2020年高考数学(理数)选择题强化专练——集合、复数、平面向量、概率、数列含答案

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集合高考数学真题分类题库2020解析版考点1

考点一集合一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}【命题意图】该题考查的是有关集合的问题,涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算,属于基础题目.【解析】选D.由x2-3x-4<0解得-1<x<4,所以A=|-1<<4,又因为B=-4,1,3,5,所以A∩B=1,3.2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T2)设集合A=|2-4≤0,B=|2+≤0,且A∩B=|-2≤≤1,则a=()A.-4B.-2C.2D.4【命题意图】本题主要考查一元二次不等式、一元一次不等式、集合的交集的基本运算.【解析】选B.解一元二次不等式x2-4≤0可得:A=|-2≤≤2,解一元一次不等式2x+a≤0可得B=|≤由于A∩B=|-2≤≤1,故-2=1,解得:a=-2.3.(2020·全国卷Ⅱ文科·T1)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=()A.⌀B.{-3,-2,2,3)C.{-2,0,2}D.{-2,2}【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、集合交集运算,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选D.因为A=<3,∈Z=-2,-1,0,1,2,B=>1,∈Z=>1或<-1,∈Z,所以∩B=2,-2.4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}【命题意图】本题考查集合的并集和补集运算,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选A.由已知得A∪B={-1,0,1,2},所以U(A∪B)={-2,3}.5.(2020·全国卷Ⅲ理科·T1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6【命题意图】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解以及运算能力.【解析】选C.由题意,A∩B中的元素满足≥+=8,且x,y∈N*,由x+y=8≥2x,得x≤4,所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A∩B中元素的个数为4.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.6.(2020·全国卷Ⅲ文科·T1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B=3<<15,则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5【命题意图】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解.【解析】选B.由题意,A∩B={5,7,11},故A∩B中元素的个数为3.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}【命题意图】本题考查集合的并集运算,考查基本运算能力,体现了数学运算的核心素养.【解析】选C.因为A=[1,3],B=(2,4),所以A∪B=[1,4).8.(2020·北京高考·T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}【命题意图】考查集合的运算,容易题.【解析】选D.画数轴,或者逐个检验集合A中元素是否属于B,易得A∩B={1,2}.检索号219.(2020·天津高考·T1)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(U B)=()A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}【命题意图】本题考查考生对集合的含义、表示方式及集合的补集、交集的理解与运算.【解题指南】可先求出B的补集,再求交集即可.【解析】选C.由题意结合补集的定义可知:U B={-2,-1,1},则A∩(U B)={-1,1}.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助Venn图或数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.10.(2020·浙江高考·T1)已知集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},则P∩Q=()A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|1<x<4}【命题意图】本题主要考查集合的交集运算,考查基本运算求解能力,体现直观想象与数学运算的核心素养.【解析】选B.因为P=(1,4),Q=(2,3),所以由数轴得P∩Q=(2,3).二、填空题11.(2020·江苏高考·T1)已知集合A=-1,0,1,2,B=0,2,3,则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:0,2。

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。

2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(5)平面向量

（5）平面向量1、在ABC △中,记π,,2,4AB a AC b AB BC ABC ====∠=,AD 是边BC 的高线O 是线段AD 的中点,则AO =( ) A.1123a b + B.1132a b +C.1134a b +D.1136a b +2、如图,正方形ABCD 中, M N 、分别是BC CD 、的中点,若AC AM BN λμ=+,则λμ+=（）A. 2B. 83C.65 D. 853、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a bλμ=+(,R)λμ∈,则λμ=（）A ．2B ．4C ．12D ．12-4、已知M 是ABC △内一点,11,34AM AB AC =+则ABM △ABC △的面积之比为（）A.14B.13C.12D.235、如图，在ABC △中，π3ABC ∠=,2AD DB =u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+uu u r uuu r uu u r ，若ABC △的面积为||AP uu u r的最小值为( )B.3 D.436、如图，ABC △中，,,AD DB AE EC CD ==与BF 交于,F 设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则(,)x y 为 ( )A.11(,)22B.22(,)33C.11(,)33D.21(,)327、在ABC △中,已知D 是AB 边上的一点,若,12,3AD DB CD CA CB λ==+,则λ=( ) A.23B.13C.13-D.23-8、向量(0,2),(3,1)m n =-=,则与2m n +共线的向量可以是()A 1)-B ．(-C ．(1)-D ．(-9、在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，3AC ＝，则AB AC ⋅等于( ) A ．－3B ．－6C ．9D ．610、已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC △内一点，则()PA PB PC ⋅+u u ru u ru u u r的最小值是（） A.32- B.2- C.43-D.1-11、已知向量()(),,1,2a m n b ==-,若()||25,0a a b λλ==<,则m n -=__________. 12、已知点O 在ABC ∆所在平面内,且4AB =,3AO =,()0OA OB AC +⋅=则AB AC ⋅取得最大值时线段BC 的长度是__________.13、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ⋅=u u r u u r，则PC uu u r 的取值范围是。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)附答案

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若为第四象限角，则（）A. B. C. D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.6.数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.B.C.D.8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（）A. B. C. D.11. 11.若，则（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数满足，则______．16.设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19.已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出，再求补集.【解答】解：，故选A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题.根据所给角是第四象限角，写出角的范围，求出的范围，进而可判断出三角函数值的正负.【解答】解：∴是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数.【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名.故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.由成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数.【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题.由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题.取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值.【解答】解：取，则，又，所以，所以是等比数列，则，所以，得故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题.由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点.【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题.【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为,由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到,则, ,即,所以焦距.故选B.9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.【解答】解：函数,则为奇函数，时，,单调递增；时，，单调递减.故选D.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题.【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为,设,圆的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则，可得,于是，由题意知，球O的表面积为，则,由,求得，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题.【解答】解：，设,则，所以函数在R上单调递增，因为，所以,则，.故选A.12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题.【解答】解：对于A选项，，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除；故选C.13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题.【解答】解：由单位向量的夹角为，与垂直，所以，则.故答案为.14.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：．答案：36．15.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量满足，，求，由，可得，故．故答案为．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于：可设与，所得平面为若与相交，则交点A必在平面内.同理与的交点B在平面内，故直线AB在平面内，即在平面内，故为真命题．对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．对于空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故为假命题．对于若，则m垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以．由知，，因为，即，由余弦定理得，，所以，由基本不等式可得，所以所以当且仅当时取得等号，所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．直接利用正余弦定理即可求解；利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为，所以该地区这种野生动物数量的估计值为(2)根据公式得(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。

冲刺2020高考数学原创新题强化训练综合强化试卷(附答案解析)

