培优专题9_分式方程及其应用(含答案)

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2021年中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用(含答案)

2021中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 若1=-4x ，则x 的值是（）A.4B.41C.41- D.﹣42. 分式方程=1的解是 ( ) A .x=1 B .x=-1 C .x=2D .x=-23. （2020·广西北部湾经济区）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（） A ． B ． C ．20D ．204. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（） A.62103(1)-=x xB.621031=-x C.621031-=x xD.62103=x5. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程xmx =-12有正整数解，则整数m 的值是（） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或46. （2020·长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x 万件，依据题意得 ·············································································· （） A ．xx 50030400＝－ B ．30500400＋＝x x C ．30500400－＝x x D ．xx 50030400＝＋7. （2020·宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（）A ．150008x -＝12000xB ．150008x +＝12000xC ．15000x ＝120008x -D ． 15000x ＝12000x +88. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（） A ．40 B ．40 C ．40D ．409. （2020•遂宁）关于x 的分式方程﹣＝1有增根，则m 的值（） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣310. （2020·湖北荆州）八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为/xkm h ,则可列方程为( ) A. 1010202x x B. 1010202x x C.1010123x x D. 1010123x x二、填空题（本大题共10道小题）11. 方程 12x ＝2x －3的解是________．12. （2020·广州）方程3122x x x 的解是 .13. 2019·铜仁分式方程5y －2＝3y的解为________．14. （2020·菏泽）方程111-+=-x x x x 的解是______．15. （2020·江苏徐州）方程981x x =-的解为 .16. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．17. 若关于x 的分式方程+=2m 有增根，则m 的值为 .18. 若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________.19.(2020·湘潭)若37y x =，则x yx-=________．20. （2020·内江）若数a使关于x 的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________三、解答题（本大题共6道小题）21. （2019·上海）解方程：228122x x x x-=--22. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？23. （2020·泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？24. （2020·毕节）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少?25. （2020·黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求: （1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？26. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？2021中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C【解析】去分母得-4x ＝1，解得x ＝-14．因为x ＝-14≠0，则方程的解为x ＝-14．故选C ．2. 【答案】B[解析]去分母得，1=x +2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，故选B .3. 【答案】 A【解析】因为提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm /h ，根据题意可得：．因此本题选A ．4. 【答案】A【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列分式方程A ，因此本题选A ．5. 【答案】D 【解析】首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程xm x =-12可化为整式方程2x ＝m (x -1)，∴x ＝2212-+=-m m m ，而分式方程有正整数解，∴m ﹣2＝1，m ﹣2＝2，∴m ＝3，m ＝4，经检验，符合题意，故选D.6. 【答案】B【解析】本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间＝数量÷效率，而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，所以30500400＋＝x x ，因此本题选B ．7. 【答案】B【解析】设文学类图书平均每本x 元，则科普类图书平均每本（x +8）元，根据“用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等”得：150008x ＝12000x ．8. 【答案】 A ．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：40，即40．因此本题选A ．9. 【答案】去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．10. 【答案】C【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大.解：设骑车学生速度为x /km h ，则汽车的速度是2 x /km h ，依题意，得：1010123x x．因此本题选C ．二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】x ＝－1 【解析】化简12x ＝2x －3得x －3＝4x ，则－3x ＝3，所以x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的根．12. 【答案】32x【解析】本题考查了分式方程的解法，过程如下：解：3121x x x两边同乘21x ，得23x 32x检验：当32x时，21x ≠0 ∴ 原分式方程的解为32x ，因此本题答案是32x．13. 【答案】y ＝－3 [解析] 去分母，得5y ＝3y －6，解得y ＝－3.经检验，y ＝－3是分式方程的解．则分式方程的解为y ＝－3.14. 【答案】 x ＝31【解析】解分式方程的基本思路是通过去分母化为整式方程求解，解分式方程必须验根，把可能产生的增根舍去．方程两边同乘x (x －1)，得(x －1)2＝x (x ＋1)，化简，得3x ＝1．∴x ＝31．经检验，x ＝31是原分式方程的根．15. 【答案】x =9【解析】把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 .∵981x x =-，把两边同时乘以x (x -1)，得9x -9=8x ，∴x =9，经检验x =9是原方程的根.16. 【答案】240x ＝2401.5x ＋2 【解析】实际每天加工零件1.5x 个．原计划的工作时间＝240x (天)，实际的工作时间＝2401.5x (天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程240x ＝2401.5x ＋2．17. 【答案】1[解析]分式方程去分母，得:x -2m=2m ·(x -2)，若原分式方程有增根，则x=2，得2-2m=2m (2-2)，解得m=1.18. 【答案】17 [解析] 由方程x －4x＝3得x －4＝3x.解得x ＝－2.当x ＝－2时，x≠0.所以x ＝－2是方程x －4x ＝3的解．又因为方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同，因此x ＝－2也是方程ax a －1－2x －1＝1的解．这时－2a a －1－2－2－1＝1.解得a ＝17.当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．19. 【答案】47【解析】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．根据比例的基本性质变形，代入求职即可；由37y x =可设3y k =，7x k =，k 是非零整数，则7344777--===x y k k k x k k ．故答案为：47．20. 【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键．根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a ≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a >0，找出0<a ≤5且a ≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．分式方程2311x a x x ++=--的解为x =52a -且x ≠1，∵分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，∴502a -≥且52a -≠1.∴a ≤5且a ≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①②解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y <a .∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，∴a >0. ∴0<a ≤5且a ≠3.又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=．因此本题答案为：40．三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】x ＝－4 【解析】去分母得：2x 2－8＝x 2－2x ，即x 2＋2x －8＝0，分解因式得：(x －2)(x ＋4)＝0，解得：x ＝2或x ＝－4，经检验x ＝2是增根，所以原分式方程的解为x ＝－4．22. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．23. 【答案】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元．根据题意，得：4000x ＋10﹦84001.4x ．解得x ﹦200．经检验：x ﹦200是原方程的根． ∴1.4x ﹦1.4×200﹦280（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进（100—m ）盒．打折前A 种茶叶的利润为m2 ×100﹦50m ．B 种茶叶的利润为100—m2 ×120﹦6 000—60m ．打折后A 种茶叶的利润为m2 ×10﹦5m ． B 种茶叶的利润为0．由题意得：50m ＋6 000—60m ＋5m ﹦5800．解方程，得：m ﹦40．∴100—m ﹦100—40﹦60（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．24. 【答案】解：（1）设每个乙种书柜的进价是x 元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x 元．根据题意，得5400120%x +（）＝6300x－6．解得x ＝300．经检验x ＝300是原方程的解．当x ＝300时，（1+20%）x ＝360．所以每个乙种书柜的进价是300元，每个甲种书柜的进价是360元．（2）设购进乙种书柜a 个，则购进甲种书柜（60－a ）个．设购进书柜所需费用w 元．根据题意，得w ＝360（60－a ）＋300a ＝－60＋21600． ∵2（60－a ）≥a ，∴a ≤40．所以该校应购进乙种书柜40个，购进甲种书柜20个时，购进书柜所需费用最少．25. 【答案】解:（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意得80000x＝80000(110%)200x--，解得:x＝2 000．经检验，x＝2 000是原方程的根．答:去年A型车每辆售价为2 000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车(60－a)辆，获利y元.由题意得y＝(1800－1500)a＋(2400－1800)(60－a)．整理，得y＝－300a＋36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20．∵y＝－300a＋36000中k＝－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝20时，y有最大值，∴B型车的数量为:60－20＝40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．26. 【答案】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，由题意列方程，得601002a a=-，解得，5a=.经检验5a=是原分式方程的根.答：超市B型画笔单价是5元.（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.所以4.5,(20)410,()x xyx x≤⎧=⎨+⎩＞20，其中x为正整数.（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去. 当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.答：小刚能购买65支B型画笔.。

