高中数学专题突破(三)高考数列问题的求解策略
高考数学数列题求解题技巧
高考数学数列题求解题技巧数学数列题是高考数学中常见的题型之一，也是考查学生对数列概念和性质的理解和运用能力的重要手段之一。
下面将给出一些解题技巧，帮助你在高考中更好地解答数列题。
1. 确定数列类型在解答数列题时，首先要明确数列的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
通过观察数列的通项公式、公式中的递推关系或者数列中的规律，确定数列的类型，有助于我们更好地理解和解答问题。
2. 求解等差数列对于等差数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等差数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等差数列的的首项a1和公差d：Sn = (n/2)(a1 + an)Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中n为项数，a1为首项，an为第n项，d为公差。
（2）已知前n项和的两倍：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的两倍为2Sn，则可以使用以下公式求解首项a1：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)（3）已知前n项和的平方：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的平方为Sn²，则可以使用以下公式求解公差d：Sn² = n(2a1 + (n-1)d)²/43. 求解等比数列对于等比数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等比数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等比数列的的首项a1和公比q：Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)其中n为项数，a1为首项，q为公比。
（2）已知前n项积：若已知等比数列的前n项积为Pn，则可以使用以下公式求解首项a1和公比q： Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)4. 拆分序列有时，在解答数列题时，我们可以将给定的数列拆分为两个或多个较为简单的数列进行求解。
例如，当我们遇到递推关系较为复杂的数列时，可以考虑将数列拆分为两个或多个等差数列或等比数列，然后分别求解。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
数列通常用来解决组合现象，广泛应用于数学实际问题中。
高中数学中，常用数列题
来考察学生对求和公式、等差数列、等比数列规律以及相关技巧的掌握程度。
下面讲解一
下高中数学数列试题的解题方法和技巧分析：
1、确定数列类型：当我们遇到一个数列试题时，首先要弄清楚该序列是等差数列还
是等比数列，因为这两种类型的数列的解法是不一样的。
在观察数列时要注意每项与它的
相邻项的差值是否相等，即等差数列；在观察数列时要注意每项与它的相邻项的比值是否
相等，即等比数列。
2、推导公式：既然确定了数列的类型，接下来就要推导出该类型数列的通项公式。
如果是等差数列，就要找出头项、公差和项数之间的关系；如果是等比数列，就要找出头项、公比和项数之间的关系。
3、求出指定项：当推出了相应数列的通项公式后，就可以求出指定项的值了。
如果
是等差数列，就要通过位移法；如果是等比数列，就可以通过乘幂法求出指定项的值。
4、计算总和：如果试题要求求解数列的总和，这时要用到求和公式。
对于等差数列，有Sn=n(a1+an)/2；对于等比数列，有Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
需要特别注意的是，求和公
式在求解数列总和时只有在数列的末项为无穷项时才能使用，否则就要使用暴力求和的方法。
以上就是高中数学数列试题的解题方法和技巧分析，熟练掌握这些方法和技巧，可以
让我们在数学考试中更加容易把握试题，轻松拿下高分。
高考数列问题求解策略
1 n
=
7 4
-
1 n
<
7 4
.
综上，对一切正整数
n，有
1 a1
+
1 a2
+ ⋯+
1 an
<
7 4
.
从以上的内容我们可以知道，高考数列问题具有较
强的规律性，常常考查已知 Sn 求 an，结合其他方式求通
项公式和前 n 项和 . 高三学生在学习此部分内容时要加
强理解，吃透相关内容 .
（责任编辑 黄桂坚）
(2 × 1+ 1)+ 1
= ( 2n - 1 ) + ( 2n - 3 ) + ⋯ + 5 + 3 + 1
=
[ ( 2n - 1 ) + 2
1] n
= n2.
所以数列{ an }的通项公式为 an = n2.
