2020年江苏省淮安市清江中学等四校联考高一(下)期中数学试卷

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江苏省清江中学高一下学期期中考试数学试题

江苏省清江中学2016～2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1、000043134313cos cos sin sin +的值等于 ▲ .322、不等式2320x x -+-≥的解集是 ▲ .{}21≤≤x x .3、在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .24、下列直线中与直线l ：3x ＋2y －5＝0相交的是____▲____(填上正确的序号)．①y ＝－32x ＋5 ②3x ＋2y ＝0 ③x 3＋y 2＝1 ④x 2＋y3＝1解析：直线l 的斜率k ＝－32，要使直线与l 相交，则所求直线的斜率k ′≠－32.又①、②、④中直线的斜率都等于－32，③中直线的斜率等于－23，故填③.5、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值为 ▲ .5 6、在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形. 等腰 7、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是___▲____.247<<-a8、若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝ ▲ ；3 9、等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ▲ .33010、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ▲ ．93 11、已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝____▲____.解析：l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，∴k l 1＝－1，k AB ＝2－－13－a＝k l 1＝－1.∴a ＝6.由l 1∥l 2，∴－2b＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝6＋2＝8. 12、数列{}n a 满足1321213222n n n a a aa +-++++=，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ . ()()9162n n n a n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩13、已知1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=____▲___.79-14、已知数列{}n a 中，11a =且121n n a a n +=++，设数列{}n b 满足1n n b a =-，对任意正整数n 不等式22111n m b b b +++<均成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；34m ≥ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）已知1tan22α=（1）求αtan 的值；（2）求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值。

2020年江苏省淮安市高一(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线x+y-3=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A. 1：2：3B. 3：2：1C. 1：：2D. 2：：13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D与A1C1的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面但不垂直D. 异面且垂直4.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.5.若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）A. a＜0，b＜0B. a＜0，b＞0C. a＞0，b＞0D. a＞0，b＜06.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b cos C=c（1-3cos B），则sin C：sin A=（）A. B. C. 3 D.7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB. 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nD. 若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n8.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m-n+p的值是（）A. 24B. 20C. 0D. -49.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. MC⊥ANB. GB∥平面AMNC. 面CMN⊥面AMND. 面DCM∥面ABN10.已知点A（3，0），B（0，3），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（）A. 4B. 5C. 2D.二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是______．12.在△ABC中，已知=30°，则B等于______．13.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______．14.已知点（x，y）在直线2x+y+5＝0上运动，则的最小值是____．15.三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两成60°角，点E，F，G分别为线段AB，AC，AA1上的点，且AE=AB，AF=AC，AG=AA1，则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1体积之比为______16.在△ABC中，2sin2＝sin A，sin(B－C)＝2cos B sin C，则＝__.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．b sin2C+c sin B=0（1）求角C；（2）若C=2，△ABC的面积为2，求a+b的值．19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(－1，4)，B(－3，－1)，C(3，2)．(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求∠CAD的平分线所在直线方程．20.如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（1）设M是PC上靠近C的四分之一分点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？请证明你的结论；（3）求四棱锥P-ABCD的体积．21.已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系．将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点A1（1）当点A1坐标为（1，1）时，求折痕所在直线方程．（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（3）当-2+≤k＜0时，设折痕所在直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，将△AEF 沿折痕EF旋转．使二面角A-EF-A1的大小为53°，设三棱锥E-AA1F的外接球表面积为S，试求最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线方程的性质的合理运用．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x+y-3=0斜率k=-1，∴直线x+y-3=0的倾斜角是为．故选B．2.【答案】C【解析】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，B1D1∩DD1=D1，∴A1C1⊥平面B1D1D，∵B1D⊂平面B1D1D，∴直线B1D与A1C1的位置关系是异面且垂直．故选：D．推导出A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，由此能证明A1C1⊥平面B1D1D，从而得到直线B1D与A1C1的位置关系是异面且垂直．本题考查两直线关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题．根据顶点在底面的射影为底面中心的特点，求出棱锥的高，再计算棱锥的体积．【解答】解：设正四棱锥为S-ABCD，S在底面ABCD上的射影为O，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，OS，则OA=，∴SO==，∴V===．故选：C．5.【答案】C【解析】解：根据题意，直线直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，则a＞0，b＞0，故选：C．根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案．本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由3b cos C=c（1-3cos B）．利用正弦定理可得3sin B cos C=sin C（1-3cos B），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设=k，∵3b cos C=c（1-3cos B）．∴3sin B cos C=sin C（1-3cos B），化简可得 sin C=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sin C=3sin A，∴因此sin C：sin A=3．故选：C．7.【答案】D【解析】解：A．若m∥α，n∥β，α∥β，由线面、面面平行的性质可得：m∥n、相交或异面直线，因此不正确；B．若m∥α，n∥β，α⊥β，由线面平行、面面垂直的定理可得：m∥n、相交或异面直线，因此不正确；C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，由线面面面垂直的性质定理可得：m⊥n，因此C不正确；D．若m⊥α，n∥β，α∥β，根据线面垂直和线面面面平行的性质可得：m⊥n，正确．A．利用线面平行和面面平行的性质定理即可得出；B．利用线面平行、面面垂直的定理即可得出；C．利用线面垂直、面面垂直的性质即可得出；D．利用线面垂直和线面面面平行的性质即可得出．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，∴×=-1，∴m=10，直线mx+4y-2=0 即5x+2y-1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p-1=0，∴p=-2．把P（1，-2）代入2x-5y+n=0，可得n =-12，∴m-n+p=20，故选：B．先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p ，垂足坐标确定了．把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得m-n+p的值．本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵过A（3，0），B（0，3）两点的直线方程为x+y-3=0设M（1，0）关于直线x+y-3=0对称的点N（x，y），则，解可得，x=3，y=2，即N（3，2），同理可求M关于O对称的点E（-1，0），当N，P，Q，E共线时△MPQ的周长MQ+PQ+QM=NP+EQ+PQ取得最小值NE==2故选：C．分别求出设M（1，0）关于直线x+y-3=0对称的点N，M关于O对称的点E，当N，P，Q，E共线时△MPQ的周长MQ+PQ+QM=NP+EQ+PQ取得最小值NE，利用两点间的距离公式可求本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强11.【答案】2x+y-2=0【解析】解：设与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得：2+0+m=0，解得m=-2．∴要求的直线方程为：2x+y-2=0．故答案为：2x+y-2=0．设与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入解出即可得出．本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】105° 或15°【解析】解：∵a=5，c=10，A=30°∴根据正弦定理，得到=，可得sin C===∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°∵A+B+C=180°，A=30°，∴B=105° 或15°故答案为：105° 或15°根据正弦定理，结合题中数据算出sin C=，从而得到C=45°或135°，最后根据三角形内角和定理，即可算出∠B的大小．本题给出三角形中的两条边和一边所对的角，求另一边的对角大小，着重考查了运用正弦定理解三角形和特殊三角函数值等知识，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14.【答案】【解析】解：根据题意，点（x，y）在直线2x+y+5=0上运动，又由=，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5=0上任意一点的距离，则其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5=0的距离，即的最小值为d==；故答案为：根据题意，分析可得=，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5=0上任意一点的距离，其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5=0的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查点到直线的距离公式，注意分析的几何意义．15.【答案】【解析】解：∵AE=AB，AF=AC，∴S△AEF=S△ABC，设三棱柱的高为h，由AG=AA1可知G到平面ABC的距离d=h，∴V G-AEF=S△AEF•d=•S△ABC•h=S△ABC h=V，故答案为：．分别判断底面积和高的比值，再根据体积公式得出体积的比值．本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵2sin2=sin A，∴1-cos A=sin A，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc　①，将sin（B-C）=2cos B sin C展开得sin B cos C=3cos B sin C，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2-2c2=a2　②，将①代入②，得b2-3c2-bc=0，左右两边同除以c2，得--3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．利用2sin2=sin A，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc　①，将sin（B-C）=2cos B sin C展开得sin B cos C=3cos B sin C，所以将其角化边，即可得出结论．本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）连结BD，AC交于O．∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD【解析】（1）连结BD，AC交于O，连结EO．可证出△PBD中，EO是中位线，得EO∥PB ，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面AEC；（2）由线面垂直的性质，证出CD⊥PA．正方形ABCD中证出AD⊥CD，结合PA∩AD=A ，可得CD⊥平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD⊥平面PCD．本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直．着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由b sin2C+c sin B=0，得：2b sin C cosC=-c sin B，由正弦定理得：2sin B sin C cosC=-sin C sin B，---------（3分）∵sin B≠0，sin C≠0，∴cos C=-，∵角C为△ABC的内角，∴C=．------------------------（7分）（2）∵C=，△ABC的面积为2，∴ab sin=2，即ab=8，①---------------------------（9分）∵c=2，由余弦定理得a2+b2-2ab cos=28，即（a+b）2=28+ab，②----------------------------------（11分）将①代入②得：（a+b）2=36，∴a+b=6．--------------------------（14分）【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin B sin C cosC=-sin C sin B，结合sin B≠0，sin C≠0，可求cos C=-，结合角C为△ABC的内角，可求C的值；（2）利用三角形的面积公式可求ab的值，由余弦定理即可解得a+b的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得x=5，y=7．可得D（5，7）；（2）BC方程：y-2=（x-3），化为x-2y+1=0，∴A到BC的距离为d==，又BC==3，∴四边形ABCD的面积为×3=24．（3）AC=2，AD=3．在三角形ACD中，设∠CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：===．所以=，从而E点坐标为（，4）,又A（-1，4），∴所求方程为：y=4．【解析】（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得D坐标．（2）BC方程：y-2=（x-3），化为x-2y+1=0，利用点到直线的距离公式可得A到BC的距离为d．利用两点之间的距离公式可得BC，即可得出四边形ABCD的面积．（3）AC=2，AD=3．在三角形ACD中，设∠CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：==．利用=，可得E点坐标．又A（-1，4），可得所求方程．本题考查了点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、中点坐标公式、正弦定理、角平分线的性质、向量坐标运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】（1）证明：∵AD=4，BD=4，AB=8．∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）当M为PC的靠近C的三等分点，PA∥平面MBD．证明：连AC交BD于点O，连接OM，∵AB∥DC，∴△OCD∽△OAB，∴，又=，∴，∴OM∥PA，又OM⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴PA∥平面MBD．（3）过P作PH⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD，又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PH=2，∵AB=2CD，AB∥CD，∴S△BCD=S△ABD，∴S梯形ABCD=S△ABD==12，∴V P-ABCD===24．【解析】（1）由勾股定理可得BD⊥AD，再根据平面PAD⊥平面ABCD得出BD⊥平面PAD，于是平面MBD⊥平面PAD；（2）M为PC的靠近C的三等分点，PA∥平面MBD，利用相似三角形可得=，结合M为三等分点可得OM∥PA，故PA∥平面MBD；（3）过P作PH⊥AD，求出S梯形ABCD和PH，代入棱锥的体积公式计算体积．本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：（1）折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，可求所在直线方程为：y=-x+1；------（3分）（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y=．----------------------（5分）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0＜a≤2），则A与G关于折痕所在直线对称，由k OG•k=-1，得a=-k，故G（-k，1）．线段OG中点M（），∴折痕所在直线方程为：y-=k（x+），即y=kx+（-2≤k＜0）．综上所述，所求折痕所在直线方程为y=kx+（-2≤k＜0）；------------------------（10分）（3）由（2）当-2+≤k＜0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），则，球的直径即为EF，----------------（13分）∴，则．∴最小值为8+4．----------------（16分）【解析】（1）折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，由此可求直线方程；（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y=．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0＜a≤2），则A与G关于折痕所在直线对称，求出G（-k，1）．得到OG中点M（），再由直线方程点斜式求折痕所在直线方程；（3）由（2）当-2+≤k＜0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），利用勾股定理求得EF2，球的直径即为EF，写出球的表面积S，则的最小值可求．本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏省清江中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题扫描版