专题四新题原创强化训练第二关综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（） A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R 2．设12i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A ．7B ．16C ．19D ．216．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（）A ．32B ．23C ．14D ．13 7．函数的一段图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（）参考数据与参考公式: ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关9．已知函数lg(1),0()1lg ,01x x f x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．恒为0 D ．无法确定10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（）A ．1B ．2C ．52 D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOB S S ∆∆=，则双曲线的离心率为（）A B C ．2 D二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______. 15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N 是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.22．已知函数21ln 02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.专题四新题原创强化训练第二关综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（）A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R【答案】A【解析】对集合M ，1x <-，则x ∈∅，根据集合的交运算可得M N ⋂=∅.故选A.2．设12i z i-=+，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 【答案】C 【解析】因为12i z i -=+()()()()1213225i i i i i ---==+-，故z =135i +.故选C. 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4- 【答案】B【解析】由于123,,a a a 成等比数列，即2213a a a =⋅，()()211124a a a +=⋅+，解得18a =-. 4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（） A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 【答案】B 【解析】因为函数解析式为()()1ln 2f x x x =--，则()1303f =-<，()14ln 204f =->，所以()()340f f ⋅<，即零点所在的大致区间为()3,4.故选B.5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A ．7B ．16C ．19D ．21【答案】B 【解析】由已知()()()322111214f f f =++=++=，()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，故选B ．6．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（）A ．32B ．23C ．14D ．13 【答案】B 【解析】(3,1),(1,)2(7,2)a b t a b t =-=⇒+=-r r r r ，2(7,2)(3,1)0212023a b a t t t +⊥⇒-⋅-=⇒-+=⇒=r r r （），故选B.7．函数的一段图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由图像知A=1，,所以函数的解析式为，又函数图像过点（2，1）点，所以，即，将选项代入得答案为D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（）参考数据与参考公式:()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关【答案】D【解析】由直方图知，（0.004+0.013+0.014+a+0.027+0.039+0.08）×5=1，解得a=0.023，故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0.023+0.014+0.013）×5×1000=250人，由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人，由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，故A选项错误；月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×1000=20人，故选项B错误；又由频率分布直方图知，当消费金额小于1750元时，频率为（0.004+0.027+0.039）×5+0.08×5×12=0.55>0.5.选项C错误；由条件可以列出列联表：故K2的观测值()()()()()250010.8289n ad bcka b c d a c b d-==>++++，所以在犯错的概率不超过0.1%的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关.故选D.9．已知函数lg(1),0()1lg,01x xf xxx+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b+>，0b c+>，0c a+>，则()()()f a f b f c++的值（）A．恒为正B．恒为负C．恒为0D．无法确定【解析】由题意得()()()()1,01,011,0,01lg x x lg x x f x lg x x lg x x ⎧+≥⎧+≥⎪⎪==⎨⎨--<<⎪⎩⎪-⎩，当0x >时，0x -<，于是()()()lg 1f x x f x -=-+=-．同理当0x <时，可得()()f x f x -=-，又()00f =，所以函数()f x 是R 上的奇函数．又根据函数单调性判定方法可得()f x 在R 上为增函数．由0,0,0a b b c c a +>+>+>，可得,,a b b c c a >->->-，所以()()()()()(),,f a f b f b f c f c f a >->->-，所以()()()()()()0,0,0f a f b f b f c f c f a +>+>+>，以上三式两边分别相加可得()()()0f a f b f c ++>，故选A.10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂【答案】B【解析】A:1l 与2l 可能相交或异面．B 正确．C ：1l 与2l 可能相交或异面．D:1l 与2l 可能异面．11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（） A ．1B ．2C ．52D ．4【解析】根据题意，以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设(),05DP x x =≤≤，故可得()()()10,2,,0,0,5,1,2,0P x A C ，由空间中两点之间的距离公式可得1A P ==PC=1AC 故在三角形1PA C中，由余弦定理可得222211112A P PC AC cos A PC A P PC+-∠==⨯，则1sin A PC ∠==，故11112A PC S sin A PC A P PC =∠⨯⨯n12===当且仅当1x =时，1PA C ∆的面积最小.故满足题意时，1DP =.故选A.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOBS S ∆∆=，则双曲线的离心率为（）AB C．2D【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线by x a=，即0bx ay -=，则过右焦点(c,0)F 与渐近线垂直的直线方程为()ay x c b=--，即0ax by ac +-=，又由焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay -=的距离为2d F A b ===，又由22AOF AOBS S ∆∆=，所以22F A AB b ==，即12AB b =，又由原点到0ax by ac +-=的距离为OA a ==，在直角2F OB ∆中，由射影定理得22OA F A AB =⋅，即222b a =，又由222bc a =-，整理得223c a =，所以c e a == B.二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．【答案】7-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝x +2y 得y 12=-x 2z +，平移直线y 12=-x 2z +，由图象可知当直线y 12=-x 2z+经过点A 时，纵截距最小，z 也最小，由3310x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得A （﹣3，﹣2），Ⅰ目标函数2z x y =+的最小值为7-.14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______.【答案】2【解析】(1)抛物线焦点为(0,)2p F ，设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程为：2p y x =+，代入抛物线方程得22304p y py -+=，则123y y p +=，因为1248y p p A y B ++===，所以2p =；(2)抛物线方程为：24x y =，直线方程为：1y x =+，联立得2440x x --=，解得1222x x =-=+设点20(,)4x M x ，(022x -≤≤+，点M 到直线AB的距离为d =， 20(2121)2AMB x AB d S ∆-==-，当02x =时，面积取得最大值. 故答案为：2；15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．【答案】h=()sin sin sin αββα-l ．【解析】如图所示，在ⅠABC 中，ⅠACB=β﹣α，由正弦定理得，BC sin α=AB sin ACB∠， ⅠBC=()lsin sin αβα-；在ⅠBCD 中，sinⅠCBD=CDBC，Ⅰh=CD=BC•sinβ=()lsin sin sin αββα-．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1[,)2+∞【解析】由题意，可得()2ln 1f x ax x -'=-，若()f x 在1[,)e +∞递增，则()0f x '≥在1[,)e +∞恒成立，则ln 12x a x +≥在1[,)e+∞恒成立，令()ln 12x g x x +=，1[,)x e ∈+∞，则()22ln 4x g x x -'=，令()0g x '>，解得1x <，令()0g x '<，解得1x >，所以()g x 在1[,1)e 递增，在(1,)+∞递增，故()()max 112g x g ==，故12a ≥，所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞.三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【答案】xⅠ（0，20）.(2)截取时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .【解析】（1）Ⅰy=f （x ），xⅠ（0，20）.（2）2200,y x x ===2max 400y cm =.Ⅰ截取ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-+【解析】(1)因为122n n S +=-,所以当1n =时,112S a ==,当2n …时,1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=,上式对1n =也成立,所以2nn a =.(2)由(1)知(21)(21)2n n n b n a n =-=-g ,所以23123252(21)2n n T n =+++⋯+-g g g g ,23412123252(21)2n n T n +=+++⋯+-g g g g ,两式相减,得23122(222)(21)2n n n T n +-=+++⋯+--g 114(12)22(21)212n n n -+-=+---g g ,所以16(23)2n n T n +=+-g .19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）2πC .3=；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=．根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ 【解析】（Ⅰ）因为AB AC ⊥，1AC AA ⊥，又1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11ABB A .又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1AC A B ⊥.设1AA =12AB A B ==，所以22211AB A B AA +=，所以1A B AB ⊥. 又AC AB A ⋂=，所以1A B ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1A B BC ⊥. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，直线11A C ，11A B ，1BA 两两互相垂直.如图，以1A 为原点，分别以11A C ，11A B ，1BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.设1AA =()10,0,0A ，()0,2,2A --，()1,1,0M ，()0,0,2B -，所以()0,2,0AB =u u u v ，()1,1,2MB =---u u u v.设平面MAB 的法向量为(),,n x y z =v，则00n AB n MB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，所以2020y x y z =⎧⎨---=⎩. 取1z =，则()2,0,1n v=-.而平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =v，所以cos ,5m n m n m n v v v v v v ⋅==. 易知二面角M AB C --为锐角，所以二面角M AB C --21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）2，32y x =±+（3）存在，x +8y ﹣8=0或x =0【解析】（1）由题意可知，Q 在PN 的垂直平分线上，所以|QN |=|QP |，又因为|QM |+|QP |=r =4，所以|QM |+|QP |=4>|MN |，所以Q 点的轨迹为椭圆，且2a =4即a =2，由题意可知b =1，Ⅰ曲线E 的方程为2214x y +=（2）因为OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OACB 为平行四边形，当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m 的斜率存在时，设直线的方程为y =kx +3，直线m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立方程组22314y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Ⅰ=(24k )2﹣128(1+4k 2)>0 得k 2>2. x 1+x 2=﹣22414k k +，x 1x 2=23214k+，因为S ⅠOAB =12|OD ||x 1﹣x 2|=32|x 1﹣x 2|，所以S ⅠOACB =2S ⅠOAB =3|x 1﹣x 2令k 2﹣2=t ，则k 2=t +2(由上式知t >0)，所以S ⅠOANB，当且仅当t =94，即k 2=174时取等号，Ⅰ当k时，平行四边形OACB 的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±2x +3 （3）若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为3344(,),(,)G x y H x y ，满足曲线E 的方程223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()3434343404x x y y x y y x +--++=，G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，则有()34342y y x x +=+代入可得343418y y x x -=--，直线方程可以设为18y x m =-+与抛物线方程联立，得21218y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得方程2440y y m +=﹣，直线与抛物线相切则有16160m ∆==﹣，所以1m =，则直线的方程为x +8y ﹣8=0，与椭圆方程联立:2214880x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消元可得方程17y 2﹣32y +15=0，Ⅰ=322﹣4×17×15>0，所以直线x +8y ﹣8=0满足题意.若直线斜率不存在时，直线x =0满足题意.所以，综上这样的直线存在，方程是x +8y ﹣8=0或x =0.22．已知函数21ln02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意，函数221ln ln 22f x ax x x ax x x=-+=--+（），得2121'21ax x f x ax x x -+-=--+=（），0x ∈+∞（，），（i ）若0a =时；1x f x x-'=（），当01x ∈（，）时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x ∈+∞（，）时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以当1x =，函数()f x 取得极小值，1x =是()f x 的一个极小值点；（ii ）若0a >时，则180a ∆=-≤，即18a ≥时，此时0f x '≤（），()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x '无极值点，当108a <<时，则180a ∆=->，令0f x （）'=，解得114x a =，214x a+=，当10x x ∈（，）和2x x ∈+（，）∞时，0f x '<（），当12x x x ∈（，）时，0f x '>（）， Ⅰ()f x 在1x 取得极小值，在2x 取得极大值，所以()f x 有两个极值点，综上可知：（i ）0a =时，()f x 仅有一个极值点；(ii).当18a ≥时，()f x 无极值点； (iii)当108a <<，()f x 有两个极值点.（2）由（1）知，当且仅当108a ∈（，）时，()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程2210ax x -+=的两根，Ⅰ1212x x a +=,1212x x a=，则222121121211ln ln 22f x f x ax x ax x x x +=-++-+（）（） 22121212ln 2ln 2x x a x x x x =-+-+++（）（）（）22111ln[]42a a a a a=---+11ln 1242a a a =++-1ln 1ln 24a a =+--，设1ln ln 24g a a a =++-（）1，1(0,)8a ∈，则221141044a g a a a a -'=-=<（），Ⅰ10,8a ∈（）时，()g a 是减函数，1()()8g a g >，Ⅰ1ln3ln 234ln 28g a >+-=-（）， Ⅰ1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos ρθ=（2）2+ 【解析】（1）因为曲线1C :1x y +=，所以曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；因为曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）由（1）知1cos sin A OA ραα==+，4cos B OB ρα==，()()4cos cos sin 21cos 2sin 2224OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，由02πα≤≤知52444πππα≤+≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA 有最大值2+.。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高三理科数学考前大题强化精练卷5份合集附答案解析