二、高考试题分析
［例 2］（2013 年高考理科数学第 19 题）设数列{ an }
的前 n 项和为 Sn. 已知 a1 = 1，2nSn
5 4
<
7 4
；
当 n ≥ 3 时，a1n
=
1 n2
<
1
(n- 1)n
=
1 n-1
-
1 n
，此时
1 a1
+
1 a2
+ ⋯+
1 an
= 1+
1 4
+
1 32
+
1 42
+ ⋯+
1 n2
( ) ( ) ( ) < 1+
1 4
高考数学数列题 如何灵活运用数列知识解决问题
高考数学数列题如何灵活运用数列知识解决问题数列是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于各种数学问题的解决中。
在高考数学中，数列题目占据了相当大的比重，掌握数列知识的运用技巧对于高考数学的取得好成绩至关重要。
本文将介绍如何在解决高考数学数列题时灵活运用数列知识，帮助考生更好地解决数列相关的问题。
一、确定数列的性质在解决数列题目时，首先要明确数列的性质，即确定数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
这一步骤非常关键，因为不同类型的数列具有不同的性质和运算规律。
例如，如果题目给出的数列满足递推式an = an-1 + 3，那么我们可以判断这是一个等差数列，而公差为3。
如果题目给出的数列满足递推式an = 2^n，那么我们可以判断这是一个等比数列，而公比为2。
二、寻找数列的规律在确定了数列的性质后，接下来需要寻找数列的规律。
这一步骤需要考生观察数列中的数字之间的关系，并总结出数列中数字的变化规律。
例如，如果题目给出的数列是一个等差数列，我们可以通过观察数列中相邻两项的差值来寻找规律。
如果题目给出的数列是一个等比数列，我们可以通过观察数列中相邻两项的比值来寻找规律。
掌握了数列的规律，就可以根据问题的要求进行计算和推导。
三、利用数列性质解决问题在解决数列题目时，可以利用数列的性质和规律进行计算和推导，从而得出问题的答案。
例如，如果题目给出的数列是一个等差数列，我们可以利用等差数列的求和公式来计算数列的和。
如果题目给出的数列是一个等比数列，我们可以利用等比数列的前n项和公式来计算数列的和。
另外，利用数列的性质还可以解决一些特殊的问题。
例如，对于一些复杂的数列题目，我们可以通过构造辅助数列或者利用数列的性质进行推导，从而解决问题。
四、巧用数列的性质解决实际问题除了在数列题目中灵活运用数列的性质和规律外，数列的应用还可以延伸到解决实际问题中。
例如，在时间、距离、速度等方面的问题中，我们可以通过构造数列模型，将实际问题转化为数列问题，进而运用数列知识解决问题。
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。
本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。
一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。
通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。
对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。
而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。
2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。
例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。
3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。
通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。
此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。
4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。
将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。
通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。
二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。
然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。
其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。
对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。
高中数学数列问题的有效解决策略
高中数学数列问题的有效解决策略摘要：数列是高中数学学科中一部分重要的知识，要求学生通过学习达到掌握数列变化的规律、总结解题技巧的目标。
在运用数列知识解决实际问题的过程中，学生的思维能够得到进一步开发和拓展。
由于这一部分的知识点比较抽象难懂，学生在学习过程中不可避免地会存在困难，加之教师教学方法的限制，数列成为学生学习的一大难点。
为了帮助学生攻克数学学科的难点、总体把握数学学科知识，也为了开发学生的数学核心素养，有必要加强对数列问题教学和解决策略的研究。
以下内容将立足于高中数学学科教学工作的实际情况，从教师和学生两个角度分析影响数列问题学习效果的原因，并探究解决数列问题的有效方法。
关键词：高中数学；数列知识；解决问题引言：综合学生的解题情况来看，数列知识是学生在解题过程中的常见失分点上，归根结底在于学生对这部分知识的理解不够透彻、解题方法选择不当。
在新课标教学改革的过程中，高中数学学科教学工作需要进行必要的创新和改革，老师在采取高效教学方法时，要充分考虑学生已经具备的生活经验和学习经验、教学工作如何增添趣味、新旧知识点之间应如何衔接、如何在教学工作中融入特色等问题，为学生定制个性化的学习方式，帮助学生突破学习数列知识中存在的困难。
一、高中数学数列问题学习效果的影响因素（一）教师方面老师的教学观念和教学方式直接影响学生的学习效果，受传统教学观念和教学手段的影响，学生关于数列知识的学习并不透彻。
一方面，老师在教学过程中缺少对学生反馈的了解，采用的语言和教学模式比较抽象，学生的思维方式和理解能力不足以支撑学生理解相关的知识点，导致学生对知识一知半解，无法将相关的知识点应用于解决实际问题[1]。
另一方面，老师在课堂上一味向学生灌输知识，学生在课堂上的主体地位并不突出，学生在被动接受知识的过程中，其思维方式受到限制，不利于学生思维的拓展和能力的提升。
当学生脱离老师的指导、独立解决数学问题时，无法解答问题，甚至面对数列问题不知所措。
高考数学数列题 如何运用数列知识解决数学问题
高考数学数列题如何运用数列知识解决数学问题数列作为高中数学中的一个重要概念，经常出现在高考数学试卷中。
