因式分解--复习课例1下列代数式变形中

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多项式的因式分解_提公因式法练习题

学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

(1)(1)若若a=101,b=99,a=101,b=99,则则a 多项式的因式分解一、预习导学说一说：（1）21等于3乘哪个乘哪个整数整数？（2）1-2x 等于1+x 乘哪个多项式？乘哪个多项式？因式：一般地，对于两个多项式f 与g,如果有多项式h 使得f=gh,那么我，那么我，把g 叫做f 的一个因式。

此时，h 也是f 的一个因式。

的一个因式。

22-b 22=___________=___________；； (2)(2)若若a=99,b=-1,a=99,b=-1,则则a 2-2ab+b 2=____________=____________；；(3)(3)若若x=-3,x=-3,则则20x 2+60x=__________议一议：观察：观察： a a 2-b 2=(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b) ，， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。

，找出它们的特点。

(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式分解因式。

选一选：下列下列代数式代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 -3x+1=x(x-3)+1 ；； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6+6ªª = 3a = 3a（（a+2a+2））填一填：) )( (4-2=x 继续观察：继续观察：(a+b)(a-b)= a (a+b)(a-b)= a 22-b 22 ,(a-b)22= a 22-2ab+b 22， 20x(x+3)= 20x 22+60x,+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们是什么运算？与因式分解有何关系？因式分解因式分解因式分解结合：结合：a a 2-b 2 （a+b a+b）（）（）（a-b a-b a-b））整式整式乘法乘法说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。

初中数学沪科版七年级下册 8.4因式分解--公式法一课一练(含答案)

8.4因式分解公式法知识要点1．把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．常用公式有：①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2-b2=（a+b）（a-•b）．②两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．2．分解因式时首先观察有无公因式可提，再考虑能否运用公式法．典型例题例．一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x>0）分析：本题的实质是把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以运用分解因式的方法．解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1=（x2+5x+5）2∴这个正方形的边形是x2+5x+5．练习题第一课时一、选择题1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±42．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+13．下列各式属于正确分解因式的是（）A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）2C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2二、填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．三、解答题9．把下列各式分解因式：①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y210．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．四、探究题12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）答案:1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-129．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）210．4 11．49 12．①（x+2y-1）2；②（a+b-2）2第二课时一、选择题：1．下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2 B．-a2-b2 C．a2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的结果是（）A．（0.3x+2）（0.3x-2） B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2） D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），则x的值是（）A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的结果是（）A．2（x2-16） B．2（x+8）（x-8） C．2（x+4）（x-4） D．（2x+8（x-8）二、填空题：5．已知一个长方形的面积是a2-b2（a>b），其中长边为a+b，则短边长是_______．6．代数式-9m2+4n2分解因式的结果是_________．7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．8．已知a+b=8，且a2-b2=48，则式子a-3b的值是__________．三、解答题9．把下列各式分解因式：①a2-144b2②πR2-πr2③-x4+x2y210．把下列各式分解因式：①3（a+b）2-27c2②16（x+y）2-25（x-y）2③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）2四、探究题11．你能想办法把下列式子分解因式吗？①3a2-13b2②（a2-b2）+（3a-3b）答案:1．D 2．A 3．B 4．C 5．a-b 6．（2n+3m）（2n-3m） 7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；② （R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．①13（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）。

因式分解复习课件

五项:常考虑二三分组
例1：把a2 ab ac bc分解因式。解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
提公因式法：
（1）x-y=-(y-x)
(2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2
(4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验，横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
组分
分组后能直接提取公因式
解
法
分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分组
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式：（ x －y）3 －（ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2

