斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列是黄金分割
斐波那契数列是黄金分割
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n≥ 2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963 年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的莱昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，莱昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
另外斐波那契还在计算机C语言程序题中应用广泛。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）【 5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.87还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
斐波那契数列与黄金分割
松果种子的排列
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松果种子的排列
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松果种子的排列
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菜花表面排列的螺线数（5-8）
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这一模式几个世纪前已被注意到，此后 曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993 年才给出。这种解释是：这是植物生长的动 力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角 是黄金角——137.50776度；这使种子的堆 集效率达到最高。
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六、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且 在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
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有人比喻说，“有关斐波那契数 列的论文，甚至比斐波那契的兔子 增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那 契季刊》。
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2． 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,1175—1250）
出生于意大利的比萨。他小时候就 对算术很 有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、 希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触 到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯 计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家 里不久，他发表了著名的《算盘书》。
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3） 股票指数增减的“波浪理论” ① 完整周期3上2下（或5上3下或3 上5下），常是相继两斐波那契数； ② 每次股指增长幅度（8，13等）或 回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契 数。 股指变化有无规律？回答是肯定的。
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股指
数学文化第四讲斐波那契数列与黄金分割
1月 1对
解答
1月 1对 2月 1对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对
3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
有人比喻说，“有关斐波那契 数列的论文，甚至比斐波那契的兔 子增长得还快”，以致1963年成立 了斐波那契协会，还出版了《斐波 那契季刊》。
3、斐波那契数列趣话
数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一 起．
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果 它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命． 发 人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．
“十秒钟加数”的秘密
1 2
数学家发现：连续 10个斐波
3
那契数之和，必定等于第 7
5
个数的 11 倍！
8
13
所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89
??
“十秒钟加数”的秘密
34 55
又例如：
89
144
右式的答案是：
233
377
610 11 = 6710
610
987
1597
+ 2584
????
斐波那契协会和《斐波那契季刊》 斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问 题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列， 并且在19世纪初以前，也没有人认真研究 过它。没想到过了几百年之后，十九世纪 末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应 用，从而突然活跃起来，成为热门的研究 课题。
黄金分割比和斐波那契数列
黄金分割比和斐波那契数列1. 黄金分割比：自然中的奇妙比例1.1 什么是黄金分割比好啦，先聊聊黄金分割比吧。
这个比率听起来像个高深的数学名词，但实际上，它非常简单：黄金分割比大约是1.618。
这是什么意思呢？假如你有一条线段，把它分成两部分，其中一部分和整条线段的比例，等于另一部分和较长部分的比例。
这种比例就是黄金分割比。
有没有觉得很神奇？就像大自然中的秘密一样，几乎无处不在。
1.2 黄金分割比在生活中的应用你可能没注意到，但黄金分割比在生活中随处可见。
比如，我们的脸部比例、一些著名建筑的设计，甚至你最喜欢的艺术作品中，都有这个比率的影子。
它就像是一种神秘的美学标准，让一切看起来更加和谐自然。