2020年高三理科数学考前大题强化精练汇集一卷一17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，⊥DAF＝⊥ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，SC SD==，B，E分别为AF，SA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面SCF（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为24y=-上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CDx y=，点P，Q在直线l：1()1当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD⊥时，点P，Q在什么位置时，PQ取得最小值？21．已知函数()1a f x alnx a R x+=+∈，．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．（答案解析）17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．解：()41133n n S a =-，可得1114133a S a ==-，解得11a =， 2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+，即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列，则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22n n n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n n b b n n +==⋅++，则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=． 18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由解：()1由饼图得：()16%9%27%12%14%3%29%a =-+++++=．()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．()3Q 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．如图，已知在四棱锥S ﹣AFCD 中，平面SCD ⊥平面AFCD ，⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，AD ＝1，AF ＝2DC ＝4，SC SD ==，B ，E 分别为AF ，SA 的中点．（1）求证：平面BDE ⊥平面SCF（2）求二面角A ﹣SC ﹣B 的余弦值（1）证明：⊥⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，⊥DC ⊥AF ，又B 为AF 的中点，⊥四边形BFCD 是平行四边形，⊥CF ⊥BD ，⊥BD ⊥平面BDE ，CF ⊥平面BDE ，⊥CF ⊥平面BDE ，⊥B ，E 分别是AF ，SA 的中点，⊥SF ⊥BE ，⊥BE ⊥平面BDE ，SF ⊥平面BDE ，⊥SF ⊥平面BDE ，又CF ∩SF ＝F ，⊥平面BDE ⊥平面SCF ．（2）取CD 的中点O ，连结SO ，⊥⊥SCD 是等腰三角形，O 是CD 中点，⊥SO ⊥CD ，又平面SCD ⊥平面AFCD ，平面SCD ∩平面AFCD ＝CD ，⊥SO ⊥平面AFCD ，取AB 的中点H ，连结OH ，由题设知四边形ABCD 是矩形，⊥OH ⊥CD ，SO ⊥OH ，以O 为原点，OH 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，﹣1，0），B （1，1，0），C （0，1，0），S （0，0，1），⊥CA =u u u r （1，﹣2，0），CS =u u u r （0，﹣1，1），CB u u u r =（1，0，0），设平面ASC 的法向量m =u r（x ，y ，z ），则200m CA x y m CS y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得m =u r （2，1，1），设平面BSC 的法向量n =r （x ，y ，z ），则00n CB x n CS y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得n =r （0，1，1）， ⊥cos m n m n m n⋅===⋅u r r u r r u r r ＜，＞由图知二面角A ﹣SC ﹣B 的平面角为锐角，⊥二面角A ﹣SC ﹣B的余弦值为3．20．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =，抛物线的方程可变形为214y x =，则'2xy =，∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x x k y ===，∴直线PA 的方程()1112x y y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{01x y ==是方程的解，∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2QCD x k =，AB CD ⊥Q ，14P QAB CD xx k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-，44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号，即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值421．已知函数()1a f x alnx a R x +=+∈，．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）；()()2211'ax a a a f x x x x -++=-=；⊥当a ＝0时，()21'0f x x =-＜，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＞0时，()21'a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=，而10a a+＞；则f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；⊥当﹣1≤a ＜0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；综上，当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；当﹣1≤a ≤0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；（2）由（1）得当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥f （x ）至多有一个零点；又﹣1＜a ＜0； ⊥11a -＞，f （1）＝a +1＞0，()11f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭；令g （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，则()11'1x g x x x -=-=；⊥g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；g （x ）≥g （1）＝0，即x ﹣1﹣lnx ≥0，当且仅当x ＝1时取等号； ⊥()110f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭＜；⊥f （x ）存在唯一得零点011x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，；由f （x 0）＝0，得0010a alnx x ++=，即00011a lnx x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⊥x 0⊥（1，+∞），0010lnx x +＞； ⊥00011x a lnx x -=+，即a 是x 0的函数；设()11x h x lnx x -=+，x ⊥（1，+∞），则()221'01()lnx h x x lnx x+=+＞； ⊥h （x ）为（1，+∞）上的增函数；⊥a 随0x 增大而增大，反之亦成立.⊥x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围解：()1曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，转换为直角坐标方程为：22143x y +=． ()2设点A的坐标为()2cos αα，()B α，()2,2D cos α，所以；3232AB cos cos αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，所以矩形的周长的取值范围为10.⎡-+⎣23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．解：()1原不等式等价于()()x 22x 1x 23≤-⎧---+≥⎨⎩或()()1222123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪--++≥⎩或()()122123x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩，解得：x 2≤-或2x 0-<≤或2x 3≥，故原不等式的解集是][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭； ()2证明：22b c 2bc +≥Q ，c 0>，abc 1=，()22a b c 2abc 2∴+≥=，同理()22b c a 2abc 2+≥=，()22c a b 2abc 2+≥=，又a ，b ，c 0>且不全相等，故上述三式至少有1个不取“=”，故()()()222a b c b c a c a b +++++222222a b a c b c b a c a c b =+++++()()()222222a b c b c a c a b 6=+++++>．考前大题强化二17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C 经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程；（2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解析17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=. （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==，又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.解：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz .由题意知(0,A B D 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =u u u r u u u r，所以00331,4442Q x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭因为点M 为AD的中点，故M 又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，(0,0,2),0DA DA PQ =⋅=u u u r u u u r u u u r 所以DA PQ ⊥.（2）解：设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量由()00,1CM x y =--u u u u r，BM =u u u u r知)0000x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00y m x ⎛+=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是|||1|cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===即2003y x ⎛+= ⎝⎭.① 又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=u u u r u u u r，故()()0000,,0,00x y x y -⋅--= 即22002x y +=.②联立①②，解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以tan ||BDC ∠== 又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =① 将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（），由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++）由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++=由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意；当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)，综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.解：（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->,∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3 （2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln x x h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe-++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <. 22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程；（2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解：（1）∵4C π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1，12P π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,1，∴ 圆C的半径为PC = 圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=.（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入圆C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=，得()()221cos 1sin 3t t αα+++=，即()2210t t cos sin αα++-=，∴ ()12122,1t t cos sin t t αα+=-⋅+=-，∴12||MA MB AB t t +====- ∵0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，∴ 20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||||MA MB ≤+<即弦长MA MB +的取值范围是⎡⎣.考前大题强化三17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈.（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .‘21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.答案解析17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.解：（1）⊥()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++⊥min()22f x a =-+=，⊥4a =（2）⊥()()2sin(2)66g x f x x ππ=-=--由()0g x …知sin(2)6x π-， ⊥2222,363k x k k πππππ+-+∈Z 剟解得，5,412k x k k ππππ++∈Z 剟⊥满足()0g x …的x 取值的集合为5,412x k x k k ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）依题意1()()2x f x g x ++=⊥，又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数⊥1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-=⊥ ⊥由⊥⊥得()22x x f x -=+，()22x x g x -=-⊥2222(2)22(22)2[()]2x x x x f x g x --=+=-+=+得证；（2）原不等式可化为2[()]()30g x ag x ++… ⊥当[1,2]x ∈时，3()()a g x g x -+…成立，其中315()[,]24g x ∈⊥当[1,2]x ∈时，min 3(())()g x g x +=当且仅当()g x =⊥a -…⊥a -….19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈. （1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.解：（1）2()626()3a f x x ax x x '=-=- 当0a =时，2()60f x x '=…，⊥()f x 在R 上是单调增函数，故()f x 无极值. 当0a >，此时03a >，当0x <或3ax >时，()0f x '> 03ax <<时，()0f x '< ⊥(0)1()f x f ==极大值，3()()1327a a f x f ==-极小值当0a <时，03a<，当3a x <或0x >，()0f x '> 03ax <<，()0f x '< ⊥3()()1327a a f x f =-=极大值，()(0)1f x f ==极小值综上，当0a =时，()f x 无极值，当0a >时，()1f x =极大值，3()127a f x =-极小值，当0a <时，3()127a f x =-极大值，()1f x =极小值（2）若()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点由（1）知，0a >且()()03a f x f ==极小值即31027a -=，⊥3a =⊥32()231f x x x =-+又当[2,2]x ∈-时，(0)1()f x f ==极大值，()(1)0f x f ==极小值，⊥(2)5(0)1f f =>=， (2)27(1)0f f -=-<=故()f x 在[2,2]-上的最大值为(2)5f =，最小值为(2)27f -=-.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）{}2n a 是等比数列依题意知当n 为偶数时，23n n a a += ⊥2223n n a a +=，又230a =≠ ⊥数列{}2n a 为公比是3的等比数列（2）当n 为奇数时22n n a a +=-，所以数列{}21n a -是以19a =为首项，以2-为公差的等差数列⊥2192(1)211n a n n -=--=-+⊥11111()(211)(29)(29)(211)221129n n n n n b n n ===--+-+----⊥121111111()2977521129n n S b b b n n =+++=-+-++-------L L11111()292918418n n =--=----.21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.解：（1）⊥tan b a B =，⊥sin sin sin cos A BB B⋅=，又(0,)B π∈，⊥sin 0B >，⊥sin cos A B =又A 为钝角，⊥A π-为锐角，sin()sin()2A B ππ-=-⊥2A B ππ-=-即2A B π=+又32sin 2sin cos 2C B A =+，⊥32sin()2sin cos 2A B B A +=+⊥32(sin cos cos sin )2sin cos 2A B A B B A +=+，⊥3sin cos 4A B =⊥2A B π=+，⊥B 为锐角，故3sin()cos 24B B π+=，⊥23cos 4B =，cos B =⊥6B π=，23A π=，⊥6C π=（2）⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理知22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ，⊥2BD DC =u u u r u u u r法一：⊥1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r⊥22222121441||()||||||3393AD AB AC AB AB AC AC AB =+=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⊥22||3||6AB AD ==u u u r u u u r 即|c AD ==u u u r⊥a =⊥ABC ∆的周长为法二：⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理得 22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ⊥在ABD ∆中，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅⊥22222()2()33c a c a =+-⋅联立⊥⊥得a =，b c ==故ABC ∆的周长为22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.解：（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（⊥）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >，所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；（⊥）0a <时若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增；②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >，(ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（⊥）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<，则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（⊥）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点（⊥）当a <0,①若12a e ≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0,)+∞.考前强化练四17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值．18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域⊥）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角42EAF ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域⊥）和休闲区（区域⊥），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？21．已知函数4()f x x m m x=+-+.(1)当0m =时求函数()f x 的最小值；(2)若函数()5f x ≤在[1,4]x ∈上恒成立求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()32111323a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数.答案解析17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值．解：（1）⊥23b cos C a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，⊥b=2a （cosCcosπ3+sinCsin π3），可得：，由正弦定理可得：，可得：sin （A+C ），可得：sinA ，可得： ⊥A⊥（0，π），⊥A=π6（2）⊥b =，且⊥ABC面积12bcsinA=12⨯12， ⊥解得：c=2，⊥由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2-2bccosA=48+4-2×，解得：18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.解：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v。