对于许多学生来说，数列题可能是他们认为难以解决的数学问题之一。
然而，只要我们掌握了一些基本的数列知识和解题方法，就能够轻松应对数列题。
本文将介绍如何使用数列知识来解决高考数学数列题，并给出一些实用的解题技巧。
一、首项与公差在解决数列问题时，我们首先要明确数列的首项和公差。
首项指的是数列的第一项，通常表示为a1；公差指的是从一个数到下一个数的差值，通常表示为d。
通过确定首项和公差，我们可以进一步推导数列的通项公式，从而解决数列问题。
二、等差数列题1. 求等差数列的和当我们需要求解等差数列的前n项和时，可以使用求和公式来简化计算过程。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，其和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2其中n表示数列的项数。
例如，我们需要求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前100项和，可以直接套用求和公式：S100 = (1 + 199) * 100 / 2 = 100 * 100 = 10000因此，该等差数列的前100项和为10000。
2. 求等差数列中的某一项有时候，我们需要求解等差数列中的第n项。
根据数列的通项公式可以轻松地求得。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，其通项公式为：an = a1 + (n - 1) * d其中d为公差。
例如，我们需要求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的第50项，可以使用通项公式：a50 = 1 + (50 - 1) * 2 = 1 + 98 = 99因此，该等差数列的第50项为99。
三、等比数列题1. 求等比数列的和当我们需要求解等比数列的前n项和时，可以使用求和公式来简化计算过程。
对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，其和Sn可以通过以下公式求得：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中q表示等比数列的公比。
六大技巧突破高考数学数列题型
六大技巧突破高考数学数列题型
距离2019年高考还有：253天
温馨提示：
点击右上角关注，
翻阅历史文章可领取任祎老师亲自审核整理的超值高考资料！
写在开篇的话：
数列是高中数学的主干知识板块之一,解答数列试题要熟悉数列的基础知识,还要运用大量的数学思想方法,数列试题对考查考生的数学素养具有极高的价值.下面总结解答数列试题的八大技巧让你轻松学会数列！
技巧一巧用定义直接解题
技巧二巧用项的性质减少计算
技巧三巧用升降角标法实现转化
技巧四巧用不完全归纳找规律
技巧五巧用等差数列求和公式突破关键
技巧六利用裂项实现求和
下边我们来具体看看：
系列专题完！。
高考数学数列题 如何运用数列知识解决数学问题
高考数学数列题如何运用数列知识解决数学问题在高考数学中，数列题是一个经常出现的考点，也是学生们常常感到困惑的题型之一。
数列作为数学中的一个重要概念，它不仅仅在高中数学中出现，而且在大学数学以及其他科学领域中也有广泛的应用。
因此，学会如何运用数列知识解决数学问题对于学生们来说是非常重要的。
本文将介绍一些运用数列知识解决数学问题的方法和技巧。
首先，我们来看一下数列的定义。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，其中每一个数称为数列的项。
数列的一般形式可以表示为：a₁，a₂，a₃，...，aₙ，其中a₁，a₂，a₃，...，aₙ分别表示数列的每一项。
数列的规律通常可以通过找出相邻项之间的关系来确定。
解决数学问题时，首先要熟悉常见的数列类型以及它们的性质。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列以及斐波那契数列等。
等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之间的差是一个常数，而等比数列是指一个数列中的任意两个相邻项之间的比是一个常数。
掌握了这些数列类型的性质，我们就可以利用它们的特点来解决相关的数学问题。
对于等差数列，我们可以利用等差数列的通项公式来求解数学问题。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a₁表示数列的第一项，d表示公差，n表示项数。
通过使用通项公式，我们可以根据已知条件求解未知数。
对于等比数列，我们同样可以利用等比数列的通项公式来求解数学问题。
等比数列的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a₁表示数列的第一项，r表示公比，n表示项数。
通过使用通项公式，我们可以快速计算数列中的任意一项。
除了通项公式，我们还可以使用数列的性质来解决数学问题。
例如，我们可以利用数列的对称性来求解问题。
对称数列是指以某个中间项为对称轴，前后两部分是镜像关系的数列。
在解决对称数列问题时，我们可以利用这个对称性，将问题转化为已知部分和未知部分的关系，从而得到答案。
高考数学专题突破3高考数列问题的求解策略
服/务/教/师
免/费/馈/赠
高三一轮总复习· 理科数学
【典例 2】 (2015· 烟台模拟)已知各项均为正数的数列{an} 1 前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且2，an，Sn 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 1 2 an＝ bn，设
2
bn cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. an
高三一轮总复习· 理科数学
专题突破三 高考数列问题的求解策略
服/务/教/师
免/费/馈/赠
高三一轮总复习· 理科数学
类型 1 等差、等比数列的基本运算 等差、等比数列是重要的数列类型，高考命题主要考查等 差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的． 解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基 本量法，即运用条件转化成关于 a1 和 d(q)的方程(组)；②巧妙 运用等差、等比数列的性质．
[思路点拨]
(1)根据 an 与 Sn 的关系， 得到 an 与 an－1 的关系，
然后判断数列的类型求 an； (2)用错位相减法求 Tn.
服/务/教/师
免/费/馈/赠
高三一轮总复习· 理科数学
[规范解答]
1 (1)由题意知 2an＝Sn＋2，an>0，
3×2 a1＋4d＝8，S3＝3a1＋ d＝3a1＋3d＝6，即 a1＋d＝2，解得 2 a1＝0，d＝2， 所以 a9＝a1＋8d＝8×2＝16.选 C.
