【期末复习】2019年 八年级数学上册 期末复习 分式与分式方程 知识点+易错题(含答案)
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八年级上册分式方程知识点总结
八年级上册分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.
3会用分式乘除的法则进行运算.
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘方的运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8掌握整数指数幂的运算性质.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10利用分式方程组解决实际问题.
难点：1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2灵活应用分式的基本性质将分式变形.
3灵活运用分式乘除的法则进行运算
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8会用科学计数法表示小于1的数.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.。
八年级数学《分式方程》知识点
分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。
因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。
二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。
3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。
三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。
由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。
四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。
4.分式方程的解可以使用数学软件得出。
八年级数学分式知识点
八年级数学分式知识点八年级数学分式知识点概述一、分式的定义分式（Fraction）是指一个表达式，其中包含一个分子（Numerator）和一个分母（Denominator），形式为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母，b 不等于零。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以一个非零的数或式子，分式的值不变。
2. 约分：通过找出分子和分母的公因数并约去，使分式化为最简分式。
3. 通分：将两个或多个分式，使其具有相同的分母，这样的操作称为通分。
三、分式的运算1. 分式的加减法：- 同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 分式的乘法：- 分子乘分子，分母乘分母。
3. 分式的除法：- 除以一个分式等于乘以它的倒数。
4. 分式的混合运算：- 先乘方，再乘除，最后加减。
- 遇到括号，先计算括号内的运算。
四、分式的条件应用1. 分式方程：- 解分式方程时，通常需要去分母转化为整式方程求解。
2. 分式不等式：- 解分式不等式时，需要注意不等号的性质，通常也需要去分母处理。
3. 分式函数：- 分式可以作为函数的表达式，如 y = f(x) = (ax + b) / (cx + d)，其中 a, b, c, d 为常数，且cx + d ≠ 0。
五、分式的化简与求值1. 化简：- 通过约分和通分，将复杂的分式化为最简形式。
2. 求值：- 在已知分式中某些字母的值的情况下，可以通过代入法求出分式的数值。
六、分式的实际应用1. 比例问题：- 分式常用于解决比例问题，如速度、时间和距离的关系。
2. 利率问题：- 分式在计算利息、本金和本息和等问题中有广泛应用。
七、分式的图形表示1. 函数图像：- 分式函数的图像可以通过描点法绘制，注意分母不能为零的点。
2. 几何应用：- 分式在计算几何图形的面积、周长等方面也有应用。
八、分式的综合练习1. 练习题：- 通过解决各种分式相关的数学问题，加深对分式知识点的理解和应用。