专题复习：因式分解

专题因式分解☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015北海）下列因式分解正确的是（）A ．24(4)(4)x x x -=+-B ．221(2)1x x x x ++=++C ．363(6)mx my m x y -=-D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．2．（2015贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（） A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ．【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x - C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ．【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ．224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ．【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确；C ．224x x -+不能分解，错误；D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误；故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 5．（2015临沂）多项式2mxm -与多项式221x x -+的公因式是（）A ．1x -B ．1x +C ．21x - D ．()21x -【答案】A ．考点：公因式．6．（2015枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：a+b=14÷2=7，ab=10，∴22a b ab +=ab （a+b ）=10×7=70；故选B ．考点：因式分解的应用．7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（）A 0)a a b b b =≠B ．3521a a a -•= C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -=【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂．8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（）A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11xx xx --= C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x ÷+=+【答案】A ．【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x --=，错误； C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误；故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．9．（2015南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是．【答案】2(2)a b -．【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -．考点：因式分解-运用公式法．10．（2015巴中）分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ．【答案】)3)(3(-+x x y ．【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式． 12．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b +=，则2015a b-|= ．【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．13．（2015北京市）分解因式：325105x x x -+= ．【答案】25(1)x x -．【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（2015甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ．【答案】2015．【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为：2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．15．（2015株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ．【答案】(2)(4)(4)x x x -+-．【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 16．（2015东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-= ．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015菏泽）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n=4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【2014年题组】1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A 、x2+2x+1=x （x+2）+1，不是因式分解，故错误；B 、（x2﹣4）x=x3﹣4x ，不是因式分解，故错误；C 、ax+bx=（a+b ）x ，是因式分解，故正确；D 、m2﹣2mn+n2=（m ﹣n ）2，故错误．故选C ．考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法． 2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A ．()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的意义．3.（2014年无锡中考）分解因式：x3﹣4x= ．【答案】()()x x 2x 2+-．【解析】试题分析：()()()32x 4x x x 4x x 2x 2-=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（2014年株洲中考）分解因式：x2+3x （x ﹣3）﹣9= 【答案】（x ﹣3）（4x+3）．【解析】试题分析： x2+3x （x ﹣3）﹣9=x2﹣9+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3）+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3+3x ） =（x ﹣3）（4x+3）．考点：因式分解．5.（2014年徐州中考）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a2b ﹣ab2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2．考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．6.（2014年眉山中考）分解因式：225xy x -=__________________．【答案】x （y+5）（y ﹣5）．【解析】试题分析：原式=x （y2﹣25）=x （y+5）（y ﹣5）．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 7.（2014年绍兴中考）分解因式：2aa - = ．【答案】()a a 1-．【解析】试题分析：()2a a a a 1-=-．考点：提公因式法因式分解． 8.（2014年台州中考）因式分解3a 4a -的结果是．【答案】()()a a 2a 2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 9.（2014年泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+．【解析】试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．10.（2014年北海中考）因式分解：x2y ﹣2xy2= ．【答案】()xy x 2y -．【解析】试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．注意问题归纳：符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式． 2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（）()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+ C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+- D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的有关概念．归纳 2：提取公因式法分解因式基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．提取公因式法：ma ＋mb －mc=m （a+b-c ）注意问题归纳：提公因式要注意系数；要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a 3ab += ．【答案】()a a 3+．【解析】()2a 3ab a a 3+=+．考点：因式分解-提公因式法．归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x2y－27y= ；【答案】3y（x+3）（x-3）．【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．【答案】n（m-1）2．【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50 【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4） B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2） D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015届河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017【答案】D．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数． 4．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x2﹣12x+32= ．【答案】2（x ﹣8）（x+2）．【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x2﹣6x+16）=2（x ﹣8）（x+2）．故答案为：2（x ﹣8）（x+2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（2015届北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab2分解因式的结果是．【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）．【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 6．（2015届北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ．【答案】(3)(3)a x x -+．【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+231a = ．【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（2015届安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2．【解析】试题分析：原式=﹣3（x2﹣x+41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．【答案】ab （a-b ）2．【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab （a2-2ab+b2）=ab （a-b ）2．故答案为：ab （a-b ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax2-3ay2= ．【答案】3a（x+y）（x-y）．【解析】试题分析：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．故答案为：3a （x+y）（x-y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015届山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a3-12a2+9a= ．【答案】a（2a-3）2．【解析】试题分析：4a3-12a2+9a=a（4a2-12a+9）=a（2a-3）2．故答案为：a （2a-3）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（2015届广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．16．（2015届河北省中考模拟二）若M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2O的值为．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，∴M+N-2O=（2015-1985）2-2（2015-1985）×（2014-1986）+（2014-1986）2=[（2015-1985）-（2014-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。