[答案] C
服/务/教/师
免/费/馈/赠
高三一轮总复习· 理科数学
(2)设公比为 q，则由 an＋1<an，知 0<q<1， 由 a2· a8＝6，得 a2 5＝6， 6 ∴a5＝ 6，∴a4＋a6＝ ＋ 6q＝5， q
高考数学数列问题的答题技巧
高考数学数列问题的答题技巧高中数学中大家都学习了数列这一知识点，而数列在高考中也是经常出现的考点，数列问题有哪些技巧可以又快又准地解答?店铺为您准备了一些高考数列通项、求和的答题技巧，希望对您有所帮助!高考数列通项、求和的答题技巧(1)解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
(2)构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
高考数列问题的易错点1.忽视等递推关系成立的条件，从而忽视检验前几项。
2.忽视n为正整数的默认条件，冒然求导，或利用不等式得到非整数的取等条件。
也会因此心理忽视这一个很好用的条件。
3.裂项相消忘记留下了几项。
可以先写几项验证。
4.通过方程求解的数列可能会漏下情况。
5.等比数列注意公比为1不等同于常数列(如0)。
6.下角标的不规范可能会使“-1”模棱两可，需要注意。
7.累加法或累乘法漏掉第一项。
高考数学数列知识点总结等差数列公式等差数列的`通项公式为：an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数文字翻译第n项的值=首项+(项数-1)*公差前n项的和=(首项+末项)*项数/2公差=后项-前项等比数列公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
高考数学数列题 如何灵活运用数列知识解决问题
高考数学数列题如何灵活运用数列知识解决问题数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
在高考数学中，数列题常常被出现，考察学生对数列性质的理解、数列通项的求解以及数列在实际问题中的应用能力。
本文将介绍一些灵活运用数列知识来解决高考数学数列题的方法。
一、常见数列性质的灵活应用在解决数列题时，首先要熟悉一些常见的数列性质，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
这些数列都有其独特的性质和规律，我们可以利用这些性质和规律来解决问题。
以等差数列为例，如果我们遇到一个等差数列的题目，可以利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
还可以运用等差数列的性质，如数列项之和Sn=n(a1+an)/2来求解数列的前n项和。
熟悉这些性质和公式，可以帮助我们快速解答数列题。
二、数列通项的求解技巧在解决数列题时，通项的求解是非常关键的一步。
对于一些简单的数列，可以直接通过观察找到其通项的规律。
但对于一些复杂的数列，可以通过列方程的方法来求解通项。
以等比数列为例，如果我们遇到一个等比数列的题目，则可以利用等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)来求解。
此外，还可以通过列方程，利用数列性质解方程的方法来求解通项。
例如，若已知等比数列的首项为a1，公比为r，且满足a2+a4=a5，可以列出方程a1*r+a1*r^3=a1*r^4，通过解这个方程来求解通项。
三、数列应用题的解题思路数列在实际问题中的应用非常广泛，高考中也常常会出现一些数列应用题。
解决这类题目，我们可以首先明确问题中数列的特点和条件，然后利用数列的性质和知识进行分析。
以数列应用题为例，假设某人存款的数额满足一个等差数列，前几年存的钱数依次为1000、2000、3000，且该人的存款共计5年。
现在要求第5年的存款数，请问应如何解决这个问题？我们可以首先观察题目中的数列特点，确定为等差数列，首项a1=1000，公差d=1000。
浅谈高考数列题的解题策略
浅谈高考数列题的解题策略数列是高中数学的重要内容，也是中学数学联系实际的主渠道之一.它与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，解题中可能涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法与技巧在中学数学中也有着十分重要的地位.因此，围绕数列命制的综合性较强的试题 历年来都是高考的重点和热点 .这些试题主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力.由于高考数列题常考常新,因此,探求一些常用方法与解题策略是十分重要的.本文就近年高考真题来谈谈数列题的题型与应对的解题策略，希望对同学们的解题有所帮助. 题型一 等差数列与等比数列的证明翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是否是等差（等比）数列的题目比比皆是，如何处理这些问题呢？主要有两种方法：①利用等差（等比）数列的定义；②运用等差（等比）中项的性质.例1(2015年高考（江苏）)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列. （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列？并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n kn n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列？并说明理由.分析: 在数列{}n a 中，若d a a n n =--12,(*≥∈n N n 且d 为常数）或02,(*1≠≥∈=-q n N n q a a n n，且为常数，)0≠n a ，则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数最主要的方法——定义法.（1）证明：因为)3,2,1(222211===-++n d a a a a n n nn 是同一个常数，所以43212,2,2,2aa a a 依次构成等比数列.（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+． 令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-． 显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n k n kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．点拨：本题主要考查等差、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考察代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 例2 (2005年高考（江苏）)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中B A 、为常数.（1）求A 与B 的值；（2）证明：数列{}n a 为等差数列.分析: 212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种方法．其中公式⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n 在解题中起到重要作用.解:（1）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S ,由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(2) 由（1）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n即 0))(25())(410())(25(11223=-++-+--++++++n n n n n n S S n S S n S S n 因为 n n n S S a -=++11所以 0)25()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n ，*N n ∈ 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列点拨：本题通过公式n n n S S a -=++11的使用试图将n S 的关系转化成通项之间的递推关系，学生一般做到③式时，就失去了再做下去的勇气.若再使用一次公式n n n S S a -=++11，不仅消去了常数项20-，还找到了相邻三项之间的关系，真可谓“柳暗花明”！