析】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，可得BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，则有BF =，根据三角形中位线定理可得DF BG ∥，2aDF =，于是有AFD AGB ∽，进而由勾股定理求出AB =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，有CD =，进而求出CF CD DF =-=，然后根据CEF △和BEG 相似，进而求出最后的结果．【详解】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，∵45BFE ∠=︒，BG AE ⊥，∴BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，∴FG BG a ==，∴BF ==，∵AE CD ⊥，AG BG ⊥，D 为AB 的中点，∴DF BG ∥，122a DF BG ==，∴AFD AGB ∽，∴AF FG a ==，∴22AG BG a ==，∴AB =，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD BD AD AB ====，∴CF CD DF =-=，∵90CFE EGB ∠=∠=︒，CEF BEG ∠=∠，∴CEF BEG △∽△，∴1122aCE CF BE BG a ==．．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟记这些图形的性质与判定，并学会灵活运用是解本题的关键．16．5328【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟，最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟），故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．17．3-【分析】先分别利用特殊角的三角函数值以及二次根式、负指数幂的性质化简，再合并同类项即可得出答案．【详解】解：原式=2143-+=-【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各项是解题关键．18．1127x -<<【分析】分别求①，②两不等式的解集，再根据两不等式的解集求不等式组的解集即可．【详解】解：6234211132x x x x+>-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①得6234x x +>-，36x >-，2x >-由②得211132x x---<，()()221316x x ---<，42336x x --+<，711x <，117x <，故不等式组的解集为：1127x -<<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能够数量掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19．9【分析】先根据非负数的性质得出a 、b 的值，代入ax 2+bx-4=0变形得2x 2-3x=4，再代入4x 2-6x+1=2（2x 2-3x ）+1求解即可．【详解】解：∵（2-a ）2+|b+3|=0，∴2-a=0，b+3=0，解得a=2，b=-3，代入ax 2+bx-4=0，得：2x 2-3x-4=0，则2x 2-3x=4，∴4x 2-6x+1=2（2x 2-3x ）+1=2×4+1=8+1=9．【点睛】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，得到OB=OD ，AB ∥CD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）如图：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，AB CD ∥.∴EBO FDO ∠=∠，在OBE △和ODF △中，EBO FDO OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()OBE ODF ASA △≌△.∴OE OF =.（Ⅱ）如图：∵OB OD =，OE OF =，∴四边形BEDF 是平行四边形.又∵EF DB ⊥，∴四边形BEDF 是菱形.【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．(1)t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2)t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【分析】（1）根据题意可得，射线OC 与OD 重合时，20t ＝5t+120，可得t 的值；（2）根据题意可得，射线OC ⊥OD 时，20t+90＝120+5t 或20t ﹣90＝120+5t ，可得t 的值．【详解】(1)由题意可得，20t ＝5t+120，解得t ＝8，即t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2)由题意得，①20t+90＝120+5t ，解得：t ＝2；②20t ﹣90＝120+5t ，解得：t ＝14；即当t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用与角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22．(1)84,.3m n ==(2)()2,2D 或()6,2.D -【分析】（1）由直线l 1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫⎪⎝⎭，可求解n 的值，直线l 2：y =-x +m 过点48,,33B 骣琪琪桫可求解m 的值，从而可得答案；（2）先求解()4,0,A 设(),4,D x x -+再根据ΔAOD 的面积为4，列方程14,2D OA y ´=g 再解方程即可．【详解】（1）解：直线l 1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫⎪⎝⎭，482.33n \=´=即48,.33B 骣琪琪桫直线l 2：y =-x +m 过点48,,33B 骣琪琪桫48,33m \-+=124,3m \==∴一次函数的解析式为：2: 4.l y x =-+（2）∵一次函数的解析式为：2: 4.l y x =-+∴令0,y =则4,x =即()4,0,A ∵点D 在2l 上，设(),4,D x x -+ΔAOD 的面积为4，14,2D OA y \´=g 1444,2x \创-+=即42,x -=解得：2x =或 6.x =∴()2,2D 或()6,2.D -【点睛】本题考查的是正比例函数与一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，利用方程思想解决图形面积问题是解本题的关键．