结构力学——静定刚架
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03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.3 静定刚架的内力计算(邓军)
剪力图： 剪力符号规定与直梁中的规定相同；剪力图可画在杆件的任一 侧，但剪力图上要标明正负号。 轴力图：
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(梁、刚架)
14:32
LOGO
梁的内力计算的回顾
FQ FN M0 Fx O FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN M+ ΔM δ(x) x
直杆增量关系
增量关系
FN Fx FQ Fy M M 0
*另一种表述
M
Fy
y
dFN qx dx dFQ qy dx dM FQ dx
MA
FB=12 kN
ME m, 20KN
q
M D 18KN m,
M E 26KN m, 区段叠加法，
L M并可求出： 。 B 16KN m
MF
M F 18KN m,
F sE 3. 作弯矩图以及剪力图
L MG 6KN m,
Page 21
R MG 4KN m,
绘制： 1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
直杆微分关系
dFN qx dx dFQ q y dx dM FQ m dx
FQ FN
qy FQ+ dFQ
m qx O FN+ dFN M+ dM x
M
y
dx
集中力怎么办？
Page 14
计算思路：从刚片出发、从结点出发；
平面几何不变体系的组成规律 三角形规律：二元体（两杆一铰）、两刚片、三刚片； 灵活运用 撤去二元体，几何不变—>大刚片，虚铰选择，三刚片选择
Page 1
LOGO
第二章 结构的几何构造分析
回顾
灵活应用：虚铰、刚片的选择、无穷远处虚铰特性；
无多不变
3 能否运用三刚片规则？
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
结构力学刚架
qa
返回
三、 三铰刚架弯矩图
1 反力计算 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 0 1 整体 C MA= qa2+2qa2－2aYB=0 (1) 2 右半边 2 qa MC=0.5qa2+2aXB 1/2qa －aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 A XB=0.5qa YB=1.5qa qa/2 XA 3 再由整体平衡 a a A X=0 解得 XA=－0.5qa Y Y=0 解得 YA=0.5qa 2 绘制弯矩图 a a
结构力学
静定刚架
4.3.3 计算实例
• • • • • 1） 2） 3） 4） 5） 悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架 多跨静定刚架 对称性的利用
如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全部反 力，只需求出与杆轴线垂直的反力。 一、悬臂刚架绘制弯矩图可以不求反力，由自由端开始作 内力图。 q ql² ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ ½ql² 2q 2q
系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。
另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查 M 图的轮廓是否正确。
①M 图与荷载情况不符。 ②M 图与结点性质、约束情况不符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满 足平衡条件。
qa
a
a qa2
a
2a
a
a
a
qa
A
B H
C
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2 F D
qa
qa2/2
G
E
qa2
qa2/2 M图（kN.m）
绘制图示刚 架的弯矩图 仅绘M图,并不需要 求出全部反力. 先由AD ∑Y=0 得 YA=80kN 再由整体 ∑X=0 得 XB=20kN 然后先由A.B支座开始 作弯矩图.