题型二 数列的通项与求和数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考察内容.笔者分析近几年高考数学试卷数列部分的命题趋向，发现近年来这部分试题越来越灵活，不再局限于考察学生对等差、等比数列通项和求和公式的直接应用，而是将重点转移到考察学生对公式掌握的熟练程度和综合解决问题的能力.笔者认为要熟练掌握数列通项与求和就必须：①掌握常见的几种数列的求通项与求和的方法；②强化“化生为熟，化繁为简”的解题意识. 例3 （2012年高考（江西文））已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-(其中k c ,为常数),且3628,4a a a ==.(Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n T .分析:第（Ⅰ）问中，借助公式)2(1≥-=-n S S a n n n 进行转换，明确通项公式，然后借助两个已知条件求解，注意对1=n 进行验证；第（Ⅱ）问中，根据通项公式结构的特点：一个等差数列与一个等比数列的乘积，故采用错位相减法求解. 解:( Ⅰ)当1n >时,11()n n n n n a S S k c c --=-=-则 656()a k c c =-,323()a k c c =-65363238a c c c a c c-===-,∴2=c . ∵42=a ,即21()4k c c -=,解得2=k ,∴2n n a =)1(>n ,当1=n 时,112a S == , 综上所述*2()n n a n N =∈ . (Ⅱ)n n n na 2⋅=,则n n n T 22322232⋅++⨯+⨯+= (1) =n T 2 13222)1(2221+⋅+⋅-++⨯+⨯n n n n (2)(1)-(2)得23122222n n n T n +-=++++-解得：12)1(2+⋅-+=n n n T点拨：本题主要考察等差数列的通项公式和前n 项和等基础知识，意在考察学生运算能力和分析问题、解决问题的能力. 求数列通项的常用方法有：①定义法；②累差法；③累乘法；④构造法；⑤归纳、猜想法等.数列前n 项和常用求法有：①公式法；②错位相减法；③裂项相消法；④倒序相加法；⑤并项求和法；⑥分组求和法等.在解题过程中，要视具体情形选用合适的方法，这里不再一一举例.题型三 数列与不等式的综合数列与不等式的综合题主要以压轴题的形式出现，除了涉及数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系，还涉及到函数与导数、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求等问题.主要用于考查学生对知识的灵活变通能力、融合与迁移能力，考查数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．例4（2006年高考（湖北理））已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n)(*N n ∈均在函数)(x f y =的图像上．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m . 分析：第（1）问中由⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n 可求得n a ;第（2）问可利用裂项相消的方法求和, 不等式的恒成立问题可转化为最值问题求解.解：（1）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，则b ax x f +=2)('，又由26)('-=x x f 得3=a ,2-=b ,∴x x x f 23)(2-=，所以n n S n 232-=，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a 56-=n ，当1=n 时，51611213211-⨯==⨯-⨯==S a 也符合上式，∴)(56*N n n a n ∈-=． （2）由（1）得)161561(21)16)(56(331+--=+-==+n n n n a a b n n n ，∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni in ， 因此，要求使)(20)1611(21*N n mn ∈<+-成立的最小正整数m ，只要求得)1611(21+-n 的最大项，由于)1611(21+-n 随着n 的增大而增大，故当+∞→n 时，21)1611(21→+-n ，故令21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.点拨：恒成立问题的处理方法有分离参数、数形结合、分类讨论等.由于数列是特殊的函数，因此在遇到数列中的不等式恒成立问题，也可以采取类似的方法去处理.题型四 数列推理问题在高考中，还有一类数列问题经常用数表或图形给出，或者根据新信息解题，这对考察学生的创新能力提出了较高的要求.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理. 例5（2011陕西理） 观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .分析:把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -，等式右边都是完全平方数. 解：行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… …… 所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=- ， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-点拨：归纳总结时，看等号左边的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．题型五 数列应用问题数列作为特殊的函数，涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷，生产产品的增长率，分期付款等问题，运用数列知识解决实际应用问题时，应在认真审题的基础上，认准问题的哪一部分是数列问题？是哪种数列（等差数列、等比数列）的问题？在n n S a n q d a ,,),(,或中哪些量是已知的，哪些量是待求的？特别要认准项数n 为多少.总之，充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出等差（比）数列、递推数列的模型，再综合运用其它相关知识来解决问题.例6 （2011年高考（湖南文））某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的%75．（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（II ）设12,nn a a a A n+++=若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．分析：构造等差、等比数列的模型，然后利用数列的通项公式和求和公式进行求解. 注意求数列的和时要分类讨论，求范围时要借助数列的单调性.解：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． n n a n 10130)1(10120-=--=，当7≥n 时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a =，所以 6)43(70-⨯=n n a ，因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∈≤-=-*6*,7,4370,6,10130Nn n N n n n a n n (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时，668764321078043144370570)(--⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+=++++=n n n n a a a S S ， nA n n 6)43(210780-⨯-=. 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．点拨：在将实际问题转化为数列问题时，要注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求n n S a ,，还是求n .