2020年高考数学(理)试卷(新课标2)(解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3）C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．2．（5分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，根据等差数列的性质即可求出n＝9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d ＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，故选：C．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．5．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．6．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】在已知数列递推式中，取m＝1，可得，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式列式求解．【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以在侧视图中与点E对应．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．9．（5分）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【分析】求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t＝||的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得x．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．10．（5分）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．11．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．【解答】解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．12．（5分）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i+m＝a i（i＝1，2…）的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【分析】分别为4个选项中k＝1，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001．【解答】解：对于A选项：序列11010 11010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满足C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列11011 11011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满足条件，排除；对于C选项：序列10001 10001 10001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列11001 11001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满足条件．故选：C．【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练(一)集合、常用逻辑用语、统计、概率、算法与复数

专项强化练(一) 集合、常用逻辑用语、统计、概率、算法与复数A组——题型分类练题型一集合的基本关系1．已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，∴m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，经检验均满足题意，故m＝－1或0.答案：－1或02．(2019·天一中学模拟)已知集合A＝{x∈N|－1<x<log2k}，若集合A的子集有8个，则k的取值范围为________．解析：因为集合A的子集有8个，所以集合A中恰好3个元素，即A＝{0，1，2}，所以2<log2k≤3，所以4<k≤8.答案：(4，8]3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．解析：由x－y∈A，及A＝{1，2，3，4，5}，得x>y，当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．答案：10[临门一脚]1．要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．2．根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．3．集合中如果含有字母，根据条件求解后，一定要用互异性检验．4．子集问题中要注意空集优先的原则，其中集合中的方程或不等式中含有参数需要分类讨论．题型二集合的运算1．(2019·苏州中学模拟)已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(∁U A)∩B＝∅，则a＝________．解析：由题意知B⊆A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a.当a2－2a＋2＝1时，解得a＝1；当a2－2a＋2＝a时，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a＝2时，满足题意，所以a＝2.答案：22．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．解析：A∩B＝{0，1，2，8}∩{－1，1，6，8}＝{1，8}．答案：{1，8}3．(2019·江苏高考)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________．解析：因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．答案：{1，6}4．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：15.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以阴影部分表示的集合为∁R(A∩B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(2，＋∞)6．(2019·海门中学期初测试)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋2k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②[临门一脚]1．解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．题型三常用逻辑用语1．命题：“若x ∈R ，则x 2≥0”的逆否命题为：“____________________”．解析：x ∈R 的否定为x ∉R ；x 2≥0的否定为：x 2＜0，故原命题的逆否命题为： “若x 2＜0，则x ∉R ”．答案：若x 2＜0，则x ∉R2．(2018·泰州中学模拟)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．解析：若y ＝f (x )为奇函数，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，反过来不成立，因为当y ＝f (x )为偶函数时，y ＝|f (x )|的图象也关于y 轴对称．答案：必要不充分3．若命题p ：4是偶数，命题q ：5是8的约数．则下列命题中为真的序号是________． ①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q .解析：命题p 为真，命题q 为假，故②④为真．答案：②④4．(2019·常州中学单元检测)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0，2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，但f (x )在[0，2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)5．若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题．当a ≤0时，不成立；当a >0时，由Δ＝16－4a 2<0，得a >2.故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞) [临门一脚]1．要注意命题的否定和否命题的区别，“若p 则q ”的命题需要掌握其否命题，含量词的命题需要掌握其命题的否定．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假．题型四统计1．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．解析：设该校学生总人数为n ，则1－200＋100500＝3 000n ，解得n ＝7 500.答案：7 5002．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若该校的学生总人数为3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________．解析：由图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.答案：9003．(2019·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．解析：这组数据的平均数为6＋7＋8＋8＋9＋106＝8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.答案：534．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布表．若利用每组中点值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为________．数据[12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)频数 2 1 3 4解析：x ＝10(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.答案：19.75.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．解析：由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员应该是乙，他在五场比赛中得分分别为8，9，10，13，15，所以他的平均得分为x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，其方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.8 [临门一脚]1．从考查内容上看，主要集中在分层抽样、频率分布直方图、平均数和方差的计算上；充分理解抽样的公平性是避免抽样问题求解时出错的关键；读懂频率分布表与直方图是解总体分布估计题的重点，时刻注意分清横纵坐标的含义可避免错误．2．系统抽样问题要注意所抽号码的特性是考查冷考点，不能遗忘．3．分层抽样，要求每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等． 4．茎叶图的茎和叶的含义要明确，重复数字要重复算．5．方差、标准差的公式要记忆准确，计算时不要出错，方差和标准差用来反映数据波动性，数值越小波动性越小．题型五概率1．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．解析：设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，从中选出2人的情况有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女生的情况有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310.答案：3102．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案：593．一架飞机向目标投弹，完全击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．解析：根据互斥事件的概率公式得，目标受损但未完全击毁的概率为1－0.2－0.4＝0.4. 答案：0.44．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________．解析：由题意知，某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首所有可能的取法有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6种．其中，满足甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的取法共5种，则所求的概率P ＝56.答案：565．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．解析：法一：设3名男同学分别为A ，B ，C ，2名女同学分别为a ，b ，则所有等可能事件分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710.法二：同法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB ，AC ，BC ，共3个，故所求概率为1－310＝710.答案：710[临门一脚]1．解决概率问题首先要正确区分概率模型，分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个．2．古典概型的关键是准确理解事件的含义，多用枚举法和树形图进行计数，列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．3．几何概型的常用测度要正确区分：一元问题用长度、角度来作为测度；二元问题用面积来作为测度，常与线性规划结合考察；三元问题用体积来作为测度．4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A －的概率，然后利用P (A )＝1－P (A －)可得解．题型六算法1．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．解析：第一次循环，S ＝12，x ＝2；第二次循环，S ＝12＋22＝32，x ＝3；第三次循环，S ＝32＋32＝3，x ＝4；第四次循环，S ＝3＋42＝5，满足x ≥4，结束循环．故输出的S 的值是5.答案：52．(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．解析：I ＝1，S ＝1，此时I <6，进入下一次循环；I ＝3，S ＝2，此时I <6，进入下一次循环； I ＝5，S ＝4，此时I <6，进入下一次循环； I ＝7，S ＝8，此时I >6，不满足I <6，退出循环，输出S ＝8. 答案：83．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为________．解析：若x ≥0，则2x ＋1＝1，解得x ＝－1(舍去)；若x ＜0，则2－x 2＝1，解得x ＝±1，所以x ＝－1，综上所述，输入x 的值为－1.答案：－14．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为________．解析：执行程序，可得，输入x 的值为1, S ＝1，不满足条件S ＞5，x ＝2，S ＝5；不满足条件S ＞5，x ＝3，S ＝14，满足条件S ＞5，退出循环，输出S 的值为14.答案：14 [临门一脚]1．流程图和伪代码要看清楚这四个关键位置的含义：(1)分支的条件；(2)循环的条件；(3)变量的赋值；(4)变量的输出．2．利用选择结构解决算法问题时，要根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．3．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．4．流程图和伪代码中注意求和问题中“S ←S ＋I ”和“I ←I ＋1”的位置先后顺序不同对最终结果的影响．5．For 语句中step 的含义是步长，如果不写即默认步长为1. 题型七复数1．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2. 答案：22．已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z |＝________．解析：复数z ＝(1－2i)(3＋i)，i 为虚数单位，则|z |＝|1－2i||3＋i|＝12＋（－2）2×32＋12＝5 2.答案：5 23．(2018·江苏高考)若复数z 满足i ·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：由i ·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＝2－i ，∴z 的实部为2.答案：24．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，则复数z 在复平面上对应的点在第________象限．解析：因为z ＝1＋i 2－i ＝（1＋i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以复数z 在复平面上对应的点在第一象限．答案：一 [临门一脚]1．复数的概念要记清楚：实部、虚部(不含i)、共轭复数(实部不变、虚部变为相反数)、复数模、复数的几何意义．2．复数乘法的运算按“多项式乘法”来记忆，除法的运算按“分母实数化”进行记忆． 3．注意实数集内的乘法、乘方的一些结论和一些运算法则在复数集中不一定成立，要注意区分． 4．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i 不能遗忘．5．复数模的运算可以直接用公式求解，也可以用性质|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|求解更简便．B 组——高考提速练1．(2019·扬州期末)已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则|z |＝________．解析：法一：由题意可知，z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则|z |＝12＋（－1）2＝ 2.法二：因为(1＋i)z ＝2，所以|1＋i|·|z |＝2，2|z |＝2，所以|z |＝22＝ 2.答案： 22．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是__________________．解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是：∃x ≥2，x 2＜4. 答案：∃x ≥2，x 2＜43．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈M }，则M ∩N ＝________．解析：由已知条件得N ＝{－1，1，3}，所以M ∩N ＝{1}．答案：{1}4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：应从丙种型号的产品中抽取 60×300200＋400＋300＋100＝18(件)．答案：185.如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x 的值为116时，y＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－26.(2019·苏州期末)某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在[60，80)内的学生人数是________．解析：由频率分布直方图得成绩在[60，80)内的频率为1－(0.010＋0.030＋0.010)×10＝0.5，所以成绩在[60，80)内的学生人数为50×0.5＝25.答案：257．(2018·镇江高三期末)已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的__________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个)．解析：由两直线平行得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠－1，所以a ＝1，因此“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的充分必要条件．答案：充分必要8．(2019·南京三模)从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．解析：从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，所有不同的情况有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中3个数字经适当排序后能组成等差数列的情况有(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4种，所以所求的概率P ＝410＝25.答案：259．(2019·常州期末)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________．解析：由伪代码可知当x ≥1时，令x 2－2x －2＝1，得x ＝3；当x <1时，令x ＋1x －1＝1，无解，故输入的实数x 的值是3.答案：310．(2018·苏州高三调研)假设苏州轨道交通1号线每5分钟一班，且列车在某站停留0.5分钟，若某乘客到达该站站台的时刻是随机的，则该乘客到达该站站台立即能乘上车的概率为________．解析：在5分钟内，有0.5分钟该乘客到达该站站台立即能乘上车，则所求概率为0.55＝110.答案：11011．若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＝x －y i ，因为z ＋2z ＝3＋2i ，所以z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3＋2i ，所以x ＝1，y ＝－2，所以z ＝1－2i ，所以复数z 的模为 5.答案： 512．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为________．解析：第一次循环i ＝1，满足条件i ＜8，i ＝1＋2＝3，S ＝3×3－2＝7；第二次循环i ＝3，满足条件i ＜8，i ＝3＋2＝5，S ＝3×5＋7＝22；第三次循环i ＝5，满足条件i ＜8，i ＝5＋2＝7，S ＝3×7＋22＝43；第四次循环i ＝7，满足条件i ＜8，i ＝7＋2＝9，S ＝3×9＋43＝70；第五次循环i ＝9，不满足条件i ＜8，循环终止，输出S ＝70. 答案：7013．(2019·常州期初检测)给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax2＋ax ＋1>0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a >14，∴14＜a＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，414．(2018·南京四校联考)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，a ，b ∈{1，2，3，4}，则直线l 1与直线l 2有公共点的概率为________．解析：(a ，b )的所有可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个．若直线l 1与直线l 2没有公共点，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即12＝ab ，即b ＝2a ，满足条件的实数对(a ，b )有(1，2)，(2，4)共2种情形，∴所求概率P ＝1－216＝78.答案：78。

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (57)

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝A.{－1，1，2}B.{1，2}C.{1，2，4}D.{0，1，2，4}2.已知i为虚数单位，复数z＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z=A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin,cos33ππ)，则cos(π＋α)＝3B.12C.12- D.34.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|3为坐标原点)，则该椭圆的离心率为A.233B.63C.22D.335.函数2()1xxf xe=-的图象大致是6.执行如图所示的程序框图，若输入x的值分别为－2，19，输出y的值分别为a，b，则a＋b＝A.－4B.－2C.74- D.147.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，13AE AC=u u u r u u u r，若DE AB BCλμ=+u u u r u u u r u u u r，则λ＋µ＝A.56- B.16- C.16D.568.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＝0的距离为l的点共有A.1个B.2个C.3个D.4个9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。