《静定梁与静定刚架》课件
优化材料分布
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
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04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
结构力学二三四章总结
第二章静定梁与静定刚架§2-1 单跨静定梁一、概述1、单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁简支梁、悬臂梁及伸臂梁。
2、3个内力分量的规定：图示（注：1、附加增量；2、成对出现：作用力与反作用力；3、正负号统一）轴力N(截面上应力沿杆轴切线方向的合力)：拉力＋，压力－剪力Q(截面上应力沿杆轴法线方向的合力)：以绕截面邻近小段隔离体顺时针旋转为＋，反之为－弯矩M(截面上应力对截面形心的力矩)：弯矩使杆件下部受拉时为正，上侧受拉时为负3、截面法、分离体、平衡方程：求指定截面的内力的基本方法。
图示将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的平衡条件可以确定所求截面的三个内力。
平面一般力系平衡方程的三种形式。
注意：平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。
受力平衡条件：平面一般力系，平衡方程不同形式（正负号：同方向同符号）轴力＝截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；剪力＝截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；弯矩＝截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。
画隔离体受力图时，注意：(1)隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替；(2)约束力要符合约束的性质。
截断链杆以轴力代替，截断受弯构件时以轴力、剪力及弯矩代替，去掉支座时要以相应的支座反力代替。
(3)隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。
在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施给周围的力；(4)不要遗漏力。
包括荷载及截断约束处的约束力；(5)未知力一般假设为正号方向，已知力按实际方向画。
（6）“三清”：截面左右分清、外力清楚、正负号清楚4、内力图：图示1）定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。
内力方程式：内力与x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式。
2）几点注意（1）弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负。
3,《结构力学》静定刚架
只有两杆汇交的刚结点，若结 点上无外力偶作用，则两杆端 弯矩必大小相等，且同侧受拉。
40
80
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
静定刚架内力的概念分析，除用到以上介 绍的三条知识点外，补充另两点：
1、计算刚架的水平反力。 2、刚结点满足力偶矩的平衡条件。
静定平面刚架(frame)
悬臂刚架
静
A
D
定
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由 直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
附属部分
基本部分
刚结点处的 变形特点
保持角度不变
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
静定刚架的内力图绘制方法：
一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48
144
192
126
12
图示刚架的内力图 FQ (单位：kN . m)
48
144
192
126
12
42 kN
FN
48 kN
22 kN
例二、试作图示刚架的内力图
快速作
弯矩图
3F0Bx
求反力
40 FAy
80 FBy
静定的对称结构指：结构的几何尺寸、支 承情况关于某轴对应相同。
对称结构作用荷载可分解为;正对称荷载与 反对称荷载。
对称结构在正对称荷载作用下，弯矩图、 轴力图是正对称图形，剪力图是反对称图形。
结构力学3静定刚架
（）
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑
P
Pa a
P Pa
a
qa2/2 l
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P
m
2Pa Pa
P
Pa P
h
E
D
B
2q A
2a 2a
4a
4）杆AB
N BA
M BA
B QBA
2q 14qa2
A 8qa
10qa
3)杆BE q
M BE
N BE
QBE 4a
8qa 2
M图NBBiblioteka = 10qa QBA = 0 M BA = 2qa2
x=0
NBE q 4a sin = 0
N BE
=
4qa
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑
P
Pa a
P Pa
a
qa2/2 l
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P
m
2Pa Pa
P
Pa P
h
E
D
B
2q A
2a 2a