例7 （2012年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了%50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.(Ⅰ)用d 表示21,a a ,并写出1n a +与n a 的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过)3(≥m m 年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).分析：第(Ⅰ)问建立数学模型,得出1n a +与n a 的关系式132n n a a d +=-,第(Ⅱ)问,只要把第一问中的132n n a a d +=-迭代,即可以解决. 解：(Ⅰ)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,2113(150%)2a a d a d =+-=-d 254500-=，13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=-- =12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意,134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)232()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.点拨：本题考查递推数列在实际问题中的应用,考查学生运算能力和使用数列知识分析、解决实际问题的能力.。
高考数列题型及解题方法
高考数列题型主要分为以下几类：1. 等差数列和等比数列：这类题目主要考察对等差数列和等比数列的性质、通项公式、求和公式等基本知识的掌握。
2. 通项公式的求解：这类题目要求求解数列的通项公式，通常可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用已知条件来推导。
3. 求和公式的应用：这类题目要求计算数列的和，包括等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列的和。
4. 数列的极限：这类题目考察数列极限的概念，包括求解数列的极限、判断数列的收敛或发散等。
5. 不完全归纳法：这类题目要求通过观察数列的前几项来猜测数列的规律，并用不完全归纳法进行证明。
解题方法：1. 熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式。
2. 学会观察数列的规律，找到数列之间的关系。
3. 熟练运用递推关系求解数列的通项公式。
4. 利用已知条件求解数列的通项公式或求和。
5. 掌握不完全归纳法的解题方法，通过观察数列的前几项来猜测数列的规律，并进行证明。
案例：1. 等差数列题目：已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1=1，求a10。
解：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件，得到a10=1+(10-1)×2=19。
2. 通项公式题目：已知数列{an}满足an=2an-1+1，a1=1，求an。
解：根据递推关系，得到an+1=2(an-1+1)，即an+1=2an，所以数列{an}是公比为2的等比数列。
因此，an=2^(n-1)。
3. 求和公式题目：求等差数列1，4，7，10，...的前n项和。
解：根据等差数列求和公式Sn=n/2×(a1+an)，代入已知条件，得到Sn=n/2×(1+3n/2)=3n^2/4+n/4。
通过对高考数列题型的分类和解题方法的总结，可以更好地应对高考数列题目，提高解题能力。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。
本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。
一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。
然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。
常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。
2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。
首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。
3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。
需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。
二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。
解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。
通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。
2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。
通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。
3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。
4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。
通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。
5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：专题突破 高考数列问题的求解策略(共22张PPT)
所以{a }的通项公式 a ＝2·2 ＝2 . 将以上n－1个等式等号两端分别相加得
设设{{aann}}是是公公比比为为正正数数的的等等比比数数列列，，aan11＝＝22，，aa33＝＝aa22＋＋44..
n－1 n n
(2)S ＝(a ＋b )＋(a ＋b )＋…＋(a ＋b ) 2．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题
an－1an m－2 005 若 Sn＜ 2 对一切 n∈N*成立，求最小正整数 m.
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
【思路点拨】 (1)由已知得an＋1与an的关系从而获解；
(2)利用等差数列的性质及裂项相消去求解第(2)、(3)问．
【规范解答】 (1)∵an＋1＝f(a1n)＝2＋33an＝an＋23， ∴{an}是以23为公差的等差数列． (又2)Ta1n＝＝1a，1a2∴－aan2＝a323＋na＋3a134.－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n（53＋423n＋13） ＝－49(2n2＋3n)．
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
(2)设{bn}的公比为 q，∵b1＋b2＝3，b4＋b5＝24， ∴bb14＋＋bb25＝q3＝8，则 q＝2. 从而 b1＋b2＝b1(1＋q)＝3b1＝3， ∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1. ∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－1， 则 2Tn＝ 1×2＋ 3×22 ＋ … ＋ (2n － 3)·2n－ 1 ＋ (2n － 1)·2n，两式相减，得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋ 2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n， ∴－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n ＝(3－2n)·2n－3. ∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.
