2_5矩阵的初等变换与初等矩阵
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2-5初等变换
此定义还可表示为：若 P s P1 A Q 1 （其中P和Q是初等矩阵）,则A等价于B。
Qt B
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1 0 4
2 4 2 A
3 5 2
[2，3]
1 4 0
2 2 4 B
3 2 5
3<1>
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1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 4 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 0
？
1
0 1 4
0 1 1 0 0 0
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1 0 0 1 0 0 1 0 4
0 1 0 0 1 0 2 4 2
0 0 2
2[3] 2<3>
2 4 2 0 1 0 3 1 5 0 2 ×2 8 0 1 0 0 4 2 2 4 2 2 4 4 3 5 4
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四、初等变换法求逆矩阵 步骤：(1)做一个 n 2 n 矩阵 ( A I n ) (2)对 ( A I ) 施行初等行变换，使A 化成 I ，即
(A I)
(I B)
(3)取出
B
,即为
A
1
【仿P132，例8】 【仿P133，例9】
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1、初等变换 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。
二、等价 定义： B : A 初等变换 B A 注（1）等价矩阵不唯一。
P s P1 A Q 1 Q t B
2-5矩阵的初等变换与初等矩阵
a21 a11
a22
a12
I 1 3
3
A
0
0 a11
1
a21
a12 a22
3a11 a21
3a12
a22
I
1
22
A
1 0
2 a11
1
a21
a12 a22
a11
2a21 a21
a12 2a22
a22
AI
1,
2
a11 a21
a12 0
0
1
(2)(3)
0
1
0
0
0 1 0
1 1 1
3 1 5
0 0 1
2
1
3 (1)
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
0 0 1 5 1 3
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
,
(1) 0 0 1 5 1 3
所以
2 1 1
B 1
6
1
4
5 1 3
定理2.2
一个可逆方阵
A
aij
经若干次
nn
初等行变换总可以化为单位矩阵In .
证明： 由于 A可逆，则至少有一个 ai1 0( 若 ai1
皆为零，则 A不可逆．) 设a11 0 (若 a11 0, ai1 0,
则可将第i行与第1行对调 ，从而使(1,1)元非零)，
先用
a 1 11
乘以第1行，再用
例3用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵.
2 1 2 3
1 0 1
•
（1）A
2-5初等变换与初等矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 r3 ( 1) r1 2 1 5 2 2 1 5 2 3 2 6 3 2 1 5 2
1 1 1 1 r3 ( 1) r2 2 1 5 2 0 0 0 0
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行 (列）对应的元素上去;
(3) 对调矩阵的两行(列).
※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. （Elementary Transformations ）
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注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此， 已将矩阵A化为
1 0 C 0 0
0 1 0
0 0 c33
0 cm 3
0 0 c3n , cmn
如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价 的定义，显然A ≌ D.
