黑龙江省佳木斯市桦南县高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1) 导学案新人教A版必修1

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高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算导学案新人教A版必修1

2.1.1指数与指数幂的运算课前预习· 预习案【自主学习】1．次方根定义表示两个结论2．根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中①根指数为：；②被开方数为： .(2)性质：① (且)；②3．分数指数幂的概念分数指数幂4．无理数指数幂(1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5．有理数指数幂的运算性质(1) (，，).(2) (，，).(3) (，，). 【预习评价】1．9的平方根为A.±3B.±9C.3D.92．是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B. C. D.3．化为分数指数幂为A. B. C. D.4．已知，则 .5．计算： .6．计算： .知识拓展· 探究案【合作探究】1．次方根的定义定义中的取值范围是 .2．次方根的定义当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3．次方根的定义当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4．根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5．根式的性质成立吗？呢？6．根式的性质成立的条件是什么？7．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或?9．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10．有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11．有理数指数幂的运算性质公式，，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1．对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2．对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3．对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4．对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1．已知，则的四次方根可表示为 .2．-2013的五次方根是 .3．若，则化简的结果是 .4．化简：.5．设，将表示成分数指数幂，其结果是 .6．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1). (2).7．化简的结果是A. B. C. D.8．化简： . 【学习小结】1．求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个次方根，另一个是.2．根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：①且)；②(2)遵循原则：①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.②被开方数是带分数的要化成假分数.③被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3．有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4．根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，，，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5．利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1．设，,，则，，的大小关系是A. B. C. D.2．若，则是 .3．计算下列各式：(1) .(2).(3) .4．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1).(2).(3).(4).5．已知，求的值.答案课前预习· 预习案【自主学习】1．x(1)R(2)a≥0(1)负数(2)02．（1）①n②a(2)①a②a|a|3．(2)①②(3)①0 ②负4．(1)实数5．(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r【预习评价】1．A2．C3．A4．5．6．－1知识拓展· 探究案【合作探究】1．定义中的n必须是大于1的正整数，即n＞1且n∈N*.答案n＞1且n∈N*2．因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3．因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4．(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定. 5．不一定成立，如，而成立.6．等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.7．根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8．均不适用，原因如下：(1)若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a＜0，不一定成立.如＝意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.9．引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a＞0，m，n∈N*且n＞1).10．(1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0.(2)若a＜0，(a r)s＝a rs，也不一定成立，如，所以a＜0不成立.因此不适用于a＝0或a＜0的情况.11．成立，且不需要限制m＞n.证明如下：.【交流展示】1．2．3．1－2a4．＝2+.5．6．(1). (2).7．C8．x z－2【当堂检测】1．D2．3．(1)－3 (2)π－3 (3)2.4 4．(1).(2).(3).(4)5．因为，所以。

2.1.1 指数与指数幂的运算(1)(导学案)

§2．1．1 指数与指数幂的运算（1）学习目标：1.理解n 次方根及根式的概念；2.正确运用根式运算性质进行运算变换。

学习重点、难点：1、利用根式的运算性质进行化简。

2、条件求值问题。

自主预习：知识梳理：一、阅读课本，完成下列题目复习：（1）平方根与立方根（2）n 次方根小结1:若n 是奇数，任意实数a 的n 次方根有 1个，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数.若n 是偶数，负数没有偶次方根，而正数的n 次方根有 2 个，它们互为相反数. 无论n 是奇数还是偶数，0的n 次方根为0 .2、根式式子n a 叫做____，n 叫做______，a 叫做_______.问题1==== 根据以上例子试总结归纳，一般地n n a 等于什么？二、自我检测1、64的6次方根是，2、若0)2(-x 有意义，则x 的取值范围是。

3、求值 (1) 33)8(- (2) 2)10(- (3) 44)3(π- (4) 88)(b a -三、学点探究探究1：根式性质的应用例1、计算：（1）3333)52(1)52(1-++；（2）625625++-变式训练一：1、若,0<<m n 则222222n mn m n mn m +--++=____________2、求4)(4)(2121+-+-+--ππππ的值方法小结1：),1(*N n n a a n n ∈>= 恒成立吗？探究2、利用根式的性质化简或求值例2、设3-≤x ,求961222++-+-x x x x 的值变式训练二：1、本例中，若将“3-≤x ” 变成“-3<x<3”，则结果又是什么？方法小结2：化简根式时，为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论课堂练习1.化简327-的值是（）.（A ）3 （B ）-3 （C ）±3 （D ）-92.下列说法正确的是（）.（A ）64的6次方根是2 （B ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（C ）664的运算结果是2± （D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义3.若62-x 有意义，则x 得取值范围是（）.（A ）2≥x （B ）2-≤x （C ）2-≤x 或2≥x （D ）R x ∈4.552)()(b a b a -+-的值是( ).（A ）0 (B))(2b a - (C)0或)(2b a - (D)b a - 5.当0<x ,则x x x x 22+-= .6.若a b b ==+=则a ，a b -= .7.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .8.化简下列各式.（1）x x 3223-+- （2）3322)1()1()1(a a a -+-+- 课后总结反思：。