高考数列求解技巧
高考数列求解技巧高考数列题目在高中数学中占据很大的比例，掌握解题技巧对于提高解题速度和准确性非常重要。
下面介绍一些高考数列题目的求解技巧：1. 常见数列类型：高考中常见的数列类型有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
了解不同数列类型的性质和特点，对于解答题目非常有帮助。
2. 等差数列的求解技巧：对于等差数列，常见的求解技巧有：- 求公差：通过已知条件求出公差，进而推算出数列中任意一项。
- 求和公式：利用等差数列的求和公式，可以快速求解数列的和。
- 求项数：已知数列的首项、末项和公差，可以通过求解项数的方程得出项数。
3. 等比数列的求解技巧：对于等比数列，常见的求解技巧有：- 求公比：通过已知条件求出公比，进而推算出数列中任意一项。
- 求和公式：利用等比数列的求和公式，可以快速求解数列的和。
- 求项数：已知数列的首项、末项和公比，可以通过求解项数的方程得出项数。
4. 数列的递推关系：数列题目中经常会给出递推公式，通过利用递推关系可以求解数列中的任意一项。
递推关系的求解方法有： - 利用前后项之间的关系求解。
有时候可以通过前一项和后一项的关系，得出递推公式。
- 利用首项和递推步长求解。
有时候可以通过知道数列的首项和递推步长，推算出递推公式。
5. 数列的性质和特点：不同类型的数列有其特点和性质，通过了解数列的性质和特点，可以更加快速地解决题目。
例如：- 等差数列：相邻项之间的差值是常数。
- 等比数列：相邻项之间的比值是常数。
- 斐波那契数列：每一项等于其前两项之和。
6. 选项中的数列特征：在选择题中，有时候题目给出一系列数列，并要求选择符合某种特征的数列。
这时候可以通过观察选项中数列的特征，判断是否符合题目要求。
7. 尝试常用的数列运算技巧：在解题过程中，可以尝试一些常用的数列运算技巧，例如：- 差分法：将数列中的一项与前一项的差值构成一个新的数列，可以通过观察差分后的数列特点来求解题目。
- 通项归纳法：通过观察数列的通项公式，利用归纳和推理来求解题目。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋ 4. (1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求{an＋bn}
的前n项和． 【思路点拨】 (1)先求{an}的公比q，再求an ；(2)运用
等比(差)数列的求和公式代入计算．
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
【思路点拨】
(1)由条件，寻找an与an＋1的关系，转化 (1)∵点P(an ，an＋1)在直线x－y＋1＝0
为特殊数列，求an；(2)利用函数与方程思想，探求g(n)． 【规范解答】 上，
∴an＋1＝an＋1，且a1＝1，
则数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列， an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
2 1 n－1 2 (3)证明 由(2)可知 bn＝ ·( ) ＝ n. 3 3 3 2 ∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n， 3 2 2 ∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 3 3 2 2 ＝ n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝ n＋1(－2n－1)＜0， 3 3 ∴cn＋1＜cn.
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
1 1 1 1 (2)由 bn＝ ，可得 Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ， n 2 3 n 1 ∴Sn－Sn－1＝ (n≥2，n∈N*)， n 则 nSn－(n－1)Sn－1＝1＋Sn－1， ∴(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝1＋Sn－2， … … 2S2－S1＝1＋S1， 将以上 n－1 个等式等号两端分别相加得 nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＋(n－1)(n≥2)， 则 S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2.
∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36，则a2＋a5＝12，
由于a2＝3，所以a5＝9，
从而d＝2，a1＝a2－d＝1，
∴an＝2n－1.
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
(2)设{bn}的公比为 q，∵b1＋b2＝3，b4＋b5＝24， b4＋b5 ∴ ＝q3＝8，则 q＝2. b1＋b2 从而 b1＋b2＝b1(1＋q)＝3b1＝3， － ∴b1＝1，bn＝2n 1， ∴an·bn＝(2n－1)·n－1. 2
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
9n 9 1 9n 9 ＝ (1－ )递增，且 ＜ . 2n＋1 2 2n＋1 2n＋1 2 m－2 005 9 ∴ ≥ ，即 m≥2 014. 2 2 ∴最小正整数 m＝2 014.
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
【反思启迪】 的单调性．
1.本题中在求最小正整数m的值时，把
an＋2 即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴ ＝2. an－1＋2
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
∴{an＋2}是以 a1＋2 为首项，以 2 为公比的等比数列． ∴an＋2＝4·n－1，∴an＝2n＋1－2. 2 (2)由 bn＝log2(an＋2)＝log22 n＋1 2 3 则 Tn＝ 2＋ 3＋…＋ n＋1 ， 2 2 2 n＋1 1 2 n T ＝ ＋…＋ n＋1＋ n＋2 . 2 n 23 2 2
即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n
＝(3－2n)·2n－3.
