第一节 等差数列
等差数列(第一课时)课件
4.例题讲解，应用公式
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）–401是否是等差数列 8，5，2…的项？
[变式1]
[变式2] [变式3]
已知d 3, a5 4, 求a1； 已知a1 8, an 10, d 2, 求n；
已知a2 5, a6 7, 求d；
难点突破
3、 师生互动 探究公式
[设问2]：同学们，等差数列8, 5，2，……
的第4项是多少？第20项？第10000项呢？
学生战果显示
[设问3]：如果等差数列{an}中，首项是a1，公差是d， 那它的通项公式是什么？
公式形成
难点突破
a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d an a1 （n - 1）d
[变式4] 已知a1 8, an an1 3(n 2),求an ;
5、课堂小结 完善结构
6、课后作业 巩固新知
书面作业：习题2.2A组1,2 练习P29第1,2题
预习作业：预习等差数列的前n项和
谢谢聆听！ 敬请指导！
a1 8
难点突破
a 2 a1 （ - 3） 8 （ - 3） a3 a2 （ - 3） 8 2 （ - 3） a 4 a3 （ - 3） 8 3 （ - 3）
第二章
数 列
2.2 等差数列（第1课时）
毕节市第四实验高级中学
葛传福
1．创设情境，提出问题
（一）埃及金子塔的台阶 宽度自上而下（m）
10,15,20,25,30……
北京天坛顶圆形半径自下而上（m）
70,Hale Waihona Puke 0,50,……（三）贷款买房
整理等差数列、等比数列相关性质和公式及数列求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。
S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。
定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。
高三一轮复习数列专题
欢迎阅读数列专题复习第一节 等差数列n n n －1122080，则x 5＋x 16＝________.7.数列中，若11a =，1223(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = . 8.（2013年重庆）若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________. 9．（2013年上海）在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=____.}{n a10.（2013年大纲）等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == 则该数列的通项n a = .11.（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。
12.若lg2，lg(2x －1)，lg(2x+3)成等差数列，则x 等于________考点二 等差数列的性质11a 19a +=________.3. 在等差数列n 中，若25，求数列32}n -的前n 项和n 。
考点三 等差数列的前n 项和公式公式1：1()2n n n a a S +=公式2：1(1)2n n n d S na -=+ 变形：1.（2015高考新课标）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 2.(2015高考安徽)已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9, A. 18 B. 24 C. 60 D. 909.在等差数列中，2238380,29n a a a a a <++=，那么10S 等于_______.考点四 等差数列的前n 项和的性质性质1：设S n 是公差为d 等差数列{a n }的前n 项和，则数列232,,,m m m m m S S S S S --构成公差为__________的等差数列．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若369,36S S ==则789a a a ++={}n aA.18B.27C.36D.452.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.3103．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )}n2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则n S = ________． 3． 已知等差数列{a n }的前三项为1,4,2a a -，记前n 项和为S n ，（1）若420k S =，求a 和k 的值。
等差数列初步
等差数列【知识概要】1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 1）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；2）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差；3）常数d 可以等于0，此时等差数列为常数列.2. 等差中项若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项1）不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；2）A=2ba +是a, A,b 成等差数列的充要条件； 3）对任意两个实数的等差中项是唯一的.3. 等差数列的通项公式及递推公式 1）等差数列的通项公式①d n a a n )1(1-+= ； ②=n a d m n a m )(-+ 注：d m a a m )1(1-+= ，即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 ： =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --2）等差数列的递推公式*11()n n a a d n N a a +⎧-=∈⎨=⎩3）等差数列的单调性① {}0;n a d ↑⇔> ② {}0;n a d ↓⇔<4. 等差数列前n 项和公式 1）公式1：2)(1n n a a n S +=公式2：2)1(1dn n na S n -+=注：公式1 n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=公式2 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）2）数列的通项公式n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩5. 等差数列前n 项和公式n S 的性质 1）项数（下标）的“等和性”：2)(1n n a a n S +=1()2m n m n a a -++=2）项的个数的奇偶性：等差数列{}n a 中，公差为d ，则有① 若共有2n 项，则211();;:.n n n n n S n a a S S nd S S a a -+=+-==偶奇偶奇： ② 若共有21n +项，则2111(21);;:(1).n n n S n a S S a S S n n +++=+-=-=+偶奇偶奇： 3）“片段和性质”：依次取出等差数列的连续几项的和也构成一个等差数列。
等差数列ppt课件
4．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A＝
.
