高中数学选修4-4 北师大版直线的参数方程作业 Word版含答案

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新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)(2)

一、选择题1．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心3．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 4．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．15．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C．D．6．4sin 4πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心7．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．线段8．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（） A．BC．D9．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,510．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 14．已知点M在直线34x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________.15．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．16．曲线1C 的参数方程为：21x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线1C 与2C 相交于A ，B 两点，则AB =______. 17．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．在极坐标系中，圆1C 的方程为424πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________. 20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值． 22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+=（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜｜OP ｜｜OQ|＝10，求t 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.24．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩ (其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQ OPk k +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=，可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-，故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.2．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.3．D解析：D 【解析】【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.4．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+，答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.5．B解析：B 【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），=P（α，α），点P到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（αα），∴点P到直线x+y+3=0的距离：=，∵sin()4πα+∈[﹣1，1]，∴，∴△ABP面积的最小值为13,2⨯=△ABP面积的最大值为19,2⨯=故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.6．D解析：D【解析】分析：先应用cos?x y sinρθρθ==，44sinπθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为直线10x y +-=，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系)4sin cos 4sin πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=即()()22112x y -+-=，圆心为()11，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为直线10x y +-==<故直线与圆相交且不过圆心故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了直线与圆的位置关系，属于基础题。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测题(含答案解析)

一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（）A ．1B C D ．22．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．2+3．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]5．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）A B ．C D ．±6．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（）A ．(3,4)B ．2⎛ ⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（） A．⎡⎢⎣⎦B．1,1⎡+⎢⎣⎦C．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) ABCD10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．012．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈二、填空题13．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；15．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______ 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,)3B π．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________．18．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．20．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。

高中数学选修4-4 北师大版 2.1参数方程的概念学业分层测 Word版含答案

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章参数方程 2.1 参数方程的概念学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D 的坐标是( )A.(9，－1)B.(－3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】设D点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D 点坐标为(1,3).故应选C.【答案】 C2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两条直线 B.四条直线 C.两个点D.四个点【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故选D.【答案】 D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后为( )A.y ＝cos xB.y ＝3cos 12xC.y ＝2cos 13xD.y ＝12cos 3x【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4.将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋3＝0 C.x －y ＋1＝0D.x －y ＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】 C5.平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )【导学号：12990002】A.32B.12C.2D.3【解析】以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥32.由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.【答案】 A 二、填空题6.x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】如果x 轴上的单位长度不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆.【答案】椭圆7.已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2＋1，则点P的轨迹方程是____________.【解析】由题意得PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(－3－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1，即y 2＋5x ＋5＝0. 【答案】 y 2＋5x ＋5＝08.如图112所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________.图112【解析】过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH ，PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.【答案】 y 2＝23x －19三、解答题9.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，求城市B 处于危险区内的时间.【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B 点坐标为(40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km).所以|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区内的时间为1 h.10.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动.已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程.【解】建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图)，则A 点的坐标为(0,3).设外心P 点的坐标为(x ，y ).∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0). ∵P 也在AB 的垂直平分线上， ∴|PA |＝|PB |，即x 2＋ y －3 2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0. 这就是所求的轨迹方程.能力提升]1.方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】 x 2＋xy ＝x (x ＋y )＝0，即x ＝0或x ＋y ＝0. 故方程x 2＋xy ＝0表示两条直线. 【答案】 C2.已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )【导学号：12990003】A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x <－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x <－3) 【解析】由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3).【答案】 B3.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________.【解析】因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确. 【答案】 ②③4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图113，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0).观测点A (4,0)，B (6,0).图113(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4，得x ＝6或x ＝－6(舍去). ∴C 点的坐标为(6,4)， ∴|AC |＝25，|BC |＝4.所以当航天器离观测点A ，B 的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令.。