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初二数学上册分式方程知识点
1.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.
2.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根;注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
3.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解;若值不为零，求出的根是原方程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
4.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.。
八年级分式知识点总结
八年级分式知识点总结在八年级中，分式是一个非常重要的数学知识点。
分式在日常生活中也经常被使用，例如在做菜时用到的分数配比、在比赛中使用的比分等等。
在八年级中学生需要学习分式的概念、分式的化简以及分式之间的运算等方面的知识。
下面是对八年级分式知识点的总结。
概念分式是将一个整体分成若干份的表达式，它由分子和分母两部分组成，分子表示份额的部分，分母表示总份额。
例如：$\frac13$表示将一个整体分成三份中的一份。
在学习分式概念时，需要注意以下几点：1. 分式的分母不能为0；2. 分式的分子和分母都可以是整数或者代数式。
化简在学习分式的过程中，化简是一个重要的环节。
化简分式可以使得其更加简洁明了，更加易于操作和理解。
化简分式的过程主要包括以下几个步骤：1. 如果分子和分母中有相同的因子，则可以约分；2. 将连加或连减的分数化为通分后的带分数；3. 将带分数化为假分数；4. 对于分式中的表达式，可以根据加减乘除的运算法则进行合并运算。
运算在八年级的数学学习中，分式的加减乘除是必不可少的运算。
下面对这些运算法则进行总结：1. 加减法：将两个分式的分母化为公共分母后进行加减运算，然后化简为最简分式；2. 乘法：将分子和分子、分母和分母分别相乘后化简为最简分式；3. 除法：将一个分式乘以另一个分式的倒数，然后化简为最简分式。
综合应用分式在生活和学习中有很多实际应用，因此我们需要掌握它的实际应用方法。
下面举几个例子：1. 比例问题：比例问题可以转化为分式运算。
例如：$A:B=2:3$，则其对应的分式为$\frac{2}{3}$；2. 配比问题：在调配化学试剂时，需要按照一定的配比，此时需要运用分式知识。
例如：制备铵盐的化学方程式为$NH_4Cl+NaOH\rightarrow NaCl+NH_3+H_2O$，其中$NH_4Cl$和$NaOH$的化学量比为$1:1$，则它们所含比积为$\frac{1}{2}$；3. 运用比较大小：当我们需要比较两个分式的大小时，可以将它们化为相同的分母，然后将分子作为比较的对象。
八年级数学上分式知识点
八年级数学上分式知识点分式在数学中是一个基本概念，是数学学科中的一个核心内容，也是高中阶段的复杂算术和代数运算的基础。
在八年级数学上，学生需要掌握和应用分式知识点。
本文介绍了八年级数学上分式知识点的相关内容和应用。
一、分式的定义和基本性质1.定义：分式就是表示为两个或多个数的比的形式，其中分母不能为0。
2.基本性质：● 分式的值域为实数集。
● 分式可约分，也可通分。
● 有理分式可以化成整式。
● 分式运算法则和整式运算法则不同。
二、分式的表示1.真分式：分子小于分母的分式，如 3/4、5/6 等。
2.带分数：整数及真分数的总称，用于表示大于1的分式，如3 2/5、4 1/3 等。
3.假分式：分子大于或等于分母的分式，如 5/4、8/3 等。
三、分式的加减1.分式加减的基本规律：● 分式加减前必须先通分。
● 分母相同时，直接将分子合并操作。
● 分母不同时，可以通过通分后在分子上做减/加法来合并操作。
2.根据以上规律，下面简单演示分式加减的运算方法。
Example：将 1/2 和 2/3 相加。
解：通分后有：3/6 + 4/6 = 7/6故 1/2 + 2/3 = 7/6。
四、分式的乘法1.分式乘法的基本规律：● 分式乘法中，将分子与分子相乘，分母与分母相乘。
● 若分式中有整数或带分数，则将其转化为分数，然后再进行乘法。
2.根据以上规律，下面简单演示分式乘法的运算方法。
Example：将 1/2 与 2/3 相乘。
解：将分子和分母分别相乘，然后化成最简形式，即有：1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3。
