数学知识点上海市黄浦区高考数学二模试卷Word版含解析-总结

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上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )AB ．23C．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．2．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.3．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD Q 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=Q ，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin B ∴==因此，ABD ∆的面积为1sin 2ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.4．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（）A ．4π B ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π．故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型. 5．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =【答案】D 【解析】【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.6．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 7．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（）A ．2 BCD ．1【答案】B 【解析】【分析】【详解】||220,a ia a a i+==∴=>∴=Q B. 8．20201i i=-（）A ．2B ．C ．1D ．14【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数20201i i-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】()5052020450511ii===，()()20201111111122i i i i i i i +===+---+，因此，202012i i ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（） A ．25B ．1325C ．35D ．1925【答案】D 【解析】【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A 种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P =-=. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.10．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（） A ．小王或小李 B ．小王 C ．小董 D ．小李【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】本题考查推理证明的实际应用.11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12C ．2D ．2±【答案】C 【解析】【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .12．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=【答案】D 【解析】【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x ya b-=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市黄浦区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

上海市黄浦区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.2．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M满足x y +≥的概率为（）A ．935B ．635C ．537D ．737【答案】D 【解析】【分析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率. 【详解】因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥7个，则所求概率为737. 故选：D . 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.3．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA . 【详解】方法一：由题意得抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点，则1||||2OB AF =，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12，所以13||122FB =+=，所以||2||3FA FB ==．方法二：抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >，则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①222224(24)01(1)A B y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨=+⎩ ② 由①②得220,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.4．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数t 的值为（）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C 【解析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t 的值. 【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=，故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.5．已知,a b r r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由数量积的定义可得220a a =>r r ,为实数,则由22a b b a =r r r r 可得22a b b a =r r r r ,根据共线的性质,可判断a b =r r ；再根据a a b b =r r r r 判断a b =rr ,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r.所以“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.6．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （） A ．58B ．34C ．54D ．52【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 7．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B 【解析】【分析】根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵41ln33<<， ∴33ln36b =+>，43336a <<<，34643327c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭．∴c a b <<．故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（） A ．47a = B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--，所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 10．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B 【解析】【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误；对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln yx =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.11．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（） A ．(0,)+∞ B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln tt的值域，由此求得a 的取值范围. 【详解】根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()()232320t t t t t -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()232ln 0(1)a t t t tt t -++=+，即ln t a t =，因为()'2ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln tt 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln ty t=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.12．