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解)

（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？
（2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用元网购的型口罩与小磊家用元在药店购买的型口罩的数量相同，型与型口罩的单价之和为元，求两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？

分式方程及其应用精讲精练

分式方程及其应用精讲精练
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；
（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
A．＝ B． +80＝C．＝ ﹣ Nhomakorabea0 D．＝
1.解分式方程注意事项
(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
2.列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
A． B． C． D．
4．分式方程＝1的解是（）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
5．关于x的方程有增根，则a的值为（）
A．－4B．－6C．0D．3
6．已知实数，满足，那么的值为（）
A． B． C．1D．2
7．已知关于x的方程无解，则m的值是___．
8．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
课后练习

新北师大版-分式方程及其应用(知识点+例题+课堂练习+课后练习完整版)

分式方程及其应用【知识要点】1．分式方程的概念：字母里面有未知数的方程．2．分式方程的解法：（1）去分母：将分式方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根3．增根：使分式方程中分母为0的根，叫做方程的增根，应舍去．【典型例题】例1 解方程（1）2235211787x x x x x x x ----=----+ （2）x x x x -=-+-3231例2 解方程（1）22416222-+=--+-x x x x x （2）()()365212222-=+----x x x x x x x（3）96999624822222+--=-++++x x x x x x x x （4）61514171-+-=-+-x x x x例3 （1）a 为何值时，方程323-+=-x a x x 会产生增根？例4 .甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度?例5．轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度。

例6．某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的31，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？课堂练习1．下列方程：①153=-x ；②23=x ；③2151=++x x ；④522=+xx 是分式方程的有（） A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、②③④2．已知x x --424与54--x x 的值互为倒数，x 的值为（） A 、-1 B 、0 C 、21 D 、1 3．方程xx x +-=+333的解的情况为（） A 、3=x B 、3-=x C 、解为除-3以外的任意数 D 、无解4．方程51222-=x x 的解是． 5．分式方程0332=--x x x 的增根是． 6．若分式方程424-+=-x a x x 有增根，则=a ． 7．解方程（1）91232312-=--+x x x （2）6273232+=-+x x（3）41441441222-=++-+-x x x x x （4） 81614121---=---x x x x8 .当a 取何值时，方程359342+=-+-x x ax x 会产生增根．9．一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为7:4求原数。