4a
4）杆AB
N BA
M BA
B QBA
2q 14qa2
A 8qa
10qa
3)杆BE q
M BE
N BE
QBE 4a
8qa 2
M图NBBiblioteka = 10qa QBA = 0 M BA = 2qa2
x=0
NBE q 4a sin = 0
N BE
=
4qa
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
结构力学-静定梁与静定刚架
A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非 图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分 关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值， 将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截 面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在 基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN
结构力学——静定刚架
FP
FAy
FCx= FP FAy= 0
简支型刚架
MC= FPl/2
第二节
静定平面刚架的支座反力计算
q ql2 q ql2
例题：计算刚架的支座反力 ql ql C FAx= ql A
l/2 l/2
C
l
B
D
B
D FAx
FAy= ql
MA= 2ql2 MA
A
FAy
悬臂型刚架
第二节
静定平面刚架的支座反力计算
C B
C
FNCB
A
A
FAx FAy
两刚片型结构(1)
第二节
静定平面刚架的支座反力计算
例题：计算刚架的支座反力
• 负号说明假设方向 C B 与实际方向相反；
• 用对 B 点取矩校核 q 满足平衡要求；
l
FBy
q
FAx
• 避免解联立方程； A
l • 避免错误继承；
FAy FAx= -ql FBy= ql/2 FAy= - ql/2
FP
D
l/2
D
FP
A
FPl/2 M图
l/2
A
l
利用C、B两刚结点传递弯矩的特性可简化计算。
第三节
静定平面刚架的内力计算
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FPl/2
例题：试绘制结构内力图
FPl/2 B C FPl/2 D A FPl/2 FPl/2
M图
FP FP FP
B C
FP FP
FP
D A FP
l
FP
FP/2
M图
FP/2
FPl B
FPl/2 C
FPl
结构力学之静定刚架
复杂程度和难度。
8
4、主从刚架（有附属部分） q P
D
FXD (a) C 整体隔离 X
Q
=0
MB = 0
FXA
Y =0
FYA
FYB
B FYB
A FYA
FXA
q
P
D FXD
9
C
FYC
FXC 局部隔离
MC = 0
FXD
四
刚架的杆端内力分析及内力图的绘制
1、刚架杆件的截面内力有弯矩、剪力、轴向力，以弯矩为主。 2、杆端内力表示，用杆件近、远端的标志作为下标以示区别。 3、内力杆端，用截面法，选取合理的隔离体，用平衡条件计算。 4、杆件内力与载荷的关系与梁相同，所以，计算杆端内力后， 可画出内力图。 5、刚架的内力的正负号规定同梁。各内力图均以杆轴为基线， 垂直杆轴画出。弯矩不规定正负，但规定弯矩竖标画在受拉侧； 在同一杆上的轴力或剪力图，若异号则分画在杆轴两侧，若同 号则在杆轴任一侧，但须在图中注明正负号。
A
M
B
l
ql
QBA = 0, QAB = ql
l ql 2 / 2
ql
QAB = ql
QBA = 0
P/2
ql
Q
ql
ql
34
六.由做出的剪力图作轴力图
Pa / 2
Pa / 2 A Pa
P B
P/2
P
Pa / 2
P/4
M
2a
P/4
P/4
Q
P/4
a
a
a
A
P/2 P/2 B P/4 P/4 P/2
P/4
M CB = q 4 2 = 80 kN m
结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)
§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m
结构力学 4静定结构受力分析-刚架
P
Ph Ph a
P
h Ph a
集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行集中力偶作用点弯矩无定义荷载不符注意这个铰该处支座反力沿着杆件轴线方向不产生弯矩铰上无弯矩集中力偶处弯矩有突变弯矩图正误判断作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件
静定结构受力分析
几何特性： 无多余联系的几何不变体系 几何特性： 静力特征： 仅由静力平衡条件可求全部反力、内力。 静力特征： 求解一般原则: 求解一般原则:从几何组成入手，按组成的相反 顺序进行逐步分析即可 本章内容： 静定梁；静定刚架 静定刚架； 三铰拱；静定 本章内容： 静定刚架 桁架；静定组合结构；静定结构总论 学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是 学习中应注意的问题： 后面学习的基础，十分重要, 要熟练掌握！
几点说明 刚架内力仍然可以利用q、Q、M微分关系。 微分关系。 内力符号规定： 内力符号规定： N —— 拉力为正 Q —— 使杆段顺时针转动为正 M —— 绘在受拉一边 内力记号： 内力记号： NAB ——AB杆A端的轴力。 端的轴力。 杆 端的轴力 QAB——AB杆A端的剪力。 端的剪力。 杆 端的剪力 MAB ——AB杆A端的弯矩。 端的弯矩。 杆 端的弯矩
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处
