2020九年级数学下册专训巧求与圆有关的面积问题同步练习 (新版)沪科版

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沪科版数学九年级下册24.4《直线与圆的位置关系》同步测试题(含答案解析)

沪科版数学九年级下册24.4《直线与圆的位置关系》同步测试题（含答案解析）一．选择题（共18小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5≥r≥3B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5D．0＜r＜3或r＞5 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A 与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE 为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（）A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，P A为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A．cm B．3cm C．cm D．2cm8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB 的大小为（）A．25°B．30°C．45°D．50°11．点P是⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°12．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．2213．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．114．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（）A．2B．3C．4D．517．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB 只有一个交点，则r的取值范围为．20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D 点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．22．如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是．23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是．2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转°时，AC与⊙O相切．三．解答题（共7小题）25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．参考答案一．选择题（共18小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5≥r≥3B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5D．0＜r＜3或r＞5【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；故选：D．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A 与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离小于圆的半径时直线与圆相交进行判断；【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝5，AB＝12∴BC＝13，点A到直线BC的距离为＝＜5∴以点A为圆心，5为半径的⊙A与直线BC相交；故选：C．3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径5的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选：D．4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE 为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【分析】首先根据三角形面积求出CM的长，进而得出直线AB与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．故选：B．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（）A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，CD＝2.4，即C到AB的距离等于⊙C的半径长，∴⊙C和AB的位置关系是相切，故选：C．6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°【分析】先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB 的度数，即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：∵P A、PB是⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠P AO+∠AOB+∠PBO＝360°，∴∠P＝180°﹣∠AOB，∵∠ACB＝59°，∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，∴∠P＝180°﹣118°＝62°，故选：B．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，P A为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A．cm B．3cm C．cm D．2cm【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，在直角△AOP中，利用勾股定理求得OA的长，然后证明△AOD∽△POA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：∵P A为⊙O的切线，A为切点，∴∠P AO＝90°，在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，∴AD＝BD，∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠P AO＝90°，∵∠AOP＝∠DOA，∴△APO∽△DAO，∴＝，即＝，解得：AD＝3（cm），∴BD＝3cm．故选：B．8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC＝90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．【解答】解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】直接利用切线的性质得出∠PBA＝90°，进而答案．【解答】解：∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA＝90°，∵∠PBC＝50°，∴∠ABC＝40°．故选：B．10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB 的大小为（）A．25°B．30°C．45°D．50°【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．【解答】解：∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选：D．11．点P是⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB．【解答】解：如图，∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．12．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．22【分析】根据切线长定理得出P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝P A+PB，代入求出即可．【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．13．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝AB tan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意可得出PC2＝PB•P A，再由OB＝3，PB＝2，则P A＝8，代入可求出PC．【解答】解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2＝PB•P A，∵OB＝3，PB＝2，∴P A＝8，∴PC2＝PB•P A＝2×8＝16，∴PC＝4．故选：C．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】根据切线长定理得AE＝AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2＝BD•BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13，∴BE＝8；∵BE2＝BD•BC，∴BD＝，∴CD＝，∴圆的半径是，故选：A．18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD 的左侧．∴P1E⊥CD又∵∠AOD＝30°，r＝1cm∴在△OEP1中OP1＝2cm又∵OP＝6cm∴P1P＝4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒故选：A．二．填空题（共6小题）19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为3＜r≤4或r＝．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜r≤4，故答案为：3＜r≤4或r＝．20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于55度．【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D 点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为40度．【分析】连接DB，即∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA ＝40°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．【解答】解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．22．如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是16cm．【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得P A的长；根据切线长定理，得BD＝CD，CE＝AE，P A＝PB，从而求解．【解答】解：连接OA．∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD＝CD，CE＝AE，P A＝PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，∴△PDE的周长为2AP＝16．故选答案为16cm．23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为44．【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是一个．2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是相离3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转30°时，AC与⊙O相切．【分析】（1）根据直线与圆相切时公共点只有一个，即可求解；（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，即可求解；（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，∠ODA＝90°，OD＝OA，则∠OAD ＝30°，即可求解．【解答】解：（1）直线与圆相切时，公共点的个数是一个，故：答案为：一个；（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，故：圆与直线AB的位置关系是：相离，故答案为：相离；（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，∠ODA＝90°，OD＝OA，∴∠OAD＝30°，即：AC绕点A逆时针旋转30°时，AC与⊙O相切，故：答案为：30°．三．解答题（共7小题）25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．【解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE ＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．【分析】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可．【解答】证明：连接OT，∵AT平分∠BAD，∴∠CAT＝∠BAT，∵OT＝OA，∴∠OTA＝∠BAT，∴∠CAT＝∠OTA，∴OT∥AC，又TC⊥AC，∴OT⊥TC，∴CT为⊙O的切线．28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．【分析】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）由△COD≌△COB．可得CD＝CB，即可得DE＝2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值，从而根据AD的长求得OC的长．【解答】（1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD＝CB．∵DE＝2BC，∴ED＝2CD．∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴，∵AD＝5，∴OC＝．29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm．30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．【分析】连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．先由切线的性质得出OC ⊥PC，那么∠ACP+∠ACM＝90°，由圆周角定理及直角三角形两锐角互余得出∠M+∠ACM＝90°，根据同角的余角相等得出∠ACP＝∠M，由圆周角定理得出∠M＝∠CBP，那么∠ACP＝∠CBP，又∠APC＝∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根据相似三角形对应边成比例得到AP：CP＝CP：BP，即AP•BP＝CP2．【解答】证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．∵PC是圆O的切线，∴OC⊥PC，∴∠ACP+∠ACM＝90°，又∵CM是直径，∴∠M+∠ACM＝90°，∴∠ACP＝∠M，∵∠M＝∠CBP，∴∠ACP＝∠CBP，又∵∠APC＝∠CPB（公共角），∴△ACP∽△CBP，∴AP：CP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP2．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE ⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．【分析】（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；（2）由切割线定理，得：AE2＝AD•AB，根据切割线定理即可求出BD的长，由此得解．【解答】（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．。

