高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时公式二公式三和公式四学案新人教A版必修4

第1课时公式二、公式三和公式四学习目标：1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)[自主预习·探新知]1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图1­3­1所示．图1­3­1(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图1­3­2所示．图1­3­2(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图1­3­3所示．图1­3­3(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠k π＋π2，k∈Z .(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．[基础自测]1．思考辨析(1)公式二～四对任意角α都成立．( )(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (3)在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ．( ) [解析] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (3)因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________. 3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.] 3．求值：(1)sin 2π3＝________.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝________. (1)32 (2)－32 [(1)sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝sin π3＝32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝cos 7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.][合 作 探 究·攻 重 难]给角求值问题(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°).[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. [规律方法] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”——用公式一或三来转化；2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.[跟踪训练]1．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． [解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0.给值(式)求值问题(1)则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.[思路探究] (1)化简已知和所求三角函数式 →根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值(2)⎦⎥⎥⎤ 105°＋α－α－75°＝180°cos α－75°＝－13，α为第四象限角→ 求sin α－75°→用sin 180°＋α＝－sin α求值(1)A [(1)sin(α－360°)－cos(180°－α) ＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α ＝sin α＋cos α2－12＝m 2－12.](2)∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2α－75°＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.母题探究：1.例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值． [解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)] ＝－cos(α－75°)＝13.2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α－75°＋cos 2α－75°＝1，sin α－75°cos α－75°＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sinα－75°＝－52626，cos α－75°＝2626或⎩⎪⎨⎪⎧sin α－75°＝52626，cosα－75°＝－2626.(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝52626.[规律方法] 解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简问题[探究问题1．利用诱导公式化简sin(k π＋α)(其中k ∈Z )时，化简结果与k 是否有关？ 提示：有关．因为k 是奇数还是偶数不确定．当k 是奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k 是偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin α.2．利用诱导公式化简tan(k π＋α)(其中k ∈Z )时，化简结果与k 是否有关？ 提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(k π＋α)＝tan α.(其中k ∈Z )设k 为整数，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α.[思路探究] 本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k 分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，可使用配角法．[解] 法一：(分类讨论)当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin 2m π－αcos[2m －1π－α]sin[2m ＋1π＋α]cos 2m π＋α＝sin －αcos π＋αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，故cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)，sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin k π＋α[－cos k π＋α]－sin k π＋αcos k π＋α＝－1.[规律方法] 三角函数式化简的常用方法1合理转化：①将角化成2k π±α，k π±α，k ∈Z 的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. [跟踪训练] 2．化简：(1)tan2π－αsin －2π－αcos 6π－αcos α－πsin 5π－α；(2)sin 1 440°＋α·cos α－1 080°cos －180°－α·sin －α－180°. [解] (1)原式＝－tan αsin －αcos －αcos π－αsin π－α＝tan α·sin α·cos α－cos α·sin α＝－tan α.(2)原式 ＝sin 4×360°＋α·cos 3×360°－αcos 180°＋α·[－sin 180°＋α]＝sin α·cos －α－cos α·sin α＝cos α－cos α＝－1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3C [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋2π3＝tan 2π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3＝－ 3.]2．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β， 故①正确，②错误；cos α＝cos(π－β)＝－cos β， 故③正确，④错误；tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．故选C.]3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35B [因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角，所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.]4．cos －585°sin 495°＋sin －570°的值等于________． 2－2 [原式＝cos 360°＋225°sin 360°＋135°－sin 360°＋210°＝cos 180°＋45°sin180°－45°－sin 180°＋30°＝－cos 45°sin 45°－－sin 30°＝－2222＋12＝2－2.]5．化简(1)sin540°＋α·cos －αtan α－180°；(2)sin 2π＋αcos －π＋αcos －αtan α.[解] (1)sin540°＋α·cos －αtan α－180°＝sin180°＋α·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin 2π＋αcos －π＋αcos －αtan α＝sin α－cos αcos αtan α＝－cos α.。