五、分式的除法1.分式除法的基本规律：● 分式除法中，将分子与除数的分母相乘，分母与除数的分子相乘。
● 在进行分式除法时，一定要记得检查被除数与除数是否都已经约分。
2.根据以上规律，下面简单演示分式除法的运算方法。
Example：将 1/2 除以 2/3。
解：由定义得到：1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4。
八年级分式知识点汇总
八年级分式知识点汇总分式是数学中非常重要的一部分，它广泛应用于各种数学问题和实际生活中。
在八年级的数学学习中，分式的学习也是很大的一部分，因此掌握分式知识点十分关键。
以下是八年级分式知识点的汇总：一、分式的基本概念1. 分数的基本概念：分数是以分数线分割的两个整数表达的数。
2. 分母的含义：分数中下方整数的被称为分母，分母表示分割的份数。
3. 分子的含义：分数中上方的整数称为分子，分子表示取几份。
4. 真分数和假分数：当分子比分母小的分数为真分数，反之为假分数。
5. 分式的概念：分式是分数的一般表示形式，一般用a/b表示，a为分子，b为分母。
6. 分式的约分：分式的约分是将分子和分母同时除以它们的公因数的过程。
7. 分式的返约分：将一个分式乘上一个它原来的约数的过程。
二、分式的初等运算1. 分式的加减：分式加减的结果是分式，但一般需要先通分。
2. 分式的乘除：分式乘除的结果是分式，但一般需要先约分。
3. 分式的倒数：一个非零的分数的倒数等于将它的分子和分母互相交换后得到的分数。
4. 幂的分式：分式的幂等于将分子和分母分别取幂后得到的分数。
5. 分式的化简：将一个分式化为有较少项和更简单的分式的过程。
三、分式的进阶运算1. 分式的整式运算：将分式化为整式，并与另一个整式进行加减乘除。
2. 分式方程的解法：分式方程的解法和线性方程的解法类似，但需要特别处理分母为零的情况。
4. 分数的比较：分数大小比较需要将它们通分后，比较其分子的大小。
5. 分式的质因数分解：将一个分式表示为两个整数的积时，可以将分子和分母分别进行质因数分解。
以上是八年级分式的知识点的汇总。
当然，分数的应用还涉及到更加复杂的运算和实际问题，需要在不断练习和实践中掌握。
希望同学们在学习分式时好好掌握并熟练运用，从而更好地理解数学。
初中八年级的分式学习知识点总结计划及总结复习
分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B 为分母。
B知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为 0〔 B0〕②分式无意义：分母为 0〔 B0 〕③分式值为 0：分子为0 且分母不为 0〔A 0B 〕0 ④分式值为正或大于0：分子分母同号〔A 0 A 0 〕B 0 或B⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔A 0 A 0 〕B或B⑥分式值为 1：分子分母值相等〔 A=B 〕⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数〔 A+B=0〕经典例题1、代数式 41 〕 A. 单项式B.多项式C.分式D.整式是〔x2、在 2， 1( x y) ，3，a 5 ， 2xy中，分式的个数为〔〕x 3x43、总价 9 元的甲种糖果和总价是 9 元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果廉价 1 元，比乙种糖果贵 0.5 元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9 元的甲种糖果的质量为千克 .4、当 a 是任何有理数时，以下式子中一定有意义的是〔〕a 1B.a 1C.a 1 D.a1 A.aa 2a21a 215、当 x1 时，分式① x 1 ，②x1，③ x 1，④1 中，有意义的是〔〕 A. ①③④ B.x 12x 2C. x 2 1x 3 1 D.③④②④ ④6、当 a1 时，分式a1 〔〕 A. 等于 0B.等于 1a 2 17、使分式8x4的值为 0，那么 x 等于〔〕 A. 3B.8x 388、假设分式x 2 1 的值为 0，那么 x 的值是〔〕或－ 1x2x 2C.等于－ 1D. 无意义18 D.1 2C.23C.－1 D.