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初等行变换的背景
刘徽注释《九章算术》说，“ 程，课程也．二物者再程，三物者 三程，皆如物数程之，并列为行， 故谓之方程．” 古代是将它用算筹布置起来解 的（如下图所示），图中各行由上 而下列出的算筹表示 x，y，z 的系 数与常数项．一次方程组各未知数 的系数用算筹表示时好比方阵，所 以叫做方程．
1 1 1 1 1 r1 (1) r2 r3 ( 1) r2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ( 1) r3 c3 3c2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 c3 ( 4) c1 1 3 0 0 1 3 0 c4 ( 1) c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 O 0 0 O O 0 0
2.5矩阵的初等变换与初等方阵
等价关系的性质： 等价关系的性质：
（） 反身性 A ≅ A； 1
（）对称性 若 A ≅ B , 则 B ≅ A; 2 （）传递性若 A ≅ B,B ≅ C,则 A ≅ C. 3
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等方阵。 矩阵称为初等方阵。 我们对n阶单位矩阵 施行三种初等变换得到以 我们对 阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以 阶单位矩阵 下三类n阶初等方阵 阶初等方阵。 下三类 阶初等方阵。
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
若( A)
i
↔
j
(B ), 则(B )
i
↔
j
( A);
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B )
(B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
若( A)
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 由于三种变换都是可逆的， 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 变换是同解变换．
(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵 设 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 × 矩阵 求出矩阵X 矩阵， 满足XA=B。 满足 。
方法： 化成(E 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成 n, (BA-1) T)， 化成 ， 可求出X 可求出 T= (BA-1) T. 具体过程： 具体过程： (A T,B T) → (En,X T)。 。
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是 换成“ ． 把“r”换成“c”)． 换成 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等列变换 初等行变换统称为 初等列变换与 定义 初等变换． 初等变换．
（） 反身性 A ≅ A； 1
（）对称性 若 A ≅ B , 则 B ≅ A; 2 （）传递性若 A ≅ B,B ≅ C,则 A ≅ C. 3
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等方阵。 矩阵称为初等方阵。 我们对n阶单位矩阵 施行三种初等变换得到以 我们对 阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以 阶单位矩阵 下三类n阶初等方阵 阶初等方阵。 下三类 阶初等方阵。
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
若( A)
i
↔
j
(B ), 则(B )
i
↔
j
( A);
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B )
(B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
若( A)
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 由于三种变换都是可逆的， 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 变换是同解变换．
(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵 设 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 × 矩阵 求出矩阵X 矩阵， 满足XA=B。 满足 。
方法： 化成(E 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成 n, (BA-1) T)， 化成 ， 可求出X 可求出 T= (BA-1) T. 具体过程： 具体过程： (A T,B T) → (En,X T)。 。
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是 换成“ ． 把“r”换成“c”)． 换成 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等列变换 初等行变换统称为 初等列变换与 定义 初等变换． 初等变换．
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
所以 A Ps1 P11IQt 1 Q11 Ps1 P11Qt 1 Q11 .
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
2-5矩阵的初等变换
上页
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2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第 i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
第i 行
上页
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3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
0 0 , 0 0
即f ( A) 0.
上页
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矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
上页
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A 0 例2 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
上页
下页
1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
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(2)定理 方阵 A 可逆 A 经过有限次初等变换化为单位矩阵 E 推论1 方阵A可逆
A 可表示为若干个初等矩阵的乘积
初等变换与初等矩阵
上面的“和” 字换成分块线），左乘初等矩阵（即进行初等行变换），最后求
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
8 上一页 下一页 返 回
r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
8 上一页 下一页 返 回
r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
第二章2-5初等矩阵和初等变换
化为阶梯形和简化阶梯形.
线性代数
解
3 2 2 1 1 0 1 2 1 r1 r 2 0 A 2 6 4 5 7 1 3 4 0 5
1 0 r3 ( 2 ) r1 r4+r1 0 0
线性代数
• 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为 简单的阶梯形矩阵 • 阶梯形矩阵对求逆、求秩、求解线性方 程组都非常有用
线性代数
定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件： (1) 若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2) A 的各非零行的第一个非零元的列序 数小于下一行中第一个非零元的列序数； 则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 例如
Er PAQ O
Er 这里 O
O O
（2.5.4）
O 是矩阵A的标准形. O
线性代数
推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A≌ E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少 含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列 式，
|PAQ|=0
则称 A为简化阶梯形矩阵. 例如
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3
线性代数
为简化阶梯形矩阵；
定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行
变换化为阶梯形矩阵.
线性代数
证 设矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
设矩阵 A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵E(i,j(k)) 左乘以A ，则
a11 a ka ji i1 E (i , j (k )) A a j1 am1 a12 ai 2 ka j 2 a j2 am 2 ain ka jn a jn amn a1n
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数-线代2-05
初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回 代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 ，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（ 某i一 行 第 行k ,记 所 乘 有 kr i倍 作 k 元 ） 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是 数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称 为行标准形。
• 例 ：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
线性代数2_5 矩阵的初等变换 初等矩阵
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对矩阵 Am×n 进行一次初等行变换等 同于 A 左乘一个相应的 m 阶初等矩阵,
即
1> 交换 A 的第 i 行和第 j 行←→Rij · A 2>用数 k (≠0)遍乘 A 的第 i 行←→ Ri (k)· A 3> 把 A 的第 i 行乘数 k 加至第 j 行 ←→ Rij (k) · A
j i j i
Байду номын сангаас
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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B ． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A ~ A；
（2）对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
× ci 也得到 .