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)学案新人教A版必修1

2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(学生学案)内容：根式1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的__ 如：2是4的平方根一个正数的平方根有 _个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是(2 )若X3a，则x叫a的__ 如：2是8的立方根，一2是一8的立方根。

一个正数的立方根是一个 _数，一个负数的立方根是一个 _数，0的立方根是 _(3)类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的__________ ；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的________________ ；……；一个数的n次方等于a , 则这个数叫a的_______ ；一般地，如果X a，则X叫a的n次方根，其中n 1且n N.问：(1) 16的四次方根是.32 的五次方根是—32的五次方根是(2)一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？(给学生留点时间进行探究)得出结论：(1) 一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。

(2) —个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数。

(3) 0的任何次方根都是0。

n为奇数，a的n次方根有一个为2 a n为偶即a为正数：数，a的n次方根有两个为n'aa为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为v a n为偶数，a的n次方根不存在零的n次方根为零，记为n0 0注意：正数a的正的n次方根n a叫做a的n次算术根指出：式子n a叫做根式，这里n叫根指数，a叫被开方数。

探究1: (1) (亦)2=—；尺审)3= ____________ ；&16)4=—_(2)从(1)你有何发现？(3)(° a)" = a —定成立吗？为什么？得出结论：(n a)n= a探究2: ( 1) 3 33 = _____ ；3 ( 2)3 = ____ ；525 = _____ ；5 ( 3)5=.(2) 由(1)你发现了什么结论？(3) _______________________________________________________ 22=—；.32=—；424=—；4 34 = .2)2=—；、(—3)2= —；4(一2)4= —；4(一3)4= -------------------(4) 由(3)你发现了什么结论?由此得出：当n 是奇数时，n a n = a(5) (旷32)5 , (6)变式训练3：若. a 2 2a 1 a 1,求a 的取值范围。

高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版

黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。

重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。

2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。

因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。

二、探索新知（一）引出根式的概念。

需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。

在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。

也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。

可向学生说明，当n 是偶数时。

的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。

课堂练习：1、填空：（1）25的平方根是（2）27的立方根是（3）－32的五次方根为（4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。

§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案(第一课时)

“目标导航，问题引领”自主学习法课堂模式备课设计高一数学组成员：周连平杨金银曹容菊何兴华苏春元郭婷秦丽§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案（第一课时）高一数学备课组主备人：曹容菊时间：10月3日第二章基本初等函数（I）§2.1.指数函数§2.1.1指数与指数幂的运算一．教学目标（一）知识与技能目标：1、理解n次方根和根式的概念；2、理解有理数指数幂的意义，培养学生观察、分析、抽象等认知能力。

（二）过程与方法目标：通过师生共同讨论和探究的方法，使得学生参与到指数范围的扩充和完善的过程中，从而领会类比、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法的运用和提高分析解决问题的能力。

（三）情态与价值目标：1、体会数学模型与实际问题之间的关系，从而感受数学的应用价值；2、让学生体验数学的简洁美和统一美。

3、让学生学会用联系的观点看待问题。

二、教学重点和难点教学重点：理解有理数指数幂的意义。

教学难点：理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化三、学法与教学用具1、学法：根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。

2、教学用具：多媒体手段四、教学思路（第一课时）（一）创设情景，揭示课题．以实例引入，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。

问题1：百万富翁与“指数爆炸”：杰米是百万富翁,一天,一个叫的人对他说,我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.杰米欣喜若狂,同意了。

思考：杰米与韦伯一个月以后谁更有钱？问题2：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。

根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系。

引导学生得出关系式：573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭基于时间的连续性和死亡生物体碳14含量变化的连续性，说明引进分数指数幂必要性，如6000573012P ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

2.1.1指数与指数幂的运算学案

2.1.1 指数与指数幂的运算（第一课时）一．学习内容：必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》的第一课时——根式。

二．学习要求：能说出n 次方根和根式的概念；能记住n 次方根的性质和表示方式；记住根式成心义的条件并能用其求根式中字母的取值范围；会运用两个经常使用等式进行根式的化简和求值。

三．学习进程：引言：问题1 依照国务院进展研究中心2000年发表的《以后20年我国进展前景分析》判定，以后20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增加率可望达到%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？若是把我国2000年GDP 看成好是1个单位，2001年为第1年，那么：1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，试写出y 与x 知足的关系式：______________________________________问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确信的规律衰减，大约通过5730年衰减为原先的一半，那个时刻称为“半衰期”。

依照此规律，人们取得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系（*）问题探讨：①以上两个问题中所涉及到的函数模型你是不是学过？②在问题1中正整数指数幂的含义是什么，它具有哪些运算性质。

③在问题2中当生物死亡了5730 ，，，…年后，它体内碳14的含量P 别离为多少？若生物体死亡了6000年，10000万，100000年后，它体内碳14的含量为多少？探讨新知（一）问题探讨：① 若是，那么确实是4的________________；若是，那么3确实是27的_____________________； ② 若是，那么x 叫做a 的______________________；若是，那么x 叫做a 的______________________；若是，那么x 叫做a 的______________________；③ 类比以上结论，一样地，若是，那么x 叫做a 的______________。

