福建省莆田市2012届高三毕业班教学质量检试题(2012莆田质检)数学理

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2012年福建省高三质检文科数学试卷及答案

2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．1A 25A ．45B ． 45- C ． 35D ． 35-3．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是A ． a b c <<B ． c a b <<C ． c b a <<D ． b c a <<4．在空间中，下列命题正确的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．垂直于同一平面的两条直线平行C ．平行于同一直线的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是6A7A89C ． )62sin()(π+=x x fD ． x x f 2sin )(=10．已知)2,0(),0,2(B A -, 点M 是圆2220x y x +-=上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是 A ．1- B ． C 1+ D ．11．一只蚂蚁从正方体1111ABC D A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是12f 13141516③*M P ⋂=∅．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 的公差为2-，且134,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(*)(12)n n b n n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． (本小题满分12分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻1912分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A B A B +--=-;(Ⅱ)若A B C ∆的三个内角,,A B C 满足2cos 2cos 22sin A B C -=,试判断A B C ∆的形状． (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20． (本小题满分12分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(21222012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法1712 ((Ⅱ)由(Ⅰ)可得(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++，……………………………8分所以12n n S b b b =++⋅⋅⋅+11111(1)()()2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++． ……………12分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，C D BD ⊥ ∴CD A BD '⊥平面， ……………………………2分又∵AB A BD '⊂平面，∴C D A B '⊥． ……………………………4分解法一：(Ⅰ)因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， ① c o s ()c o sc o ss i n αβαβαβ-=+， ②………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③……………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==，代入③得cos cos 2sinsin22A B A B A B +--=-. …………………6分(Ⅱ)由二倍角公式,2cos 2cos 22sin A B C -=可化为22212s i n 12s i n 2s i nA B C --+=,……………………………8分20(75,100)内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． ……………………4分其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． …………6分所以所求的概率63105P ==． ……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……………………………………………10分因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环21F 由①，②得222216166y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以4222222560y y -+=． ③ 因为2(22)42565400∆=--⨯=-<．所以方程③无解，从而A B C ∆不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=，得1233x x x ++=，1230y y y ++=．……………………………6分由条件的对称性，欲证A B C ∆不是直角三角形，只需证明90A ∠≠ ．(1)当A B x ⊥轴时，12x x =，12y y =-，从而3132x x =-，30y =，数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，所以'()2a f x x x=+，函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+．由210a +=得：8a =． …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+．因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x =-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一(,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增．又()0h t =，所以当4(,)x t t ∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． ………………… 13分（3）当4t t<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t上单调递减．所以()h x 在()0,+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。

福建省普通2012年高中毕业班质量检查(二)数学(理)试题(无答案)

2012年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学（二）本试卷分第I 卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题),满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

复数21i+等于 A 。

1-i B. 1+i C. —i D 。

i 2. 设函数,0,(),0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩若()(1)2f a f +-=，则a 等于A ．– 3B ． 3C ．– 1D ．13. 给出如下几个结论:①命题,sin cos 2x x x ∃∈+=R 的否定是,sin cos 2x x x ∃∈+≠R ； ②命题1,sin 2sin x x x∀∈+≥R 的否定是1,sin 2sin x x x∃∈+<R ;③对于1(0,),tan 22tan x x xπ∀∈+≥;④,sin cos 2x x x ∃∈+=R . 其中正确结论的个数有A1 B ．2C ．3D ．44。

右图是2011年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和中位数分别为A 。

84，84B 。

84，86C 。

85,84D 。

85，865. 从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动,若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种6。

已知1tan()42πα+=,且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A.55- B 。

1010-C.31010-D 。

255- 7。

已知直线2201x y a xy -+=+=与圆交于A 、B 两点，且向量,OA OB 满足||||OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点,则实数a 的值为A ．1B ．0C ．1±D ．-18。