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年上海市黄埔区高考数学冲刺模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市黄埔区高考数学冲刺模拟试题（二模）一、填空题1．已知集合{5}A x x =∈<N∣，集合(){20}B x x x =->∣，则A B = __________.【正确答案】{}3,4【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】{}{5}0,1,2,3,4A x x =∈<=N∣，(){{20}=0B x x x x x =-><∣或}2x >，所以{}3,4A B = .故{}3,42．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点()1,2P ，则sin α=__________.【分析】根据题意，由三角函数的定义即可得到结果.【详解】由三角函数的定义可知sin 5α===.故答案为.53．已知(13)n x +（n 为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n =__________.【正确答案】6【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，264n =，则6n =.故64．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【正确答案】2【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故25．已知双曲线C 经过点(2,0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的标准方程为___________．【正确答案】22142x y -=【分析】由已知可设C 的标准方程为22221x y a b-=，由已知2a =，解出双曲线的渐近线方程为2by x =±，结合已知，即可得出答案.【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于x 轴上，设C 的标准方程为22221x y a b-=.因为双曲线C 经过点(2,0)，所以2a =，则双曲线的渐近线方程为2b by x x a =±=±，所以b =，所以，C 的标准方程为22142x y -=.故答案为.22142x y -=6．设等比数列{}n a 的前n 项和为1211,,24n S a a ==，则使99100≥n S 成立的n 的最小值为__________.【正确答案】7【分析】根据等比数列的基本量计算以及求和公式可得112n nS =-，解不等式即可.【详解】由1211,24a a ==的公比为12q =，所以11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，令199121002100n n-≥⇒≥，由于67264,2128==，所以99100≥n S 成立的n 的最小值为7，故77．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，平面ACE 将正方体分成体积分别为1V ，2V （12V V ≤）的两部分，则12V V =_______【正确答案】717【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面ACE 与平面1111D C B A 的交线，进而得出平面ACE 分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果.【详解】取11B C 的中点H ，连CH ，因为//AC 平面1111D C B A ，故AC 平行于平面ACE 与面1111D C B A 的交线，又,E H 分别为1111,A B B C 的中点，易知11////EH A C AC ，即平面ACE 平面1111A B C D EH =，故平面ACE 分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，1111111117()(22)233223EB H ABC EB HABCEB HABCV V S SSSBB -==++⋅⋅=++⨯⨯=，故1277371783V V ==-,故答案为.7178．函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在一个周期内的部分取值如下表：xπ12-π12π45π127π12()f x a1a a-1-则=a __________.【正确答案】12/0.5【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出,ωϕ，得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4x =代入即可求出结果.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意可得：函数()f x 的最大值为π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为7π112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则7πππ212122T =-=，可得2ππT ω==，且0ω>，解得2ω=，可得()()sin 2f x x ϕ=+，因为ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π0,3k ϕ==，可得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以ππππ1sin cos 42332a f ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.129．已知点,,A B C 在圆224x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为()1,0，则PA PB PC ++的取值范围是__________.【正确答案】[1,5]【分析】由题意可知AC 为圆直径，设(,)B x y ，利用向量运算可得PA PB PC ++=，由此即可求出答案.【详解】因为AB BC ⊥，所以AC 为圆直径，设()(),,22B x y x -≤≤，则()()1,0,1,PO PB x y =-=- ，所以2(3,)PA PB PC PO PB x y ++=+=-,故2PA PB PC PO PB ++=+ ，所以当22x -≤≤时，113625x ≤-≤，15≤≤，故15PA PB PC ≤++≤ 故答案为.[1,5]10．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()42x f x -=-，若关于x 的方程()()f f x m =有且仅有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是__________.【正确答案】(4,3][3,4)--⋃【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出()f x 函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由()t f x =有两个解，对应()f t m =的解的个数确定t 范围，进而求m 的范围.【详解】由题设(0)0f =，若0x >，则()()(42)24x x f x f x =--=--=-，所以42,0()0,024,0x x x f x x x -⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，值域为R，函数图象如下：当()(,3]f x ∈-∞-时，只有一个2(,log 7]x ∈-∞-与之对应；当()(3,0)f x ∈-时，有两个对应自变量，记为1212,()x x x x <，则212log 7202x x -<<-<<<；当()0f x =时，有三个对应自变量且{}2,0,2-；当()(0,3)f x ∈时，有两个对应自变量，记为3434,()x x x x <，则342202log 7x x -<<<<<；当()[3,)f x ∈+∞时，有一个2[log 7,)x ∈+∞与之对应；令()t f x =，则()f t m =，要使()()f f x m =有且仅有两个不相等的实数解，若()f t m =有三个解，则(){2,0,2}t f x =∈-，此时x 有7个解，不满足；若()f t m =有两个解12,t t 且12t t <，此时1()t f x =和2()t f x =各有一个解，结合图象知，不存在这样的t ，故不存在对应的m ；若()f t m =有一个解0t ，则()0t f x =有两个解，此时][()0223,log 7log 7,3t ∈--⋃，所以对应的(4,3][3,4)m ∈-- ，综上，(4,3][3,4)m ∈-- .故答案为.(4,3][3,4)--⋃11．在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P 从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是__________.【正确答案】10【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5a b c d a b c d =====--=--=-=-u r u r u r u r u u r u r u r u u r ，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,5,0,0,5a b c d ====u r u r u r u r，设对应的跳跃次数分别为a b c d ,,,，其中,,,a b c d ∈N ，可得()()1111345,43533,33OQ aa bb cc d d a b c a b d =+++=++++=uuu r u r u r u r u r则3453343533a b c a b d ++=⎧⎨++=⎩，两式相加可得()()7566a b c d +++=，因为,a b c d ++∈N ，则82a b c d +=⎧⎨+=⎩或39a b c d +=⎧⎨+=⎩，当82a b c d +=⎧⎨+=⎩时，则次数为8210+=；当39a b c d +=⎧⎨+=⎩，则次数为3912+=；综上所述：次数最小值为10.