附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.74.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.15.（单选题，5分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a= √3 ，b= √2 ，A=60°，则角B=（） A.30° B.45° C.60° D.135°6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m ），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（） A.5 √3 （m ） B.10 √3 （m ） C.5 √2 （m ） D.10 √2 （m ）7.（单选题，5分）动圆M 与定圆C ：x 2+y 2+4x=0相外切，且与直线l ：x-2=0相切，则动圆M 的圆心的轨迹方程为（） A.y 2-12x+12=0 B.y 2+12x-12=0 C.y 2+8x=0 D.y 2-8x=08.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（） A. 447B. 275C. 143D. 929.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774B.946C.428D.57210.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（） A. m ∥n m ⊥α}⇒n ⊥α B. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n C. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n D. m ∥αm ⊥n}⇒n ⊥α 11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（） A. −√2 B.-1 C.1 D. √212.（多选题，5分）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c=2，若sin 2A+sin 2B-sinAsinB=sin 2C ，则下列说法正确的是（） A. C =π3 B. A ∈(π6，π2) C. B ∈(0，π2) D. a +b ∈(2√3，4]13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ． 16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．，求CD的长；（1）若AB= 3√72（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点【正确答案】：C【解析】：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．【解答】：解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选：C．【点评】：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【正确答案】：C【解析】：直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以倾斜角为120度．【解答】：解：因为直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ=- √3，所以θ=120°．故选：C．【点评】：本题考查了直线的倾斜角与斜率，属基础题．3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.7【正确答案】：D【解析】：根据频率分布直方图中的数据，计算出60分以上（含60分）的频率即可．【解答】：解：由频率分布直方图可知，60分以上（含60分）的频率为（0.02+0.015）×20=0.7，所以这次考试的合格率为0.7．故选：D．【点评】：本题考查频率分布直方图中的数字特征，理解频率与概率的联系是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.1【正确答案】：A【解析】：从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，由此能求出摸出1个黑球，1个白球事件的概率．【解答】：解：一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率p= mn = 36= 12．故选：A．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= √3，b= √2，A=60°，则角B=（）A.30°B.45°C.60°D.135°【正确答案】：B【解析】：将已知代入正弦定理可得：sinB= √22，根据a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，即可求得B=45°．【解答】：解：将已知代入正弦定理可得：sinB= bsinAa = √2×sin60°√3= √22，∵a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，∴可解得：B=45°．故选：B．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（）A.5 √3（m）B.10 √3（m）C.5 √2（m）D.10 √2（m）【正确答案】：B【解析】：利用直线与平面以及俯角的定义，结合两个直角三角形，再利用余弦定理求出两船的距离．【解答】：解：如图所示，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为60°，连接BC、BD；在Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30（m）；=10 √3（m）；在Rt△ABD中，∠ADB=60°，可得BD= ABtan60°在△BCD中，BC=30，BD=10 √3，∠CBD=30°，由余弦定理可得：=300，CD2=BC2+BD2-2B C•BDcos30°=900+300-2×30×10 √3 × √32∴CD=10 √3（m）．故选：B．【点评】：本题考查了余弦定理、空间线面的位置关系应用问题，是基础题．7.（单选题，5分）动圆M与定圆C：x2+y2+4x=0相外切，且与直线l：x-2=0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）A.y2-12x+12=0B.y2+12x-12=0C.y2+8x=0D.y2-8x=0【正确答案】：B【解析】：设动点M的坐标为（x，y），根据题意得知点M到点C的距离等于点M到直线x=4的距离，然后利用距离公式列等式可得出点M的轨迹方程．【解答】：解：圆C 的标准方程为（x+2）2+y 2=4，圆心为C （-2，0），半径为2．如下图所示，设圆M 的半径为r ，则|MC|=r+2，点M 到直线l 的距离为r ，由题意可知，点M 到点C 的距离等于点M 到直线x=4的距离，设动点M 的坐标为（x ，y ），则 √(x +2)2+y 2=4−x ，化简得y 2+12x-12=0．因此，动点M 的轨迹方程为y 2+12x-12=0．故选：B ．【点评】：本题考查动点的轨迹方程，考查距离公式的应用，解决本题的关键在于处理圆与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题．8.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（） A. 447 B. 275 C. 143 D. 92【正确答案】：D【解析】：将x+y=1变成x+1+y=2，将原式 4x+1 + 1y = x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4yx+1+ x+1y）后，用基本不等式可得．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，x+y=1， ∴x+1+y=2，4x+1 + 1y =x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4y x+1 + x+1y ）≥ 12 （5+2 √4 ）= 92（当且仅当x= 13 ，y= 23 取等号），故选：D ．【点评】：本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．9.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774 B.946 C.428 D.572【正确答案】：ACD【解析】：从随机数表第2行第2列的数7开始向右读第一个小于850的数字是774，以此类推，把大于850 舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本，即可求出结论．【解答】：解：从随机数表第2行第2列的数7依次开始向右读，第一个小于850的数字是774，符合题意，第二个数字是946，774舍，第三个数字是428，也符合题意，第四个数字是114，也符合题意，第五个数字是572，也符合题意，故选：ACD ．【点评】：本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．10.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（） A. m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥αB. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥nC. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥nD. m ∥αm ⊥n }⇒n ⊥α 【正确答案】：ABC【解析】：对于A ，由线面垂直的判定定理进行判断；对于B ，由线面垂直的性质定理进行判断；对于C ，由线面垂直的性质进行判断；对于D ，n 与α相交、平行或n⊂α．【解答】：解：由m ，n 表示直线，α表示平面，知：对于A ，由线面垂直的判定定理得： m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥α ，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质定理得： m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n ，故B 正确；对于C ，由线面垂直的性质得： m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n ，故C 正确；对于D ， m ∥αm ⊥n }⇒ n 与α相交、平行或n⊂α，故D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（） A. −√2 B.-1 C.1 D. √2【正确答案】：AC【解析】：曲线 x =√1−y 2 表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b 与曲线曲线 x =√1−y 2 恰有一个公共点，则实数b 的取值范围，然后判断选项．【解答】：解：曲线 x =√1−y 2 即 x 2+y 2=1 （x≥0），表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y 轴及y 轴右侧的部分），如图：当直线经过点A （0，-1）时，求得b=-1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得|0−0+b|√2=1，求得b= √2（舍去），或b=- √2，数形结合可得当直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（-1，1]∪{- √2 }，则实数b可取−√2；1故选：AC．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．12.（多选题，5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知c=2，若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，则下列说法正确的是（）A. C=π3B. A∈(π6，π2)C. B∈(0，π2)D. a+b∈(2√3，4]【正确答案】：ABD【解析】：由正弦定理可得a2+b2-ab=c2，利用余弦定理求出cosC和C的值，判断A正确；由三角形内角和定理，结合题意求出B、A的取值范围，判断B正确，C错误；由正弦定理求出a+b的取值范围，判断D正确．【解答】：解：锐角△ABC中，sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2，所以a2+b2-c2=ab；由余弦定理可得cosC=a 2+b 2−c 22ab = ab 2ab = 12，又C∈（0， 12 ），所以 C =π3 ，选项A 正确；由三角形内角和定理知，A+B= 2π3 ，所以B= 2π3 -A ；又B ＜ π2 ，所以 2π3 -A ＜ π2 ，解得A ＞ π6 ，所以A∈（ π6 ， π2 ），选项B 正确；同理，B∈（ π6 ， π2 ），所以选项C 错误；由正弦定理得a+b= csinC （sinA+sinB ） = 4√33（sinA+sinB ） = 4√33 [sinA+sin （ 2π3 -A ）] =4√33 （ 32 sinA+ √32cosA ） =4sin （A+ π6 ），由A∈（ π6 ， π2 ），得A+ π6 ∈（ π3 ， 2π3 ），所以a+b∈（2 √3 ，4]，选项D 正确．故选：ABD ．【点评】：本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：【正确答案】：[1]11【解析】：求出样本中心，然后利用回归直线方程，即可求解它的截距 a ̂ ．【解答】：解： x =2+202=11 ， y =110(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22 ，则 a ̂ =22-1×11=11．故答案为：11．【点评】：本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ．【正确答案】：[1] {x|x ＜32或x ＞4}【解析】：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0，结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0，解可得x ＞4或x ＜ 32 ，故不等式的解集为： {x|x ＜32或x ＞4} ．故答案为： {x|x ＜32或x ＞4} ．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√13【解析】：利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【解答】：解：化直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5为m （x+2y-1）-x-y+5=0，联立 {x +2y −1=0−x −y +5=0，解得 {x =9y =−4 ．∴直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5过定点（9，-4），∴点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为 √(5−9)2+(2+4)2=2√13 ．故答案为： 2√13 ．【点评】：本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ．【正确答案】：[1]5 √2 -4【解析】：求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】：解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，-3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即：√(3−2)2+(4+3)2 -4=5 √2 -4．故答案为：5 √2 -4．【点评】：本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出cosA的值，从而求出角A的值．（2）根据b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求得c=4，再由余弦定理求得 a2的值，从而求得a的值．【解答】：解：（1）∵ cosA=b 2+c2−a22bc且b2+c2−a2=bc，---------（2分）∴ cosA=bc2bc =12．------------（4分）又∵0＜A＜π，∴ ∠A=π3．-----------（6分）（2）由于b=2，且△ABC的面积为S=2√3，则有12•2•c•sinπ3=2 √3，解得 c=4．------------（9分）再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2•b•c•cos π3=12，∴a=2 √3．-----------------（12分）【点评】：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．【正确答案】：BD，从而四边形BDC1E是平行四边形，进而BE || C1D，由此能【解析】：（1）推导出EC1∥=证明BE || 平面AC1D．（2）推导出AD⊥CC1，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，由此能证明AD⊥C1D．【解答】：证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，∴EC1∥BD，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴BE || C1D，=∵BE⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，∴BE || 平面AC1D．（2）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，∵点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．∴AD⊥BC，∵BC∩CC1=C，∴AD⊥平面BCC1B1，∵C1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥C1D．【点评】：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．【解答】：解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|= √16+4 =2 √5；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【点评】：本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用比例关系，求出分层抽样的结果．（2）① 直接利用列举法写出所有的结果．② 利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：（1）某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动，所以抽取的比例为1：80，故从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）① 设5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，所以抽取的结果为（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E）一共有10种．② 从5名学生中抽取2名，基本事件数为10．来自于同一年级的有2种结果，=0.2故P（A）= 210【点评】：本题考查的知识要点：分层抽样，古典概型，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可建立关于a，b的方程，解方程可求，（2）结合（1）中a，b的关系，采用换元后，利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）因为BC=a（a＞1），AC=b，则AB=b-0.5，∵（b-0.5）2=b2+a2-2abcos60°，∴-b+0.25=a2-ab，整理得AC= b=a 2−0.25a−1(a＞1)，（2）令a-1=t（t＞0），∴a=t+1，∴ b=(t+1)2−0.25t =t2+2t+0.75t=t+34t+2≥2+2√34=2+√3，（当且仅当t=34t ，即t=√32时取等号）综上，当BC=1+√32米时AC最短，为2+√3米．【点评】：本题主要考查了余弦定理，基本不等式在求解三角形及最值中的应用，属于基础试题．22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．（1）若AB= 3√72，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，由AB 的值结合直线与圆的位置关系分析可得k 2=15，因为直线AB 与直线CD 互相垂直，分析可得直线CD 的方程，据此分析可得答案；（2）根据题意，求出直线AB 的方程，结合直线与圆相交的性质求出AB 的长，进而求出M 到AB 的距离．由三角形面公式计算可得答案；（3）根据题意，分直线AB 的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出△ABE 面积，综合2种情况即可得答案．【解答】：解：（1）由题可知，直线AB 斜率显然存在，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y=kx+1．因为O 点到直线AB 的距离d 1=√k 2+1 ，则 (AB 2)2 + (√k 2+1)2 =4，变形可得AB=2 √4k 2+3k 2+1 ，又由AB= 3√72 ，则2 √4k 2+3k 2+1 = 3√72 ，解可得k 2=15．因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y= −1k x+1，则M 点到直线CD 的距离d 2=−2k +1−1√1+(−k )2 ，又由 (CD 2)2 =1- (−2k+1−1√1+(−k )2)2，则CD=2 √1−4k 2+1 =2 √1−415+1= √3 ．（2）根据题意，若直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为2x-y+1=0，则O 到直线AB 距离d 1=√4+1 = √55 ，则 AB =2√4−15=2√955 ， M 到直线AB 距离d=√4+1 = 4√55 ，故 S △ABM =12AB •d =45√19 ；（3）当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S= 12 ×4×2=4；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y=kx+1，k≠0，直线CD ：y=- 1k x+1．由 |−2k+1−1|√1+(−k )2 ＜1得k 2＞3，所以k∈（-∞，- √3 ）∪（ √3 ，+∞）．因为 (AB 2)2 + (1√k 2+1)2 =4，所以AB=2 √4k 2+3k 2+1．因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d=|2k+1−1|√1+k 2 = |2k|√1+k 2 ，所以△ABE 的面积S= 12 AB•d=2 √(4k 2+3)k 2(1+k 2)2 ．令t=k 2+1＞4，则S= 2√4t 2−5t+1t 2=2√4−5t +(1t )2 ，又由t ＞4，则0＜ 1t ＜ 14 ，故S∈ (3√52，4) ．综上，△ABE 面积的取值范围是 (3√52，4] ．【点评】：本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．。