注意：在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是
它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的 某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*， m<n)．
(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”． (3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当
d ＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列．
(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1 －an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
思考：(1)它们构成数列吗？ (2)算一算从第2项起每项与它的前一项的差，你发现了什么？ (3) 从这些数列中任取一项，如果它既有前项又有后项，算一算它与前后项 之间具有什么关系？ (4)你能用一个递推关系式来表示它们吗？
2．等差数列的定义是怎样的？对于等差数列定义的理解应注意什么？ 定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为常数列．
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d .你会推导吗？
提示：∵数列{an}是等差数列， ∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，a2－a1＝d. 以上各式的左、右两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d， ∴an＝a1＋(n－1)d.
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contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
课件7：§2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式
随手练
1．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝___＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】 6－2n
2．等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是________．
【解析】 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以 n＝46. 【答案】 46
探究 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年举行一 次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出 2016 年 8 月在巴西里约热内 卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
【提示】 设第一届的年份为 a1，第二届的年份为 a2，…，第 n 届的年份为 an，则 a1，a2，…，an，…构成一个以 a1＝1 896 为首项，以 d＝4 为公差的等差 数列，其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即 an＝4n＋1 892，由 an＝2 016，知 4n＋1 892＝2 016，所以 n＝31.
【解】 (1)欲使{an}是等差数列， 则 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关 的常数， 所以只有 2p＝0， 即 p＝0 时，数列{an}是等差数列． (2)证明：因为 an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以 an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数， 所以{an＋1－an}是等差数列．
教材整理 2 等差数列的通项公式 阅读教材，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以 a1 为首项，d 为公差的等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d . 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd ＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d个单位 ．
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1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或 第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数， 此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3 项起是一个等 差数列。
.
例如：（1）1，3，4，5，6，…… （2）－1，0，12，14，16，18，20，……
2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等 于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常 数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义 中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。 例如：－3，0，1，3，4，9 3、求公差d时，可d=an—a n－1,也可以用d=a n＋1－an 4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为 递增数列；当d<0时，数列为递减数列。
即100是这个数列的第15项。（4）由a1=0，d=an=－7 2
n+
7
2
3
1 2
－0=
31 2
由题意知， － 7 n+ 7
解 ：（1）由a1=3，d=7－3=4得 a4=3+（4－1）×4=15 a10=3+（10－1）×4=39
.
（2）由a1=10，d=8－10=－2，得 a20=10+（20－1）×（－2）=－28
（3）由a1=2，d=9－2=7，得：
an=2+（n－1）×7=7n－5
由题意知，7n－5=100 解得n=15
（2）6－3=3，9－6=3，12－9=3，15－12=3，……
（3）1－1=0，1－1=0，1－1=0，1－1=0，……
第一讲 等差数列
• 例５ 求１００以内所有的３的倍数的和。 • 例６ 一本书１８５页，小华第一天看了１页， 以后每一天都比前一天多看２页，看完这本 书需要多少天？
• 例７
• ２０１０－１－４－７－１０－…－６１－６４ • 例８ • 林森家具厂运来一批圆木，它的第一层都比下一 层少１根，小明数了数，它的最下一层是２６根 ，一共１８层，这堆圆木共有多少根？
等差数列
１、２、３、４、５、６、７
２、４、６、８、１０．．．．．．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１、4、7、10、13．．．．．．
提问 • 什么叫数列？ 按某种规律排列的一串数叫 做数列。 • 什么叫等差数列？
• 什么是首项？末项？公差？项数？
和＝（首项＋末项）×项数÷２
项数＝（末项－首项）÷公差＋１ 末项＝首项＋（项数－１）×公差
首项＝末项－（项数－１）×公差
公差＝（末项－首项）÷（项数－１
）
• 例１：
在等差数列１、４、７、１０、１３
……中，２０１１是其中的第几项？ • 例２： 已知等差数列的第一项是１２，第八项是 ４０，求公差。
• 例３
计算１+２+３+４+…+１００的和。 • 例４ 求等差数列３、７、１１、１５、１ ９……的第１５０项是多少？
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
《等差数列课》课件
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
《等差数列》PPT课件(公开课)
13
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a10.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
2
2
2
2
公差d= 1
2H
6
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若
不是，说明理由？
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由？ 公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理 由？
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的 差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以 是正数，负数，也可以为0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
H
5
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
第1节 等差数列
【例2】 (2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
【解析】 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1 3d 15. 由a1 7得d 2.所以{an}的通项公式为an 2n 9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值. (2)由(1)得Sn n2 8n (n 4)2 16. 所以当n 4时, Sn取得最小值,最小值为 16.