2012福建高考数学理科试题及答案

环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( ) A ．x 0∈R ，0e0x ≤B ．x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ．5B ．42C ．3D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1，3］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2轿车数量(辆)2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e x ，a ∈R ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；(2)试确定a 的取值范围，使得曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵 0 1a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭A (a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y 2＝1．①求实数a ，b 的值； ②求A 2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，23π,32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为22cos ,32sin x y θθ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩(θ为参数)． ①设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；②判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］． ①求m 的值； ②若a ，b ，c ∈R ＋，且11123m a b c++=，求证：a ＋2b ＋3c ≥9．22．(文)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在［0，π2］上的最大值为π32-． (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．答案1． A 由z i ＝1－i ，得221i (1i)i i i i+11i i i 11z ---=====----． 2． B ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5．故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2．3． D ∵a ＞1＞0，b ＞1＞0，∴由不等式的性质得ab ＞1，即a ＞1，b ＞1⇒ab ＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x 2＋1≥2|x |⇔x 2－2|x |＋1≥0，∴当x ≥0时，x 2－2|x |＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立；当x ＜0时，x 2－2|x |＋1＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0成立．故x 2＋1≥2|x |(x ∈R )一定成立．6． C ∵由图象知阴影部分的面积是31220121211()d ()032326x x x x x -=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，5b =．因此该双曲线的渐近线的方程为52y x =±，即520x y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d ==+． 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图 1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x2－2|＝222,12,2,23x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩不具有性质P (如图3)．故②错．图2图3 ③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］．又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确． 11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C r a r x4－r，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：24-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，则其余两边长为2a ，2a ，故最大角的余弦值是22222(2)(2)2cos 42222a a a a a a aθ+--===-⋅⋅． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：(1316-，0) 解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是31184mx -+=．故123(118)4m m x x x -+=．设h (m )＝m (1－18m +)，∵h ′(m )＝(1－18m +)＋［m (18218m-+)］＝4118018mm m-+-<+，∴函数h (m )单调递减．故x 1x 2x 3的取值范围为(1316-，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1的分布列为X 1 123P125350 910X 2的分布列为X 2 1.82.9P110910(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a －az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则1212·2cos ||||214a aAD AD aa θ--==++n n ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos30°，即233225214a a =+，解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2．又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1．所以223b a c =-=．故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m)．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k kx x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)k m＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，3m =，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )，从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=，故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a＝0，即f(x)＝e x－e x．此时f′(x)＝e x－e，由f′(x)＝0得x＝1．当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝ 1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． (2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为33y x =．②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为33230x y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，3-)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离|233323|3239d r --==<+，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1．②由①知111123a b c++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c++) ≥2111(23)923a b c a b c⋅+⋅+⋅＝．。

福建省莆田市2012届高三历史毕业班教学质量检查试题(2012莆田质检)

莆田市2012年高中毕业班教学质量检查历史试题（满分：100分考试时间：90分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至10页。

第Ⅰ卷（选择题共48分）本卷有24小题，每小题2分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．福建莆田是妈祖的故乡。

《圣墩祖庙重建顺济庙记》记载：“神有德于民，有功于国”，“神居其邦，功德显在人耳目”。

在重建庙宇时将妈祖神像迁入正殿之中，而以原来居中、居左的神像陪祀于左、右，“以正序位”。

以上资料不可以用来研究（）A．民间信俗 B．等级制度 C．分封制度 D．乡土历史2．“聪明才智人士为了从这一条窄窄缝隙进入政府，不得不把全部生命消磨在《九经》的九本儒书之中，再也没有精力谋革命了。

”材料主要反映了科举制度的实行有利于（）A．提高政府行政效率 B．扩大统治阶级基础C．提高官员文化素质 D．稳定社会统治秩序3．《旧唐书•郑注传》记载：“上（文宗）访以富人之术，（郑注）乃以榷茶（茶叶专卖制度）为对。

其法，欲以江湖百姓茶园，官自造作，量给值分，命使者主之。

”材料直接反映了（）A．唐朝粮食产量大幅度增加 B．封建官府与百姓争夺茶利C．唐朝已放弃重农抑商政策 D．唐朝君主专制的空前强化4．下列选项中，反映南宋手工业状况的是（）A．采用焦炭冶铁 B．广泛使用脚踏三锭纺车C．进入彩瓷生产时期 D．养蚕缫丝技术开始西传5．元代周达观《真腊风土记》载：自温州开洋，行丁未针，历闽、广海外诸州港口，过七洲洋，经交趾洋到占城。