高中数学选修4-4 北师大版直线和圆锥曲线的参数方程同步精练 Word版含答案

直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x ty t=+︒⎧⎨=︒⎩(t为参数)的倾斜角是( )．A．20° B．70°C．110° D．160°2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．A1 B．1)C．6．13直线23,1x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．A．1 B．10 D．4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长是( )．A．16 B．3 C．163D．3165直线12,2112x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.6过点(6,7)l的参数方程为__________．7已知直线l经过点P(1，-，倾斜角为π3，求直线l与直线l′：y＝x－交点Q与点P的距离|PQ|.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20y t ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°. 又α∈[0，π)，∴α＝70°. 2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为1=1,2=5x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t－5⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x得到21=412t ⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0. 设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|163. 故弦AB 的长为163. 5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程，得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |，|PB |∴|PA |·|PB |4.6答案：=621=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)∵cos α，∴1sin =2α.∴=621=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． 7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l ′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P (1，-，倾斜角为π3， ∴l的参数方程为π=1cos ,3π=sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)，即1=1,2=2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)．代入y ＝x－1=1+2t -- 解得t ＝4＋即t＝4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝|PQ |，∴|PQ |＝4＋8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解： (1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l的参数方程为=11=12x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． (2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得 (1)2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。

高中数学选修4-4 北师大版直线的极坐标方程作业 Word版含答案

课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程一、选择题1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：选C 设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.即7x ＋2y ＝0，表示直线．3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为( )A ．2 B.2 C.52 D.522解析：选D 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴d ＝|2＋2＋1|2＝522.二、填空题5．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程是________________________．解析：将极坐标方程变为32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为32x ＋12y ＝1，即3x ＋y －2＝0.答案：3x ＋y －2＝06．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，将点的极坐标⎝⎛⎭⎫22，π4化为直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k ＝2－22－0＝0，故所求的切线方程为y ＝2，故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2.答案：ρsin θ＝27．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2， C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程2x －y ＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos (θ1＋π)＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1＝±1， ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。

高中数学选修4-4 北师大版参数方程化成普通方程作业 Word版含答案

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】把②式代入①式得x ＝2＋y ，即x －y －2＝0(2≤x ≤3). 【答案】 C2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段D.射线【解析】由条件知x ＋y ＝1，又0≤cos 2 θ≤1,0≤sin 2 θ≤1，∴参数方程表示的曲线为线段.【答案】 C3.参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧D.射线【解析】消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5，∴－1≤y ≤24. 【答案】 A4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A.y 2－x 2＝1B.x 2－y 2＝1C.y 2－x 2＝1(|x |≤2)D.x 2－y 2＝1(|x |≤2)【解析】 x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α.y 2＝2＋sin α，∴y 2－x 2＝1. 又x ＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4∈[－2，2]，即|x |≤ 2.故应选C. 【答案】 C5.椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )【导学号：12990029】A.(－2,0)，(2,0)B.(0，－2)，(0,2)C.(0，－4)，(0,4)D.(－4,0)，(4,0)【解析】利用平方关系化为普通方程x 225＋y 29＝1，c 2＝16，c ＝4，焦点在x 轴上，∴焦点为(－4,0)，(4,0)，故选D.【答案】 D 二、填空题6.参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________.【解析】 y ＝cos 2θ＝1－sin 2 θ＝1－2x 2， y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1).【答案】 y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1)7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1). 【答案】 (1,1)8.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 【解析】直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 3 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点C 的坐标.【解】 ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，t ＝2t ，∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0，① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x ，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12. (1)将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值.【解】 (1)依题意可得直线l 的直角坐标方程为x －3y －12＝0，曲线C 的普通方程为x 227＋y 23＝1.(2)设P (3 3 cos θ，3sin θ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－122，故当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，d min ＝3.[能力提升]1.已知过曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则点P 的坐标是( )A.(3,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C.(－3，－4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】设|OP |＝t ，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ，22t ，代入方程x 29＋y 216＝1，解得t ＝1225，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D2.直线l ：⎩⎨⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为( )A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D.－π6或－5π6【解析】 ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，∴直线l 的普通方程为y ＝x tan θ.∵圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α，∴圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4.由题意得圆心(4,0)到直线y ＝x tan θ的距离为2，即|4tan θ|tan 2 θ＋1＝2.所以tan θ＝±33，所以直线的倾斜角θ＝π6或5π6. 【答案】 A3.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【导学号：12990030】【解析】曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32.【答案】 324.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点.当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合.(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.【解】(1)C1是圆，C2是椭圆.当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝310 10.当α＝－π4，射线l与C1、C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝2 5.。