人教A版《必修1》“2.1.1指数与指数幂运算(第1课时)”导学案

高一数学《必修1》导学案 2.1.1 指数与指数幂的运算（一）【课前导学】阅读课本P48～50例1为止的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。

1、（1）2(2)4±=，那么2±就叫4的； 3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的；5(2)32-=-，那么2-就叫做32的 .依此类推，若n x a =，那么x 叫做a 的 .其中1n >,n *∈N .（2）①27的3次方根是_______，27-的3次方根是_______，0的3次方根是_____.小结：当n 为奇数时，a 的n 次方根有____个，而且，正数的n 次方根是____的，负数的n 次方根是____的，0的n 次方根是_____. ②由81的4次方根是 ,可知：当n 为偶数时，正数的n 次方根有_____个，它们互为_________，记为.注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.2、定义：根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.思考：（1）”与“a 的n 次方根”之间能划等号吗？为什么？（2）根据n 次方根的意义，可得n a =a =一定成立吗？3、当0a >时，1025a a ===，则类似可得 = ；23a == = .规定分数指数幂的意义是 *(0,,,1)m na a m n N n =>∈>；【预习自测】1、某市人口平均年增长率为1.25℅，2019年人口数为a 万，则x 年后人口数为___________万.2、若4b a =，则a 的4次方根为；若3b a =，则a 的3次方根为 .3、（1）334_____===；（2）小结：当n ____=；当n ________________==. 4、将下列根式写成分数指数幂形式：【课中导学】例1、求下类各式的值：（2）；（3（4）a b<）.（1）例2、（1）38-+()4432-—()3323-；（2） 164—3338+40.0625—()0π. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(0)a >：（1）2a a ⋅；（2）533a a ⋅；（3）34a a .【总结】1、一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况._____n a n a n a n ⎧⎨⎩为奇数, 的次方根有____个,为为正数:为偶数, 的次方根有____个,为_____来源n n a n a a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根______个,为为负数:为偶数, 的次方根_______. 零的n 次方根为零，记为00n =2、当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时, ,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)导学案新人教A版必修1

《2.1.1 指数与指数幂的运算（1）》导学案【学习目标】其中2、3是重点和难点1．了解指数函数模型背景及实用性必要性，了解根式的概念及表示方法，理解根式的概念。

2．掌握n 次方根的求解。

3．理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景。

【课前导学】阅读教材第49-50页，完成新知学习。

1、n 次方根：一般地，如果，那么 ,其中1n n N *>∈且。

2、当n 为奇数时, 正数的n 次方根是一个，负数的n 次方根是一个，这时a的n 次方根用符号表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，且互为，用符号表示。

负数没有方根，0的任何次方根都是，即= 。

3叫做 , 这里n 叫做 , a 叫做。

4n = 。

当n 是奇数时，= ；当n 是偶数时，= = 。

【预习自测】首先完成教材上P59第1题，然后做自测题。

1= 。

2= 。

3)a b ≤= 。

4、下列说法正确的是（）A.4的平方根只有2B.27的立方根有3和-3C.a 的nD.若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根 5、下列各式正确的是( )3 a =＝2 D ．0a ＝1 【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。

探究一：思考1：4的平方根是什么？任何一个数有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个数有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果4,x a =5,x a =6,x a =参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？试给出其定义。

探究二：思考1:-8的立方根，32的5次方根，-32的5次方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程3,x a =5x a =分别有解吗？有几个解？思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程4,x a = 6,x a =分别有解吗？有几个解？思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考6:n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n 次方根用根式怎么分类表示？探究三：思考1：3,5,4分别等于什么？一般地，n 等于什么？思考2例1、求值化简：变式：a b <）例2变式：（推广：= a ≥0）【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）计分：1= 。

探究式导学案3：2.1.1 指数与指数幂的运算

【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0)的化简结果：
(1)a3· ；(2) ；(3) · .
变式迁移1将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) ；(2)( )－ (b>0)．
2.利用幂的运算性质化简、求值
【例2】计算(或化简)下列各式：
(1)4 ＋1·23－2 ·8－；
(2)(0.064)－－ 0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01| ；
(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝________(a>0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
1.根式与分数指数幂的互化
＝(x ＋x－ )(x－x ·x－＋x－1)
＝3×(7－1)＝18，
∴x ＋x－＋2＝20，
∴ ＝＝2.
当堂检测
1．C2.D3.B4.A5.D
6.
解析64－＝(26)－＝2－4＝ .
7．－
解析由题意知x<0，
∴ ＝－＝－ .
8．8
解析52x－y＝(5x)2·(5y)－1＝42·2－1＝8.
(3) － (a>0，b>0)．
变式迁移2求值：1.5－ × 0＋80.25× ＋( × )6－ .
3.灵活应用——整体代入法
【例3】已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．
变式迁移3已知x ＋x－＝3，求的值．
当堂检测
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是()

指数与幂指数运算学案(一),(二)

