电通量

ρ = r 1 3ε0
4 3 πr2 (−ρ) ⌢ ρ 3 E2 = r2 = − r2 2 3ε0 4πε0r2
均匀电场
ρ E = E1 + E2 = (r1 − r2 ) = ρ o o 3ε0 3ε0 1 2
作 业 （p30) 一、1,5；二、1，3 ； ，
下次内容：电势、电场力的功！ 下次内容：电势、电场力的功！
Φe =
∫∫ E ⋅ dS = ε
S
1
i 0 （闭合曲面内）
∑q
选一其轴垂直于带电平面的圆筒 式封闭面作为高斯面 S，由于圆 筒侧面上各点:场强方向垂直于 筒侧面上各点 场强方向垂直于 侧面的法线方向， 侧面的法线方向，所以电通量为 又两个底面上场强相等、 零；又两个底面上场强相等、电 通量相等，均为穿出。 通量相等，均为穿出。
q >0 F
F q<0
F ∵E = q0
∴ F = qE
10.3 电通量 电场中的高斯（数学王子）定理 电场中的高斯（数学王子） 电力线（电场的图示法） 一．电力线（电场的图示法
方 向：切线 性质： 不闭合； 性质： 不闭合； 不相交； 不相交； 起于正、止于负。 起于正、止于负。
Ec
E=
E
大小： 大小： = ∆N E
0 q E= 4πε0r 2
r<R r>R
2、无限长均匀带电圆 柱面
0 Rσ E= ε 0r
r<R r>R
3、无限长均匀带电圆柱 体
4、均匀带电 球体 5*、均匀带电圆环轴线上一 点 5*、 6、均匀带电圆盘轴线上一 点 7*、无限 7*、 均匀带电
课 下 自 己 总 结
本 节 内 容 1. 电通量及简单的计算 电通量及简单的计算, 2. 利用高斯定理求对称性静电场的分布。 利用高斯定理求对称性静电场的分布。
1、 库仑定律 ： 、
内容回顾
q1 q 2 ˆ F = r 2 4πε 0 r
2、电场强度的 定义 、 3、 3、电场强度的计算
1
⌢ r
q2
q1
r
F E= q0
ε0
q 4πε0r 2
场强
E=
练习二： 求均匀带电圆柱体的场强分布. 已知: 练习二： 求均匀带电圆柱体的场强分布 已知 R，ρ
Φe = ∫ E • ds =
s
1
ε0
∑q
i
r<R r>R
ρπR2l E2πrl = ε0
ρπr 2l E2πrl = ε0
典型结论
《大学物理学多媒体教学辅导》P250 大学物理学多媒体教学辅导》 1*、均匀带 电球面 1*、
例、计算均匀电场中一圆柱面的电通量。已知 计算均匀电场中一圆柱面的电通量。
闭合曲面的法向规定：垂直于表面自内向外的方向为正。 闭合曲面的法向规定：垂直于表面自内向外的方向为正。 解： Φ = E • ds = E • ds + E • ds + E • ds ∫ ∫ ∫ ∫ e
E 及R
= ∫ E cos1800 ds + ∫ E cos 900 ds + ∫ E cos 00 ds
（1）点电荷产生的电场强度 ）
F q ˆ E = = r q0 4 πε 0 r 2
q〉0
q 〈0
（2）点电荷系 q1 , q2 , q3, ...产生的电场中的场强计算 ）
∴ E = = 1 4 πε
∑
0
n
i =1 n
Ei qi ˆ ri 2 ri
r1
q1
E3
E E2
E1
∑
p
r3
i =1
r2
q2
ε 0ε r
Φe = ∫ E • ds =
s
ε0
∑qi
●课堂讨 论： 课堂讨
1． 立方体边 长 a，求 ． ， q位于中心，过每一面的通量。 位于中心，过每一面的通量。 位于中心
●q
• q2
• q1
2． 2．如图 讨论 场强及 移动两电荷对场强 通量的影响 移动两电荷对场强及 通量的影响
设有一半径为 一半径为R 均匀带电Q 的球面. 例1 设有一半径为 , 均匀带电 的球面 求球 面内外任意点的电场强度. 面内外任意点的电场强度 解 对称性分析：球对称 对称性分析： 高斯面： 高斯面：闭合球面 (1) )
Y
n n
O
E
S1
n
S
O
n
E
R
Z
S2
X
n
Φ = E•S
= ( 3i + 2 j ) • Si = 3S
ΦS1 +ΦS2 = 0
ΦS1 + ( −EπR2 ) = 0 ΦS1 = EπR2
三、高斯定理:
高斯 (C.F.Gauss 1777−1855） − ） 德国数学家、 德国数学家、天文学 数学家 家和物理学家 物理学家， 家和物理学家，有“数 学王子”美称， 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制. 量的绝对单位制.