23．（1）25，图详见解析；（2）集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）中位数为1.60m.【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a 的值，根据1.50的人数和所占的百分比可以求得本次参加初赛的人数，从而可以求得1.55m 的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数；（3）针对请假队员分两种情况讨论．【详解】解：（1）25；补全条形统计图如解图所示：()%110%20%30%15%25%a =-+++=，故25a =；测试成绩为1.50m 的有2人，占总人数的10%，故总人数为210%20÷=（人）.则测试成绩为1.55m 的人数为2020%4⨯=（人）.（2）由条形统计图可知，集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m 时，中位数为1.60 1.651.625(m)2+=；当两名请假队员的成绩均小于1.65m 或一个小于1.65m ，一个大于或等于1.65m 时，中位数为1.60m.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．错因分析中等题.失分原因是（1）没有掌握求a 值要用到各部分的百分比之和为1，结合扇形统计图和条形统计图求出集训队员的总人数；（2）不熟悉众数的概念；（3）不熟悉中位数的概念，当数据的个数是奇数时，中位数是最中间的数.当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数，所以要分类讨论两名队员的跳高成绩.24．（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程；（2）50千米；（3）75千米/小时【分析】（1）根据函数的图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案；（2）根据函数的图象可以知道汽车行驶的时间和路程，用路程除以时间即可得到速度；（3）观察图象可以得到汽车在3-4小时之间路程没有增加，说明此时在检修，检修后两小时走了150千米据此可以求得速度．【详解】解：（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程．（2）由图象可知，汽车从景区到C 地用了3小时，行驶路程为150千米，所以平均每小时行驶150350÷=（千米）．（3）检修了431-=小时，修后的速度为()()3001506475-÷-=千米/小时．【点睛】本题考查了看函数图象，解此类问题时，首先要看清横纵坐标所表示的意义．25．（Ⅰ）k ＞﹣1（Ⅱ）对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）m 的值为1或134【详解】试题分析：（Ⅰ）由抛物线与x 轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k 的取值范围；（Ⅱ）先求得k 的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式，结合函数解析式求此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x 轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m 的值．试题解析：（Ⅰ）∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=4（k+1）2﹣4（k 2﹣2k ﹣3）=16k+16＞0，∴k ＞﹣1，∴k 的取值范围为k ＞﹣1；（Ⅱ）∵k ＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k=0，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）翻折后所得新图象如图所示，平移直线y=x +m 知：直线位于l 1和l 2时，它与新图象有三个不同的公共点，①当直线位于l 1时，此时l 1过点A （﹣1，0），∴0=﹣1+m ，即m=1；②∵当直线位于l 2时，此时l 2与函数y=﹣x 2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，∴方程x +m=﹣x 2+2x+3，即x 2﹣x ﹣3+m=0有两个相等实根，∴△=1﹣4（m ﹣3）=0，即m=134，综上所述，m 的值为1或134．【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及到抛物线与x 轴的交点、根的判别式等，正确地分析，根据题意画出图形，结合图形进行讨论是解题的关键.26．(1)见解析(2)3EF CG =．理由见解析(3)12DG CG =【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识：（1）证明ADF CDF △≌△得2DAF ∠=∠，由AD BE 得2E DAF ∠=∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，证明2+4=90∠∠︒即可得出结论；（2）证明30E ∠=︒，得出2,EG CG =进一步得出结论；（3）设CG x =，可求出)1AG x =+，)1,2x DG =从而可得结论．【详解】（1）证明：如图，四边形ABCD 为正方形，,AD CD ADF CDF ∴=∠=∠，又DF DF =，,ADF CDF ∴△≌△2DAF ∴∠=∠，,AD BE ∥,DAF E ∴∠=∠2E ∴∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，则CH EH GH ==为CEG 外接圆的半径，1,45,E ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠，1490,∠+∠=︒ 2490∴∠+∠=︒，CF CH ∴⊥，所以CF 与CEG 的外接圆相切．（2）解：3EF CG =．理由如下：CE CF = ，312,E ∴∠=∠=∠=52E ∠=∠，而590,E ∠+∠=︒30E ∴∠=︒，2,EG CG ∴=3EF CG ∴=．（3）解：设CG x =，则,FG x CE CF AF ====，)1AG x ∴=+，由（2）知30DAF E ∠=∠=︒，)11,22x DG AG +∴==12DG CG ∴=．