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）学习目标：⒈理解n 次方根、根式概念，能正确应用根式的运算性质； ⒉提高认识、接受新事物的能力．教学重点：根式的概念．教学难点：根式的概念的理解．教学过程：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国国内生产总值（GDP ）年平均增长率可望达到7.3%．那么，在2001～2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？2001年我国的国内生产总值可望为2000年的___________倍； 2002年我国的国内生产总值可望为2000年的____________倍； 2003年我国的国内生产总值可望为2000年的_____________倍；…… ……设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么可列方程为__________________________即从2000年起，x 年后我国的国内生产总值为2000年的(17.3%)x +倍．整数指数幂n a 的含义是什么？它具有哪些运算性质？__________________________整数指数幂有如下运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Z ，那么rsaa ⋅＝；)(a rs＝；)(ab r＝．．0a =_____,n a -=________*()n N ∈下面同学们再来看一个生物数学问题：生物学家通过研究发现，当生物死亡以后，其体内含有的放射性同位素14C 会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据这个规律，科学家获得了生物体内14C 的含量P 与死亡年数t 之间的关系537012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据这个公式，当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内14C 的含量分别为多少？__________________________（II ）讲授新课： ⒈n 次方根的意义：（1）什么叫做a 的平方根？什么叫做a 的立方根．什么叫做a 的n 次方根？（2）、正数的奇次方根是____数，负数的奇次方根是_____数；正数的偶次方根有____个且________，负数_______偶次方根； 0的任何次方根都是____．（3）、a 的n 次方根的表示：如果nx a =，那么212(0)n k x n k a =+==>⎪⎩(*)k N ∈．其中式子n a 叫____，n 叫____，a 叫____． ⒉根式的性质：⑵当na =当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．例⒈见课本50P 例1．（Ⅲ）课后练习：求下列各式的值：；；课时小结⒈n次方根的意义；⒉根式的运算性质．§2.1.1指数函数一. 引入新课我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.比如我们看下面的问题:问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别指数函数1.定义:形如的函数称为指数函数.2.几点说明:(1) 关于对的规定:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?（2）指数函数的判定请看下面函数是否是指数函数. (1) , (2), (3)(4), (5).3、归纳性质：画出函数和x21y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=函数的图象完成下表：函数y=a x (a>1)函数 y=x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛1(0<a<1)图象定义域值域: 性质由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.可列一个表,如下:填好后,让学生仿照此例再列一个的表,将相应的内容填好.例1. 比较下列各组数的大小(1) 与; (2)1.0-8.0与2.08.0(3)与1 （4）与;练习：比较下列各组数的大小(1)与 (2)与(3)与例2、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么20年后，我国人口约为多少亿？（精确到亿）2.1.1指数与指数幂的运算（二）【教学目标】1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力【教学重难点】教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质..教学难点：（1）分数指数幂概念的理解.【教学过程】1、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么？（2）观察以下式子，并总结出规律：0a>1025a a===；842a a===；1234a a===；1052a a===.（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？*(0,,,x m n N >∈且n>1)规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n =>∈>. 提出问题（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么rsaa ⋅＝；)(a rs＝；)(ab r＝． 3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.320)a a a >例3、化简下列各式：（1）2+；（２）)3324()3(5621121231b a b a b a -÷--- 练习：求值：（1）（2 (３)．若)2143(x --有意义，则ｘ的取值范围是（）Ａ．ｘ∈ＲＢ．ｘ≠０．５Ｃ．ｘ＞０．５Ｄ．Ｘ＜０．５(4)．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________．（5）．下列互化中正确的是（）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y y y Ｃ．)0,((4343)()≠=-y x x y yx Ｄ．331x x -= 4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法. （1）33221221122;(2);(3)a aa a a a a a -----++-。

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案新人教A版必修1

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）教案新人教A版必修1§2.1.1 指数一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用na 表示，如果是负数，用n a -表示，na 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？零的n 次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()nna a=肯定成立，nna表示a n的n 次方根，等式nn a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n nn a a=n 为偶数,0||,0nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8--=--=-=小结：当n nna 绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π-2(4)()a b -分析：当n ||nn a a =，然后再去绝对值.()nn nn a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值22211,a a a a -+=-求的取值范围. 3343334(8)(32)(23)---三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n是的次方根,n 为奇数时,=n为偶数时，nx a =±2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,3．作业：P 69习题2.1 A 组第1题。

人教A版高中数学必修一黑龙江省佳木斯桦南县指数与指数幂的运算导学案新

§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.5053复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .简记为： .的式子就叫做，具有如下运算性质：n = ；= ；= .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >01025a a ===，则类似可得= ；23a == = .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mn a a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm n a a mn N n a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ；= ；= (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a -.反思：① 0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ；（2）533b b ；（3例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；（2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（134a a(0)a >；（2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）-.小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？※ 动手试试练1. 把851323x --⎫⎪⎪⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（144327；（2三、总结提升※ 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※ 知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰为正的常数.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（）.A. m m n na a a ÷= B. m n mn a a a ⋅= C. ()n m m n a a += D. 01n n a a -÷= 2. 化简3225的结果是（）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（）.A ． D ． 4. 化简2327-= . 5. 若102,104m n ==，则3210m n-= .（1）3236()49；（2.2. 1⎛- ⎝.。