－ 29、当 x时，分式x1的值为正数 .10、当 x时，分式x1的值为负数 .x 1x 111、当 x时，分式x 1的值为 1.3x212、分式1有意义的条件是〔 〕 A. x0 B.x1 且 x0 C. x2 且 x 0D.x1 且 x 21 11 x13、如果分式x 3〕 A. xB.x3 C.x 0 且 x 3D.x3x的值为 1，那么 x 的值为〔314、以下命题中，正确的有〔 〕① A 、 B 为两个整式，那么式子A叫分式；② m 为任何实数时，分式m 1有意义；Bm 3③分式 1 有意义的条件是x 4 ；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1.2 16xA.1 个B .2 个个个15、在分式 x 2ax 中 a 为常数，当 x 为何值时，该分式有意义？当 x 为何值时，该分式的值为 0？x 2x 2知识点三：分式的根本性质分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不等于0 的整式，分式的值不变。
八年级上册分式笔记知识点
八年级上册分式笔记知识点分式在数学中是一个重要的概念，是数的一种表示形式，通常用形如a/b的形式来表示。
在八年级上册数学中，我们学习了许多关于分式的知识，下面将分别探讨分式的基本概念、分式的运算法则、解分式方程以及分式的应用。
一、分式的基本概念1. 分式的定义分式是指分子和分母皆为代数式或者数字的数的表示形式，写成$a/b$的形式，其中a、b称为分式的分子和分母。
2. 分数的约分和通分分式的约分和分数的约分原理相同，即分子和分母同时除以一个公因数，使得分子和分母互质。
通分则是指分母相等，将分子转化为相等的形式，是分式运算的基础操作。
3. 分式的化简化简分式是指将分式约分、通分，或者根据分式的基本性质进行简化，得到更加简洁、便于计算的分式。
二、分式的运算法则1. 分式的加减运算分式的加减运算分为两个步骤：一是通分，二是加减分子。
2. 分式的乘除运算分式的乘法运算是先把分子与分母相乘，然后化简；分式的除法运算是将除数取倒数，然后进行乘法运算。
3. 分式的混合运算分式的混合运算是指加减乘除运算相结合，并且要注意优先级问题。
三、解分式方程分式方程是指含有分式的方程，解分式方程的基本步骤如下：1. 将分式方程转化为分母式子2. 通分、化简3. 移项4. 解方程四、分式的应用分式在实际应用中有非常广泛的应用场景，主要涵盖了以下几个方面：1. 比例问题分式中分子代表的含义通常是总量中的某个部分，分母代表的是总量，所以分式用于解决比例问题是非常常见的。
2. 混合液体的配比问题分式可以用于解决混合液体的配比问题，即将不同浓度的液体混合以达到一定浓度。
3. 消减物品的价格问题分式可以用于解决消减物品的价格问题，即在物品价格打折促销的情况下，计算折扣后的价格。
总之，在八年级上册学习分式的过程中，我们掌握了分式的基本概念、分式的运算法则、解分式方程以及分式的应用。
虽然分数在我们日常的生活中不算是特别实用的概念，但在绝大多数数学推理中分式都起着举足轻重的作用。
八年级数学分式回顾与总结
定义
二元一次分式方程组是含 有两个未知数，且每个未 知数的次数都为1的方程组。
解法
通过消元法或代入法来求 解二元一次分式方程组， 其中消元法包括加减消元 法和代入消元法。
注意事项
在解二元一次分式方程组 时，需要注意消除分母可 能带来的影响，以及确保 解的合理性。
分式方程的应用
分式方程在解决实际问题中的应 用广泛，如工程问题、行程问题、
分式的加法与减法性质
同底数的分式相加或相减时，分母不 变，分子进行相应的加或减运算。
分式的约分与通分
约分
将分子和分母同时除以一个公因 式，简化分式的过程。
通分
将两个或多个分式的分母统一， 以便进行加、减运算。
02 分式的运算
分式的乘除法
乘法法则
分式乘法时，分子乘分子作为 新的分子，分母乘分母作为新
八年级数学分式回顾与总结
目录
• 分式的定义与性质 • 分式的运算 • 分式方程 • 分式在实际生活中的应用 • 分式的注意事项与易错点
01 分式的定义与性质
分式的定义
分式是两个整式相除的商，表 示为分数形式，如$frac{a}{b}$ （其中$b neq 0$）。
分式中的分子是整式，分母也 是整式，且分母不能为零。
表时间。
密度计算
密度是物体的质量与其体积的比值， 用分式表示为 ρ=m/V，其中ρ代 表密度，m代表质量，V代表体积。
压强计算
压强是压力与受力面积的比值，用 分式表示为 p=F/S，其中p代表压 强，F代表压力，S代表受力面积。 Nhomakorabea学中的分式
01
化学反应速率
化学反应速率是反应物的消耗或生成速率与反应时间的比值，用分式表
期末数学八年级分式方程知识点最全公布!