高一数学第二学期期中试卷

淮安市高中教学协作体2019～2020学年度第二学期期中测试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分命题人：蒋法宝一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.已知直线l :x=,则直线l 的倾斜角为（） A. B. C. D.2．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -，若在z 轴上有一点M 满足MA=MB ，则点M 坐标为（）A. ()0,0,3-B. ()0,0,3C. ()0,0,5D. ()0,0,5-3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(3,3)-4．在ABC 中，若8b =，5c =，120A ∠=︒，则a =（）A. 126B. 127C. 82D. 1295．点A(-2，－3)关于点B(1,0)的对称点A′的坐标是( )A ．(4，3)B ．(－4,3)C ．(3，－3)D ．13(,)22- 6．斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2=４x 截得的弦长为4，则l 的方程为（）A. 3y x =-B. 3y x =+C. 2y x =-D. 2y x =+7．ABC ∆中，若cos cos a b B A =，则该三角形一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形8．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是（）A ．30B ．45C ． 60D ． 90二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）9．已知A B C ，，表示不同的点，l 表示直线，αβ，表示不同的平面，则下列推理正确的是（）A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈⇒⊂B ．l α⊄，A l A α∈⇒∉C ．A α∈，A β∈，B α∈，B AB βαβ∈⇒= D ．A α∈，∈A l ,l l A αα⊄⇒⋂=10．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 可能为（）A ．3πB ．6π C ．4π D ． 23π 11．平行于直线x+2y+1=0且与圆x 2+y 2=4相切的直线的方程可能是（）A ．x+2y+5=0B ．2250x y ++=C ．2x ﹣y+5=0D ． 2250x y +-=12．下列说法正确的是（）A ．点(2,0)关于直线1y x =+的对称点为(1,3)-B ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或0x y -=D ．直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）13．在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，6AC =，则ABC ∆的面积等于_ ___.14．圆C:224210x y x y +-++=与圆M:224410x y x y ++--=的公切线有条15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为16．已知直线l :()24y k x =-+与圆C:()2214x y +-=相切于点P ，那么直线l 恒过定点M 的坐标为_ _、切线长PM=四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知平面内两点()()4,2,2,4M N -。

2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(四)