2023年《因式分解》课例

2023年《因式分解》课例一、基本目标1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.3.把握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法.二、重难点目标把握因式分解的意义及用提公因式法和公式法把多项式分解因式.综合运用提公因式法和公式法分解因式.环节1自学提纲，生成问题阅读教材P42～P45的内容，完成下面练习.一、因式分解的概念1.把下列多项式写成整式的积的形式：x2+x=x(x+1);x2-1=(x+1)(x-1);ma+mb+mc=m(a+b+c).2.把一个多项式化成几个整式的乘积_的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).3.多项式与因式分解的关系：多项式因式分解整式的乘积4.下列各式从左到右的变形为因式分解的是_③_.(填序号)③(x+1)(x-1)=x2-1;③a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).二、公因式与提公因式法1.公因式：假如一个多项式中_各项_都含有一个_公共的_因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如pa+pb+pc 中，p_是这个多项式的公因式.2.提公因式法：一般地，假如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式_提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_乘积的_形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.字母表示：pa+pb+pc=p(_a+b+c_).3.多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是_3ab_.4.把下列各式分解因式：(1)3x2-6xy;(2)3a2(x-y)3-4b2(y-x)2.解：(1)x(3x-6y).(2)(x-y)2(3a2-4b2).三、公式法(一)平方差公式1.(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(y+5)(y-5)=y2-25.(2)依据(1)中等式填空：x2-4=(x+2)(x-2);y2-25=(y+5)(y-5).2.平方差公式：a2-b2=_(a+b)(a-b)_.即两个数的平方差，等于_这两个数的和_与_这两个数的差的积_.3.下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是__③__.(填序号)③x2+y2;③1-x2;③-x2-y2;③x2-xy.(二)两数和(差)的平方1.填空：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.2.依据(1)中的式子填空：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.3.形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.4.完全平方公式：a22ab+b2=_(ab)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.5.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是___③__.(填序号)③x2-2x-2;③x2+1;③x2-4x+4;③x2+4x+1.环节2合作探究，解决问题活动1小组争论(师生互学)把下列多项式分解因式：(1)(a+b)(a-b)-a-b;(2)m2(16x-y)+n2(y-16x);(3)16x4-y4;(4)(a2+4)2-16a2.(引发同学思索)观看式子中的各项的特点确定公因式公式法分解因式.(1)原式=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).(2)原式=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).(3)原式=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y).(4)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.(同学总结，老师点评)(1)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最终检查每一个多项式的因式，看能否连续分解.(2)在平方差公式和完全平方公式中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数.计算：(1)57224(1)-42824(1);(2)342+3432+162.(引发同学思索)观看式子，看有什么特点，是否符合乘法公式的结构特征?(1)原式=(5722-4282)4(1)=(572+428)(572-428)4(1)=10001444(1)=36000.(2)原式=(34+16)2=2500.(同学总结，老师点评)对于一些比较简单的计算，有时可以运用乘法公式使运算简便.活动2巩固练习(同学独学)1.下列从左到右的变形中是因式分解的有(B)③x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;③x3+x=x(x2+1);③(x-y)2=x2-2xy+y2;③x2-9y2=(x+3y)(x-3y).A.1个B.2个C.3个D.4个2.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn23.下列分解因式正确的是(B)A.x3-x=x(x2-1)B.x2-1=(x+1)(x-1)C.x2-x+2=x(x-1)+2D.x2+2x-1=(x-1)24.当整数a为_-4时(只写一个)，多项式x2+a能用平方差公式分解因式.5.若x2+(m-3)x+16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于_-5或11_.6.把下列多项式分解因式：(1)x2(a-1)+x(1-a);(2)9(m+n)2-(m-n)2;(3)2a3-4a2b+2ab2;(4)(x2-1)2+6(1-x2)+9.解：(1)原式=x2(a-1)-x(a-1)=(a-1)(x2-x)=x(a-1)(x-1).(2)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n)=(2m+4n)(4m+2n)=4(m+2n)(2m+n).(3)原式=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.(4)原式=(x2-1)2-6(x2-1)+9=(x2-1-3)2=(x+2)2(x-2)2.活动3拓展延长(同学对学)248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.找出248-1的特点用平方差公式化简得出结论.248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).③26=64，26-1=63,26+1=65，这两个数是65和63.(同学总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除.环节3课堂小结，当堂达标(同学总结，老师点评)乘法(整式)(――)分解(因式)a22ab+b2=(ab)2(完全平方公式：)请完成本课时对应练习!一、基本目标1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.3.把握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法.二、重难点目标把握因式分解的意义及用提公因式法和公式法把多项式分解因式.综合运用提公因式法和公式法分解因式.环节1自学提纲，生成问题阅读教材P42～P45的内容，完成下面练习.一、因式分解的概念1.把下列多项式写成整式的积的形式：x2+x=x(x+1);x2-1=(x+1)(x-1);ma+mb+mc=m(a+b+c).2.把一个多项式化成几个整式的乘积_的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).3.多项式与因式分解的关系：多项式因式分解整式的乘积4.下列各式从左到右的变形为因式分解的是_③_.(填序号)③(x+1)(x-1)=x2-1;③a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).二、公因式与提公因式法1.公因式：假如一个多项式中_各项_都含有一个_公共的_因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如pa+pb+pc 中，p_是这个多项式的公因式.2.提公因式法：一般地，假如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式_提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_乘积的_形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.字母表示：pa+pb+pc=p(_a+b+c_).3.多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是_3ab_.4.把下列各式分解因式：(1)3x2-6xy;(2)3a2(x-y)3-4b2(y-x)2.解：(1)x(3x-6y).(2)(x-y)2(3a2-4b2).三、公式法(一)平方差公式1.(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(y+5)(y-5)=y2-25.(2)依据(1)中等式填空：x2-4=(x+2)(x-2);y2-25=(y+5)(y-5).2.平方差公式：a2-b2=_(a+b)(a-b)_.即两个数的平方差，等于_这两个数的和_与_这两个数的差的积_.3.下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是__③__.(填序号)③x2+y2;③1-x2;③-x2-y2;③x2-xy.(二)两数和(差)的平方1.填空：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.2.依据(1)中的式子填空：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.3.形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.4.完全平方公式：a22ab+b2=_(ab)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.5.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是___③__.(填序号)③x2-2x-2;③x2+1;③x2-4x+4;③x2+4x+1.环节2合作探究，解决问题活动1小组争论(师生互学)把下列多项式分解因式：(1)(a+b)(a-b)-a-b;(2)m2(16x-y)+n2(y-16x);(3)16x4-y4;(4)(a2+4)2-16a2.(引发同学思索)观看式子中的各项的特点确定公因式公式法分解因式.(1)原式=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).(2)原式=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).(3)原式=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y).(4)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.(同学总结，老师点评)(1)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最终检查每一个多项式的因式，看能否连续分解.(2)在平方差公式和完全平方公式中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数.计算：(1)57224(1)-42824(1);(2)342+3432+162.(引发同学思索)观看式子，看有什么特点，是否符合乘法公式的结构特征?(1)原式=(5722-4282)4(1)=(572+428)(572-428)4(1)=10001444(1)=36000.(2)原式=(34+16)2=2500.(同学总结，老师点评)对于一些比较简单的计算，有时可以运用乘法公式使运算简便.活动2巩固练习(同学独学)1.下列从左到右的变形中是因式分解的有(B)③x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;③x3+x=x(x2+1);③(x-y)2=x2-2xy+y2;③x2-9y2=(x+3y)(x-3y).A.1个B.2个C.3个D.4个2.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)让知识带有温度。