又自占城顺风可半月到真蒲……又自真蒲行坤申针，过昆仑洋入港。

材料中所提及的仪器起源于（）A．战国 B．西汉 C．宋代 D．元代6．福建在秦朝和元朝分别由闽中郡和江浙行省管辖。

下列说法正确的有（）①两者的设置都有利于加强中央集权②两者的最高行政长官都不能世袭③两者的设置都受到董仲舒“大一统”思想的影响④福建行政区划的变化反映了商品经济的发展A．①② B．①③ C．②④D．②③7．某个时期，许多出版商除原有业务外，也大量刊印带有木刻版画插图的雅俗共赏文学读物。

2012年莆田高中毕业班教学质量检查

2012年莆田市高中毕业班教学质量检查英语试题听力部分录音稿这是2012年莆田市高中毕业班教学质量检查英语试题听力部分。

该部分分为第一、二两节。

注意：回答听力部分时，请先将答案标在试卷上。

听力部分结束前，你将有两分钟的时间将你的答案转涂到客观题答题卡上。

停顿00′10″现在是听力试音时间。

M：Hello. International Friends Club. Can I help you?W：Oh, hello. I read about your club in the paper today and I thought I’d phone to find out a bit more.M：Yes, certainly. Well, we’re a sort of social club for people from different countries. It’s quite a new club —we have about 50 members at the moment, but we’re growing all the time.W：That sounds interesting. I’m British actually, and I came to Washington about three months ago.I’m looking for ways to meet people. Er…what kinds of events do you organize?M：Well, we have social get-togethers, and sports events, and we also have language evenings. W：Could you tell me something about the language evenings?M：Yes. Every day except Thursday we have a language evening. People can come and practise their languages —you know, over a drink or something. We have different languages on different evenings. Monday —Spanish; Tuesday —Italian; Wednesday —German; and Friday — French. On Thursday we usually have a meal in a restaurant for anyone who wants to come.W：Well, that sounds great. I really need to practise my French.M：OK. Well, if you can just give me your name and address, I’ll send you the form and some more information. If you join now you can have the first month free.试音到此结束。