2022年精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练练习题(无超纲)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∠的度数为（）1、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64∠=，那么BODDCE︒A．20︒B．64︒C．116︒D．128︒2、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm3、下列叙述正确的有( )个.（1）y y=随着x的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．A．0 B．1 C．2 D．34、在△ABC中，CA CB=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定5、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、如图，在ABC中，90ABC︒∠=，30BAC︒∠=，8AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后得到AB C''△，则图中阴影部分面积为（）A．4πB．8π-C．4π-D．7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°8、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．529、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C ．D ．10、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（）A ．B ．CD ．8第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，分别以AB 、BC 、AC 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当8AB =，4BC =时，则阴影部分的面积为__________．2、圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则全面积为______．3、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）4、如图，在Rt△ABC ，∠B =90°，AB =BC =1，将△ABC 绕着点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，那么BM =______________．5、如图，ODC △是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100°，则B 的度数是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC AB ⊥，连接OC ，弦AD OC ∥，直线CD 交BA 的延长线于点E ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若2DE BC =，10AD =，求OC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕着点B 逆时针旋转得到△FBE ，点C ，A 的对应点分别为E ，F ．点E 落在BA 上，连接AF ．（1）若∠BAC ＝40°，求∠BAF 的度数；（2）若AC ＝8，BC ＝6，求AF 的长．3、如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，E 在⊙O 上，四边形BDEO 是平行四边形，过点D 作DC AE ⊥交AE 的延长线于点C ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若9AC =，求阴影部分的面积．4、如图，已知在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，将ABD △绕点A 旋转，得到ACD '△，连接D E '．（1）当120BAC ∠=︒时，60DAE ∠=︒时，求证：DE D E '=；（2）当DE D E '=时，DAE ∠与BAC ∠有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3）在（2）的结论下，当90BAC ∠=︒，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，D EC '△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）5、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2、C【分析】连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．4、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO为⊙C的半径，AB∴是C的切线，∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．5、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．7、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．8、A【分析】取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH =BG ，再求出∠HBN =∠MBG ，根据旋转的性质可得MB =NB ，然后利用“边角边”证明△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN =MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH =30°求解即可．【详解】解：如图，取BC 的中点G ，连接MG ，∵旋转角为60°，∴∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∴∠HBN =∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×5=2.5，∴MG=12CG=54，∴HN=54，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．9、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.10、A【分析】过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．二、填空题1、【分析】根据阴影部分面积等于以,AC BC 为直径的2 个半圆的面积加上ABC S减去AB 为半径的半圆面积即ABC S ．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，222AC BC AB ∴+=8AB =，4BC =AC ∴=∴2221111111=2222222S AC BC AC BC AB πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭阴影部分 ()222111224AC BC AC BC AB π=⋅+⨯+- 12AC BC =⋅ 142=⨯=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键． 2、2r rl ππ+【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．【详解】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，故可得，这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，圆锥的侧面积为122S r l rl ππ=⋅⋅=侧；圆锥的全面积为圆锥的底面积+侧面积：2S S S r rl ππ=+=+侧全底．故答案为：2r rl ππ+．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．3、②③④【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】解：12,22CD AB CF BC ====， Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45∴∠=︒，CFD当P在F点的左边时，∴∠=︒-∠=︒，180135EFP CFD当P在F点的右边时，∴∠=∠=︒，45EFP CFD故①错误；⊥，过点E作EG BC在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，∠+∠=∠+∠=︒，APB BAP APB EPG90∴∠=∠，BAP EPG∴≌，Rt ABP Rt PGE AAS()∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，EFG45即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DF∴∠=∠=︒，45DCE ECF∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EFCF=，2由勾股定理：222+=，CE EF CF∴=CE故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．4【分析】设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BC D、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．【详解】解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，∴∠ACM=60°，CA=CM，∴△ACM是等边三角形，∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，∵∠B=90°，AB=BC=1，∴∠BCA=∠CAB=45°，AC CM，∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，∴∠ECM=∠MAF=75°②，∵MF⊥BA，ME⊥BC，∴∠E=∠F=90°③，由①②③得△EMC≌△FMA，∴ME=MF，而MF⊥BA，ME⊥BC，∴BM平分∠EBF，∴∠CBD=45°，∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，Rt△BCD中，BDRt△CDM中，DM∴BM=BD+DM【点睛】本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB=90°．5、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，∵∠AOC＝100°，∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，∠ADO ＝∠A ＝12（180°−∠AOD ）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B ＝∠ADO −∠BOD ＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）15OC =【分析】（1）连接OD ，由AD ∥OC 及OD =OA ，即可得到∠COB =∠DOC ，从而可证得△OBC ≌△ODC ，即可证得CD 是⊙O 的切线；（2）由AD ∥OC 可得△EAD ∽△EOC ，可得ED AD EC OC =，再由△OBC ≌△ODC 得BC =CD ，从而可得23AD OC =，则可求得OC 的长．【详解】（1）连接OD ，∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠．又∵//AD OC ，∴DAO COB ∠=∠，ADO DOC ∠=∠∴COB DOC ∠=∠．在OBC 与ODC 中，,,,OB OD COB DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()OBC ODC SAS ≌，∴CBO CDO ∠=∠．又∵BC AB ⊥，∴90CBO CDO ∠=∠=︒，∴CD 是O 的切线．（2）∵AD OC ，∴EAD EOC ∠=∠，∴EAD EOC ∽， ∴ED AD EC OC=．又∵OBC ODC ≌，∴CB CD =，∴22DE BC CD ==， ∴2223ED CD EC CD CD ==+， ∴23AD OC =， ∴1023OC =， ∴OC =15【点睛】本题是圆的综合，它考查了切线的判定，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；证明圆的切线时，往往作半径．2、（1）65°（2）【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．【小题1】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，（180°-50°）=65°；∴∠BAF=∠BFA=12【小题2】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE=BC=6，EF=AC=8，∴AE=AB-BE=10-6=4，∴AF=【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3、（1）见详解；（2）6S π阴影【分析】（1）连接OD ，由题意易得//,OE BD OE BD OD OB ===，则有△ODB 是等边三角形，然后可得△AEO 也为等边三角形，进而可得OD ∥AC ，最后问题可求证；（2）由（1）易得AE =ED ，∠CED =∠OBD =60°，然后可得圆O 的半径，进而可得扇形OED 和△OED 的面积，则有弓形ED 的面积，最后问题可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：∵四边形BDEO 是平行四边形，∴//,OE BD OE BD OD OB ===，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =∠BOD =60°，∴∠AOE =∠OBD =60°，∵OE =OA ，∴△AEO 也为等边三角形，∴∠EAO =∠DOB =60°，∴AE ∥OD ，∴∠ODC +∠C =180°，∵CD ⊥AE ，∴∠C =90°，∴∠ODC =90°，∵OD 是圆O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1）得∠EAO =∠AOE =∠OBD =∠BOD =60°，ED ∥AB ，∴∠EAO =∠CED =60°，∵∠AOE +∠EOD +∠BOD =180°，∴∠EOD =60°，∴△DEO 为等边三角形，∴ED =OE =AE ，∵CD ⊥AE ，∠CED =60°，∴∠CDE =30°，∴2ED CE AE ==，∵9AC =，∴3,6CE AE OE ED ====，∴CD ==设△OED 的高为h ，∴sin 60h OE =⋅︒=∴21=63602OED ED OED n r S S S ED h ππ-=-⋅=-弓形扇形∴(1=662CED ED S S S CE CD ππ-=⋅--=阴影弓形．【点睛】本题主要考查扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形是解题的关键．4、（1）见解析；（2）∠DAE ＝12∠BAC ，见解析；（3）DE ，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD ＝AD ′，∠CAD ′＝∠BAD ，然后求出∠D ′AE ＝60°，从而得到∠DAE ＝∠D ′AE ，再利用“边角边”证明△ADE 和△AD ′E 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据旋转的性质可得AD ＝AD ′，再利用“边边边”证明△ADE 和△AD ′E 全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE ＝∠D ′AE ，然后求出∠BAD ＋∠CAE ＝∠DAE ，从而得解；（3）求出∠D ′CE 倍可得D ′E ′，再根据旋转的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD ′，∴AD ＝AD ′，∠CAD ′＝∠BAD ，∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠D ′AE ＝∠CAD ′＋∠CAE＝∠BAD ＋∠CAE＝∠BAC −∠DAE＝120°−60°＝60°，∴∠DAE ＝∠D ′AE ，在△ADE 和△AD ′E 中，AD AD DAE D AE AE AE '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△AD ′E （SAS ），∴DE ＝D ′E ；（2）解：∠DAE ＝12 ∠BAC ．理由如下：在△ADE 和△AD ′E 中，AD AD AE AE DE D E '⎧⎪⎨⎪'⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△AD ′E （SSS ），∴∠DAE ＝∠D ′AE ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAD ′＋∠CAE ＝∠D ′AE ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝12∠BAC ；（3）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠ACD ′＝45°，∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°，∵△D ′EC 是等腰直角三角形，∴D ′E′，由（2）DE ＝D ′E ，∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD ′，∴BD ＝C ′D ，∴DE BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．5、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．。

24.2圆的基本性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学下册课时同步练(沪科版)

沪科版九年级下册数学24.2圆的基本性质（解析版）一、单选题1．已知点P 与⊙O 在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，则点P 与⊙O 的位置关系为（） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法判断【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可．解： ∵⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，∴OP ＞5cm ，则点P 在⊙O 外．故选：A ．2．下面命题中，正确的是（）．A ．三点确定一个圆B ．垂直于弦的直线平分弦C ．经过四点不能作一个圆D ．三角形有一个且只有一个外接圆【答案】D【解析】根据圆、垂径定理的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案．A ：经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A 错误；B ：垂直于弦的直线不一定平分弦，故B 错误；C ：经过四点可能能作一个圆，也可能不能作圆，故C 错误；D ：三角形有一个且只有一个外接圆，故D 正确；故选：D ．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点(10,0)A ，直线8y kx =+与O 交于B 、C 两点，则弦BC 长的最小值（）．A ．8B ．10C ．12D ．16 【答案】C【解析】先确定直线8y kx =+必过点D (0,8)，再求出最短的弦CB 是过点D 且与该圆直径垂直的弦，先求出OD 的长，再求出OB 的长，最后根据勾股定理求得BD ，最后求出BC 的长即可．解：∵直线8y kx =+，∴无论k 为何值，该直线一定恒过(0,8)这个点，记为点D ，过圆内定点D 的所有弦中，与OD 垂直的弦最短，如图，BC OD ⊥，连结OB ，∵10OA OB ==，8OD =，∴由勾股定理可得226BD OB OD =-=，∴6CD BD ==，12BC =，∴弦BC 的最小值为12．故选：C ．4．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（）A ．5B ．15C ．16D ．8【答案】A【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2，∴CO ＝6，PO=4，∵AB ⊥CD ，∴AP=22OA OP - =2264-=25 ，∴AB ＝2AP ＝22545⨯=．故选：A ．5．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DN ＝12MN ＝3，∴OD ＝7， ∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，∴PM ＝22PD DM +＝2243+＝5，即⊙P 的半径为5，故选：C ．二、填空题6．已知⊙O 的半径r =3cm ，PO =1cm 时，点P 与⊙O 的位置关系是________________．【答案】点P 在圆内【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．∵⊙O 的半径r=3cm ，点P 到圆心O 的距离PO=1cm ，∴点P 在⊙O 内．故答案为：点P 在圆内．7．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．【答案】4cm 或7cm【解析】当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．当点P 在圆外时，如图1，点P 到圆的最大距离与最小距离的差为8cm ，就是圆的直径，所以半径是4cm ．当点P 在圆内时，如图2，点P 到圆的最大距离与最小距离的和为14cm ，就是圆的直径，所以半径是7cm ．故答案是：4cm 或7cm ．8．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．【答案】23【解析】根据题意在Rt AOC △中求出CO ，利用垂径定理得出结果．由题意，在Rt AOC △中，1,2AO AC AB ===，3OC =，AB CD ⊥∴由垂径定理知CO DO =，223CD CO ==，故答案为：23．9．如图，已知在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD =______．【答案】3【解析】连接OD ，设圆的半径是x ，再根据锐角三角函数表示出DE 的长，在Rt ODE △中，利用勾股定理列式求出x 的值，得到圆的半径长，再求出DE 的长，最后根据垂径定理得到CD 的长．解：如图，连接OD ，设AO DO x ==，∵2OE =，∴2AE x =+，∵30BAD ∠=︒， ∴3tan 3DE BAD AE ∠==，则()323DE x =+，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2223223x x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，解得12x =-，24x =，∴4OD =，23DE =，根据垂径定理得243CD DE ==．故答案是：43．10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为__________．【答案】6【解析】直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=12CD ,∠ACB 是 AB 为直径所对的圆周角，由B 求∠A=90º-∠B ，利用30角所对直角边等于斜边的一半即可求出AC O 的直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=132CD = ∠ACB=90º 60B ︒∠= ∠A=90º-∠B=30º在RtΔACE 中，AC=2CE=6故答案为：6．三、解答题11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB ＝4，CD ＝1，求⊙O 半径的长．【答案】⊙O 半径的长为52．【解析】设⊙O 的半径为r ，在Rt △ACO 中，根据勾股定理列式可求出r 的值．解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OC ＝r ﹣1，∵OD ⊥AB ，AB ＝4，∴AC ＝12AB ＝2，在Rt △ACO 中，OA 2＝AC 2+OC 2，∴r 2＝22+（r ﹣1）2， r ＝52，答：⊙O 半径的长为52． 12．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．【答案】（1）（2，0）；（2）在圆内．【解析】（1）由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ，根据图形即可得出点M 的坐标；（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM 的长，当DM 小于圆的半径时点D 在圆内．（1）如图1，点M 就是要找的圆心；圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）圆的半径AM =2224+=25．线段MD =22(52)2-+=13＜25，所以点D 在⊙M 内．13．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．【答案】18cm【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长．解：过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．∵OC ⊥AB 于点D ∴BD ＝12AB ＝12×60＝30cm ， ∵⊙O 的直径为68cm ∴OB=OC ＝34cm∵在Rt △ODB 中，OD=2222343016OB BD -=-=（cm ），∴DC ＝OC ﹣OD ＝34﹣16＝18（cm ）；答：油的最大深度为18cm ．14．如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =．（1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．【答案】（1）5；（25【解析】（1）连接OA ，根据AB=8cm ，CD=2cm ，C 为AB 的中点，设半径为r ，由勾股定理即可求出r ；（2）先求出AE 的长，根据垂径定理可知：OF ⊥AE ，FE=FA ，再利用勾股定理即可求得OF 的长．解：（1）连接OA ，如图所示∵C 为AB 的中点，8AB cm =，∴4AC cm =又∵2CD cm =设O 的半径为r ，则()22224r r -+= 解得：=5r（2）523OC OD CD =-=-=，538EC EO OC =+=+=∴22224845EA AC EC =+=+=∵OF ⊥AE ，∴FE=FA ，∴45252EA EF === ∴2225205OF EO EF =-=-=．15．1．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD ＝3：5，则AB 的长为（）A ．8B ．12C ．16D ．91【答案】C【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5求出OD 及OM 的长，再根据勾股定理可求出AM 的长，进而得出结论．【详解】连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5，∴OD ＝10，OM ＝6，∵AB ⊥CD ，∴2222106=8AM OA OM =-=-，∴AB ＝2AM ＝16．故选：C ．16.如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（）A ．6B ．10C ．211D ．43【答案】C【解析】过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出222OG OB BG =-=，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出45,222OEG OE OG ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出122OF OE ==，由勾股定理得出11DF =，即可得出答案．解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示：则1,32DF CF AG BG AB ====，∴2EG AG AE =-=，在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，∴EG OG =，∴EOG ∆是等腰直角三角形，∴45OEG ∠=︒，222OE OG ==，∵75DEB ∠=︒，∴30OEF ∠=︒，∴122OF OE ==，在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，∴2211CD DF ==；故选C ．。