分式方程及其应用(含答案)

分式方程及其应用【中考真题】【2019葫芦岛】某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（）A．300x−300x+2=5B．3002x−300x=5C．300x−3002x=5D．300x+2−300x=5基础知识过关1．＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的方程叫做分式方程；2．解分式方程的基本思想是把分式方程化为＿＿＿＿＿＿；3．分式方程的增根是使＿＿＿＿＿＿为零的未知数的值，增根是在＿＿＿的过程中产生的；4．因为可能有增根的产生，因此分式方程的相关问题一定要注意＿＿＿＿＿＿．透析考纲分式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．精选好题【考向01】分式方程的相关概念【试题】【2019鸡西】已知关于x 的分式方程2x−m x−3=1的解是非正数，则m 的取值范围是（）A ．m ≤3B ．m ＜3C ．m ＞–3D ．m ≥–3【好题变式练】1．下列各式中是分式方程的是（）A ．1xB ．x 2+1＝yC ．x2+1＝0D ．1x−1=22．【2019宿迁】关于x 的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿．【考向02】分式方程的解法【试题】【2019益阳】解分式方程x2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A ．x +2＝3B ．x –2＝3C ．x –2＝3（2x –1）D ．x +2＝3（2x –1）解题关键本考点主要考查分式方程的相关概念：分式方程的定义及特征、分式方程的解，均为基础知识的考查，难度不大，一般以选择题或填空题的形式出现．要点归纳分式方程的特征：（1）方程中含有分母；（2）分母中含有未知数．分式方程的解：使分式方程左右两边相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）．【好题变式练】1．【2019淄博】解分式方程1−x x−2=12−x−2时，去分母变形正确的是（）A ．–1+x ＝–1–2（x –2）B ．1–x ＝1–2（x –2）C ．–1+x ＝1+2（2–x ）D ．1–x ＝–1–2（x –2）2．【2019宁夏】解方程：2x+2+1=xx−1．【考向03】分式方程的增根【试题】【2019烟台】若关于x 的分式方程3xx−2−1=m+3x−2有增根，则m 的值为＿＿＿＿＿．解题技巧代数式的书写规范属于基础知识的考查，解题的关键是掌握相关的书写规则并在日常书写代数式时引起足够重视，严格按规则书写即可．要点归纳解分式方程的步骤：(1)去分母：在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方法转化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)检验：把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中，看结果是否为0； (4)写出原分式方程的解．【好题变式练】1．若分式方程3x−ax 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（）A ．0或2B ．4C ．8D ．4或82．当m ＝＿＿＿＿＿时，解分式方程x−5x−3=m 3−x会出现增根．【考向04】分式方程的应用【试题】【2019湘潭】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为（）A ．120x−20=90x B ．120x+20=90xC ．120x=90x−20D ．120x=90x+20解题技巧分式方程的增根问题属于分式方程中的重点、难点问题，在涉及到分式方程的相关问题时，一定要注意检验，同时要清楚分式方程增根产生的原因，从而解决与增根有关的问题．要点归纳分式方程的增根：在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根．增根产生的原因：分式方程两边同乘以一个零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是分式方程的根．【好题变式练】1．【2019辽阳】某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（）A ．60×(1+25%)x −60x=60 B ．60x −60×(1+25%)x =60C ．60(1+25%)x−60x=60 D ．60x−60(1+25%)x=602．【2019朝阳】佳佳文具店购进A ，B 两种款式的笔袋，其中A 种笔袋的单价比B 种袋的单价低10%．已知店主购进A 种笔袋用了810元，购进B 种笔袋用了600元，且所购进的A 种笔袋的数量比B 种笔袋多20个．请问：文具店购进A ，B 两种款式的笔袋各多少个？解题技巧分式方程的应用的属于高频考点，常以解答题形式出现，且经常和其它知识点（如不等式等）结合进行综合考查，一般难度为中等．列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的数量关系，列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符号实际意义．要点归纳列分式方程解应用题的一般步骤（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．（3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程．（4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值．（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．（6）答：即写出答案，注意答案完整．过关斩将1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x=12B．1x=2C．x+25=3+x4D．3x–2y＝12．【2019•遂宁】关于x的方程k2x−4−1=x x−2的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞–4B．k＜4C．k＞–4且k≠4D．k＜4且k≠–43．【2019•哈尔滨】方程23x−1=3x的解为（）A．x=311B．x=113C．x=37D．x=734．如果解关于x的分式方程mx−2−2x2−x=1时出现增根，那么m的值为（）A．–2B．2C．4D．–45．【2019•永州】方程2x−1=1x的解为x＝＿＿＿＿＿．6．【2019•巴中】若关于x的分式方程xx−2+2m2−x=2m有增根，则m的值为＿＿＿＿＿．7．【2019•盘锦】某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15 km，一部分学生骑自行车先走，过了15 min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是＿＿＿＿＿km/h．8．【2019•济南】为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售．若学校当天再购买A种图书20本和B种图书25本，共需花费多少元？参考答案过关斩将1．B 【解析】A 、C 、D 项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程，故选B ．2．C 【解析】分式方程去分母得：k –（2x –4）＝2x ，即k +4＝4x ，解得：x =k+44，根据题意得：k+44＞0，且k+44≠2，解得：k ＞–4，且k ≠4．故选C ．3．C 【解析】方程两边同时乘以x(3x −1)得：2x ＝9x –3，∴x =37；经检验x =37是方程的根，∴方程的解为x =37，故选C ．4．D 【解析】去分母，方程两边同时乘以x –2，得：m +2x ＝x –2，由分母可知，分式方程的增根是2，当x ＝2时，m +4＝2–2，m ＝–4，故选D ．5．–1【解析】去分母得：2x ＝x –1，解得：x ＝–1，经检验x ＝–1是分式方程的解，故答案为：–1． 6．1【解析】方程两边都乘x –2，得x –2m ＝2m （x –2）∵原方程有增根，∴最简公分母x –2＝0，解得x ＝2，当x ＝2时，2–2m ＝0，即m ＝1，故m 的值是1，故答案为1． 7．20【解析】设学生骑自行车的速度是x km/h ，则公交车的速度是1.5 x km/h ，由题意得：15x−151.5x=1560，解得：x ＝20，经检验x ＝20是原方程的解，答：骑车学生每小时行20千米．8．（1）A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．（2）共花费880元．【解析】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，依题意，得：30001.5x−1600x=20，解得：x ＝20，经检验，x ＝20是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x ＝30．答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共需花费880元．。

