信号课件第四章拉普拉斯变换
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信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
第4章 拉氏变换
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4f(0.5t)
f(t) 1 0 1 y(t) 2 4 t
Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s 2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
α
σ
收敛边界
第4-7页
■
收敛域
信号与系统 解
4.1
拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
e ( s )t F2b ( s ) e e st d t (s )
■
信号与系统
2 拉普拉斯变换引入 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推 广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = ζ+jω,以复指数函数est 为基本信号，任意信号可分解为不同复频率 的复指数分量之和。这里用于系统分析的独 立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用 的数学工具为拉普拉斯变换。
第4-15页
■
信号与系统
4.1
拉普拉斯变换
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F (j ) lim F ( s )
0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
1 j F (j ) lim lim 2 lim 2 0 j 0 2 0 2
s 2 2 2 2 s2 F ( s) 2 2 2 s2 4 s 4 2 s 4 2
Chapter4-拉普拉斯变换及其应用
0 0
– 调制：L
对照：F
f t ea t F s a
f t e j0t F 0 1 例子： L u t ，由频移性质，则：L u t cos 0t s 1 1 1 s 1 j0t j0t L u t e e 2 s j s j s 2 2 2 0 0 0
s
4） t 在零点有冲激 f f t k t f1 t F s k F1 s f 0 f1 0 lim sF1 s
s
15
– 终值定理：求系统稳态点
L
f t F s ，L f t 存在，sF s 在除原点
3
s
L t
2
2
s
3
3
3!
7
• 积分下限的选取： – f (t) 在 t = 0 处是第一类间断点，下限取 0 均可
F s L
f t
0
f e st dt
此时，f t |t 0 ~ t ，f t |t 0 ~ t , – f (t) 在 t = 0 处是 (t)或其高阶导数，下限取 0
0 sin 0t u t 2 ，不满足终值定理条件！ 2 s 0
αt
1 e u t ， 0，不满足终值定理条件！ s 初值：取决于高频成分；终值：取决于低频成分。
17
§4.3 拉普拉斯逆变换
已知F s ，求 f t
N s • 极点、零点： F s L f t D s
0 ( j ) t
dt
– 调制：L
对照：F
f t ea t F s a
f t e j0t F 0 1 例子： L u t ，由频移性质，则：L u t cos 0t s 1 1 1 s 1 j0t j0t L u t e e 2 s j s j s 2 2 2 0 0 0
s
4） t 在零点有冲激 f f t k t f1 t F s k F1 s f 0 f1 0 lim sF1 s
s
15
– 终值定理：求系统稳态点
L
f t F s ，L f t 存在，sF s 在除原点
3
s
L t
2
2
s
3
3
3!
7
• 积分下限的选取： – f (t) 在 t = 0 处是第一类间断点，下限取 0 均可
F s L
f t
0
f e st dt
此时，f t |t 0 ~ t ，f t |t 0 ~ t , – f (t) 在 t = 0 处是 (t)或其高阶导数，下限取 0
0 sin 0t u t 2 ，不满足终值定理条件！ 2 s 0
αt
1 e u t ， 0，不满足终值定理条件！ s 初值：取决于高频成分；终值：取决于低频成分。
17
§4.3 拉普拉斯逆变换
已知F s ，求 f t
N s • 极点、零点： F s L f t D s
0 ( j ) t
dt
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析 ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
13
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
10
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
13
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信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
10
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信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
拉普拉斯变换及其性质课件
信号重建
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
信号与系统课件(郑君里版)第四章
2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
拉普拉斯变换(与“变换”相关文档)共12张PPT
•拉普拉斯变换的优点 此外，随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这些方面却无能为力，于是，
它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 重点：拉普拉斯变换的优点 它在电学、力学等众多科学与工程领域中得到了广泛应用。
拉氏变换的定义 2.
拉普拉斯变换的变换域是复频率域。 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
第5页，共12页。
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微分、延时、 S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如 分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、 滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法时，信 号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会遇到许多 信号，例如阶跃信号(t)、斜坡信号t(t)、单边正弦 信号sint(t)等，它们并不满足绝对可积条件，从而 不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通 过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
单位脉冲 响应绝对
可和
2.h(n)收敛
3.H（z） 收敛域包
它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 重点：拉普拉斯变换的优点 它在电学、力学等众多科学与工程领域中得到了广泛应用。
拉氏变换的定义 2.