1,
a100 a10 90d 98,故选C.
14.(2018广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》
里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二
十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七
里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢 ( )
【答案】 15 【解析】 由等差数列的等和性,可知a1 a4 a2 a3, 2(a2 a3 ) 30,a2 a3 15.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式an=
;
若它的第k项满足5<ak<8,则k=
.
【答案】 2n 10;8 【解析】
a1
9d
1 2
9
19 2
, 故选B.
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
则a100=
()
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】 S9
9(a1 2
a9 )
9a5
27, a5
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义:对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一*n,2个定值，则称这个数列为等差数列，记:(d为公差)(，) nN,a,a,dnn,1 d2、等差数列通项公式: ，为首项，为公差 aaand,，,(1)1n1推导过程:叠加法推广公式: aanmd,，,()nma,anmd, 变形推广: n,m3、等差中项a，bbbA,(1)如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项(即:aaAA22A,a，b 或(2)等差中项:,,a数列是等差数列,2a,a，a(n,2),2a,a，a nnn-1n，1n，1nn，24、等差数列的前n项和公式:naa()，nn(1),1nS,,，nad 1n22d122,，,nadn(),，AnBn 122mnpq，,，a，a,a，a前N相和的推导:当时,则有，特别地，当mnp，,2mnpq aaa，,2aaaaaa，,，,，,,,,时，则有。
(注:，)当然扩充到3项、mnp12132nnn,,4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法,(1) 定义法:若或(常数) 是等差数列( n,N,,aa,a,da,a,d,nn,1n，1nn(2)等差中项:数列是等差数列 ,,an,2a,a，a(n,2),2a,a，an，1nn，2nn-1n，1(3)数列是等差数列(其中是常数)。
,,aa,kn，bk,b,nn2(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
,,aSAnBn,，,nn6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发是等差数列( ,,a,n7、等差数列相关技巧:d(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:、、、ann1da及S，其中a、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便nn1可求出其余2个，即知3求2。
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第六章 数 列第一节 等差数列高考试题考点一 等差数列的概念与性质1.(2012年辽宁卷,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( ) (A)58 (B)88(C)143(D)176解析:S 11=11111()2a a +=4811()2a a +=11162⨯=88.故选B. 答案:B2.(2012年福建卷,理2)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:在等差数列{a n }中, ∵a 1+a 5=10, ∴2a 3=10.∴a 3=5. 又a 4=7,∴所求的公差d=7-5=2. 故选B. 答案:B3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理4)如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)14 (B)21(C)28(D)35解析:a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4, ∴a 1+a 2+…+a 7=172a a +×7 =422a ×7 =28. 故选C. 答案:C4.(2009年福建卷,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53(C)2 (D)3 解析:设{a n }首项为a 1,公差为d, ∵S 3=6=32(a 1+a 3)且a 3=a 1+2d=4, ∴d=2. 故选C. 答案:C5.(2011年湖南卷,理12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5= .解析:设等差数列的公差为d, 由a 4=a 1+3d 得d=2,则S 5=5a 1+542⨯×d=25. 答案:256.(2013年广东卷,理12)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7= .解析:设数列{a n }公差为d,3a 5+a 7=2a 5+a 5+a 7=(a 2+a 8)+a 4+d+a 7=(a 2+d)+a 8+a 4+a 7=(a 3+a 8)+(a 3+a 8)=2(a 3+a 8)=20. 答案:207.(2011年广东卷,理11)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k= . 解析:设等差数列的公差为d. ∵S 9=S 4,a 1=1, ∴d=-16, ∴a k +a 4=a 1+(k-1)d+a 1+3d =2a 1+(k+2)d =2+(k+2)·(-16) =0, 即k=10. 答案:108.(2009年全国卷Ⅰ,理14)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 2+a 4+a 9= . 解析:已知{a n }是等差数列, 由S 9=72,S 9=9a 5得a 5=8, ∴a 2+a 4+a 9=(a 2+a 9)+a 4 =(a 5+a 6)+a 4 =3a 5 =24. 答案:249.(2009年全国卷Ⅱ,理14)设等差数列{a m }的前m 项和为S m ,若a 5=5a 3,则95S S = . 解析:设首项为a 1,95S S =19159252a a a a +⨯+⨯=5395a a =95×5=9.答案:9考点二 等差数列的最值问题1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1m S -=-2,S m =0,1m S +=3,则m 等于( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 则由题意知a m =S m -S m-1=2, a m+1=S m+1-S m =3, 所以公差d=a m+1-a m =1, 首项a 1=a m -(m-1)d=3-m, 即S m =(32)2m m -+=0, 即m=5.故选C. 答案:C2.