故10.12．定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论：①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值；②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值；④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______．【正确答案】①③④【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 那么在区间[]21,21k k -+，函数的最大值是()2f k ，若数列{(2)}f k 为递增数列，则函数()f x 不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，若{(2+1)}f k 为递增数列，那么在区间[]21,21k k -+的最小值是()21f k -，且{(2+1)}f k 为递增数列，所以函数()f x 在区间[)1,+∞的最小值是()1f ，故②正确；③若(2)(21)0f k f k +>，取()()122121f k k kf k k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,*N k ∈,则()()2212f k f k k ++=，存在最小值，但此时()f x 的最小值是()121f k k+=的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若(2)(21)0f k f k +<，取()()12221212k k f k f k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，则()()2212f k f k -+=恒成立，则()()221f k f k -+有最大值，但()f x 的最大值是()1222kf k =-的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故①③④二、单选题13．已知双曲线22:33C mx my -=的一个焦点坐标为()2,0-，则双曲线C 的离心率为（）A ．32B C ．2D ．4【正确答案】C【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出m 即可求出离心率作答.【详解】双曲线22:33C mx my -=化为：22113x y m m-=，依题意，2132m m+=，解得1m =，因此双曲线C 的实半轴长为1，所以双曲线C 的离心率为2.故选：C14．对于两个实数,a b ，设{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩则“1t =”是“函数(){}min ,f x x x t =-的图象关于直线12x =对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可.【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数y x =与y x t =-的图象，则函数(){}min ,f x x x t =-的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，根据图象令x x t =-+，解得2t x =，分析可得其图象关于直线2tx =对称，要使函数(){}min ,f x x x t =-的图象关于直线12x =对称，则t 的值为1t =，当1t =时，函数(){}min ,f x x x t =-的图象关于直线12x =对称，所以“1t =”是“函数(){}min ,f x x x t =-的图象关于直线12x =对称”的充分必要条件.故选：C15．已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【正确答案】C【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案.【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-，当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =，综上，满足条件的k 的值共有3个.故选：C16．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．=100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%．【正确答案】C【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断.【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第5代芯片，其中12块无坏点，4块有坏点，故第5代芯片的产品良率为12100%75%16⨯=.故选：C三、解答题17．如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，2AB AC ==，E 是线段AD 上一点.(1)设E 为AD 的中点，求证：BE CD ⊥；(2)若直线CD 和平面BCE AE AD 的值.【正确答案】(1)证明见解析(2)12AE AD =【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明BE ⊥平面ACD ；（2）首先设AEADλ=，[0,1]λ∈，再以AB 的中点O 为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解.【详解】（1）由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，，所以AC ⊥平面ABD ．因为BE ⊂平面ABD ，所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE .因为ACAD A =，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．所以BE CD ⊥.（2）设AEADλ=，[0,1]λ∈.取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ，则OD ⊥AB ，OFAC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ，所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD .如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，D ．所以(2,0,0)BA =-，AD = ，(2,2,0)BC =- ，(1,CD =- ，()BE BA AE BA AD λλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,(2)0.x y x z λ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =，则y =，2z λ=-.于是,2)n λ=-.因为直线CD 和平面BCE所以|||cos ,|10||||CD n CD n CD n ⋅<>==，整理得2826110λλ-+=，解得12λ=或114λ=.因为[0,1]λ∈，所以12λ=，即12AE AD =.18．某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7第一次82897892926581第二次83907595936176(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；(2)设(1,2,,7)i x i = 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据,(1,7,)i j x x i j i j ≤≤≠，定义随机变量X ，Y 如下：0,02,0,03,1,24,1,36,2,46,2,63,6.i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x X x x Y x x x x x x ⎧≤-⎪⎧≤-<⎪⎪≤-⎪⎪=≤-<=⎨⎨≤-⎪⎪-≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩＜＜＜，（i ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（ii ）设随机变量X ，Y 的的方差分别为()D X ，()D Y ，试比较()D X 与()D Y 的大小．（结论不要求证明）【正确答案】(1)4.7(2)（i ）分布列见解析，67；（ii ）()()D X D Y <.【分析】（1）利用古典概型直接计算即可；（2）（i ）列出变量X 的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii ）计算方差，利用方差的含义直接判断即可.【详解】（1）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7（2）（i ）随机变量X 可能的取值为0，1，2.这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.X 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种，故()27930C 7P X ===；1X =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种，故()27621C 7P X ===；2X =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种，若8i j x x -=，有(3,5)-共1种，故()27622C 7P X ===.