2015-2016学年高中数学 3.1.1 回归分析课件北师大版选修2-3

合集下载

高中数学3-1-1回归分析同步课件北师大版选修

y1＋y2＋…＋yn 用 y 表示数据 y1，y2，…，yn 的平均值，即 y ＝ n
＝
1n . y i ni＝1
(2)参数 a、b 的求法 n n xiyi－n x y lxy xi－ x yi－ y b＝＝ i＝1 ＝ i＝1 ， lxx
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
809 x ＝7， y ＝， 7
7 2 xi ＝371， xiyi＝5 i＝1 i＝1

7

798
xiyi－7 x y
i＝1
7
b＝
2 － 7 x x2 i i＝1
7
809 5 798－7×7× 7 ＝ ≈4.82， 371－7×72
809 ^ a＝ y －b x ＝－4.82×7≈81.83. 7 所以线性回归方程为 y＝81.83＋4.82x.
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方
程
解析只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二
乘法求出线性方程才有意义．
答案 D
题型二求线性回归方程
【例2】已知某地区4岁～10岁女孩各自的平均身高数据如下： 4 100 5 106 6 112 7 116 8 121 9 124 10 130
年龄x/岁身高y/cm
求y对x的线性回归直线方程．
[思路探索] 要求线性回归方程 → 运用最小二乘法 → 求出a，b
解制表 i xi yi xi yi 1 4 100 400 2 5 106 530 3 6 112 672 4 7 116 812 5 8 121 968 6 9 124 1 116y －b x

2015-2016学年高中数学第3章 1回归分析课件北师大版选修2-3

xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝Байду номын сангаас i＝1
n
n
b＝
＝
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
n
，a＝ y －b x .
3．相关系数假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)、(x2，y2)、„、(xn， yn)，则变量间线性相关系数 r 的计算公式如下：
第三章
§1 回归分析
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课时作业
课前自主预习
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点
图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．
2．通过求线性回归方程，探究相关性检验的基本思想． 3．通过对典型案例的探究，体会回归分析在生产实践和
日常生活中的广泛应用．
而求回直线的最好方法是“最小二乘法”，即对于线性回归模型 y＝bx＋a 来说，估计模型中的未知参数 a 和 b 的最好方法就是用最小二乘法估计 a 和 b，其计算公式为 b＝ x yi－－ y xiyi－n－ x － y xi－－
i＝ 1 i＝1 n n
＝ x xi－－
3．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm) 具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，„，n)，用最小二乘法建立的回归方程为^ y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( ．．． )
A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(－ x ，－ y) C．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg

高中数学 3.1.1 回归分析课件北师大版选修23

3．情感、态度与价值观 (1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题． (2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心． (3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变量的相关关系．
●重点难点重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法．难点：求线性回归方程的系数 a，b；相关系数；选择不同的模型建模．
求线性回归方程的步骤：
n
n
(1)列表求出 x ， y ，∑x2i ，∑xiyi；
i＝1
i＝1
(2)利用公式
n
∑xiyi－n x y
b＝i＝1n
，a＝ y －b x ，求出 b，a；
∑x2i －n x 2
i＝1
(3)写出线性回归方程．
观察两相关量得如下数据： x －1 －2 －3 －4 －5 5 3 4 2 1 y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 7 9
线性回归方程
【问题导思】 1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？【提示】确定线性回归直线方程，只需确定 a，b 两个量即可． 2．在线性回归方程 y＝a＋bx 中，当一次项系数 b 为正数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？
【提示】说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．
1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重 y 与身高 x.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．
2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间的散点图．

高中数学北师大版选修2-3 回归分析课时2 课件(28张)