七年级数学下册第12章因式分解复习课课件

⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(4)81a4-b4
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
⑺ x2y2+xy-12
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(8) (x+1)(x+5）+4
第十四页，共十六页。
今天，我们(wǒ men)复习了分解因式的那些知识？
下课了!
再见(zàijiàn)
2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式
① 3x+x2-y2-3y
② x2-2x-4y2+1
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2
=(x-1+2y)(x-1-2y)
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因式分解
定义(dìngyì) 方法步骤
练习(liànxí) 小结(xiǎojié)
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把一个多项式化成(huà chénɡ)几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个(jǐ ɡè)整式的积
注：必须分解(fēnjiě)到每个多项式因式不能再分解为止
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第六页，共十六页。
（二）分解因式(yīnshì)的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用(yùnyòng)公式法（3）、十字相乘法（4）、分组分解(fēnjiě)法
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因式分解的考点十二种方法(已整理)

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

人教版中考数学考点系统复习第一章数与式第三节代数式、整式与因式分解

第三节代数式、整式与因式分解
【考情分析】湖北近 6 年主要以选择、填空题的形式考查整式的概念、幂的运算、乘法公式、整式的混合运算、因式分解、代数式的化简求值等．代数式的化简求值以解答题的形式出现．难度小，分值一般 3－8 分．
命题点 1：代数式及整式的相关概念(近 3 年考查 5 次) 1．(2018·荆州第 1 题 3 分)下列代数式中，整式为 A．x＋1
ห้องสมุดไป่ตู้
命题点 4：因式分解(近 3 年考查 15 次)
11．因式分解：
(1)(2021·恩施州第 13 题 3 分) a－ax2＝aa((11＋＋xx))((1－1－x)x)；
(2)(2021·仙桃第 11 题 3 分) 5x4－5x2＝55xx22((xx＋＋11))(x－(x1－) 1)；
(3)(2021·荆门第 12 题 3 分) x3＋2x2－3x＝xx((xx－－11))(x(＋x＋3)3)；
当 a＝ 5，b＝ 3时，原式＝( 5)2－2×( 3)2＝5－6＝－1.
10．(2022·黄孝咸第 7 题 6 分)先化简，再求值：4xy－2xy－(－3xy)，其中 x＝2，y＝－1. 解：4xy－2xy－(－3xy) ＝4xy－2xy＋3xy ＝5xy，当 x＝2，y＝－1 时，原式＝5×2×(－1)＝－10.
(4)(2022·恩施第 14 题 3 分) a3－6a2＋9a＝aa((aa－－3)32 )2.
（ B）
5．(2022·荆州第 1 题 3 分)化简 a－2a 的结果是 A．－a B．a C．3a D．0
（ A）
6．(2022·黄孝咸第 5 题 3 分)下列计算中正确的是 A．a2·a4＝a8 B．(－2a2)3＝－6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a＋3a＝5a2

因式分解教案_3

因式分解教案因式分解教案篇1【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义;2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。

㈡、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。

(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。

（学生概括，老师补充。

）板书课题：§6.1 因式分解因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

㈢、前进一步1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2 （a+b）（a-b）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的'形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

(公开课) 第六章因式分解的复习课

2-8x+m=(x-4)( x-4 ),且m= 16 x+a ),且 2．x 8x+m=(x-
。
右边=x 右边 2+(a-4)x-4a=左边左边 a-4=-8 -4a=m
有关完全平方式例5:有关完全平方式的运用有关完全平方式的运用
1.若9x2+mx+16是完全平方式则m= ±24 . 若是完全平方式,则是完全平方式 2.若x2-6xy+m,是完全平方式则m= 9y2 . 若是完全平方式,则是完全平方式 ²x²-2﹒x﹒3y +(3y)2 4.若16x2+1与一个单项式的和是一个完全平方若与一个单项式的和是一个完全平方 8x或-8x 或64x2 . 或式,则这个单项式可以是则这个单项式可以是
整体的思想
(6)3a(x - y) - 6b(y - x)
=3a(y-x)2-6b(y-x) =3(y-x)[a（y-x）-2b] （） =3(y-x)(ay-ax-2b)
2
变形规律（添括号法则）变形规律（添括号法则）（1）x-y=-(y-x) ） (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3
3、两项可写成数或式的平方形式、用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项用完全平方公式分解因式的关键：式是否为一个完全平方式；式是否为一个完全平方式；完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
首2 ± 2 × 首 × 尾 + 尾 2
4 y 2 − 1 = (2 x + 1)(2 x − 1) （7））