则随机变量X 的分布列为：X012P372727所以X 的数学期望3226()0127777E X =⨯+⨯+⨯=.（ii ）由（i ）知()22236262634(0)(1)(2)77777749D X =⨯-+⨯-+⨯-=，这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.随机变量Y 可能的取值为0，1，2，3.Y 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种，故()27550C 21P Y ===；1Y =时，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种，故()27441C 21P Y ===；2Y =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种，故()27622C 7P Y ===；3Y =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种，若8i j x x -=，有(3,5)-共1种，故()27623C 7P Y ===.则随机变量Y 的分布列为：Y0123P5214212727所以Y 的数学期望542234()012321217721E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以()222253443423423411886(0(1(2)(3212121217217219261D Y =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，因为34118861499261<<，所以()()D X D Y <.19．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.【正确答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.【详解】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用()f x 与里程x 的函数关系式子；②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.（2）由（1）中所建立的函数模型：①由题意，当03x <≤时()14f x =；当315x <≤时()()14 2.53 2.5 6.5f x x x =+-=+；当15x >时()()2.515 6.5 2.515 1.5 3.7512.25f x x x =⨯++⨯-⨯=-.故()14,032.5 6.5,3153.7512.25,15x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩.②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数()()()214,062 2.50.5 6.5,6302 3.750.512.25,30x g x x x x x ⎧⨯<≤⎪=⨯⨯+<≤⎨⎪⨯⨯->⎩，即()28,062.513,6303.7524.5,30x g x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩，分别作出函数图象.由图象可得，() 3.7512.25f x x =-与() 2.513g x x =+有交点，联立有3.7512.25 2.513x x -=+，解得20.2x =.故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足20.2公里时不停靠更划算，当路程不足20.2公里时停靠更划算.20．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【正确答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知.2,1a c ==所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t =--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min4OP QP ⋅=- （3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21．数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈ ，(1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ；(3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．【正确答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ；(2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和；(3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x <+>+，令1x n=，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证.【详解】（1）依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，314a ∴=；（2）依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭ ，112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式，112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-；（3）111b a == ，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ①下面用数学归纳法证明：(i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ .从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121k k T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭ 111121k T k +⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭ .故①成立.先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+②令()()ln 11x g x x x=+-+，则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++.()()00(0)g x g x ∴>=>，即②成立.在②中令1x n =，得到111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+③当1n =时，12S <；当2n时，由①及③得：1112n nS T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 111ln2ln 1ln 121nT n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()111ln2ln3ln2(ln ln 122n n n -⎛⎫⎡⎤=++-++--- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()21ln n <+.证明完毕.本题是数列的综合性大题，关键是猜想n S ，并用数学归纳法证明n S ；根据结论构造不等式()ln 1(0)1x x x x <+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，然后用这个不等式对n S 放缩.。

2022年上海市黄浦区高考二模数学试卷含逐题详解

黄浦区2022年高考模拟考数学试卷（完成试卷时间：120分钟总分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.行列式4126的值为____________．2.若全集{1,2,3}U =，集合{2,3}A =，则U A =ð____________．3.在长方体1111ABCD A B C D -中，设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，若用向量a 、b 、c表示向量1AC uuu r ，则1AC =____________．4.某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生____________名．5.已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．6.设t ∈R ，直线2,1x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为____________．7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭．若幂函数()f x x α=在区间(,0)-∞上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α=____________．8.已知向量a 、b，若||1a = ，||2b = ，向量2a b + 在a 方向上的投影的取值范围为____________．9.已知等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ．若11a =，公比为3，则1lim nn n S a →∞+=____________．10.设,a b ∈R ，[)0,4c π∈．若对任意实数x 都有()sin 2sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为____________．11.