就连《蒙娜丽莎》这样的经典画作也都蕴含了这个比例。
2. 斐波那契数列：数学中的魔法2.1 什么是斐波那契数列接下来，咱们聊聊斐波那契数列。
这是一串非常特别的数字序列，开头的两个数字是0和1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
例如，0，1，1，2，3，5，8，13……以此类推。
听起来是不是有点像魔法？这种数列不仅在数学中有趣，而且在自然界里也经常出现。
2.2 斐波那契数列与黄金分割比的关系现在，你可能会好奇，斐波那契数列和黄金分割比到底有啥关系。
其实，它们之间有着密不可分的联系。
随着斐波那契数列不断增长，数列中的数字比值会越来越接近黄金分割比。
这就像数学中的一个小秘密，揭示了自然界和艺术作品的深层美学。
3. 黄金分割比和斐波那契数列的奇妙结合。
3.1 自然界中的应用大自然里可真是黄金分割比和斐波那契数列的“大舞台”。
比如，向日葵的种子排布、松果的鳞片、甚至某些贝壳的螺旋形状，都是按照这些数学法则排列的。
试着观察一下，你会发现这些自然界的奇迹，竟然都遵循着这样一种神秘的规律。
3.2 艺术和建筑中的体现不仅在自然界，黄金分割比和斐波那契数列在艺术和建筑中也有广泛应用。
古希腊的帕台农神庙、文艺复兴时期的画作，甚至现代建筑设计中，都可以找到它们的身影。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金比例
斐波那契数列与黄金比例斐波那契数列是一个非常有趣且神奇的数列，它以意大利数学家斐波那契的名字命名而来。
斐波那契数列的定义非常简单，它由0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。
所以，数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21…以此类推。
这个看似简单的数列却有着令人惊叹的特性，它与黄金比例密切相关。
黄金比例，也被称为黄金分割或黄金比值，是一个数学常数，近似等于1.6180339887。
它是通过将一条线段分为两个部分，使其中一部分与全长的比值等于整个线段与另一部分的比值得到的。
这个比例在艺术、建筑、金融等领域中都被广泛应用，并被认为具有美学上的完美性。
斐波那契数列与黄金比例之间的关系体现在数列中的相邻项之间的比值。
当我们计算斐波那契数列中相邻两项的比值时，我们会发现，随着数列的增长，这个比值越来越接近黄金比例。
比如，当数列的项数很大时，比如取前1000项进行计算，相邻两项的比值已经非常接近1.6180339887。
这个神奇的性质可以用递推公式来证明。
假设前一项为F(n-1)，当前项为F(n)，通过斐波那契数列的定义，我们可以得到F(n) =F(n-1) + F(n-2)。
那么我们可以计算相邻两项的比值，即F(n)/F(n-1) = (F(n-1) + F(n-2))/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1)。
当n趋向无穷大时，这个比值也会趋向黄金比例。
斐波那契数列与黄金比例之间的关联可以在自然界中找到很多例子。
例如，植物的生长规律往往符合斐波那契数列，其中植物的枝干与叶子的排列方式就遵循着黄金角度的分布。
黄金角度是黄金比例的倒数，约为137.5度。
这种排列方式在自然界中非常普遍，从花朵的花瓣排列到松果的排列，都呈现出黄金角度的分布。
斐波那契数列和黄金比例在艺术和建筑领域也起到重要的作用。
许多古代建筑物的比例和结构都基于黄金比例，这种比例被认为具有美学上的完美性和和谐感。
著名的希腊神殿帕特农神殿和埃及金字塔等都应用了黄金比例的原则。
斐波那契与黄金分割
斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
目录1人物背景2数列3质数4重要作品1人物背景家庭列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。
威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。
于是他就学会了阿拉伯数字。
学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图，Lienhart Holle在Ulm印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约1175～1240），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率
波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3，n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
1、波浪理论的推动浪，浪形为5(1、2、3、4、5)，调整浪的浪型为3(a\b\c)，合起来为8。
若把波浪细化，大的推动浪又可分为1、3、5浪为推动，2、4为调整。
a、c为推动，b为调整。
这样大的推动浪为5+3+5+3+5=21，调整浪为5+3+5=13，合起来为34。
若再进行更详细的浪形划分，大的推动浪为21+13+21+13+21=89，调整浪为21+13+21=55，合起来为144。
所以，波浪理论怎么细分，都精确在这个数列上：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、2332、这个数列就是斐波那契数列。
它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字;前一个数字大约是后一个数字的0.618倍;前一个数字约是其后第二个数字的0.382倍;后一个数字约是前一个数字的1.618倍;后一个数字约是前面第二个数字的2.618倍;3、由此计算出常见的黄金分割率为(0.5和1.5外)：0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、1.236、1.382、1.618、1.764、1.809 4、黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值。
漫谈斐波那契数列与黄金分割比
漫谈斐波那契数列与黄金分割比（一）奇妙的斐波那契数列：斐波那契数列的由来是“兔子问题”。
从中总结的规律就是：（1）每个月小兔子数 = 上个月的大兔子数；（2）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上个月的小兔子数；（3）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上上个月的大兔子数。
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......即前两项是1， 1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。
提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。
所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0.618.这就是后面要说的黄金分割比。
