高考数学一轮复习 专题4.7 解三角形及其应用举例(讲)

第07节解三角形及其应用举例【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用2014浙江文18；理10，18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14；2018浙江卷13..1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意. 从浙江卷来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.5.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型的解法.（3）理解三角形中的有关术语.【知识清单】1. 测量距离问题实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i 为坡比)． 2. 测量高度问题余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab3. 测量角度问题应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．【重点难点突破】考点1 测量距离问题【1-1】【2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ， C 的俯角分别为60o ， 30o ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于 （ ）A ． 303B ． ()3031- C ． 403 D ． ()4031-【答案】C【解析】因为从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ， C 的俯角分别为60o ， 30o ，，30,30,30,60C BAC DAB AD m ∠=∠=∠==o o o ， 60403cos30BC AB ∴===o，故选C. 【1-2】如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】2007【1-3】如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【答案】64【解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 【领悟技法】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有： 1两点都不可到达； 2两点不相通的距离；3两点间可视但有一点不可到达. 【触类旁通】【变式一】【2018届江西省南昌市第一轮训练六】一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行， 30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65︒，港口A 的东偏南20︒处，那么B ， C 两点的距离是( )A ． 102海里B ． 103海里C ． 20海里D ． 152海里 【答案】A【解析】如图由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°． 在△ABC 中，由正弦定理可得BC=sin45AB2．故答案为：A.【变式二】如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为 ()A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin∠ABC ＝AB sin∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．考点2测量高度问题【2-1】【2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二）】我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【2-2】如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC 的长；(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度． 【答案】（1）sin sin()l BC αβα=-；（2）2483CD =-.【解析】 (1)在ABC ∆中，ACB βα∠=-，根据正弦定理得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠， 所以sin sin()l BC αβα=-.(2)由(1)知sin 24sin1512(62)sin()sin 30l BC αβα⋅===--oo米． 在BCD ∆中，2263BDC πππ∠=+=，3sin BDC ∠=，根据正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠， 所以2483CD =-米． 【领悟技法】已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=o求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边. 【触类旁通】【变式一】如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .【答案】cos sin sin()h αβαβ-【变式二】如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得,,BCD BDC CD s αβ∠=∠==，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .【答案】•s tan sin sin θβαβ（＋）【解析】在BCD ∆中，CBD παβ∠=--，由正弦定理得BC CDsin BDC sin CBD∠∠＝，所以••CD sin BDC s sin BC sin CBD sin βαβ∠=∠＝（＋）.在Rt ABC ∆中，•tan s tan sin AB BC ACB sin θβαβ=∠=（＋）.考点3 测量角度问题【3-1】【2017广东佛山二模】某沿海四个城市A 、B 、C 、D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒， 80nmile AB =， 40303nmile BC =+， 2506nmile CD =， D 位于A 的北偏东75︒方向.现在有一艘轮船从A 出发以50nmile/h 的速度向D 直线航行， 60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ=__________．【答案】624- 【解析】设船行驶至F ，则50AF =，连接,AC CF ，过A 作AE BC ⊥于E ，则80sin60403AE ==o，cos6040BE AB ==o , 22303,503CF BC BF AC AE CE =-==+=, 34cos ,sin 55ace ACE ∠=∠=，所以()2cos cos 135ACACD ACE CD∠=-∠==o，所以90CAD ∠=o ，又50AF =， 503AC =，可得60AFC ∠=o ，所以15CFN AFN AFC MAF AFC θ=∠-∠-∠=∠-∠=o ，故62sin 4θ-=.【3-2】如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为2π3，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？(2)设观光道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以θ＝π6，列表：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 L ′(θ) ＋ 0 － L (θ)增函数极大值减函数所以当θ＝π6时，L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．【3-3】在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向，距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【答案】缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时． 【解析】如图，设缉私船t 小时后在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°. 利用余弦定理可得BC ＝ 6. 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，得∠ABC ＝45°，即BC 与正北方向垂直． 于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，得∠BCD ＝30°，∴∠BDC ＝30°.又CDsin 120°＝BCsin 30°，103t 3＝6，得t ＝610.所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时． 【领悟技法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．【触类旁通】【变式一】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sin θ的值为( )A.217B．22C.32D．5714【答案】D【变式二】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．53【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 【易错试题常警惕】 易错典例：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？易错分析：不能分清已知条件和未知条件，从而不能将问题集中到一个三角形中．再利用正、余弦定理求解．解决此类问题时，要能理解题目给定的含义，转化到三角形中，利用正、余弦定理进行求解.正确解析：如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)． 温馨提醒：利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【2018届河北省衡水中学高三第十六次模拟】如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=o ， 75β=o ， 30θ=o ，求信号塔CD 的高度.【答案】(1) ()()sin sin BC l αθβα-=-；(2) 243-（2）由（1）及条件知，()()(sin1262sinBC lαθβα-==-，9015BCDβ∠=︒-=︒，45CBDβθ∠=-=︒，120 BDC∠=︒.由正弦定理得sin452483 sin120CD BC︒=⋅=-︒。