中考专题_一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

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中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》

专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）

【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】

【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】

【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】

【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】

【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】

【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】

【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】

【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】

【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】

1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根

C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根

C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）

A．无实根B．有实根

C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）

一、知识归纳：

1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。

2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。

例1. 关于x 的方程（m －1）x 2

－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．．

，求m 的取值范围。解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程

∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即7

11≤

m ，

当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根3

x =-

练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。 (注意二次项系数不为零)

2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。

3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。

4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。

中考专题一元二次方程根与系数关系解析

1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；

111x x + ；x 2

1+x 2

2= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根

是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9

13，那么常数项应改为。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α

、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程

为。(其中二次项系数为1)

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》

【课标要求】

1、根的判别式及应用(△=ac b 42

-)：(1)判定一元二次方程根的情况。(2)确定字母的值或取值范围。

2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—

b a ，x 1·x 2=

c a

。 (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:( 1x 、2x 是方程两根)。

3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以1x 、2x 为根的一元二次方程为0)(21212

=++-x x x x x x ；求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和21x x +，•两根之积21x x 的代数式的形式，整体代入。【知识要点】

1. 一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .

（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个实数根.

（2）ac b 42

-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .

（3）ac b 42

-<0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系

滚动小专题二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

解：(1)∵关于 x 的一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0 有两个实数根， ∴Δa－＝6（≠02，a）2－4a（a－6）≥0，解得 a≥0 且 a≠6.
(2)∵x1，x2 是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0 的两个实数根，
∴x1＋x2＝－a2－a6，x1x2＝
a a－6.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－a－2a6＋a－a 6＋1＝6－6 a为负整数，
＝1 100.
(2)x1x2＝k2＋1，x1＋x2＝2k－1， x1x2＋x1＋x2＝0， ∴k2＋1＋2k－1＝0，解得 k1＝0，k2＝－2. ∵k≤－34，∴k 的值为－2.
8．(2019·乐山模拟)已知 x1，x2 是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0 的两个实数根． (1)求 a 的取值范围； (2)求使代数式(x1＋1)(x2＋1)值为负整数的实数 a 的整数值； (3)如果实数 a，b 满足 b＝ a－5＋ 10－2a＋50，试求代数式 x31＋10x22 ＋5x2－b 的值．
解：(1)①当 k＝0 时，方程的解是 x＝0，符合题意； ②当 k≠0 时，Δ＝(k＋1)2－4k·k4＝2k＋1≥0， ∴k≥－12且 k≠0. 综上所述，k 的取值范围是 k≥－12.
(2)不存在．理由如下：假设存在实数 k，使方程的两根的倒数和为 1， ∴x11＋x12＝1. ∵x1＋x2＝－k＋k 1，x1x2＝14， ∵x11＋x12＝x2x＋1x2x1＝－k＋k 1×4＝1，解得 k＝－45.∵k≥－12， ∴不存在实数 k，使方程两根的倒数和为 1.

专题9--一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

专题9 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一、考纲要求

1.掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.

2.不解方程判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；

3.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；

4.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；

5.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程；

6.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.

二、知识梳理

1.一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为2

4b ac =-Δ.

（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，

即 2

1,240)2x b ac a

=-≥.

（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，即122b x x a

==-

. （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 没有实数根.

2．一元二次方程根与系数的关系

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么12b x x a +=-

，12c x x a

⋅=. 三、要点精析

易错知识辨析：

（1）判断一元二次方程有无实根，就是判断b 2

-4a c 的值，是大于0，等于0，还是小于0，b 2

-4a c 主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要考虑二次项系数不为零这个限制条件.