一个袋子中装有大小与质地均相同的m 个红球和n 个白球（4m n <≤），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足30m n +≤的所有有序数对(,)m n 为____________．12.对于给定的正整数n (2n ≥)，定义在区间[0,]n 上的函数()y f x =满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的[1,]x n ∈，都成立()(1)1f x f x =-+．若与n 有关的实数n k 使得方程()n f x k x =在区间[1,]n n -上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程()n f x k x =的实数解的个数为____________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若a 、b 均为非零实数，则不等式2b aa b+≥成立的一个充要条件为（）．A.0ab > B.0ab ≥ C.0ab < D.0ab ≤14.如图，已知P 、Q 、R 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 和11C D 的中点，由点P 、Q 、R 确定的平面β截该正方体所得截面为（）．A.三角形B.四边形C.五边形D .六边形15.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（）．A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根16.将曲线221169x y +=(0x ≥)与曲线22179x y+=(0x ≤)合成的曲线记作C ．设k 为实数，斜率为k 的直线与C交于,A B 两点，P 为线段AB 的中点，有下列两个结论：①存在k ，使得点P 的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k ，使得点P 的轨迹总落在某条直线上，那么（）．A.①②均正确B.①②均错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC 及其内部绕BC 边旋转一周，形成一个圆锥．（1）求该圆锥的侧面积S ；（2）三角形ABC 绕BC 逆时针旋转2π到1A BC ，M 为线段1AA 中点，求CM 与平面1AA B 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.设a 为常数，函数21()log x f x x a+=+．（1）若0a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）若0a ≤，根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．19.某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．（1）当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）（2）当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20.已知双曲线Γ：221412x y -=，F 为左焦点，P 为直线1x =上一动点，Q 为线段PF 与Γ的交点．定义：||()||FP d P FQ =．（1）若点Q ()d P 的值；（2）设()d P λ=，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成λ的函数并求其定义域；（3）证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n =+．21.已知数列{}n a 满足以下两个条件：①11a =，当2n ≥时，1|1||1|n n a a --=+；②若存在某一项3m a -≤，则存在{1,2,,1}k m ∈- ，使得2k m a a =+（2m ≥且*m ∈N ）．（1）若20a >，求2a ，3a ，4a ；（2）若对一切正整数n ，n T n a a +=均成立的T 的最小值为6，求该数列的前9项之和；（3）在所有的数列{}n a 中，求满足2021m a =-的m 的最小值．黄浦区2022年高考模拟考数学试卷（完成试卷时间：120分钟总分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.行列式4126的值为____________．【答案】22【分析】根据行列式的计算方法求解即可【详解】行列式4126的值为461222⨯-⨯=故答案为：222.若全集{1,2,3}U =，集合{2,3}A =，则U A =ð____________．【答案】{1}【分析】根据补集定义代入运算．【详解】根据补集运算可得：{}=1ðUA 故答案为：{1}．3.在长方体1111ABCD A B C D -中，设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，若用向量a 、b 、c表示向量1AC uuu r ，则1AC =____________．【答案】a b c++【分析】根据空间向量的加法法则求解即可【详解】由题意，111AC AB BC CC AB AD AA a b c=++=++=++uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r r u u r u r r故答案为：a b c++4.某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生____________名．【答案】1050【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数；【详解】解：依题意可得样本中高三年级抽取了150405060--=名学生，所以该高中共有学生604201050150÷=名学生；故答案为：10505.已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．【答案】3【分析】设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设i z a b =+，由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，又因为22i z a b -=-+，所以22|2|(2)z a b -=-+(,)a b 与点(2,0)之间的距离，从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离22(20)(00)2d =-+-=，从而|2|z -的最大值为13d +=.故答案为：3.6.设t ∈R ，直线2,1x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为____________．【答案】34π##135 【分析】消去参数t 可得直线的直角坐标方程，再分析倾斜角即可【详解】由题意，直线方程1x y +=，即1y x =-+斜率为1-，故倾斜角为34π故答案为：34π7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭．若幂函数()f x x α=在区间(,0)-∞上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α=____________．【答案】2-【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可【详解】因为幂函数()f x x α=图像不过坐标原点，故0α<，又()f x x α=在区间(,0)-∞上单调递增，故2α=-故答案为：2-8.已知向量a 、b，若||1a = ，||2b = ，向量2a b + 在a 方向上的投影的取值范围为____________．【答案】[3,5]-【分析】设a 、b所成角为θ，计算出向量2a b + 在a 方向上的投影，即可求出14cos θ+的范围，即可求出答案.【详解】因为||1a = ，||2b = ，设a 、b所成角为θ，向量2a b + 在a方向上的投影为：()222cos 14cos a b a a a b a aθθ+⋅+⋅==+，因为[]0,θπ∈，所以[]cos 1,1θ∈-，所以[]14cos 3,5θ+∈-.故答案为:[3,5]-。

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.2．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<„，则()R A B U ð=（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<„D ．{|1}x x -… 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð【详解】 {|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D【解析】【分析】根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项.【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值；当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值，所以输入的x 的值为2- 或3，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.5．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B．32 C ．1 D ．0【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解.【详解】解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大 10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.6．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由()1243i z i +=+，得43i 2i 12i z +==-+，所以2z i =+．