2020—2021年最新沪教版(五四制)九年级数学下册同步练习：直线与圆的位置关系.docx

（新课标）沪教版五四制九年级下册27.4 圆与圆的位置关系一、课本巩固练习1、判断题。

（1）已知⊙O1与⊙O2 的半径长分别是R，2R，圆心距为d，如果1R=1，2R=2，1d=0.5，那么⊙O1与⊙O相交。

（）2（2）已知⊙O1与⊙O2的半径长分别为R，2R，如果1R=5，2R=3，且⊙O1与1⊙O相切，那么圆心距d=8.（）2（3）如果两圆相离，那么圆心距一定大于0.（）2、已知⊙O1与⊙O2的半径长分别为1，3，根据下列条件判断⊙O1与⊙O2的位置关系。

（1）O1O2=5；（2）O1O2=4；（3）O1O2=3；（4）O1O2=4；（5）O1O2=1；3、已知两圆内切，圆心距为2厘米，其中一个圆的半径长为3厘米，求另一个圆的半径长。

4、已知两圆的直径长分别为6厘米和8厘米，圆心距为14厘米，试说明这两个圆的位置关系。

5、已知△ABC中，AB=AC=2，=30∠︒，那么以顶点B为圆心，2为半径的圆B与直线AC的位置关系是什么？6、已知圆O的半径长为7，直线l平行于直线2l，且1l与圆O相切，圆心O到1直线l的距离为9，求2l与1l之间的距离。

2二、基础过关一．选择1.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（） A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <≤或5d >3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（） A ．外离 B ．外切Ｃ．相交 D ．内含4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含5.若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是（）A ．11B ．7C ．4D ．37.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（）B ． 3 1 02 4 5D ．3 1 0 24 5A ． 3 1 0 2 4 5C ． 3 1 0 2 4 58.若两圆的半径分别是2cm 和3cm,圆心距为5cm ，则这两个圆的位置关系是（）A. 内切B.相交C.外切D. 外离9.若1O ⊙与2O ⊙相切，且125O O =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（） A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 3 或710.已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（） A ．12O O =1 B ．12O O ＝5 C ．1＜12O O ＜5 D ．12O O ＞511.已知两圆的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切12.如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是( )A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3213．若两圆的直径分别是2cm 和10cm ，圆心距为8cm ，则这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm 15.如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（）A ．93π- B ．63π-C ．933π-D ．632π-16．若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（）．A ．1B ．2C ．3D ．417.图中圆与圆之间不同的位置关系（）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种二．填空18．已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是．(相切)19.已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 .（外离）20.已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是______________．21.已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是．22.已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是．23.如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________． 24.已知相切两圆的半径分别为cm 5和cm 4，这两个圆的圆心距ABO·C POB A是．25.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系为．26．已知ABC △的三边分别是a b c ，，，两圆的半径12r a r b ==，，圆心距d c =，则这两个圆的位置关系是 _____27．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心.EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为28、如图，已知⊙1O 、⊙2O 交于点A 、B ，1O A 、1O B 的延长线分别与⊙2O 交于点C 、D ，（1）求证：AC =BD ；（2）若⊙1O 的半径为5，1021=O O , 53sin 21=∠O AO ，求CD 的长。

九年级数学下册第24章圆 24.3 圆周角第2课时圆内接四边形同步练习(含解析) 沪科版

24.3 第2课时圆内接四边形一、选择题1．如图K－8－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )图K－8－1A．100° B．110° C．120° D．130°2.如图K－8－2，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 ( )图K－8－2A．115° B．105° C．100° D．95°3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D的度数为( ) A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°4．2018·邵阳如图K－8－3所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是( )图K－8－3A ．80° B．120° C．100° D．90°5.如图K －8－4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数为( )图K －8－4A ．110° B．100° C．120° D．90°6．如图K －8－5，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD ︵上，则∠AED 的度数为( )图K －8－5A ．100° B．120° C．135° D．150°7．2017·黄石如图K －8－6，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径为( )图K －8－6A.3 22 B.62C.32D.2 338．2018·黄山月考如图K －8－7，以△ABC 的一边AB 为直径的圆交AC 边于点D ，交BC 边于点E ，连接DE ，BD 与AE 相交于点F ，则sin ∠CAE 的值为( )图K －8－7A.DF ADB.CD ACC.EF AF D.DE AB二、填空题9．四边形ABCD 是某个圆的内接四边形，若∠A ＝100°，则∠C ＝________°.10．如图K －8－8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D ，则AB 与CD 的位置关系是________.链接听课例2归纳总结图K －8－811．如图K －8－9，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.图K －8－912．2018·扬州如图K －8－10，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB ＝________．图K －8－10三、解答题13．如图K －8－11所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证：(1)AD ︵＝CD ︵； (2)AB 是⊙O 的直径．图K －8－1114．2017·宿州月考如图K －8－12，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 在AD ︵上，连接BE 交AD 于点Q ，若∠AQE ＝∠EDC ，∠CQD ＝∠E .求证：AQ ＝BC .图K －8－1215．如图K －8－13所示，AB 为⊙O 的直径，弦DA ，BC 的延长线相交于点P ，且BC ＝PC . 求证：(1)AB ＝AP ；(2)BC ︵＝CD ︵.图K －8－13规律探究2017·望江县月考正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点． (1)如图K －8－14①，若点E 在AB ︵上，F 是DE 上的一点，DF ＝BE .求证：△ADF ≌△ABE ； (2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE ，BE ，AE 之间满足等量关系：DE －BE ＝2AE ，请你说明理由；(3)如图K －8－14②，若点E 在AD ︵上，写出线段DE ，BE ，AE 之间的等量关系，请你说明理由.链接听课例2归纳总结图K －8－14详解详析[课堂达标] 1．[解析] D ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠C ＋∠A ＝180°，∴∠C ＝180°－50°＝130°.故选D.2．[解析] B 因为四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，所以∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的外角，所以∠DCE ＝∠BAD ＝105°.3．[解析] C ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶6，∴设∠A ＝2a ，∠B ＝3a ，∠C ＝6a ，则2a ＋6a ＝180°，∴a ＝22.5°，∴∠B ＝3a ＝67.5°，∴∠D ＝180°－∠B ＝112.5°.故选C.4．[解析] B ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＝180°－∠BCD ＝60°.由圆周角定理得，∠BOD ＝2∠A ＝120°.故选B.5．[解析] A ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠BAC ＝20°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝70°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC ＝180°－∠B ＝110°.6．[解析] C 连接AC ，则四边形ACDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠AED ＝180°－∠ACD ＝135°.7．[解析] D 连接BD ，OB ，OD ，过点O 作OE ⊥BD 于点E.∵⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，∠BCD ＝120°， ∴∠BAD ＝60°， ∴∠BOD ＝120°. ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝2， ∴DE ＝12BD ＝1，∠DOE ＝12∠BOD ＝60°，∴OD ＝DE sin60°＝2 33.故选D.8．[解析] D ∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDE ＝∠CBA ，∠CED ＝∠CAB ，∴△CDE ∽△CBA.又∵AB 是直径，∴△ACE 是直角三角形，∴sin ∠CAE ＝CE AC ＝CD CB ＝DEAB.9．[答案] 80 10．[答案] 平行 11．[答案] 40[解析] ∵∠A ＝55°，∠E ＝30°， ∴∠EBF ＝∠A ＋∠E ＝85°. ∵∠A ＋∠BCD ＝180°，∴∠BCD ＝180°－55°＝125°. ∵∠BCD ＝∠F ＋∠CBF ，∴∠F ＝125°－85°＝40°.故答案为40.12．[答案] 2 2[解析] 在优弧AmB ︵上任取一点D ，连接AD ，BD ，OB ，OA ，∵∠ACB ＝135°，则∠ADB ＝45°，∠AOB ＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形．∵OA ＝OB ＝2，∴AB ＝2 2.13．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AD ︵＝CD ︵.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°，∴AB 是⊙O 的直径． 14．证明：∵∠A ，∠E 是BD ︵所对的圆周角， ∴∠A ＝∠E.∵∠CQD ＝∠E ，∴∠CQD ＝∠A ， ∴AB ∥CQ.∵四边形BCDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠EBC ＋∠EDC ＝180°.又∠AQB ＋∠AQE ＝180°，∠AQE ＝∠EDC ， ∴∠AQB ＝∠EBC ，∴BC ∥AQ ， ∴四边形ABCQ 是平行四边形， ∴AQ ＝BC.15．证明：(1)连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵BC ＝PC ，∴AB ＝AP. (2)连接CD ，BD ，∵四边形ACBD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠PAC ＝∠CBD.∵AB ＝AP ，AC ⊥PB ，∴∠PAC ＝∠BAC. ∵∠BAC ＝∠BDC ，∴∠BDC ＝∠CBD ， ∴BC ＝CD ，∴BC ︵＝CD ︵. [素养提升]解：(1)证明：∵AE ︵所对的圆周角是∠ADE 和∠ABE ，∴∠ADE ＝∠ABE. 在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABE ，DF ＝BE ，∴△ADF≌△ABE(SAS)．(2)由(1)得△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即DE－DF＝2AE，∴DE－BE＝2AE.(3)BE－DE＝2AE.理由如下：在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF.同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF是等腰直角三角形，∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即BE－BF＝2AE，∴BE－DE＝2AE.。

