专题02 二次函数与一元二次方程-九年级数学讲义提高班(解析版)
专题02一元二次方程及其解法(二)(解析版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值． 【解析】解：（1）根据题意得△2240k =+>， 解得1k >-，k ∴的取值范围为1k >-； （2）由根与系数关系得2a b +=-，a b k =-，111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+． 例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程2201710x x ++=的两个根，2201710αα∴++=，2201710ββ++=，2017αβ+=-，1αβ=，22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=．例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根， 则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值；（2）2211m n +． 【解析】解：21520n n+-=， 22510n n ∴--=，根据22510m m --=和22510n n --=的特征， m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根，52m n ∴+=，12mn =-， （1）12mn =-；（2）原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-． 变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 【答案】3【解析】2210b b +-=，0b ∴≠，方程两边同时除以2b ，再乘1-变形为211()210b b -⋅-=，1ab ≠，a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根，12a b∴+=， ∴111213ab b a bb++=++=+=．2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根，∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>，78m ∴<-．（2）1x ，2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根，121x x ∴+=，2112(1)0x x m -++=．22121112()3x x x x x x +=-++=，即2(1)13m -++=，2m ∴=-．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8【答案】A【解析】解：当2x -时，2210x x +-=，解得：13x =，24x =-（不合题意，舍去）；当2x <-时，2(2)210x -+-=，解得：8x =（不合题意，舍去）；3x ∴=．例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，∴11x p =-，2x q =-，∴2122x q x p=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x 2x =若122x x =220=，∴0=，∴0b +，∴b -，229(4)b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，∴0=，∴0b -+，∴b =229(4)b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确， ∴正确的有：②③④共3个．例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．y =，则223x x y +=．原方程可转化为：220y y --=．(2)(1)0y y ∴-+=．12y ∴=，21y =-．当2y =2，234x x ∴+=．即2340x x +-=．解这个方程得14x =-，21x =．20y x x =，1y ∴=-舍去．所以原方程的解为：14x =-，21x =．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）． 【解析】解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．【解析】解：方程2210x x --=的解为：1x ==±0x >．所以1x =+2210x x --=，221x x ∴-=，221x x ∴-=．4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-．当1x =1(1=-+=变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．y =，221y x =-，原方程可变形为：2430y y -+=．(1)(3)0y y ∴--=．11y ∴=，23y =．当1y =1=， 两边平方，得22x =，1x ∴=2x =当3y =3， 两边平方，得210x =，3x ∴=4x =所以1x =2x =，3x =，4x =2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=． 【解析】解：（1）由题意知：0x ≠． （2）4310x x x --+=．421(1)x x x ∴+=+．两边同时除以2x 得：2211x x x x+=+． ∴211()2x x x x +-=+．∴211()()20x x x x +-+-=．11(2)(1)0x x x x ∴+-++=．显然110x x ++≠．120x x∴+-=．解得121x x ==． （3）方程两边同时除以2x 得：2212362230x x x x +-++=．∴266()2()350x x x x+++-=．66(7)(5)0x x x x ∴+++-=．670x x ∴++=或650x x+-=． 当670x x++=时，2760x x ++=．(1)(6)0x x ∴++=．1x ∴=-或6x =-． 当650x x+-=时，2560x x -+=．(2)(3)0x x ∴--=．2x ∴=或3x =． 综上：方程的解为：1x =-或6-或2或3． 【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠，32a∴且1a ≠，∴整数a 的最大值为0． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -= B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【答案】D【解析】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 没有两个不同的实数根．3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，12m ∴-=-，22n=-，2m ∴=，4n =-，2(4)16m n ∴=-=． 4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1 B ．1-或5 C ．1 D ．5【答案】C【解析】设221y x x =-+，则2450y y +-=．整理，得(5)(1)0y y +-=．解得5y =-（舍去）或1y =．即221x x -+的值为1．5．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．6【答案】D【解析】1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，1x ∴，2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根，则122x x +=，121x x =-，2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=．6．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=，解得1k =-．7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．【答案】1或12-【解析】设a b x +=，则(21)1x x -=，2210x x --=，(1)(21)0x x -+=，解得11x =，12x =-，则1a b +=或12-．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=，得：10x =，22x =． ①若0x =是两个方程相同的实数根．将0x =代入方程2310x x m ++-=，得：10m -=，1m ∴=，此时原方程为230xx +=，解得：10x =，23x =-，符合题意，1m ∴=； ②若2x =是两个方程相同的实数根．将2x =代入方程2310x x m ++-=，得：4610m ++-=，9m ∴=-，此时原方程为23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，符合题意，9m ∴=-．综上所述：m 的值为1或9-．9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=，1m =，2，3，⋯，2020，∴由根与系数的关系得：112αβ+=-，1112αβ=-⨯；222αβ+=-，2223αβ=-⨯；202020202αβ+=-，2020202120202021αβ=-⨯；∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=． 10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．【解析】解：（1）△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-，无论k 取何值，2(23)0k -，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得21(23)2k k x +±-=，121x k ∴=-，22x =．另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根， 设21b k =-，2c =，当a ，b 为腰时，则4a b ==，即214k -=，计算得出52k =， 此时三角形周长为44210++=；当b ，c 为腰时，2b c ==，此时b c a +=，构不成三角形， 故此种情况不存在．综上所述，ABC ∆周长为10． （3）方程的两个实数根之差等于3，∴2123k --=，解得：0k =或3．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．【解析】解：（1）根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->，解得14k >-且0k ≠； （2）k 取满足（1）中条件的最小整数，1k ∴=．此时方程变为210x x --=，1αβ∴+=，1αβ=-，210αα--=，210ββ--=，21αα∴=+，21ββ=+，32121αααααα∴=+=++=+，322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．【解析】解：（1）证明：在方程2260x x k --=中，△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+，∴方程有两个不相等的实数根．（2）1x ，2x 为方程2260x x k --=的两个实数根，126x x ∴+=，12214x x +=，28x ∴=，12x =-．将8x =代入2260x x k --=中，得：264480k --=，解得：4k =±． 答：方程的两个实数根为2-和8，k 的值为4±． 13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．【解析】解：当1m 时，原方程化为20m m -=，解得：11m =，20m =（舍去）．当1m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：11m =，22m =-．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．【解析】解：（1）①解方程得：(3)(2)0x x -+=，3x =或2x =-， 231≠-+，260x x ∴--=不是“邻根方程”；②x =，1=+，2210x ∴-+=是“邻根方程”；（2）解方程得：()(1)0x m x -+=， x m ∴=或1x =-，方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，11m ∴=-+或11m =--， 0m ∴=或2-；（3）解方程得，x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，∴1=，224b a a ∴=+， 28t a b =-，22t a a a∴=-=--+，4(2)4a>，∴有最大值，最大值为4，tt为正整数，∴=或2或3或4，t1∴当a取7个值，b对应有14个值，∴存在14组a、b的值使得t为正整数．。
九年级数学《二次函数与一元二次方程》复习讲义
九年级数学《二次函数与一元二次方程》复习讲义A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法确定知识点4：二次函数与一元二次方程关系的综合运用【例4】已知二次函数y=2x2-5x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求△ABC的面积.【举一反三】1. 求抛物线y=x2+x-2与x轴、y轴的交点坐标.2. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图22-10-2，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为__________3. 抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是__________.4. 如图22-10-3，已知二次函数y=（x+3）2-4的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,求△ABC的面积.【课堂练习】1. 抛物线y=2x2+3x+4与x轴的交点个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法确定2. 已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2014的值为（）A. 2012B. 2013C. 2014D. 20153. 已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（）A.（1，0）B.（-1，0）C.（2，0）D.（-3，0）4. 如图22-10-5，一元二次方程ax2+bx+c=0的解为________________.5. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________________.6. 如图22-10-7所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则方程ax2+bx+c=0的两根之和为__________.7. 已知抛物线y=x2-2x-8.（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为点A，B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积.二次函数与一元二次方程（二）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（x1,0），（x2,0）,那么抛物线在x轴上方部分对应的x 的取值范围就是不等式ax2+bx+c＞0的解集，抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c＜0的解集.