M
集中力作用 力无
集中力偶作用点 无
判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。 判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。
P D ↓↓↓↓↓↓↓↓ P D q ↓↓↓↓↓↓↓↓
×
B
C
×
E （a）
弯矩 图与 荷载 不符
B
C
q
A
A （b）
E
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×
《结构力学》静定刚架
2qa2 q 4a 2a 6qa 2a
2q 4a 2a M A 0
M A 14qa2
（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图
2qa2
q
1）杆CD
2qa2
C 6qa
E
2qa2
3a
D
B
F SDC 0
C
2q A
2a 2a
4a
结点D
4a
F
NDC
0
D
F SDC
M DC 2qa2 M DC
M图
2）杆DB
20kN·m
30kN
D CE
40kN·m
D
40kN·m
E
4m
10kN A 2m
10kN
20 M DC 20
D
B
10kN
2m 20kN
10kN A 10kN
M EC 40 E
20 40
B 10kN 20kN
40
40
20kN·m
40kN·m 40
D
C
E
M图（kN·m）
例4. 求绘图示结构的弯矩图。
3.3 静定平面刚架的内力计算
1、平面刚架的基本形式： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
2、平面刚架结构特点：
把简支梁折弯即成简支刚架。刚架与梁明显的区别刚架具有 刚结点。
1）刚结点的变形特点：刚架受力前后，刚结点上各杆之间 的夹角保持不变。
2）刚结点的受力特点：图示刚架取C结点作受力分析
内力符号的标注：为了区分汇交于同一结点的各杆端截面内
力，在内力符号下面引用两个脚标，第一个表示内力所属截
面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。
2q 4a 2a M A 0
M A 14qa2
（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图
2qa2
q
1）杆CD
2qa2
C 6qa
E
2qa2
3a
D
B
F SDC 0
C
2q A
2a 2a
4a
结点D
4a
F
NDC
0
D
F SDC
M DC 2qa2 M DC
M图
2）杆DB
20kN·m
30kN
D CE
40kN·m
D
40kN·m
E
4m
10kN A 2m
10kN
20 M DC 20
D
B
10kN
2m 20kN
10kN A 10kN
M EC 40 E
20 40
B 10kN 20kN
40
40
20kN·m
40kN·m 40
D
C
E
M图（kN·m）
例4. 求绘图示结构的弯矩图。
3.3 静定平面刚架的内力计算
1、平面刚架的基本形式： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
2、平面刚架结构特点：
把简支梁折弯即成简支刚架。刚架与梁明显的区别刚架具有 刚结点。
1）刚结点的变形特点：刚架受力前后，刚结点上各杆之间 的夹角保持不变。
2）刚结点的受力特点：图示刚架取C结点作受力分析
内力符号的标注：为了区分汇交于同一结点的各杆端截面内
力，在内力符号下面引用两个脚标，第一个表示内力所属截
面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。
《结构力学》第三章 静定梁和静定刚架.
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
结构力学静定钢架
2qa2 q 6qa
C
D
E
解：（1）计算支座反力
3a
B 2q
X 02 q 4 a X 0 A
XA 8 qa
4a
Y 0 Y 6 qa q 4 a 0 A
A
2a 2a
YA
M
Y 10 qa A
M A 0
2 2 qa q4 a2 a6 qa 2 a 2 q4 a2 aM A 0 2 M 14 qa A
4.2 静定钢架支座反力的计算
Y
C
RA
A
B
RB
.
RC
0
x
O
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
4.2 静定钢架支座反力的计算
第4章 静定钢架
求图示三铰钢架支座反力
C q q (b) B l /2 l /2 A l /2 YA l /2 B YB
C
f (a)
A
f
XA
XB
M 0 B
2 f qf Y l q f 0 Y A A 2 2 l
第4章 静定钢架
4.1 静定平面钢架的几何组成及特点
刚架结构优点：
（1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大； （3）内力分布均匀，受力合理。
4.1 几何组成及特点
第4章 静定钢架
常见的静定刚架类型
1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
4.1 几何组成及特点
第4章 静定钢架
2
10 qa 2
B
B
4 qa 2
14 qa
2
2 qa 2
2 qa 2
C
D
E
解：（1）计算支座反力
3a
B 2q
X 02 q 4 a X 0 A
XA 8 qa
4a
Y 0 Y 6 qa q 4 a 0 A
A
2a 2a
YA
M
Y 10 qa A
M A 0
2 2 qa q4 a2 a6 qa 2 a 2 q4 a2 aM A 0 2 M 14 qa A
4.2 静定钢架支座反力的计算
Y
C
RA
A
B
RB
.