一元二次方程根的判别式、根与系数关系

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仔细看明白是帕子之后，真是追悔莫及！怎么千算万算，还是漏算咯？费咯那么大の力气，得到の竟是那么壹条难看得要死の帕子，早晓得就别花那么大の心思和精力咯。明明告诉她咯，爷喜欢の是翠竹，怎么那丫头竟然弄咯那么壹团黑别溜湫の东西！再细细壹看，天啊，上面居然还有几根枯枝败叶！那各年妹妹，真是要活活地把人给气死！难道说，年妹妹晓得自己在算计她，将计就计，成心弄咯那么壹各别堪入目の破东西来坏她の好事儿？因为将赌注全部押在咯水清の绣品之上，淑清根本就没什么自己准备送给王爷の生辰礼，而水清又是耗到咯最后壹刻才将寿礼送出，害得她连临时替换の备选方案都没什么准备。眼看着夜色已经降临，已经别能再拖下去咯，只好硬着头皮让菊香将那各绢帕送到咯朗吟阁。同时她立即打算明天赶快再置备壹份寿礼，因为王爷见到那各寿礼，别被气疯咯才怪呢。但是她仍然还是将那各帕子送到咯朗吟阁，因为她要将计就计！年妹妹别是给她设陷阱吗？她就来壹各以其人之道还治其人之身。王爷壹旦怪罪下来，她就回复他：奴才们搞错咯，那各帕子是年妹妹送给爷の，自己の寿礼还在手里没什么送出去呢。反正那各帕子也确实是水清做の，有福晋和所有の姐妹们作证，谅她年妹妹也别敢抵赖。第二天，也就是今天，壹大清早，她就急急火火地要求苏总管立即去购置壹各紫檀桌屏，当作爷の生辰礼送上。结果等咯壹天，紫檀桌屏都已经购置回来咯，破费咯她八百两银子，却是壹点儿也没什么听到来自朗吟阁の任何动静，弄得她别敢贸然行事，只好静观其变。家宴上，没什么见到爷有啥啊面色别愉の表情，然后就是送完十三小格回到霞光苑，别但没什么听到爷对她の恼怒，反而得到咯爷要来她烟雨园の决定，那壹刻淑清简直认为自己是中咯六合彩！当她借着给他擦试茶水の机会，将他の帕子要咯出来，竟然发现他已经将帕子随身携带咯！那各发现令她既激动又惊诧！激动是因为非但没什么被爷怪罪，反而被他当作咯宝贝立即带在身上，惊诧是因为对水清の警惕再次提升到咯壹各全新の高度！她跟咯爷二十多年，都别晓得爷喜欢の竟然是那种黑别溜湫の东西！可是年妹妹才嫁进来六年，居然对爷の脾气禀性咯如指掌，那各水清，实在是别能小看，简直就是她の劲敌！那现在还没什么得宠呢，那要是得咯宠，又那么处处对咯爷の心思，将来那府里可是真没什么壹各人能有活路咯。于是淑清万分庆幸她那么早就认定咯水清是壹各值得高度警惕の人，早早地下咯手，否则爷假设真の收到那各来自怡然居の帕子，那么他今天可就别是呆在她の烟雨园，而是那怡然居咯。第壹卷第619章惹祸冬日里天亮得晚，可是淑清还是早早地就醒咯。那是最近壹年多以来，她和他第壹次同床共枕，激动得壹夜几乎没什么入眠，而且更是万分珍惜那各来之别易の大好局面，所以丝毫别敢有任何差池，力图千方百计地要将他服侍好。充分意识到咯危机感の淑清破天荒地百般讨好他，那是希望别仅将他の人，更是将他の心永远地留下来。他也早早醒咯。醒来后，望着那既熟悉又陌生の房间，他正在努力地回忆着他为啥啊会呆在那里。要说熟悉当然是太熟悉咯，住咯二十多年の地方；要说陌生当然是有些陌生咯，大概有将近两年の时间，他都别曾躺在那张床上。他想起来咯，昨天是他の生辰，他本来是以检查弘时の功课为名来の那里，为の是给那各可恶の诸人当场难堪。结果来咯那里之后就说到咯那块令他又惊艳又喜欢，更是爱别释手の水墨画般の绢帕，然后想到咯那各令人气恼の水清，然后就……壹想到那里，他突然有壹种“背叛”咯水清の感觉。因为水清没什么送他生辰礼，因为淑清合送来咯最合他心意の生辰礼，然后原本是赌气才来の那里，结果却是在淑清の温柔攻势下，“背叛”咯水清。淑清见他醒来，赶快服侍他起床。可是淑清突然发现，今天の他，简直是与昨天晚上完全判若两人！那究竟是因为啥啊？淑清心里有些慌咯神。要说她以前从来别用看他の脸色行事，因为她在那王府里从来都没什么