知识点1：利用抛物线与x轴的交点解决不等式问题【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-11-2，根据图象填空：（1）当______________时，y＞0；（2）当______________时，y＜0.知识点2：利用抛物线与直线的交点解决不等式问题【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-11-3，对称轴为直线x=1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是__________【举一反三】1. 如图22-11-4，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，-3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是_______________.2. 二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图22-11-5，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是【课堂作业】1. 如图22-11-7是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A. -1＜x＜5B. x＞5C. x＜-1D. x＜-1或x＞52. 如图22-11-8，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y ＜0时，x的取值范围是（ ）A. x＞4或x＜-2B. -2＜x＜4C. -2＜x＜3D. 0＜x＜33. 如图22-11-11所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当-1＜x＜3时，y＞0.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 如图22-11-9,已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），根据图象，能使y1＞y2成立的x的取值范围是_____________.5. 已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图22-11-10，它们有两个交点A（2，2），B（4，3）,那么能够使得y1＞y2的自变量x的取值范围是________________.6. 如图22-11-12，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1的交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c-1＞0的解集为__________________.7. 如图22-11-13，A（-1，0）,B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式；（2）请直接写出当y2＞y1时，自变量x的取值范围为_______________.。
人教版九年级《22.2 二次函数与一元二次方程精讲精练.2 二次函数与一元二次方程》精讲精练(含答案)
一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。
专题02 二次函数章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题02 二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1 二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是( )A ．2y ax bx c =++B ．21y x x =-C ．2325y x x ++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．【答案】解：A 、a ＝0时，不是二次函数，故A 错误；B 、不是二次函数，故B 错误；C 、是二次函数，故C 正确；D 、不含二次项，不是二次函数，故D 错误；故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数．【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【思路点拨】根据形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数为二次函数即可得到结论．【答案】解：根据定义②y ＝3（x ﹣1）2+2；③y ＝（x +3）2﹣2x 2是二次函数故选：B ．【方法总结】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线， 则m 的取值是( )A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【思路点拨】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【答案】解：∵函数y ＝（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1，其图象是抛物线，∴|m |＝2且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2．故选：B ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．2±D ．不能确定 【思路点拨】根据二次函数的定义求解即可．【答案】解：由题意，得m 2﹣2＝2，且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2，故选：A ．【考点2 二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题由一次函数y ＝ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2+b 的图象相比较看是否一致．【答案】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：A ．【方法总结】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a 、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【答案】解：A 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴x ＝﹣＞0，在y 轴的右侧，符合题意，图形正确．B 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y 轴的左侧，故不合题意，图形错误，D 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．故选：A ．【方法总结】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a 、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题形数结合，一次函数y ＝ax +b ，可判断a 、c 的符号；根据二次函数y ＝a （x +c ）2的图象位置，可得a ，c ．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【答案】解：A 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＜0，c ＜0，故A 错误；B 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故B 正确；C 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＜0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故C 错误；D 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＜0，故D 错误．故选：B ．【方法总结】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数可知：方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，根据二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系即可得．【答案】解：由图象知直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数， ∴方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，∴函数y ＝ax 2+（b ﹣1）x +c 的图象与x 轴的负半轴有两个交点，故选：B ．【方法总结】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，由题目已知图象得出方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根是解题的关键．【考点3 二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【思路点拨】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x ＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【答案】解：∵二次函数线y ＝﹣（x +1）2+k ，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x ＝﹣1．∵A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣（x +1）2+k 上的三点，而三点横坐标离对称轴x ＝3的距离按由近到远为：（﹣2，y 1）、（1，y 2）、（2，y 3），∴y 1＞y 2＞y 3故选：A ．【方法总结】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( )A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【思路点拨】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，于是由0＜x 1＜x 2＜x 3即可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．【答案】解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣，而抛物线开口向下，所以当x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，所以当0＜x 1＜x 2＜x 3时，y 1＞y 2＞y 3．故选：A ． 【方法总结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【思路点拨】根据A （﹣3，0）、B （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C 、D 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【答案】解：∵抛物线过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＜y 2．故选：C ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ⋯0 1 2 3 ⋯ y⋯ 5 2 1 2 ⋯ 点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【思路点拨】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A 的对称点，利用增减性即可得出答案．【答案】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1）， 代入得：且，解得：a ＝1，b ＝﹣4，c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的对称轴是直线x ＝2，∵0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，0＜x 1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2，故选：B ．【方法总结】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．【考点4 二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【思路点拨】由抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：D ．【方法总结】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【思路点拨】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A ，B ，M 点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【答案】解：当y ＝0，则0＝x 2﹣4x +3，（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴M 点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x +1）2＝x 2+2x +1．故选：A ．【方法总结】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( )A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【思路点拨】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【答案】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y ＝2（x +2）2﹣2．故选：D ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是( )A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【思路点拨】把二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y ＝x 2+bx +c 的图象．【答案】解：∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，∴二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象的顶点坐标为（1，0），把点（1，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（4，﹣2）， ∴原抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2，即y ＝x 2﹣8x +14，即b ＝﹣8，c ＝14．故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【考点5 二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【思路点拨】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a﹣c＞0，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，∴4a+c＞﹣2b，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a+c＜0，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确，故选：C．