高三数学高考一轮精品资料立体几何第三课时《直线和平面平行》全国通用

合集下载

数学一轮复习第七章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系［考纲解读]1。

理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点) [考向预测］从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题．预测2021年高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1．空间两条直线的位置关系（1）位置关系分类错误!错误!（2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围:错误!(0°，90°]．(3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角错误!相等或互补．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交错误!a∩α＝A□021个平行错误!a∥α错误!0个在平面内错误!a⊂α错误!无数个续表图形语言符号语言公共点平面与平面平行错误!α∥β错误!0个相交错误!α∩β＝l错误!无数个3．必记结论（1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．1．概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．（)（2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b 不可能是平行直线．(）（4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()答案(1)×(2）×（3）√（4)×2．小题热身（1）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案C解析不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m 使得m⊥l。

2025年高考数学一轮复习-第八章-第三节-空间直线、平面的平行【课件】

由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,同理可得AD1∥DC1,
1 1 1

所以
= =1,即D1为线段A1C1的中点,所以D为线段AC的中点,即 =1.
1 1

考点三空间平行关系的综合问题
第八章立体几何初步、空间向量与立体几何
第三节
空间直线、平面的平行
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、
直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关平行的性质定理和判定
定理,并加以证明.
2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
2
1
在Rt△HB1G中,tan∠B1GH= =B1H,
1
3
所以B1H= ,即H为B1C1
2
的中点.
解题技法
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).
(3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平
如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面
PDC∩平面PBE=l.证明:
(2)DF∥l.
【证明】(2)由(1)知DF∥平面PBE,
又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,
所以DF∥l.
考点二平面与平面平行的判定与性质
考情提示
平面与平面平行作为空间平行关系的载体

2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第3讲空间直线平面平行的判定与性质课件

是平行四边形，∴BF∥CO，又 BF⊄平面 PCD，CO⊂平面 PCD，∴BF ∥平面 PCD.
名师点拨：判断或证明线面平行的常用方法 1．利用线面平行的定义(无公共点)． 2．利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． 3．利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． 4．利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 5．向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．
证法二：取AD的中点H，
连接D1H，HE，HF，AC， ∴E为BC的中点， ∴EH綉CD綉C1D1， ∴四边形C1D1HE为平行四边形， ∴D1H∥C1E，又D1H⊄平面A1EC1，C1E⊂平面A1EC1， ∴D1H∥平面A1EC1，又F为CD的中点，∴HF∥AC∥A1C1
又HF⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1， ∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H， ∴平面HFD1∥平面A1EC1， ∴D1F∥平面A1EC1.
证法二：过E点作MN∥AB且交BC延长线于M，交AD于N，取PB的中点H，连接HM，
∵AD∥BC， ∴MMNE＝CCDE＝12， ∴ME 綉12AB，又 F、H 分别为 PA、PB 的中点，
∴HF 綉12AB，从而 ME 綉 HF， ∴FHME为平行四边形，∴EF∥MH，又MH⊂平面PBC，EF⊄平面PBC， ∴EF∥平面PBC.
思路三：空间向量方法证法五：∵PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，故AB，AD，AP两两垂直，以 A 为原点，A→B，A→D，A→P分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A－xyz，如右图：

(北京专用)高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质课件理

第二十九页，共33页。
方法(fāngfǎ)技巧 1.线线平行(píngxíng)、线面平行(píngxíng)和面面平行(píngxíng)是空间中三种基本平行(píngxíng)关系,它们之间可以相互转化,其转化关系如下:
2.在解决线面、面面平行的判定(pàndìng)时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.
第十五页，共33页。
∴BB1=DD1, 故四边形BDD1B1为平行四边形, ∴BD∥B1D1, 又BD⊄平面(píngmiàn)AB1D1,B1D1⊂平面(píngmiàn)AB1D1, ∴BD∥平面(píngmiàn)AB1D1.
第十六页，共33页。
方法(fāngfǎ)技巧证明线面平行的常用方法(fāngfǎ): (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用“面面平行⇒线面平行”(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用平行的传递性(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β;a∥b,b∥α,a⊄α⇒a∥α).
第七页，共33页。
答案 B 由两平面平行的判定定理可知(kě zhī),当其中一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时,两平面才平行,所以“m∥β”不能推出“α ∥β”;若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,所以“α∥β”可以推出“m∥β”.因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.
第十三页，共33页。
证明(zhèngmíng) (1)∵D1,D分别为A1C1,AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,∴ C1D1∥DA, ∴四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥C1D, 又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1, ∴AD1∥平面BDC1.