福建省高中毕业班质量检查文科数学试题及答案

2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面上，复数()1i i z =+的共轭复数的对应点所在的象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α是第四象限角,且3cos 5α=，则sin α等于A ．45 B ． 45- C ． 35 D ． 35- 3．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是A ． a b c <<B ． c a b <<C ． c b a <<D ． b c a <<4．在空间中，下列命题正确的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．垂直于同一平面的两条直线平行C ．平行于同一直线的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定 6．已知函数2log ,0,()31,0,xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是A ．10B ．109C ．-2D ． -57．已知{}0232<+-=x x x A ,{}a x x B <<=1,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是A ．()1,2B ．](1,2 C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 8．如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A ．2012≤iB ．2012i >C ．1006≤iD ．1006>i ． 9．函数)3sin()(πω+=x x f (0>ω)的图象的相邻两条对称轴间的距离是2π．若将函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的解析式为 A ． )64sin()(π+=x x f B ． )34sin()(π-=x x fC ． )62sin()(π+=x x fD ． x x f 2sin )(=10．已知)2,0(),0,2(B A -, 点M 是圆2220x y x +-=上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是 A ．321- B ．322C ．321+D ．22 11．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是A ． ①②B ．①③C ． ②④D ．③④12．设函数()f x 及其导函数()f x '都是定义在R 上的函数，则“1212,,x x x x ∀∈≠R 且，1212()()f x f x x x -<-”是“,()1x R f x '∀∈<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知向量(3,1)=a ，(,3)x =-b ，若⊥a b ，则x =_____________．14．若双曲线方程为221916x y -=，则其离心率等于_______________． 15．若变量,x y 满足约束条件1,,1,x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则3z x y =+的最大值为___________．16．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合,M P ，满足P M ⊆．给出以下结论： ①**M P ⊆； ②*M P ⋂≠∅； ③*M P ⋂=∅．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 的公差为2-，且134,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(*)(12)n n b n n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． (本小题满分12分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,3AB AD ==,,AB BC CD BD ⊥⊥,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面A BD BCD '⊥平面，如图（2）．（Ⅰ）求证：CD A B '⊥；（Ⅱ）求三棱锥A BDC '-的体积；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得A N 'BD ⊥？若存在，请求出BCBN的值；若不存在，请说明理由．19． (本小题满分12分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=． (Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足2cos 2cos 22sin A B C -=,试判断ABC ∆的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20． (本小题满分12分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．21． (本小题满分12分)平面内动点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离，记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）若点A ，B ，C 是Γ上的不同三点，且满足FA FB FC ++=0．证明： ABC ∆不可能为直角三角形．22． (本小题满分14分)已知函数2()ln f x x a x =+的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断方程()2f x x =根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7． D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．1 ；14．53； 15．2； 16．①．三、解答题：本大题共6小题，共74分i 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．(Ⅰ)解：由已知得31414,6a a a a =-=-，……………………………2分又134,,a a a 成等比数列，所以2111(4)(6)a a a -=-，………………………4分解得18a =， ……………………………5分所以102n a n =-． ……………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得2111(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++，……………………………8分所以12n n S b b b =++⋅⋅⋅+11111(1)()()2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++． ……………12分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，CD BD ⊥ ∴CD A BD '⊥平面， ……………………………2分又∵AB A BD '⊂平面，∴CD A B '⊥． ……………………………4分（Ⅱ）如图（1）在2Rt ABD BD ∆=中，.30AD BC ADB DBC ∴∠==︒，.在tan 30Rt BDC DC BD =︒=中，．∴12BDC S BD DC ∆=⋅=……………………………6分如图（2），在R t A BD '∆中，过点A '做A E BD '⊥于E ，∴A E BCD '⊥平面．3A B A D A E BD '''==， ……………………………7分∴23311133323A BDC BDC V S A E '-∆'=⋅==. ……………………………8分（Ⅲ）在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，理由如下：如图（2）在Rt A EB '∆中，12BE ==，∴14BE BD =， ………………………………………9分过点E 做DC EN //交BC 于点N ，则14BN BE BC BD ==， ∵BD EN BD CD ⊥∴⊥,， ……………………………10分又A E BD '⊥，A EEN E '=，BD A EN '∴⊥平面，又A N A EN ''⊂平面，∴A N BD '⊥．∴在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，此时14BN BC =．…………………12分19．本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， ①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， ②………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③……………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==，代入③得cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-. …………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,2cos 2cos 22sin A B C -=可化为22212sin 12sin 2sin A B C --+=,……………………………8分即222sin sin sin A C B +=.……………………………………………9分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.…………………………12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 2cos 2cos 22sin A B C -=可化为()()22sin sin 2sin A B A B C -+-=，………………………8分因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sinA B A B A B -+-=+.又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分又因为sin 0A ≠,所以cos 0B =，即2B π∠=.所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………12分20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． ……………………4分其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． …………6分所以所求的概率63105P ==． ……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……………………………………………10分因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）由条件可知，点P 到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等，所以点P 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =．………4分（Ⅱ）假设ABC ∆是直角三角形，不失一般性，设90A ∠=，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则由0AB AC ⋅=，2121(,)AB x x y y =--，3131(,)AC x x y y =--，所以21312131()()()()0x x x x y y y y --+--=．…………………………6分因为24i i y x =(1,2,3)i =，12y y ≠，13y y ≠，所以1213()()160y y y y +++=．……………………………8分又因为0FA FB FC ++=，所以1233x x x ++=，1230y y y ++=，所以2316y y =-． ①又2221231234()12y y y x x x ++=++=，所以2222323()12y y y y --++=，即2223236y y y y ++=． ②………10分由①，②得222216166y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以4222222560y y -+=． ③因为2(22)42565400∆=--⨯=-<．所以方程③无解，从而ABC ∆不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=，得1233x x x ++=，1230y y y ++=．……………………………6分由条件的对称性，欲证ABC ∆不是直角三角形，只需证明90A ∠≠．(1)当AB x ⊥轴时，12x x =，12y y =-，从而3132x x =-，30y =，即点C 的坐标为1(32,0)x -．由于点C 在24y x =上，所以1320x -=，即132x =，此时3(2A ，3(,2B ，(0,0)C ，则90A ∠≠．…………8分(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，代入24y x =，整理得：2440y ty m --=，则124y y t +=．若90A ∠=，则直线AC 的斜率为t -，同理可得：134y y t+=-．由1230y y y ++=，得144y t t =-，24y t=，34y t =-．由1233x x x ++=，可得2221231234()12y y y x x x ++=++=．从而24(4)t t-+24()t 2(4)12t +-=，整理得：221118t t +=，即4281180t t -+=，①2(11)4881350∆=--⨯⨯=-<．所以方程①无解，从而90A ∠≠．……………………………11分综合(1)，(2)， ABC ∆不可能是直角三角形．………………………12分22．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，所以'()2a f x x x=+，函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+．由210a +=得：8a =． …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+．因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x=-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一个实根． ………………… 7分（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x =+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t -+=+-，即28(2)8ln 8y t x t t t =+-+-(0)x >． ………………… 8分记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t t t++-+(0)x >，则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x--=+-+=． ………………… 11分（1）当4t t =，即2t =时，22(2)'()0x h x x-=≥对一切(0.)x ∈+∞成立，所以()h x 在(0,)+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时()0h x <，当(2,)x ∈+∞时()0h x >，即存在点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 12分（2）当4t t>，即2t >时， 4(0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t∈时，'()0h x <； (,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增．又()0h t =，所以当4(,)x t t∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． ………………… 13分（3）当4t t<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t上单调递减．又()0h t =，所以当(0,)x t ∈时，()0h x <；当4(,)x t t∈时，()0h x <，即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点(2,48ln 2)A +使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x=+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t-+=+-，即28(2)8ln 8y t x t t t=+-+-(0)x >． ……………… 8分记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t t t++-+(0)x >，则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x--=+-+=． ………………… 11分若存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t 不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当4t t=，即2t =时， t 不是极值点，即()0h x '≥．所以()h x 在()0,+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。