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(2) 用非零数a乘单位矩阵I的某行(列)得到初等矩阵.
1 1 Ri (α ) = Ci (α ) = α 第i行 1 1
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(1)
a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
R12 A
~
r1 2
a 21 a11 a 31
(1) ri ↔ rj 对调两行(列)得到的初等矩阵.
1 1 Cij = 第i行 第 j行 1 1
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
2-5矩阵的初等变换
é3 2 0 5 0 ù
例1
用初等变换将矩阵
A
=
ê ê
3
ê2
-2 0
3 1
6 -1úú 5 -3ú
ê ë
1
6
-4 -1
4
ú û
化为行阶梯形矩阵, 行最简形矩阵和标准形矩阵.
解 (1)对A作初等行变换, 将其化为行阶梯形矩阵: A
é1 6 - 4 - 1 4 ù
r1
«
r4
ê ê
3
-2
3
6 - 1úú
ê2 0 1 5 - 3ú êë3 2 0 5 0 úû
r1 - 3r2 r3 +4r2
é1 -3 2 3 -3 2 ù
êê0
-1
1
2
1
5
ú ú
êë0 4 -3 -2 4 -1úû
é 1 0 - 1 -3 -6 -13 ù
ê ê
0
-1 1
2
1
5
ú ú
êë 0 0 1 6 8 1 9 úû
r1 + r3 r2 - r3
é1 0 0 3 2 6 ù
ê ê
0
-1
-1 0 43
0 1 0ù 1 -2 0úú
êë0 1 1 0 1 1úû
r2 «r3 r3 -4r2
é1
ê ê
0
0 1
1 1
0 2 1ù 0 1 1úú
r1 +r2 êë 0 0 -1 1 -6 -4úû
r1 +r3 é 1 0 0 1 -4 -3ù
r2 + r3 (-1)r3
ê ê
0
êë 0
1 0
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A 可表示为若干 个初等矩阵的乘积. 推论2 m×n 矩阵A ~ B的充分必要条件是存在m 阶 可逆方阵P及n 阶可逆方阵Q ,使得PAQ=B.
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵发布时间：2023-02-03T06:52:33.822Z 来源：《教学与研究》2022年第18期第9月作者：蔡新华[导读] 由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,蔡新华内蒙古机电职业技术学院内蒙古呼和浩特 010070摘要由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,所以非常容易将二者混为一谈.此文的目的在于解释这两个概念的区别,同时也介绍它们的关系.在对矩阵进行运算时,我们可对其进行类似于行列式的行（列）变换或数乘运算等,即矩阵的初等变换.为了搞清楚变换后的矩阵所具有的特性,也为了说明矩阵的初等变换的意义,我们引入初等矩阵的概念.其实初等矩阵就是单位矩阵经矩阵的初等变换后所得的矩阵.具体内容见下文简述.关键词矩阵的初等变换初等矩阵单位矩阵逆矩阵矩阵就是将多个数按某种规则人为排列为m行n列所形成的一个数阵（具体学科的行与列都有确定的含义）。
它实际上记述着客观事件的因果关系，一个结果在多个原因的不同作用水平下的数量特征（这个矩阵的元素间没有因果关系），所以我们对其行（列）的运算实质是一种人为处理，但是我们知道，在建立矩阵时,我们确实纪录了某个（些）客观事实，这些数据有其内在的必然规律。
为了寻找这个（些）客观规律，我们必须对所得矩阵进行运算，又由于我们在建立矩阵时所记行（列）遵循一定的规则，所以我们只能对不同的行（列）展开运算。
也就是说同一行（列）中的数据前后上下的元素不能调整。
对不同行（列）间对应元素的对调、同一行（列）的数乘和数乘后与其它行（列）对应元素的代数和的运算也就没有改变事件内在规律（实为事物自身的线性性）。
这种对矩阵的处理就是矩阵的初等变换。
现在，我们给出矩阵的初等变换的定义：（1）：互换矩阵的两行（列）；（2）：用一个非零实数乘矩阵的某行（列）的所有元素；（3）：将某行（列）的所有元素实数k倍后加到另一行（列）的对应元素上去。
对于这个定义，我们要理解在如下三个层面上：（1）对矩阵实施某行（列）所有元素与另一行（列）对应元素的对调.（2）实施了矩阵的初等变换后得到了一个新的矩阵。
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1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4r2
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4c3
1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i行的k倍加到第j行记为rjkri . 例如
E=
1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2r4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 1 =E(2, 4) 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
结束
1 0 E= 0 0
《线性代数》
第5节
矩阵的初等变换与初等矩阵
一、初等变换
二、初等矩阵
初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性
三、求逆矩阵的初等行变换法
《线性代数》
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i行与第j行记为rirj . 例如
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 k
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 k =E(2,4(k)) 0 1 0 0 =ET(2,4(k)) 0 1
结束
0 0 c2kc4 ——— 0 1
返回
《线性代数》
初等矩阵的可逆性
初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r2r4
1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i列与第j列记为cicj . 例如