27．(1)证明见解析；(2)BD =【分析】（1）连接OB ，由切线的性质和等腰三角形的性质得出30P ∠=︒，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）作AH BD ⊥于H ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，由3OC =得到6AC =，根据直角三角形的性质可得到132AB AC ==，122AH AD ==，根据勾股定理求出DH BH 、，即可求出BD 的长；本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连接OB ，∵PB 与圆O 相切于点B ，∴90OBP ∠=︒，∴90P POB ∠+∠=︒，∵OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠，∴2POB OBC OCB OCB ∠=∠+∠=∠，∵PB BC =，∴P OCB ∠=∠，∴2390P POB P OCB P ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴30P ∠=︒，∴22OP OB OC ==；（2）解：如图，作AH BD ⊥于H ，则90AHD AHB ∠=∠=︒，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∵3OC =，∴6AC =，∵30OCB ∠=︒，∴132AB AC ==，30ADB OCB ∠=∠=︒，∵4=AD ，∴122AH AD ==，∴DH ===，∴BH ===，∴BD BH DH =+=28．(1)(1,0)(2)45︒(3)(2,2)Q t --【分析】（1）根据AOE BOC △△≌得OE OC =即可求出点C 坐标．（2）如图，先过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，根据AOE BOC △△≌，得到AOE BOC S S =△△，底边AE BC =，得出OM ON =，根据角平分线的逆定理进而得到OD 平分ADC ∠，可得45ADO ABO ∠=∠=︒；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明PCG QPH ≌，可得2CG PH ==，PG QH t ==，又知Q 在第二象限，从而得(2,2)Q t --．【详解】（1）解：如图，当1t =时，点(1,0)C ，AD BC ⊥ ，90EAO BCO ∴∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒ ，EAO CBO ∴∠=∠，在AOE △和BOC 中，90EAO CBO AO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AOE BOC ASA ∴ ≌，1OE OC ∴==，∴点E 坐标(1,0)．（2）解：如图，过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴= ，且AE BC =，OM AE ⊥ ，ON BC ⊥，OM ON ∴=，OD ∴平分ADC ∠；45ADO ABO ∴∠=∠=︒；（3）解：如图，过P 作GH x ∥轴，过C 作CG GH ⊥于G ，过Q 作QH GH ⊥于H ，交x 轴于F ，(0,2)P ，(,0)C t ，2CG FH ∴==，PG OC t ==，90QPC ∠=︒ ，90CPG QPH ∴∠+∠=︒，90QPH HQP ∠+∠=︒ ，CPG HQP ∴∠=∠，90QHP G ∠=∠=︒ ，PQ PC =，PCG QPH ∴ ≌，2CG PH ∴==，PG QH t ==，(2,2)Q t ∴--．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．。

北京四中学2024-2025学年数学九上开学统考试题【含答案】

北京四中学2024-2025学年数学九上开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是()A ．10B ．16C ．18D ．202、（4分）如图，在△ABC 中，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若∠BAD =45°，则∠B 的度数为（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．45°3、（4分）对于代数式2ax bx c ++（0,,,a a b c ≠为常数），下列说法正确的是（）①若240b ac -=，则20ax bx c ++=有两个相等的实数根②存在三个实数m n s ≠≠，使得222am bm c an bn c as bs c++=++=++③若220ax bx c +++=与方程()()230+-=x x 的解相同，则422a b c -+=-A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4、（4分）若方程1322x a x x -+=--有增根，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．05、（4分）如图，直线y x m =-+与3y x =+的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式30x m x -+>+>的取值范围（）A ．x>-2B ．x<-2C ．-3<x<-2D ．-3<x<-16、（4分）一组数据1，2，a 的平均数为2，另一组数据-l ，a ，1，2，b 的唯一众数为-l ，则数据-1，a ，b ，1，2的中位数为（）A ．-1B ．1C ．2D ．37、（4分）已知，则下列不等式一定成立的是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）下列各点中，在第四象限的点是（）A ．（2，3）B ．（﹣2，﹣3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，3）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）小强调查“每人每天的用水量”这一问题时，收集到80个数据，最大数据是70升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_________组绘制频数分布表．10、（4分）某通讯公司的4G 上网套餐每月上网费用y （单位：元）与上网流量x （单位：兆）的函数关系的图像如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a 的值为__________．