∴Tn＝(2n－3)·n＋3. 2
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
数列与函数、不等式的综合问题是近年高考的热点，常 涉及数列的通项与前n项和问题，对于这种问题，在解答时 需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解 决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问 题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力 以及转化化归的思想和数学素养．
令 g(n)＝n， 所以， 存在关于 n 的关系式 g(n)＝n， 使得 S1＋S2＋S3＋…＋ Sn－1＝(Sn－1)· g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立．
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
【反思启迪】 1.点列问题常与函数图象、几何曲线、 向量交汇，求解的关键是理解掌握其中的知识联系与相互之 1 间的转化，本题突破的难点是 Sn－Sn－1＝ 向 nSn－(n－1)Sn n －1＝1＋Sn－ 1 的变形，为迭加创造条件．
2 ∴{an}是以 为公差的等差数列． 3 2 1 又 a1＝1，∴an＝ n＋ . 3 3
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) 4 ＝－ (a2＋a4＋…＋a2n) 3 5 4n 1 n（ ＋ ＋ ） 3 3 3 4 4 2 ＝－ · ＝－ (2n ＋3n)． 3 2 9
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
等差、等比数列是重要的数列类型，高考命题主要考查 等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一
些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目
的． 解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：① 基本量法，即运用条件转化成关于a1 和d(q)的方程(组)；② 巧妙运用等差、等比数列的性质．
【反思启迪】
本小题主要考查等差(比)数列的通项公
式，前n项和公式，解题的突破口是运用方程思想求公比q.
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24. 设数列{an·n}的前n项和为Tn，求Tn. b 【解】 (1)∵数列{an}是等差数列，
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
n＋1 1 2 1 1 1 ③－④，得 Tn＝ 2＋ 3＋ 4＋…＋ n＋1－ n＋2 2 2 2 2 2 2 1 1 （1－ n） n＋1 n＋1 2 1 4 1 1 1 ＝ ＋ － n＋2 ＝ ＋ － n＋1－ n＋2 4 1 4 2 2 2 2 1－ 2 3 n＋3 ＝ － n＋2 ， 4 2 3 n＋3 3 所以Tn＝ － n＋1 ＜ . 2 2 2
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an. (1)证明：数列{an＋2}bn＝log2(an＋2)，设Tn是数列{ } an＋2 3 的前n项和，求证：Tn＜ . 2 【证明】 (1)由Sn＋2n＝2an，得Sn＝2an－2n，① 当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2， 当n≥2，n∈N*时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)．② ①－②，得an＝2an－2an－1－2，
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
【规范解答】 (1)设{an}的公比为 q，且 q＞0， 由 a1＝2，a3＝a2＋4， ∴2q2＝2q＋4，即 q2－q－2＝0， 又 q＞0，解之得 q＝2. － 所以{an}的通项公式 an＝2·n 1＝2n. 2 (2)Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) 2（1－2n） n（n－1） ＝ ＋n×1＋ ×2＝2n＋1＋n2－2. 2 1－2
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
2x＋3 已知函数 f(x)＝ ，数列{an}满足 a1＝1，an＋ 1＝ 3x 1 f( )，n∈N*. an (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求 Tn； (3)令 bn＝ 1 an－ 1an (n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
一般地，平面图形中的点列问题都可化为由其横(纵)坐
标构成的数列问题来解决．通过递推关系，研究点列坐标的 有关性质，这是数列与解析几何的有机结合，是高考热点之 一．
(2013· 济南调研)已知数列{an}中，a1＝1， 且点 P(an， an＋ 1)(n∈N*)在直线 x－y＋1＝0 上． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，Sn 表示数列{bn}的前 n 项和，试问：是否 an 存在关于 n 的关系式 g(n)，使得 S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn －1)· g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在， 写出 g(n)的解析式．并加以证明；若不存在，试说明理由．
m－2 005 若 Sn＜ 对一切 n∈N*成立，求最小正整数 m. 2
【思路点拨】
(1)由已知得an＋1与an的关系从而获解；
(2)利用等差数列的性质及裂项相消去求解第(2)、(3)
问．
菜 单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
【规范解答】
2＋3an 1 2 (1)∵an＋1＝f( )＝ ＝an＋ ， an 3 3
2．解决此类问题首先要从试题中抽取数据，并建立起
数列模型(一般是等差、等比等方便处理的数列模型)，进而
套用数列通项和求和公式处理问题，最后要结合实际情况给 出说明．
菜
单
新课标 ·文科数学（ 安徽专用）
在正项数列{an}中，a1＝2，点 An( an， an＋1)在双曲线 1 y －x ＝1 上， 数列{bn}中， 点(bn， n)在直线 y＝－ x＋1 上， T 2 其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若 cn＝an·bn，求证：cn＋1＜cn.
∴Tn ＝1×1＋3×2＋5×22 ＋…＋(2n－3)·2n － 2 ＋(2n－ 1)·2n－1，