2020九年级数学下册小专题(二)与圆的基本性质有关的解答题习题 (新版)沪科版

小专题（二）与圆的基本性质有关的解答题（中考中常出现与圆的基本性质相关的解答题，难度中等，有时会与动点结合．）1．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，连接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°.（1）求证：BD ＝CD ；（2）若⊙O 的半径为3，求BC ︵的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠DCB ＋∠BAD＝180°. ∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°. ∵∠DBC ＝75°， ∴∠DCB ＝∠DBC. ∴BD ＝CD.（2）∵∠DCB＝∠DBC＝75°， ∴∠BDC ＝30°.由圆周角定理，得BC ︵的度数为60°，故BC ︵的长为60π×3180＝π.2．如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆上两点，且OD∥AC，OD 与BC 交于点E.（1）求证：E 为BC 的中点；（2）若BC ＝8，DE ＝3，求AB 的长度．解：（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C ＝90°. ∵OD ∥AC ，∴∠OEB ＝∠C＝90°. ∴OD ⊥BC. ∴BE ＝CE.∴E 为BC 的中点．（2）设圆的半径为x ，则OB ＝OD ＝x ，OE ＝x －3，在Rt △BOE 中，OB 2＝BE 2＋OE 2， ∵BE ＝12BC ＝4，∴x 2＝42＋（x －3）2，解得x ＝256.∴AB ＝2x ＝253.3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，C 为BM ︵的中点．（1）求证：CB∥MD；（2）若BC ＝4，AB ＝6，求BN 的长．解：（1）证明：∵CD⊥AB， ∴BC ︵＝BD ︵. ∵C 为BM ︵的中点， ∴BC ︵＝CM ︵. ∴BD ︵＝CM ︵.∴∠CBM ＝∠M. ∴CB ∥MD.（2）连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠BNC ＝90°，BD ︵＝BC ︵. ∴∠BCD ＝∠BAC. ∴△BCN ∽△BAC. ∴BN BC ＝BC AB ，即BN 4＝46. ∴BN ＝83.4．（2017·安徽）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D，AD 不平行于BC ，过点C 作CE∥AD 交△ABC 的外接圆⊙O 于点E ，连接AE.（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）连接CO ，求证：CO 平分∠BCE.证明：（1）由圆周角定理得∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠ECD＝180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形．（2）过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又∵AD＝BC，∴CE＝CB.∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.5．（2018·宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．解：（1）证明：∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB ＝90°， ∵AB ＝AC. ∴CE ＝BE. 又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形．又∵AB＝AC ，∴四边形ABFC 是菱形．（2）∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，∴设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x ，BC ＝4. 连接BD ，∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，即（7＋x ）2－72＝42－x 2.解得x 1＝1，x 2＝－8（舍去）． ∴BD ＝15.∴S 半圆＝12×π×42＝8π，S 菱形＝8×15＝815.6．（2015·安徽中考变式）已知⊙O 的直径AB ＝12，点C 是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P 是弦BC 上一动点，过点P 作PD⊥OP 交⊙O 于点D.（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD 的长；（2）如图2，当BP 平分∠OPD 时，求PC 的长．解：（1）连接OD.∵直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6. ∵PD ⊥OP ，∴∠DPO ＝90°.∵PD ∥AB ，∴∠DPO ＋∠POB＝180°. ∴∠POB ＝90°.又∵∠ABC＝30°，OB ＝6，∵在Rt △POD 中，PO ＋PD ＝OD ， ∴（23）2＋PD 2＝62. ∴PD ＝2 6.（2）过点O 作OH⊥BC，垂足为H. ∵OH ⊥BC ，∴∠OHB ＝∠OHP＝90°. ∵∠ABC ＝30°，OB ＝6，∴OH ＝12OB ＝3，BH ＝OB·cos 30°＝3 3.∵在⊙O 中，OH ⊥BC ， ∴CH ＝BH ＝3 3. ∵BP 平分∠OPD， ∴∠BPO ＝12∠DPO＝45°.∴PH ＝OH ＝3.∴PC ＝CH －PH ＝33－3.。

精品试题沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练试题(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（）A ．5cmB ．6cmC ．D ．2、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（）A ．1cmB ．2cmC ．D ．4cm3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．54 B ．1 C ．2 D ．525、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π6、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°7、如图，AB 为O 的直径，4AB =，CD =BC 的长是劣弧BD 长的2倍，则AC 的长为（）A ．B ．C ．3D ．8、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到AB C ''△，则图中阴影部分面积为（）A ．4πB ．8π-C ．4π-D ．9、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，若∠BAC ＝30°，BC ＝2，则AB 的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A．7(,0)3-B．17(,0)3-C．7(,0)3-或17(,0)3-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．2、在平面直角坐标系中，将点(2,7)P-绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q，则点Q的坐标是___________．3、如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，AB ＝10，BC ＝12，D 是BC 上一点，CD ＝5，则AD 的长为______．4、如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，若58P ∠=︒，则ACB ∠的度数为________．5、AB 是O 的内接正六边形一边，点P 是优弧AB 上的一点（点P 不与点A ，B 重合）且BP OA ∥，AP 与OB 交于点C ，则OCP ∠的度数为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA ＝∠C ．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．2、如图，ABC内接于O，BC是O的直径，D是AC延长线上一点．∠的角平分线交O于点P．（保留作图痕迹，不写作法）（1）请用尺规完成基本作图：作出DCB⊥，垂足为E．则PE与O有怎样的位置关系？请说明（2）在（1）所作的图形中，过点P作PE AC理由．3、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）4、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若BE=5，DE=13，求AB的长-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．2、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB 于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2），即1432AB OM， 134322r r ，解得r =4，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．3、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．5、D【分析】根据垂径定理求得CE =EDCOE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CDCEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===，又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．6、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、D【分析】连接,,OC OD BC ，根据AB 求得半径,OC OD ，进而根据CD 的长，勾股定理的逆定理证明90COD ∠=︒，根据弧长关系可得60COB ∠=︒，即可证明COB △是等边三角形，求得2BC =，进而由勾股定理即可求得AC【详解】如图，连接,,OC OD BC ，4AB =2OC OD ∴==228OC OD +=，28CD =∴222OC OD CD +=OCD ∴是直角三角形，且90COD ∠=︒2CB DB ∴=23BC CD ∴= 2603BOC COD ∴∠=⨯∠=︒ OC OB =OBC ∴是等边三角形2BC OC ∴== AB 是直径，4AB =90ACB ∴∠=︒AC ∴=故选D【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得BC 的长是解题的关键．8、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．9、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10、C【分析】由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x =0，得y =-3，令y =0，得x =-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC的外接圆，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，∴在圆上运动，D当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作AB的垂线交于点E，如图：=∠=︒，4120AB ADB∴∠=︒=30,DBE BE12DE BD ∴=，在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．3、3【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，根据圆周角定理可得∠ACB =∠B =∠D ，AB =AC =10，再由等腰三角形的性质可知BE =CE =6，根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△CDF ，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE 、DF 、CF ， AF 即可求解．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，则∠AEB =∠CFD =90°，∵AB ＝AC ， AB ＝10，∴∠ACB =∠B =∠D ，AB=AC=10，∵AE ⊥BC ，BC =12，∴BE=CE=6，∴8AE ===，∵∠B =∠D ，∠AEB =∠CFD =90°，∴△ABE ∽△CDF ， ∴AB BE AE CD DF CF==， ∵AB =10，CD =5，BE =6，AE =8， ∴10685DF CF==，解得：DF =3，CF =4，在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，AC =10，CF=4，则AF =∴AD=DF+AF=3＋故答案为：3＋【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．4、61︒【分析】根据已知条件可得出90OAP OBP ∠=∠=︒，122AOB ∠=︒，再利用圆周角定理得出1612C AOB ∠=∠=︒即可．【详解】解：PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，180********AOB P ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，111226122C AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：61︒．【点睛】本题考查的知识点是切线的性质以及圆周角定理，掌握以上知识点是解此题的关键．5、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键三、解答题1、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=，即863BC =， 94BC ∴=．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．2、（1）作图见解析（2）PE 是O 的切线，理由见解析【分析】（1）如图1所示，以点C 为圆心，大于OC 为半径画弧，交BC 于点N ，交CD 于点M ；分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长度为半径画弧，交点为G ，连接CG 即为DCB ∠角平分线，与O 的交点即为点P ．（2）如图2所示，连接、OP BP ，由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠，12DCP PCO ECO ∠=∠=∠；在四边形CEPO 中，=3603609022OPE PEC ECO POC PCO PBO ∠︒-∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠，90PCO PBO ∠+∠=︒，求出90OPE ∠=︒，得出OP PE ⊥，由于OP 是半径，故有PE 是O 的切线．（1）解：如图1所示（2）解：PE 是O 的切线．如图2所示，连接、OP BP由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠， 12DCP PCO ECO ∠=∠=∠ 在四边形CEPO 中=360OPE PEC ECO POC ∠︒-∠-∠-∠3609022PCO PBO =︒-︒-∠-∠∵90PCO PBO ∠+∠=︒∴3609029090OPE ∠=︒-︒-⨯︒=︒∴OP PE ⊥又∵OP 是半径∴PE 是O 的切线【点睛】本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用．3、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC 的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1）解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π；（2）解：∵阴影部分的面积＝S 半圆+S 扇形BAC ﹣S 半圆＝S 扇形BAC ， ∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π．答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇． 4、（1（2 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，PG =的面积公式即可得到结论．（1）解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠，BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠，()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，BH GH ∴=，即点H 是BG 中点，又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB==，1BQ∴=，30BCQ∴∠=︒，90ECG∠=︒，60GCM∴∠=︒，1 CG AB CD===，GM ∴=12 CM=，BG∴=（2）解：如图3，连接DB，DG，过G作GP BC⊥交BC的延长线于P，GN DC⊥交DC的延长线于N，24BC AB==，2AB∴=，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE ，12CD CE ∴=， 30DEC ∴∠=︒，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =，1NG ∴=，PG =5DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+BG2DBG S DM BG ∆∴= 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．5、（1）见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∵△ACD ≌△BCE ，∴BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，∴∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，∴12BD ==，∴AB =AD +BD =17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。