高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(一)教案新人教版必修1(2021年最新整理)

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2.1.1 指数与指数幂的运算（一）一、内容及其解析（一)内容:章导言,引出指数幂概念的推广，根式．（二）解析：本节课是关于根式的一节概念课,是高中新课改人教A版教材第二章的第一节课．第一章主要介绍了函数的概念，本章计划用14个课时重点介绍几类具体的基本初等函数，以此进一步理解函数概念，认识函数的思想．其中，指数函数计划用5课时，具体分配如下:根式(含章导言)1课时，分数指数幂无理指数幂1课时,指数函数及其性质3课时．1．章导言在本节课起到了一个承上启下的作用，特别对学习基本初等函数具有引导作用．2．本章首先要介绍的是指数函数，即f(x)=a x（a〉0且a≠1)，这里的a x是一个指数幂，其中x∈R．这就涉及到实数指数幂的概念，而在此之前同学只学过整数指数幂，所以需要在学习指数函数前将同学已有指数幂的概念进行推广，由整数指数幂推广到有理指数幂，再进一步推广到实数指数幂．由于先有根式才有有理指数幂（分数指数幂）,根式就成了有理指数幂的基础，而方根又是根式概念的核心,所以本节课主要就是针对有理指数幂，从n次方根逐步认识根式，为进一步认识有理指数幂奠定基础．3．由于本模块、本章和本节都是围绕函数这一核心，从不同角度展开研究,所以无论是指数和指数幂的运算，还是根式，都是为函数教学服务的，都不是我们研究的重点．这样,本节课的重点就应该放在为后续内容的铺垫上,即将整数指数幂推广到有理指数幂和引入指数函数，而关键在于根式的概念，包括n次方根定义、表示和性质．二、目标及其解析（一)教学目标1．初步了解指数幂和指数函数;2．通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念．(二）解析1．《课程标准》没有明确提出本节课的具体教学内容和要求,但根据它对本模块、本章和本节的内容要求,结合教科书当前和今后内容的实际，基于对相关内容的分析，提出了上述教学目标的内容并给出了相应的要求定位．2．初步了解指数幂和指数函数，主要是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并不给出它们的定义，更不涉及其运算或图象、性质．3．由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义,还涉及其表示和性质，后续内容还涉及其运算，所以对根式概念的定位应该是理解层次．而本小节教科书之后将不再专门介绍根式，所以本节课务求初步理解根式概念,而在下节课的根式运算中逐步达到真正的理解．4．在与平方根、立方根比较的过程中，可以进一步学习类比的思想方法，提高同学的思维水平．并在推广与化归的过程中，形成根式的知识链．三、问题诊断分析同学在理解根式概念的过程中可能会遇到困难，具体表现在对n次方根定义的理解，特别是n次方根的存在性，以及性质的认识．因为从平方根和立方根到n次方根，是一个特殊到一般的变化过程,要求同学具有一定的归纳概括能力和抽象能力．要克服这一困难,关键是引导同学建立n次方根与平方根和立方根的联系,通过类比平方根和立方根，让同学在已有的认知基础上,从具体例子出发，不断地观察、比较、模仿、判断,从而形成概念,同时将新知识同化到已有的认知结构中，从而克服可能遇到的困难．四、教学过程设计(一）教学基本流程（二)教学情景1．本章学习引导问题1：给出化石图片,归纳出函数关系式。