故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.10．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞ 【答案】C【解析】 ∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A1B1 C．12 D．12【答案】B【解析】【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -，则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==， Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．12．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B I 元素个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】y 的图象上的点，作出两由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数2x集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共I元素个数为2，元素，所以A B故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年黄浦区高三二模数学Word版(附解析)

2021年黄浦区高三二模数学Word版（附解析）上海市黄浦区2021届高三二模数学试卷2021.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合A??1,2,3?，B??1,m?，若3?m?A，则非零实数m的数值是2.不等式|1?x|?1的解集是 3. 若函数f(x)?8?ax?2x2是偶函数，则该函数的定义域是 4. 已知?ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2?b2?c2?2bcsinA，则内角A的大小是5. 已知向量a在向量b方向上的投影为?2，且|b|?3，则a?b= （结果用数值表示）6. 方程log3(3?2x?5)?log3(4x?1)?0的解x?7. 已知函数f(x)?2sinx?cos2x，则函数f(x)的单调递增区间是 1cosx8. 已知?是实系数一元二次方程x2?(2m?1)x?m2?1?0的一个虚数根，且|?|?2，则实数m的取值范围是9. 已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至 65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是（结果用数值表示）11. 已知数列?an?是共有k个项的有限数列，且满足an?1?an?1?n(n?2,an,k?1)，若a1?24，a2?51，ak?0，则k?212. 已知函数f(x)?ax?bx?c(0?2a?b)对任意x?R恒有f(x)?0成立，则代数式f(1)的最小值是f(0)?f(?1)二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 空间中，“直线m?平面?”是“直线m与平面?内无穷多条直线都垂直”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要14. 二项式(x?140)的展开式中，其中是有理项的项数共有（） 3xA. 4项B. 7项C. 5项D. 6项?x?y?315. 实数x、y满足约束条件??x?0,y?0，则目标函数w?2x?y?3最大值是（）?x?y?1?0?A. 0 B. 1 C. ?2 D. 316. 在给出的下列命题中，是假命题的是（）A. 设O、A、B、C是同一平面上四个不同的点，若OA?m?OB?(1?m)?OC(m?R)，则点A、B、C必共线B. 若向量a和b是平面?上的两个不平行的向量，则平面?上的任一向量c都可以表示为c??a??b(?、??R)，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量OA、OB、OC满足|OA|?|OB|?|OC|?r(r?0)，且OA?OB?OC?0，则?ABC 是等边三角形D. 在平面?上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a、b、c、d，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在四棱锥P-ABCD中，PA?平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC?1，CD?2，?CDA?45?.（1）画出四棱锥P-ABCD的主视图；（2）若PA?BC，求直线PB与平面PCD 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）. 已知OA?10米，OB?x米，0?x?10，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为?弧度. （1）求?关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值19. 已知动点M(x,y)到点F(2,0)的距离为d1，动点M(x,y)到直线x?3的距离为d2，且d16. ?d23（1）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l:y?k(x?2)(k?0)交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积S?OPQ?3(O是坐标系原点)，求直线l的方程.20. 已知函数f(x)????2x, ?1?x?0,?x?1, 0?x?1.2（1）求函数f(x)的反函数f?1(x)；（2）试问：函数f(x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程f(x)?21?x2?|f(x)?21?x2|?2ax?4?0的三个实数根x1、x2、x3满足x1?x2?x3，且x3?x2?2(x2?x1)，求实数a的值.21. 定义：若数列?cn?和?dn?满足cn?0，dn?0，且cn?1?cn?dn22cn?dn，n?N*，则称数列?dn?是数列?cn?的“伴随数列”.已知数列?bn?是?an?的伴随数列，解答下列问题：（1）若bn?an(n?N*)，b1?2，求数列?an?的通项公式an；（2）若bn?1?1?（3）若bn?1?2bbnb(n?N*)，1为常数，求证：数列{(n)2}是等差数列； anana1bn(n?N*)，数列?an?是等比数列，求a1、b1的数值. an感谢您的阅读，祝您生活愉快。

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 2．执行程序框图，则输出的数值为（）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.3．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.4．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.5．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【答案】C 【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36；方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26；所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 6．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A 【解析】【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确. 故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.8．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D 【解析】【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð，由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==，因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 10．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 12．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【解析】【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+，又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市黄浦区2022届高考二模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B ．2C ．3D．2. 已知命题：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．4. 下列事件中，随机事件的个数为（）①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到；④一个三角形的大边对大角，小边对小角.A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知函数则等于（）A．B．C．D．6. 已知集合M ＝{2，m }，N ＝{1,2,3}，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知函数（且，）为偶函数，则（）A ．为定值B ．为定值C ．函数与的定义域不相同，值域不相同D ．