的数据, 得到 y 关于 t 的线性回归方程 ˆ 2 0.367t 202.54,即 y 关于 x 的二次回归方程为 y ˆ 2 0.367x 2 202.54. 7 y
表1 5
t 441 529 y 7 11
625 21
729 24
841 1024 1225 66 115 325
从图 1.1 6中可以看出 , y与 t 的散点图并不分布在一条直线的周围 ,因此不宜用线性回归方程来拟合它, 即不宜用
2
350 300 250
产 200 卵 150 数 100
3.1 回归分析的基本思想
及其初步应用
（第二课时）
1 ．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用． 2 ．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法． 3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．
本节课通过例题线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引导学生寻找解决非线性回归问题思想与方法，培养学生化归数学思想。通过知识的整理，通过例题讲解掌握解决非线性回归问题。本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固解决非线性回归基本思想方法及初步应用．
(6)
温度
另一方面,可以认为图11-4中样本点集中在某二次曲线

高中高中数学北师大版选修2-3练习课件3.1 回归分析精选ppt课件

解：对甲模型：y＝0.1x＋1，
4
残差平方和 (yi－yi)2＝0.0109；
i＝1
4
对乙模型：残差平方和 (yi－yi)2＝0.0049；
i＝1
4
对丙模型：残差平方和 (yi－yi)2＝0.0001406.
i＝1
显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际．
课后提升训练
温馨提示：请点击按扭进入WORD文档作业
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
与 x 之间的回归方程为________．
n
xiyi－n x y
i＝1
解析：利用公式 b＝
，a＝ y －b x 代入数据
n
x2i －n x 2
i＝1
即可求得．
答案：y＝11.47＋2.62x
知识点二
回归分析的基本思想
4.对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2,1.2)， (3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x ＋0.7，丙y＝－0.8·(0.5)x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
A．10亿 B．9亿 C．10.5亿 D．9.5亿解析：∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10 ＋e， ∵|e|≤0.5，∴y≤10.5. 答案：C
3．某化工厂为预测某产品的回收率 y，需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系，现取 8 对观测值，
8Hale Waihona Puke 888计算得xi＝52，yi＝228，x2i ＝478，xiyi＝1849，则 y
A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200 解析：∵商品销售量y(件)与销售价格x(元/ 件)负相关，∴a<0，排除B、D.又∵x＝0时，y≥0. 答案：A

(北师大版)数学选修2-3课件：第3章-回归分析ppt课件

马的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之不的的的瓦攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为再他静的攻阿伯啊莱将里维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟给萨德舞多防罗尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

北师大版高中数学选修2-3课件：3.1.1 回归分析

由散点图可以看出，两个变量之间呈现出近似的线性关系，所以可以建立弹簧长度y 对拉力x的线性回归方程．
备课素材
[例] 弹簧长度y(cm)随拉力x(N)不同而变化的情况如下：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
(1)求出弹簧长度y对拉力x的线性回归方程； (2)预测当拉力为18N时，弹簧的长度是多少．
考点类析
【变式】下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据:
销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12
(3)当x=9时,y=1.1×9+4.6=14.5.
故当销售量为9吨时,估计销售收入约为14.5万元.
(1)画出散点图; (2)求出线性回归方程; (3)根据线性回归方程估计销售量为9吨时的销售收入.
(1)请判断y与x是否具有线性相关关系;
解:(1)画出数据的散点图如图所示, 直观判断散点分布在一条直线附近, 故具有线性相关关系.
考点类析
例3 一家保险公司为了研究营业部加班对签发新保单的影响,做了10次试验,得数据如下:
每月加班时 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 间x(h) 签发的新保单 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 数y(单)
考点类析
考点类析
x
5
6
7
8
y 10 8
7
3
[答案] 6.8
考点类析
备课素材
回归分析的应用回归分析的应用主要体现在两个方面： (1)对两个变量关系的判断，通过分析两个变量的变化关系，利用最小二乘法可以求出对应的线性回归方程； (2)对变量值的预测，即由给定的变量值预测与其有相关关系的变量值．

北师大版高中数学选修2-3 第三章3.1.3可线性化的回归分析教学课件 (共20张ppt)