高中数学导学案第11讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算

第11讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1. 若n x a =，则x 叫做a 的n次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；a ≥0）.2.规定正数的分数指数幂：mna =（0,,,1a m n N n *>∈>且）；1m nm na a-=.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1（*1,n n N >∈且）；（2. 解：（1）当n3π=-；当n|3|3ππ=-=-. （2||x y -.当x y ≥时，x y =-；当x y <y x =-.【例2】已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.解：332222()(1)1111n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=-+=++.【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-；（2a ＞0，b ＞0）；（3解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b. （3）原式===22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1；（2+++⋅⋅⋅解：（1）原式=22（2）原式=+⋅⋅⋅+=11+⋅⋅⋅+=11)2.点评：2A B-是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第11练§2.1.1 指数与指数幂的运算※基础达标1．化简1327()125-的结果是（）.A. 35B.53C. 3D.52．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）.A.12()(0)x x=-> B.13(0)y y=< C.340)x x-=>D.130)x x-=≠3．下列各式正确的是（）.A.35a-= B.32x C.111111()824824a a a a-⨯⨯-⋅⋅=D.112333142(2)12x x xx---=-4．计算10()22-，结果是（）.A.1B.C.D.122-5．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++，结果是（）.A.11321(12)2--- B.1132(12)---C.13212-- D.1321(12)2--6．化简44的结果是.7．计算2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+=.※能力提高8．化简求值：（1）211132221566()(3)13a b a ba b-；（29．已知1122x x-+=3，求下列各式的值：（1）1x x-+；（2）33222223x xx x--++++.※探究创新10．已知函数11331()()5f x x x -=-，11331()()5g x x x -=+.（1）判断()f x 、()g x 的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -，并概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.第12讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）132xy -=；（2）51()3xy -=；（3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使51()3xy -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤.（3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=；（2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-，则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且.（2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）.A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲线位置看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即b <0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第12练 §2.1.2 指数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（）.A. 0.80.733>B. 0.40.60.50.5>C. 0.10.10.750.75-<D.1.6 1.4(3)(3)>2．已知0c <，在下列不等式中成立的是（）.A. 21c >B. 1()2c c >C. 12()2c c <D. 12()2c c > 3．函数y =a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（）.A.（0，1）B. （1，0）C.（2，1）D.（0，2） 4．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（）. A. a b a a < B. a b b b < C. a a a b < D. b b b a <5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（）. A. 新加坡(270万) B. 香港(560万) C. 瑞士(700万) D. 上海(1200万) 6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.7．函数21232x x y --=的定义域为；函数2231()2xx y -+=的值域为 .※能力提高8．已知,a b 为不相等的正数，试比较a b a b 与b a a b 的大小.9．若已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且，()x g x a =. （1）求函数()f x 的图象恒过的定点坐标；（2）求证：1212()()()22x x g x g x g ++≤.※探究创新 10．讨论函数21(01)x y a a a +=>≠，且的值域.第13讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大. ¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3x y =，0.3x y =，2x y =，0.2x y =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于20x =>，所以从小到大依次排列是：20.2，20.3，22，23.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R .∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x x x x x x f x f x ---------====-=-++++.∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=；（2）10.21xy =-. 解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-；当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a >时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相同；当01a <<时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相反. 而对于形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数单调性的研究，也需结合x a 的单调性及()t ϕ的单调性进行研究.复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()y f u =与()u x ϕ=两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住 “x 的变化→()u x ϕ=的变化→()y f u =的变化”这样一条思路进行分析.第13练 §2.1.2 指数函数及其性质（二）※基础达标1．如果指数函数y =(2)x a -在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是（）. A ．a ＞2 B ．a ＜3 C ．2＜a ＜3D ．a ＞32．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是（）. A. 3(,)2+∞ B. 2(,)3+∞ C. 1(,)3+∞ D.1(,)3-+∞3．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）.A. mB.12mC. 1D.14．函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞ 5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①②6．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为 .7．定义运算()() ,.a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 .※能力提高 8．已知(21)1()(21)1x x f x --=-+. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）讨论()f x 的单调性.9．求函数2233x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．※探究创新10．函数23()2xax f x --=是偶函数. （1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域.第14讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=. 4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =2 1 0 y/m 2 t/月2 3814¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=；（2）327a =；（3）1100.1-=；（4）12log 325=-；（5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-；（2）3log 27a =；（3）lg0.11=-；（4）51()322-=；（5）3100.001-=；（6） 4.606100e =. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001；（2）4log 8；（3）.解：（1）设lg0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=.（3）设x，则x e =12xe e =，解得12x =.所以，12.【例3】求证：（1）log n a a n =；（2）log log log a a a MM N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a -==，则log log log a a a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a a MM N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=. 所以，log log log c a c bb a=. 点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ；若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）；（2）9log .9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+；（2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）21lg2lg5(lg 2++；（2）2log .解：（1）原式=211(lg 2)lg 2lg5(lg 22++211lg 2lg2lg5(lg 1)42+-=2111lg 2lg2lg5lg21422+-+=1lg 2(lg 22lg52)14+-+=1lg 2(lg1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log ⨯+=221log 2=21log (442+=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 【例3】（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=，即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+===，得到1210b x x =.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=,∴ 422log 4log 2m ==，解得16m=.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第15练§2.2.1对数与对数运算（二）※基础达标 1．）等于（）.A. 1B. －1C. 2D. －22．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（）. A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（）.A.12B. 1C. 2 4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（）.A. 1B. 2C. 8D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是（）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)Mv m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/km s ？※探究创新10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的关系式.第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9；（2）3log 2，2log 3，41log 3. 解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<. 又 0.80.8log 0.9log 0.81<=，所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<.又22log 3log 21>=，441log log 103<=，所以4321log log 2log 33<<.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥. 所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32. 【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤.∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><，解得a >当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤.∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-，解得02a <<.综上可得，实数a的取值范围是(2,)+∞.点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（）.A B C D 3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =2x 4．函数12log (1)y x =-的定义域是（）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11xf x x x -=++-；（2）21log (45)y x =--.9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求：（1）()f x 的值域；（2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a b 、1log b b.xy1 1oxy o 1 1oy x11 oy x1 1第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a > 0, a ≠1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数.又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00xy a =.由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln()ln(2)]4ln 2(0)y k m x m k =+-+≠其中. 当燃料重量为(1)e m -吨（e 为自然对数的底数，2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把(1),4x e m y =-=代入函数关系式[ln()ln(2)]4ln 2y k m x m =+-+，解得8k =.所以所求的函数关系式为8[ln()ln(2)]4ln 2,y m x m =+-+ 整理得8ln().m x y m+= （2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，544,8m x y =-= 代入函数关系式8544ln(),ln 1,344().544m x y x m x+===-得解得吨所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（）. A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）. A.2 B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（）.A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x=D.20.2log (4)y x =-6．函数2()lg(1)f x x x =+-是函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.9．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米（2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lg IL I =（单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -⨯，耳语的强度是102110/W m -⨯，恬静的无限电广播0 x C 1C 2C 4C 3 1y的强度为82110/W m -⨯. 试分别求出它们的强度水平. （2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？※探究创新10．已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的2. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)，则(4)f 的值等于（）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（）.A. 1y x= B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）. A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.40.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =.第19讲第二章基本初等函数（Ⅰ）复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=-12121222()0x x x x x x a a a a a a +--==≥.∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性）【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号解：（1）∵ ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数x y a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈. （2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8，解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练第二章基本初等函数（Ⅰ）复习※基础达标1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x <<2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（）. A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x bf x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）.A. 1,0a b ><B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数2()lg(31)1f x x x=++-的定义域是（）. A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（）.。