【方法总结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【答案】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵把x ＝1代入抛物线得：y ＝a +b +c ＜0，∴2a +2b +2c ＜0， ∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴y ＝a ﹣b +c 的值最大，即把x ＝m 代入得：y ＝am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，∴am 2+bm +b ≤a ，即m （am +b ）+b ≤a ，∴③正确；∵a +b +c ＜0，a ﹣b +c ＞0，∴（a +c +b ）（a +c ﹣b ）＜0，则（a +c ）2﹣b 2＜0，即（a +c ）2＜b 2，故④正确；故选：D ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ，此时，确定不了y 的值，∴a +b +c ＞0，正确； ②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，分两种情况，a ＝b ＞0，则y 2＞y 1，否则，故y 1＜y 2，故错误； ③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【答案】解：①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ＞0此时，正确；②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，也确定不了y 1、y 2的大小，故y 1＜y 2，错误；③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，解得：﹣3a ﹣b ＜0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，∴a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，顶点的x 坐标＝﹣＜0，顶点的y 坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C ．【方法总结】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c ＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【答案】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A ．【方法总结】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【思路点拨】由图可知ax 2+bx +c ﹣2＝0的根的情况即图中图象和x 轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．【答案】解：∵函数的顶点的纵坐标为3，∴直线y ＝3与函数图象只有一个交点，∴y ＝ax 2+bx +c ﹣2，相当于函数y ＝ax 2+bx +c 的图象向下平移2个单位，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．故选：A ．【方法总结】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线y ＝3与抛物线的交点个数．【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【思路点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x ＝1或3时，y ＝3，结合函数图象，利用抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+mx 的对称轴为直线x ＝2， ∴﹣＝2，解得m ＝4，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x ＝1时，y ＝﹣x 2+4x ＝3；当x ＝3时，y ＝﹣x 2+4x ＝3，∵关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜3的范围内有解，∴抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点，∴3＜t ≤4．故选：B ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是( ) x ⋯0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 ⋯ y ⋯ 0.25- 0.1475- 0.04- 0.0725 0.19 0.3125 ⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x << 【思路点拨】利用x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，从而可判断当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，从而得到方程x 2+x ﹣1＝0一个正根x 1的范围．【答案】解：∵x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，∴当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，∴方程x 2+x ﹣1＝0两实数根中有一个正根x 1，则0.6＜x 1＜0.65．故选：C ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是( )A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b <<<【思路点拨】令抛物线解析式中y ＝0，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向上得到a ＜x ＜b 时y 小于0，得到x ＝m 与n 时函数值大于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【答案】解：令函数y ＝2+（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣（m +n ）x +mn +2，∴抛物线开口向上，令y ＝0，根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝﹣2的两个根为a ，b ，∵当x ＝m 或n 时，y ＝2＞0，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：A ．【方法总结】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．【考点7 二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是 ．【思路点拨】根据A 与B 坐标特点设出抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4），把C 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入得：﹣8a ＝3，即a ＝﹣，则抛物线解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +3，故答案为y ＝﹣x 2+x +3．【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7- 6- 5- 4-3- 2- y 27- 13- 3- 3 53 则二次函数的解析式为 ．【思路点拨】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c 的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式．【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x=时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【思路点拨】由条件可知其顶点坐标为（，），可设顶点式，再把点（0，2）代入可求得函数的解析式．【答案】解：∵二次函数在x＝时，有最小值，∴抛物线的顶点是（，），∴设此函数的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵函数图象经过点（0，2），∴2＝a（0﹣）2﹣，解得a＝1，∴此函数的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．故答案为y＝x2﹣3x+2．【方法总结】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为 ． 【思路点拨】根据抛物线形状相同则a 的值相同，再将（﹣1，0），（3，0）代入抛物线求出b ，c 的值即可．【答案】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y ＝2x 2相同，∴或，∴解得：或，∴抛物线解析式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．故答案为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．【方法总结】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出a 的值是解题关键．【考点8 二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案】解：（1）由题意，得：w ＝（x ﹣15）•y ＝（x ﹣15）•（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1100x ﹣12000， 即w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）；（2）对于函数w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）的图象的对称轴是直线x ＝27.5又∵a ＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．【方法总结】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；【方法总结】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与x （m 2）的函数关系式（2）总费用为W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案】解：（1）依题意当0≤x ≤600时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得18000＝600k 1，解得k 1＝30 ∴y 1＝30x当600＜x ≤1000时，y 1＝k 2x +b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得 ，解得∴y 1＝20x +600综上，y 1（元）与x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W ＝ 整理得故绿化总费用W的最大值为32500元【方法总结】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表：时间t（天) 1 3 5 10 36 ⋯94 90 86 76 24 ⋯日销售量m（件)未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．。
第22章 二次函数(二)二次函数与一元二次方程 讲义 人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数（二）二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程.要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表：要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根.课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（）A.(0，0)B.(4，0)C.(4，0)、(0，0)D.(2，0)、(-2，0)2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）A.-1，3B.-2，3C.1，3D.3，45.二次函数y=x2-6x-7的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根是.7.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行与y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D. x1=-1，x2=58.已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3，求k为何值时，抛物线与x轴有两个交点、有唯一交点、没有交点.9.已知关于x 的一元二次方程：x 2-(t -1)x +t -2=0. （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，二次函数y =x 2-(t -1)x +t -2的图象与x 轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由.知识点二 抛物线与x 轴两交点之间的距离 要点1.抛物线与x 轴两交点之间的距离公式：若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，.有2121acx x a b x x =-=+，则结合两点之间的距离公式：22)()(B A B A x x y y AB -+-=（勾股定理）.a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444)()(222122122121.课堂练习1.已知抛物线y =43x 2415-x +3经过与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，顶点为D 点，分别求出△ABC 和△ABD 的面积.知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要点1.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0<y2)时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|，若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似解；若|y1|>|y2|则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：方法步骤结论方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法二先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a≠0)，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法三先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(a≠0)移项后得再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根课堂练习1.已知二次函数y=x2-2x-3.