福建省2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题

福建省2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（8）立体几何试题一、选择题：4. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)用n m ,表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是4.D 【解析】对于A ，可能出现m α⊂；对于B ，,m n 可以异面；对于C ，,m α可以相交也可以在平面内.5. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面； ③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面.其中，能使命题“,x y yz x z ⊥⇒⊥”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5.C 【解析】①③④能使命题“,x y yz x z ⊥⇒⊥”成立.6．(福建省厦门市2012年3月高三质量检查理科)如图，O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是（ D ） A ．A 1D B ．AA 1 C ．A 1D 1 D ．A 1C 15．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查文科)一个几何体的直观图、正视图、侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（ B ）9．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查文科)已知,,αβγ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是（ D ）A ．若,,//l l αββα⊥⊥则B ．若,,αβαγγβ⊥⊥⊥则C ．若l 上有两个点到α的距离相等，则//l αD ．若,//,l l αβαβ⊥⊥则//l α6．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查理科)某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（ D ）3．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查理科)已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。

福建省届普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题.pdf

又，∴ ，
∴点Ｂ到平面的距离等于线段的长．
∵，∴设点M到平面的距离等于……………………………………………8分
（Ⅲ）同解法一．
18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能
力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分1分．微克/立方米微克/立方米．PM2.5年平均浓度（微克/立方米
故所求方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）设，，．
由，得，．…………………………5分
（）可设直线的方程为，
代入并整理得，，
依题意，，则，，
从而可得点的坐标为，．
因为，所以直线与的斜率之积为定值．……………………………8分
（）若轴时，,由，
得点，所以点不在椭圆上，不合题意．
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，
其中正确的命题是
．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分13分)
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有 ------① ------② 由①+② 得------③ 令有代入③得 . (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明: ; (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题满分13分) 在直角梯形ABCD中，AD((BC，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. (本小题满分13分) 2012年3月2日，国家环保部发布新修订的环境空气质量标准》居民区中PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5平均浓度不得超过5微克/立方米PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5（微克/立方米PM2.5的年平均浓度PM2.5的24小时平均浓度环境空气质量标准，求的分布列及数学期望）．为平面内的两个定点，动点满足,记点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设点为坐标原点，点，，是曲线上的不同三点，且．（）试探究：直线与的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（）当直线过点时，求直线、与轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分) 设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明． 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．．在矩阵变换下得到的向量是．的值；（Ⅱ）求曲线在矩阵对应的变换作用下曲线方程．本小题满分分)为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到曲线上．本小题满分分)满足．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，且，求的最大值． 2011年福建省普通高中毕业班质量检查科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分0分．