2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第3节直线平面平行的判定及其性质教师用书教案理新人教版

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第3节直线平面平行的判定及其性质教师用书教案理新人教版班级：科目：直线、平面平行的判定及其性质[考试要求]1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)错误!⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行")错误!⇒a∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行"）错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行错误!⇒a∥b平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β,则α∥β. (2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α,则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

一、易错易误辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）(1）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(）（2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（）（3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． ()（4）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α。

（）[答案]（1）×(2)×（3)√（4）×二、教材习题衍生1．下列命题中正确的是（）A．若a,b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[A错误，a可能在经过b的平面内;B错误，a与α内的直线平行或异面;C错误，两个平面可能相交．]2．平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α,a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β,b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β,a∥β，b∥αD［若α∩β＝l，a∥l，a⊄α,a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α,a∥l，b⊂β,b∥l,则a∥β，b∥α，故排除C；故选D．］3．在正方体ABCD。

全国版高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲直线平面平行的判定及性质课件理

的中点M,连接ME,MF.
图8-3-3
1
因为F为PB的中点,所以FM∥AB,且FM=
2
AB,又E为DC的中点,所以EC∥AB
1
且EC= AB,所以FM∥CE且FM=CE,所以四边形EMFC为平行四边形,所以
2
CF∥EM.
又CF⊄平面PAE,EM⊂平面PAE,所以CF∥平面PAE.(线面平行的判定定理,注
②直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一平面平行,
即α∥β,a∥α,a⊄β⇒a∥β.
2.线面平行性质的应用
证明线线平行,常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平
面的交线平行.
注意应用线面平行的判定定理和性质定理时,一定要注意定理成立的条件,
的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能
异面.
考点2
定理
判定
定理
性质
定理
平面与平面平行的判定与性质
文字语言
一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行,则这两个平面平行.简
称:线面平行,则面面平行.
如果两个平行平面同时和第三个平
面相交,那么它们的交线平行.简称:
面面平行,则线线平行.
(2)利用线面平行的判定定理:关键是在平面内找与已知直线平行的直线,
可先直观判断题中是否存在这样的直线,若不存在,则需作出直线,常考虑
利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找
两平面的交线进行证明.
(3)利用面面平行的性质定理:①直线在一平面内,由两平面平行,推得线面
平行,即α∥β,a⊂α⇒a∥β.
第八章
立体几何
第三讲直线、平面平行的判定及性质

高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件第3课时直线平面

例题精析
例4、如图已知平面
且位于与 F ，AC ＝ B， DF ＝E AB DE （1）求证：＝

∥平面 ∥平面， A、D 之间，点， C、

BC EF 与间距离为h1，（2）设AF交于M，
h，问当与间距离为 ΔBEM的面积最大？
例题精析
例1：求证：如果一条直线和两相交平
面都平行，那么这条直线和它们的交线平行分析：已知条件有线面平行关系，可利用线面平行的性质定理转化为线线平行
例题精析
例2：已知有公共边AB的两个全等
的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线，AE、BD 上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE 分析：关键是在平面CBE 内找到一条直线，使PQ 平行于这条直线，也可由面面平行得线面平行
h1 的值是多少时， h
例题精析
例5、（2004年南京市高考模拟试题）正方体
ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN （1）求证：MN∥平面AA1B1B （2）设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，问 CM为何值时，MN有最小值，并求出最小值分析：注意证法的多样性及利用函数思想求最值的应用。
知识整合
1、直线与平面的位置关系
位置关系直线在平面内
公共点个数
直线上有个点在平面内则所有点在平面内直直线和平面相直线与平面有且仅有个交公共点线在直线与平面公共点直线和平面平平行面外
知识整合
2、直线与平面平行的判定与性质
序号
文字语言
图形语言符号语言