11、（4分）我市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要______元.12、（4分）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b=a （a ﹣b ）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x ＜13的解集为________.13、（4分）已知点A （﹣12，a ），B （3，b ）在函数y ＝﹣3x +4的象上，则a 与b 的大小关系是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知一次函数5y kx b =++与一次函数3y kx b =-++的图象的交点坐标为(3,0)A ，求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积.15、（8分）据大数据统计显示，某省2016年公民出境旅游人数约100万人次，2017年与2018年两年公民出境旅游总人数约264万人次，若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率；（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年该省公民出境旅游人数约多少万人次？16、（8分）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，ND ＝1．①求MC 的长．②求MN 的长．17、（10分）已知：线段a ，c ．求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠C ＝90°18、（10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12cm ，BC ＝15cm ，∠B ＝90°，DC＝5cm ．点P 从点A 向点D 以lcm /s 的速度运动，到D 点停止，点Q 从点C 向B 点以2cm /s 的速度运动，到B 点停止，点P，Q 同时出发，设运动时间为t （s ）．（1）用含t 的代数式表示：AP ＝；BQ ＝．（2）当t 为何值时，四边形PDCQ 是平行四边形？（3）当t 为何值时，△QCD 是直角三角形？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一张矩形纸片ABCD ，已知6AB =，4BC =．小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG 长为______.20、（4分）小明五次测试成绩为：91、89、88、90、92，则五次测试成绩平均数为_____，方差为________．21、（4分）若0234a b c ==≠，则a b 的值为__________，a b c a b c +--+的值为________.22、（4分）已知一次函数y ax b =+，反比例函数k y x =（a ，b ，k 是常数，且0ak ≠），若其中-部分x ，y 的对应值如表，则不等式8k x ax b -<+<的解集是_________.x 4-2-1-124y ax b =+6-4-3-1-02k y x =2-4-8-84223、（4分）若因式分解：3x x -=__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）先化简，再求值：22121124a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中a=325、（10分）已知：如图，平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ．求证：OE ＝OF ．26、（12分）某校开展爱“我容城，创卫同行”的活动，倡议学生利用双休日在浜江公园参加评选活动，为了了解同学们劳动时间，学校随机调查了部分同学劳动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）抽查的学生劳动时间的众数为______，中位数为_______；（3）已知全校学生人数为1200人，请估算该校学生参加义务劳动2小时的有多少人？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．【详解】解：∵当4≤x≤9时，y的值不变即△ABP的面积不变，P在CD上运动当x=4时，P点在C 点上所以BC=4当x=9时，P点在D点上∴BC+CD=9∴CD=9-4=5∴△ABC的面积S=12AB×BC=12×4×5=10故选A．本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC 和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．2、A【解析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=180°-75°-30°=75°．故选：A．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．3、B 【解析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程2ax bx c k ++=(k 为常数)最多有两个解判断②；将方程()()230+-=x x 的解代入220ax bx c +++=即可判断③．【详解】解：①240b ac ∆=-=∴方程20ax bc c ++=有两个相等的实数根．∴①正确：②一元二次方程2ax bx c k ++=(k 为常数)最多有两个解，∴②错误；③方程()()230+-=x x 的解为122,3x x =-=，将x ＝－2代人220ax bx c +++=得()()22220a b c -+⋅-++=，422a b c ∴-+=-，∴③正确．故选：B ．本题考查的知识点是一元二次方程根的情况，属于比较基础的题目，易于掌握．4、A 【解析】先去分母，根据方程有增根，可求得x=2,再求出a.【详解】1322x ax x -+=--可化为x-1-a=3（x-2）,因为方程有增根，所以，x=2,所以，2-1-a=0,解得a=1.故选A 本题考核知识点：分式方程的增根.解题关键点：理解增根的意义.5、C 【解析】解：∵直线y x m =-+与3y x =+的交点的横坐标为﹣2，∴关于x 的不等式3x m x -+>+的解集为x ＜﹣2，∵y=x+3=0时，x=﹣3，∴x+3＞0的解集是x ＞﹣3，∴3x m x -+>+＞0的解集是﹣3＜x ＜﹣2，故选C ．本题考查一次函数与一元一次不等式．