福建省莆田市2012届高三物理毕业班教学质量检查试题新人教版.doc

莆田市2012年高中毕业班教学质量检查物理试题（满分：100分考试时间：90分钟）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共40分）一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．轿车的加速度变化快慢将影响乘坐的舒适度。

加速度变化得越慢，乘坐轿车的人会感到越舒适。

若引入一个新物理量用于表示加速度变化的快慢，则该物理量的单位应是（）A． m/s B． m/s2C．m/s3D．m/s42．物块M在静止的传送带上匀速下滑时，若传送带突然转动且转动的方向如图中箭头所示则传送带转动后（）A．M将减速下滑B．M仍匀速下滑C．M受到的摩擦力变小D．M受到的摩擦力变大3．如图所示是一列简谐横波在某时刻的波形图。

已知图中质点b的起振时刻比质点a落后了0.5s，b和c之间的距离是5m。

关于这列波，以下说法正确的是A．波的波速为2.5 m/sB．波的频率为2HzC．该时刻质点P正向上运动D．波沿x轴负方向传播4．如图所示，变压器为理想变压器，为理想交流电流表，为理想交流电压表，R1、R2．R3为定值电阻，原线圈两端接电压一定的正弦交流电源。

当开关S闭合时，各交流电表的示数变化情况应是（）A．电流表读数变大B．电压表读数变小C．电流表读数变小D．电压表读数变大5．如图所示，两个闭合圆形线圈A、B的圆心重合，放在同一水平面内。

当线圈A中通有不断增大的顺时针方向的电流时，对于线圈B，下列说法中正确的是（）A．线圈B内有顺时针方向的电流且有收缩的趋势B．线圈B内有顺时针方向的电流且有扩张的趋势C．线圈B内有逆时针方向的电流且有收缩的趋势D．线圈B内有逆时针方向的电流且有扩张的趋势6．光盘上的信息通常是通过激光束来读取的。

若激光束不是垂直人射到盘面上，则光线在进入透明介质层时会发生偏折而改变行进方向。

如图所示为一束激光（红光、蓝光混合）入射到光盘盘面上后的折射情况，据此下列判断中正确的是（）A．图中光束①是红光，光束②是蓝光B．在透明介质层中，光束①比光束②传播速度快C．若用同一装置进行双缝干涉实验，光束①的干涉条纹宽度比光束②的窄D．若光束①、②从透明介质层射人空气发生全反射时，光束①的临界角大7．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线，一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。