(2012年浙江卷,理7)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题错误的是( ) (A)若d<0,则数列{S n }有最大项 (B)若数列{S n }有最大项,则d<0(C)若数列{S n }是递增数列,则对任意n ∈N *,均有S n >0(D)若对任意n ∈N *,均有S n >0,则数列{S n }是递增数列解析:∵S n =na 1+(1)2n n -d=2d n 2+（a 1-2d）n, ∴S n 的图象是一个经过原点的抛物线,若d<0,则开口向下,数列{S n }有最大项,反之也成立,故选项A,B 成立; 对于C,可举例说明,如:a 1=-1,d=2,则a 1=-1,a 2=1,a 3=3,…, ∴S 1=-1,S 2=0,S 3=3,…. 故选C. 答案:C3.(2010年福建卷,理3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:设该数列的公差为d, 则由a 4+a 6=2a 1+8d=2×(-11)+8d=-6, 解得d=2, 后续有两种方法:法一 注意到a 1=-11<0,d>0, 数列{a n }为-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,…… ∴S 6最小,故选A. 法二 S n =2d n 2+（a 1-2d ）n=n 2-12n =(n-6)2-36(n ∈N *) ∴n=6时,S n 有最小值. 故选A. 答案:A4.(2009年安徽卷,理5)已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( ) (A)21 (B)20(C)19(D)18解析:由a 1+a 3+a 5=105得3a 3=105,即a 3=35,由a 2+a 4+a 6=99得3a 4=99, 得a 4=33,∴d=-2,a n =a 4+(n-4)×(-2)=41-2n, 由10,0n n a a +≥⎧⎨≤⎩得n=20时,S n 有最大值. 答案:B考点三 等差数列的综合应用1.(2013年辽宁卷,理4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列｛na n｝是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) (A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4(C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题; 若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2, 所以p 2为假命题;若等差数列为1,32,2,…,则11a =1, 22a =322= 34,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 .解析:由已知101151109100,215141525,2S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩解得a 1=-3,d=23, 所以nS n =n 2a 1+2(1)2n n -d=33n -2103n .令f(x)=33x -2103x ,则f ′(x)=13(3x 2-20x)=3x (3x-20),令f ′(x)≥0得x ≥203或x ≤0, 因此f(x)在(-∞,0],[203,+∞)上为单调增函数,在[0,203]上为单调减函数,即f(x)在x=203处取极小值. 而f(6)=363-21063⨯=-48,f(7)=-49,因此nS n 的最小值为-49. 答案:-493.(2011年湖北卷,理13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升.下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升.解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,则由已知得1111111()(2)(3)3,(6)(7)(8)4,a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎨+++++=⎩∴解得113,227,66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴第5节容积为a 1+4d=6766(升). 答案:67664.(2011年陕西卷,理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 米. 解析:将20个树坑依次编号为1,2,…,20,将树苗集中放在n 号树坑旁,其中1≤n ≤20(n ∈N *),由m 号(1≤m ≤20)(m ∈N *)树坑到n 号树坑的往返路程为2×10×|n-m|,所以总路程S=20[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1+0+1+2+…+(20-n)]=20[(1)(11)2n n -⋅-++(20)(120)2n n -+-]=20(n 2-21n+210),当且仅当n=10或n=11时有S min =20×100=2000(米). 答案:20005.(2012年陕西卷,理17)设{a n }是公比不为1的等比数列,其前n 项和为S n ,且a 5,a 3,a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的公比;(2)证明:对任意k ∈N +,S k+2,S k ,S k+1成等差数列. 解:(1)设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1), 由a 5,a 3,a 4成等差数列, 得2a 3=a 5+a 4, 即2a 1q 2=a 1q 4+a 1q 3,由a 1≠0,q ≠0得q 2+q-2=0,解得q 1=-2,q 2=1(舍去), 所以q=-2, (2)对任意k ∈N +,S k+2+S k+1-2S k =(S k+2-S k )+(S k+1-S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(-2)=0. 即2S k =S k+2+S k+1,所以对任意k ∈N +,S k+2,S k ,S k+1成等差数列.模拟试题考点一 等差数列的概念与基本运算1.(2012天津新华中学调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 5=3(a 2+a 8),则53a a 的值为( ) (A)16(B)13(C)35(D)56解析:由S 5=3(a 2+a 8)得,155()2a a +=3×2a 5, 即5a 3=6a 5, 所以53a a =56. 答案:D2.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则89S a 等于( ) (A)4 (B)5 (C)8 (D)10 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0.所以S 8=8a 1+872⨯d=8a 1+28d=36d, 所以89S a =1368d a d +=369d d=4.答案:A3.(2012泰安期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足33S -22S =1,则数列{a n }的公差是( ) (A)12(B)1 (C)2 (D)3解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d, 则由33S -22S =1, 得132323a d ⨯+-121222a d ⨯+=1, 解得d=2. 答案:C4.(2011成都模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 7=35,则a 4等于( ) (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 解析:S 7=7a 4=35,故a 4=5. 