（1）请你将函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示x2-2x-1=0的根，要求保留作图痕迹，指出方程的图形意义.2.如图，点A （2.18，-0.51），B （2.68，0.54），在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个近似值可能是（ ） A.2.18 B.2.68C.-0.51D.2.453.根据下列表格的对应值，判断ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是 .知识点四 二次函数与一元二次不等式的关系要点1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)及ax 2+bx +c <0(a ≠0)之间的关系如下(x 1<x 2)： （1）a ＜0时：判别式a >0抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点不等式ax 2+bx +c >0 的解集 不等式ax 2+bx +c <0的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c-0.06-0.020.030.09（2）a＜0时：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象解不等式：不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的所有点的横坐标.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的所有点的横坐标；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y<0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.要点2.利用二次函数图象解一元二次不等等式的步骤：（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.课堂练习1.解不等式-x2+5x+3>7.2.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）在坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象直接写出不等式x2-4x+3>0的解集.3.已知二次函数y=-x2+2x+3.（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当-2＜x＜2 时，函数值y的取值范围．4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是（）A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2。
人教版初三数学：《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）=【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则212364(92)||6a a a x x ---==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴24164(42)2222m m m m m x m±--==±． ∵0m >，∴22x m =±是整数．∴2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9， 24164(42)2222m m m m mx m±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. （2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C；【解析】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x=+的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图象上，且MO＝MA，二次函数2y x bx c=++的图象经过点A、M．(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+ 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 【答案与解析】(1)一次函数334y x =+，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)， 又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为32，又M 在32y x =上，当32y =时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 如图所示，2231312AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．(2)将点A(0，3)，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++中，得3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ 5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即这个二次函数的解析式为：2532y x x =-+． (3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，25(,3)2C n n n -+，3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000， 解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得： w=（x ﹣40）（﹣4x+480） =﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵ 二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴ ∴∴ ，即，∴.∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y xx ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．6±B ．4C ．6±或4D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】解：（1）令mx2-（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2-4mn=（m-n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m-n＜0，∴△=（m-n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2-（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2= nm，由（1）得nm＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=-x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=-x-1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，解得：m≥- 12，∴m的取值范围为：-12≤m＜0．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=23AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．A．33B．32C．πD．32π图（1）【答案】A. C BO【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π． 图（2） 故选B ．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积．A EB C F P【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
人教版九年级数学上册22.2：二次函数和一元二次方程 学案(解析版)
二次函数与一元二次方程知识集结知识元利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解知识讲解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根，反之一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标.例题精讲利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解例1.若二次函数21y ax =+的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程2(2)10a x -+=的实数根为（ ）A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=﹣2，x 2=6C ．，D ．x 1=﹣4，x 2=0【答案】A 【解析】 题干解析:二次函数21y ax =+的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1=0，求得a=﹣14，代入方程2(2)10a x -+=即可得到结论．解：∵二次函数21y ax =+的图象经过点（﹣2，0），∴4a +1=0，∴a=﹣14， ∴方程a （x ﹣2）2+1=0为：方程﹣14（x ﹣2）2+1=0， 解得：x 1=0，x 2=4，故选A ．例2.已知二次函数2y x bx m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程的解是 .【答案】-1，3【解析】题干解析:观察图象可得，二次函数2=-++的图象开口向下，对称轴为y x bx mx=1，其中一个交点为（3,0），利用对称可得另一交点为（-1,0），所以方程的解为-1，3.例3.已知二次函数21y mx x=++，（1）当m为何值时，函数的图象与x轴有2个交点？（2）如函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）当函数的图象与x轴相切时，求m的值.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】题干解析:（1）由二次函数的图象与x轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定Δ的取值范围，进而求出m的取值范围.（1）有两个交点;（2）有交点；（3）相切只有一个交点.利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数知识讲解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数的判别即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根情况的判别：①判别式法；②直接看方程法；③平移法.例题精讲利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数例1.抛物线y=kx 2﹣6x+9与x 轴有两个交点，则k 的取值范围（ ）A ．k ＜1且k≠0B ．k≠0C ．k ＜1D ．k ＞1【解析】 题干解析:解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4k×9＞0，解得k ＜1． 由于该函数为二次函数，则k≠0．∴k ＜1且k≠0．故选A ．例2.若函数2(1)(1)1y m x m x =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值.【答案】 见解析 【解析】题干解析:∵函数2(1)(1)1y m x m x =++++的图象与x 轴只有一个公共点∴方程2(1)(1)10m x m x ++++=有两个相等的实根，即Δ=2(1)4(1)m m +-+=0，解得m 1=-1，m 2=3又∵a =(m+1)≠0∴m ≠-1∴m =3 例3.已知抛物线221y x x m =+++，(1) 若抛物线与x 轴只有一个公共点，求m 的值；(2) 若抛物线与直线2y x m =+只有一个交点，求m 的值；【答案】 见解析 【解析】题干解析:（1）∵函数221y x x m =+++的图象与x 轴只有一个公共点∴方程2210x x m +++=有两个相等的实根，即Δ=224(1)0m -+=g ，解得m=0（2）抛物线与直线2y x m =+只有一个交点，得方程组2212y x x m y x m⎧=+++⎨=+⎩消去y ，2212y x x m x m =+++=+整理，得210x x m +-+=∵有唯一交点，∴214(1)0m --+=，解得34m =二次函数的图象与系数的关系知识讲解考查抛物线与二次函数系数之间的关系，注意数形结合的思想的应用.例题精讲二次函数的图象与系数的关系例1.已知：抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 左侧），顶点为M ，平移该抛物线，使M 平移后的对应点M’落在x 轴上，点B 平移后的对应点B’落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【解析】 题干解析:当y=0，则2430x x -+=(3)(1)0x x --=，解得 121,3x x ==∴A （1,0）B （3,0）2243(2)1y x x x =-+=--∴M 点坐标为（2，-1）∵平移抛物线，使点M 平移后的对应点M’落在x 轴上，点B 平移后的对应点B’落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：222(23)11(1)21y x x x x =-+-+=+=++,选A 。
初三秋季班 第12讲 二次函数与方程、不等式综合--提高班
第12讲 二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 抛物线与x 轴交点的个数是由一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中的ac b 42-=∆决定。
若0>∆，抛物线与x 轴有两个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实根，这两个与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若0=∆，抛物线与x 轴有一个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若0<∆ ，抛物线图象与x 轴没有交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实根，0>a 抛物线在x 轴上方，0<a ，抛物线在x 轴下方。
【典例】1.下列关于二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＞1）的图象与x 轴交点的判断，正确的是（ ）A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y 轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y 轴右侧【答案】D.【解析】解：当y=0时，ax 2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______【答案】﹣5＜t≤4【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 满足条件（ ）A. 1.2＜x ＜1.3B. 1.3＜x ＜1.4C. 1.4＜x ＜1.5D. 1.5＜x ＜1.6【答案】C.【解析】解：由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax 2+bx+c=0的一个根．ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5．故选：C ．4.若方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）A. x=﹣3B. x=﹣2C. x=﹣1D. x=1【答案】C.【解析】解：∵方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．∵此两点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x==﹣1．故选：C ． 【方法总结】解这类题的方法是：求二次函数与x 轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。