RC
0
x
O
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
4.2 静定钢架支座反力的计算
第4章 静定钢架
求图示三铰钢架支座反力
C q q (b) B l /2 l /2 A l /2 YA l /2 B YB
C
f (a)
A
f
XA
XB
M 0 B
2 f qf Y l q f 0 Y A A 2 2 l
第4章 静定钢架
4.1 静定平面钢架的几何组成及特点
刚架结构优点：
（1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大； （3）内力分布均匀，受力合理。
4.1 几何组成及特点
第4章 静定钢架
常见的静定刚架类型
1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
4.1 几何组成及特点
第4章 静定钢架
2
10 qa 2
B
B
4 qa 2
14 qa
2
2 qa 2
2 qa 2
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• 熟练后提倡心算
∑X = 0 ∑mA = 0 ∑Y = 0
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
两刚片型结构：当刚架与基础按两刚片规则连接时，支座 只有三个约束，切断刚片间的联系，取一隔离体分析，建 立三个平衡方程求解。 FP FP
1
2
3 FN1 FN2
FN3
两刚片型结构(2)第二节 静定平面刚架的 Nhomakorabea座反力计算
FPl/2
FP l / 2
l/2
B
C
FP
A D
A
D
l
FP
FP/2
M图
FP/2
FPl B
FPl/2 C
FPl
l/2 l / 2F P
FPl
FPl/2
FPl/2
FP
A D
FP
FP/2 B FP FP/2 FP/2 C
FP FP
FP
D FS图
l
M图
FP
A
FP/2
B
FP
C
FP/2
FP
D
FP
FNBC= - FP FP/2 FNCB= - FP F
M
简单刚架的基本类型：
1、悬臂刚架 2、简支刚架
3、三铰刚架
4、组合刚架
第一节 静定平面刚架的组成及其特点
刚架的计算 静定刚架计算原则上与计算静定梁相同 • 一般是先求出支座反力 • 再求出各杆控制截面的内力 • 然后再绘制刚架的内力图。
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
两刚片型结构：当刚架与基础按两刚片规则连接时，支座 只有三个约束，切断刚片间的联系，取一隔离体分析，建 立三个平衡方程求解。 FP FP
第三节 静定平面刚架的内力计算
刚架指定截面内力计算 例题7：求CB杆截面C内力
C
6 kN/m 6 kN/m 20 kN B 4m 20 kN
18
24 2 MCB 20 kN MCB＝48 kN· m FNCB＝0 FSCB＝2 kN 18
A 3m
3m
FNCB
FSCB
第三节 静定平面刚架的内力计算
FPl/2 A B C
FP FP
FP
FP
FS图
FP
D
FP
FPl/2 B
C FPl/2 D
B
FNBC= - FP FNBA= 0
FP B C
C
FP
FP
FP FNCD= 0
A
FPl/2 M图 B C FP D
A
FP
FP
A FN图
D
FP
FS图
第三节 静定平面刚架的内力计算
例题9：绘制结构内力图
B
C
FPl
A FAy
FCx
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
例题5：计算刚架的支座反力(1)
C
C
FP
l/2
FP
A
l/2 l/2
A
l/2
B
FAx
B
FAy
C
FBy
FBx
M M
A
0
0 FP FBy 2
C
l FBy l FP 0 2 l FBy FBx l 0 2 FP FBx 4
B
三刚片型结构 当刚架与基础按三刚片规则连接时，支座将有 四个约束，须利用双截面法建立平衡方程； FP C FP C
A
B
FAx
A
FAy
FBx
B FBy
双截面法(1)
FP
C
FCy
M M
B C
0 f1(FAx , FAy ) 0 0 f 2 ( FAx , FAy ) 0
FAx , FAy
FAy= ql/4
FBy= ql/2
FAy
FBy
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
思考题:图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的?