北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程2.32.4习题解答

习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线；φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径.2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132. 所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13. 5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数). (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3. 由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x 2＋y 2＝16，得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数). (2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ，所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a 4a 2－t2(t 为参数). 若a ＜0，同理.7.证明以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sin θ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4.即圆的内接矩形中正方形的面积最大.8.解直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数).9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t t 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数).B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0.所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35.因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4).5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（）A B 5C ．3D 3+2．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（） A ．6B ．5C ．8D ．73．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t=+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（）A BC D 4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 5．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125B C D 6．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（）A ．2+BC ．4+D ．7．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C ．D ．8．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A ．74B ．73C ．72D ．759．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-10．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855C ．1655D ．811．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．12．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为________ 15．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 16．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________17．直线12232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 的直角坐标方程为__________19．已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C 、曲线2C 的交点为,,A B 则弦AB 的长为______.20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．()1写出曲线C 的极坐标方程； ()2设点M的极坐标为4π⎫⎪⎭，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．23．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．24．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x ty kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．A解析：A【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】将直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】84:1x tl y t=+⎧⎨=-⎩ 可得：4120x y +-=根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．D解析：D 【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．圆心()0,0O 到直线的距离d =，∴直线被圆229x y +=截得的弦长==.故选D ．【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.6．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值．【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα，则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．7．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，﹣3），=，∵点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=2上，∴设P （αα）， ∴点P 到直线x+y+3=0的距离：=， ∵sin ()4πα+∈[﹣1，1]，∴， ∴△ABP面积的最小值为13,2⨯= △ABP面积的最大值为19,2⨯= 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P （αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.8．A解析：A【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以c=7.所以e ＝74. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=9．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()322x t t y t 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(33)160,16,t t t t -++==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．10．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.11．A解析：A 【解析】试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程为，，，直线与轴的交点为（1,0），与的交点为（，），所以这三条曲线围成图形为顶点为（0,0），（，），（1,0）的三角形，其的面积为=，故选A.