函数关系是一种理想的关系模型. 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般
的情况.
求线性回归直线方程有哪几个量？
① lxx
② l xy
③ l yy
④ b l xy l xx
⑤a yb x ⑥ r
l xy l xx l yy
例题1.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（x）个
加工时 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 间y
(1)y与x是否具有线性相关？ (2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程 (3)预测加工200个零件需花费多少时间？
引入新授问题
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
方案3
问题１问题２
如何选取指数函数的底?
y c1ec2x 对数变换
非线性关系
y=bx+a 线性关系
方案3解答
对数变换：在 y c1ec2x 中两边取常用对数得
ln y ln(c1ec2x ) ln c1 ln ec2x ln c1 c2 x ln e c2 x ln c1
令 z ln y, a ln c1, b c2 ，则 y c1ec2x
收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
探索新知
选变量画散点图选模型估计参数分析和预测

北师大版高中数学选修2-3课件：3.1.2 相关系数 3.1.3 可线性化的回归分析

预习探究
3.非线性回归问题可以通过换元法转化为线性回归问题来解决,常见曲线方程的变换公式如下表:
曲线方程
换元
换元后的线性方程
y'=a+bx'
y=axb y'=ln y,x'=ln x y'=A+bx'(A=ln a)
y=a+bln x y'=y,x'=ln x
y'=a+bx'
备课素材
1．为什么要采用相关性检验？
考点类析
[小结] 对于非线性回归问题,我们可以利用已知数据画出散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图像进行比较,挑选一种跟散点图拟合得最好的函数,采用适当的变量变换,把问题化为线性回归问题,使之得到解决.
考点类析
【拓展】为了研究某种细菌随天数x的变化繁殖个数y的变化情况,收集数据如下:
新课导入
[导入一] 复习启发导入上节课，我们已经学习了最小二乘法，并会求解变量之间的线性回归方程，那么两个变量之间的线性相关程度还可以用什么来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的相关系数问题，进入课题．
新课导入
[导入二] 有关法律规定：香烟盒上必须印有“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？要回答这样的问题，我们一起来学习本节的知识．
考点类析
考点一变量相关关系的判断
例1 对变量x,y由观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得散点图3-1-2(1);对变量u,v由观测数据 (ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图3-1-2(2).由这两个散点图可以判断 ( ) A.变量x与y正相关,u与v正相关