拉普拉斯变换的变换域是复频率域。 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
第5页，共12页。
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微分、延时、 S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如 分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、 滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法时，信 号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会遇到许多 信号，例如阶跃信号(t)、斜坡信号t(t)、单边正弦 信号sint(t)等，它们并不满足绝对可积条件，从而 不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通 过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
单位脉冲 响应绝对
可和
2.h(n)收敛
3.H（z） 收敛域包
《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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《拉普拉斯变换》 PPT课件
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ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
信号与系统 王明泉 课件第4章
+∞
傅里叶逆变换
x( t ) e
−σ t
1 ∞ = X (σ + jω) ejωt dω 2π ∫−∞
以 两边同乘 eσ t
1 ∞ (σ + jω)t x( t ) = ∫−∞ X (σ + jω) e dω 2π
令 s = σ + jω ; d s = jdω 拉普拉斯逆变换
ω: ∫ ⇒s : ∫
L[ ax1(t) + bx2 (t)] = aX1(s) + bX2 (s)
−2 t 例4.2.1 求 x(t ) = (1 − e )u (t ) 拉普拉斯变换
L [ x(t ) ] = L u (t ) − e −2t u (t ) = L [u (t ) ] − L e −2t u (t ) 1 1 = − s s+2
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
11 /85
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛性
根据定义：选择适当的σ才使得x(t)的拉氏变换存在。 由于x(t)e-σt的傅里叶变换就是拉氏变换，当σ> σ0区域内 的任意一点时，若x(t)e-σt绝对可积，则拉氏变换的收敛 域就是σ> σ0，而σ= σ0这条垂线就是收敛域的边界，称 为收敛轴。
jω0t
(σ > 0) (σ > 0)
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
17 /85
正弦信号
ω0 1 1 1 L[sinω0tu(t)] = − = 2 2 j s − jω0 s + jω0 s +ω02
1 1 1 s L[ cosω0tu(t)] = + = 2 2 s − jω0 s + jω0 s +ω02
信号与系统-4章 拉斯分析
0 0 0
t
t
1 e st t [ f ( )d f ( t )e st dt ] 0 s 0 s 0 F ( s) s
若积分下限由 开始
t
f ( )d
0
f ( )d f ( )d
0
t
f (0 ) f ( )d
解：先时移性后比例性
由时移性
L[ x(t t0 )u (t t0 )] e st0 X (s)
s 1 a t0 s 再由比例性 L[ x(at t0 ) u (at t0 )] e X ( ) a a
另解：先比例性后时移性
由比例性
再由时移性
1 s L[ x(at )u (at )] X ( ) a a
s
F ( s)ds [ f (t )e st dt ]ds
s 0
f ( t )[ e st ds]dt
0 s
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
e st f ( t )[ ] dt t s f ( t ) st e dt t
例：求
t
0
sin x dx 拉氏变换 x
同理可得
2 df ( t ) d df ( t ) df 2 ( t ) st L[ ] e dt [ ]e st dt 0 0 dt dt 2 dt 2 dt
df ( t ) s[ sF ( s ) f (0 )] s 2 F ( s ) sf (0 ) f (0 ) dt t 0
由此式可以很容易地求得其对应变换。有
t
t
1 e st t [ f ( )d f ( t )e st dt ] 0 s 0 s 0 F ( s) s
若积分下限由 开始
t
f ( )d
0
f ( )d f ( )d
0
t
f (0 ) f ( )d
解：先时移性后比例性
由时移性
L[ x(t t0 )u (t t0 )] e st0 X (s)
s 1 a t0 s 再由比例性 L[ x(at t0 ) u (at t0 )] e X ( ) a a
另解：先比例性后时移性
由比例性
再由时移性
1 s L[ x(at )u (at )] X ( ) a a
s
F ( s)ds [ f (t )e st dt ]ds
s 0
f ( t )[ e st ds]dt
0 s
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
e st f ( t )[ ] dt t s f ( t ) st e dt t
例：求
t
0
sin x dx 拉氏变换 x
同理可得
2 df ( t ) d df ( t ) df 2 ( t ) st L[ ] e dt [ ]e st dt 0 0 dt dt 2 dt 2 dt
df ( t ) s[ sF ( s ) f (0 )] s 2 F ( s ) sf (0 ) f (0 ) dt t 0
由此式可以很容易地求得其对应变换。有
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π 已知 f ( t ) 2 cos t ut , 求F ( s )。 ＝ 【例4】 4 π π f t 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4 s 1 s 1 F s 2 2 2 1 s 1 s 1 s
(二) 单边拉氏变换的收敛域
欲F(s)存在，则必须满足条件：
j 收 敛 轴 收 敛 域
lim f ( t )e
t
t
0 解得：
0
0 0
=Re(s)
结论：单边拉氏变换的收敛域: 0 。
有始有终信号，能量有限信号 整个平面
j
0 0 或 0 a
不收敛信号 除非
0
f (t t0 )e
t0
st0
dt
令 t t0
0
f ( )e st0 e s d e st0 F ( s), t0 0
【例】
已知 f t tut 1, 求F s
F s Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
lim sinω0 t e
t
t
0 0. 收敛域为(0,+∞)
实际工程中的信号，只要 足够大，F(s)一定存在。所以, 收敛域问题一般不讨论，除非题中特别要求去讨论.