考点：极坐标方程与直角坐标方程互化；两直线的交点；三角形面积公式12．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.二、填空题13．2【分析】由题意可得出直线的参数方程再代入圆的方程利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出【详解】因为直线经过点倾斜角所以直线的参数方程为：（为参数）代入圆得到：设对应的参数分别为则所以故解析：2 【分析】由题意可得出直线的参数方程，再代入圆的方程，利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出. 【详解】因为直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，所以直线l 的参数方程为：31112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入圆224x y +=得到：2(13)20t t +-=，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则(1213t t +=-+，122t t =-，所以122PA PB t t ⋅=⋅= 故答案为：2 【点睛】本题考查了直线的参数方程以及几何意义，属于一般题.14．【分析】可设点坐标是点到直线的距离由此能求出点到直线的距离的最大值【详解】在椭圆上椭圆的标准方程是可设点坐标是点到直线的距离故答案为【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式辅助角公式解析：2413【分析】可设P点坐标是()2cosαα，点P到直线32160x y--=的距离()16d sinαθ==+-，由此能求出点P到直线32160x y--=的距离的最大值.【详解】P在椭圆227428x y+=上，椭圆227428x y+=的标准方程是22147x y+=，可设P点坐标是()()2cos,0360ααα≤<，∴点P到直线32160x y--=的距离d=()()16,0360sinαθθ=+-≤<，maxd∴=.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题. 利用辅助角公式()sin cos)f x a x b x xωωωϕ=+=+可以求出:①()f x的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心，由2x kπωϕπ+=+可得对称轴方程，由x kωϕπ+=可得对称中心横坐标.15．【分析】设B（4cosθ4sinθ）M（xy）又A（22）结合可得消去参数得答案【详解】如图设且则即到的距离为定长点N的坐标是故答案为【点睛】本题考查平面向量的坐标运算考查圆的参数方程是中档题解析：()2,2【分析】设B （4cosθ，4sinθ），M （x ，y ），又A （2，2），结合OM OA OB =+可得4242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，消去参数得答案．【详解】如图，设()4cos ,4sin B θθ，(),M x y ，()2,2A ，且OM OA OB =+，()(),4cos 2,4sin 2x y θθ∴=++，则{4cos 24sin 2x y θθ=+=+，即22(2)(2)16x y -+-=． M ∴到()2,2N 的距离为定长，∴点N 的坐标是()2,2．故答案为()2,2．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查圆的参数方程，是中档题．16．【解析】试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程求出直线的斜率然后求出直线的倾斜角详解：直线的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°直线的斜率为：cot70°=tan20°所以直线的倾斜角解析：20【解析】试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程，求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．详解：直线170{270x tsin y tcos =+=+的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为：cot70°=tan20°．所以直线的倾斜角为：20°．故答案为20°．点睛：本题是基础题，考查直线的参数方程与普通方程的互化，直线的倾斜角的求法，考查计算能力．其次这个题目也考查到直线的倾斜角和直线的斜率的关系，由直线倾斜角的值即为直线的斜率，当直线的倾斜角为九十度时，斜率不存在，一般求角的值直接由正切值可得到结果，求角的范围可结合正切函数的图像得到.17．【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程利用根与系数关系结合弦长公式求得弦长【详解】将直线代入得即所以所以弦长为故填：【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长考查直线和双曲线的位置解析：【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.【详解】将直线1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得2212122t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即212302t t -++=，2460t t --=，所以12124,6t t t t +=⋅=-，所以弦长为==. 故填：.【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.18．【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系消去参数求曲线C 的直角坐标方程详解：由线的参数方程为（为参数）利用可得曲线C 的直角坐标方程为点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化在解题解析：221416x y +=. 【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系，消去参数求曲线C 的直角坐标方程.详解：由线C 的参数方程为2,4x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），利用22cos sin 1θθ+=可得曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=. 点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化，在解题的过程中，对应的关键步骤就是消参，用到的知识点就是三角函数的平方关系.19．【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线的直角坐标方程联立方程组求得点的坐标利用两点间的距离公式即可求解的长详解：由将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:即故为圆心为半径为的圆:即表解析：32 【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线12,C C 的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解AB 的长.详解：由222x y ρ=+,tan =y x θ,将曲线1C 与2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为 1C :226x y x +=,即()2239x y -+=,故1C 为圆心为(3,0),半径为3的圆,2C :=4πθ,即y x =,表示过原点倾斜角为4π的直线，因为226y x x y x =⎧⎨+=⎩的解为1100x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩，所以32AB =. 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.20．