期末数学八年级分式方程知识点最全公布！知识点1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B、A 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数;分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示其中A 、B 、C 为整式(0ne;C )注：(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
(2)应用基本性质时，要注意C ne;0，以及隐含的B ne;0。
(3)注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
课后练习分式方程知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，在期末考试中取得优异的成绩。
八年级分式重要知识点
八年级分式重要知识点分式是数学中的重要概念，数学分式的习题在中学数学中出现频率较高。
八年级学生需要掌握分式的基本定义、简化、加减、乘除和应用等知识点。
1. 基本定义分式的基本定义是分数，由分子和分母两部分组成。
一般写成a/b的形式，表示a与b的商。
a是分子，b是分母。
分子可以是任何整数，分母不能为零，分母为1时，分数等于分子本身。
例如：3/4，表示三分之四。
2. 简化分数分式的简化是把分子和分母同时除以它们的公因子，使分数的分子和分母互质。
例如：12/16，可以化简为3/4，因为它们都有公因数4。
3. 分式的加减分式的加减是指分子、分母的加减。
当分母相同时，可以直接对分子进行加减运算。
当分母不同时，需要将分式化为通分后的形式再进行加减运算。
例如：1/2+2/3，可以将分母通分，化为3/6+4/6，最终结果为7/6。
4. 分式的乘除分式的乘法是指分子、分母分别相乘得到新的分子、分母，然后化简分数得到最终结果。
例如：3/4×5/6，结果为15/24，化简后为5/8。
分式的除法是指将除数的分子分母互换，再和被除数相乘。
例如：3/4÷2/5可以转化为3/4×5/2，结果为15/8。
5. 分式的应用分式在日常生活中有广泛的应用，如经济学中的计算利率、数学中的比例、化学中的摩尔质量等。
在解决实际问题时，我们可以根据公式列方程，在运用分式的知识进行求解。
综上所述，分式是数学中的基本概念，了解分式的基本定义、简化、加减、乘除和应用等知识点，对于学生学习数学具有重要意义。
同时，分式的应用具有广泛的实际意义，在日常生活中也值得我们关注和应用。
八年级数学分式知识点
八年级数学分式知识点八年级数学分式知识点梳理一、轴对称图形1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系。
4、轴对称的性质。
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的`垂直平分线上。
三、用坐标表示轴对称小结1、在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等。
2、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
期末数学八年级上册知识点归纳北师大版函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y 都有确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
八年级数学《分式方程》知识点
一、基本概念
1.分式：分子和分母都是多项式的数叫做分式。
2.分式方程：含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。
二、分式方程的解
1.分式方程的解：使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。
2.适合分式方程的解：使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。
三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法：将找到的解代入方程，若等式两边可以变成同一个数，则该解为分式方程的解。
2.分式方程的解的验证方法：将方程两边合并，并对两边进行化简，最后验证等式是否成立。
四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质：若一个数是分式方程的根，则这个数的相反数也是该方程的根。
2.分式方程的根的性质的应用：利用分式方程的根的性质，可以通过已知根推出其他根。
五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤：先合并同类项，再化简，最后通过代数运算求解未知数。
2.解分式方程的具体方法：可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。
六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程：利用推导和分项代入法，将问题转化为分式方程，然后再用分式方程的解来解决问题。
2.混合运算解分式方程：先利用等式性质将分子展开，再通过合并同类项化简，最后求解分式方程得到解。
总结：。
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成BA的形式。
如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称BA为分式。
（对于任何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bdac）2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：b a ÷dc =b a ﹒cd =bcad） 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点一、分式的定义与意义1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
整式是分母中没有字母的代数式，而分式是分母中含有字母的代数式。
2. 分式有意义的条件：分母不能为0，即B≠0时，分式A/B才有意义。
3. 分式无意义的条件：分母为0，即B=0时，分式A/B无意义。
二、分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：若C≠0，则A/B = A×C / B×C。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
三、分式的运算1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
即：(a/b) ×(c/d) = ac/bd。
2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：(a/b) ÷(c/d) = (a/b) ×(d/c) = ad/bc。
3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：(a/b)^n = a^n/b^n （其中n为正整数）。
4. 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：(a/c) ±(b/c) = (a±b)/c。
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
四、分式方程的解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法步骤：1. 去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母，得到整式方程。
2. 解整式方程：解这个整式方程，得到整式方程的解。