因式分解教案_2

因式分解教案因式分解教案篇1整式乘除与因式分解一.回顾知识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：aman=am+n(m、n为正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.=amn(m、n为正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘.(n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.=am-n(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂的概念：a0=1(a≠0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.负指数幂的概念：a-p=(a≠0，p是正整数)任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数.也可表示为：(m≠0，n≠0，p为正整数)单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解教案篇2教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。

因式分解期末知识点专项复习

第三章因式分解复习1.因式分解定义（①左边是多项式；②右边是积的形式；③右边的因式是整式）要点梳理：1. 把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________；2. 因式分解的过程和的过程正好______：前者是把一个多项式化为几个整式的______，后者是把几个整式的______化为一个________.命题角度1 因式分解的概念例1、下列从左到右的变形中是因式分解的有例2、①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．针对训练：下列各式从左边到右边是因式分解的 .①x2-x=x(x-1) ② a(a-b)=a2-ab ② (a+3)(a-3)=a2-9② a2-2a+1=a(a-2)+1② x2-4x+4=(x-2)2针对训练：检验下列因式分解是否正确．(1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)；(3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2.命题角度2 因式分解与整式乘法的关系例1．把多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－3)(x＋n)，则m＝．【针对训练】如果多项式x2－mx－35因式分解为(x－5)(x＋7)，那么m的值为2.提公因式（把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是a+b+c，即ma+mb+mc=m（a+b+c））要点梳理：1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的________，简称多项式的________.2. 公因式的确定：(1)系数：取多项式各项整数系数的；(2)字母：取多项式各项的字母；(3)各字母的指数：取次数最的．命题角度1 公因式的识别（几个多项式的公共的因式）例1．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是【针对训练】下列各组多项式中，没有公因式的是( )A．ax－bx和by－ay B．3－9y和6y2－2yC．x2＋y2和x＋y D．a－b和2a2－2ab命题角度2 提单项式公因式法因式分解（从系数、字母以及指数等方面确定公因式）例2．将多项式m2－m因式分解，结果正确的是( )A．m(m－1) B．(m＋1)(m－1) C．m(m＋1)(m－1) D．－m(m－1)【针对训练】1把下列各式因式分解：(1)ab＋ac＝； (2)a2b－2ab2＋ab＝．2．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为．3．因式分解：3a2b－6ab＋9b＝．4．把多项式－16x3＋40x2y提出一个公因式－8x2后，另一个因式是．5．把下列多项式因式分解：(1)ab2＋ab； (2)3x2－6xy＋x；(3)12a2b3－8a3b2－16ab4；(4)－24x3－12x2＋28x.命题角度3 多项式公因式（整体思想）例1．将3x(a－b)－9y(b－a)因式分解，应提的公因式是( ) A．3x－9y B．3x＋9y C．a－b D．3(a－b)针对训练：1.将多项式(x＋2)(x－2)＋(x－2)提取公因式(x－2)后，余下的部分是命题角度2 提多项式公因式因式分解2．将m2(a－2)＋m(a－2)因式分解的结果是( )A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m－1) C．m(a－2)(m＋1) D．m(2－a)(m－1) 【针对训练】：把下列多项式因式分解：(1)7(a－1)＋x(a－1)；(2)3(a－b)2＋6(b－a)；(3)18(a－b)2－12b(b－a)2；(4)(2a＋b)(2a－b)－3a(2a＋b)．命题角度3 提公因式法因式分解的应用例1．把多项式18m3n2(m＋n2)＋24m2n3(m＋n2)因式分解的结果是．针对训练：1．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b的值为．2．先将代数式因式分解，再求值：(x－2)2－6(2－x)，其中x＝－2.3.已知x＋y＝5，x－y＝－3，则x(x－y)－y(y－x)＝．4．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于．3.公式法（平方差）含有两项，且这两项异号平方项a2－b2＝(a＋b)(a－b)命题角度1 判断用平方差公式进行因式分解例1．下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是()A．4x2＋1 B．－m2＋1 C．－a2－b2D．a2－b3针对训练：1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是()A．－a2－4b2B．－1＋25a2 C.116－9a2D．－a4＋1命题角度2 平方差公式因式分解3．因式分解：(1)a3－4a； (2)a4－116b4；(3)9(m＋n)2－(m－n)2 (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)．(5)25x2y2－1； (6)x4－16.命题角度3 利用平方差公式因式分解解决实际问题4.已知x2－y2＝16，x＋y＝2，则x－y＝．