答案:D考点二 等差数列的最值问题1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…, 1515S a 中最大的项为( ) (A)66S a (B)77S a (C)99S a (D)88Sa 解析:由S 15=11515()2a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=11615()2a a +=9815()2a a +<0, 得a 9+a 8<0, 所以a 9<0,且d<0. 所以数列{a n }为递减的数列. 所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11Sa >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8,所以88S a >11S a >0, 所以最大的项为88S a . 答案:D2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=61n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7. 答案:A3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一 等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数. ∵S 3=S 11,3112+=7, ∴n=7时,S n 最大. 又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二 由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大, 可知10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩∴132≤n ≤152, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+762⨯×d=49, 故S n 的最大值是49.考点三 等差数列与其他知识的综合应用1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等于( ) (A)100(B)101(C)200(D)201解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线,∴a 1+a 200=1. ∴S 200=1200200()2a a +=100. 答案:A3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1、x 2,且方程f(x)=m 有两个不同的实根x 3、x 4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m 等于( ) (A)12(B)-12解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0.则公差d=3ππ223-=π3. 所以m=cos(π2+π3答案:D4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),a 1=3,S 3=39.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若在a n 与a n+1之间插入n 个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求{1nd }的前n 项和T n . 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0), ∵a 1=3,S 3=39, ∴q ≠1,∴331-1q q-（）=39,∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0,∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n.(2)∵a n =3n,则a n+1=3n+1,由题意知a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231nn ⋅+.则1n d =123nn +⋅, 所以T n =11d +21d +...+1n d =223⨯+2323⨯+ (123)n +⨯① 13T n =2223⨯+3323⨯+…+1123n n ++⨯②①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1123n n ++⨯ =13+12×1111()93113n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--1123n n ++⨯ =512-15243n n ++⨯,所以T n =58-5243nn +⨯.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18解析:∵S 13=13a 7=39,∴a 7=3,又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,所以数列{a n }成等差数列. 若数列{a n }成等差数列,设公差为d, 则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12. 所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件. 答案:A3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( )(A)25(B)50(C)100 (D)不存在解析:由已知得12020()2a a +=100, ∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=(1202a a +)2=(102)2=25. 答案:A4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3,31a =33,∴a 1=3,故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n.答案:a n =3n5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得11198918,2(1)240,2(5)30,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪-⎪+=⎨⎪+-=⎪⎪⎩即11142,1240,2(5)30.a d n a d n a n d +=⎧⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③③-①得(n-9)d=28, 由③-②得(9)2n d -=30-240n,则n=15.答案:156.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列{1nb }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0), 则1211161560,(20)(5)a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5.d a =⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知 b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).∴b n =n(n+2)(n ∈N *).∴1n b =1(2)n n +=12(1n -12n +),∴T n=12(1-13+12-14+…+1n-12n+)=12(32-11n+-12n+)=2354(1)(2)n nn n+++.。