人教版 九年级数学讲义 二次函数与一元二次方程(含解析)
第6讲二次函数与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。
知识梳理讲解用时：10分钟二次函数与一元二次方程之间的关联求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方程的根就是x1和x2.课堂精讲精练【例题1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】B【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议：利用数形结合分析。
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数和一元二次方程都是初中代数的重要内容，两者相结合的题目在近年中考中经常有出现，解决此类问题关键是搞清楚二次函数图象与一元二次方程的两根之间的关系。
一、二次函数图象与一元二次方程根的关系1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 的判别式为：△＝b 2－4ac 。
二次函数的解析式为：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（1）当△＞0时，二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当△＝0时，二次函数的图象与x 轴有一个交点；（3）当△＜0时，二次函数的图象与x 轴有无交点。
2、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点为A （x 1，0）、B （x 2，0），且两个交点之间的距离为： |AB|＝| x 1－x 2|。
3、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的对称轴为：x ＝221x x +。
二、考点例析1、用根的判别式判断二次函数图象与x 轴的交点例1、(2005温州市)若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝_________.(只要求写出一个)解：令y ＝0，得一元二次方程：x 2－4x ＋c ＝0，方程的判别式为：△ ＝（－4）2－4c ＝16－4c ，因为二次函数图象与x 轴没有交点，所以，有16－4c ＜0，解得：c ＞4，c 可取5、6、7……中的任一个，只写一个即可。
例2、（2005湖北荆州）若y 关于x 的函数()()2221y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 可取的值为 ．解：令y ＝0，得一元二次方程：（a －2）x 2－（2a －1）x ＋a ＝0，方程的判别式为：△ ＝（2a －1）2－4（a －2）a ＝4a ＋1，因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以，有4a ＋1＞0，解得：a ＞－41。
专题02 一元二次方程根与系数的关系(解析版)21-22年九年级数学上学期专题(苏科版)
2021-2022学年苏科版数学九年级全册压轴题专题精选汇编专题02 一元二次方程根与系数的关系一．选择题1．（2020•汇川区模拟）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m2+n2的值为（）A．﹣6B．﹣1C．6D．2【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn的值，m2+n2整理得：（m+n）2﹣2mn，代入计算即可．【完整解答】解：根据题意得：m+n＝2，mn＝﹣1，所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝22﹣2×（﹣1）＝6，故选：C．2．（2020秋•红桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，则原方程可化为（）A．（x+2）（x+3）＝0B．（x+2）（x﹣3）＝0C．（x﹣2）（x﹣3）＝0D．（x﹣2）（x+3）＝0【思路引导】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，∴2﹣3＝﹣p，2×（﹣3）＝q，∴p＝﹣1，q＝﹣6，∴原方程可化为（x﹣2）（x+3）＝0．故选：D．3．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11B．12C．m有无数个解D．13【思路引导】由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，则△≥0，并且△为有理数的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m满足6＜m＜20，确定出△的范围，即可得出结论．【完整解答】解：∵关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵△＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，又∵6＜m＜20，∴25＜4m+1＜81，∵如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，∴△为有理数的平方，∴有无数个有理数m，使（4m+1）是有理数的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），故选：C．4．（2020春•安庆期中）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（）A．3B．4C．5D．6【思路引导】先根据根与系数关系得出a+b＝2，ab＝﹣1，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【完整解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴a+b＝2，ab＝﹣1，∴a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝4+1＝5．故选：C．5．（2020•河北模拟）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，嘉淇在探究该方程时，得到以下结论：①该方程有两个不相等的实数根；②该方程有一个根为1；③该方程的根是整数；④该方程有一个根小于﹣1．则其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①④D．②③【思路引导】先求出△＝5＞0，判断出①正确，再求出此方程的两个实数根，即可判断出②③错误，④正确，即可得出结论．【完整解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣1＝0，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确；∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴x＝＝，∴x1＝＜﹣1，x2＝＞0，故②③错误，④正确，即正确的有①④，故选：C．二．填空题6．（2021春•周村区期末）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝3．【思路引导】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【完整解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，∴x1+x2＝5，x1x2＝m．∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2，∴m＝3．故答案为：3．7．（2021•吉水县一模）已知α、β是方程x2+x﹣6＝0的两根，则α2β+αβ＝12或﹣18．【思路引导】先利用根与系数的关系得到α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，所以α2β+αβ＝αβ（α+1）＝﹣6（α+1），再解方程解方程x2+x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝2，然后把α＝﹣3和α＝2分别代入计算即可．【完整解答】解：根据题意得α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，所以α2β+αβ＝αβ（α+1）＝﹣6（α+1），而解方程x2+x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝2，当α＝﹣3时，原式＝﹣6（﹣3+1）＝12；当α＝2时，原式＝﹣6（2+1）＝﹣18．故答案为12或﹣18．8．（2020秋•九江期末）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，则m2+2m+n等于0．【思路引导】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，mn＝﹣1，而m是方程的一个根，可得m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，那么m2+2m+n＝m2+m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．【完整解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，∵m是x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1+（m+n）＝1﹣1＝0．故答案为：0．9．（2020•黔南州）对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝0．【思路引导】求出x2﹣8x+16＝0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．【完整解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，即x1＝x2＝4，则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，故答案为0．10．（2020秋•澧县月考）已知m、n是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝﹣2．【思路引导】根据根与系数的关系及方程的解的定义得出m+n＝﹣2，mn＝﹣2015，m2+2m＝2015，代入原式＝m2+2m+mn+（m+n）计算可得．【完整解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2015，m2+2m＝2015，∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2015﹣2015﹣2＝﹣2．故答案是：﹣2．11．（2020秋•杨浦区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是0．【思路引导】根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣得到＝﹣1，或＝﹣4，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0．【完整解答】解：∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣，∴＝﹣1或＝﹣4，∴m+n＝0，4m+n＝0，∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故答案是：0．12．（2018•苍南县校级自主招生）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是0＜a≤8或a＝9．【思路引导】方程有两个根，设x1≤x2，则可以根据求根公式用含a的式子表示x，由x1＞0，x2＞0，则0＜a≤9，再分两种情况讨论，即根据x1＝x2，和x1≠x2，等腰三角形只能作一个，只要较小的根作底，较大的根为腰，再根据三边关系得出不等式求解，再综合得出答案，确定a的取职范围．【完整解答】解：方程x2﹣6x+a＝0的两个根为x＝3±，设x1，x2为方程两根，（1）若x1＝x2，此时a＝9，以x1、x2为两边长的等腰三角形是等边三角形，符合题意；（2）若x1≠x2，设x1＜x2，则x1＝3﹣，x2＝3+，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a＜9，①以x1为底，x2为腰的等腰三角形必有一个，此时，0＜a＜9，②以x1为腰，以x2为底的等腰三角形不存在，则有2x1≤x2，∴6﹣2≤3+，≥1，∴0＜a≤8，综上所述：当0＜a≤8或a＝9时只有一个等腰三角形．故答案为：0＜a≤8或a＝9．13．（2017•内江）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝47．【思路引导】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【完整解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴＝＝47，故答案为：47．14．（2010•合肥校级自主招生）已知α、β是方程x2+x﹣1＝0的两个实根，则α4﹣3β＝5．【思路引导】由方程的根的定义，可知α2+α﹣1＝0，移项，得α2＝1﹣α，两边平方，整理得α4＝2﹣3α①；由一元二次方程根与系数的关系，可知α+β＝﹣1②；将①②两式分别代入α4﹣3β，即可求出其值．【完整解答】解：∵α是方程x2+x﹣1＝0的根，∴α2+α﹣1＝0，∴α2＝1﹣α，∴α4＝1﹣2α+α2＝1﹣2α+（1﹣α）＝2﹣3α．又∵α、β是方程x2+x﹣1＝0的两个实根，∴α+β＝﹣1．∴α4﹣3β＝2﹣3α﹣3β＝2﹣3（α+β）＝2﹣3×（﹣1）＝5．故答案为5．15．（2002•内江）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，那么代数式2m2+4n2﹣4n+1999＝2013．【思路引导】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，可知m，n是x2﹣2x﹣1＝0两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，又m2＝2m+1，n2＝2n+1，利用它们可以化简2m2+4n2﹣4n+1999＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999＝4m+2+8n+4﹣4n+1999＝4（m+n）+2005，然后就可以求出所求的代数式的值．【完整解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，所以m，n是x2﹣2x﹣1＝0两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，又m2＝2m+1，n2＝2n+1，则2m2+4n2﹣4n+1999＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999＝4m+2+8n+4﹣4n+1999＝4（m+n）+2005＝4×2+2005＝2013．