2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练练习题(含详解)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m2、下列语句判断正确的是（）A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π4、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的135、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（）A ．5B ．8C ．9D ．106、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°7、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（）A．60 B．90 C．120 D．1808、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．AB cm，则水的最大9、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．（1）点M 的纵坐标为______；（2）当APB ∠最大时，点P 的坐标为______．3、在平面直角坐标系中，点()2,2C ，圆C 与x 轴相切于点A ，过A 作一条直线与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，则OM 的最大值为______．4、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．5、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，将AC 边绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，得到线段AD ，连接BD 交AC 边于点E ，过点C 作CF BD ⊥于点F ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：D ACG ∠=∠；（2）如图2，当60α=︒时，求证：AG =；（3）如图3，当45α=︒时，请直接写出2222EF DF AG DG ++的值． 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕着点B 逆时针旋转得到△FBE ，点C ，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．3、如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．4、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠=∠．下∠交⊙O于点D，连接BD，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E．则CAD BDEBAC∠=∠的部分过程：面是证明CAD BDE证明：如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+①________90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，②________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠，CAD ∴∠=③________，CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若5,2OA BE ==，求DE 的长．5、在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2．点P ，Q 为O 外两点，给出如下定义：若O 上存在点M ，N ，使得P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为矩形，则称点P ，Q 是O 的“成对关联点”．（1）如图，点A ，B ，C ，D 横、纵坐标都是整数．在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是______；（2）点)(,E t t 在第一象限，点F 与点E 关于x 轴对称．若点E ，F 是O 的“成对关联点”，直接写出t 的取值范围；（3）点G 在y 轴上．若直线4y =上存在点H ，使得点G ，H 是O 的“成对关联点”，直接写出点G 的纵坐标G y 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，当O ，P 共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．2、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B，C，D都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．3、D【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CD CEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===，又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．4、A【分析】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ，则变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ， ∴原来扇形的面积为2360n r π， ∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ， ∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n r ππ=， ∴扇形的面积不变．故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．5、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-= 故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、B【分析】设∠ADC =α，∠ABC =β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012 ，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC =α，∠ABC =β；∵四边形ABCO 是菱形，∴∠ABC =∠AOC β=；∴ ∠ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴ 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.7、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°．故选C．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．8、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD3=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．二、填空题1【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．【详解】如图所示，ABC 是正三角形，故O 是ABC 的中心，60CAB ∠=︒，∵正三角形的边长为2，OE ⊥AB∴112AE AB ==，1302OAE CAB ∠=∠=︒， ∴12OE OA =，由勾股定理得：222AO AE OE =+， ∴2221()2AO AE AO =+， ∴2314AO =，∴AO =负值舍去)．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．2、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD =90°，∴四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ，由勾股定理，得MD 4=，∴OP =MD =4，∴点P 的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．31##【分析】如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点B'，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到12OM BD=，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到B'时，BD有最小值B D'，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点B'∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，∴点A的坐标为（2，0），∴OA=OD=2，即O是AD的中点，又∵M是AB的中点，∴OM是△ABD的中位线，∴12OM BD =，∴当BD 最小时，OM 也最小，∴当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，∵C （2，2），D （-2，0），∴CD ==∴=2B D CD CB ''-=，∴1OM =，1．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM 的最小值转换成求BD 的最小值是解题的关键．4-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．5、②③④【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】解：12,22CD AB CF BC ====， Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45CFD ∴∠=︒，当P 在F 点的左边时，180135EFP CFD ∴∠=︒-∠=︒，当P 在F 点的右边时，45EFP CFD ∴∠=∠=︒，故①错误；⊥，过点E作EG BC在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，∠+∠=∠+∠=︒，90 APB BAP APB EPG∴∠=∠，BAP EPG∴≌，()Rt ABP Rt PGE AAS∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，45EFG即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DFDCE ECF∴∠=∠=︒，45∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EF2CF=，由勾股定理：222+=，CE EF CFCE∴=故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．三、解答题1、（1）见解析（2）见解析（3）23【分析】（1）由旋转的性质得AB =AD ，所以D ABD ∠=∠，再根据三角形内角和定理可证明ABD ACG ∠=∠即可得到结论；（2）连接EG ，根据ASA 证明ACG ≌ADE 得AG AE =，AEG △是等边三角形，从而得出DG CE =，再运用AAS 证明CEF △≌DGF △得EF GF =，由勾股定理可得出GE ，从而可得结论；（3）证明BD 平分ABC ∠，作EM BC ⊥于点M ，根据勾股定理得2222222EF DF CE AE AG +===，代入求值即可．（1）∵AC 边绕着点A 逆时针旋转得到线段AD ，∴AD AC =．∵AB AC =，∴AD AB =．∴D ABD ∠=∠．∵CF BD ⊥，∴90CFE BAC ∠=∠=︒又90CFE CEF ECF ABE AEB AEB ∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，且∠AEB =∠CEF∴ABD ACG ∠=∠．∴D ACG ∠=∠．（2）连接EG ．在ACG 和ADE 中，∵ACG D AC AD CAG DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACG ≌ADE （ASA ）．∴AG AE =．∴AD AG AC AE -=-，即DG CE =．在CEF △和DGF △中，∵ACG D CFE DFG CE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CEF △≌DGF △（AAS ）．∴EF GF =．∵CG BD ⊥，∴在Rt EFG 中，22222GE EF FG EF =+=，即GE =．∵60CAD ∠=︒，AG AE =，∴AEG △是等边三角形．∴AG GE ==．（3）222223EF DF AG DG +=+． ∵45CAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，∴135BAD ∠=︒∵22.5D ABD ∠=∠=︒．∵45ABD CBD ∠+∠=︒，∴22.5CBD ∠=︒．∴BD 平分ABC ∠．作EM BC ⊥于点M ，∴EM AE CM ==．∴在Rt CEM 中，2222222CE CM EM EM AE =+==．∵ACG ≌ADE ，CEF △≌DGF △，∴AG AE =，DF CF =，DG CE =．∴在Rt CEF 中，22222CE EF CF EF DF =+=+，∵222222DG CE AE AG ===， ∴22222222223EF DF AG AG DG AG AG +==++．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．2、（1）65°（2）【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．【小题1】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，（180°-50°）=65°；∴∠BAF=∠BFA=12【小题2】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE=BC=6，EF=AC=8，∴AE=AB-BE=10-6=4，∴AF=【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3、（1）中心（2）见解析【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可；（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形，故答案为：中心；（2）如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；图3既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可．4、（1）ODB ∠，ODA BDE ∠=∠，ODA ∠；（2）DE =【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，得到ODA ∠+∠ODB 90=︒．再由DE 为⊙O 的切线，得到90ODB BDE ∠+∠=︒，即可推出∠ODA =∠BDE ，由角平分线的定义可得CAD OAD ∠=∠，由OA OD =，得到OAD ODA ∠=∠，即可证明CAD BDE ∠=∠；（2）在直角△ODE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+∠ODB 90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，∠ODA =∠BDE ． AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠．OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴CAD ∴∠=∠ODA ，CAD BDE ∴∠=∠．故答案为：① ODB ∠，② ODA BDE ∠=∠，③ ODA ∠；（2）DE 为O 的切线，90ODE ∴∠=︒．5OA =，5OD OB OA ∴===，2BE =，7OE OB BE ∴=+=．在Rt ODE △中，DE =【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．5、（1）B 和C ；（22t ≤≤；（3）42G y <≤+【分析】（1）根据图形可确定与点A 组成O 的“成对关联点”的点；（2）如图，点E 在直线y x =上，点F 在直线y x =-上，当点E 在线段01E E 上，点F 在线段01F F 上时，有O 的“成对关联点”，求出即可得出t 的取值范围；（3）分类讨论：点G 在4y =上，点G 在4y =的下方和点G 在4y =的上方，构造O 的“成对关联点”，即可求出G y 的取值范围．【详解】（1）如图所示：在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是B 和C ，故答案为：B 和C ；（2）∵(,)E t t∴(,)E t t 在直线y x =上，∵点F 与点E 关于x 轴对称，∴(,)F t t -在直线y x =-，如下图所示：直线y x =和y x =-与O 分别交于点0E ，0F ，与直线2x =分别交于1E ，1F ，由题可得：0E ，当点E 在线段01E E 上时，有O 的“成对关联点”2t ≤≤；（3）如图，当点G 在4y =上时，GH x ∥轴，在O 上不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =下方时，也不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =上方时，存在这样的矩形GMNH ，当恰好只能构成一个矩形时，设(0,)G m ，直线4y =与y 轴相交于点K ，则GHK OGM ∠=∠，2OM =，OG m =，4GH MN ==，4GK m =-，∴sin sin GHK OGM ∠=∠，即GK OM GH OG=，∴424m m-=，解得：2m =+2m =-，综上：当42G y <≤+G ，H 是O 的“成对关联点”．【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．。