中考数学总复习《分式方程及其应用》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《分式方程及其应用》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识梳理分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.同步练习一、选择题1．为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的43，小李乘公交车上班平均每小时行驶（）A．30km B．36km C．40km D．46km2．某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为x元，根据题意列出方程，其中正确的是（）A．11 4.525020x x=⨯++B．1100004500025020x x=⨯++C．1100004500025020x x=⨯+-D．1100004500025020x x=⨯-+3．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（）A．80千米/小时B．90千米/小时C．100千米/小时D．110千米/小时4．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为900900213x x⨯=+-，其中x表示（）A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对5．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单6．一个圆柱形容器的容积为3Vm，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用t则大，小两根水管的注水速一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间min.7．八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车A．实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果延误3天完成了这一任务B．实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果提前3天完成了这一任务C．实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果延误3天完成了这一任务D．实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果提前3天完成了这一任务二、填空题数称为调和数，如15，5，3也是一组调和数．现有一组调和数：x ，3，2(3)x >，则x = ． 12．甲、乙两船从相距150km 的A ，B 两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A 地顺流航行90km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h ，则江水的流速为 km/h ． 13．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件.已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需小时．甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的12；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率⨯工作时间=工作总量．三、解答题14．为深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某单位积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗、已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．（1）求甲种树苗的单价；（请根据题意列方程解答）（2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？15．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为ρ甲，ρ乙的液体混合（ρρ<甲乙），研究混合物的密度（=物体的质量物体的密度物体的体积），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为1ρ，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为2ρ．(1)请用含ρ甲，ρ乙式子表示1ρ；(2)比较1ρ，2ρ的大小，并通过运算说明理由：(3)现有密度为31.2g /cm 的盐水600g ，加适量的水（密度为31.0g /cm ）进行稀释，问：需要加水多少g ，才能使密度为31.1g /cm 的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？16．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg 产品，甲型机器人搬运800kg 产品所用时间与乙型机器人搬运600kg 产品所用时间相等．根据以上信息，解答下列问题．(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运kg x 产品，可列方程为__________．小惠同学设甲型机器人搬运800kg 产品所用时间为y 小时，可列方程为__________．(2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．17．某大型品牌书城购买了A B 、两种新出版书籍，商家用1600元购买A 书籍，1200元购买B 书籍，A B 、两种书籍的进价之和为40元，且购买A 书籍的数量是B 书籍的2倍．(1)求商家购买A 书籍和B 书籍的进价；(2)商家在销售过程中发现，当A 书籍的售价为每本25元，B 书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A 书籍，25本 B 书籍．据统计，B 书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本．商家在保证A 书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B 的销量，想使A 书籍和B 书籍平均每天的总获利为775元，则每本B 书籍的售价为多少元?18．为更好地满足市民休闲、健身需求，提升群众的幸福感获得感，丰都县从年初开始对滨江公园进行“微改造”、“精提升”，将原有的边坡地带改造为观景平台，同时增设多处具有体育、文化、智慧元素的文体场所和设施，把3.5公里滨江健身长廊打造成智慧休闲乐园．施工过程中共有5000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土，已知甲、乙两个工程队，原计划乙平均每天运走的渣土比甲平均每天运走的渣土多13，这样乙运走2600吨渣土的时间比甲运走剩下渣土的时间少3天． (1)求原计划乙平均每天运渣土多少吨？(2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m 吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了200m ，甲、乙合作10天后，乙临时有其他任务；剩下的渣土由甲再单独工作5天完成．若运走每吨渣土的运输费用为30元，请求出乙工程队的运输费用．答案第1页，共1页参考答案 1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】810．【答案】1260012600251.5x x-= 11．【答案】612．【答案】613．【答案】319414．【答案】（1）40元（2）34棵15．【答案】(1)12ρρρ+=乙甲(2)12ρρ>(3)需要加水50g 16．【答案】(1)80060010x x=+ 80060010y y -=(2)乙型机器人每小时搬运30kg 产品 17．【答案】(1)商家购买A 书籍的进价为16元/本，购买B 书籍的进价为24元/本；(2)29元． 18．【答案】(1)200(2)6900。