范文2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(四)1/ 52020年高一数学下学期期中试卷及答案（四）一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知倾斜角为 45o 的直线经过 A(2, 4) ， B(3, m) 两点，则 m ? （） A． 3 B． ?3 C． 5 D． ?1 2．过点 A( 3,1) 且倾斜角为120? 的直线方程为（） A. y ? ? 3x ? 4 B. y ? ? 3x ? 4 C. y ? ? 3 x ? 2 3 D. y ? ? 3 x ? 2 3 3．下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④ 4．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( ) 高一数学第1页（共 4 页）A B C D 5．如图，平面? ? 平面 ? ，A??, B ? ?, AB与两平面?, ? 所成的角分别为 ? 和 4 ? ，过 A, B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A?, B?，若 6 ? AB ?16 ，则 A?B? ? （） A B’B? A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 A‘ 6、已知两条直线 m, n 和两个不同平面?, ? ，满足? ? ? ，? ? ? =l , m / /? , n ? ? , 则（）A． m / /n B． m ? n C. m / /l D． n ? l ? ? ? ? 7．已知向量 r a ? ??1, ?2? ，br ? ?3, 0? ，若 rr 2a ? b // rr ma ? b ，则 m 的值为（） A． 3 7 B． ? 3 7 C． ?2 D． 2 8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形 O1A1B1C1 如图②，其中 O1A1 ? 6,O1C1 ? 2, 则该几何体的体积为（） A． 32 B． 64 C．16 2 D． 32 2 高一数学第2页（共 4 页）3/ 59、已知向量 a,b 满足 a ? 2b ? 0 ， (a ? b) ? a ? 2 ，则 a ? b ? （ A． ? 1 2 B． 1 2 C． ?2 ） D．2 10．点 O 在 ?ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）OuuAur ? uuur OB ? uuur OC ? r 0 ；（2）OuuAur ? uuur OB ? uuur OB ? uuur OC ? uuur OC ? uuur OA ；（ 3 ） uuur ? OA ? ? uuur AC uuur ? uuur AB uuur ? uuur ? ? ? OB ?? uuur BC uuur ? uuur BA uuur ? ??0 ； ? ? AC AB ? ? ? ? BC BA ? ? uuur (OA ? uuur OB) ? uuur AB ? uuur (OB ? uuur OC) ? uuur BC ?0 ．（4）则点 O 依次为 ?ABC 的（）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心 11．已知 O 是正三角形 ABC 内部一点，且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OAB的面积与 ?OAC 的面积之比为（） A． 3 B． 5 C．2 D．5 2 2 12．直角梯形 ABCD，满足 AB ? AD,CD ? AD, AB ? 2AD ? 2CD ? 2 ,现将其沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ，当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体积为（） A． 3? 2 B．4 ? 3 C．3? D．4? 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 高一数学第3页（共 4 页）13．直线 3x ? 3y ? 1的倾斜角等于． 14．如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ACB ? 900, AA1 ? AC ? BC ? 1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 ____________． 15．设 a 、b 是单位向量，其夹角为? ．若 ta ? b 的最小值为 1 ，其中t ?R ．则2 ? ? ______． 16．在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，以 A 为球心半径为 2 3 3 的球面与正方体表面的交线长为。

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列说法中正确的是（） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点【答案】C【解析】根据平面的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A 错误；对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B 错误；对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C 正确；对于选项D,若两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面α与平面β重合,与已知矛盾,故D 错误. 故选:C 【点睛】本题考查平面的概念的应用,考查空间想象能力.2．直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( ) A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线30x m ++=，所以直线斜率为=120︒，选C. 【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.3．如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为（）A ．0.02B ．0.035C ．0.4D ．0.7【答案】D【解析】观察频率分布直方图，60分以上的小矩形面积的和即为所求. 【详解】观察频率分布直方图可知这次考试的合格率为()0.0150.02200.7+⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题.4．一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】A【解析】计算从4个球中摸出2个球的所有可能结果数，然后计算摸出1个黑球，1个白球的结果数，利用古典概型的概念可得结果. 【详解】由题可知：从4个球中摸出2个球的所有可能结果数为246C = 则摸出1个黑球，1个白球的结果数为11133=C C所以所求概率为31=62故选：A 【点睛】本题考查古典概型的计算，审清题意，细心计算，属基础题. 5．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3,2a b ==，60A =，则B =( ) A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】A【解析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】32a b =>=， ,B A B ∴<为锐角，由正弦定理可得，32sin 22sin 23b AB a⨯===，所以45B =，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.（）A ．53B ．3C ．10D ．300【答案】B【解析】根据已知条件求出OM 、ON ，再利用余弦定理求解MN 即可. 【详解】根据已知条件不妨设45,30MAO NAO ∠=∠=，已知30m AO =，30MON ∠=，则tan 4530OM OA m ==，tan 30103ON OA m ==，所以两船的距离为MN ==.故选：B 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，理解题意是解题关键，属于基础题.7．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=【答案】B【解析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程．【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r∴|MC|﹣d=2﹣（2﹣x ）=2，化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0．故选B ．【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 8．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、多选题9．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________.(下面抽取了随机数表第1行至第3行)（）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A ．774 B ．946C ．428D ．572【答案】ACD【解析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，… 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572 故选：ACD 【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，掌握读数的方法，属基础题. 10．若m ，n 表示直线，a 表示平面，则下列命题中，正确命题为（） A ．//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭B ．//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭D ．//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭【答案】ABC【解析】A 可由线面垂直的判定定理进行证明；B 由线面垂直的性质定理可得结论正确；C 可在α内找n 的平行线进行证明；D 可举反例当n 和m 确定的平面平行于α. 【详解】对于A ，m α⊥，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为//m n ，所以n 也垂直于这两条直线，故n α⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，故B 正确；对于C ，//n α，所以存在直线b α⊂，且//b n ，因为m α⊥，所以m b ⊥，所以m n ⊥，故C 正确；对于D ，例如n 和m 确定的平面平行于α，则//n α，故D 不正确. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题. 11．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【解析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥，画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则(1,1]{2}b ∈--故选：AC. 【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.12．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则下列说法正确的是（）A ．3C π=B ．,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．a b +∈【答案】ABD【解析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出3C π=，然后利用2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出其范围即可.【详解】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,)22a b c c C ab π+-==∈，所以3C π=.由正弦定理得2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以a b +∈故选：ABD 【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.三、填空题13．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如果线性回归方程的斜率是1，则它的截距是__________. 【答案】11【解析】求出样本点的中心，然后利用回归直线方程，即可得答案；【详解】220112x +==，1(471215212527313741)2210y =+++++++++=， ∴2211111a =-⨯=，故答案为：11. 【点睛】本题考查回归直线方程的求法与应用，属于基础题.14．不等式4032x x-<-的解集是_________.【答案】3{|2x x <或4}x >【解析】转化为(4)(32)0x x --<，根据二次不等式求解即可. 【详解】由4032x x-<-可得：(4)(32)0x x --<，即(4)(23)0x x -->，解得4x >或23x <，所以不等式的解集为3{|2x x <或4}x >，故答案为：3{|2x x <或4}x > 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.【答案】【解析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.16．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．【答案】4【解析】求出圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到PM PN +的最小值. 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标3(2,)A -，以及半径1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，所以PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，(13)4+=.【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把PM PN +的最小值转化为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c bc --= ⑴求角A ；⑵若2b =，且ABC ∆的面积为3S =a 的值. 【答案】（1）23π；（2）27a =【解析】（1）由余弦定理得cosA ，即可求A; （2）由面积公式求得c,再由余弦定理求a 即可【详解】（1）222cosA 2b c a bc+-=，又222a b c bc --=,所以1cos 2A =-；又因为0A π<<，所以23A π=. （2）1123sin sin 223ABC S bc A bc π∆===，又3,2S b ==，所以4c =，所以2222cos 28a b c bc A =+-=，所以7a = 【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，熟记定理，准确计算是关键，是基础题18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =.求证：（1）//BE 平面1AC D ；（2）1AD C D ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出1//EC BD =，从而四边形1BDC E 是平行四边形，进而1//BE C D ，由此能证明//BE 平面1AC D ．（2）推导出1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，由此能证明1AD C D ⊥．【详解】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，1//EC BD =∴，∴四边形1BDC E 是平行四边形，1//BE C D ∴，BE ⊂/平面1AC D ，1C D ⊂平面1AC D ，//BE ∴平面1AC D ．（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，1AD CC ∴⊥，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =．AD BC ∴⊥，1BCCC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，1C D ⊂平面11BCC B ，1AD C D ∴⊥．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（1）设直线l 过点（2，3）且与直线2x +y +1=0垂直，l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，求|AB |；（2）求过点A （4，-1）且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程．【答案】（1）（2）x +4y =0或x +y -3=0【解析】（1）根据直线l 与直线2x +y +1=0垂直，由斜率之积为1-，可求出直线l 的斜率，再根据直线l 经过点()2,3 ，由点斜式即可写出直线l 的方程，然后分别令0,0x y ==可求出点,B A 的坐标，由两点之间的距离公式即可求出AB ；（2）根据直线的截距是否为零讨论，即直线是否过原点分类讨论，再根据情况分别设出直线方程，由直线过点()41-,即可求出．【详解】（1）设直线l 的斜率为k ，由题意知，()21k ⨯-=-，12k ∴=．而直线l 经过点()2,3 所以直线l ：()1322y x -=- 即x -2y +4=0．令x =0，得y =2，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，2），则|AB |=（2）当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x +y =c ，代入（4，-1）可得，c =3，此时直线l 方程为：x +y -3=0；当直线l 过原点时，设直线l 方程为：y kx =，因为直线l 过点()41-,，所以41k =-，解得14k =-，此时直线l 方程为：x +4y =0．综上：直线l ：x +4y =0或x +y -3=0．【点睛】本题主要考查直线方程的求法，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A ､B ､C ､D ､E 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）①答案见解析；②0.2. 【解析】（1）根据分层抽样的概念，可得各年级抽取的人数.（2）①由题意列出所有可能的结果即可；②根据①的条件，结合古典概型的概念直接【详解】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为2∶2∶1所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取2人，2人，1人（2）①从抽出的5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为： {A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }， {B ，C }，{B ，D }， {B ，E }， {C ，D }，{C ，E }，{ D ，E }共10种． ②不妨设抽出的5名同学中，来自甲年级的是A ，B ，来自乙年级的是C ，D ，来自丙年级的是E ，则从抽出的5名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为：{A ，B }，{C ，D }，共2种．所以，事件M 发生的概率为P （M ）=2=0.210．【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．21．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求60ACB ∠=︒，BC 长度大于1，且AC 比AB 长0.5米，（1）设BC a =，求AC 长？（2）为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？【答案】（1）()20.2511a b a a -=>-；（2）AC 最短为23米，当AC 最短时，BC 长度为31+. 【解析】（1）运用余弦定理建立函数表达式；（2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值.设(1),BC a a AC b =>=，则0.5AB b =-，∵222(0.5)2cos60b b a ab -=+-︒，∴20.25b a ab -+=-，整理得()20.2511a b a a -=>-（2）令()10a t t -=>，∴1a t =+，∴22(1)0.2520.75332222344t t t b t t t t +-++===+++=+(当且仅当34t t =，即32t =时取等号) 综上，当312BC =+米时AC 最短，为23+米. 【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值.22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()P 0,1且互相垂直的两条直线分别与圆22O :x y 4+=交于点A ，B ，与圆()()22M :x 2y 11-+-=交于点C ，D ．（1）若AB 37，求CD 的长；（2）若直线AB 斜率为2，求ABM ∆的面积；（3）若CD 的中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3(2) 41953542⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=，求出弦长，点M 到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE 的面积S ＝12AB·d＝，令214t k =+>，换元后根据二次函数求最值即可.【详解】(1) 由题可知，直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1. 因为O点到直线AB 的距离d 1，∴22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2⎛⎫＝4， ∴AB＝由得k 2＝15.因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y ＝1k-x ＋1， ∴M 点到直线CD的距离d 2211-+-，∴22CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1－2211⎛⎫ ⎪-+-，CD ＝. (2) 直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=O ∴到直线AB 距离为5M 到直线AB 距离为5d =AB∴==1·2ABM S AB d ∆∴==(3)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1，k≠0，直线CD ：y ＝－1kx ＋1.<1得k 2>3，所以，＋∞)．因为22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛⎫＝4，所以AB ＝因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d，所以△ABE 的面积S ＝12AB·d＝.令214t k =+>，则S＝=41104t t >∴<<S ∴∈4⎫⎪⎪⎝⎭.综上，△ABE 面积的取值范围是4⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形，换元法，二次函数求最值，属于难题.。