1【解析】试题分析：曲线则所以可得直角坐标系方程为将直线的参数方程代入抛物线方程得：若成等比数列所以化简得又因为所以考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题解析：1【解析】试题分析：曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，则，所以可得直角坐标系方程为22y ax ，将直线的参数方程代入抛物线方程得：2t (82)1640a t a -+++=121282,164t t a t t a +=+⋅=+若,,PM MN PN 成等比数列，所以22212121212||,()()4MN PM PN t t t t t t t t =∴-=+-=，化简得2(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =．考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题．三、解答题21．见解析【分析】（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系．【详解】解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0，3），P 为线段MN 的中点（1，直线OP 的平面直角坐标方程y x =；（Ⅱ）圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y 2＝4，圆的圆心坐标为（2，2，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），方程为y 32=-（x ﹣2）=（x ﹣2+3y ﹣=0．32==＜2，所以，直线l 与圆C 相交．【点睛】本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．22．（1）4sin ρθ=；（2）3【分析】()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．【详解】()1曲线C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)①，曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，②，①②联立，得()2220t cos sin t θθ+--=，122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，则12t =，21t =-或12t =-，21t =，AB ∴的弦长123AB t t =-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（Ⅰ）[]22-,；（Ⅱ）证明见解析【分析】（Ⅰ）将椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程,即可设x θ=,y θ=,则x θθ=,进而求解；（Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y ,将直线AB 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程中,由韦达定理可得12t t ,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则12QA QB t t ⋅=,同理可求得QC QD ⋅,即可得证.【详解】(Ⅰ)由已知，2222cos 2sin 2ρθρθ+=，即2222x y +=，所以该椭圆的直角坐标方程为2212x y +=,设x θ=,y θ,所以2sin 4x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以x 的取值范围是[]22-,（Ⅱ）证明:设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y则直线AB 的参数方程为00cos sin x x t x y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,代入2222x y +=得()()2200cos 2sin 20x t y t αα+++-=,即()()()222220000cos 2sin 2cos 4sin 220t x y t x y αααα+++++-=, 设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则2200122222cos 2sin x y QA QB t t αα+-⋅==+, 同理()()2222000022222222cos 2sin cos 2sin x y x y QC QD παπααα+-+-⋅==-+-+, 所以QA QB QC QD ⋅=⋅【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程的几何意义的应用,考查运算能力.24．（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2）4+【分析】（1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d ，由题意可得AB =，求出B 到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值.【详解】（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：2(4)y x x =--，整理得：2240x y x +-=；由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠.（2）由sin()4πρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，所以直线3l 的普通方程为：2y x =+，设点B 到直线3l 的距离为d ，由AB 与3l 的夹角为4π，可得AB =，求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，所以max 22d =+=+，即max max 4AB ==+.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题.25．（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45 【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=. （2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++，当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号，所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.26．(1):cos sin 30l ρθθ-=；22:143x y C +=；. 【分析】(1)首先根据直线l 经过点()3,0P 以及倾斜角为6π得出直线l 的直角坐标方程，然后根据直角坐标方程与极坐标方程的转化得出直线l 的极坐标方程，最后根据曲线C 的参数方程得出曲线C 的直角坐标方程；(2)本题首先可以根据直线l 的直角坐标方程得出直线l 的参数方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C中得213600t ++=，最后借助韦达定理即可得出结果.【详解】(1)因为直线l 经过点()3,0P ，倾斜角为6π，所以直线l的直角坐标方程)3y x =-，则其极坐标方程为cos sin 30ρθθ-=，因为曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以曲线C 的直角坐标方程22143x y +=． (2)因为直线l的直角坐标方程为)3y x =-，所以直线l的参数方程为3:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将3:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C中得213600t ++=，因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以0∆>，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t所以12t t +=1260013t t =>，10t <，20t <，故()1212PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程的相互转化，直角坐标方程转化为极坐标方程有cos x ρθ=以及sin y ρθ=，考查化归与转化思想，考查参数方程的应用，是中档题.。