6、B 【解析】试题解析：∵一组数据1，2，a 的平均数为2，∴1+2+a =3×2解得a =3∴数据-1，a ，1，2，b 的唯一众数为-1，∴b =-1，∴数据-1，3，1，2，b 的中位数为1．故选B.点睛：中位数就是讲数据按照大小顺序排列起来，形成一个数列，数列中间位置的那个数.7、C 【解析】根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：A 、因为，不知道是正负数或者是0，不能得到，则A 选项的不等式不成立；B 、因为，则，所以B 选项的不等式不成立；C、因为，则，所以C选项的不等式成立；D、因为，则，所以D选项的不等式不成立．故选C．本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．8、C【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答．【详解】解：纵观各选项，第四象限的点是（2，﹣3）．故选：C．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】解：应分（70-42）÷4=7，∵第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值，∴应分1组．故答案为：1．10、59【解析】由题意得，300.29 600500a-=-,解得a=59.故答案为59.11、150a 【解析】作BA 边的高CD ，设与BA 的延长线交于点D ，则∠DAC ＝30°，由AC ＝30m ，即可求出CD ＝15m ，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC 的面积为150m 2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA 边的高CD ，设与BA 的延长线交于点D ，∵∠BAC ＝150°，∴∠DAC ＝30°，∵CD ⊥BD ，AC ＝30m ，∴CD ＝15m ，∵AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12AB ×CD ＝12×20×15＝150m 2，∵每平方米售价a 元，∴购买这种草皮的价格为150a 元．故答案为：150a 元．本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB 边上的高，根据相关的性质推出高CD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．12、x ＞﹣1【解析】解：3⊕x ＜13，3（3-x ）+1＜13，解得：x ＞-1．故答案为：x ＞﹣1本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键．13、a ＞b【解析】根据k<0,y 随x 增大而减小解答【详解】解：∵k ＝﹣3＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵﹣12＜3，∴a ＞b ．故答案为：a ＞b ．此题主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、113y x =-+和113y x =-；两条直线与y 轴围成的三角形面积为1．【解析】（1）将点A 坐标代入两个函数解析式中求出k 和b 的值即可；（2）分别求出两个一次函数与y 轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可．【详解】解：将点(3,0)A 分别代入两个一次函数解析式，得035,03 3.k b k b =++⎧⎨=-++⎩解得1,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以两个一次函数的解析式分别为113y x =-+和113y x =-．（2）把0x =代入113y x =-+，得1y =；把0x =代入113y x =-，得1y =-．所以两个一次函数与y 轴的交点坐标分别为(0,1)和(0,1)-．所以两条直线与y 轴围成的三角形面积为：()111332⨯+-⨯=．本题考查了两条直线相交或平行问题以及待定系数法求一次函数的解析式，难度不大．15、(1)这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)约172.8万人次.【解析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的增长率即可解答本题．【详解】(1)设这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率为x ，100(1+x)+100(1+x)2=264，解得,x 1=0.2,x 2=−3.2(不合题意,舍去)，答：这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率，则2019年该省公民出境旅游人数为：100(1+x)3=100×(1+20%)3=172.8(万人次)，答：预测2019年该省公民出境旅游总人数约172.8万人次.本题考查一元二次方程的应用，（1）解决此类问题要先找等量关系，2017年出境旅游人数+2018年出境旅游人数=264，可根据2016年的人数，运用增长率公式表示出2017年、2018年的人数，从而列出方程，由此可解；（2）可根据（1）中计算出来的增长率，运用公式直接求解（增长率计算公式：B =A （1+a ）n 这里A 为基数，B 为增长之后的数量，a 为增长率，n 为期数）.16、(1)证明见解析；(2)①MC ＝3；②【解析】（1）根据折叠可得∠AMN=∠CMN ，再根据平行可得∠ANM=∠CMN ，可证CM=CN （2）①根据等高的两个三角形的面积比等于边的比，可求MC 的长．②作NF ⊥MC ，可得矩形NFCD ，根据勾股定理可求CD ，则可得NF ，MF ，再根据勾股定理可求MN 的长．【详解】解：(1)∵折叠∴CM ＝AM ，CN ＝AN ，∠AMN ＝∠CMN∵ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠ANM ＝∠CMN∴∠ANM ＝∠AMN ∴CM ＝CN (2)①∵AD ∥BC ∴△CMN 和△CDN 是等高的两个三角形∴S △CMN ：S △CDN ＝3：1＝CM ：DN 且DN ＝1∴MC ＝3②∵CM ＝CN ∴CN ＝3且DN ＝1∴根据勾股定理CD ＝如图作NF ⊥MC ∵NF ⊥MC ，∠D ＝∠DCB ＝90°∴NFCD 是矩形∴NF ＝CD ＝，FC ＝DN ＝1∴MF ＝2在Rt △MNF 中，MN ＝此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用.17、详见解析【解析】过直线m 上点C 作直线n ⊥m ，再在m 上截取CB ＝a ，然后以B 点为圆心，c 为半径画弧交直线n 于A ，则△ABC 满足条件．