2020年江苏省淮安市高一(下)期中数学试卷解析版

A1C1 的位置关系是（）
A. 平行 B. 相交 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直
4. 棱长和底面边长均为 1 的正四棱锥的体积为（）
A.
B.
C.
D.
5. 若直线
过第一、三、四象限，则实数 a，b 满足（）
A. a＜0，b＜0
B. a＜0，b＞0
C. a＞0，b＞0
D. a＞0，b＜0
14. 已知点（x，y）在直线 2x+y+5＝0 上运动，则
的最小值是____．
15. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB，AC，AA1 两两成 60°角，点 E，F，G 分别为线段 AB，
AC，AA1 上的点，且 AE= AB，AF= AC，AG= AA1，则三棱锥 G-AEF 的体积与三
棱柱 ABC-A1B1C1 体积之比为______
期中数学试卷
题号得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 直线 x-y+3=0 的倾斜角为（）
A.
B.
C.
D.
2. 在△ABC 中，A：B：C=1：2：3，则 a：b：c 等于（）
A. 1：2：3
B. 3：2：1
C. 1：：2
D. 2：：1
3. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 BD 与
16. 在△ABC 中，2sin2 ＝ sinA，sin(B－C)＝2cosBsinC，则＝__.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 如图，在四棱锥 P‐ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD

江苏省淮安市2020年高一下学期期中数学试卷(I)卷-1

江苏省淮安市2020年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·天津月考) 已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·元氏期中) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角的值为（）A .B .C . 或D . 或3. （2分）若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·吉林模拟) 已知集合，集合，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）数列{an}满足2an=an-1+an+1（n≥2），且a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=12则a3+a4+a5=（）A . 9B . 10C . 11D . 126. （2分） (2019高三上·深州月考) 在中，内角所对的边分别为 .已知，则（）A .B .C .D .7. （2分）若，，则下列不等式中恒成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·郑州月考) 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·宁波月考) 已知函数f（x），g（x）＝f（）+1（k∈R，k≠0），则下列关于函数y＝f[g（x）]+1的零点个数判断正确的是（）A . 当k＞0时，有2个零点；当k＜0时，有4个零点B . 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有2个零点C . 无论k为何值，均有2个零点D . 无论k为何值，均有4个零点10. （2分） (2019高二上·湖南月考) 设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（）A . 3B . 2C .D .11. （2分）(2019·泉州模拟) 两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为，则圆柱的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·运城期末) 已知x，y均为正数，且x+y=2，则x+4 +4y的最大值是（）A . 8B . 9C . 10D . 11二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·新余月考) 一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.14. （1分）若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，…，写出它的一个通项公式是________．15. （1分）(2019·武威模拟) 已知不等式的解集是，则________．16. （1分） (2016高二下·黄冈期末) 下面是关于复数z= 的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·凉山模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）= sinAcosB ﹣ sinBcosA．（1）求证：A=B；（2）若A= ，a= ，求△ABC的面积．18. （15分） (2017高一上·江苏月考) 已知函数，且．（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）若，求实数a的取值范围．19. （5分）已知圆台的两个底面面积分别为4π和25π，圆台的高为4，求圆台的体积与侧面积．20. （5分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5， b=5，求sinBsinC的值．21. （5分） (2017高三上·泰安期中) 已知数列{an}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+a n﹣an+1=﹣2．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{anbn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2016高三上·泰兴期中) 设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N* ，存在k∈N* ，使得an+k2=an•an+2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