5．在一个边长为12.75 cm的正方形内剪去一个边长为7.25 cm的正方形，求剩余部分的面积．3.公式法（完全平方公式）特点：(1)多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．a2 ＋2ab＋b2＝(a＋b)2命题角度1 用完全平方公式进行因式分解1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A．4x2－1 B．4x2＋4x－1 C．x2－xy＋y2D．x2－x＋1 42．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则常数m的值是．3．若多项式x2－mxy＋9y2能因式分解成(a±b)2的形式，则m的值是 . 2．计算：1252－50×125＋252＝3．因式分解：(1)m2－10m＋25；(2)4x2－2x＋14；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.(4)81a2＋16b2－72ab；(5)－a2＋6ab－9b2；(6)a2b2－4ab＋4；(7)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.命题角度2 先提公因式后运用完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)－2a3＋12a2－18a； (2)6xy2－9x2y－y3.命题角度3 综合运用平方差公式和完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)(x2＋9)2－36x2； (2)y2＋2y＋1－x2(3)9x2－3x＋14； (4)－4x2＋12xy－9y2 ；(5)a 4＋2a 2b ＋b 2 ； (6)x 4－2x 2＋1；(7)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (8)(a 2＋4)2－16a 2.专项练习1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 2、判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a 2－9b 2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y 2；(3)(3a －1)2＝9a 2－6a ＋1； (4)4y 2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；3.分解因式8ab(a -b)3-12a(a -b)2时，应提取的公因式是( )A.8aB.4ab(a-b)3C.4ab(a-b)2D.4a(a-b)24.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A.a 2+1 B.a 2-6a+9 C.x 5+5y D.x 2-5y5.添加一项，能使多项式9x 2+1构成完全平方式的是( ) A.9x B.-9x C.9x4 D.-6x6.计算：852-152=( )A.70B.700C.4 900D.7 0007. a 4b -6a 3b+9a 2b 分解因式的正确结果是( )A.a 2b(a 2-6a+9)B.a 2b(a+3)(a -3)C.b(a 2-3)2D.a 2b(a -3)28.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4-■=(x 2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A.16，2B.8，1C.24，3D.64，89、已知2ab =时，3a b -=-时，则2332a b a b -的值为（）A ．12-B ．12C ．6-D ．610．若多项式x 2﹣3（m ﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为（）A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或2 二、填空题9.多项式9x 2y -15xy -6y 的公因式是_____________.10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x －3)，那么这个多项式是_____________.11.已知x 、y 是二元一次方程组23,245x y x y -=+=⎧⎨⎩的解，则代数式x 2－4y 2的值为_____________. 三、解答题12、把下列各式因式分解：（1）()()32x a b y b a --- ；（2）()()242252y x x y -+-；（3）4x 2－16 ；（4） 16 － 125 m 2（5）a 3b －ab 3； (6) a 4－ b 4；（7）()()22324a b a b +-- （8）2ax 2－8a ；（9）2221x xy y -+- ；（10）16x 2 + 24x + 9；（11）－x 2 + 4xy - 4y 2 (12) 3ax 2 + 6axy + 3ay 2；(13) (a + b)2 - 12(a + b) + 36； (14) 342 + 34×32 + 162.13、n 为整数，证明：（2n +1）2－1能被8整除．14.已知a－2b=12，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.15、a，b，c是ABC的三边，且有2241029a b a b+=+-（1）若c为整数，求c的值.（2）若ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.16.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．解：设a2-4a=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（a2-4a+4）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.17．分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．（1）232x x --；（2）210218x x ++；18.阅读材料对式子223x x +-可以变化如下：原式2222113(21)4(1)4x x x x x =++--=++-=+-此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：（1）分解因式：243x x -+（2）无论x 取何值，代数式222019x x -+总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．。