高考数学一轮复习必备直线和平面平行及平面与平.doc

第73课时：第九章直线、平面、简单几何体——直线和平面平行及平面与平面平行课题：{直线和平面平行及平面与平面平行一．复习目标：1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二．课前预习：1．已知直线a 、b 和平面α，那么b a //的一个必要不充分的条件是（ D ）()A α//a ，α//b ()B α⊥a ，α⊥b ()C α⊂b 且α//a ()D a 、b 与α成等角2．α、β表示平面，a 、b 表示直线，则α//a 的一个充分条件是（ D ）()A βα⊥，且β⊥a ()B b =βα ，且b a // )(C b a //，且α//b ()D βα//，且β⊂a3.已知平面//α平面β，P 是βα,外一点，过点P 的直线m 与βα,分别交于点C A ,，过点P 的直线n 与βα,分别交于点D B ,，且6=PA ，9=AC ，8=PD ，则BD 的长为（ B ）()A 16 ()B 24或524()C 14 ()D 20 4．空间四边形ABCD 的两条对角线4=AC ，6=BD ，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是．答案：（8，12）三．例题分析：例1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．A1∴AG ∥DF ． ∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．说明要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．例2．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．证明：(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ． ∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ． ∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC ⊄α．否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α；由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α，与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾．又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，又AC ⊄α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ．同理可证BD ∥平面MNP ．小结：例3．已知正四棱锥ABCD S -的底面边长为a ，侧棱长为a 2，点Q P ,分别在BD 和SC 上，并且2:1:=PD BP ，//PQ 平面SAD ，求线段PQ 的长．解：延长CP 交DA 延长线于点R ，连SR ，可证得PQ ∥SR ，由PBC ∆与PDR ∆相似及已知求得2DR a =。

2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)新人教A版

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点，设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点，又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．考向二空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ，如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版

② a b P
⇒α∥β

a

b
判定定如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l

l
⇒α∥β

⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;

2021高中数学一轮复习课件第七章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质

答案：④
返回
2．(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是 ________．(填序号) ①存在一条直线a，a∥α，a∥β； ②存在一条直线a，a⊂α，a∥β； ③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故①错误；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故②错误；若α∩β＝ l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故③错误．
返回
2．如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝
BC＝
1 2
AD，E，F，H分别是线段AD，PC，
CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF
上一点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD．
返回
证明：(1)连接EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD，E是AD的中点，
∴BC綊AE， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP． ∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， ∴AP∥平面BEF．
返回
[解题技法] 证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
返回
考向(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE
是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°， CE∥平面ADF．
返回
[解题技法] 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．

2022版高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲直线平面平行的判定与性质课件

(2)如图，对于①，连接 MN，AC，则 MN∥AC，连接 AM，CN，易得 AM，CN 交于点 P，即 MN⊂平面 APC，所以 MN∥平面 APC 是错误的．对于②，由①知 M，N 在平面 APC 内，由题易知 AN∥C1Q，且 AN⊂平面 APC， C1Q⊄平面 APC，所以 C1Q∥平面 APC 是正确的．对于③，由①知，A， P，M 三点共线是正确的．对于④，由①知 MN⊂平面 APC，又 MN⊂平面 MNQ，所以平面 MNQ∥平面 APC 是错误的．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理
文字语言
图形语言
平面外一条直线与_此__平__面__内_的一
判定条直线平行，则该直线与此平面
定理平行(简记为“线线平行⇒线面
平行”)
符号语言
__l∥__a__， __a_⊂_α__， __l_⊄_α__ ⇒l∥α
定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过
【解题技巧】 1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． 2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断； (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以GQ∥平面ABCD．
因为 PG∩GQ ＝ G ， PG ⊂ 平面 PQG ， GQ ⊂ 平面 PQG ，所以平面
PQG∥平面ABCD．又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD．
方法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH. 因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ. 又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH. 在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH. 又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质实用课件

[方法技巧] 判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
线面平行性质定理的应用 [例 2] 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17 .点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB， CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥ 平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积． [解] (1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF.
所以 GK 是梯形 GEFH 的高．由 AB＝8，EB＝2，得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而 KB＝14DB＝12OB，即 K 为 OB 的中点．再由 PO∥GK 得 GK＝12PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH＝12BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2，PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6，所以 GK＝3. 故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
平___面__外_一条直线与_此__平__面__内_
判定的一条直线平行，则该直线
l∥a，a⊂α，
定理与此平面平行(线线平行⇒
l⊄α⇒l∥α
线面平行) 一条直线与一个平面平___行_，
性质则过这条直线的任一平面与定理此平面的交线与该直线平