高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=，所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案

1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=.①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.2、已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.6、已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．7、在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8、在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．1、【答案】①直线l 0y -+=.曲线C 的直角坐标方程为：22430x y x +-+=【或22(2)1x y -+=】. ②曲线C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1；∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为:d ==所以点P 到直线l 的距离的取值范围是1]-+ 2、解：(Ⅰ)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (Ⅱ)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．3、解：(Ⅰ)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 4、 (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.5、 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.6、 (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．7、解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.8、解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．。

(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和，所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2．法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。

2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4教师用书：第2

§1 参数方程的概念 §2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1 参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.( ) (2)参数与变量x ，y 间存在函数关系.( )(3)点M (2,1)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t 2＋1(t 为参数)上.( )【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)√ 在参数方程中，参数与x ，y 存在函数关系.(3)× x ＝2时，2＝2×t 得t ＝1，而y ＝1时t ＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 直线的参数方程1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).①其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM →的数量来表示.2.经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1).其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP →的数量比QMMP.当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M 为外分点；当λ＝0时，点M 与Q 重合.填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________.【解析】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°. 【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数) (2)20°预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：如图M 1，和过A 点的切线交于点B ，MM 1⊥OA ，MB ∥OA ，MM 1与MB 交于点M ，与OA 交于点C ，以O 为原点，OA 为x 轴的正半轴，求动点M 轨迹的参数方程.图221【精彩点拨】引入弦OM 1与x 轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M (x ，y )的坐标x ，y 分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】设点M 的坐标为M (x ，y )，弦OM 1与x 轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM 1，则有AM 1⊥OM 1，OC ＝2a cos θ·cos θ＝2a cos 2θ，AB ＝2a tan θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ(θ为参数)，这就是所求的点M 的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x ，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.1.过抛物线y 2＝4px (p ＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA ，OB ，求AB 中点P 的轨迹方程. 【解】设OA 的斜率为k (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4px ，y ＝kx ，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4p k2，4p k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝4px ，解得B 点坐标为(4pk 2，－4pk ).设AB 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4p k ＋4pk 22＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2，y ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k (k 为参数)，消去k 得中点P 的轨迹方程为y 2＝2p (x －4p )(p ＞0).(1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点.【精彩点拨】根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，得该直线的参数方程.然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点.【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数).(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t，得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)求；若已知两个定点，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)求.2.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.探究1 直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】直线参数方程中参数t 表示直线上以定点P 为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段PM →的数量，当点M 在点P 上方时，t ＞0；当点M 在P 的下方时，t ＜0；当点M 与P 重合时，t ＝0.我们也可以把参数t 理解为以P 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x 0，y 0)，斜率为ba时的直线参数方程怎样？【提示】直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点P (x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数).当a 2＋b 2＝1时，参数方程为标准形式，|t |的几何意义是有向线段P M →的长度；当a 2＋b 2≠1时，参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2a 2＋b 2t ，y ＝y 0＋b a 2＋b2a 2＋b 2t ，其中a 2＋b 2t 具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？【提示】在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便.如图222所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图222(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长|AB |.【精彩点拨】先求得直线l 的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t 的一元二次方程，再利用参数t 的几何意义，逐个求解.【自主解答】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数).(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34. (3)|AB |＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2＝5873.在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用).3.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆ρ＝2相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积. 【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 是参数).(2)圆ρ＝2的普通方程为x 2＋y 2＝4. 把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4. 整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，点P 到A ，B 的距离之积为|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2.1.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°【解析】根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】 D2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )【导学号：12990021】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(0，－4)，(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59，(8,0) 【解析】当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.【答案】 B3.过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________. 【解析】 ∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 24.已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t ，得x －y ＋1＝0.∴圆心C (－1,0)，又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切， ∴r ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝25.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A ，B 两点，求这两点的距离.【解】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，将此代入y 2＝4x ，得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根分别为t 1，t 2，由根与系数的关系，有t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 2－4t1t2＝－42 2＋32＝64＝8.∴A，B两点间的距离是8.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