一元二次方程根的判别式、根与系数关系

五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组，解此方程组即可求出p、q．解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得 X 1＋x 2＝－p，x 1· x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1· x 2＋7 ……② (x 1－x 2) 2＝3 x 1· x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1· x2 代入③得(x 1＋x 2) 2＝7x 1· x 2－5 ……④ 将①式分别代入②、④中，得 p 2=q+7 p=3 p=-3 p 2=7q-5 即： q=2 q=2
例4：求证关于x的方程x² -（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数既△＞0 ∴方程x² -（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根例5：已知a是实数且方程x² +2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程（2a 2-1）x² +2ax+2a 2-1=0 ②没有实根解：∵方程x² +2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a² -4＞0 既a² ＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a² -1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a² -4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a² ＞1 ∴a² -1＞0 ∴（4a² -1）＞0 2=-4（4a² -1）（a² -1）<0 ∴方程②无实根

中考真题专题汇编-一元二次方程根的判别式与根与系数的关系(无答案)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

知识回顾

1、根的判别式

⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>-=∆无实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根00042ac b

2、根与系数的关系

一元二次方程()002

≠=++a c bx ax

x x a b x x =-=+2121,

练习题

一、选择题

1．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程x 2

-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．-4

2．（2019春•大兴区期末）方程x 2

-x+1=0的根的情况是（）

A ．没有实数根

B ．只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

3．（2019春•延庆区期末）关于x 的方程x 2

-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的

取值范围为（） A ．4

m B ．4

<m C ．4

m D ．4

4．（2019春•滨海新区期末）关于x 的一元二次方程kx 2

-3x+1=0有两个不相等的实数根，

则k 的取值范围（） A ．049

≠<

k k 且 B ．04

≠<

k k 且 C ．4

9≤

k D ．04

≠≤

k k 且

5．（2019•亭湖区校级模拟）已知x 1

，x 2

是x 2

-4x+1=0的两个根，则x 1

+x 2

是（）

A ．-1

B ．1

C ．-4

D ．4

6．（2019•崇川区校级二模）已知x 1

，x 2

是一元二次方程2x 2

-3x+1=0的两个根，下列结论

正确的是（） A ．x 1

+x 2

B ．x 1

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

中考专题复习〈〈一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》

1、根的判别式及应用(△ = b2 一4ac):(1)判定一元二次方程根的情况。(2)确定字母的值或取值范围。

2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒0)的两根为x i、X2,

b c

贝U X i+X2=—— , x i X2=—。

a a

(1) 已知一根求另一根及未知系数；(2) 求与方程的根有关的代数式的值；

(3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号：(x1、x2是方程两根)。

3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x「乂2为根的一元二次方程为x2-(x〔+x2)x+x〔x2= 0 ；求

字母系数的值时，需使二次项系数a乒0,同时满足^> 0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式

变形成为含有两根之和x1 +x2, ?两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。

1.一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程a顶4bx+c=0a#0 )的根的判别式为.

(1) b2 -4ac>0u 一元二次方程ax2+bx + c =0(a #0)有两个实数根.

(2) 史—4ac=0U 一元二次方程有相等的实数根，即x1 = x2= ^

(3) b2—4ac<0u 一元二次方程ax2+bx+c = 0(a #0 实数根.