分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形。

2020年高考数学(文数)选择题强化专练——集合、复数、平面向量、概率、数列含答案

（文数）选择题强化专练——集合、复数、平面向量、概率、数列一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜3，x∈N}，B={C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 92.已知集合M={0，1，2，3，4}，N={x|-2＜x＜2}，则M∩N=（）A. {0，1，2}B. {0}C. {1}D. {0，1}3.设A={x|x＞1}，B={x|x2-x-2＜0}，则（∁R A）∩B=（）A. {x|x＞-1}B. {x|-1＜x≤1}C. {x|-1＜x＜1}D. {x|1＜x＜2}4.已知集合，，（）A. B.C. D.5.=（）A. -+iB. --iC. +iD. -6.已知i为虚数单位，复数z=i（2+3i），则其共扼复数=（）A. 2-3iB. -2-3iC. 3-2iD. -3-2i7.设z=4-3i，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.已知复数z=（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A. B. C. -2 D. 29.已知向量=（1，2），=（-2，3），=（4，5），若（+λ）⊥，则λ=（）A. B. C. -2 D. 210.已知向量=（x+，1）与向量=（x2，2x）共线，则实数x的值为（）A. -3B. -3或0C. 3D. 3或011.已知向量=（1，2），=（x2+1，-x），则“x=1”是“⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）A. B. C. D.13.在区域内任取一点P（x，y），满足的概率为（）A. B. C. D.14.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个（质地、大小、颜色无差别）小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是( )A. B. C. D.15.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A. B. C. 10 D.16.有5支彩笔除颜色外无差别,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知13a3+S13=52，则S9=（）A. 9B. 18C. 27D. 3618.已知正项等比数列{a n}中，a3a5=4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A. B. C. 2 D. 419.已知数列{a n}满足（n+1）a n=na n+1，a2=4，等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a2，则{b n}的前6项和为（）A. -63B. -126C. 63D. 12620.数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5=b5，则（）A. a3+a7＞b4+b6B. a3+a7≥b4+b6C. a3+a7＜b4+b6D. a3+a7=b4+b6答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为集合A={x|-1＜x＜3，x∈N}，所以A={0，1，2}，因为B={C|C⊆A}，所以B中的元素为A的子集个数，即B有23=8个，故选：C．先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．本题考查集合，集合子集个数，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={x|-2＜x＜2}，∴M∩N={0，1}．故选：D．进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∁R A={x|x≤1}，B={x|-1＜x＜2}；∴（∁R A）∩B={x|-1＜x≤1}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 先求A、B，再求交集.【解答】解：∵，，∴.故选A.5.【答案】C【解析】解：==．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=i（2+3i）=-3+2i，∴=-3-2i．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算及复平面内点的意义即可求解．本题考复数的概念与复数的运算．【解答】解：由题意得z=4-3i，所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．8.【答案】A【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=-，故选：A．根据复数除法运算化简z，根据纯虚数定义求得a．本题考查纯虚数的定义，关键是利用复数的除法运算进行化简，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ．【解答】解：；又；∴；解得λ=-2．故选：C．10.【答案】B【解析】解：向量=（x+，1）与向量=（x2，2x）共线，则2x（x+）-x2=0，即x2+3x=0，解得x=0或x=-3；所以实数x的值为-3或0．故选：B．根据平面向量的共线定理，列方程求得x的值．本题考查了平面向量的线性运算与坐标表示应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量垂直与数量积的关系即可得出x，进而判断出关系．【解答】解：，∴x=1”是“⊥”的充要条件．故选：C．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．根据点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点即可得出：=，然后进行向量的数乘运算即可．【解答】解：据题意，==．故选B．13.【答案】C【解析】解：曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型得，故选：C．由题意可知，内任取一点P（x，y），曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型的求解公式即可求解本题主要考查了与面积有关的概率的求解，属于基础试题14.【答案】A【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=6×6=36，两标号之和为9包含的基本事件有4种，由此能求出两标号之和为9的概率．【解答】解：在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个（质地、大小、颜色无差别）小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，基本事件总数n=6×6=36，两标号之和为9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种，∴两标号之和为9的概率是p=．故选：A．15.【答案】B【解析】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P==；而P=，则=，解可得，S=；故选：B．设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P=；，又由几何概型可得P=，联立解可得答案．本题考查用模拟方法估计概率的大小，涉及几何概型的应用，模拟方法求面积一般针对不规则的图形．16.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型求概率即可.【解答】解：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率．故选C.17.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，13a3+S13=13a3+13a7=52，变形可得a3+a7=4，则有，故S9=9a5=9×2=18，故选：B．根据题意，由等差数列的通项公式可得13a3+S13=13a3+13a7=52，进而可得，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：正项等比数列{a n}中，a3a5=4，可得q＞0，a42=a3a5=4，即a4=2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7=2a6+2，即2+2q3=4q2+2，解得q=2，故选：C．运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】D【解析】解：由（n+1）a n=na n+1，得2a1=a2=4，则a1=2，∵b1=a1，b2=a2，∴等比数列{b n}的首项为2，公比为2，则{b n}的前6项和．故选：D．由已知求得a1，可得等比数列{b n}的首项为2，公比为2，再由等比数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查等比数列的前n项和，是基础题．20.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的中项性质、基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．分别运用等差数列和等比数列中项性质，以及基本不等式，即可得到所求结论．【解答】解：数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，由a3+a7=2a5=2b5，b4+b6≥2=2b5，a3+a7≤b4+b6，由于q＞1可得a3+a7＜b4+b6.故选C．。

2020年高考数学试题分项版——集合(解析版)

2020年高考数学试题分项版——集合与简易逻辑（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅰ理，2)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 B解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，知－a 2＝1，所以a ＝－2.2．(2020·全国Ⅱ理，1)已知集合U ＝{－2，－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{－2,3}B ．{－2,2,3}C ．{－2，－1,0,3}D ．{－2，－1,0,2,3}答案 A解析 ∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2}．又U ＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{－2,3}．3．(2020·全国Ⅲ理，1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．4．(2020·新高考全国Ⅰ，1)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 答案 C解析 A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2<x <4}＝{x |1≤x <4}．5．(2020·新高考全国Ⅰ，5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案 C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.6．(2020·新高考全国Ⅱ，1)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B等于() A．{1,8} B．{2,5}C．{2,3,5} D．{1,2,3,5,8}答案 C解析A∩B＝{2,3,5,7}∩{1,2,3,5,8}＝{2,3,5}．7．(2020·新高考全国Ⅱ，5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62% B．56% C．46% D．42%答案 C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.8．(2020·北京，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B等于()A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1,2} D．{1,2}答案 D解析∵－1∉B,0∉B,1∈B,2∈B，∴A∩B＝{1,2}．9．(2020·天津，1)设全集U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－3,0,2,3}，则A∩(∁U B)等于()A．{－3,3} B．{0,2}C．{－1,1} D．{－3，－2，－1,1,3}答案 C解析由题意，得∁U B＝{－2，－1,1}，∴A∩(∁U B)＝{－1,1}．10．(2020·天津，2)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a 2>a ，得a 2－a >0，解得a >1或a <0，∴“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．11．(2020·浙江，1)已知集合P ＝{x |1<x <4}，Q ＝{x |2<x <3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |1<x ≤2}B ．{x |2<x <3}C ．{x |3≤x <4}D ．{x |1<x <4} 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，2<x <3，解得2<x <3，所以P ∩Q ＝{x |2<x <3}．12．(2020·浙江，10)设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则y x∈S . 下列命题正确的是( )A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素答案 A解析由题意，①令S ＝{1,2,4}，则T ＝{2,4,8}，此时，S ∪T ＝{1,2,4,8}，有4个元素；②令S ＝{2,4,8}，则T ＝{8,16,32}，此时S ∪T ＝{2,4,8,16,32}，有5个元素；③令S ＝{2,4,8,16}，则T ＝{8,16,32,64,128}，此时，S ∪T ＝{2,4,8,16,32,64,128}，有7个元素．综合①②，S 有3个元素时，S ∪T 可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C ，D ；由③可知A 正确．13．(2020·全国Ⅰ文，1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于( )A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}答案 D解析∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}．14．(2020·全国Ⅱ文，1)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B等于()A．∅B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2} D．{－2,2}答案 D解析集合A＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，将这五个值逐一代入集合B验证，只有－2和2符合题意，所以A∩B＝{－2,2}．15．(2020·全国Ⅲ文，1)已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析因为A∩B＝{5,7,11}，所以A∩B中元素的个数为3.二、填空题1．(2020·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{0,2,3}，则A∩B＝________.答案{0,2}解析A∩B＝{－1,0,1,2}∩{0,2,3}＝{0,2}．。

2020高考数学(理)必刷试题(解析版)