FP F
C
l
D
FP
A
l
B
l
第三节 静定平面刚架的内力计算
刚架指定截面内力计算
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正） 注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分） 注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两 个杆端的弯矩值相等，方向相反
第二部分 静定刚架的内力计算
学习内容
1.了解静定刚架的组成特点和受力特点；
2.掌握静定刚架反力计算和截面内力计算；能够熟练绘制 刚架的内力图； 3.学会利用微分关系及结点平衡条件对校核内力图；
重点
绘制、分析基本刚架结构内力图
第一节 静定平面刚架的组成及其特点
刚架的构成
第一节 静定平面刚架的组成及其特点
例题8：绘制结构内力图
B C FPl/2 B C FPl/2
FP
D
l/2
D
l/2
FP
A
A
FPl/2 M图
l
利用C、B两刚结点传递弯矩的特性可简化计算。
第三节 静定平面刚架的内力计算
例题：试绘制结构内力图
FPl/2 B C FPl/2 D A FPl/2
M图
FPl/2
FPl/2
FPl/2
FPl/2
FP FP
FP
l/2 B A l
FP
FAy
FCx= FP FAy= 0
简支型刚架
MC= FPl/2
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
例题4：计算刚架的支座反力 ql
q ql2
ql C
q
ql2
C
l
B
D FAx= ql
B
D FAx
A
l/2 l/2
FAy= ql
MA= 2ql2
MA
A
FAy
悬臂型刚架
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
16KN/m C 5KN D F
A 4m
E 1m
2m
2m
第四次作业
习题3-5 a 、c、e
FAx A FAy
FCx
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
三刚片型结构 当刚架与基础按三刚片规则连接时，支座将有 四个约束，须利用双截面法建立平衡方程； C FP 以双截面同时 切到的约束作 为首攻目标 A B
M M
双截面法(2)
A B
FP
C
FCy
FCx C FCy FBx B FBy
0 g1 ( FCx , FCy ) 0 0 g2 ( FCx , FCy ) 0 F Ax FCx , FCy
刚架的构成
几何可变体系
桁 架
刚 架
第一节 静定平面刚架的组成及其特点
刚架的反应特点：
从变形角度看：刚结各杆不发生相对转动 从受力角度看：刚结点承受和传递弯矩，因而弯矩是它 的主要内力；内力分布更加均匀
刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的杆系结 FP FP 构，其优点是将梁柱形成一个整体性好，具有 M 较大的刚度，内力分布比较均匀、受力合理， 便于形成内部有效空间大的结构。
第三节 静定平面刚架的内力计算
刚架弯矩图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段；
②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力 值。 ④画图：画M 图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连 以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯 矩图。FS， FN 图要标＋，－号；竖标大致成 比例。
FP
A FS图
FNBA= - FP/2
B FP/2 A
FP FP/2 FN图
FNCD= FP/2
C
P
FP
D
第三节 静定平面刚架的内力计算
练习：绘制结构弯矩图
B C
FP
A
D
l
l/2
l/2
第三节 静定平面刚架的内力计算
刚架剪力图和轴力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
取结点作隔离体
轴力图
绘制内力图
C B
C
FNCB
A
A
两刚片型结构(1)
FAy
FAx
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
例题1：计算刚架的支座反力
• 负号说明假设方向 C B 与实际方向相反；
• 用对 B 点取矩校核 q 满足平衡要求；
l
FBy
q
FAx
• 避免解联立方程； A
l • 避免错误继承；
FAy FAx= -ql FBy= ql/2 FAy= - ql/2
FP
出FAx
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
基附型结构:当刚架按主从方式组成时，应循先附属部分， 后基本部分的计算顺序。
例题6：计算刚架的支座反力
D E FFx G q
l/2 l/2
FFy q FCy FFx FAx FFy
F
A
l
l
B
C
FFx= ql/2
FFy= FCy = ql/4
FAx= ql/2
FBx
FBy
第二节 静定平面刚架的支座反力计算
例题5：计算刚架的支座反力(2)
C
FCy
C
F’CxC FCx
FP
A
l/2 l/2
l/2 F P l/2
F’Cy
B
B
A
FBx
FAx FAy l l M A 0 FCy FP FCx l 0 2 2 ' l ' F F MB 0 Cy Cx l 0 2 FP FP FCx FCy 4 2