高中数学(北师大版)选修4-4 ：2.2.1直线的参数方程含解析

§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程课后篇巩固探究A组1.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是( )A. B.C.(0,-4),(8,0)D.,(8,0)2.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为( )A. B. C.2 D.(t为参数),代入圆的方程得t2+2=4,解得=-,t2=,t1-t2|=|-|=2.故所求弦长为|t3.直线2x-y+1=0的参数方程为( )A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,sinα=,cos α=,所以直线的参数方程是(t为参数).4.已知P1,P2是直线(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是( )A. B.C. D.t的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为,点P对应的参数为t=0,故P1P2的中点到点P的距离为.5.直线(t为参数)过定点.(t为参数)得-(y+1)a+(4x-12)=0.若-(y+1)a+(4x-12)=0对于任意a都成立,则x=3,y=-1.6.直线l:(t为参数)上的点P(-4,1-)到直线l与x轴交点间的距离是.l:(t为参数)中,令y=0,得t=-1.故直线l与x轴的交点为Q(-1-,0).故|PQ|===2-2.-27.直线过点A(1,3),且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.由题意知直线的点斜式方程为y-3=-(x-1).设y-3=-(x-1)=t,则(t为参数).所以该直线的参数方程为(t为参数).(2)(方法一)如图所示,在直线上任取一点M(x,y),则|PM|2=(x+2)2+(y+1)2=+(3+t+1)2=t2+5t+25=(t+2)2+20.当t=-2时,|PM|2取最小值,此时|PM|等于点P与直线的距离,则|PM|==2.(方法二)由点P向直线作垂线,垂足记为P0,如上图所示,它对应参数t=-2,代入直线的参数方程,可得点P0的坐标为P0(2,1),显然有|PP 0|==2.8.已知两点A(2,1),B(-1,2)和直线l:x+2y-5=0.求过点A,B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点的坐标.AB上动点P(x,y),选取参数λ=,则直线AB的参数方程为(λ为参数). ①把①代入x+2y-5=0得λ=-.把λ=-代入①得即交点坐标为(5,0).9.导学号73144026已知直线(t为参数)与抛物线y2=4x交于两个不同的点P,Q,且A(2,4).(1)求AP+AQ的值;(2)求PQ的长.-1,故直线的倾斜角为135°,故(t'为参数),代入y2=4x,+t'2=-12,t'1t'2=16.得t'2+12t'+16=0,故有t'|+|t'2|=|t'1+t'2|=12.(1)AP+AQ=|t'(2)PQ=|t'1-t'2|==4.B组1.已知直线(t为参数)与椭圆x2+2y2=8交于A,B两点,则|AB|等于( )A.2B.C.2D.x2+2y2=8,得3t2-6t+1=0,解得t1=1+,t2=1-,得A,B.故|AB|=.2.直线(t为参数)上与点P(-2,3)之间的距离等于的点的坐标是( )A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)Q与点P之间的距离等于,Q(x 0,y0),则(t为参数).由|PQ|=,得(-2-t+2)2+(3+t-3)2=2,即t2=,得t=±.当t=时,Q(-3,4);当t=-时,Q(-1,2).3.设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)之间的距离为,若该直线的参数方程改写成(t'为参数),则点P对应的t'值。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ，利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，所以()12,0F -，()22,0F ，设()cos ,sin P θθ，则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=，当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =．故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++，求得答案．详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，），且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，）根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，，故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-，代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2．故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。

高二数学理科北师大版选修4-4同步课件：2.2.2.1 直线的参数方程课后作业(共21张PPT)

2
1 2 , 2 2
9.若直线
1 x 2 t, 2 (t为参数) y 1 1 t 2
与圆x2+y2=1有两个交点A､B,若P点坐标为(2,-1),则
|PA|·|PB|=________. 答案:4
解析:由
1 x 2 t, 2 y 1 1 t 2
由A､B是坐标轴上的点知yA=0,xB=0, 2 ∴0=2+tsinα,即|PA|=|t|= , sin 0=3+tcosα,即|PB|=|t|=
3 . cos
故|PA|·|PB|= ∵90°<α<180°,
2 3 12 ( ) . sin cos sin2
∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.
|MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|=2.
12.已知直线l过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A､ B两点.求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程. 解析:设直线的倾斜角为α(90°<α<180°),则它的方程为
x 3 tcos , (t为参数), y 2 tsin
故直线的斜率为tan
3 =-1. 4
3.若一直线方程是
x 1 t, (t为参数), y 5 3t 另一直线方程是x-y-2 =0,则两直线交点与P(1,-5)间的距 3
离是(
)
A.2 3 B.4 3 C. 3 D.3 3
答案:B
解析 : x y 2 3 (1 t ) (5 3t ) 2 3 0, (1 3)t 6 2 3, t 2 3,
点的坐标为(-4,5)或(0,1).