高中数学第二章 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算(一)学案(含解析)新人教A版必修

§2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(一)学习目标 1.理解n 次方根、n 次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．知识点一 n 次方根、n 次根式思考若x 2＝3，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？答案这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作± 3. 梳理 (1)a 的n 次方根的定义一般地，如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈Rn 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．知识点二根式的性质 (1)n0＝0(n ∈N *，且n >1)； (2)(na )n＝a (n ∈N *，且n >1)； (3)na n ＝a (n 为大于1的奇数)；(4)n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，(n 为大于1的偶数)．1．当a ≥0时，na 表示一个数．( √ )2．实数a 的n 次方根有且只有一个．( × ) 3．当n 为偶数，a ≥0时，na ≥0.( √ )4.n a n ＝⎝⎛⎭⎫n a n.( × )类型一根式的意义例1 求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围．考点 n 次方根及根式概念题点根式化简中变量的取值范围解a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．反思与感悟对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围．考点 n 次方根及根式概念题点根式化简中变量的取值范围解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1， ∴a －1≥0，∴a ≥1.类型二利用根式的性质化简或求值例2 化简： (1)43－π4；(2)a －b2(a >b )；(3)(a －1)2＋1－a2＋31－a3.考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解 (1)43－π4＝|3－π|＝π－3.(2)a －b 2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1.反思与感悟 n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数均可；n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n＝a ；而a 为任意实数na n均有意义，且na n＝|a |. 跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7－27；(2)43a －34(a ≤1)；(3)3a 3＋41－a 4.考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解 (1)7－27＝－2.(2)43a －34＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋41－a4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.类型三有限制条件的根式的化简例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．考点根式的化简题点条件根式的化简解原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究例3中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？解原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4.反思与感悟当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．跟踪训练3 已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x 2－4x ＋43＝________.考点根式的化简题点条件根式的化简答案 1解析 ∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0， ∴(4x －1)4＋6x 2－4x ＋43＝x －1＋6x －26＝x －1－(x －2) ＝1.1．已知x 5＝6，则x 等于( ) A.6B.56C ．－56D ．±56 考点 n 次方根及根式概念题点 n 次方根及根式概念答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3m C.6m D.5－m 考点 n 次方根及根式概念题点 n 次方根及根式概念答案 C3．(42)4运算的结果是( ) A ．2B ．－2C ．±2D．不确定考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 A4.3－8的值是________．考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案－2 5.a －b2＋5a －b5的值是________．考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 0或2(a －b ) 解析a －b2＋5a －b5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2a －b ，a >b .1．根式的概念：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.n 为奇数时，x ＝na ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2．掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，na n＝a ，n 为偶数，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况.一、选择题1．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102C.210D ．±102 考点 n 次方根及根式概念题点 n 次方根及根式概念答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.故选D. 2．化简1－2x2(2x >1)的结果是( )A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2考点根式的化简题点条件根式的化简答案 C 解析1－2x2＝|1－2x |，∵2x >1，∴1－2x <0，∴|1－2x |＝－(1－2x )＝2x －1.3．化简3－8125的值是( ) A.25 B ．－25C ．±25D ．－35考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 B解析 3－8125＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝－25. 4．化简e －1＋e2－4等于( )A ．e －e －1B ．e －1－e C ．e ＋e －1D ．0考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 A解析e－1＋e2－4＝e－2＋2e－1e＋e2－4＝e－2－2＋e2＝e－1－e2＝|e－1－e|＝e－e－1.5．若2<a<3，化简2－a2＋43－a4的结果是( ) A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1考点根式的化简题点条件根式的化简答案 C解析∵2<a<3，∴a－2>0，a－3<0，∴2－a2＋43－a4＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.6．5－26的平方根是( )A.3＋ 2B.3－ 2C.2－ 3D.3－2，2－ 3 考点n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念答案 D解析±5－26＝±3－26＋2＝±3－22＝±(3－2)．7．化简－x3的值是( )A．x－x B．－x xC．－x－x D．x x考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 C解析要使－x3有意义，需－x3≥0，即x≤0.∴－x 3＝－x ·x 2＝|x |－x ＝－x －x .8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a考点根式的化简题点条件根式的化简答案 D解析由图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0， ∴a －b <0. ∴4a －b4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .二、填空题9．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.考点根式的化简题点条件根式的化简答案 1解析 ∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x＝－x ＋x ＋1＝1. 10.3－223＋22＝________.考点根式的化简题点二重根式的化简答案 3－2 2 解析方法一3－223＋22＝2－122＋12＝2－12＋1＝2－122＋12－1＝3－2 2.方法二3－223＋22＝3－2223＋223－22＝3－2 2.11．把a－1a根号外的a 移到根号内等于________．考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案－－a 解析要使－1a有意义，需a <0.∴a－1a＝－|a |－1a＝－|a |2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－－a .12．化简3－63＋45－44＋35－43的值为______．考点根式的化简题点二重根式的化简答案－6 解析 ∵3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 三、解答题13．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，求f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a .考点根式的化简题点条件根式的化简解 f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，因为0<a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .四、探究与拓展14．化简(1－a )·41a －13＝________.考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案－4a －1解析方法一要使函数有意义需a －1>0.(1－a )41a －13＝－41－a4·1a －13＝－4a －1.方法二要使函数有意义需a －1>0，(1－a )41a －13＝(1－a )41·a －1a －14＝1－a a －14a －1＝－4a －1. 15．计算：(1)614－3338＋30.125； (2)3－83＋43－24－32－33；(3)3⎝⎛⎭⎪⎫34－143·(3＋1)＋(2015－2014)0. 考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解 (1)原式＝254－3278＋318＝52－32＋12＝32.(2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋ 3＝－8.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14·(3＋1)＋1 ＝12(3－1)·(3＋1)＋1 ＝12(3－1)＋1＝1＋1＝2.。

