[学习]二次函数与一元二次方程的关系
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
22.2.1二次函数与一元二次方程的关系
主备:丁玉波审核:姜瑞凤时间: 编号:2209课题22.2.1二次函数与一元二次方程的关系课型自学互学展示课学习目标1、知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.重点二次函数与一元二次方程的关系难点二次函数与一元二次方程的关系一、前置作业问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行______s;（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行______s;（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？二、学一学观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝____0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△______0．三、理一理（1）．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程______________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数的函数值为3的自变量x的值．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；小结：一般地，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y ＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．（2）．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：①当△＝b2－4ac＞0时________________;②当△＝b2－4ac＝0时________________;③当△＝b2－4ac＜0时________________;三、尝试应用1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝____；当y＝0时，x＝_____．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝_____时，y ＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________4．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________。
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数的平移只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。
将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减1.抛物线y= －32x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
2.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
4.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
5.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.函数的交点1. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。
2. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。
二次函数与方程、不等式的关系1如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）2.二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3.抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点4.如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15.已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m 的值为( )A.－2B.12C.24D.48 6.若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是7.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .8.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；9.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A.0,0>∆>aB.0,0<∆>aC.0,0>∆<aD.0,0<∆<a2510.若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ） A.x ＝－3 B.x ＝－2 C.x ＝－1 D.x ＝111.已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系一、概述二次函数和一元二次方程是数学中常见且密切相关的概念。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的紧密联系，揭示二者的数学性质和应用领域。
二、二次函数首先，我们先来了解二次函数的基本定义和特点。
二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，x为自变量，f(x)为因变量。
1. 对称性：二次函数的图像是以抛物线为特征的。
具体而言，当a > 0时，抛物线开口朝上，称为“上凸”；当a < 0时，抛物线开口朝下，称为“下凸”。
二次函数的抛物线通过其顶点，具有对称性。
2. 零点与轴交点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，通常表示为x₁、x₂。
零点对应于函数图像与x轴的交点，其y坐标为0。
零点与轴交点也是二次函数的重要特征。
3. 导数与凹凸性：二次函数的导数为二次函数的斜率，通过导数的正负可以判断函数的增减性。
二次函数的凹凸性由它的二阶导数决定，即通过二阶导数的正负可以判断函数的凹凸方向。
三、一元二次方程接下来，我们来了解一元二次方程的定义和性质。
一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
一元二次方程的解将给出二次函数和坐标轴的交点。
1. 解的判别式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中Δ = b² -4ac被称为判别式。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
2. 方程的应用：一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用。
例如，抛体运动、抛物线轨迹、规律推理等都可以通过建立一元二次方程来进行数学建模和求解。
四、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的联系和对应关系。
通过对二次函数的分析和图像的观察，我们可以将二次函数与一元二次方程进行对应，从而推导出它们之间的关系。
二次函数一元二次方程
②
由①②消去y得S 3x2 5x
当x
5 2 ´（
3）
5 6
时，S
最大
3（´ 5）2 6
5´
5 6
米 25（ 2）
12
答：略。
讨 ●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 论 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿(0＿,2＿) ,与x轴交
于点＿(1＿,0＿) (2,0＿) .
K≠0 5图.如象图知,,抛关物于线x的y=方ax程2+abxx2++bcx的+对c=称0的b轴2两-是4个a直c根线≥分0x别=-是1,由
x1=1.3 ,x2=＿-＿3.3＿
6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
（2）请求出球飞行
的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞 行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
作业
课本：p56-57页 复习巩固
选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面 的高度为2.25米，请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系
(1) y=x2-x;
(2) y=-x2+6x-9;
(3) y=3x2+6x+11.
例3.求下列二次函数的对称轴：
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标是(-7，0)、(-3，0)；
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 点 (2，5)、(4，5)；
例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2. (1)判断此抛物线与x轴有无交 点；
(2)当抛物线的顶点到x轴的距 离为1.25时，求函数解析式.
例7.已知下表.
(1)求a,b,c的值,并在表内空格处填入 正确的数.
(②2)画请你出根函据数上y=面a的x2结+b果x判+c断的: 图象,由 ①图aa实x是象x2数2+否+确b值b存xx定;++在若cc,当实不的>0x数存值?取x在为,什使，0?么二请若实次说存三数明在项值理,求式由时出.,这个
x
0
ax2
ax2+bx+c 3
1
2
1
3
例8.已知二次函数 y=2x2-4x-6. (1)求它的图象与x轴的交点; (2)X为何值时,y>0?
例9.已知函数y=x2+4x+3,请先画 出这个函数的图象,再观察图象, 回答下列问题.
(1)当x在什么范围内取值时,函数 的图象都在x轴的下方?
(2)当x在什么范围内取值时,函数 值y随x的增大而减小?