2.一元二次方程根与系数的关系

3.中考数学专题一元二次方程根的判别式、根与系数的关系母题题源系列(解析版)

专题01 一元二次方程根的判

别式、根与系数的关系

【母题来源一】【2019•河南】一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【答案】A

【解析】原方程可化为：x2-2x-4=0，

∴a=1，b=-2，c=-4，

∴Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选A．

【名师点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．

【母题来源二】【2019•河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是

A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根

C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根

【答案】A

【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，∴（-1）2-4+c=0，

解得：c=3，

故原方程中c=5，

则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0，

则原方程的根的情况是不存在实数根．

故选A．

【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．

【母题来源三】【2019•荆州】若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

【答案】A

【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，

一元二次方程判别式和根与系数的关系

一元二次方程（2）

★★知识点精讲

1. 一元二次方程根的判别式

关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根，即

=2,1x .

（2）△ = 0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个的实数根，即==21x x .

（3）△＜0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 实数根.

（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 实数根.

2．一元二次方程根与系数的关系

（1）如果关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么

=+21x x ，=⋅21x x .

（2）如果关于x 的一元二次方程x 2

+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么

=+21x x ，=⋅21x x .

3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：

①22

212

1212()2x x x x x x +=+- ； ②121212

x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.

★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）x 2

-7x-18=0 ；（2）9x 2

+6x+1=0；

（3）2x 2=9x-8 ；（4）16x 2

+8x=-3 .

★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.

一元二次方程根的判别式、根与系数关系

例1 选择题：若方程3x 2＋(k 2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为 [ ] A．5 B．－2 C．5或－2 D．0 分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0 例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1· x 2＞0
一：掌握常见变形，快速求值
例1：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值（1）x 1 2+x 22 （2）+ （3）（x 1-x 2）2 （4）（x 1-2）(x 2-2)
(5) x
1 2
x 2 + x2 2 x2 -3
二、已知方程的根，求另一根及某一系数例2： (1)已知方程mx 2＋4x＋3＝0有一根是1，另一根是______． (2)若方程x 2＋kx＋3＝0有一根是－1，则k＝______ 三：以两个数为根作一元二次方程以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是：分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用 a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便．解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1．点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一、知识点：1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式：

2.一元二次方程根与系数的关系：（1）如果1x ，2x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，那么

a b x x -=+21，a

c x x =∙21 （2）如果1x ，2x 是方程02=++q px x 的两个根，那么

p x x -=+21，q x x =∙21

二、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式的应用：

1. 不解方程，判断方程根的情况：

（1）；05432=--x x （2）；01322

=+-x x （3）26232-=+y y

2. 证明方程根的情况：

（1）已知关于x 的方程0)12(2)12(2=-++-k x k x .

①求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；

②若等腰△ABC 中有两边的长恰好是这个方程的两个根，且这两边和为6，求△ABC 的周长.

（2）小明说：“关于x 的方程)1.(0)1(4)1(222±≠=++-+m m mx x m 一定没有实数根”。小明的说法对吗？说明你的理由.

（3）求证：无论m 取何值，关于x 的方程01)32(2=++++m x m x 总有两个不相等的实数根。

（4）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，试判断关于x 的方程)(02)(2

c b c b ax x c b ≠=-+--的根的情况.

（5）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.

中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【重点、难点、考点】

重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。

②掌握根与系数的关系及应用

难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。

考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。

【经典范例引路】

例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）

A.m<43

B.m ≤43

C.m>43

且m ≠2

D.m ≥43且

m ≠2

（20XX 年山西省中考试题）

【解题技巧点拨】解 C

①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形

解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）

方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭

⎬

⎫

⇔=⇔>000

Δ<0⇔方程没有实根

注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。

例2 先阅读下列第（1）题的解答过程

（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。

解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根

∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2

∴α2＝7－2αβ2＝7－2β

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考

1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：

(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．

当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．

当b2–4ac<0时，方程实数根．

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．

(2)一元二次方程根的判别式的应用：

①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．

②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；

③进展有关的证明．

(3)关于根的判别式的应用：

①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；

②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；

③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.

(4)应用根的判别式须注意以下几点：

①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．

②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．

③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．