2020高考模拟考试数学（理）试题、单选题1,设集合A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3，则AI B （）A. {-1,0,1,2} B, 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或x 3【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.【详解】因为A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以AI B {0,1,2}.故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若向量a 4,2 , b 6,k ,则a//b的充要条件是（）A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到.【详解】因为向量a 4,2 , b 6,k ,所以a//b 4k 2 6 0 k 3.故选:D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，充要条件，属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n （）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽样比，再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.【详解】依题意可得抽样比为-------- --- ,30 6 36所以有6 — 1,解得n 6.36故选：B【点睛】本题考查了分层抽样，利用抽样比解决是解题关键，属于基础题.4.己知直线a , b , l ,平面，，下列结论中正确的是（）A.若a,b ,l a,l b,则lB.若a ,b//a,则b//C.若，a ，则aD.若// ,l ，则l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直，直线与平面平行，平面与平面平行和垂直的的判定，性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理，还差直线a与直线b相交这个条件，故A不正确；对于B，直线b也有可能在平面内，故B不正确；对于C ,直线a可能在平面内，可能与平面平行，可能与平面相交但不垂直；故C不正确；对于D在平面内取两条相交直线m,n ,则l m,l n ,过m, n分别作平面与平面相交于m',n',则m'//m,n'//n，且m',n'必相交，所以l m',l n',所以l ，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了直线与平面平行，垂直，平面与平面平行，垂直的判定，性质，熟练掌握线面，面面平行与垂直的判定与性质是解题关键，属于基础题.5.若a 0.30.2, b log 0.1 2 , c 0.3 0.1,则a , b, c的大小关系为（）A. cabB. bacC. acbD. bca【答案】A【解析】根据对数的性质可得b 0,根据指数函数y 0.3x的单调性可得c a 0,由此可得答案.【详解】因为0 0.1 1,2>1,所以b log o.i2 0 ,因为0 0.3 1,所以指数函数y 0.3x为递减函数又-0.1<0.2，所以0.3 0.10.30.20,即c a 0,综上所述，c a b.故选:A【点睛】本题考查了利用对数的性质指数函数的单调性比较大小属于基础题61 ... ......... .6.二项式x 1的展开式中，常数项是( )xA. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后，令x=0，解得r 3,再根据通项公式可求得常数项. 【详解】6因为二项式X - 的展开式的通项公式为T r1 C6x6 r (1)r C6x6 2r x x(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3,1 6......... o 6 5 4所以二项式x - 的展开式中的常数项为C；-------------------- 20.x 3 2 1故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项，利用通项公式是解题关键，属于基础题.7 .已知直线y x 3与圆x2y22x 2y 0相交于A, B两点，则AB ()A . B. 33 C. 6B D . 2【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离根据勾股定理可求得答案.【详解】由x 2 y 2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圆心为（1,1）,半径为J2, 由 y x3 得 x y 3 0,由圆心到直线的距离公式得|11 3|二.1 12 '由勾股定理可得 §（2）2（22）2 /，所以| AB | 6 .故选:C. 【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径，点到直线的距离公式，圆中的勾股定理利用圆中的勾股定理是解题关键.8 .斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是 400cm2, 900cm 2,高为9cm, 长方体形凹槽的体积为 4300cm 3,斗的密度是0.70g/cm 3 .那么这个斗的质量是（）注：台体体积公式是 V 1 S SS S h .3S-图二图三A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积，再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积，然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量【详解】1C-(400400 900 900) 9 5700 cm 33所以这个斗的质量为 5700 4300 10000 cm 3, 所以这个斗的质量为10000 0.70 7000 g . 故选:C.本题考查了棱台的体积公式，属于基础题x 0,9,若实数x, y 满足y 1, ，则2x y 的最大值为（）x 5y 1 0.【解析】作出可行域，根据斜率关系找到最优解，代入最优解的坐标可得答案【详解】所以 M(4, 1),故选:D根据棱台的体积公式可得棱台的体积为A . 2B. 0C. 7D. 9将目标函数化为斜截式为y 2x z ,由图可知最优解为M ，联立 x 5y 1 y 1，得 x 4, y 1 ,将 x 4, y1代入z 2x y ,得4所2 4 ( 1) 9.作出可行域如图所示1 210 .已知函数f x —ax 2ax In x 在区间0,上为增函数，则实数 a 的取值2范围是（）A. 0,1B.0,C.1,D. 1,1【答案】B1【解析】将问题转化为f'（x ） 0,即a ----------- ------ 在区间（0,）上恒成立，再根据x 2 2x二 ---- 0可得答案.x 2 2x【详解】1 2 _ 因为 f x ax 2ax In x , 2“一 1 所以 f '(x) ax 2a —, x1 2因为函数f x -ax 2ax In x 在区间 0, 上为增函数 2所以a 0. 故选:B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了转化划归思想属于中档题211 .已知A 是双曲线D ： x 2— 1右支上一点，B 、C 分别是双曲线 D 的左、右焦 35 ...... 一一 sin 2B点。

【数学】重庆市2020届高三下学期强化训练一(文)(解析版)