2012年莆田市初中毕业班质量检查数学试卷-3

----完整版学习资料分享---- D C B A第 16 题图2012年莆田市初中毕业班质量检查数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1、下列计算结果等于1的式子是（）A .)2()2(-+-B .)2()2(---C .)2()2(-⨯-D .)2()2(-÷-2、下列运算中，正确的是（）A .a a a 32=+B . 22a a a =⋅C . 222)2(a a =D .532)(a a =34、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 在优弧上，∠P ＝800().050B .060C .070D .0805、为了解某小区居民的日用电量情况，居住在该小区的一位同学随机抽查了15户家庭的日用电量，结果如下表：则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误．．的是（） A ．众数是6 B .平均数是6.8 C .极差是5 D .中位数是66、已知点A 的坐标为（2，－1），O 为直角坐标系原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90得到线段1OA ，则点1A 的坐标为（）A .(－2，－1)B .（2，1）C .（1，2）D .（－1，－2）7、如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点，图中虚线为抛物线的对称轴，则下列正确的是（）A .0a <B .0b <C .0c >D .240b ac -<8、如图，直线y kx b =+与直线y mx =相交于点A （-1,2），与x 轴相交于点B （-3,0），则关于x 的不等式组0kx b mx <+<的解集为（）A .3x >-B .31x -<<-C .10x -<<D .30x -<<二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共329、不等式02<-x 的解集是. 10、计算)23)(23(-+＝.11、圆锥的底面周长为cm 10，母线长为cm 12，则侧面积为2cm .12、从大小形状完全相同标有1、2、3数字的三张卡片中随机抽取两张，和为偶数的概率为.13、我市2011年实现生产总值1050亿元，用科学记数法表示1050为 .14、已知菱形的两条对角线的长分别为6、8，则此菱形的周长为.15、如图，在等边ABC ∆中，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且60ADE ∠=，AB ＝3，BD ＝1，则EC ＝.16、正方形111OA B C 、1222A A B C 、2333A A B C ┅按如图放置，其中点1A 、2A 、3A ┅在x 轴的正半轴上，点1B 、2B 、3B ┅在直线2+-=x y 上，依次类推┅┅，则点n A 的坐标为. 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，17、（8分）计算：0030cos 22-3)2012(++-π18、（8分）先化简，再求值：12111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ，其中2=a ． 19、（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC BC =，DG ∥AB 交BC 于点G ，CF 平分BCD ∠交DG 于点F ，BF 的延长线交DC 于点E . （1）求证：BFC ∆≌DFC ∆；户数13452108765日用电量（单位：度）第 15 题图E D C B A FE D CB A----完整版学习资料分享---- （2）在不添加辅助线的情况下，在图中找出一条与DE相等的线段，并加以证明.20、（8分）“初中生使用手机”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机调查了本校若干名学生和部分家长对“初中生使用手机”现象的看法，整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数为人；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是．21、（8分）如图，ABC ∆中，90ACB =的圆分别与AC 、BC 相交于D 、E 两点(1) 求证：OD OE =； (2) 求:四边形ODCE 22.、（10分）如图，在矩形2=OC ，过OA 边上的D 例函数xk y =)0(>k （1）求证：四边形ABED （2）点F 是否为正方形23、（10A 、B 两种树苗共60A 表：（1）求y 与x （224、（12分）如图，在Rt ∆的一个动点 (不与A 、C 重合)，⊥DE 直线AB 于E 点，点F 是BD 的中点，过点F 作⊥FH 直线AB 于H 点，连接EF ，设x AD =.(1)①若点D 在AC 边上，求FH 的长（用含x 的式子表示）；②若点D 在射线CA 上，BEF ∆的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.（2）若点D 在AC 边上，点P 是AB 边上的一个动点，DP 与EF 相交于O 点，当FP DP +的值最小时，猜想DO 与PO 之间的数量关系，并加以证明.25、（14分）已知抛物线22)2(t t x a y +--= (a ,t 是常数，0≠a ，0≠t )的顶点是P 点，与x 轴交于A （2，0）、B 两点.(1)①求a 的值；②PAB ∆能否构成直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由。

