2016年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明

2016年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明

1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11(1)2(0,2)n n n S S S n λλλ+-+=++≠≥，若数列{}1n a +是等比数列，则实数λ的值等于（ ） A ．1 B ．1- C ．

1

3

D ．3 【分值】5 【答案】D

【易错点】不知如何对递推关系式进行变形。

【考查方向】本题主要考查了等比数列的判定、通项公式的应用，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与等比数列的定义及性质交汇命题。

【解题思路】把已知数列递推式变形，由数列{}+1n a 是等比数列求实数λ的值。 【解析】试题分析：由11(1)2n n n S S S λλ+-+=++整理得111()2n n n n S S S S λ+---=-+，化简得：12n n a a λ+=+,得13

13()n n n a a a λλλ

++=+=+

，由于数列{1}n a +是等比数列,所以

3

1λ

=，解得3λ=，故选D.

2.已知数列{}n a 与{}n b 的各项均为正数，且满足关系式：*11

ln 3()n

b n a dx n N x

=∈⎰，则“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也必要条件

【分值】5 【答案】C

【易错点】对等差数列与等比数列的定义不清楚导致本题出错。

【考查方向】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断及等差数列与等比数列的定义、定积分的计算等知识点，是高考考察的重点内容，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与不等式、等差数列、等比数列的概念、定积分的计算等知识点交汇命题。

【解题思路】根据充分条件与必要条件的定义结合等差数列与等比数列的定义进行判断。 【解析】试题分析：由1

1

ln 3n

b n a dx x

=⎰

整理得：*3()n a n b n N =∈当数列{}n a 是公差为d 的等差数列时，11333n

n a d n a n b b --==，所以数列{}n b 是等比数列；当数列{}n b 是公比为q 的等比

数列时，1113133,log 3

n

n n n a a a n n n a n b q a a q b -----===∴-=，

所以数列{}n a 是等差数列；因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充要条件．故选择C 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1

cos()(,2)22

n n n n S S n n N n -=+π∈≥，则数列{}n a 的前100项和100S =（ ） A.0

B.101

223

-

C.101

22-

D.

100

2(21)3

- 【分值】5 【答案】B 【易错点】

【考查方向】本题主要考查了等差数列、等比数列的判断，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与等差数列、等比数列的定义、三角函数等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据

*1

cos()(,2)22

n n n n S S n n N n -=+π∈≥得出递推关系式：2cos()n n a n =π，再利用等比数列的定义进行判断，从而求出100S 。

【解析】试题分析：由

*1cos()(,2)22

n n n n S S n n N n -=+π∈≥整理得：2cos()n

n a n =π，因此可得：+1+12cos(+)

=22cos()

n n n n a n a n ππ=-π，

所以数列{}n a 是以2-为首项，2-为公比的等比数列，因此1299100

...a a a a ++++=()()

100

-21--21--2⎡⎤⎣⎦=1002

(21)3-，故选B. 4.给出以下关于数列的四个命题，其中正确的是（ ）

①若数列{}n a 等比，前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列 ②若数列{ln 2016}n a +等差，则数列{}n a 是等比数列

③设,,0a b c >，若lga,lgb,lgc 等差，则2015,2015,2015a

b

c

等比

④在ABC ∆中，若111,,tan tan tan A B C

依次成等差数列，则222

,,a b c 等比 A.①② B.①③

C.①②③

D.①②④ 【分值】5 【答案】C

【易错点】等差等比数列的相关概念不熟悉导致出错。

【考查方向】本题主要考查了等差、等比数列的判定，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与等差、等比数列的性质、定义、三角函数等知识点交汇命题。

【解题思路】根据等差数列、等比数列的定义逐一进行判断。 【解析】试题分析：对于①，若数列{}n a 等比，则

212212n n n n n n

n n

S S a a a q S a a a ++-+++==+++ ，

32212232122n n n n n n

n n n n n

S S a a a q S S a a a ++++-+++==-+++ ，故232,,n n n n n S S S S S --等比，正确；对于②，

若数列{ln 2016}n a +1ln

n n a d a +=等差，则11ln 2016(ln 2016)ln n n n n

a

a a a +++-+=为常数，即，所以

1

d n n

a e a +=为常数，故{}n a 是等比数列，正确；对于③，若lga,lgb,lgc 等差，则22lg lg lg lg()

b a

c ac b ac =+=⇒=，而由2015,2015,2015a b c 等比知2b ac =，正确；

对于④，若

111,,tan tan tan A B C 依次成等差数列，则211

tan tan tan B A C

=+，则2c o s c o s c o s s i n c o s c o s s i n

s i n s i n s i n s i n s i n

B A

C C A C A B A C A C +=+=

sin()sin sin A C A C +=sin sin sin B A C =，2sin 2cos sin sin B B A C =，由正弦定理和余弦定理得22222()2a c b b ac ac

+-=，整理得2222a c b +=，故222

,,a b c 等差，错误，综上知选择C 选项。 5.已知数列{}n a 与{}n b 各的项均为正数，若点1(,)n n a a +在函数32111

()324

f x x x x =

+-的导函数图像上，且21

log ()2

n n b a =+，则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A.2n

B.21n

-

C.21n

+

D.22n

+

【分值】5 【答案】B