高中数学 3.1回归分析(一)教案北师大选修2-3

3.1 回归分析教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()ni i i nii x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；将y a bx ε=++称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，根据线性回归模型，对于每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使21nii ε=∑越小越好．所以，只要求出使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取得最小值时的α，β值作为a ，b 的估计值，记为a ，b ．注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离．用什么方法求a ，b ？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到a ，b 的计算公式为1122211()()()()n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑由此得到的直线y a bx =+就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a ，b 分别为a ，b 的估计值，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3．线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b 个单位；4．化归思想（转化思想）在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．（1）b y a x =+，令'y y =，1'x x=，则有''y a bx =+．（2）b y ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（3）bx y ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（4）b xy ae =，令'ln y y =，1'x x=，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．四．数学运用 1．例题：例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用y表示，作出11个点(),x y 构成的散点图，由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系．根据公式（1）可得14.453,527.591.b a ⎧≈⎪⎨≈⎪⎩ 这里的,a b 分别为,a b 的估计值，因此线性回归方程为527.59114.453y x =+由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程527.59114.453y x =+可得1322.506y =（百万），即2004年的人口总数估计为13.23亿. 例2．某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x （万元）与人均产出y （万元）的数据：（1）设y 与x 之间具有近似关系b y ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计a 和b 的值；（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．分析：根据x ，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对b y ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系．解（1）在b y ax ≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．仿照问题情境可得A ，b 的估计值A ，b 分别为0.2155,1.5677,A b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩由lg 0.2155a =-可得0.6088a ≈，即a ，b 的估计值分别为0.6088和1.5677．（2）由（1）知1.56770.6088y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P页）当16x =时， 1.56770.60881647.01y =⨯≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．2．练习：104P 练习第1题．五．回顾小结：1．线性回归模型y a bx ε=++与确定性函数y a bx =+相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系（非确定性关系）其中的随机误差ε提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具；2．线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b 个单位； 3．求线性回归方程的基本步骤．六．课外作业：106P 第2题．回归分析(2)教学目标（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用；（2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；（3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用．教学重点，难点相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤．教学过程一．问题情境1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．二．学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．三．建构数学1．相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，样本相关系数r 的计算公式为()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑．()22．相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3．对相关系数r 进行显著性检验的步骤：相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系．说明：1．对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2．这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释． 4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：（1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =；（3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为527.59114.453y x =+是有意义的．四．数学运用 1．例题：例1．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，因为()1541571638159.25x =+++÷=，()1551561668161y =+++÷=，()82222218()1541638159.2559.5ii xx =-=++-⨯=∑， ()82222218()1551668161116ii yy =-=++-⨯=∑，()8181541551631668159.2516180iii x y x y =-⨯++⨯-⨯⨯=∑，所以963.01165.5980≈⨯=r ，由检验水平0.05及26n -=，在附录2中查得707.005.0=r ，因为0.9630.707>,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bx ε=++中,a b 的估计值,a b 分别为()8182218 1.345,8i ii ii x y x yb xx==-=≈-∑∑ 53.191a y bx =-≈-，故y 对x 的线性回归方程为x y 345.1191.53+-=．例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随10（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．解：(1)因为()16367767010x =⨯+++=，()16578757610y =⨯+++=， 101()()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2101()2474xx i i L x x ==-=∑，1021()2056yy i i L y y ==-=∑．因此求得相关系数为10()()0.840iix x y y L r --===∑．结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；小结解决这类问题的解题步骤：（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近；（2）求相关系数r ；（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（4）计算a ，b ，写出线性回归方程． 2．练习：104P 练习第1题．五．回顾小结：1．相关系数的计算公式与回归系数b 计算公式的比较； 2．相关系数的性质；3．探讨相关关系的基本步骤．P习题3.2第1题．六．课外作业：106。

3.1《回归分析》课件(北师大版选修2-3)

5.下表是某厂～4月份用水量(单位:百吨)的一组数据,
由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，
并且其线性回归方程是y=-0.7x+a,则a=_____.
【解题提示】由 a=y-b x 即可求得a的值.
【解析】x=2.5,y=3.5, b=-0.7,
∴a=3.5-（-0.7）×2.5=5.25.
题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分） 1.下列变量之间的关系是相关关系的是（）
（A）某家庭一个月的电费与用电量
（B）小麦的产量与施肥量（C）圆的面积与半径
（D）角的余弦值与它的弧度数
答案：5.25
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值（即人均GDP）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：
（1）画出散点图；
（2）求y对x的线性回归方程；
（3）如果这个省的某一城市同时期年人均GDP为12万元，估计这个城市一年患白血病的儿童数目.
≈381，估计这个城市一年患白血病的儿童数目约为381.
7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程
y=a+bx；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.
1.（5分）（2010·湖南高考）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是（（A）ˆ =-10x+200 y

2015-2016学年高中数学 3.1.3 可线性化的回归分析课件北师大版选修2-3

身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)画出散点图. (2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年
男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (3)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为
x1
2 3 5 10
y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11
x 20 30 50 100 200 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数1��之间是否具有线性相关关系;如有,求出 y 对 x 的回归方程.
分析:本题是非线性回归问题,要通过变量置换,把非线性回归问题转化为线性回归问题,然后利用解决线性回归问题的方法处理.
反应速度 y/(g/min)
6 8 30 27 70 205 65 350
-22-
学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
1234
解:根据收集的数据作散点图如图所示:
根据样本点分布情况,可选用两种曲线来进行拟合. (1)可认为样本点集中在某二次曲线 y=c1x2+c2的附近.令 t=x2,则变换后样本点应该分布在直线 y=bt+a(b=c1,a=c2)的周围.
偏瘦,那么这个地区一名身高为 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常?
-14-
学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
题型一
题型二
解:(1)作散点图如图所示.