因式分解知识点总复习附答案

因式分解知识点总复习附答案一、选择题1 .下列分解因式正确的是()° x (x y) y(y x) (x y) 【答案】c【解析】D ・ x 2 4x 4 (x 2) (x 2)【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底. 详解】A. s4xx x 4，故A 选项错误;2CXX,故B 选项错误；R Y YVC. x x yyx2y ,故c 选项正确； D. x 24x 故选4C=( x-2)2,故D 选项错误，【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解.注意分解要彻底.2.把a 3-4ab 2因式分解,结果正确的是() A. a a 4b a 4b ? B. a24b 2 ?C. a a 2ba 2bD.22h【答案】【解析】【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式解. 【详解】a 3-4ab 2=a (a 2~4b 2)二a (a+2b) ( a~2b)・a,再对余下的多项式继续分故选C.【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( A. 2x (x+3)= 2X 2+6X C. x 2+2xy+y 2+l=( x+v) "+1【答案】D4x x(x 4)B. X 2xy x x(x y)) B. 24xy1 3x?8y 2 D. X 2 - y 2 =( x+v)( x- v)【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可. 【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；是因式分解，故本选项符合题意；D 、故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫因式分解.二3,故选C. 【点睛】是解题的关键.本题考查了因式分解的应用，代数式求值,涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识4.己知 2x"，xy 2,则 2x ; y 332、B. 2A.-3【答案】C 【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将行计算即可. 【详解】1 xy 2••• 2x y ' '3 4…2x 4y 3 x 丫=x 3y 3 (2x-y) =(xy) 3(2X - y)518 的值为O8 C.-316 D.—X V 窈形为(xv) (2x-v) •然后代入相关数值讲a. b,周长为10,面积为6,贝U a2b+ab2的值为( ) 5•如图，矩形的长、宽分别为【答案】B 【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出 a+b, ab,进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】・••边长分别为a 、b 的长方形的周长为10,面积6,••• 2 (a+b)二10, ab 二6,则 a+b=5,故 ab 2+a 2b=ab (b+a) 二6 X5 二30.故选：B. 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.将a 3b- ab 进行因式分解，正确的是()【答案】C 【解析】【分析】多项式a 3b- ab 有公因式ab,首先用提公因式法提公因式2x 1 .平方肴公式讲行分健【详解】a 3b ab ab a 2 1 ab a 1 a 1 ,故选：C. 【点睛】公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解;A. 60B. 30C. 15D. 16A. a a 2b bB. ab aC. ab a 1 a 1D .ab a 2此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用,解题关键在于因式分解时通常先提7•下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为().A. x a b ax bxB .x 2 1 y 2 x 1 x 1ab,提公因式后，得到多项式r 1 D. a.x bx c x a b c 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【详解】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是积的形式，故选项错误；C、x2-l=( x+l)( x-1),正确;D、等式不成立，故选项错误.故选：C.【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.1 18.若a2-b2=- , a-b二-，贝U a+b 的值为()4 一1D. 2A.- K 12【答案】C【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出.【详解】1 1a?— b2二(a+b) (a-b) = —(a+b)= '.「1一a+b—2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.9.将多项式x'+2xy+b - 2x- 2y+l分解因式，正确的是)' B. ( x+y- 1) 2A. ( x+y) 2°D. (x-y- 1)C. ( x+y+1) 2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法.【详解】解：x2+2xy+5^2— 2x— 2丫+1二(x'+2xy+y‘)— ( 2x+2y) +1=( x+y) 2— 2( x+y) +1=( x+y— 1) 2故选：B10.下列因式分解正确的是(A. x~—y=X—y) 2 B.A■C. xy—X二Xy—1) D.2x+y二2( x+y)【答案】C【解析】【分析】【详解】解：y-(x+y) ( X- y),故此选项错误;A、X2—B、a2+a+l无法因式分解，故此选项错误；c、xy— x=x( y— 1),故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误.故选C.【点睛】本题考查因式分解.5n),故选C.11.A. ? J 卜刘各瓦甲个能用半万差公貳分解旳是(222 mR 4Qv2v2 D. 16m; 25n2【答案】C【解析】A 选项—龙+b=b *aT=( b+a) ( b^a)是厂9 、小；B 选项49x y -m 二7xv+m) 7xy-m) ；C 选项-x -y 两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m l-25n2= (4m)2-(5n)匚(4m+5n) ( 4m~【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.12.下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是(2A. vB. a b a2 2 a bC.2Bahb2 2 ab 答案】解析】【分析】根据把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可. 【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边B 选项：不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边是乘积的C 选项：形式，故是因式分解，符合题意等式右边不是乘积的形式，故不是D 选项：因式分解，不符合题意故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义(把一个多项式化为儿个整式的积的形式).13. 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题： -12xb+6x'y+3xy 二-3xy? (4y-_)横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(A. 2xB. -2xC. 2x~lD. -2x~l【答案】C 【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy,进行因式分解即可. 【详解】解:原式二-3xy X( 4y-2x-l),空格中填 2x~l. 故选：C. 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化.【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案. 【详解】A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2,正确；B. a 2- 4b= (a - 2b) ( a+2b),故此选项错误；C ・a 2- 2a- 1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；(a -D ・b)( a+b) -a 2- bl 是多项式乘法，故此选项错误.14. 把多项式分解因式，正确的结果是( A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2C. a - 2a - 1=(a - 1) ~【答案】A【解析】 )B. a 2 - 4b'二(a - 4b) ( a+b) )(a - b) ( a+b)二b 2故选：A. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.15.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A. ab+ac+d= a (b+c) +dB. (x+2) (x-2) = x‘-4C. 6ab = 2a 毋 bD. x 2 - 8x+16 =( x- 4) 2【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为儿个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解. 【详解】A 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C 等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D 、符合因式分解的定义，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.16.己知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且满足a'c’ b =c 2 a 1 b 1,则ABC 是c - (a -- b -) 一 (a ■+ b -) ( a 2- b -)= 0,(a -- b -) ( c"-a _-b")= 0,所以，a __b~= 0 或 CF-a"- b -= 0,因此，AABC 等腰三角形或直角三角形. 故选B.【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到b 、c 的关系A. 直角三角形C. 等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出【详解】移项得，a 2c 2-b 2c 2-a 4 + b'= 0,B. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形b 、c 的关系，再确定出AABC 的形状即可得解即 a 二 b 或龙 + b"= CF ,式是解题的关键.17.A. (X+ 1)(X — 1)二 X 2— 11C. 2x =+ 1 = x (2x +—)X【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出儿个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解：A 、( x+1) ( x-1) -x 2-l 不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、 x 2- 5x+ 6 =(X- 2) (x- 3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.18.下列因式分解正确的是()7 2x 1 x x 2 1 B. x' C. xyD. x 2 2x【答案】【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案. 【详解】A. x 2+2x+l=(x+l)2,故该选项不属于因式分解，不符合题意，B. x'-yZ (x+y)(X-y),故该选项因式分解错误，不符合题意，C. xy-x 二x(yT),故该选项正确，符合题意，D.X 2+2X -1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C. 【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止.下列从左到右的变形属于因式分解的是()B. nT — 2m — 3= m(m — 2)— 3D. X — 5x+ 6 = (x — 2) (x — 3)19.下列因式分解正确的是( )A.2x=2刃x yC. x x答案】解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可详解】A八庆1忒启X一应为xv X 2x vB.x2 9不能分解因式，故此选项错误；C.xxyyxyxyxy2x2 9x3x32x 2x 1 x x 2 1,故此选项错误;2x y ,正确；D. x2 2x 1 x= x 1 ,故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服20.计算(一2)刘5+(—2)'°^的结果是()A. - 2B. 2C. 22015【答案】C【解析】【分析】【详解】2015 2016(-2) *(-2)二(一2) 2015 X (-2) +(-2) 2015二(-2) 2015 X (1-2)2015—9故选C.点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系D.Q2015。