若，且对，，则的最大值为8. 函数，，的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（）A ．直线是函数图像的一条对称轴B．函数的图像关于点，对称C．函数的单调递增区间为，上海市黄浦区2022届高考二模数学试题(高频考点版)上海市黄浦区2022届高考二模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D．将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象9. 化简下列各式：（1）______；（2）______．10. 如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.11. 已知，若，则实数的值为______．12.已知拋物线恰好经过圆的圆心，则拋物线的焦点坐标为__________．13.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，求圆的方程．14. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X 的分布列和数学期望．参考公式及数据：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82815. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）.阶段0.准备1.人的反应 2.系统反应3.制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；（2）当k =2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？16. 已知函数f （x ）＝﹣αx 2+（α﹣2）x +ln x .（1）当α＝1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若在当x ∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.。

2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷1. 设集合，，则______ .2. 函数的最小正周期为______ .3. 若函数的图像经过点与，则m的值为______ .4. 设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，为虚数单位，则______.5. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______ .6. 已知m是与4的等差中项，且，则的值为______ .7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则实数a的值为______ .8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面所得到的几何体，则该学具的表面积为______9. 若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则______ .10. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的倍的概率为，变为原来的倍的概率也为，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为______ .11. 如图.在直角梯形ABCD中，，，，点P是腰AB上的动点，则的最小值为______ .12. 已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为______ .13.若直线与直线垂直，则实数a的值为( )A. B. C. D.14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球15. 如图，与都是等腰直角三角形.其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点.设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是( )A. 存在某一值，使得B. 存在某一值，使得C. 存在某一值，使得D. 存在某一值，使得16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件.下列判断正确的是( )A. ①和②都为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①和②都为假命题17. 在中，求的值；若，求的周长和面积.18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点求证：；若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小.19. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：分别加以统计，得到下列频率分布直方图.该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵.请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比.附：k20. 已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，过点的动直线l与双曲线C交于点A、设求双曲线C的渐近线方程：若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值若点A在双曲线C的左支上点A不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形.且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍.21. 三个互不相同的函数，与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”.设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：函数的最小正周期故答案为：直接利用三角函数的周期公式求解．本题主要考查了三角函数的周期公式，属于基础题．3.【答案】81【解析】解：函数的图像经过点与，，解得，即m的值为故答案为：把点代入函数解析式求出a的值，再把代入即可求出m的值．本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．4.【答案】【解析】解：复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故答案为：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．5.【答案】【解析】解：因为抛物线的焦点，准线，故所求圆的圆心，半径为2，故圆的方程为故答案为：先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程．本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题．6.【答案】40【解析】解：由题意可得，解得，所以二项式为，则展开式中含的系数为，即故答案为：先利用等差中项的定义建立方程求出m的值，代入二项式，再根据二项式定理求出展开式中含的系数，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到等差中项的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以故答案为：由奇函数的性质，可知，代入已知条件中，根据指数和对数的运算法则，即可得解．本题考查函数奇偶性的应用，指数和对数的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为故答案为：先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积．本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由于函数的图像，由函数的图像向右平移个单位所得到，所以由于函数在区间上是严格减函数，，所以，，即，，故，，由于，故故答案为：首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来的价格增加的概率为故答案为：由已知结合n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式即可求解．本题主要考查了n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式的应用，属于基础题．11.【答案】4【解析】解：在直角梯形ABCD中，，，，，则，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，设，设，则，，，故，，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故答案为：建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．本题考查向量的坐标运算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题意得，，因为，所以，解得，令，则，当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以的极大值，的极小值，又，，故abc的取值范围为故答案为：由已知，，结合基本不等式建立关于a的不等式，求出a的范围，然后把所求式子表示为关于a的函数，结合导数与单调性及最值关系可求．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：直线与直线垂直，则，解得故选：直接利用直线垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了互斥事件应急对立事件的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．