必修一：2.1.1指数与指数幂的运算优秀导学案

1 / 32.1.1指数与指数幂地运算一、教学目标分析：知识目标：（1）理解根式的概念；（2）掌握根式的运算性质；（3）让学生感受由特殊到一般地数学思想方法，通过一般化促进学生在原有地基础上地自主建构，从而增强学生对数学本质地认识过程与方法：通过对实际问题地探究过程，感知应用数学解决问题地方法.情感目标：通过对数学实例地探究，感受现实生活对数学地需求，体验数学知识与现实地密切联系.二、重难点分析：重点：根式的概念及性质难点：根式的性质三、教学过程：探究n 次根式32=9，3是9的次方根（平方根）； 23=8，2是8的次方根（立方根） 24=16，2是16的次方根1、如果 92=x ，则x 叫做9 的 ,记作。

2、如果 83=x ，则x 叫做8的 ,记作。

3、如果 164=x ，则x 叫做 16 的次方根,记作。

4、如果a x =5 ，则这个数叫做 a 的次方根, 记作。

5、如果 a x n = ，则这个数叫做 a 的次方根。

一、n 次根式定义一般的，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n>1,且n ∈N *）即如果一个数的n 次方等于a (n>1，且n ∈N *)，那么这个数叫做 .（1）4的平方根为。

（2）任何一个实数都有平方根吗？（3）-27的立方根为。

（4）任何一个实数都有立方根吗？归纳：如果x n =a ，那么x=当 n 为奇数时，x= 。

当 n 为偶数时，x= 。

做一做：试根据n 次方根的定义分别求出下列各数的n 次方根.(1)25的平方根是_______; (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____;(4)16的四次方根是_____; (5)a 6的三次方根是_____; (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a 的n 次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.(1) 奇次方根有以下性质：(2) 偶次方根有以下性质：(3) 零的任何次方根都是2 / 3二、n 次根式性质探究1：=33)2( =-33)8( =2)3(=-55)32( a a n n =）（次根式性质:1n ）且（+∈>N n n ,1 探究2：=332=-33)2( =23 =-2)3( ⎩⎨⎧=为偶数为奇数：次根式性质n a n a a n n n ||2）且（+∈>N n n ,1知识应用：例1:求小列各式的值：）（）（）（b a b a >----244233)()4()3()3()10()2(81π 例2：如果 1<x<2，化简22122-++-x x x例3：已知三角形的三边a ，b ，c 满足例4：若，则a 的取值范围是？例5：计算提升总结：1.n 次根式的定义2. 如果x n =a ，那么c a b c b a --+-+44)(131692-=+-a a a223223-++3. n次根式的性质：课堂作业：优化62页3 / 3。

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)全册精品教案新人教A版必修1

2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）.在问题2中，我们已经知道23111,(),(),222…老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发学是正整数指数幂，它们的值分别为111 ,,, 248….那么，600010000100000573057305730 111(),(),()222的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.生的学习积极性.复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a=，则x叫做a的平方根.同理，若3x a=，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.形成概念类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n次方根：一般地，若n x a=，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用n a表示，如果是负数，用n a-表示.当n为奇数时，a的n次方根用符号n a表示，n a叫做根式.其中n称为根指数，a为被老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.开方数.深化概念类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？nnn a n aan a n a⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为nn a n aan a n⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：()nn a a=()nn a a=肯定成立，n n a表示a n的n次方根，等式n n a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=；n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩.举出实例，加深理解.通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-. （3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n的奇偶性对式子n n a值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==||2|2=+---=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。