故填空答案：2013．三．解答题（共12小题）16．（2020秋•梁溪区期末）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．【思路引导】（1）把x＝2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系解答；（2）证明根的判别式是非负数0即可．【完整解答】解：（1）把x＝2代入方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0，得：4（k﹣2）﹣2k+2＝0．解得：k＝3．由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，即2+x2＝﹣＝3，所以x2＝1；（2）证明：当k﹣2＝0即＝2时，该方程是﹣2x+2＝0，此时x＝1，符合题意．当k﹣2≠0，时，△＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）×2＝（k﹣4）2≥0，该方程总有实数根．综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根．17．（2020秋•遂宁期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2017的值．【思路引导】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2017的值．【完整解答】解：（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1，∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，∴α3+β2+β+2017＝2α+1+β+1+β+2017＝2（α+β）+2019＝2×1+2019＝2021．18．（2021•薛城区一模）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+＝1，即＝1．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求（1）mn的值；（2）+．【思路引导】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式变形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．【完整解答】解：∵+﹣2＝0，∴2n2﹣5n﹣1＝0，根据2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝，mn＝﹣，（1）mn＝﹣；（2）原式＝＝＝29．19．（2021•南海区一模）如图，已知菱形ABCD的周长是48cm，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．（1）求∠C的度数；（2）已知DF的长是关于x的方程x2﹣5x﹣a＝0的一个根，求该方程的另一个根．【思路引导】（1）根据垂线的定义可得出∠AFD＝∠AEB，由四边形内角和为360°结合∠EAF＝2∠C，即可求出∠C的度数；（2）根据平行四边形的周长结合两邻边的比例可求出AD的长度，在Rt△ADF中，可求出DF的长度，再利用根与系数的关系即可求出方程x2﹣ax﹣6＝0的另一个根．【完整解答】解：（1）∵ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝48÷4＝12，∠DAB＝∠C，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E＝∠F＝90°，∵∠EAF＝2∠C．∠EAF+∠E+∠F+∠C＝360°，∴3∠C＝180°，∴∠C＝60°，（2）在Rt△ADF中，∠ADF＝∠C＝60°，∴DF＝cos60°×12＝6，∵DF的长是关于x的方程x2﹣5x﹣a＝0的一个根，设另一个根为x，根据根与系数的关系得，x+6＝5，解得x＝﹣1，答：方程的另一个根为﹣1．20．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【思路引导】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．【完整解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．21．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．【思路引导】（1）根据根的判别式判断可得；（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【完整解答】解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．22．（2020•浙江自主招生）关于x的方程：ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0至少有一个整数根，且a为非负整数，求a的值．【思路引导】先将原方程转化为（x+1）2a＝6x+13，进而得出a＝，再判断出a为大于等于1的整数，求出整数解的可能，依次代入a＝检验，即可得出结论．【完整解答】解：将方程ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0变形为（x+1）2a＝6x+13，∵a为非负整数，∴a≥0，当a＝0时，6x+13＝0，x＝﹣，不符合题意，∴a是大于等于1的整数，当x+1＝0，即x＝﹣1时，（x+1）2a＝6x+13不成立，不符合题意，∴a＝≥1，∴x2﹣4x﹣12≤0，∴﹣2≤x≤6，∵关于x的方程：ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0至少有一个整数根，∴x整数解可能为﹣2或0或1或2或3或4或5或6，当x＝﹣2时，a＝＝＝1，符合题意，当x＝0时，a＝＝13，符合题意，当x＝1时，a＝＝，不符合题意，当x＝2时，a＝＝，不符合题意，当x＝3时，a＝＝，不符合题意，当x＝4时，a＝＝，不符合题意，当x＝5时，a＝＝，不符合题意，当x＝6时，a＝＝＝1，符合题意，即a的值为1或13．23．（2020•浙江自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．【思路引导】根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．【完整解答】解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设△＝（k+2）2﹣16k＝n2⇒（k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8，∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n，∴或或，解得k1＝（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12，当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60⇒a＝5，b＝12，c＝13，当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48⇒a＝6，b＝8，c＝10．∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13．当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10．24．（2019秋•寿光市期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【思路引导】（1）将x＝1代入原方程即可求出a值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一根；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【完整解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得：a＝，∴方程的另一根为﹣a﹣1＝﹣﹣1＝﹣．答：a的值为，方程的另一根为﹣．（2）证明：△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．25．（2017秋•莒南县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值【思路引导】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，然后求出不等式的解即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，加上k≤，则可判断2k﹣2＜0，所以|x1+x2|＝x1x2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0，然后解方程求出k的值．【完整解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，∵k≤，∴2k﹣2＜0，又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0．解得k＝1（不合题意，舍去）或k＝﹣3，∴k＝﹣3．26．（2018秋•二七区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．【思路引导】（1）当方程有两个不相等的实数根时，△＞0，列式计算出m的值；（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x1+x2+x1x2＝5中得：m1＝4，m2＝﹣2，再根据△的取值确定其m的值．【完整解答】解：（1）△＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，4（m+1）2﹣4m2+4＞0，8m＞﹣8，m＞﹣1，则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，x1+x2+x1x2＝5，﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，m2﹣2m﹣8＝0，（m﹣4）（m+2）＝0，m1＝4，m2＝﹣2，∵方程两实数根分别为x1，x2，∴△≥0，∴m≥﹣1，∴m＝4．27．（2017秋•繁昌县月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2＝0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【思路引导】（1）把方程整理成一般形式，计算其判别式即可证得结论；（2）把x＝2代入即可求得m的值，再解方程即可求得方程的另一根．【完整解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2＝0，∴x2﹣7x+12﹣m2＝0，∴△＝（﹣7）2﹣4（12﹣m2）＝1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2＝0，解得m＝±，∴原方程为x2﹣7x+10＝0，解得x＝2或x＝5，即m的值为±，方程的另一个根是5．。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数和一元二次方程讲义(习题及答案)
二次函数与一元二次方程（习题）➢例题示范例：若一元二次方程(x-a)(x-b)（）的两个实数根分别为x1，x2，则实数a，b，x1，x2的大小关系为（）A．B．C．D．思路分析a，b可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴交点的横坐标，x1，x2可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与直线的交点的横坐标．如图所示，结合图象可得，．故选B．➢巩固练习1.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．或第1题图第2题图2.二次函数（a≠0）的图象如图所示，若（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．3.抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（）A．B．C．或D．或第3题图第4题图4.函数的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．或5.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（）A．B．C．D．第5题图第6题图6.如图，若抛物线与双曲线的交点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．7.坐标平面上，若平移二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（）A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向上平移6个单位D．向下平移6个单位8.设一元二次方程（）的两根分别为α，β，且，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；的解集为_____________．9.若二次函数的图象与直线没有交点，求的取值范围．10.已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x轴的交点情况．11.已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个交点，则C1的顶点坐标为__________．12.若关于x的一元二次方程无实数根，则函数的图象顶点在第______象限．13.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：①一元二次方程的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)；③在对称轴右侧，y随x的增大而_________．（2）确定抛物线的解析式，并求出该函数的最值．➢思考小结1.对于二次函数和一元二次方程的关系，尝试着进行总结：①函数与x轴交点坐标，与方程的根：__________________________________________．②函数与x轴交点个数，与方程解的个数：当时，函数与x轴有____个交点，方程有______根；当时，函数与x轴有_____个交点，方程有_______根；当时，函数与x轴______交点，方程________根．【参考答案】➢巩固练习1. A2. C3. B4. D5. D6. D7. D8.1＜α＜β＜3；α＜x＜β9.10.（1）b=4 （2）无交点11.(-1，0)12.一13.（1）①x1=-2，x2=1 ②8 ③增大（2）y=2x2+2x-4，最小值：➢思考小结1.①函数与轴交点的横坐标即为方程的根②两，两；一，一；无，无．。
专题02 一元二次方程的应用-2019九年级数学讲义提高班(解析版)