江苏省2020版高一下学期数学期中联考试卷(I)卷

江苏省2020版高一下学期数学期中联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·上海月考) 设，，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2016高一下·汕头期末) sin160°cos10°+cos20°sin10°=（）A .B .C .D . -3. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）(2018高二上·阜阳月考) 已知数列的通项公式，则（）A . 150B . 162C . 180D . 2105. （2分）已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·南宁期中) 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是（）.A .B .C .D .8. （2分）若实数a,b满足，则的最小值为（）A .B . 2C .D . 49. （2分）(2017·山东) 函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（）A .B .C . πD . 2π10. （2分）数列的通项公式，其前项和为，则等于（）A . 1006B . 2012C . 503D . 0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高二上·上海月考) 数列满足，则其通项公式 ________12. （1分）若 =1，则sin2α=________．13. （1分） (2020高二上·宝安期末) 设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得 ________．14. （1分）关于函数有下列四个个结论：①f（x）是奇函数．②当x＞2003时，．③f（x）的最大值是．④f（x）的最小值是．其中正确结论的序号是________．三、双空题 (共3题；共4分)15. （1分） (2019高一下·柳州期末) 已知为第二象限角，且，则________.16. （1分） (2016高一下·溧水期中) 等差数列{an}中，若a4+a14=2，则S17=________．17. （2分） (2016高一上·浦东期末) 不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是________．四、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2019高一上·上海月考) 设p：实数满足，其中，命题q：实数x满足 .（1）若，且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19. （5分） (2020高一下·鸡西期中) 已知，，令 .（1）求的最小正周期及的解集；（2）锐角中，，边，求周长最大值.20. （10分） (2016高一下·南沙期末) 已知正数数列{an}的前n项和为Sn ，点P（an ， Sn）在函数f （x）= x2+ x上，已知b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=anbn ，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）是否存在整数m，M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．21. （10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，且，求．22. （10分） (2015高一下·太平期中) 在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=3，a1+a3=10，求Sn ．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、双空题 (共3题；共4分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在△ABC 中，a =1，b =4，C =30°，则这个三角形的面积是( )A. 14B. 13C. 12D. 12. 已知复数z =2+3i1−i，则z −的虚部为( ) A. −12B. 52iC. −52D. 523. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,λ)，c ⃗ =(3,−1)，且(a ⃗ +b ⃗ )//c ⃗ ，则实数λ=( )A. 3B. −3C. 7D. −75. 若sinα=13，则cos2α=( )A. 89B. 79C. −79D. −896. 在△ABC 中，A =60°，a 2=bc ，则△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5√6米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为( )A. 10√3米B. 15米C. 20米D. 20√3米8. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S =√14[(ab)2−(a 2+b 2−c 22)2]，根据此公式，若ccosB +(b +3a)cosC =0，且c 2−a 2−b 2=4，则△ABC 的面积为( )A. √2B. 2√2C. √6D. 2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在水流速度为10km/ℎ的自西向东的河中，如果要使船以10√3km/ℎ的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为( )A. 北偏西30°B. 北偏西60°C. 20km/ℎD. 30km/ℎ10. 下列等式成立的是( )A. cos 215°−sin 215°=√32B. sin π8cos π8=√24C. 12sin40°+√32cos40°=sin70° D. tan15°=2−√311. 在复平面内，下列说法正确的是( )A. 若复数z =1+i1−i (i 为虚数单位)，则z 30=−1 B. 若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC. 若复数z =a +bi(a,b ∈R)，则z 为纯虚数的充要条件是a =0D. 若复数z 满足|z|=1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆12. 下列结论正确的是( )A. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC 是钝角三角形B. 若点G 为△ABC 的重心，则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗C. 若a ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ 且c ⃗ ≠0⃗ ，则a ⃗ =b ⃗D. 若P ，A ，B 三点满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B 三点共线．三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设z =2−2i 1+i，则|z|=______．14. 已知tanα、tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两根，且α、β∈(−π2,π2)，则tan(α+β)= ______ ．15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF =2FA ，若AB =2√13，则DF 的长为______ ．16.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=4，|b⃗ |=2√2，(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=8，则a⃗，b⃗ 的夹角为______ ，|a⃗+b⃗ |=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)计算[(1+2i)⋅i100+(1−i1+i )5]2−(√2)20；(2)在复数范围内解关于x的方程：x2+4x+5=0．18.已知a⃗=(1,0),b⃗ =(2,1)．(1)当k为何值时，k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 共线？(2)当k为何值时，k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 垂直？(3)当k为何值时，k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 的夹角为锐角？19.(1)已知sinα=35,α∈(π2,π),cosβ=−513,β∈(π,3π2)，求cos(α+β)的值；(2)已知cos(α+β)=513,cosβ=45,α,β均为锐角，求sinα的值．20.如图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t1时刻航行到C处，测得∠ACB=75°，∠ACD= 120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A，B两小岛间的距离．(注：A、B、C、D四点共面)21.已知函数f(x)=sin2x−2sin2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期．(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．22.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.若4S=b2+c2−a2，b=√6．(1)求A；(2)若______，求△ABC的面积S的大小．(在①2cos2B+cos2B=0，②bcosA+acosB=√3+1.这两个条件中任选一个，补充在横线上)答案和解析1.【答案】D【解析】解：这个三角形的面积S =12absinC =12×1×4×sin30°=1．故选：D ．利用三角形的面积S =12absinC 即可得出．本题考查了三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z =2+3i 1−i=(2+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+52i ，∴z −=−12−52i ，则z −的虚部为−52．故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z −得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可知，D 为△ABC 所在平面内的一点，如图所示，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ①， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ②，因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入①中可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ③，由②③可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：B ．根据向量的加法法则进行求解转化即可．本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a⃗+b⃗ =(3,λ+2)，且(a⃗+b⃗ )//c⃗，∴3(λ+2)+3=0，解得λ=−3．故选：B．可求出a⃗+b⃗ =(3,λ+2)，这样根据(a⃗+b⃗ )//c⃗即可得出3(λ+2)+3=0，解出λ即可．考查向量坐标的加法运算，以及向量平行的定义，平行向量的坐标关系．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据cos2α=1−2sin2α能求出结果．【解答】解：∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin2α=1−2×19=79．故选B．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc，∴bc=b2+c2−bc，即(b−c)2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．本题考查余弦定理判三角形形状，属基础题．7.【答案】B【解析】解：如图所示，依题意知∠AEC=45°，∠ACE= 180°−60°−15°=105°，∴∠EAC=180°−45°−105°=30°，由正弦定理知CEsin∠EAC =ACsin∠AEC，∴AC=5√6sin30°×sin45°=10√3(米)，∴在Rt△ABC中，AB=AC⋅sin∠ACB=10√3×√32=15(米)．故选：B．画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系即可求出旗杆的高度．本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决问题．8.【答案】B【解析】解：因为ccosB+(b+3a)cosC=0，所以sinCcosB+sinBcosC+3sinAcosC=0，即sin(B+C)+3sinAcosC=0，所以sinA+3sinAcosC=0，因为sinA≠0，所以cosC=−13，∵c2−a2−b2=4，由余弦定理可得，cosC=−13=a2+b2−c22ab=−42ab，所以ab=6，则△ABC的面积S=√14[(ab)2−(a2+b2−c22)2]=12√36−4=2√2．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．9.【答案】AC【解析】解：由题意如图所示：|AB|=10，|AC|=10√3，且AC⊥AB，作平行四边形ABCD，可得：AD|=√|AC|2+|AB|2=√102+(10√3)2=20，且tan∠DAC=|DC||AB|=1010√3=√33，所以∠DAC=30°，故选：AC．由题意作平行四边形ABCD，由直角三角形可得斜边|AD|的值，及∠DAC的值．本题考查解三角形的方法，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：A中，cos215°−sin215°=cos30°=√32，故A正确；B中，sinπ8cosπ8=12×212sinπ4=√24，故B正确；C中，12sin40°+√32cos40°=sin(40°+60°)=sin100°≠sin70°，所以C不正确；D中，tan15°=tan(60°−45°)=tan60°−tan45°1+tan60∘⋅tan45∘=√3−11+√3=2−√3，所以D正确；故选：ABD．分别将所给命题按二倍角公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式逆用可判断出所给命题的真假．本题考查三角函数的恒等变形即化简的应用，属于基础题．11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了复数的周期性及其运算法则、几何意义及其有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．A 先化简．复数z =1+i1−i，根据复数的周期性及其运算法则即可得出z 30，即可判断出正误． B .举例z =i 即可判断出正误．C .复数z =a +bi(a,b ∈R)，则z 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0，即可判断出正误．D .根据复数的几何意义即可判断出正误．【解答】解：A.复数z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，∵i 4=1，则z 30=(i 4)7⋅i 2=−1，因此正确．B .复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，不正确，例如z =i 满足z 2=−1∈R ，但是z ∉R ．C .复数z =a +bi(a,b ∈R)，则z 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0.因此不正确．D .复数z 满足|z|=1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，根据复数的几何意义可知正确．综上可得：只有AD 正确．故选AD ．12.【答案】ABD【解析】解：对A ：由于cosA =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |<0，所以π2<A <π，故△ABC 是钝角三角形，故A 正确；对B ：取BC 的中点D ，连接GD ，并延长至E ，使|DE|=|GD|，则四边形BECG 为平行四边形，因为G 是△ABC 的三边中线的交点，即有GA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故B 正确；对C ：若若a ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =0，则a ⃗ 与b ⃗ 不一定相等，故C 错误；对于D ：点A 、B 、P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，则x +y =1，由于P ，A ，B 三点满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B 三点共线，故D 正确．故选：ABD ．对A ：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ <0，可得A 为钝角，即可判断；对B ：取BC 中点D ，由重心的性质得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可判断；对C ：a ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =0，即可进行判断；对D ：根据平面向量基本定理即可判断．本题考查命题的真假的判断，向量的基本运算法则的应用，三角形的性质的判断，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：z=2−2i1+i =(2−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−4i1+1=−2i，则|z|=2，故答案为：2．化简z，求出z的模即可．本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．14.【答案】√3【解析】解：∵tanα、tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根，∴tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4，∵α，β∈(−π2,π2 )，∴−π<α+β<π，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−3√31−4=√3．故答案为：√3．利用韦达定理可得tanα+tanβ与tanα⋅tanβ的值，利用两角和的正切即可求得tan(α+β)．本题考查两角和与差的正切函数，考查韦达定理的应用，属于中档题．15.【答案】4【解析】解：由题意可得CF=DA=FA+DF，∠EFD=60°，所以∠AFC=120°，因为DF=2FA，所以CF=FA+DF=3FA，在△ACF中，由余弦定理可得：AC2=AF2+CF2−2AF⋅CF⋅cos∠AFC，而AC=AB=2√13，所以4×13=AF2+9AF2−2×AF×3AF⋅(−12)，解得：AF=2，DF=2AF=4，故答案为：4．由等边三角形EFD，ABC可得∠EFD=60°，∠AFC=120°，CF=AD=3AF，由余弦定理可得AF的值，进而求出DF的值．本题考查三角形余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】3π42√2【解析】解：因为|a⃗|=4，|b⃗ |=2√2，所以(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =16+a⃗⋅b⃗ =8，故a⃗⋅b⃗ =−8，所以cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=4×2√2=−√22，因为<a⃗,b⃗ >∈[0,π]，故<a⃗,b⃗ >=3π4．而|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√42+(2√2)2−2×8=2√2．故答案为：3π4,2√2．先根据数量积的运算公式求出a⃗⋅b⃗ 的值，然后代入夹角公式即可求出夹角，将|a⃗+b⃗ |平方，然后结合已知即可求解．本题考查平面向量数量积的运算与性质，同时考查学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，(√2)2=2i2=i，∴[(1+2i)⋅i100+(1−i1+i )5]2−(√2)20=[(1+2i)⋅1+(−i)5]2−i10=[1+2i−i]2−i2=(1+i)2+1=1+2i；(2)由x2+4x+5=0，配方得(x+2)2=−1，即x+2=±i，所以x=−2±i．【解析】(1)根据复数的运算性质化简即可；(2)解方程，求出方程的解即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．18.【答案】解：(1)根据题意，a⃗=(1,0),b⃗ =(2,1)，则k a⃗+b⃗ =(k+2,1)，a⃗+2b⃗ =(5,2)，若k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 共线，则有(k+2)×2−1×5=0，解可得：k =12，(2)根据题意，k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,2)，若k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 垂直，则(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=2(k +2)−5=0，解可得：k =−125，(3)根据题意，k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,2)，若k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的夹角为锐角，则有(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )>0且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不共线，即(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=2(k +2)−5>0且(k +2)×2−1×5≠0，解可得：k >−125且k ≠12．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得(k +2)×2−1×5=0，解可得k 的值，即可得答案；(2)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b⃗ )=2(k +2)−5=0，解可得k 的值，即可得答案； (3)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，分析可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )>0且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不共线，据此可得关于k 的不等式，解可得答案．本题考查向量的线性运算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．19.【答案】解：(1)已知sinα=35,α∈(π2,π)，所以cosα=−45；由于cosβ=−513,β∈(π,3π2)，所以sinβ=−1213，故cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−45)×(−513)−35×(−1213)=5665． (2)由于α，β为锐角，故0<α+β<π，由于cos(α+β)=513,cosβ=45，所以sin(α+β)=1213，sinβ=35；故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=1213×45−513×35=3365．【解析】(1)直接利用三角函数的定义的应用求出结果；(2)利用三角函数的定义和函数的角的恒等变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，角的恒等变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：由已知得CD=15，∠ACD=120°∠ADC=30°，∴∠CAD=30°，在△ACD中，由正弦定理得15sin30°=ADsin120°，…(2分)∴AD=15√3；…(4分)∵∠BDC=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，在△BCD中，由正弦定理得，15sin60°=BDsin45°，…(6分)∴BD=5√6；…(8分)在△ABD中，∠ADB=45°，由余弦定理得AB=√(15√3)2+(5√6)2−2⋅15√3⋅5√6⋅cos45°=5√15…(10分)故两小岛间的距离为5√15海里．…(12分)【解析】在在△ACD中，由正弦定理求出AD，在△BCD中，由正弦定理求出BD，在△ABD 中，由余弦定理得AB本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=sin2x−(1−cos2x)=√2sin(2x+π4)−1所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π(2)由(1)知，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，f(x)取最大值√2−1因此函数f(x)取最大值时x的集合为：{x|x=kπ+π8,k∈Z}【解析】(1)先将函数f(x)化简为f(x)=√2sin(2x+π4)−1，根据T=2π2可得答案．(2)令2x+π4=2kπ+π2，可直接得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法．属基础题．22.【答案】解：(1)∵4S =b 2+c 2−a 2，b =√6，∴4×12×√6csinA =2×√6ccosA ，∴sinA =cosA ，可得tanA =1， ∴由A 为锐角，可得A =π4．(2)若选①：2cos 2B +cos2B =2cos 2B +2cos 2B −1=0，可得4cos 2B =1，因为B 为锐角，可得cosB =12，可得B =π3，由正弦定理a sinA =bsinB ，可得√22=√6√32，解得a =2，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得6=4+c 2−2c ，解方程可得c =1+√3，(负值舍去)，所以S △ABC =12acsinB =12×2×(1+√3)×√32=3+√32．若选②，bcosA +acosB =√3+1，又b =√6，A =π4，可得√6×√22+acosB =√3+1，解得acosB =1，①又由正弦定理√22=√6sinB ，可得asinB =√3，②由①②可得tanB =√3，结合B 为锐角，可得B =π3，由正弦定理a sinA =bsinB ，可得√22=√6√32，解得a =2，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得6=4+c 2−2c ，解方程可得c =1+√3，(负值舍去)，所以S △ABC =12acsinB =12×2×(1+√3)×√32=3+√32．【解析】(1)利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanA ，结合A 为锐角可得A 的值．(2)若选①：利用二倍角公式化简已知等式，结合B 为锐角，可得cosB =12，进而可得B 的值，由正弦定理可得a 的值，由余弦定理可解c 的值，根据三角形的面积公式即可求解．若选②，由已知等式代入数据可得acosB =1，又由正弦定理可得asinB =√3，两式相除利用同角三角函数基本关系式可求tanB ，结合B 为锐角，可得B =π3，由正弦定理可得a 的值，由余弦定理可解c 的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

