第一节多元函数的基本概念

r
{( r, h )
r > 0, h > 0 }
h
• 定量理想气体的压强 RT p= ( R 为常数） { ( V , T ) V > 0, T > T0 } , V a+b+c ) b • 三角形面积的海伦公式 ( p = a 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c) c { ( a, b, c ) a > 0, b > 0, c > 0, a + b > c }
及 lim lim f ( x, y ) 不同.
y → y 0 x → x0
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. xy , 例如, f ( x, y ) = 2 2 显然 x +y
x →0 y →0
lim lim f ( x, y ) = 0 , lim lim f ( x, y ) = 0
1 2x
x
y o x
y o
1 2x
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♣ 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭 域； ♣ 点集 { ( x, y ) x > 1} 是开 集， 但非区域 .
y
−1 o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P∈D 与某定点 A 的距离 ⎜AP⎥≤ K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
ρ →0
x → x0 y → y0
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2
2
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1 f ( x, y ) = ( x + y ) sin 2 ( x 2 + y 2 ≠ 0) 例1. 设 2 x +y lim f ( x, y ) = 0 . 求 x →0 证： y →0 要证 1 2 2 − 0 ≤ x2 + y2 < ε 证: ∵ ( x + y ) sin 2 x + y2
, xn ) 或 u = f ( P ) , P ∈ D
z = f ( x, y ), u = f ( x, y, z ),
( x, y ) ∈ D ⊂ R 2 ( x, y , z ) ∈ D ⊂ R 3
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z =
1− x − y
R 中的变元 x 与定元 a 满足 x − a → 0 记作 x → a. R n 中点 a 的 δ 邻域为
n
U ( a , δ ) = { x x ∈ R n , ρ ( x, a ) < δ }
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二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积 2 V =π r h,
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例如，在平面上 ♣ { ( x, y ) x + y > 0 } ♣ { ( x, y ) 1 < x 2 + y 2 < 4 } ♣ { ( x, y ) x + y ≥ 0} ♣ { ( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
y o y o
y →0
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 解: 因 x y ≤ 1 ( x + y ) , 令 r 2 = x 2 + y 2 , 则 4
2 1 − cos( x 2 + y 2 ) 4 (1 − cos r ) 2 2 2 2 ≥ (x + y )x y r6
4(1 − cos r 2 ) 2 r4 = lim 6 = ∞ 而 lim r→ 0 r→ 0 r r6
y →0 x →0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 f ( P ) 定义在 D 上, 聚点 P0 ∈ D , 如果存在
P → P0
lim f ( P ) = f ( P0 )
则称 n 元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时
}
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2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E , 则称 P 为 E 的内点； • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ∅ , 则称 P 为 E 的外点 ;
E
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
,n }
, xn ) 称为空间中的
称该元素为 R n 中的零元, 记作 当所有坐标 xk = 0 时， O.
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R n 中的点 x = ( x1 , x2 ,
, xn ) 与点 y = ( y1 , y 2 ,
, yn )
的距离记作 ρ ( x, y ) 或 x − y , 规定为
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定义1. 设非空点集 D ⊂ R n , 映射 f : D 在 D 上的 n 元函数 , 记作
R 称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 { u u = f ( P ) , P ∈ D } 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
u = f ( x1 , x2 ,
又如, 函数
例如, 函数
1 f ( x, y ) = 2 x + y2 −1
在圆周 x + y = 1 上间断. 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
2 2
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2 2
2
2
z
定义域为 圆域 { ( x, y ) x + y ≤ 1 } 图形为中心在原点的上半球面.
o
x
z
1 y
又如, z = sin( x y ) , ( x, y ) ∈ R
的图形一般为空间曲面 Σ .
2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D
x
y
三元函数 u = arcsin( x 2 + y 2 + z 2 ) 定义域为 单位闭球 { ( x, y , z ) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } 图形为 R 4 空间中的超曲面.
kx k lim f ( x, y ) = lim 2 = 2 2 2 x →0 x →0 x + k x 1+ k
y = kx 2
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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1 − cos( x 2 + y 2 ) 例4. 求 lim 2 x →0 ( x + y 2 ) x 2 y 2
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(2) 聚点 若对任意给定的δ ,点P 的去心 邻域 U (P,δ ) 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
E
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(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U ( P0 ) . 点 P0 的去心邻域记为 U ( P0 ) = { P 0 < PP0 < δ
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o
}
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
。 P
0
平面上的方邻域为
U( P0 ,δ ) = { ( x, y ) x − x0 < δ , y − y0 < δ
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P ), P ∈ D ⊂ R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P ∈ D ∩ U ( P0 ,δ ) , 都有 f ( P ) - A < ε , 则称 A 为函数
P0 称为间断点 .
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
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⎧ xy , 2 2 x +y ≠0 ⎪ 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ 0 x2 + y2 = 0 , ⎩ 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
x →0 y →0
证 ∵ f ( x, y ) − 0 ≤ x sin 1 + y sin 1 y x ： 要证 ≤ x + y ≤ 2 x2 + y2 < ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ = ε 2 ,当 0 < ρ = x 2 + y 2 < δ 时， 总有 f ( x, y ) − 0 ≤ 2 x 2 + y 2 < 2δ = ε
2 2
例如,在平面上,
U ( P0 , δ ) = {( x, y ) ( x − x0 ) + ( y − y0 ) < δ}(圆邻域)