(三) 常见信号的拉氏变换
1、冲激信号
(t ) 1
st 0 0
L[ (t )] (t )e dt (t )dt 1
(六) 尺度变换特性
若L[ f (t )] F (s) ,
0
1 s 则 L[ f (at )] F ( ), a 0 a a
证明: L[ f (at )] f (at )est dt 令 at
例:求L[f() 1 f ( )e a d a 0
1 ( s )t e s
0
1 s
4、正幂信号
n
t u (t )
n
n! s
n 1
(n为正整数)
L[t u (t )] t e dt
n st 0
n! s n 1
1 tu(t ) 2 斜坡信号 s
5、余弦信号 6、正弦信号
cos 0 tu(t )
cos1t e t
假设有信号f(t),且为因果信号。
f1 (t ) f (t )et
象函数 (单边L正变换)
s j
F1 ( ) f (t )e( j )t dt
0
F ( s) f (t )e st dt L[ f (t )]
0
例如:已知电感的电流为iL(t),且拉氏变换为IL(s),那么电感的 电压vL(t)的拉氏变换为： V (s)=L[sI (s)-i (0-)]= LsI (s)-Li (0-)
L L L L L
r(t ) 3r(t ) 2r (t ) e(t ) 例题：系统微分方程 ， 若激励信号和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=1,r′(0-)=2， 试分别求它们的零输入，零状态响应及完全响应.
下限取0-, LT就考虑了初始条件,
FT: 实频率
是振荡频率
LT: 复频率S= +j 是振荡频率， 控制衰减速度
1 f (t )e F1 ( )e jt d 2 1 f (t ) F1 ( )e ( j )t d 2 1 j f (t ) F ( s)e st ds L1[ F ( s)] 2j j
s s 2 0
2
0 sin 0 tu(t ) 2 2 s 0
一些常用因果信号的L变换见表4-1(P181)
4.3 拉氏变换的基本性质
(一) 线性特性：
若 L[ f1 (t )] F1 (s) , L[ f 2 (t )] F2 (s)
则 L[ af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s)
3
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
(一) 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
若f(t)不满足狄里赫利条件,有些不存在傅里叶变换。 若f(t)乘一衰减因子e – δt,则若f(t) e – δt收敛，于是满足狄里 赫利条件则f1(t)= f(t) e – δt存在傅里叶变换
u(t )et
eat .e t ( a)
等幅振荡信号和增长信号 以
0
为界
j
e , te
t2
t2
(0 t )
(0 t T )
0 a
例．求下列信号拉氏变换的收敛域
(1) ( t )
t
(2) tu(t )
(3) t n e at u(t )
(4) sinω0t u(t )
解: (1) lim ( t )e t 0, 0
证明：
L[ f ( )d ] L[
L[
t
1 f ( 1) (0) f ( )d ] F ( s) s s
t
0
1 01 1 f ( 1) (0 ) f ( )d f ( )d ] f ( )d F (s) F (s) 0 s s s s
f (t )e
例:求
-at -at
dt
F (s )
e sin( t )和e cos(t ) 的拉氏变换.
s at L[e sin( t )] , 2 2 ( s a)
2 2
解:
L[sin( t )]
,
s L[cos(t )] 2 s 2 sa at L[e cos(t )] ( s a) 2 2
解：对方程两端分别取拉氏变换得：
1 s R( s) sr (0 ) r (0 ) 3[ sR ( s) r (0 )] 2 R( s) s 1 2 (0 ) 3r (0 ) 整理得： ( s 3s 2) R( s) sr (0 ) r s 1/ s sr (0 ) r (0 ) 3r (0 ) 即：R( s) 2 s 3s 2 s 2 3s 2
(二) 时域的微分性
df (t ) 若 L[ f (t )] F ( s) , 则 L[ ] sF ( s) f (0 ) dt
df (t ) df (t ) st L[ ] e dt e st df (t ) 证明: 0 0 dt dt
[est f (t )] (s)est f (t )dt 0
2
R( s)
1/ s s5 0.5 1 0.5 4 3 2 [ ][ ] 2 s 3s 2 s 3s 2 s s 1 s 2 s 1 s 2
t 2t
r (t ) 0.5 3e 2.5e
13
(三) 时域的积分性
若 L[ f (t )] F (s) 则
t
例如:已知电容的电流为iC(t),且拉氏变换为IC(s),那么电容 的电压vC(t)的拉氏变换为：
i c( 1) (0 ) I (s) uc (0 ) 1 1 I ( s) VC (s) LT [ ic ( )d ] [ ] C C s s sC s
t
(四) 时移特性
收敛域为整个s平面(-∞,+∞) (2)
lim te t 0, 0, 0 0
t t
收敛域为(0,+∞)
(3) lim t n e [ Re( a ) ] t 0, [Re( a) ] 0, 0 Re( a) 收敛域为(-Re(a),+∞) (4) 欲
第四章
拉普拉斯变换、 连续时间系统的S域分析
4.1
引言
•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，
傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制；
f t d t
•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 1 f (t ) F ωe j t dω F 1 f ( t ) 2
2、阶跃信号
u (t )
L[u (t )]
3、指数函数信号
t
0
e st e st dt s
e
t
1 s
0
1 u (t ) s
t st
1 s
L[e u (t )] e e dt e ( s )t dt
0 0
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨 论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时， 初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、 拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域 分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们 的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统 稳定性问题。
若 L[ f (t )] F ( s) 则 L[ f (t t 0 )] e st F (s), t 0 0
0
注意： 因果信号f (t )u (t )延时t 0 后所得信号为
f (t t 0 )u (t t 0 )而非f (t t 0 )u (t )