知识网络图⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩根与系数的关系问题变化率问题实际问题利润问题其他问题2.1 根与系数的关系知识概述如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，acx x =21. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1．（2018•潍坊）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若+=4m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A小试牛刀2．（2018•泸县模拟）设x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=22﹣2×（﹣）=5． 故选：C ．3．（2018•寿光市一模）关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ） A ．﹣1 B ．±2 C ．2D ．﹣2【答案】D【解析】解：设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个实数根，且两个实数根再接再厉互为相反数，则x1+x2==﹣（k2﹣4）=0，即k=±2，当k=2时，方程无解，故舍去．故选：D．4．（2018•高密市二模）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定【答案】C【解析】解：设原方程的两根为x1、x2，则x1+x2=4﹣k2；由题意，得4﹣k2=0；∴k1=2，k2=﹣2；又∵△=（k2﹣4）2﹣4（k﹣1）=﹣4（k﹣1），∴当k1=2时，△=﹣4＜0，原方程无实根；当k2=﹣2时，△=12＞0，原方程有实根．∴k=﹣2．故选：C．5．（2018•樊城区模拟）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣4=0的两个根，则m2+3m+n=____．【答案】26．（2018•武侯区模拟）对于实数m，n 定义运算“※”：m※n=mn（m+n），例如：4※2=4×2（4+2）=48，若x1、x2是关于x 的一元二次方程x2﹣5x+3=0的两个实数根，则x1※x2=____．【答案】15【解析】解：由题意可知：△＞0，∴x1+x2=5，x1x2=3∴原式=x1x2（x1+x2）=3×5 =15 故答案为：152.2增长率问题知识概述列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1．（2018•长丰县二模）某工厂一月份生产零件100万个，若二、三月份平均每月的增长率为20%，则该工厂第一季度共生产零件（ ）A ．300万个B ．320万个C ．340万个D ．364万个 【答案】D2．（2018•宜宾模拟）某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．【答案】25%【解析】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x ，小试牛刀根据题意得：48+48（1+x ）+48（1+x ）2=183， 解得：x 1==25%，x 2=﹣（不符合题意，舍去）．答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%．3．（2018•谷城县模拟）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%（2）4147.24．（2018•中江县模拟）“一碗面，一座城”！中江挂面在2017年全国魅力城市PK 中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨．（1）求中江挂面这两年产量的平均增长率；（2）若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2019年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈利6千元，则2019年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？【答案】（1）30% （2）1318200【解析】解：（1）设中江挂面这两年产量的平均增长率为x ， 根据题意得：100（1+x ）2=169，解得：x 1=0.3=30%，x 2=﹣2.3（不合题意，舍去）． （2）169×（1+30%）=219.7（吨）， 219.7×6000=1318200（元）．5．（2018•道外区三模）飞马汽车销售公司3月份销售新上市一种新型低能耗汽车8辆，由于该型汽车再接再厉的优越的经济适用性，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．（1）求该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率；（2）该型汽车每辆的进价为9万元，该公司的该型车售价为9.8万元/辆．且销售m 辆汽车，汽车厂返利销售公司0.04m 万元/辆．若使6月份每辆车盈利不低于1.7万元，那么该公司6月份至少需要销售该型汽车多少辆？（盈利=销售利润+返利）【答案】（1）50% （2）232.3利润问题知识概述利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数1．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；小试牛刀（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）y=﹣10x+1000（2）502．（2018•溧水区二模）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲商品的零售单价比乙商品的零售单价少1元；信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，解析下列问题：（1）分别求甲、乙两种商品的零售单价；（2）该商店平均每天卖出甲、乙两种商品各500件，经调查发现，两种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售30件，乙种商品每天可多销售20件，商店决定把两种商品的零售单价均下降m（0＜m＜1）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品的销售额之和为2500元？【答案】（1）甲2元、乙3元（2）0.4【解析】解（1）设甲、乙两种商品的零售单价分别为x元、y元．由题意得解得答：甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元．（2）由题意得：（2﹣m ）（500+×30）+（3﹣m ）（500+×20）=2500 解得：x 1=0.4，x 2=0（舍去）答：m=0.4时，商店每天销售甲、乙两种商品的销售额为2500元．3．（2018•六合区二模）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出 件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【答案】（1）450（2）4元/个4．（2018•九龙坡区校级模拟）重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活再接再厉动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）35（2）162.4 其他问题知识概述1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问).1．（2018•潮南区一模）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时小试牛刀隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？【答案】21874．（2018•郴州模拟）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15m ，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m ，设平行于墙的BC 边长为xm ．（1）若围成的花圃面积为40m 2时，求BC 的长；（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m 2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC 的长？如果不能，请说明理由；（3）如图3，若计划在花圃中间用n 道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x 、n 满足的关系式_______．【答案】（1）4米（2）不能围成花圃（3）【解析】解：（1）根据题意得，再接再厉AB=m，则•x=40，∴x1=20，x2=4，因为20＞15，所以x1=20舍去答：BC的长为4米；7．（2018•商河县二模）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？【答案】（1）12米（2）选用规格为0.80×0.80（单位：m）的地板砖费用较少【解析】解：（1）设AC=xm，则BC=（20﹣x）m，由题意得：x（20﹣x）=96，x2﹣20x+96=0，（x﹣12）（x﹣8）=0，x=12或x=8，当AC=12时，BC=8，当AC=8时，BC=12，答：这底面矩形的较长的边为12米；。
九年级数学上册 二次函数(提升篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册二次函数（提升篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x2x3=-++；3y x=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，∴23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．2．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值．（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；（3或4【解析】 【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d为)454d BP sin t =⋅︒=-，则12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；（3）先求出454AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得4NH ===；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可． 【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE 的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-；∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时，∴()()()2242max f t f ==⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得4542AM AB sin =⋅︒=⨯= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得552m -=<（舍）或52m =③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键3．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，23126y x x =-；（3）①()2212123n n y x x n -=-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12b-）， ∵B 1在抛物线c 上，则12b =(12b )2， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1，∴a 1=1， 故答案为1，2；（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，222,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =（不合舍去），()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上，()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3B 在抛物线2C 上，2333122222b b b⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去），()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上，()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126y x x =-.（3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯，2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 20182019y y ∴＞.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．4．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）点M 的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则点A 、B 的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN ＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝32，故点H（32，0），则直线AH的表达式为：y＝43x﹣2④，联立①④并解得：x＝0或173（舍去0），故点P （173，509）； 当点P 在AB 下方时，同理可得：点P （3，﹣2）； 综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．5．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小．【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =- 令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+．②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-； 综上：21a -≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．6．二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m mb a a m =-+， 即：2263m mb m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，3m）代入，得： 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m mm m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．7．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434b c， 故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+； （2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①， 设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x ≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=kx的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，m=12+或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】 （1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：123322m m ==（不合题意，舍去）．所以3212m+=．综上所述：m的取值范围是m＜0，m=113+或m=321+．（4）∵四边形ECP'D是菱形，∴点E与点P'关于x轴对称．∵点E的坐标为（2，n），∴点P'的坐标为（2，﹣n）．①当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8．②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3．综上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC的函数解析式；（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x2﹣43x+2；（2）223y x=+；（3）存在，(35,22-)【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2； （2）∵当x=0时，y=2，∴C （0，2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223y x =+； （3）存在．如图: 连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N设点P 坐标为（m ，n ）,则n=224233m m --+），PN=-m ，AO=3 当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C 的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯-∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）． 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】【分析】 （1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′== 此时aP92-+）． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。