重庆市2020届高三下学期强化训练（文）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|560}A x x x =--<，{}20B x x =-≤，则A B ⋂= A ．{}32x x -<≤B ．{}22x x -<≤C ．{}62x x -<≤D ．{}12x x -<≤2.设复数z 满足223i z i =+，其中i 为虚数单位，在复平面内，复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p x R ∃∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 为半圆弧的两个三等分点，则=AB A.AD AC - B. AC AD 22- C.AC AD - D. AD AC 22-5.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则cos2=αA ．725B ．1225-C ．725-D ．12256.数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10a = A.33B ．28C.4D ．4或287.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，比如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制一个季节，则甲乙两名同学绘制不同季节的概率为 A ．116B ．14 C ．34D ．128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．83 B ．38C ．512D ．11249.已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕπ<<的部分图象如图所示，其中(0)1f =，5||2MN =，则3()2f = A.3 B.3- C.1- D.110.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长度/秒的速度运动到C 点停止，同时动点Q 从点C 开始沿CD 边以1个单位长度/秒的速度运动到D 点停止，则AQP ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．11.若奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x R ∈都有[()22]1x g g x -+=，当[0x ∈，1]时，()()f x g x =，则2(log 10)f = A ．35-B ．38-C ．38D ．912.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线的渐近线方程为A ．y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.x ，y 满足约束条件330302x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2x y +的最小值为．14.已知抛物线，焦点为，直线，点A 在直线l 上，线段与抛物线的交点为，若5AF BF =，则||BF = ．15.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若3a =，且2:16C y x =F :1l x =-AF C Bsin sin()2sin 2A B C C +-=，则c 的取值范围为．16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11202n n n S a ---=，则45a a += ，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T = ．三．解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆中，D 是线段BC 上的点，且DC BD =2，2sin sin C B =. （Ⅰ）求证:CAD BAD ∠=∠；（Ⅱ）若2,2==AC DC ，求AD 和AB 的长．18.图1是直角梯形,//,90,2,ABCD AB CD D AB ︒∠==3,2DC AD CE ED ==，以BE 为折痕将BCE ∆折起，使C 到达1C 的位置，且61=AC ，如图 2.（Ⅰ）证明：平面⊥E BC 1平面ABED ;（Ⅱ）求点B 到平面D AC 1的距离.19．近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了20122016-年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．已知高铁密度y 与年份代码x 之间满足关系式(b y ax a =，b 为大于0的常数）．（Ⅰ）求y 关于x 的回归方程；（Ⅱ）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过32千米/万平方千米．参考公式：设具有线性相关系的两个变量x ，y 的一组数据为(i x ，)(1i y i =，2，)n ⋯⋯，则回归方程ˆˆˆybx a =+的系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-参考数据：51ln ln 5ln ln 0.96i i i x y x y =-≈∑，5221()5() 1.6i i lnx lnx =-≈∑，515i i lnx =≈∑，5114i i lny =≈∑，2.18.2e ≈，323.46ln ≈．20．点M 在圆4:22=+y x O 上运动，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 为MN 的中点，点P 的轨迹记为C . （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,3(F 作OP 的平行线l 交曲线C 于B A ,两点，是否存在常数λ使得||||2AB OP λ=，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.21．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ；记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ，求证：0<k .22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ααααsin 59cos 512sin 4cos 3y x （α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=+πθρ．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，)0,2(M ，求MQ MP +的值．23．已知函数312)(---=x x x f ．（Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若不等式)(342x f x m m >-+-对R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DDCBADCDBAAC1.解：(1,6),(,2],(1,2]A B A B =-=-∞∴⋂=-2.解：23313222i z i i i +==+=-，3(,1)2z ∴-对应的坐标为，在第四象限 3.解：22131()0,24x x x p -+=-+>∴为假命题，231,2x x x q =>∴当，为真命题4.解：22()AB CD AD AC ==-5.解：222222913cos sin 1tan 716tan()tan ,cos 294cos sin 1tan 25116αααπαααααα---+==-∴====+++ 6.解：当0d =时，1104a a ==；当0d ≠时，222161111()(5)3,a a a a d a a d d a =⋅⇒+=+⇒= 311331212S a d a ∴=+==，1101,3,28a d a ∴==∴= 7.解：123164P == 甲春春春春夏夏夏夏秋秋秋秋冬冬冬冬乙春夏秋冬春夏秋冬春夏秋冬春夏秋冬 8.解：111111111112322224V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=9.解：56,23MN T πω===∴=，()2sin(),3f x x πϕ∴=+ 5(0)2sin 1,6f ϕϕπ==∴=，535()2sin(),()2sin()36226f x x f ππππ∴=+∴=+=10.解：当P 在线段AB 上时，2AP x =，1222(01)2y x x x =⋅⋅=≤≤当P 在线段BC 上时，ABCD ABPQCP ADQ y S SS S ∆∆=---2111372222(1)-(42)2(2)()22224y x x x x x ∴=⨯-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-=-+11.解：因为()g x 为R 上的单调函数，且对任意实数x R ∈都有[()22]1x g g x -+=，故可设()22x g x t -+=即()22x g x t =-+，因为()221t g t t =-+=，故1t =，所以()21x g x =-，因为(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=，又[0x ∈，1]时，()()21x f x g x ==-，则28log 52222583(log 10)(log 104)(log )(log )(21)855f f f f =-==-=--=-12.