(完整版)因式分解复习教案(教师版)

因式分解复习教案(教师教学案)教学目标： 1。

复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。

2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式.教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。

教学难点：根据题目的结构特点，合理选择方法。

教师活动一、引入本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习二、教授新课知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系）思考：什么是分解因式?因式分解与整式的乘法有何关系分解因式的特征,左边是 , 右边是。

针对练习:下列选项,哪一个是分解因式（）（学生自主完成此题，并指出错在哪里）A ．x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 。

103)2)(5(2-+=-+x x x xC 。

22)4(168-=+-x x xD 。

y x x y x ⋅⋅=552知识点2：分解因式的第一种方法—-——--提公因式法思考：如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思-——你有我有大家有才是公有）注意：(学生一起读一遍）公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数:取系数的最大公约数；（3）字母:取字母(或多项式）的指数最低的;（4）所有这些因式的乘积即为公因式（5）某一项被作为公因式完全提出时,应补为例如:1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3。

342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________提公因式法分解因式分类：1.直接提公因式的类型：（1)3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n a a a +--+=____________（3）423)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2.首项符号为为负号的类型：（1)33222864y x y x y x -+- =_________（2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如： 22188y x +-练习：1．多项式：aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-，那么另一个因式是( ）y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D 。

因式分解(一)

D.
a2 7a 12 a 3 a 4
【知识点二】提公因式法计算： 3.8 5 4.3 5 1.9 5 逆用乘法分配律
3.8 5 4.3 5 1.9 5 5 3.8 4.3 1.9
提取公因式： ap bp cp p a b c ， p 公因式思考：如何确定公因式？例： 6a 3b 8a 2b2 12a 2bc ①先系数：系数的最大公约数为 2 ②再字母：所有项公共字母为 ab
例 3. （ 1）因式分解： a2 ab
.
（2）因式分解： 3x2 18x （3）因式分解： 16x2 y xy （4）因式分解： 3m2n 6mn2
. . .
练习 3-1 . （1）因式分解： a2 a
.
（2）因式分解： 2a2 4a
.
（3）因式分解： 2m2 m
.
练习 3-2 . 把多项式 4a3 4a 2 16a 因式分解，结果是（）
.
（2）因式分解： x2 9
.
（3）因式分解： 9x2 4
.
练习 6-1 . （1）因式分解： x2 4
.
（2）因式分解： x2 9 y2
.
练习 6-2 . （1）因式分解： 9 4 p2
.
（2）因式分解： 16m2 25
.
例 7. 因式分解： x4 y4
.
练习 7-1 . 因式分解： a4 16
.
③后指数：公共字母最小指数为 a2b
因式分解： 6a3b 8a2b2 12a2bc 2a2b 3a 4b 6c
注意：（1）公因式要提尽，千万不能有所遗漏 . (2) 要符合代数式的书写规范 ①单项式要写在多项式的前面 ②相同的因式要写成幂的形式 ③括号内多项式的首项系数一般变为正数例： 9a2b 15ab2c 3ab 3a 5bc

因式分解复习

因式分解复习导学案知识点回顾：分解因式的步骤；一提：① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。

二套：② 对于二项式，考虑用平方差公式分解。

对于三项式，考虑用完全平方公式分解。

三查：③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）知识点一因式分解的定义把一个多项式化成的的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .注意： (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）.A 、2222)1(xy y x x xy -=-；B 、)3)(3(92-+=-x x x ；C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-；D 、c b a x c bx ax ++=++)(.练习：1．把代数式xy 2－9x 分解因式，结果正确的是( )A 、)9(2-y x ；B 、2)3(+y x ；C 、)3)(3(-+y y x ；D 、)9)(9(-+y y x .2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏因式分解不彻底的一题是（）A 、x 3－x ＝x (x 2－1)；B 、x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y )； D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) . 知识点二因式分解的基本方法提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法公因式：一个多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式的公因式.提公因式法：把一个多项式中的提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.例2：（1）y x x 225-的公因式为；（2）分解因式： 24x x -= ．练习：1． 322236129xy y x y x -+的公因式为 .2．分解因式：x xy 2-= .分组分解法：（用于4项及以上）把被分解的多项式分成若干组，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习教案

第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。