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专训1：圆的基本性质名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．弦、弧之间的关系1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第2题)2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则下列结论正确的是( )A ．AB>2CDB ．AB ＝2CDC ．AB<2CD D ．以上都不正确3．如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等，求证：AD ︵＝BC ︵.(第3题)圆周角、圆心角之间的关系4．如图，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，且∠CAB ＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第4题)弧、圆周角之间的关系5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．(第5题)弦、圆心角之间的关系6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．(第6题)弦、弧、圆心角之间的关系7．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．【导学号：31782088】(第7题)专训2：垂径定理的四种应用技巧名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，C D⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【导学号：31782089】(第2题)巧用垂径定理证明3．如图，在△AOB中，OA＝OB，以点O为圆心的圆交AB于C，D两点．求证：AC＝BD.(第3题)巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案专训11．C 点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确． 2．C3．证明：∵AB＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.4．证明：在⊙O 中，∠CAB，∠COB 是CB ︵所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA .又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.5．解：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ADC，∠ABC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°.6．解：BD ＝DE ＝EC.理由如下：连接OD ，OE. ∵OB＝OD ＝OE ＝OC ，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD 与△COE 都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°，∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE ＝EC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD ，OE ，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7．解：四边形OBDC 是菱形，理由如下：连接AD ，设AD 与BC 交于P 点， ∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵.同理BD ︵＝CD ︵，∴AB ︵＋BD ︵＝AC ︵＋CD ︵，即ABD ︵和ACD ︵都是半圆．∴AD 为⊙O 的直径，即AD 过圆心O.∵AB＝BC ＝CA ，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD ＝BD ，OC ＝CD ＝DO.∴OB＝OC ＝BD ＝CD ，∴四边形OBDC 是菱形．专训2(第1题)1．解：如图，连接CM ，作MN⊥CD 于N ，CH⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形， ∴CD＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN⊥CD ，∴CN＝DN ＝12CD ＝4.∵OA＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3. ∴CH＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．(第2题)(第3题)3．证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E ，则CE ＝DE. ∵OA＝OB ，∴AE＝BE. ∵AE－CE ＝BE －DE ， ∴AC＝BD.4．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，ON ，作OD⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．(第4题)设OA ＝r m ，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4) m ，AD ＝12AB ＝3.6 m .在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m )．所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m )．因为2.1 m ＞2 m ，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。

2020学年上海市沪教版九年级第二学期第二十七章圆与正多边形同步练习题含答案

九年级第二学期第二十七章圆与正多边形同步练习题姓名：班级：一、选择题1．若A e 的半径为5，圆心A 的坐标是(1,2)，点P 的坐标是(5,2)，那么点P 的位置为( )A ．在A e 内B ．在A e 上C ．在A e 外D ．不能确定2．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( )A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <…或5d >3．已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =．C e 的半径长为12，下列说法正确的是( )A ．C e 与直线AB 相交 B ．C e 与直线AD 相切 C ．点A 在C e 上D ．点D 在C e 内4．已知1O e 和2O e ，其中1O e 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于( ) A ．1B ．4C ．5D ．85．如图，已知30POQ ∠=︒，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的A e 与直线OP 相切，半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是( )A ．59OB <<B ．49OB <<C ．37OB <<D ．27OB <<6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果6AB =，4BC =，那么分别以AD 、BE 为直径的M e 与N e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含8．如图，在O e 的内接四边形ABCD 中，AB 是O e 的直径，120BCD ∠=︒，过点D 的切线PD 与直线AB 交于点P ，则P ∠的度数为( )A ．90oB ．60oC ．40oD ．30o9．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，tan 2B =，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作D e ，如果点B 在D e 内，点C 在D e 外，那么r 可以取( )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，4AB =，6BC =，点O 是边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是( )A ．1343OC <…B ．1343OC剟 C ．1443OC <…D ．1443OC剟二．填空题（共10小题）11．边长为6的正六边形的边心距为．12．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．13．如图，已知BD 是O e 的直径，点A 、C 在O e 上，¶¶AB BC=，60AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是度．14．如图，点A 、B 、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么AOC ∠度数为度．15．如图，已知AB 是O e 的弦，C 是¶AB 的中点，联结OA ，AC ，如果20OAB ∠=︒，那么CAB ∠的度数是．16．已知正多边形的边长为a ，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是．（用含字母a 的代数式表示）．17．如图，AB 是O e 的弦，30OAB ∠=︒．OC OA ⊥，交AB 于点C ，若6OC =，则AB 的长等于．18．已知1O e 的半径为4，2O e 的半径为R ，若1O e 与2O e 相切，且1210O O =，则R 的值为．19．如图，在ABC ∆中，2AB =，2AC =，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是度．20．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，10BC =，6AB =，如果准外心P 在AC 边上，那么PA 的长为．三．解答题（共6小题）21．如图，已知AB 是O e 的弦，C 是¶AB 的中点，8AB =，25AC =，求O e 半径的长．22．如图，点C 在O e 的直径BA 的延长线上，2AB AC =，CD 切O e 于点D ，连接CD ，OD ．（1）求角C 的正切值：（2）若O e 的半径2r =，求BD 的长度．23．已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F ．（1）求证：BAD CBF ∠=∠；（2）如果OD DB =．求证：AF BF =．24．如图，以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC 边上的中点，连接DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求BD 的长．25．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，以AC 为直径作圆O ，与BC 交于点E ，过点E 作ED AB ⊥，垂足为点D ，（1）求证：DE 为O e 的切线；（2）过O 点作EC 的垂线，垂足为H ，求证：EH BE BD CO =g g ．26．已知圆O的直径12AB=，点C是圆上一点，且30∠=︒，点P是弦BC上一动点，ABC过点P作PD OP⊥交圆O于点D．（1）如图1，当//PD AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分OPD∠时，求PC的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．若A e 的半径为5，圆心A 的坐标是(1,2)，点P 的坐标是(5,2)，那么点P 的位置为( )A ．在A e 内B ．在A e 上C ．在A e 外D ．不能确定解：Q 圆心A 的坐标是(1,2)，点P 的坐标是(5,2)，45AP ∴==<，∴点P 在A e 内，故选：A ．2．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( )A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <…或5d >解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，外离时的数量关系应满足5d >；内含时的数量关系应满足01d <…．故选：D ．3．已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =．C e 的半径长为12，下列说法正确的是( )A ．C e 与直线AB 相交 B ．C e 与直线AD 相切 C ．点A 在C e 上D ．点D 在C e 内解：Q 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，13AC =，5AB =，12BC ∴===，C Q e 的半径长为12， C ∴e 与直线AB 相切，故A 选项不正确， 512CD AB ==<Q ， C ∴e 与直线AD 相交，故B 选项不正确， 1312AC =>Q ， ∴点A 在C e 外，故C 选项不正确， 512CD =<Q ， ∴点D 在C e 内，故D 选项正确，故选：D ．4．已知1O e 和2O e ，其中1O e 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于( ) A ．1B ．4C ．5D ．8解：Q 两圆相内切，设小圆半径为x ，圆心距为2， 32x ∴-=， 1x ∴=， ∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：134+=．故选：B ．5．如图，已知30POQ ∠=︒，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的A e 与直线OP 相切，半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是( )A ．59OB <<B ．49OB <<C ．37OB <<D ．27OB <<解：设A e 与直线OP 相切时切点为D ，连接AD ， AD OP ∴⊥，30O ∠=︒Q ，2AD =， 4OA ∴=，当B e 与A e 相内切时，设切点为C ，如图1，3BC =Q ，4325OB OA AB ∴=+=+-=；当A e 与B e 相外切时，设切点为E ，如图2， 4239OB OA AB ∴=+=++=，∴半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是：59OB <<，故选：A ．6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果6AB =，4BC =，那么分别以AD 、BE 为直径的M e 与N e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切解：如图所示：连接MN ，可得M 是AD 的中点，N 是BE 的中点，则MN 是梯形ABED 的中位线，则1() 4.52MN AB DE =+=，3EC =Q ，4BC AD ==， 5BE ∴=，则N e 的半径为2.5， M e 的半径为2，则2 2.5 4.5+=．故M e 与N e 的位置关系是：外切．故选：B ．7．在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含解：如图，//DE BC Q ， ∴DE ADBC AB=， 12BC =Q ，2AD BD =， ∴2123DE =，8DE =， D Q e 的半径为6AD =，E e 的半径2CE =， 628AD CE DE ∴+=+==，∴以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是外切，故选：B．8．如图，在O∠=︒，过点D的切BCDe的内接四边形ABCD中，AB是Oe的直径，120线PD与直线AB交于点P，则P∠的度数为()A．90o B．60o C．40o D．30o解：连接OD，如图，Q，∠+∠=︒180BAD BCD∴∠=︒-︒=︒，BAD18012060Q，OA OD=∴∆是等边三角形，AOD∴∠=︒，AOD60Q为切线，PD∴⊥，OD PD∴∠=︒，90ODP∴∠=︒-∠=︒-=︒，90906030P AOD故选：D．9．如图，在ABCBC=，tan2B=，以AB的中点D为圆心，r为半径=，4∆中，AB AC作De外，那么r可以取()e，如果点B在De内，点C在DA．2B．3C．4D．5解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，连接CD 交AF 于点G ，AB AC =Q ，4BC =，2BF CF ∴==，tan 2B =Q ， ∴2AF BF =，即4AF =， 222425AB ∴=+=，D Q 为AB 的中点，5BD ∴=，G 是ABC ∆的重心，1433GF AF ∴==， 224213()233CG ∴=+=， 3132CD CG ∴==， Q 点B 在D e 内，点C 在D e 外，∴513r <<，故选：B ．10．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，4AB =，6BC =，点O 是边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是( )A ．1343OC <…B ．1343OC 剟 C ．1443OC <…D ．1443OC 剟解：作DE BC ⊥于E ，如图所示：则4DE AB ==，2BE AD ==，4CE DE ∴==，当O e 与边AD 相切时，切点为D ，圆心O 与E 重合，即4OC =；当OA OC =时，O e 与AD 交于点A ，设OA OC x ==，则6OB x =-，在Rt ABO ∆中，由勾股定理得：2224(6)x x +-=，解得：133x =； ∴以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是1343x剟；故选：B ．二．填空题（共10小题）11．边长为6的正六边形的边心距为 33 ．解：如图所示，此正六边形中6AB =，则60AOB ∠=︒；OA OB =Q ，OAB ∴∆是等边三角形，OG AB ⊥Q ，30AOG ∴∠=︒，3cos306332OG OA ∴=︒=⨯=g ，故答案为33．12．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 24017 ．解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于22217158=+，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高8151201717⨯==，故公共弦长12024021717=⨯=，故答案为24017． 13．如图，已知BD 是O e 的直径，点A 、C 在O e 上，¶¶AB BC=，60AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是 120 度．解：Q ¶¶AB BC=，60AOB ∠=︒， 60BOC AOB ∴∠=∠=︒，BD Q 是O e 的直径，180BOD ∴∠=︒，180120COD BOC ∴∠=︒-∠=︒．故答案为 120 ．14．如图，点A 、B 、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么AOC ∠度数为 120 度．解：Q 弦AC 与半径OB 互相平分，OA AB∴=，OA OC=Q，OAB∴∆是等边三角形，60AOB∴∠=︒，120AOC∴∠=︒，故答案为120．15．如图，已知AB是Oe的弦，C是¶AB的中点，联结OA，AC，如果20OAB∠=︒，那么CAB∠的度数是35︒．解：连接OC交AB于E．CQ是¶AB的中点，OC AB∴⊥，90AEO∴∠=︒，20BAO∠=︒Q，70AOE∴∠=︒，OA OC=Q，55OAC C∴∠=∠=︒，35CAB OAC OAB∴∠=∠-∠=︒，故答案为35︒．16．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是32．（用含字母a的代数式表示）．解：Q正多边形的一个外角是其内角的一半，∴设外角为x ︒，则内角为2x ︒，2180x x ∴+=，60x =，∴这个正多边形的边数是360606÷=，∴它的中心角60=︒，∴正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，∴它的半径为a ，∴此正多边形的边心距是32a ，故答案为：32a ． 17．如图，AB 是O e 的弦，30OAB ∠=︒．OC OA ⊥，交AB 于点C ，若6OC =，则AB 的长等于 18 ．解：过O 点作OD AB ⊥于D ，30OAB ∠=︒Q ．OC OA ⊥，6OC =，63OA ∴=，OD AB ⊥Q ，36392AD ∴=⨯=， 9218AB ∴=⨯=．故答案为：18．18．已知1O e 的半径为4，2O e 的半径为R ，若1O e 与2O e 相切，且1210O O =，则R 的值为 6或14cm ．解：当1O e 和2O e 内切时，2O e 的半径为10414cm +=；当1O e 和2O e 外切时，2O e 的半径为1046cm -=；故答案为：6或14cm ．19．如图，在ABC ∆中，2AB =，2AC =，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 105 度．解：设圆A 与BC 切于点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，在直角ABD ∆中，2AB =，1AD =，则1sin 2AD B AB ==， 30B ∴∠=︒，60BAD ∴∠=︒，同理，在直角ACD ∆中，12tan 22C ==，得到45CAD ∠=︒，因而BAC ∠的度数是105︒．故答案为：105．20．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，10BC =，6AB =，如果准外心P 在AC 边上，那么PA 的长为 4或74 ．解：在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒Q ，10BC =，6AB =，22221068AC BC AB ∴=-=-=，若PB PC =，连结PB ，设PA x =，则8PB PC x ==-，在Rt PAB ∆中，222PB AP AB =+Q ，222(8)6x x ∴-=+，74x ∴=，即74PA =，若PA PC =，则4PA =，若PA PB =，由图知，在Rt PAB ∆中，不可能，故PA 的长为：4或74．三．解答题（共6小题）21．如图，已知AB 是O e 的弦，C 是¶AB 的中点，8AB =，25AC =O e 半径的长．解：如图，连接OA ，连接OC 交AB 于D ．设O e 的半径为r ．Q ¶¶AC BC =， OC AB ∴⊥， 142AD DB AB ∴===，在Rt ACD ∆中，222CD AC AD =-=，在Rt ADO ∆中，222OA AD OD =+Q ，22(2)16r r ∴=-+，解得5r =．O ∴e 的半径为 5 ．22．如图，点C 在O e 的直径BA 的延长线上，2AB AC =，CD 切O e 于点D ，连接CD ，OD ．（1）求角C 的正切值：（2）若O e 的半径2r =，求BD 的长度．解：（1）CD Q 切O e 于点D ，CD OD ∴⊥，又2AB AC =Q ， 12OD AO AC CO ∴=== 30C ∴∠=︒3tan 3C ∴∠=；（2）连接AD ，AB Q 是直径，90ADB ∴∠=︒，903060DOA ∠=︒-︒=︒Q ，又OD OA =Q ，DAO ∴∆是等边三角形．2DA r ∴==，224223DB ∴=-=．23．已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F ．（1）求证：BAD CBF ∠=∠；（2）如果OD DB =．求证：AF BF =．【解答】（1）证明：如图1所示：AB AC =Q ，ABC C ∴∠=∠，Q 直线AD 经过圆心O ，AD BC ∴⊥，BD CD =，Q 点E 为弦AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线．//DE AC ∴，BF DE ⊥Q ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒，90CBF ACB ∴∠+∠=︒．AB AC =Q ，ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，又AD BC ⊥Q ，90BAD ABC ∴∠+∠=︒，BAD CBF ∴∠=∠；（2）证明：连接OB ．如图2所示：AD BC ⊥Q ，OD DB =，ODB ∴∆是等腰直角三角形，45BOD ∴∠=︒．OB OA =Q ，OBA OAB ∴∠=∠．BOD OBA OAB ∠=∠+∠Q ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒， AB AC =Q ，且AD BC ⊥，245BAC BAO ∴∠=∠=︒．290∠=︒Q ，即BF AC ⊥，∴在ABF ∆中，904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠，AF BF ∴=．24．如图，以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC 边上的中点，连接DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求BD 的长．【解答】证明：（1）DE 与半圆O 相切，理由为：连接OD ，BD ，如图所示：AB Q 为圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒，在Rt BDC ∆中，E 为BC 的中点，12DE BE BC ∴==， EBD EDB ∴∠=∠，OB OD =Q ，OBD ODB ∴∠=∠，又90ABC ∠=︒，即90OBD EBD ∠+∠=︒，90EDB ODB ∴∠+∠=︒，即90ODE ∠=︒，DE ∴为圆O 的切线；解：（2）方程210240x x -+=，因式分解得：(4)(6)0x x --=，解得：14x =，26x =，AD Q 、AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，且AB AD >， 4AD ∴=，6AB =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理得：2225BD AB AD =-=．25．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，以AC 为直径作圆O ，与BC 交于点E ，过点E 作ED AB ⊥，垂足为点D ，（1）求证：DE 为O e 的切线；（2）过O 点作EC 的垂线，垂足为H ，求证：EH BE BD CO =g g ．【解答】（1）证明：连接OE ，AB AC =Q ，B C ∴∠=∠（1分）OC OE =Q ，C CEO ∴∠=∠，（1分） B CEO ∴∠=∠，//AB EO ∴，（1分） DE AB ⊥Q ，EO DE ∴⊥，（1分） EO Q 是圆O 的半径，D ∴为O e 的切线．（1分）（2）解：OH BC ⊥Q ，EH HC ∴=，90OHC ∠=︒（1分）B C∠=∠Q，90BDE CHO∠=∠=︒BDE CHO∴∆∆∽，∴BD BECH CO=（1分）EH HC=Q，EH BE BD CO∴=g g．（1分）26．已知圆O的直径12AB=，点C是圆上一点，且30ABC∠=︒，点P是弦BC上一动点，过点P作PD OP⊥交圆O于点D．（1）如图1，当//PD AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分OPD∠时，求PC的长．解：如图1，联结ODQ直径12AB=6OB OD∴==PD OP⊥Q90DPO∴∠=︒//PD ABQ180DPO POB∴∠+∠=︒90POB∴∠=︒又30ABC∠=︒Q，6OB=∴tan 3023OP OB =︒=g Q 在Rt POD ∆ 中，222PO PD OD += ∴222(23)6PD += ∴26PD =（2）如图2，过点O 作OH BC ⊥，垂足为H OH BC ⊥Q90OHB OHP ∴∠=∠=︒ 30ABC ∠=︒Q ，6OB = ∴132OH OB ==，cos3033BH OB =︒=g Q 在O e 中，OH BC ⊥ ∴33CH BH == BP Q 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ∠=∠=︒ cot 453PH OH ∴=︒=g ∴333PC CH PH =-=-．。