【详解】解：如图，△ABC 为所作．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18、（1）tcm，（15﹣2t）cm；（2）t＝3秒；（3）当t为32秒或256秒时，△QCD是直角三角形．【解析】(1)根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系,即可求出AP,BQ的长（2)当AP=CQ时,四边形APQB是平行四边形,建立关于t的一元一次方程方程,解方程求出符合题意的t值即可;（3）当∠CDQ＝90°或∠CQD＝90°△QCD是直角三角形，分情况讨论t的一元一次方程方程,解方程求出符合题意的t值即可;【详解】（1）由运动知，AP＝t，CQ＝2t，∴BQ＝BC﹣CQ＝15﹣2t，故答案为tcm，（15﹣2t）cm；（2）由运动知，AP＝t，CQ＝2t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣t，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣t＝2t，∴t＝3秒；（3）∵△QCD是直角三角形，∴∠CDQ＝90°或∠CQD＝90°，①当∠CQD ＝90°时，BQ ＝AD ＝12，∴15﹣2t ＝12，∴t ＝32秒，②当∠CDQ ＝90°时，如图，过点D 作DE ⊥BC 于E ，∴四边形ABED 是矩形，∴BE ＝AD ＝12，∴CE ＝BC ﹣BE ＝3，∵∠CED ＝∠CDQ ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CQD ，∴CD CE CQ CD =，∴5325t =，∴t ＝256秒，即：当t 为32秒或256秒时，△QCD 是直角三角形．此题考查平行四边形的判定和直角三角形的判定，解题关键是掌握性质并且灵活运用求解一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】首先证明△DEA′是等腰直角三角形，求出DE ，再说明DG ＝GE 即可解决问题．【详解】解：由翻折可知：DA′＝A′E ＝4，∵∠DA′E ＝90°，∴DE ＝，∵A′C′＝2＝DC′，C′G ∥A′E ，∴DG ＝GE ＝故答案为：．本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20、901【解析】解：平均数=9189889092905++++=，方差=22222(9190)(8990)(8890)(9090)(9290)25-+-+-+-+-=故答案为：90；1．21、23，13【解析】令=234a b c k ==，用含k 的式子分别表示出,,a b c ,代入求值即可.【详解】解：令=234a b c k ==，则2,3,4a k b k c k ===，所以2233a k b k ==，234123433a b c k k k k a b c k k k k +-+-===-+-+.故答案为：(1).23，(2).13本题考查了分式的比值问题，将,,a b c 用含同一字母的式子表示是解题的关键.22、62x -<<-或04x <<【解析】根据表可求出反比例函数与一次函数的交点，然后根据交点及表格中对应的函数值即可求出等式8kx ax b -<+<的解集.【详解】根据表格可知，当x=-2和x=4时，两个函数值相等，∴y ax b =+与ky x =的交点为（-2，-4），（4,2），根据图表可知，要使8k x ax b -<+<，则62x -<<-或04x <<.故答案为：62x -<<-或04x <<.本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解答本题的关键.23、()()11x x x +-【解析】应用提取公因式法，公因式x ，再运用平方差公式，即可得解.【详解】解：()()()32111x x x x x x x -=-=+-此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、14【解析】根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.【详解】原式=221(2)(2)22(1)1a a a a a a a +-+--⨯=+++当3a =时，原式=321314-=+本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键.25、见解析【解析】欲证明OE=OF ，只要证明△AOE ≌△COF （AAS ）即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AOE 和△COF 中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE=OF ．本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26、（1）见解析（2）1.5、1.5（3）216【解析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数；（2）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可；（3）总人数乘以样本中参加义务劳动2小时的百分比即可得．【详解】(1)根据题意得：30÷30%=100(人)，∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100−(12+30+18)=40(人)，补全统计图，如图所示：(2)根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时，故答案为：1.5、1.5；(3)1200×18%=216，答：估算该校学生参加义务劳动2小时的有216人此题考查扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，解题关键在于看懂图中数据。

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y轴对称 D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ． B ． C ． D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是0a b >>0c >a b a c b c >++{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则．14. 函数，则的减区间为，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10 C ．12 D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x xf x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或；当，，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。