电量
∑qi = 0
E=
Rσ rε 0
课 堂 练 习 一 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
解： q
4 πr 3 3
r<R
∑qi = 4
3 q
r>R
πR
3
∑qi = q
E4πr =
2
R
q
高斯定理 E4πr =
2
1 qr 3
ε 0 R3
3
场强
E=
qr 4πε0 R
Eb
∆S⊥
b
Ea
c
E
∆N ∆S⊥
S
E
a
1. 电场线示例图 点电荷（ 点电荷（正）
电偶极子
+
-
+
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
2. 电（E）通量的计算 电力线的条数） 电力线的条数） ）通量的计算(电力线的条数 均匀电场中电通量的计算: 均匀电场中电通量的计算
电场线
∆N = Φe = E • S⊥ S⊥ = S cosθ
定义：矢量面元： 定义：矢量面元：
θ
曲 面 S
ˆ dS = dS ⋅ n
dS θ
E
ˆ n
S的投影面积 的投影面积
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。 大小等于面元的面积，方向取其法线方向。 通过面元的电通量： 通过面元的电通量：
dΦ e = E ⋅ dS
λ 8*、无限长均匀带电直 线？ E ≅ 8*、 2πε0 x
电 均匀 球 无限 无限长圆 、圆 体 、球体 球 圆 圆
σ ？E = 2ε 0
例 电荷体密度 ρ 半径为 R1 ,
R2
+ρ
r 1
r2
−ρ
重叠区域的电场。 求 重叠区域的电场。 解
4 3 πr ρ ⌢ 1 E1 = 3 r 2 1 4πε0r 1
0<r < R
S
R
∫ E ⋅ dS = 0
S
O
r
Q
E =0
Q (2) r > R ) ∫SE ⋅ dS = E ⋅ 4πr = ε0 2 Q E= 2 4 πε0 r
2
Q 4πε0 R2
E
Q 4 πε 0 r 2
r
O
o
R
r
s
Q
例2、求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷 、求无限大均匀带电平板的场强分布。 密度为 σ e 对称性 分析 电荷分布是平面对称 的，场强分布也是平面对 称的。 称的。 解
解：场具有轴对称 高斯面： 高斯面：圆柱面 通量 Φe = ∫ E • ds =
s 上底
R
∫
E • ds +
下底
∫ E • ds + ∫ E • ds
侧面
= 0 + 0 + E2πrl = E2πrl 1 Φe = ∫ E • ds = ∑qi
s
P P
r<R
E=0
ε0
r>R
电量
∑q = 2πRlσ
i
Φ e = Φ e 1 + Φ e 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Φ en qn 1 q1 q2 = ∑q Φe = ∫ E • ds = + + ⋯⋯+ ε0 ε0 ε 0 ε0
4、闭合曲面外的q点电荷对闭合曲面 、闭合曲面外的 点电荷对闭合曲面 电通量的贡献等于零。 电通量的贡献等于零。 由电场线的连续性可知: 由电场线的连续性可知 一根电场线穿入必穿出， 一根电场线穿入必穿出，产生的 电通量恰好抵消。 电通量恰好抵消。 所以当闭合曲 面内无电荷时，电通量必为零。 面内无电荷时，电通量必为零。
Φe = ∫ E • ds = ∫ E cos 00 ds
s
=∫
s
q 4πε0r
q
2
2
ds
q
0
r
=
4πε0r
∫ ds = ε
⊕
q
ds
n
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2. q位于任意曲面 位于任意曲面