2019-2020学年淮安市淮洲高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年淮安市淮洲高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线x+√3y−a=0的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=n+1，b=n，c=n−1，n∈N+，且A=2C，则△ABC的最小角的余弦值为()A. 25B. 35C. 12D. 343.下列命题为正确命题的是()A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 与某一平面成等角的两条直线平行D. 垂直于同一直线的两条直线平行4.已知底面边长为2√3的正三棱锥O−ABC的体积为√3，且A，B，C都在球O上，则球O的体积是()A. 20√5π3B. 8πC. 20πD. 4√3π5.过点P(1,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为A. 2x–y=0或x+y–3=0B. 2x–y=0C. x–2y=0或x+y–3=0D. x+y–3=06.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则√2sinB−cosC的最大值是()A. 1B. √3C. √7D. 2√77.10.设a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是A. 若a，b与所成的角相等，则a//bB. 若a//，b//，//，则a//bC. 若a⊂，b⊂，a//b，则//D. 若a⊥，b⊥，⊥，则a⊥b8.将圆平分的直线的方程可以是()A. B. C. D.9.已知m、l是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊥α，l//β，则下列说法正确的是()A. 若m//l，则α//βB. 若α⊥β，则m//lC. 若m⊥l，则α//βD. 若α//β，则m⊥l10.若点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，则k是()A. B. ± C. D.二、单空题（本大题共6小题，共36.0分）11.经过点A(3,0)，且与直线2x+y−5=0平行的直线方程是______．12.在△ABC中，如果sin A：sin B：sinC=2：3：4，那么tanC=______．13.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，则四面体A1−B1PQ的体积为______ ．14.在极坐标系中，已知直线l的极坐方程为ρsin(θ+π4)=√2+1，圆C的圆心(√2,π4)，半径为√2，则直线l被圆C所截得的弦长是______ ．15.已知空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为(5,5，8)，(−1,1，4).则线段MN的中点到坐标原点的距离为______．16.在△中，已知，，，则△的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE//平面PAD；(2)求直线BE与平面PAC所成角的大小．18. 如图，在平面四边形ABCD 中，E 为边AB 上一点，连接CE ，DE.已知CB =2，AD =√62，∠B =2π3，∠A =3π4．(1)证明：AB//CD ； (2)若BE =1，∠CED =2π3，分别求CE 的长、sin∠AEB 的值和CD 的长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ccosB =(2a −b)cosC ．(1)求角C 的大小；(2)若AB =4，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断当S 最大时△ABC 的形状．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD．(1)求证：平面APC⊥底面BPD；(2)若PB⊥PD，∠DAB=60°，AP=AB=2，求二面角A−PD−C的余弦值．21.若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系．【答案与解析】1.答案：D解析：解：直线x +√3y −a =0即y =−√33x +a ，故直线的斜率等于−√33，设直线的倾斜角等于α，则0≤α<π，且tanα=−√33，故α=150°，故选：D ．把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．2.答案：D解析：解：根据题意，在△ABC 中，a =n +1，b =n ，c =n −1，则c 为最小边，C 为最小角；则cosC =a 2+b 2−c 22ab=n 2+(n+1)2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，又由A =2C ，则sinA sinC =sin2C sinC=2cosC ，则sinA sinC =ac =n+1n−1=2cosC ，变形可得cosC =n+12(n−1)，则有n+42(n+1)=n+12(n−1)，解可得n =5，则cosC =n+12(n−1)=34；故选：D ．根据题意，由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =n 2+(n+1)2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，又由正弦定理和二倍角公式可得cosC =n+12(n−1)，联立两个式子可得n+42(n+1)=n+12(n−1)，解可得n 的值，代入cosC =n+12(n−1)中计算可得答案．本题考查余弦定理的应用，涉及二倍角公式的应用，关键是求出n 的值，属于基础题．解析：解：A、平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故A不正确；B、根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一平面的两条直线平行，所以B正确；C、两直线与同一平面成等角，则这两直线也可能相交、异面或平行，如图，在正方体中，AD′和CD′与底面成等角，但这两条直线相交，故C错；D、不正确，反例：正方体的棱长所在的直线可能平行、相交或为异面直线；故答案为BA、平行于同一平面的两直线相交、平行或异面；B、利用线面垂直的性质定理判断；C、由正方体中直线进行判断；D、反例：正方体的棱长所在的直线可能平行、相交或为异面直线；熟练空间中的线线、线面、面面的位置关系是解题的关键．4.答案：A解析：解：由题意，正三棱锥O−ABC的顶点O正好是球O的球心，设球O的半径为R，设△ABC的外接圆的半径为r，因为正△ABC的边长为2√3，所以r=√33×2√3=2，因为正三棱锥O−ABC的体积为√3，设球心O到正三棱锥底面的高为h，则13×√34×(2√3)2×ℎ=√3，所以ℎ=1，所以R=√r2+ℎ2=√5，所以球O的体积为43πR3=43π×(√5)3=20√5π3，由题意，正三棱锥O−ABC的顶点O正好是球O的球心，求出正三角形ABC的外接圆的半径，进而根据三棱锥的体积求出球心O到底面ABC的高，进而求出球O的半径，即可求出球O的体积．本题考查球的体积公式，三棱锥的体积公式，考查计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点(0,0)，P(1,2)，直线斜率为k=2，方程为y=2x；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为xa +ya=1，把P(1,2)代入，得a=1+2=3，∴所求的直线方程为：x+y−3=0．综上：过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x−y=0或x+y−3=0．故选：A．讨论截距为0时和截距不为0时，分别求出直线的方程即可．本题考查了直线方程的求法与应用问题，解题时要注意截距式方程的合理运用．6.答案：A解析：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA，∴tanA=1，即A=π4，，∵0<B<3π4，即π4<B+π4<π，∴0≤sin(B+π4)≤1，则√2sinB−cosC的最大值为1．故选：A．已知等式利用正弦定理化简得到tanA=1，求出A的度数，用B表示出C，代入所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7.答案：D解析：8.答案：D解析：试题分析：圆心，将圆平分的直线必过圆心，经判断可知其直线方程可以是．考点：直线与圆．9.答案：D解析：本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质．根据空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．解析：解：若m//l，m⊥α，则l⊥α，又l//β，则α⊥β，即A不正确；若α⊥β，则m、l位置不确定，即B不正确；若m⊥l，则α//β或α，β相交，即C不正确；若m⊥α，α//β，则m⊥β，又l//β，则m⊥l，即D正确，故选D．10.答案：D解析：设点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点为B(x0,0)，依题意得解得k=．11.答案：2x+y−6=0解析：解：由平行关系可设所求直线的方程为2x+y+c=0，∵直线经过A(3,0)，∴2×3+0+c=0解得c=−6，∴所求直线方程为2x+y−6=0故答案为：2x+y−6=0由平行关系可设所求直线的方程为2x+y+c=0，代点可得c值，可得答案．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．12.答案：−√15解析：解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=a2+b2−c22ab =4t2+9t2−16t22×2t×3t=−14，∵C∈(0,π)∴tanC=−√1cos2C−1=−√15．故答案为：−√15．由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cos C，结合范围C∈(0,π)，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．13.答案：√32解析：解：以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A 1(0,0，2)，B 1(√3,1，2)，Q(√32,32,0)，P(0,2，1)，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,−1)，PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，设平面PQB 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y −z =0n ⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y +z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,0)， ∴A 1平面PQB 1的距离d =|PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√32=√3，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√34+14+1=√2，|PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1+1=√5，cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32+12−1√2⋅√5=1√10，sin <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1−110=3√10，∴S △PQB 1=12×|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32， ∴四面体A 1−B 1PQ 的体积为： V =13×d ×S △PQB 1=13×√3×32=√32．故答案为：√32．以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四面体A 1−B 1PQ 的体积．本题考查几何体的体积、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．14.答案：2)=√2+1，可化为x+y=2+√2，解析：解：直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)的直角坐标为(1,1)，圆心(√2,π4∴圆心C(1,1)到直线l的距离为d=|1+1−2−√2|=1，√2又∵圆C的半径为r=√2，∴直线l被曲线C截得的弦长2√r2−d2=2．把极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．15.答案：7解析：线段MN的中点坐标为：(2,3，6)，由此能求出线段MN的中点到坐标原点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为(5,5，8)，(−1,1，4)．线段MN的中点坐标为：(2,3，6)，则线段MN的中点到坐标原点的距离为：√22+32+62=7．故答案为：7．16.答案：解析：试题分析：作，设中由余弦定理得考点：正余弦定理解三角形17.答案：(1)证明：取PD中点G，连结AG，EG，∵E 是PC 的中点，∴EG//CD ，且EG =12CD ，∴EG//AB ，且EG =AB ，∴四边形ABEG 是平行四边形，∴BE//AG ，∵BE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAG ，∴BE//平面PAD ．(2)解：在平面ABCD 中，作BH ⊥AC ，交AC 于点H ，连接EH ．∵PA ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥PA ，又∵BH ⊥AC ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴BH ⊥平面PAC ，∴∠BEH 为直线BE 与平面PAC 所成的角．在△PAD 中，AG =12PD =√2，∴BE =AG =√2，又∵B 点到直线AC 的距离是D 点到直线AC 距离的12．∴BH =√22，∴sin∠BEH =12，∴直线BE 与平面PAC 所成的角为π6．解析：(1)取PD 中点G ，连结AG ，EG ，证明四边形ABEG 是平行四边形，推出BE//AG ，即可证明BE//平面PAD ．(2)作BH ⊥AC ，交AC 于点H ，连接EH.说明BH ⊥PA ，证明BH ⊥平面PAC ，说明∠BEH 为直线BE 与平面PAC 所成的角．然后求解直线BE 与平面PAC 所成的角．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18.答案：解：(1)证明：C 到直线AB 的距离为d 1=CBsin(π−B)=2sin π3=√3，D到直线AB的距离为d2=ADsin(π−A)=√6sinπ4=√3，所以d1=d2，所以AB//CD．(2)在△CBE中，由余弦定理得，CE=√BC2+BE2−2BC⋅BEcos2π3=√22+12−4cos2π3=√7，由正弦定理得，BEsin∠BCE =CEsin∠CBE，所以sin∠BCE=BEsin∠CBECE =1×sin2π3√7=√2114，因为∠B=∠CED，所以∠BCE=∠AED，所以sin∠AED=sin∠CBE=√2114，因为AB//CD，所以∠CDE=∠AED，在三角形CDE中，CDsin∠CED =CEsin∠CDE，所以CD=CEsin∠CEDsin∠CDE =√7sin2π3√2114=7．解析：(1)直接点到直线的距离相等求出直线平行．(2)利用(1)的结论及正弦定理和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：(1)∵ccosB=(2a−b)cosC，∴由正弦定理可知，sinCcosB=2sinAcosC−sinBcosC，即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC，∴sin(C+B)=2sinAcosC，∵A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=12，∵0<C<π，∴C=π3；(2)由题可知c =4，C =π3， ∴S △ABC =√34ab ， ∵由余弦定理可知：a 2+b 2=c 2+2abcosC ，即a 2+b 2=16+ab ≥2ab ，∴ab ≤16，当且仅当a =b 时取等号，∴S △ABC 的最大值为4√3，此时三角形为等边三角形．解析：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；(2)由c 与C 的度数，表示出三角形ABC 面积，利用余弦定理及基本不等式求出ab 的最大值，进而确定出三角形ABC 面积的最大值，以及此时三角形的形状即可．20.答案：解：(1)证明：记AC ∩BD =O ，连接PO ，因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，O 是BD ，AC 的中点，因为PB =PD ，所以PO ⊥BD ，因为AC ∩PO =O ，所以BD ⊥平面APC ，又因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．(2)如图，以O 为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间坐标系，则A(√3,0,0),D(0,−1,0),P(0,0,1),C(−√3,0,0,)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)，设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面APD 的法向量，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⇒{√3x 1+y 1=0y 1+z 1=0，令y 1=−√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，同理可得平面PCD 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−√3)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3)×√3+(−√3)×√3√7×√7=−57，由图形可知二面角A −PD −C 为钝二面角∴二面角A −PD −C 的余弦值为−57．解析：(1)记AC∩BD=O，连接PO，推导出BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面APC，由此能证明平面APC⊥平面BPD．(2)以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角A−PD−C的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：设球的半径为r，根据一个球与一个圆柱的各面均相切，所以圆柱的高为2r，圆柱的底面半径为r．则V球=43⋅π⋅r3，V圆柱=π⋅r2⋅2r=2πr3，所以a=43πr32πr3=23．S 球=4πr2，S圆柱=2πr2+2πr⋅2r=6πr2，所以b=4πr26πr2=23，则a=b．解析：直接利用球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。