二次函数
一、二次函数与一元二次方程的关系
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关 系：
九年级数学二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c的图象 方程ax2+bx+c=0的
和x轴交点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点
方程有两个不相等 的实数根
b2-4ac > 0
y .o . x
y
只有一个交点
方程有两个相等 的实数根
b2-4ac = 0
o
x
没有交点
y
方程没有实数根 b2-4ac < 0 o
x
中考链接： （2009肇庆市）已知一元二次方程x²+px+q+1=0=的一根为 2．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△ ＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
探究点三：二次函数图像与系数之间的关系
方程可以看成是对于二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）， 当y=0时，函数即可化为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，这 时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标
y=ax2+bx+c的 方程ax2+bx+c=0
图象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
只有一个
交点
方程有两个 不相等的实 数根 方程有两个 相等的实数 根
图象与x轴有两个交点；
（2）△＝b2-4ac=62-4×(-1) ×(-9）=0，函 数的图象与x轴有一个交点； （3）△=b2-4ac=62-4×3×11=-96＜0，函 数的图象与x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
43.二次函数与一元二次方程的关系(一)
问题探究
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取常数（定值）时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程联系密切 已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二 次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值 为0，求自变量x的值． 既然联系密切，我们可以运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论 一元二次方程ax2+bx+c=0
0个 1个
2个 y = x2－x＋1
3
-2, 1
y = x2＋x－2
1
知识梳理
以上是运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象
与x轴的位置关系.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与 一元ห้องสมุดไป่ตู้次方程ax2+bx+c=0根的关系
问题2.下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是 多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一 元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表 二次函数 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标 当x取公共点横坐标 相应的一元二次方 程的根 时，函数值是多少？ x2-x+1=0没有实数根 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 0 y = x2－6x＋9
二次函数与一元二次方程的关系课件
二次函数的对称性
二次函数的对称性是指二次函数图像关于某条直线对称的性 质。对于一般的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称 轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有 重要意义。例如，在解决几何问题时，可以利用二次函数的 对称性找到对称点或对称线。
一元二次方程的定义
总结词
只含有一个未知数且未知数的最高次 数为2的方程
详细描述
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a neq 0$。它是 一个方程，包含一个未知数$x$，且 $x$的最高次数为2。
二次函数与一元二次方程的关系
总结词：转化关系
详细描述：对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，如果我们将它等于0，即$ax^2 + bx + c = 0$，那么它就转化为 一元二次方程。此时，函数的图像与x轴的交点即为方程的根。
04
二次函数与一元二次方 程的解题技巧
如何解一元二次方程
因式分解法
如果一元二次方程可以写成两 个一次因式的乘积等于零的形 式，则可以通过因式分解法求
解。
配方法
将一元二次方程转化为一个完 全平方等于一个常数加一个线 性项的形式，然后求解。
公式法
对于一般形式的一元二次方程 ，可以使用求根公式求解。
十字相乘法
递增。
04
当 $a > 0$ 时，函数在区间 $(-infty, -frac{b}{2a}]$ 上单调递增，在区间 $[-frac{b}{2a}, +infty)$ 上单调 递减。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关联。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指具有一元二次项的函数，通常表示为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点：二次函数的零点是函数图像上与x轴交点的x值。
通过求解f(x) = 0的一元二次方程，可以找到二次函数的零点。
2. 领域：二次函数的定义域是所有实数，范围则由抛物线的开口方向和顶点的纵坐标决定。
3. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，恒过于顶点，可由方程x = -b/2a求得。
4. 函数值：给定x的值，可以通过代入函数表达式计算得到对应的y值。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
1. 解的个数：一元二次方程的解的个数可能为0、1或2个，具体取决于方程的判别式Δ的值。
若Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；若Δ < 0，则方程无实数解，只有复数解。
2. 解的性质：一元二次方程的解对应于二次函数的零点，也就是函数图像与x轴的交点。
三、二次函数和一元二次方程之间存在着密切的联系。
具体来说，可以通过以下几点来说明它们的关系：1. 零点与方程的根：二次函数的零点对应于一元二次方程的根。
当二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点为x1和x2时，对应的一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，并且方程的解为x1和x2。
2. 方程与函数图像的交点：一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点。
如果一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个实根x1和x2，那么二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像将与x轴相交于点(x1,0)和(x2,0)。
二次函数与一元二次方程的关系
解：（1）-1 x 3．
（2）设y=x2 -1，则y是x的二次函数．
a=1 0,抛物线开口向上．
又 当y=0时，x2 -1=0，
∴
＞0
∴△＞0，
∴无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
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能力提升
5.已知二次函数 y kx2 6x 7 的图像与X轴
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有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
课后练习
1.已知抛物线y x2 6x a与x轴有两个交点,则a的取值范围是多少? 2.已知抛物线y=x2 px q与x轴的两个交点为(2, 0), (3, 0),则p、q的 值分别是多少? 3.已知二次函数y x2 kx k 2. (1)判别上述抛物线与x轴的交点情况; (2)设抛物线与x轴交点之间的距离为2 5,求k的值. 4.设二次函数的图象与x轴交于A, B两点,与y轴交点点C,线段OA与OB 的长的积等于60(点O是坐标原点), 求m的值.
解得x =-1,x =1．
1
2
由此得抛物线的大致图象如图所示:
观察函数图象可知：
当x -1或x 1时，