递推公式为：发现斐波纳契数&&寻找斐波那契数列：1.自然中的斐波那契数：花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，向日葵：顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。
更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。
还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。
如下图：叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
这就是神秘的大自然！这些现象是植物生长动力学特性造成的。
相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。
2.斐波那契数列的推广：首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1， 1，那可不可以是1，2呢？如果是1,2 的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1， 2，3 ，5， 8，......,这不算是本质的推广。
斐波那契数列 黄金比例
斐波那契数列是一个数学序列，其中的每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的前几项通常写作：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……
黄金比例（或称黄金分割）是指两个数字的比值为黄金比例时，这两个数字之间的比值等于1:1.618，或者说是0.618:1。
黄金比例是自然界中常见的美学比例，被认为是最优美的比例。
斐波那契数列与黄金比例之间有着密不可分的联系。
斐波那契数列中的数字满足黄金比例，即相邻两项的比值接近于1:1.618。
例如，当斐波那契数列的数字为8和13时，它们之间的比值为1.625，接近于黄金比例1:1.618。
斐波那契数列和黄金比例在计算机科学、艺术、建筑等领域都有广泛应用。
例如，在计算机科学中，斐波那契数列常用于求解递归问题；在艺术中，黄金比例常用于设计美观的图形、作品；在建筑中，黄金比例常用于设计美观的建筑物和城市空间。
此外，斐波那契数列和黄金比例也被广泛应用于金融领域。
例如，可以使用斐波那契数列来求解股票投资的最优买入和卖出时机；黄金比例则常用于设计金融产品的风险收益比，使风险和收益得到最佳平衡。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。
通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一组数列，其中每个数都是前两个数的和。
数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13……以此类推。
斐波那契数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契在13世纪提出的，但在此之前，类似的数列在古代印度、波斯和阿拉伯已经被许多数学家广泛研究过。
斐波那契数列在数学和自然科学中有广泛的应用。
它被使用于金融学、计算机科学、美学等领域。
其中一个与斐波那契数列紧密相关的概念是黄金分割。
黄金分割是指将一个线段分为两段，使其整体与较长段之比等于较长段与较短段之比。
这个比例被称为黄金分割比，约等于1.618。
黄金分割比例在建筑、艺术和自然界中被广泛运用，因其视觉上的美感而备受推崇。
斐波那契数列与黄金分割之间有着紧密的联系。
实际上，斐波那契数列中的相邻两个数字的比例接近黄金分割比。
当我们计算连续斐波那契数字（Fn+1 / Fn）的比例时，随着n的增大，这个比值趋近于黄金分割比。
这个有趣的现象引发了许多数学家的兴趣，他们提出了许多关于这一现象的推论和证明。
斐波那契数列和黄金分割在自然界中也有许多应用。
例如，一些植物和动物的生长模式可以用斐波那契数列和黄金分割来解释。
例如，向日葵的花瓣和松果的排列就遵循着黄金角度。
这种奇特的规律性被认为与斐波那契数列和黄金分割的美学特点有关。
在美学中，黄金分割被广泛应用于艺术和设计。
一些著名的古代建筑和绘画作品中都能看到黄金分割的运用。
黄金分割比例被认为是最具吸引力和令人满意的比例之一，这也解释了为什么我们会在自然界和艺术中频繁地看到它。
总结起来，斐波那契数列与黄金分割之间有着密切的联系。
斐波那契数列中相邻数字的比例趋近于黄金分割比例，这种奇妙的数学现象与自然界中的生长模式和美学规律有关，被广泛应用于金融、计算机科学、建筑和艺术等领域。
深入研究斐波那契数列和黄金分割的数学特性和应用将进一步丰富我们对数学和自然界的理解。
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映了数学的统一美。
黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问
题的例子
36
从不同途径导出黄金比
5 1 0.618 2
1 ． 黄金分割： 线段的分割点满足
大段 小段 全段 大段
，这一比值正是
证完。
D
5
E
1
A
C
B
2
29
4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“和谐”。 例如:
30
1） 人体各部分的比
肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
其分子恰是菲波那契数列；有无极限？
24
5 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
25
3、 黄金分割
1． 定义：把任一线段分割成两段，
使 大段 小段 ，这样的分割叫黄金分割，
这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）
全段 大段
1 x
小段
x
大段
1
26
2． 求黄金比
解：设黄金比为 1，则大段= 故有
10
解答
1 2 3 4 月 月 月 月 1 1 2 3 对 对 对 对
11
解答
1 2 3 4 5 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 对 对 对 对 对
12
解答
1 2 3 4 5 6 月 月 月 月 月 月 1 1 2 3 5 8 对 对 对 对 对 对
13
解答
1 2 3 4 5 6 7 月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13 对 对 对 对 对 对 对
5 1 2
。
Fn Fn 1
2． 斐波那契数列组成的分数数列
1 1 2 3 5 , , , , , 1 2 3 5 8
的极限正是
5 1 2
。
37
5 1 x x 1 0 3． 方程 的正根是
2
2
4． 黄金矩形的宽长之比正是 5． 连分数 x
1 1 1 1 1 1
n n 1 1 5 1 5 Fn 2 2 5
18
2． 连分数
x 1 1
1 1 1 1 1 1