培优专题9 分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得例2. 解方程分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：方程两边通分，得经检验：原方程的根是例3. 解方程：分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：即例4. 解方程：分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：原方程变形为：约分，得方程两边都乘以注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。

因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. B.C. D.分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

八年级数学培优——分式方程及其应用

第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【变式题组】⑴12xx--＝12x-－2⑵2xx-＋2＝3(2)xx-⑵14x-－23x-＝32x-－41x-⑷12x+＋242xx-＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根?【变式题组】 01．分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02．若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1 03．若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________.04．分式方程1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为___________.【例３】已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是_________.【变式题组】01．关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞－1 B ． a ＞－1，且a ≠0 C ．a ＜－1 D ． a ＜－1，且a ≠－202．当m 为何值时，关于x 的方程22m x x --＝1x x +－12x x --的解是正数?【例４】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?【变式题组】01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为( )A ．160x ＋()400120%x +＝18 B ．160x ＋()400160120%x -+＝18 C ．160x ＋40016020%x -＝18 D ．400x ＋()400160120%x-+＝1802．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01．关于x 的分式方程5mx -＝1，下列说法正确的是( ) A ．方程的解是x ＝m ＋5 B ．m ＞－5时，方程的解是正数 C ．m ＜－5时，方程的解是负数D ．无法确定02．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5 03．用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时，如果设1x x-＝y ，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0 B ．y 2－3y ＋1＝0 C ． 3y 2－y ＋1＝0 D ． 3y 2－y －1＝004．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏，根据题意，可得方程( )A ．900300x +＝1500x B ．900x ＝1500300x -C ．900x ＝1500300x + D ．900300x -＝1500x05．若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解，则a ＝___________. 06．方程1x x +＋3＝21x +的解为___________. 07．若x ＝1是方程21x a +＋22x a-＝0的解，则a ＝___________. 08．若A ＝1x x -，B ＝231x -＋1，当x ＝___________时，A ＝B ． 09．若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10．如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解，也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围.11．关于x的分式方程61x-＝()31xx x+-－kx有解，求k的取值范围.12．要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a的值.13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.14．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01．若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则有( )A ．x ＋2y ＋3z ＝0B ． 7x ＋5y ＋3z ＝0C ． 9x ＋6y ＋3z ＝0D ．10x ＋7y ＋z ＝002．某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A ．1233V V V ++B ．1231113V V V ++C ．1231111V V V ++D ．1233111V V V ++03．解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根，则m ＝___________. 04．方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.06．解下列方程:⑴12x x ++－17x +＝23x x ++－16x +⑵432x x +-＋324x x -+＝207．已知方程组22xy x y +＝23，32yz y z -＝－9，53xyzxy yz zx-+＝157恰好有一组解为x ＝a ，y ＝b ，z ＝C ．求a 2＋b 2＋c 2的值.08．设x、y都是整数，1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?。

分式方程及答案

分式方程及答案分式方程是指方程中含有分数的方程。

分式方程的求解是数学中重要的内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍分式方程的基本概念及求解方法。

一、分式方程的基本概念分式方程是由含有分数的代数式（称为分式）所构成的等式。

它的一般形式为：$\dfrac{A(x)}{B(x)}=C(x)$，其中$A(x)$、$B(x)$和$C(x)$均是关于$x$的多项式。

二、分式方程的求解方法1. 清除分母：首先要将分式方程中的分母清除掉，从而将分式转化为线性方程。

我们可以通过两边乘以分母的最小公倍数来实现，从而消去分母。

2. 求解线性方程：清除分母后，我们得到一个线性方程。

通过求解线性方程，我们可以得到解的集合。

三、实例分析让我们通过一个实例来更好地理解分式方程的求解过程。

假设我们要解下面的分式方程：$\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x+3}{4}=x+1$。

首先，我们可以通过乘以最小公倍数4来清除分母。

得到等式$2(x-1)+(x+3)=4(x+1)$。

接下来，我们进行求解线性方程的步骤。

首先展开方程，得到$2x-2+x+3=4x+4$。

继续化简，我们得到$3x+1=4x+4$。

继续移项和整理，得到$x=-3$。

所以，原方程的解为$x=-3$。

四、小结分式方程是数学中重要的内容之一。

通过清除分母并求解线性方程，我们可以得到分式方程的解。

在解决实际问题时，我们常常会遇到含有分数的方程，因此熟练掌握分式方程的求解方法对于数学学习和问题解决都具有重要意义。

以上就是对分式方程及其求解方法的简要介绍。

希望通过本文的阐述，读者能够对分式方程有更深入的了解，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

初中数学分式方程的应用培优训练题(附答案详解)