2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4同步配套练习：2.2 直线和圆锥的参数方程2.2.2-2.2.4 Word版含答案

2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课时过关·能力提升1.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为().A.y-1=- (x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=- (x-1)D.y-2=-2(x-1)解析:由曲线C的参数方程知该曲线为圆,且圆心在原点,半径r=4,所以过点M的弦与线段OM垂直.又k OM=,所以弦所在直线的斜率为-2.所以直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B2.曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是().A.(-4,0)B.(0,-4)C.(-2,0)D.(0,2)解析:由得=1,所以左焦点的坐标为(-4,0).答案:A3.若P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为().A.36B.6C.26D.25解析:由参数方程可知,曲线为圆,且圆心为O(2,0).令M(5,-4),所以|OM|==5.所以(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.答案:A4.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(θ为参数)的圆心位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=ax+b过第一、二、四象限,故a<0,b>0.又圆的圆心坐标为(a,b),故圆心在第二象限.答案:B5.当θ取一切实数时,连接A(4sin θ,6cos θ),B(-4cos θ,6sin θ)两点的线段中点的轨迹是().A.圆B.椭圆C.双曲线D.直线解析:∵(x,y)为轨迹上一点,∴=1-2sin θcos θ+1+2sin θcos θ=2.即轨迹方程为=1,故是椭圆.答案:B6.在椭圆=1上与直线x+2y-10=0的距离最小的点的坐标为.解析:椭圆的参数方程为(θ为参数).设椭圆上任意一点P(3cos θ,2sin θ),P到直线x+2y-10=0的距离d===2sin(θ+φ).当sin(θ+φ)=1时,距离最小.此时sin(θ+φ)=sin θ+cos θ=1.又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=,cos θ=.此时点P的坐标为.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为=1(a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的极坐标方程为ρcos.若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴的一个端点,则椭圆C的参数方程为.解析:依题意知直线l的直角坐标方程为x+y-=0.令x=0,则y=1,令y=0,则x=,所以c=,b=1.所以a2=3+1=4,即a=2.故椭圆C的参数方程为(φ为参数).答案:(φ为参数)8.已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为ρcos,曲线C2的参数方程为(φ为参数),试求曲线C1,C2的交点的直角坐标.解曲线C1可化为ρcos θ+ρsin θ=,即x+y=2;曲线C2可化为=1,即3x2+4y2=12.联立解得交点为(2,0),.9.已知双曲线方程为x2-y2=1,M为双曲线上任意一点,点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2.求证:d1与d2的乘积是常数.分析利用双曲线的参数方程代入距离公式,利用三角函数公式进行转化.证明设d1为点M到渐近线y=x的距离,d2为点M到渐近线y=-x的距离,因为点M在双曲线x2-y2=1上,所以可设点M的坐标为.d1=,d2=,d1·d2=,故d1与d2的乘积是常数.★10.已知点A在椭圆=1上运动,点B(0,9),点M在线段AB上,且,试求动点M的轨迹的参数方程.解设A(12cos α,6sin α)(α为参数),M(x,y),由题意知B(0,9),,则x==8cos α,y==4sin α+3,即(α是参数).所以动点M的轨迹的参数方程为(α为参数).★11.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin t.(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.解 (1)由x=cos α+sin α,得x2=(cos α+sin α)2=2cos2α+2sin αcos α+1,所以曲线M的方程可化为y=x2-1,x∈[-2,2],由ρsin t,得ρsin θ+ρcos θ=t,所以ρsin θ+ρcos θ=t,所以曲线N的方程可化为x+y=t.(2)若曲线M,N有公共点,则当直线N过点(2,3)时满足要求,此时t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立得x2+x-1-t=0,由Δ=1+4(1+t)=0,解得t=-.综上可得,t的取值范围是-≤t≤5.。