精品解析：北京市第四中学2023-2024学年七年级上学期开学考试数学试题(原卷版)

数学练习学生须知1．本练习卷共7页，共27道题，满分100分。

练习时间90分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每小题2分，共16分）1. 下列有理数中，绝对值最大的数是（）A. B. C. 0 D. 42. 下面分数中能化成有限小数的是（）A. B. C. D. 3. 某商店出售一种商品，有以下几种方案，调价后价格最低的方案是（）A 先提价，再降价 B. 先降价，再提价C. 先提价，再降价 D. 先提价，再降价4. 下列说法正确的是（）A. ，则a 和b 成正比例B. 一定一个负数C. 两条不相交的直线叫做平行线D. 一个合数至少有三个约数5. 有圆柱与圆锥各一个，圆柱与圆锥底面半径的比是，圆柱与圆锥高的比是，圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是（）立方米．A. B. C. D. 6. 如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）A. 上B. 上C. 上D. 上7. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（）.是5-1-91211274781510%10%10%10%15%15%20%20%812.25ab -=a -2:34:3 5.414.49.6 4.8 3.2ABCD A C AB BC CD DA 3613630219A. B. C. D. 8. 某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲乙丙丁已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每小题2分，共24分）9. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是__________．10. 比大小，在横线上填上“>”、“<”或“=”．①__________4.6；②__________．11. 规定，如果，那么__________．10201524526:008:00-16:0018:00-6:307:30-17:0020:00-8:0011:00-18:0019:00-7:0010:00-17:3018:30-75.68-63881÷27129÷*23m n m n =-*77*x x =x =12. 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105，已知甲数是21，乙数是_________．13. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__．14. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办，为让学生进一步了解冬奥会历史，某学校组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分．（1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是__________分；（2）若参加竞赛的学生中至少有3人的得分相同，则参加竞赛的学生至少有__________人．15. 如图，有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，则图中的m 的值是__________．191316. 如图，长方形是由正方形、和长方形①、②、③组成，若长方形①、②周长之比为，则正方形、的面积之比为______．17. 如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______（取3）．18. 如图，正方形面积为1，M 是的中点，则图中阴影部分的面积是________．的的的x mA B 53A B ABCD 8AB =6BC =F AB A AD AB E B BF BC G 12S S -πABCD AB19. 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戌己庚辛壬癸甲乙丙丁戌己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年……（1）在上面的天干排列中，丙第（是正整数）次出现时，是位于从左向右的第______列（用含的式子表示）；（2）2023年是癸卯年，癸卯可以位于从左向右的第______列（写出一个即可）．20. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、操作题21. 在如图的方格纸上，按要求完成下列各题，每个方格边长1厘米．n n n（1）若点O 的位置用数对表示，则点A 的位置用数对可以表示为_________；（2）将圆O 向左平移2个单位，画出平移后的图形；（3）将梯形绕点A 顺时针旋转，画出旋转后的图形．四、计算题（每小题3分，共33分）22.解方程：．23. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）．24. 计算：(6,5)90︒1463x x +=-18164.83535.17441919-+-()()12.5313⎛⎫++--- ⎪⎝⎭3330.125587112.111⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭⨯1311354152163342456⨯+÷+⨯2221313325231531515⨯+⨯-⨯567345566567345222+⨯⨯+151341710343321812247181217⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0.10.30.90.20.6 1.80.30.9 2.70.10.20.40.20.40.80.30.6 1.2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯222222221223342022202312233420222023+++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯五、解决问题（第25、27、28题每题4分，第26题5分，第29题6分，共23分）．25. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，6小时后在中点相遇；若甲每小时多走4千米，乙提前1小时出发，则仍在中点相遇，那么两地相距多少千米？26. 为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：档次每户每月用电量(度)执行电价(元/度)第一档小于或等于200第二档大于200且小于或等于450时，超出200的部分第三档大于450时，超出450的部分1（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费元．（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？27. A 、B 两厂生产同一种疫苗，都进行了实验以计算各自的疫苗效力，两厂的疫苗实验人数皆为30000人，各厂实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂，经过一段时间后观察得知，在A 厂的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：疫苗效力，其中，请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．（1）根据实验数据算出A 厂的疫苗效力为多少？（2）若B 厂的实验数据算出的疫苗效力高于A 厂，请详细说明B 厂的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于A 厂实验中施打疫苗后仍感染的人数？28. 设的面积为．531579753579753135531579753135579753135357975357975531135357975531357975⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.50.7()1100%p q =-÷⨯p =施打疫苗后仍感染的人数施打疫苗的人数q =施打安慰剂后感染的人数施打安慰剂的人数ABC a（1）如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）（2）如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）（3）如图3，P 为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D 、E 、F ，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．29. 阅读下面材料，并完成问题：我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，；（1）_________，_________；（2）若，的值为_____________；（3），求的值．ABC 111A B C △1A B AB =1B C BC =1C A CA =111A B C △1S 1S =a ABC 111A B C △12A B AB =12B C BC =12C A CA =111A B C △2S 2S =a ABC AP BP CP BC AC AB ABC ABC =a x x []x []x x -x {}x []{}x x x =+[]1.31={}1.30.3=[]{}1.3 1.3 1.3=+{}1.6=[]1.6-=[]{}2x x =x []{}312x x x +=+x。

2024-2025学年北京四中高三上学期开学考数学试题

数学试卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是（A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为（A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象（A ）关于直线π4x =-对称（B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称（D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =；条件②：2n n n b a =+；条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。

北京市西城区北京市第四中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

北京市西城区北京市第四中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数()323x f x x =+-的零点所在的区间是（）． A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)2．已知两点()()0,3,4,0A B -，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则ABP ∆面积的最大值为（） A ．13B ．3C ．132D ．323．已知全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，则集合U C A = A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,24．已知角α的终边经过点（3，-4），则sin cos αα+的值为（） A ．15-B ．15C ．15±D ．1755±±或5．若函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（） A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为)26．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（）A ．49πB ．494πC ．14πD ．143π7．在等比数列{}n a 中，39a =-，71a =-，则5a 的值为（） A ．3或-3B ．3C ．-3D ．不存在8．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．已知数列{}log a n b (0a >且)1a ≠是首项为2，公差为1的等差数列，若数列{}n a 是递增数列，且满足lg n n n a b b =，则实数a 的取值范围是（）A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。