由题意可得总事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，故选项A互斥不对立，A正确，选项B：至多有一个白球表示的是红，白，红，红，与都是红球不互斥，故B错误，选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，选项D：至多有一个红球表示的是红，白，白，白，所以两个事件不互斥，故D错误，故选：15.【答案】D【解析】解：已知，对于A，若，又，且，平面ACD，可得，与矛盾，故A错误；对于B，是BD的中点，，若，又，平面AEF，即，由选项A可知，错误，故B错误；对于C，取BC中点G，连接EG，FG，则，可得，若，则，而，则平面BFD，即平面BFD，此时需要，在中，，F为AC的中点，由等面积法可知，，而，则，即不成立，故C错误；对于D，当平面平面BCD时，有，故D正确．故选：由直线与平面垂直的判定与性质结合反证法思想判断ABC错误；取时，可得D正确．本题考查二面角的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】C【解析】解：令等差数列的公差为d，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数n，则有，即，不符合题意，综上，①为假命题；等比数列中，首项，为“K数列”，，，，，，，，依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，，是为“K数列”的充要条件，故②是真命题．故选：利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②．本题考查等差数列的性质、等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：在中，，又A，，则，则；，又，则由正弦定理得，则的周长为，的面积为【解析】利用两角和的正弦公式即可求得的值；先利用正弦定理求得的a，b的长，进而求得的周长和面积．本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．18.【答案】解：证明：在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面，又因为面，面面，所以，所以；点E到平面的距离即是E到面的距离，设为h，因为，在正方体中，B到面的距离为正方体的棱长3，又因为若，所以，因为面，所以，所以，所以，即，解得，所以E到面的距离为；，，设与平面所成角的大小为，，则，所以，即与平面所成角的大小为【解析】在正方体中可知，进而可证得面，再由线面平行的性质定理可得，进而可证得；由等体积法，可得E到面的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而求出线面角的大小．本题考查线面平行的性质的应用及等体积法求点到面的距离，属于中档题．19.【答案】解：由频率分布直方图可知，在抽取的80名工人中，35周岁以上组中的生产标兵有人，35周岁以下组中的生产标兵有人，则列联表如下：生产标兵非生产标兵合计35周岁以上组20608035周岁以下组305080合计50110160则，没有的把握认为生产标兵与工人所在的年龄组有关；设35周岁以下的工人为事件A，生产标兵为事件B，由频率分布直方图可知，，，，则，估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比为，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比为【解析】由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出列联表，求出即可．利用全概率公式求出，再利用条件概率公式求解即可．本题考查独立性检验的应用，全概率公式，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：因为双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，可得设双曲线的方程为，由，可得，即有渐近线的方程为；由可得，，所以双曲线的方程为，设，，因为点A，B都在双曲线C的右支上，所以，所以，当且仅当时取得等号，即，当时，，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，可令，解得，可得，又，所以，证明：设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，可得，设，，可得，，由，可得，故，又，同号，所以，即，所以，解得，此时直线l的斜率的绝对值为，可知直线l与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长的2倍，此时，所以是等腰三角形．【解析】由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程；设双曲线的方程为，，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得证明．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”；又因为，当与1时，其值分别为1与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”；设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数x恒成立，又因为，当时，它的值为4，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得，所以对一切实数x恒成立，即且对一切实数x恒成立，可得且，即，又时，与为相同函数，不合题意，故所求的函数为；关于函数，令，可得，，当与时，；当与时，，可知是函数极小值点，0是极大值点，该函数与的图象如图所示：由为与在区间上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标，此时切线方程为，即，，设直线与的图象交于点，，则由，可得，所以，令，，则，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，所以的最大值为【解析】根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；根据“分割函数”的性质，则对一切实数x恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数x恒成立，结合图形即可求解；利用导数求出函数极值，则，，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数，的性质即可求解．本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想、导数的综合运用，理解定义及作出图象是关键，属于难题．。

上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析

上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3eg g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.2．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．4．已知向量(a =r ，b r是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】【分析】设(,)b x y =r，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案；【详解】设(,)b x y =r ，∴(1)a b x y -=-r r， Q b r是单位向量，∴221x y +=,Q a b -=r r，∴22(1))3x y -+=，联立方程解得：1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩当1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 综上所述：,3a b π<>=r r .故选：C. 【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r的两种情况.5．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<，所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.6．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =；当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=，所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6，故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 7．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】【分析】【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2|=22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.8．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数. 10．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23，故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.11．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x '=，故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．故选：C ．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。