沪科版九年级(下) 中考题同步试卷：26.7 圆与圆的位置关系(01)

的位置关系是（）
A．外切
B．相交
C．内含
D．内切
二、填空题（共 7 小题）
24．在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D
内，那么⊙D 的半径长可以等于
．（只需写出一个符合要求的数）
25．相切两圆的半径分别是 5 和 3，则该两圆的圆心距是
A．2
B．4
C．2 或 4
D．无法确定
10．已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别是 3cm 和 5cm，两圆的圆心距为 4cm，则两圆的位置关系是（）
A．相交
B．内切
C．外离
D．内含
11．如图，当半径分别是 5 和 r 的两圆⊙O1 和⊙O2 外切时，它们的圆心距 O1O2＝8，则⊙O2
第1页（共5页）
D．外离
14．已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2cm 和 3cm，若 O1O2＝7cm，则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是（）
A．外离
B．外切
C．内切
D．相交
15．两圆的半径分别为 2cm，3cm，圆心距为 2cm，则这两个圆的位置关系是（）
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
16．已知两圆半径分别为 3cm，5cm，圆心距为 7cm，则这两圆的位置关系为（）
A．相交
B．外切
C．内切
D．外离
17．如图，圆与圆的位置关系没有（）
A．相交
B．相切
C．内含
D．外离
18．若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm，圆心距为了 8cm，则两圆的位置关系为（）
A．外切
B．相交
C．内切