初三秋季班 第2讲 一元二次方程--提高班
第2讲 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a ，b 分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.1. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b 、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式△=b 2－4ac)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是20ax bx c ++=移项得：2ax bx c +=- 二次项系数化为1，得：2b c x x a a+=- ：22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭当240b ac -≥时，222b x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即x =∴12x x ==4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】一元二次方程定义及一般形式1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D.20(0)ax bx c a ++=≠2210x x+=20ax bx c ++=(1)(2)1x x -+=223250x xy y --=【答案】C.【解析】解：A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．2.把一元二次方程()()2123x x x --=-化成一般形()002ax bx c a ++=≠其中a 、b 、c 分别为（ ）A. 2、3、1-B. 2、3-、1-C. 2、3-、1D. 2、3、1 【答案】B.【解析】原方程可整理为：22310x x -=-，∴2a =，3b =-，1c =-．【方法总结】（1）一元二次方程必须满足的条件：①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；（3）项的系数包括它前面的符号。
专题02 一元二次函数、方程与不等式(解析版)备考2025高考数学一轮知识清单
专题02一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1等式性质与不等式性质1、等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a =⇔=可逆2传递性,a b b c a c ==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2一元二次不等式的解集1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()ab a b a b R +≥+∈，22a b +≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号．（3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =，则222a b +的最小值为（）A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】D【解析】2222222222242a b a b +≥=⨯=当且仅当222a b =时，等号成立.故选：D.【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（）A 2mB 2mC ．2mD ．2m【答案】A【解析】因为22a b m +=，0,0a b >>，所以2222a b a b ++≤，即2222a b a b m +⋅+当且仅当2ma b ==时等号成立，所以a b +2m 故选：A.法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
九年级数学(下)提高班讲义(一)——二次函数
九年级数学（下）提高班讲义（一）——二次函数图像与性质班级： 姓名：例题讲解：例1：函数24(2)m m y m x +-=+是关于的二次函数，求（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点，求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？同步练习：已知是二次函数()2261m m y m x --=+，在此函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大。
（1）求m 的值；（2）画出该函数的图像例2：二次函数2y x bx c =++的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数221y x x =-+的图像，求b 与c同步练习：抛物线()2257y x =--+向 平移 单位后，再向 平移 单位，可得抛物线221y x =--例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：（1） 已知二次函数的图像经过点(0,1)A -，(1,0)B ，(1,2)C -（2） 已知抛物线的顶点为(1,3)-，且与y 轴交于点(0,1)（3） 已知抛物线与x 轴交于点(3,0)-，(5,0)且与y 轴交于点(0,3)-（4） 已知抛物线的顶点为(3,2)-，且与x 轴两交点间距离为4同步练习：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式。
（1）已知二次函数的图像经过点()()()0,21,13,5，，；（2）已知抛物线顶点为()1,2-且过点()2,1；（3）已知抛物线与x 轴交于点()()1,02,0-，，且经过点()1,2（4）已知二次函数2y ax bx c =++，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图像在x 轴上截得的弦长为4.例5：如图，抛物线E ：243y x x =++:交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点，抛物线E 关于y 轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点。
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知识网络图⎧⎪⎨⎪⎩图象与系数的关系二次函数与方程的关系与方程的关系用表格求根1 二次函数的图象与系数的关系知识概述抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则1．（2018•东昌府区二模）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论是（ ）小试牛刀A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】C2．（2018•市中区模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：①ac＜0；②a+b＜0；③4ac＞b2；④4a+2b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A3．（2018•安陆市二模）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象如图所示，则下列结论：①ab ＞0；②c ＞﹣；③a+b+c ＜﹣；④方程ax 2+（b ﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个 【答案】B4．（2018•唐河县二模）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y ＜0；③3a+c=0；④若（x 1，y 1）（x 2、y 2）在函数图象上，当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，其中正确的是（ ）再接再厉A．①②④B．①③ C．①②③D．①③④【答案】B.5（2018•高淳区二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b＞0，③a﹣b+c＞0，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C6．（2018•邻水县一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣=﹣2，∴b=4a，ab＞0，∴b﹣4a=0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，∴②⑤正确，∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，故正确的有②③④⑤． 故选：C ．2二次函数与方程的综合知识概述函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.1．（2018•遂川县模拟）对于抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0），下列说法错误的是（ ） A ．若顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根 B ．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0 C ．若a•b ＞0，则抛物线的对称轴必在y 轴的左侧D ．若2b=4a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0，必有一根为﹣2 【答案】A∴一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0，小试牛刀C：∵抛物线的对称轴为：x=﹣，∴抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，∴C正确；D：令x=﹣2，得：4a﹣2b+c=0，∴2b=4a+c，∴D正确，故选：A．2.（2018•凤阳县一模）已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．【答案】（1）1个（2）﹣1+或﹣1﹣或1 （3）﹣2≤k＜0解得k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，把x=﹣2，y=0代入解析式得﹣2k2+4k﹣2=0，解得k1=﹣k1=1．∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，∴﹣≤1，即≤1．解不等式组，解得﹣2≤k＜0．3．（2018•长丰县二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A （﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）4 （2，3）则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m ，﹣m2+m+2），再接再厉∵S 四边形OCDB ﹣S △OCD ﹣S △OBD =×2m+×4（﹣m 2+m+2）=﹣m 2+4m+4， ∴S △BCD =S 四边形OCDB ﹣S △OBC =﹣m 2+4m+4﹣×4×2=﹣m 2+4m=﹣（m ﹣2）2+4， 当m=2时，S △BCD 取得最大值4，此时y D =﹣×4+×2+2=3，即D （2，3）．4．（2018•韶关一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）连接AC 、BC ，判断△ABC 的形状，并证明；（3）若点P 为二次函数对称轴上点，求出使△PBC 周长最小时，点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2﹣x+2（2）直角三角形 证明见解析 （3）（﹣，）∴AC 2=42+22，BC 2=12+22，AB 2=52=25， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°；5．（2018•中江县模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）（3）（﹣1，2）（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．设直线AC的解析式为：y=mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，∴点Q的坐标是（﹣1，2）．6．（2018•黑龙江模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求二次函数的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）3用图象法去求方程的根知识概述的图象的解二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.1．（2017秋•秦淮区期末）如表是二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的自变量x 与函数值y 的对应关系，一元二次方程ax 2+bx+c=（a≠0）的一个解x 的取值范围是________．【答案】6.2＜x ＜6.32．（2016秋•通州区期末）二次函数y=x 2﹣x ﹣2的图象如图所示，那么关于x 的方程x 2﹣x ﹣2=0的近似解为________（精确到0.1）．【答案】x 1=﹣1.3，x 2=4.3再接再厉小试牛刀3．（2017秋•利辛县期中）下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值，由表中数据可判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在______之间．【答案】0＜x＜1【解析】解：当x=0时，y=1，x=1时，y=﹣2，函数在[﹣1，2]上y随x的增大而减小，得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在0＜x＜1，故答案为：0＜x＜1．。