2012年高考理科数学福建卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i 1i z =-,则z 等于（）A .1i --B .1i -C .1i -+D .1i +2. 等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为（）A .1B .2C .3D .4 3. 下列命题中,真命题是（）A .0x ∃∈R ,0e 0x ≤B .x ∀∈R ,22x x ＞C .0a b +=的充要条件是1ab=-D .1a ＞,1b ＞是1ab ＞的充分条件4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（）A .球B .三棱锥C .正方体D . 圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（）A .21lg()lg (0)4x x x +＞＞B .1sin 2(π,k )sin x x k x +≠∈≥ZC .22||(x x x ∈+1≥R)D .211()1x x ∈+＞R6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）A .14 B .15 C .16D .177. 设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（）A .()D x 的值域为{0,1}B .()D x 是偶函数C .()D x 不是周期函数D .()D x 不是单调函数8. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）AB.C .3D .59. 若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为（）A .12 B .1 C .32D .210. 函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题： ①()f x 在[1,3]上的图象是连续不断的； ②2()f x在上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1f x =,[1,3]x ∈； ④对任意1x ,2x ,3x ,4[1,3]x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++≤.其中真命题的序号是（）A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_______. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________.13.已知ABC △的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{}n a 的通项公式ππcos12n n a =+,前n 项和为n S ,则2012S =________.15.对于实数a 和b ,定义运算“*”；22,,*,.a ab a b a b b ab a b ⎧-=⎨-⎩≤＞设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程()(f x m m =∈R)恰有三个互不相等的实数根1x ,2x ,3x ,则123x x x 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已将频率视为概率,解答下列问题：（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应产生哪种品牌的轿车？说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.（本小题满分13分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AA AD ==,E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由；（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30，求AB 的长.19.（本小题满分13分）如图,椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,且2ABF △的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数2()e e x f x ax x =+-,a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵01a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)a ＞对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.（Ⅰ）求实数a ,b 的值；（Ⅱ）求2A 的逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),π)2,圆C的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|f x m x =--（）,m ∈R ,且2()0f x +≥的解集为[1,1]-. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若,,a b c ∈R ,且11123m a b c++=,求证：239a b c ++≥.2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题(理工农医类)答案解析又双曲线的渐近线方程故选B．30x y+-≤⎧数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）(2)1f =，又42x f +⎛ ⎝又()1f x ≤1≤，所以对于④，f ⎛⎛ ⎝4)()]f x +216，1()E X >可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）21315cos 15sin15cos151sin3024+-=-=；3(30)sin cos(30)4ααα---=，(30)sin cos(30)ααα---2131⎫⎛【提示】（Ⅰ）选择②，由22sin 15cos 15sin15cos151sin3024+-=-=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=，直接利用两角(0,1,1)AD ∴=，a B E ⎛=- ，(,0,1)AB a =，,1,0a AE ⎛= 1101102aAD B E =-⨯+⨯+，11B E AD ∴⊥；（Ⅱ）假设在棱，使得DP ∥平面此时(0,DP =-的法向量(,,)n x y z =n ⊥平面1B AE ，n AB ⊥，n AE ⊥，得，02ax y +=⎩取1x =，得平面AE 的一个法向量1,,2a n ⎛=- ⎝⎭，只要n DP ⊥，有2a n DP =-1AP =； 11B C A D ∥1AD B ∴⊥11EB C B =1AD ∴⊥平面平面11A B CD ，AD ∴是平面的一个法向量，此时(0,1,1)AD =，设AD 与n 所成的角为11cos ||||n AD n AD θ==，二面角A -的大小为30， cos30，即y 轴，可求出向量AD 与B E 的坐标，验证其数量积为30建立关于||F =0MP MQ =①，①对0(0,2)x ∈数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页）③当0<x x '时，同理可证，与条件不符；∴当<0a 时，存在唯一的点[]ln(2),ln(2)P a f a ⎡⎤--⎣⎦使该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．【提示】（Ⅰ）求导函数，利用曲线()f x 在点[]1,(1)f 处的切线平行于x 轴，可求a 的值，令()e e 0xf x '=-<，可得函数()f x 的单调减区间；令()0f x '>，可得单调增区间；（Ⅱ）设点[]00,()P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于()g x 有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（Ⅰ）若0a ≥，()g x 只有唯一零点0x x =，由P 的任意性0a ≥不合题意；（Ⅱ）若<0a ，令00()e e 2()x xh x a x x =-+-，则()0h x =，()e 2xh x a '=+，可得函数的单调性，进而可研究()g x 的零点，由此可得结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性 21.【答案】（Ⅰ）1a =1b =（Ⅱ）2110()21-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A【解析】（Ⅰ）设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y ，在矩阵A 对应变换下的项是(),P x y '''，则220()()11x a x ax x axax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎧⎛⎫⎛⎫==⇒⇒++=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 2222()21a b x bxy y ∴+++=， 222a b ∴+=，22b =，1a ∴=，1b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ， 2110||1()21-⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭A A ．【提示】（Ⅰ）确定点在矩阵0(0)1a a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭A 对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A ；23.【答案】（Ⅰ）(2)||0f x m x +=-≥，||x m ∴≤，>0<<m m x m ⇒-，(2)011f x x +≥⇒-≤≤，1m ∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=，a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得：211123(23)2392323a b c a b c a bc a b c a bc ⎛⎫+++++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎭．【提示】（Ⅰ）由条件可得(2)||f x m x +=-，故有||0m x -≥的解集为[]1,1-，即||x m ≤的解集为[]1,1-，故1m =；（Ⅱ）根据111233223(23111232233)a b c a c a b a b c a b c a b a b b c c c ⎛⎫++=++++++++ ⎪⎝⎭++=++，利用基本不等式证明它大于或等于9．【考点】带绝对值的函数，不等式的证明数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。