【优质部编】2019-2020九年级数学下册专训巧求与圆有关的面积问题同步练习 (新版)沪科版

专训：巧求与圆有关的面积问题名师点金：求解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．根据图形特点，灵活运用这些方法解题，往往会起到事半功倍的效果．利用“作差法”求面积1．如图，在⊙O 中，半径OA ＝6 cm ，C 是OB 的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．(第1题)利用“等积变形法”求面积2．如图，E 是半径为2 cm 的⊙O 的直径CD 延长线上的一点，AB∥CD 且AB ＝12CD ，求阴影部分的面积．【导学号：31782104】(第2题)利用“平移法”求面积3．如图是两个半圆，O 为大半圆的圆心，长为18的弦AB 与直径CD 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第3题)利用“割补法”求面积4．如图，扇形OAB 与扇形OCD 的圆心角都是90°，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若OA ＝2 cm ，OC ＝1 cm ，求图中阴影部分的面积．(第4题)答案专训1．解：过点C 作CD⊥AO，交AO 的延长线于点D.∵OB＝6 cm ，C 为OB 的中点，∴OC＝3 cm .∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°.∴在Rt △CDO 中，OD ＝12OC ＝32cm . ∴CD＝OC 2－OD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝332(cm )． ∴S △AOC ＝12AO·CD＝12×6×332＝932(cm 2)．又∵S 扇形OAB ＝120π·62360＝12π(cm 2)， ∴S 阴影＝S 扇形OAB －S △AOC ＝12π－932＝24π－932(cm 2)，即阴影部分的面积为24π－932cm 2. 点拨：本题中阴影部分虽然不是规则图形，但它的面积可以转化为两个规则图形的面积差，因此我们只需分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即可达到目的．2．解：连接OA ，OB.∵AB∥CD，∴S △ABE ＝S △AOB .∴S 阴影＝S 扇形OAB .∵AB＝12CD ＝AO ＝OB ＝2 cm ， ∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB＝60°.∴S 扇形O AB ＝60π·22360＝23π(cm 2)，即阴影部分的面积为23π cm 2. 点拨：本题利用△AEB 的面积等于△AOB 的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用．(第3题)3．解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．作OE⊥AB 于E(易知E 为切点)，连接OA ，∴AE＝12AB ＝9. ∴阴影部分的面积＝12π·OA 2－12π·OE 2＝12π(OA 2－OE 2)＝12π·AE 2＝12π·92＝812π. 点拨：观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．4．(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO ，CO ＝DO ，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.(2)解：由(1)知△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积－扇形OCD 的面积．则S 阴影＝90π·OA 2360－90π·O C 2360＝90π（OA 2－OC 2）360＝90π（22－12）360＝34π(cm 2)．点拨：本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式．。

难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练试卷

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°2、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．43、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4、下列说法正确．．的个数有（） ①方程210x x -+=的两个实数根的和等于1；②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点()1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（）A ．5B ．8C ．9D ．106、ABC 的边BC 经过圆心O ，AC 与圆相切于点A ，若20B ∠=︒，则C ∠的大小等于（）A ．50︒B ．25︒C ．40︒D ．20︒7、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD ＝∠DEF ＝90°，AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，G ， H 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C ．D 8、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，在△ABC 中，∠CAB =64°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（）A ．64°B ．52°C ．42°D ．36°10、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正三角形ABC 的边长为a ，D 、E 、F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2a 长为半径作圆，图中阴影部分面积为______．2、如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点．若∠APO =25°，则∠AOP =___________°．3、如图，四边形ABCD 内接于圆，E 为CD 延长线上一点，图中与∠ADE 相等的角是 _________ ．4、在平面直角坐标系中，点()3,4--关于原点对称的点的坐标是______．5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的半圆O 上有一动点B ，点()3,0A ，ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点，且C 在第一象限，则线段OC 长度的最大值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题：如图，AB是O的直径，点C在O内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC中AB边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交O于点D，延长BC交O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=________°．（______）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，________是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．2、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．AB=，3、如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AD交O于点E，4AD，5=AC平分BAD∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．4、如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，作∠FAC=∠BAC ，过点C 作CF ⊥AF 于点F ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠CAB =25，求BCD AFC S S =_______．（直接写出答案）5、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】解：将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.2、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r，则周长为2πr，120°所对应的弧长为120222π3603rrππ︒⨯==︒解得r=3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．3、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k>,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．5、C【分析】连接CO，根据垂径定理可得3==，设O的半径为r，则OB OC r==,进而勾股定理列出方程CE ED求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-= 故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.8、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=64°∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，∴∠ACC ′=∠AC ′C =64°，∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠AC ′C =180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．二、填空题1、2π8a ⎫-⎪⎪⎝⎭ 【分析】阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积，而这三个扇形拼起来正好是一个半径为2a 半圆的面积，即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为2a 半圆的面积，因此求出半圆面积，连接AD ，则可求得AD 的长，从而可求得等边三角形的面积，即可求得阴影部分的面积．【详解】连接AD ，如图所示则AD ⊥BC∵D 点是BC 的中点 ∴1122BD BC a == 由勾股定理得22221322AD AB BD a a a ∴211332224ABC S BC AD a a a ∵S 半圆=22111228a a ∴S 阴影=S △ABC −S 半圆222334848a a a故答案为：2348a【点睛】本题是求组合图形的面积，扇形面积及三角形面积的计算．关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算．2、65【分析】根据切线的性质得到OA ⊥AP ，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴90APO AOP ∠+∠=︒，∵∠APO =25°，∴90902565AOP APO ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：65．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．3、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．4、（3，4）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】：由题意，得点（-3，-4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5、1+【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ，根据点A （3，0）可求AD =x -3，根据ABC 为等腰直角三角形，得出AB =AC ，∠BAC =90°，再证△BAE ≌△ACD （AAS ），得出BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO 中，根据勾股定理OE ==得出CD =AE 3，根据勾股定理CO OD =CD 时OC 最大，OC=此时3x =解方程即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ， ∵点A （3，0）∴AD =x -3，∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠BAE +∠CAD =180°-∠BAC =180°-90°=90°，∵CD ⊥x 轴， BE ⊥x 轴，∴∠BEA =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°，∴∠ACD =∠BAE ，在△BAE 和△ACD 中，BEA ADC BAE ACD BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△ACD （AAS ），∴BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO 中，OB =1，BE = x -3，根据勾股定理OE == ∴EA =OE +OA3，∴CD =AE 3，∴CO当OD =CD 时OC 最大，OC ，此时3x =，∴()()22313x x -=--，∴()2132x -=，∴3x -=∴132x =+，232x =-（舍去），∴线段OC 312⎛=+=+ ⎝⎭故答案为：1+【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．三、解答题1、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，_BD__是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．2、（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为103或203．【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K为BC边的中点，∴CK=12BC=2，同理可证△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=43，∴EF=8-43=203．综上，线段EF的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长．【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．4、（1）见解析（2）821【分析】（1）如图，连接OC ，根据等腰三角形的性质可得∠CAB =∠ACO ，即可得出∠FAC =∠ACO ，可得AF //OC ，根据平行线的性质可得∠AFC +∠OCF =180°，根据CF ⊥AF 可得∠OCF =90°，即可得出CF 是⊙O 的切线；（2）利用AAS 可证明△AFC ≌△AEC ，可得S △AFC =S △AEC ，根据垂径定理可得CE =DE ，可得S △BCD =2S △BCE ，根据AB 是直径可得∠ACB =90°，根据角的和差关系可得∠BCE =∠CAB ，根据正弦的定义可得25BC BE AB BC ==，可得BE =25BC ，AB =52BC ，进而可得AE =2110BC ，根据三角形面积公式即可得答案．（1）（1）如图，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∵∠FAC=∠BAC ，∴∠FAC =∠ACO ，∴AF//OC，∴∠AFC+∠OCF=180°，∵CF⊥AF，∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）在△AFC和△AEC中，90CEA CFACAB FACAC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFC≌△AEC，∴S△AFC=S△AEC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE，∴S△BCD=2S△BCE，∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，∴∠BCE=∠CBA，∵sin∠CAB=25，∴sin∠CAB=sin∠BCE=25 BC BEAB BC==，∴BE =25BC ，AB =52BC ， ∴AE =2110BC ， ∴BCD AFC S S =12212BE CE AE CE ⨯⋅⋅=2BE AE =2252110BC BC ⨯=821．故答案为：821 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．5、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°， ∵BC 是弦，OA ⊥BC ， ∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中， AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ）， ∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D＝OBOD＝ACAD，⊙O半径为2，OD＝4．∴24解得AC＝∴AD＝BD+AB＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．。

2020九年级数学下册专训巧求与圆有关的面积问题同步练习 (新版)沪科版

专训：巧求与圆有关的面积问题名师点金：求解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．根据图形特点，灵活运用这些方法解题，往往会起到事半功倍的效果．利用“作差法”求面积1．如图，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．(第1题)利用“等积变形法”求面积2．如图，E 是半径为2 cm 的⊙O 的直径CD 延长线上的一点，AB∥CD 且AB ＝12CD ，求阴影部分的面积．【导学号：31782104】(第2题)利用“平移法”求面积3．如图是两个半圆，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第3题)利用“割补法”求面积4．如图，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.(1)求证：AC＝BD；(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的面积．(第4题)答案专训1．解：过点C 作CD⊥AO，交AO 的延长线于点D. ∵OB＝6 cm ，C 为OB 的中点，∴OC＝3 cm . ∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°. ∴在Rt △CDO 中，OD ＝12OC ＝32 cm .∴CD＝OC 2－OD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝332(cm )． ∴S △AOC ＝12AO·CD＝12×6×332＝932(cm 2)．又∵S 扇形OAB ＝120π·62360＝12π(cm 2)，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S △AOC ＝12π－932＝24π－932(cm 2)，即阴影部分的面积为24π－932cm 2.点拨：本题中阴影部分虽然不是规则图形，但它的面积可以转化为两个规则图形的面积差，因此我们只需分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即可达到目的．2．解：连接OA ，OB.∵AB∥CD，∴S △ABE ＝S △AOB . ∴S 阴影＝S 扇形OAB .∵AB＝12CD ＝AO ＝OB ＝2 cm ，∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ∴S 扇形O AB ＝60π·22360＝23π(cm 2)，即阴影部分的面积为23π cm 2.点拨：本题利用△AEB 的面积等于△AOB 的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用．(第3题)3．解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．作OE⊥AB 于E(易知E 为切点)，连接OA ，∴AE＝12AB ＝9.∴阴影部分的面积＝12π·OA 2－12π·OE 2＝12π(OA 2－OE 2)＝12π·AE 2＝12π·92＝812π.点拨：观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．4．(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO ，CO ＝DO ，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.(2)解：由(1)知△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积－扇形OCD 的面积．则S 阴影＝90π·OA 2360－90π·O C 2360＝90π（OA 2－OC 2）360＝90π（22－12）360＝34π(cm 2)．点拨：本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式．。

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