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
4 r3
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 4 0 0 0 4 0
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0 0 =E(3(4)) 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
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E=
0 0 4 c3 ——— 0 1
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《线性代数》
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
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a11 2a31 a12 2a32 a13 2a33 a14 2a34
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a11 2a13 a12 a13 a14
= a21 2a23 a 22 a 23 a 24 a31 2a33 a32 a33 a34
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与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.
1 0 B1 = 0 A1 ,
1 0 0 1 B2 = A2 0 0
由定理1知，B1 = Fm 同理可得B2:
F2 F1 A,
其中Fi是对应初等矩阵.
即B2的第二行第二列元素化为 1, 第二列的其它元素全化为零. 一直进行下去，最终把A化成了
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1 0 E= 0 0 E= 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2kr4
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
a12 a11 a13 a14
与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.
《线性代数》 返回 下页 结束
0 1 0 0 a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 AE(1, 2)= a21 a22 a23 a24 = a a a a 0 0 1 0 31 32 33 34 0 0 0 1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
c1c3
-1 5 1 -2 -1 8 3 -9
下页
1 -1 1 3 3 1 1 7
结束
返回
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i行记为kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cjkci . 例如
a22 a 21 a 23 a 24
a32 a31 a33 a34
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于
用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于 用矩阵A乘相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵.
a11 a12 a13 a14 例如，设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 1 0 2 a11 a12 a13 a14 E(1,3(2))A= 0 1 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34 1 0 0 0 a11 a12 a13 a14 0 1 0 0 AET(1,3(2))= a21 a22 a23 a24 2 0 1 0 a a a a 31 32 33 34 0 0 0 1
求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 0 0 -1 c4+c 1 0 1 0 3 — 0 0 4 6 1 0 0 0 1/4c3 c4-6c3 0 1 0 0 — 0 0 4 6
c4-3c 2
—
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5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.
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例如：
2 1 0 1 r2↔r1 1 0 0 -1 — 0 0 4 6
1 0 0 -1 2 1 0 1 0 0 4 6 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 4 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
r2-2r 1
—
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练 习：
0 1 01 2 30 0 1 1 0 0 4 5 60 1 0 = ? 0 0 17 8 91 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
2011
1 2 3 0 0 1 4 5 6 0 1 0 7 8 9 1 0 0
பைடு நூலகம்
|E(i, j)|=- 1；
|E(i(k))|= k (k≠0) ；
E(i, j)-1=E(i, j)； E(i(k))-1=E(i(k -1))； E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
|E(j,i(k))|=1 .
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定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于
0 1 0 1 0 0 0 0 1