初中数学分式方程的应用培优训练题（附答案详解）1．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？2．已知一个长方形的面积为6，它的一边为x ，它的另一边长为y ，周长为p ．（1）填空：（用含x 的代数式表示）① y=__________；② p=__________；（2）当x 值从2增大到a+2时，y 的值减少了2，求增量a 的值；（3）当x=m 时，p 的值为1p ；当1x m =+时，p 的值为2p ，求21p p -的值，并化成最简分式．3．在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm.（1）如图1，点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿CB 匀速运动.两点同时出发，在B 点处首次相遇.设点P 的速度为xcm/s. 表示点Q 的速度是多少cm/s （用含x 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了2 cm ，并沿B→C→A 的路径匀速运动；点Q 保持原速度不变，沿B→A→C 的路径匀速运动，如图2.两点在AC 边上点D 处再次相遇后停止运动.又知AD=1cm.求点P 原来的速度x 的值.4．广州市中山大道快速公交（简称BRT ）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了300米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路20%，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？5．如果一辆汽车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上行驶的平均速度是多少千米∕小时？6．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度．7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1 3后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．（1）按原计划完成总任务的13时，已修建道路多少米？（2）求原计划每小时修建道路多少米？8．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．9．某单位在疫情期间用3000 元购进A、B 两种口罩1100 个，购买A种口罩与购买B 种口罩的费用相同，且A种口罩的单价是B 种口罩单价的1.2 倍求A，B 两种口罩的单价各是多少元？10．共有1500kg化工原料，由A，B两种机器人同时搬运，其中，A型机器人比B型机器每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，问需要多长时间才能运完？11．甲、乙两火车站相距1200千米，采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的2.5倍，从甲站到乙站的时间缩短了6小时，求列车提速前的速度．12．工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．13．A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A市去B市，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．14．阅读材料：一般情形下等式11x y+＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，1122+＝1成立，我们称(2，2)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：（1）数对(43，4)，(1，1)中，使11x y+＝1成立的“神奇数对”是；（2）若(5﹣t，5+t)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，求t的值；（3）若(m，n)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．15．某市从今年1月l同起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．16．小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？17．某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．18．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积.（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：第二届330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）. 19．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a ﹣1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的3a a+(kg)倍，求a 的值 (3)利用(2)中所求的a 的值，分解因式x 2﹣ax ﹣108＝_____.20．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于14,求这个分数. 21．设231,24x A B x x =-=--,当x 为何值时A 与B 的值相等． 22．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =.又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =. 应用上面的结论解答下列问题：(1)方程p x q x+=的两个解分别为12x =-，23x =，则p =_________，q =_________； (2)方程23x x -+=的两个解分别为1x a =，2x b =，求44a b +的值； (3)关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为()1212x x x x <、，求122122x x +-的值.23．列分式方程解应用题：从甲地到乙地的路程是15千米，小明骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，小亮骑自行车从甲地出发，结果同时到达，已知小亮的速度是小明速度的3倍，求小明，小亮两人的速度。

培优专题分式方程培优提高经典例题

培优专题分式方程培优提高经典例题分式方程专题例1：去分母法解分式方程1、$63x-216x^{\frac{2}{3}}-2=12$，解得$x=3$2、$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)(x-4)(x-2)}=\frac{1}{1}$，解得$x=-\frac{1}{2},1,3$3、$\frac{2x-7}{x-4}+\frac{4-x}{x+2}-\frac{x+6}{x-2}-\frac{x+5}{x-3}=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$，解得$x=-3,-1,2,3$例2：整体换元与倒数型换元：1、设$y=x+\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+2=6y^2$，解得$y=\frac{1}{2},2$，带回原式得$x=-1,\frac{1}{3}$2、设$y=x-\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+\frac{1}{y}=2$，解得$y=1,-1$，带回原式得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},0$3、设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程化为$3y-y^2=2$，解得$y=1,-\frac{1}{2}$，带回原式得$x=2,3$例3：分式方程的增根的意义1、若分式方程$\frac{a_1}{x-2}+\frac{2}{x-4}+2=\frac{x+1}{x}$有增根，则$a_1=6$2、关于x的分式方程$\frac{x}{x-1}-\frac{a}{x}=1$无解，则$a=2$3、若关于x的分式方程$\frac{36x+m}{x(x-1)}-1$有根，则$m=0$例4：一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙两车单独运这批货物分别运$2a$次、$a$次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了$180t$；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了$270t$．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运$1t$付运费$20$元计算)解：设甲车每次运货物量为$x$，则乙车每次运货物量为$mx$，丙车每次运货物量为$y$，则有$\begin{cases}2ax=180\\ay=2a-x\\my=270\end{cases}$，解得$x=20,m=3,y=8$，故乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的$3$倍，运费分别为$3600$元、$5400$元和$1600$元。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩，解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简：【解析】原式【答案】255x x+【例4】化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】由已知可知，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，，故【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