∆N = Φs′ = Φs =
S′内
q
S′
ε0
3、多个点电荷的电通量等于它们 、 单独存在时的电通量的代数和。 单独存在时的电通量的代数和。
高 斯
q1
S
q2
q3
通过任意闭合曲面的电通量( 通过任意闭合曲面的电通量 E通量 ) 等于这个 闭合 曲面所包围的电荷 的代数和除以 ε 0而与闭合曲面外 的电荷无关。 的电荷无关。 真空中： 真空中：
1 Φe = ∫ E ⋅ dS = ε0 S
∑q
i =1
n
in
i
1. 点电荷q位于球面 的球心： 位于球面S的球心 位于球面 的球心：
s1
s2
s3
= −EπR + 0 + πR E
2 2
s1
s2
s3
n
=0
n
S1
ds
S2
S3
ds
n
R
E
结论：闭合面内无电荷，通过闭合面的电通量为零。 结论：闭合面内无电荷，通过闭合面的电通量为零。
Φe = ∫ E • ds = 0
1. 求均匀电场中一半球面 的电通量 求均匀电场中一半球面S1的电通量 的电通量。 2. 在均匀电场 E = 3i + 2 j 中，过YOZ平面内 平面内 面积为S的电通量。 面积为 的电通量。 的电通量
∆N E= ∆S⊥
二.电通量 Φe 电场强度通量） 电通量 （电场强度通量） 通过任一面的电力线数
S
E
∆N = Φe = ES
θ
S
θ
n
E
Φe = ES⊥ = ES cosθ = E ⋅ S
S
ds
θ
n
E
S
ds θ
n E
ΦE = ∫ S E • ds = ∫ S Eds cosθ
Φe = ∫ S E • ds = ∫ S E cosθds
q3
（3）任意带电体 直棒、圆环、圆弧、圆盘、无限大平面 直棒、 ）任意带电体(直棒 圆环、圆弧、圆盘、 板）电场中的场强计算 dE
dq ˆ E = ∫ dE = ∫ r2 r 4πε 0
1
dq
ˆ r
4*、带电体在电场中所受的电场力： 、带电体在电场中所受的电场力：
点电荷所受的电场力： 点电荷所受的电场力：
四．高斯定理的应用：球壳、球体、圆柱面、圆柱体、 高斯定理的应用：球壳、球体、圆柱面、圆柱体、 直棒、 无限大平面板。 直棒、 无限大平面板。
当场源分布具有对称性时求场强分布 步骤： 对称性分析 对称性分析， 的大小、 步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布 特征 ２.作高斯面，计算电通 量及 ∑qi 作高斯面， 作高斯面 ３.利用高斯定理 求解 利用高斯定理 1
∵Φe =
E E
S
σ
∫∫ E ⋅ d S = ε
S
1
i 0 （闭合曲面内）
∑q
σS 2 ES = ε0
σ E= 2ε 0
σ E= 2ε 0
+σ
E E E
−σ
E
无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
例3．求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知：R， ．求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知： ， σ
q1 q2 qi
i
E
S ''
Φs′′ = 0
q
+q
∫ E • ds = ε
s
q
0
E • ds = 0 ∫
s
★过曲面的通量由曲面内的电荷 决定 过曲面的通量由曲面内的电荷 注意: 注意 ★高斯面上的场强 E是由全部电荷（面内外电荷）共同 产生 高斯面上的场强 是由全部电荷（面内外电荷） 1 ★对连续带电体，高斯定理为 对连续带电体， 对连续带电体 ∫ E • ds = ε ∫ dq 0 1 ★无限大均匀介质 中 ∫ E • ds = 无限大均匀介质 ∑qi