江苏省淮安市2020年高一下学期数学期中考试试卷A卷

江苏省淮安市2020年高一下学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·深圳月考) 已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·上高月考) 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与的非负半轴重合，终边过点，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·增城期中) 下列函数中周期为且为偶函数的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知是定义在R上不恒为零的偶函数，且对任意，都有，则的值是（）A . 0B .C . 1D .5. （2分）(2018·成都模拟) 已知直线和平面，若，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高二下·安吉期中) 将函数y=f（x）的图象向右平移单位得到函数y=cos2x的图象，则f（x）=（）A . ﹣sin2xB . cos2xC . sin2xD . ﹣cos2x7. （2分） (2019高一上·东台期中) 已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是（）A .C .D .8. （2分） (2019高一下·南通期末) 已知函数＝sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则＝（）A . －B . －C .D .9. （2分） (2017高二上·海淀期中) 已知函数，则“ ”是“ 在上的单调递增”的（）．A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2019高一上·合肥月考) 已知函数，则函数的值域为（）A .B .C .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角的终边经过点，则 =________．12. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知角满足，其终边上有一点，若，则 ________13. （1分）已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a2+3b2﹣3c2+2ab═0，则tan C=________．14. （1分） (2016高三上·宜春期中) 将函数f（x）= sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质________．（填入所有正确性质的序号）①最大值为，图象关于直线x= 对称；②在（﹣，0）上单调递增，且为偶函数；③最小正周期为π．15. （1分）已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第________象限的角．三、双空题 (共3题；共3分)16. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0， ]）的最大值是________．17. （1分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是________．18. （1分） (2019高一上·新丰期中) 已知，且，则的值为________．四、解答题 (共3题；共36分)19. （10分） (2016高一上·长春期中) 已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．（1）若f（x）= ，求x的值；（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．20. （15分）已知函数f（x）=2sin（3x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期，单调减区间；（2）若x∈[0， ]，求f（x）的值域．21. （11分） (2016高二上·吉安期中) 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1 ， F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E 于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2 ，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共3题；共3分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：四、解答题 (共3题；共36分)答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。