(word版)分式方程培优讲义

实用标准文档分式方程拔高讲练一、含有参数方程1．假设关于x的分式方程的解为非负数，那么a的取值范围是2．分式方程 =1﹣的根为3．假设数a使关于x的分式方程+ =4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的和为二、方程无解1．假设关于x的方程﹣=﹣1无解，那么m的值是2．假设 =0无解，那么m的值是3．假设关于x的分式方程﹣= 无解，求a= ．文案大全实用标准文档三、有增根1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为2、关于x的分式方程有增根，那么增根为．3、假设关于x的方程有增根，那么m的值是．4、解关于x的方程+ = 产生增根，那么常数a=四、整体代入解方程1．在方程x2+2x+ =3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．3．如果实数x满足〔x+〕2﹣〔x+〕﹣2=0，那么x+的值是．四、实际问题1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=文案大全实用标准文档2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，那么可列方程为〔〕A．=B．=C．=D．=3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是〔〕A．B．C．D．4．2021年，在创立文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，方案种植树木30万棵，由于志愿者的参加，实际每天植树比原方案多20%，结果提前5天完成任务，设原方案每天植树x万棵，可列方程是〔〕A．﹣=5B．﹣=5C．+5=D．﹣=55．西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔〕A．+=1 B．+=C．+=D．+=1【同步训练】1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，那么符合条件的m的所有值的和是〔〕A．﹣2B．﹣4C．﹣7D．﹣82．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，假设数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是〔〕A．1B．2C．3D．43．假设关于x的分式方程+3=无解，那么实数m=．文案大全4．假设关于x的分式方程+=3的解为正实数，那么实数m的取值范围是．5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．6．某市为绿化环境方案植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原方案多20%，结果提前8天完成任务．假设设原方案每天植树x棵，那么根据题意可列方程为．7．关于x的方程：x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，那么x+=c+的解是x1=c，x2=．8．假设数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是〔〕A．3B．1C．0D．﹣39．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．1〕点Q的速度为cm/s〔用含x的代数式表示〕．2〕求点P原来的速度．12．定义新运算：对于任意实数a，b〔其中a≠0〕，都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣= +=1．〔1〕求〔﹣2〕?3的值；〔2〕假设x?2=1，求x的值．文案大全2021年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共14小题〕1．假设关于x的分式方程的解为非负数，那么a的取值范围是〔〕A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2〔2x﹣a〕=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，应选：C．2．假设数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的和为〔〕A．10 B．12 C．14D．16【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，〔﹣2〕+〔﹣1〕+0+1+3+4+5=10．应选A．文案大全3．假设数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是〔〕A．3B．1C．0D．﹣3【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=〔a+2〕，又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即〔a+2〕≥0，〔a+2〕≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．应选：B．4．分式方程=1﹣的根为〔〕A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，应选C5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为〔〕A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，应选D．文案大全6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【解答】解：设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为：+10=．应选：B．7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，那么可列方程为〔〕A．=B．=C．=D．=【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，应选：D．8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的选项是〔〕A．B．C．D．【解答】解：设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做〔x﹣6〕个零件，由题意得，=．应选A．9．2021年，在创立文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，方案种植树木30万棵，由于志愿者的参加，实际每天植树比原方案多20%，结果提前5天完成任务，设原方案每天植树x万棵，可列方程是〔〕A．﹣=5B．﹣=5C．+5=D．﹣=5【解答】解：设原方案每天植树x万棵，需要天完成，文案大全∴实际每天植树〔〕万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，应选〔A〕10．西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔〕A．+=1B．+= C．+= D．+=1【解答】解：由题意可得，，应选B．11．假设关于x的方程﹣=﹣1无解，那么m的值是〔〕A．m=B．m=3C．m=或1D．m=或3【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：〔m﹣1〕x=2，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，应选C12．假设=0无解，那么m的值是〔〕A．﹣2B．2C．3D．﹣3【解答】解：方程两边都乘〔x﹣4〕得：m+1﹣x=0，∵方程无解，x﹣4=0，即x=4，m+1﹣4=0，即m=3，应选C．13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程文案大全=3有非负整数解，那么符合条件的m 的所有值的和是〔〕 A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣7D ．﹣8【解答】解：，解①得x ＞m ，解②得x ＞1．