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2019年 八年级数学上册 期末复习 分式与分式方程知识点+易错题分式知识点一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 六、分式的四则运算与分式的乘方 （1）分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ∙∙=∙=÷b da db a dc b a（2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛（3）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。
式子表示为：c ba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为：bdbcad d c ±=±b a整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
（4）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
即：n m n m a a +=⋅a ()mn nma a = ()n n nb b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a 1=-n a 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。
八、分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤：（1）审：仔细审题，找出等量关系。
（2）设：合理设未知数。
（3）列：根据等量关系列出方程（组）。
（4）解：解出方程（组）。
（5）验：检验（6）答：答题。
分式及分式方程错题精选一、选择题1.若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1 C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠42.若关于x的分式方程=2﹣的解为正数,则满足条件的正整数m值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，33.在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路1上、下坡的平均速度是每小时（）A．千米B．千米C．千米D．无法确定4.有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（）A．B．C．D．5.如果分式的值为正整数，则整数x的值的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个6.已知非零有理数x，y满足x2﹣6xy+9y2=0，则=（）A．B．C．D．7.已知=3，则的值为（）A．B．C．D．﹣8.用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y﹣3=0 B．y2﹣3y+1=0 C．3y2﹣y+1=0 D．3y2﹣y﹣1=09.从﹣3,﹣1,,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a 使关于x 的不等式组无解,且使关于x 的分式方程﹣=-1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣D ．10.若关于x 的分式方程=2的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1 B ．m≥1C ．m ＞﹣1且m≠1D ．m≥﹣1且m≠111.现规定：min(a ：b)=,例如(1：2)=1：min(8：6)=6．按照上面的规定,方程min(x ：﹣x)=的根是（ ） A ．1﹣ B ．﹣1 C ．1± D ．1或﹣112.已知1234-+=x x k ，则满足k 为整数的所有整数x 的和是( ). A ．-1 B ．0C ．1D ．2二 、填空题 13.若的值是 ．14.观察下列各等式：，，，…根据你发现的规律，计算：= （n 为正整数）．15.若关于x 的分式方程无解，则m 的值为 ．16.已知： =+，则A= ，B= ．17.关于x 的方程的解是正数，则a 的取值范围是 ．18.已知a 2﹣a ﹣1=0，则的值为 ．三 、计算题19.化简：22423(1)21x x x x x x x -+÷--+-- 20.化简：144)14(2-+-÷---x x x x x x .21.化简：24)2122(--÷--+x x x x . 22.化简：aa a a a -+-÷--2244)111(.四、解答题23.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元.(1)求这种衬衫原进价为每件多少元？(2)经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折？24.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%. （1）今年A 型车每辆售价多少元？（列方程解答）（2）该车行计划今年新进一批A 型车和B 型车共60辆，A 型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同；B 型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？25.某中学在百货商场购进了A．B两种品牌的篮球，购买A品牌蓝球花费了2400元，购买B品牌蓝球花费了1950元，且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A 品牌蓝球多花50元.（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？（2）该学校决定再次购进A．B两种品牌蓝球共30个，恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A 品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A．B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球？26.为提高学校的机房条件，学校决定新购进一批电脑，经了解某电脑公司有甲、乙两种型号的电脑销售，已知甲电脑的售价比乙电脑高1000元，如果购买相同数量的甲、乙两种型号的电脑，甲所需费用为10万元，乙所需费用为8万元.(1) 问甲、乙两种型号的电脑每台售价各多少元？(2) 学校决定购买甲、乙两种型号的电脑共100台，且购买乙型号电脑的台数超过甲型号电脑的台数，但不多于甲型号电脑台数的4倍，则当购买甲、乙两种型号的电脑各多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用.27.跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元,且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个,购进两种零件的总数量不超过95个,该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元,则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．参考答案1.C.2.C3.C4.A5.C.6.C7.B8.A9.B 10.D 11.A 12.D ；13.答案为：11． 14.答案为：．15.答案为：1或±．16.答案为：1；217.答案为：a ＜﹣1且a ≠﹣2． 18.答案为：1． 19.原式32x =+. 20.原式=22-+x x . 21.原式=-x-4. 22.原式=2-a a . 23.解：24.解：25.解：26.解：27.解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程的解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．。