这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。
石家庄经济学院数理学院课程课件
数学文化
主讲教师 李令斗
斐波那契数列与黄金分割
一、兔子问题和斐波那契数列
二、数学的统一美
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出左
边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
3
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
x 1Байду номын сангаасx 1 x
x ，不妨设全段长为 x ，小段= 1 x 。
， x 2 x 1 0
1 5 解得 x ，其正根为 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2
A
小段 大段
B
27
3． 黄金分割的尺规作图 设线段为 AB 。作 BD AB ，且
再作 A( AE ) 交 AB于 C
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
39
有人比喻说，“有关斐波那契数
列的论文，甚至比斐波那契的兔子
增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那
契季刊》。
40
2． 斐波那契生平 出生于意大利的比萨。 他小时候就 对算术很有兴趣。 后来，他父亲带他旅行到埃 及、叙利亚、希腊（拜占 庭）、西西里和普罗旺斯， 他又接触到东方国家的数学。 斐波那契确信印度—阿拉伯 计算方法在实用上的优越性。 1202年，在回到家里不久， 他发表了著名的《算盘书》。
十秒钟加数
再来一次！
时间到！
答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项
起，每一项是其前两项之和，则称该数列为
斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
53
松果种子的排列
54
菜花表面排列的螺线数（5-8）
55
这一模式几个世纪前已被 注意到，此后曾被广泛研究，
但真正满意的解释直到1993年
才给出。这种解释是：这是植 物生长的动力学特性造成的； 相邻器官原基之间的夹角是黄 金角——137.50776度；这使
种子的堆集效率达到最高。
56
4）斐波那契数与音乐 2
19
的表达式反复代入等号右端得到的；例如， 第一次代入得到的是
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 x 1 x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
20
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
21
通常，求连分数的值，如同求无理数的
(L.Fibonacci,1170-1250）
6
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期， 而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么， 由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少 对兔子呢？
7
解答
1 月 1 对
8
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
9
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对
1 BD AB ，连 AD 。作 D( DB) 2
交 AD于 E ，
即
，则
AC
5 1 C ， AB 2
为 AB 的黄金分割点。
D
5
E
1
A
C
B
2
28
证：不妨令 BD 1 ，则 AB 2 ， AD 2 2 1 5 ， AE AD ED 5 1，
5 1 AC AE 5 1, AB 2 AC
60
2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的 不同路线条数
反射次数为0的光线以唯一 的一种路线通过玻璃板； 反射次数为1的光线可以以2 种路线通过玻璃板；
反 射 次 数 0 不 同 路 线 数 1
反射次数为2的光线可以以3
种路线通过玻璃板； 反射次数为3的光线可以以5
1 2
种路线通过玻璃板；
反射次数为n的光线可以以
23
发现规律后可以改一种方法算，
un 1 vn 1 un 1 vn 1
例如
u5 1 1 5 u6 1 1 8 , , u 3 u 5 v5 1 4 1 8 v6 1 5 1 13 5 8 v4 v5
顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为
un 1 un 1 1 2 3 5 8 , , , , , ,, , , 1 2 3 5 8 13 vn 1 vn
值一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 条分数线截住，即 n
把第
条分数线上、下的部分都删去，就 n 1
得到该连分数的第 次近似值，记作 n
un vn
22
对照
x 1 1
1 1 1 1 1 1
可算得
u1 1 u2 1 1 u3 1 2 u4 1 3 , , , 1 v1 1 v2 1 1 2 v3 1 1 3 v4 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 2
5 1 2
的值正是
5 1 2
6． 优选法的试验点，正是 我们看到了数学的统一美。
38
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
斐波那契 （Fibonacci.L,1170—1250）
41
斐波那契的才能受到弗里德里希二世
的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞
赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。
他的最重要的成果在不定分析和
数论方面，除了《算盘书》外，保存下来
的还有《实用几何》等四部著作。
42
3． 自然界中的斐波那契数
斐波那契数列中的任一个数，都叫斐
31
2） 著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔， 高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
古希腊的巴特农神殿，
塔高与工作厅高之比为 340∶553≈0.615
（外形的高与宽之比？ 大理石廊柱高与神殿高之比？）
32
3） 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到 矩形的地方（建筑、家 具） 4） 风景照片中， 地平线位置的安排
2
3
Fn 2 种路线通过玻璃板;
3 5
61
3） 股票指数增减的“波浪理论” ① 完整周期3上2下（或5上3下或3