不等式组的解集是 x ＞1，那么m ≤1．解方程 + =3，去分母，得1﹣x ﹣m=3〔2﹣x 〕，去括号，得1﹣x ﹣m=6﹣3x ，移项，得﹣x+3x=6﹣1+m ，合并同类项，得 2x=5+m ，系数化成1得x= ．∵分式方程 + =3有非负整数解，5+m ≥0，m ≥﹣5，∴﹣5≤m ≤1，m=﹣5，﹣3，1，∴符合条件的m 的所有值的和是﹣7，应选C ．14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为 m ，假设数m 使关于 x 的不等式组无解，且使关于 x 的分式方程 + =﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的 m 的个数是〔〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到 m+2≥﹣2m ﹣1，解得：m ≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，分式方程去分母得：x ﹣m+2=﹣x+2，即x= m ，把m=﹣1代入得：x=﹣ ，不符合题意；把m=0代入得：把m=2代入得：把m=5代入得：那么所有满足条件应选Bx=0，符合题意；x=1，符合题意；，不符合题意，m 的个数是2，文案大全实用标准文档二．填空题〔共15小题〕15．假设关于x的分式方程+3=无解，那么实数m=3或7．【解答】解：方程去分母得：7+3〔x﹣1〕=mx，整理，得〔m﹣3〕x=4，当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，m﹣3=4，m=7，m的值为3或7．故答案为3或7．16．假设关于x的分式方程+=3的解为正实数，那么实数m的取值范围是 m6且m≠2．【解答】解：+=3，方程两边同乘〔x﹣2〕得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，那么乙工程队每天铺设〔x+5〕米，由题意得：=．故答案是：=．18．某市为绿化环境方案植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原方案多20%，结果提前8天完成任务．假设设原方案每天植树x棵，那么根据题意可列方程为﹣=8．【解答】解：设原方案每天植树x棵，那么实际每天植树〔1+20%〕，文案大全根据题意可得：﹣=8，故答案为：﹣=8．19．假设关于x的分式方程=2的解为非负数，那么m的取值范围是m≥﹣1且m 1．【解答】解：去分母得，m﹣1=2〔x﹣1〕，∴x=，∵方程的解是非负数，m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，x≠1，≠1，m≠1，那么m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．应选：m≥﹣1且m≠1．20．假设关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，﹣2，．【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，整理得：〔m﹣2〕x=﹣4，解得：x=﹣，由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，解得：m=1，3，4，﹣2，6，故答案为：1，3，4，﹣2，621．在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是y2﹣3y+2=0．【解答】解：设y=x2+2x，那么原方程可化为y+=3，2去分母，得y﹣3y+2=0．2故答案是：y﹣3y+2=0．22．用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．【解答】解：设y=，那么原方程变为y﹣+1=0，文案大全故答案为：．23．如果实数x满足〔x+〕2﹣〔x+〕﹣2=0，那么x+的值是2．【解答】解：设x+ =u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+ =2或x+ =﹣1〔不符合题意，舍〕，故答案为：2．24．关于x的分式方程有增根，那么增根为x=1．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1．故答案为x=1．25．假设关于x的方程有增根，那么m的值是4．【解答】解：方程两边都乘〔x﹣2〕，得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母〔x﹣2〕=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．26．假设分式方程的解为正数，那么a的取值范围是a＜8，且a≠4．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．27．关于x的方程：x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，那么x+=c+的解是x1=c，x2=3+．【解答】解：∵x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，文案大全∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，x+=c+的解是x1=c，x2=3+，故答案为3+．28．假设关于x的分式方程﹣=无解，求a=﹣1或2．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a〔x﹣2〕=﹣2，即〔a+1〕x=2a+5，当a=﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x=，当x=2时，a不存在；当x=3时，a=2，综上，a的值为﹣1或2．故答案为﹣1或2．29．解关于x的方程+=产生增根，那么常数a=﹣4或6．【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，由分式方程有增根，得到〔x+2〕〔x﹣2〕=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，综上，常数a=﹣4或6，故答案为：﹣4或6三．解答题〔共6小题〕30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．〔1〕点Q的速度为xcm/s〔用含x的代数式表示〕．〔2〕求点P原来的速度．【解答】解：〔1〕设点Q的速度为ycm/s，文案大全由题意得3÷x=4÷y，y=x，故答案为：x；〔2〕AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为〔x+2〕cm/s，由题意得=，解得：x=〔cm/s〕，经检验x=是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．31．假设关于x的方程﹣=1的根是2，求〔m﹣4〕2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，∴把x=2代入方程得：2﹣=1，解得：m=4，那么〔m﹣4〕2﹣2m+8=〔4﹣4〕2﹣2×4+8=0．32．设A=，B=1〕求A与B的差；2〕假设A与B的值相等，求x的值．【解答】解：〔1〕A﹣B====2〕∵A=B∴去分母，得2〔x+1〕=x文案大全去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=﹣2经检验x=﹣2是原方程的解．33．定义新运算：对于任意实数a，b〔其中a≠0〕，都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣= +=1．〔1〕求〔﹣2〕?3的值；〔2〕假设x?2=1，求x的值．【解答】解：〔1〕原式=﹣=﹣3〔2〕由题意可知：﹣=11﹣〔x﹣2〕=x1﹣x+2=xx=经检验，x=是原方程的解，34．〔1〕计算：〔π﹣2〕0++〔﹣1〕2021﹣〔2〕解分式方程：﹣=1．【解答】解：〔1〕原式=1+2﹣1﹣4=﹣2；2〕去分母得x〔x﹣1〕﹣〔x+1〕=〔x+1〕〔x﹣1〕，解得x=0，经检验，x=0为原方程的根．35．解方程：+=．【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．文案大全。