解：根据双曲线的定义：122AF AF a -=，212BF BF a -=，则212BF BF a =+，且有1114AF AB BF a BF =+=+，代入可得212AF a BF =+，则22BF AF =，因为290AF B ∠=，则2245ABF BAF ∠=∠=︒，且22222AB AF BF =+，则22BF AF ==，则12)BF a =，在△12BF F 中，12135BF F ∠=︒，则222121212cos1352BF BF F F BF BF +-︒=，即=，整理可得2223c e a ==，则e =，b a ∴=二、填空题 13.解：114.解：5,AF BF =过B 作x 轴的垂线，垂足为D ，则1DF =，3,47B B x BF x ∴=∴=+=15.解： sin sin cos cos sin 2sin 24sin cos A B C B C C C C +-==， sin()sin cos cos sin 4sin cos B C B C B C C C ∴++-=，sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos B C B C B C B C C C ∴++-=， 2sin cos 4sin cos B C C C ∴=，在锐角三角形ABC 中，cos 0C >，sin 2sin B C ∴=，2b c ∴=，ABC ∆是锐角三角形，∴22222222222209300,930,0590a b c c a c b c b c a c ⎧⎧+->+>⎪⎪+->->⎨⎨⎪⎪+->->⎩⎩代入得c <<16. 解：（1）由于数列{}n a 满足1122n n n S a --=，① 当2n 时，112122n n n S a ----=②,①-②得：11211222n n n n n a a a ----+=-，整理得1121122n n n n a a ---+=-，所以54431112216a a +=-=-．（2）由于1121122n n n n a a ---+=-,故2111122n n n na a ++++=-③，所以111122n n n n a a +-+=-④， ③-④得：211121222n n n n n a a ++--=-+，所以21032111121121121()()()222222222n n n n T +-=-++-++⋯+-+，23112011111111111()2()()222222222n n n +-=++⋯+-⨯++⋯++++⋯+， 11111(1)(1)142222()2()()111111222n n n⨯-⨯--=-⨯+---，11122n +=-．三、解答题17.解(1)法一：在sin sin c BDABD ADB BAD=∠∠中，，sin sin b DC ADC ADC DAC =∠∠中，…..2分 sin sin sin =sin =BD ADB DC ADC BAD DAC c b⋅∠⋅∠∴∠∠，，2sin sin ,2C B c b =∴=，又2,sin sin BD DC ADB ADC =∠=∠…………………4分1sin 2sin ==sin 12DC ADCBAD DAC b ⋅∠∴∠∠…………6分法二：2,2ABDACDBD DC S S=∴=,2sin sin ,2C B AB AC =∴=………………..2分又11=sin ,sin 22ABDACDSAB AD BAD S AC AD DAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠,……………………4分 sin 1,sin sin sin 2ABD ADCS AB BAD BAD DAC SAC DAC ⋅∠∴==∴∠=∠⋅∠DAC BAD ∴∠=∠……………………………………………………………………6分(2)2,2,1DC AC BD AB ==∴==………………………………………..8分 cos cos BAD DAC ∠=∠，2211+42224AD AD AD AD-+-∴=,1AD ∴=……………………………………………..12分 18.解(1)2,1,2AB DE AD EB EC BC ======连接AC 交EB 与M 点，则ECM BAM ≅,M BE ∴为的中点1C M MA ∴==又16C A =11,,,C M MA C M BE BE AM M ∴⊥⊥⋂=又……..6分(2)设B 到平面1AC D 的距离为d ，则1113B AC DAC D V d S -∆=1111,C M ABED C M C EB ABED C EB∴⊥⊂∴⊥平面又平面，平面平面11112132B ACD C ABD V V --===……………………………………….8分11DM C M C D==112AC D S ∴=分1113B AC D AC D V d S -∆∴===……………………………….12分 19.解:(1) 对(0,0)b y ax a b =>>两边取自然对数，得lny blnx lna =+；令i i v lnx =，i i u lny =，1i =，2，3，⋯，n ；得u 与v 具有线性相关关系，计算5^12521ln 50.960.61.65i i i i v u vub vv ==-===-∑∑，……………………………….2分 ^^14ln ln ln 0.6 2.25i a y b x =-=-=，……………………………….4分所以^0.6b =，^ln 2.2a =，所以0.6 2.2lny lnx =+，所以y 关于x 的回归方程0.6 2.2ˆlnx ye +=，即 2.20.6ˆye x =；……………………………….6分 (2) 在(1)的回归方程中，0.6 2.2lnx y e +=，高铁密度超过32千米/万平方千米；即0.6 2.232lnx e +>，0.6 2.232 3.46lnx ln +>≈， 2.1lnx >． 2.18.2x e >≈，即9x =时，高铁密度超过32千米/万平方千米；所以预测2020年，高铁密度超过32千米/万平方千米．……………………………….12分20.解:（1）设11(,),(,)M x y P x y ，则112x x y y=⎧⎨=⎩，代入22114x y +=，得2214x y += 所以点P 的轨迹为2214x y+=……………….4分（2）设22:(4)10AB l x my m y =+++-=代入椭圆方程得，……………5分2122444m AB y m +=-==+…………………8分 222222244:,(4)4,,44OP m l x my m y y x m m =+=∴==++代入椭圆方程得……………11分22222444m OP x y m +∴=+=+，22222444=1444m OP mm AB m λ++∴==++…………………12分 21.（Ⅰ）x ax x x a xx f 111)(22+-=-+='，令1)(2+-=ax x x h ,42-=∆a ①当0)(,2>'≤x f a 在),0(+∞单调递增;..................2分.②当2>a 时，由24,240)(2221-+=--=⇒=a a x a a x x h 又因为01)0(>=h ，所以01>x)(,0)(,0)(),,(),0(21x f x f x h x x x >'>+∞⋃∈单调递增;)(,0)(,0)(),,(21x f x f x h x x x <'<∈单调递减..................5分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当2>a 时，)(x f 有两个极值点12,x x ，且满足1,2121==+x x a x x . )ln (ln )11()()()(21212121x x a x x x x x f x f -----=-)ln (ln )(22121x x a x x ---= 21212121ln ln 2)()(x x x x a x x x f x f k ---=--=........................................8分. 要证：0<k ，即证2ln ln 2121>--x x x x a ，即证2)ln (ln 212121>--+x x x x x x 令21x x t =，)1,0(∈t ,即证112ln +-<t t t . 令222)1(12)1(41)(,112ln )(++-=+-='+--=t t t t t t F t t t t F )(,0)(),1,0(t F t F t >'∈单调递增.0)1(=F ,所以112ln +-<t t t ....................12分 22.解：（1）曲线C 的普通方程：192522=+y x ；…………………………………………3分直线l 的直角坐标方程：0323=-+y x …………………………………5分（2）设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 2322（t 为参数）…………………………………6分带入192522=+y x ，得：225)23(25)22(922=+-t t ， ∴018918212=--t t ………………8分∴=…………………10分23. 解（1）∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<<-≥+=---=21,2321,433,2312)(x x x x x x x x x f ………………………………2分 ∴⎩⎨⎧≥>+302x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<<>-321043x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤>--2102x x ∴34>x 或2-<x ……………………………………………………………………5分（2）∵6212321242---=--->-x x x x m m ………………………………7分又∵56212≤---x x …………………………………………………………………8分 ∴542>-m m ，∴5>m 或5-<m ……………………………………………………10分。

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