第二章 各向异性弹性力学基础
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2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性 二 章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 弹 性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 力 解。 学 基 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 础 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使 知 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 识
x a 2
b
fx p fx p
a o
y
xa 2
x
y b 2 y b 2
fy p fy p
22
2、内力与应力
力的概念－举例 第 二 章 例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。 弹 性 5 10 13 力 x yx zx 100 40 80 5 学 40 50 60 20 8 y zy xy 基 yz z 60 120 xz 80 10 8 50 础 知 o 识 50 x
基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本 假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如 非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。
3
2.1 弹性力学基本假设
1. 连续性假设 第 二 章 ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的 弹 介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。 性 力 ——变形后仍然保持这种连续性。 学 基 础 根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变 和应力等均成为物体所占空间的连续函数。 知 识
第二章 弹性力学基础知识
∆Q F = lim V ∆V →0 ∆
F = Xi +Yj + Zk
单位： 单位： N/m3 kN/m3 —— 体力分布集度 （矢量） 矢量）
z
Z
∆Q
符号： 、 、 为体力矢量在坐标轴上的投影 符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
k i
X ∆V Y
O j y
正负号： 、 、 的正负号由坐标方向确定。 正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等 重力，磁场力、
弹性体内单位体积上所受的外力 弹性体内单位体积上所受的外力 单位体积
(2) 面力 —— 作用于物体表面上的外力。 作用于物体表面上的外力。
∆Q —— 面力分布集度（矢量） 面力分布集度（矢量） F = lim S ∆S→0 ∆
F = Xi +Yj + Zk
符号： 符号：
z
∆Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
τ xy
所在面的法线方向； 第1个下标 x 表示 所在面的法线方向； 个下标 表示τ所在面的法线方向
σz
正负号规定的区别 规定的区别： 与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
z
规定使得单元体顺时的剪应力τ为 反之为负。 正，反之为负。
τ xy = −τ yx
x
O
τ xz τ xy σy τ yx σ y τ yz σ x τ zy τ zx σz
F = Xi +Yj + Zk
单位： 单位： N/m3 kN/m3 —— 体力分布集度 （矢量） 矢量）
z
Z
∆Q
符号： 、 、 为体力矢量在坐标轴上的投影 符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
k i
X ∆V Y
O j y
正负号： 、 、 的正负号由坐标方向确定。 正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等 重力，磁场力、
弹性体内单位体积上所受的外力 弹性体内单位体积上所受的外力 单位体积
(2) 面力 —— 作用于物体表面上的外力。 作用于物体表面上的外力。
∆Q —— 面力分布集度（矢量） 面力分布集度（矢量） F = lim S ∆S→0 ∆
F = Xi +Yj + Zk
符号： 符号：
z
∆Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
τ xy
所在面的法线方向； 第1个下标 x 表示 所在面的法线方向； 个下标 表示τ所在面的法线方向
σz
正负号规定的区别 规定的区别： 与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
z
规定使得单元体顺时的剪应力τ为 反之为负。 正，反之为负。
τ xy = −τ yx
x
O
τ xz τ xy σy τ yx σ y τ yz σ x τ zy τ zx σz
复合材料及其结构的工程力学-课后习题
其中， Sij 与 Sij 满足如下关系（ m cos ， n sin ）
3. 有一单向复合材料薄壁管，平均半径 R0 =20mm，壁厚 t =2mm，管端作用轴向
拉力 P =10KN，扭矩 0.1KNm。试问，为使单向复合材料管的材料主方向只有正 应力时( 12 0 )，单向复合材料的纵向和圆管轴线夹角 (0,
2. 有一单向复合材料薄壁管，平均直径 R0 =25mm，壁厚 t =2mm，管端作用轴向
拉力 P =20KN，扭矩 0.5KNm。试问，保证圆管不发生轴向变形(即 x 0 )时弹性 主轴柔度系数 Sij 应满足什么条件？ （分别考察 0o ， 30o ， 45o ， 90o 的情况）
G12 GPa
98.07 38Fra Baidu bibliotek60
8.83 8.27
5.20 4.14
试分别求应力分量为 1 =400Mpa， 2 =30Mpa， 12 =15Mpa 时的应变分量。
6. 一单层板受力情况， x = -3.5Mpa， y =7Mpa， xy = -1.4Mpa，该单层板弹性
，试用材料力学方法证明如下图所示的颗粒增
其中， A2 x 为颗粒材料的分布规律。
5. 用材料力学方法证明，单向纤维复合材料纵向总载荷与纤维承受载荷之比
E c P 1 m m 。 Pf Ef cf
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
y
x
xy
z
yz
zx 工程应力
stress-strain relations
xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即
置为零，只剩下13个独立变量。
12
3123,,,G G G 异性材料仍有耦合现象。各方向上相同。
假定：1，2，3都是弹性主轴，1－2面是各向同性面。
则：
习题
各向异性材料、正交各向异性材料、横观各向同性材料和各向同性材料各有多少个
复合材料力学沈观林编着清华大学出版社
《复合材料力学》沈观林编著清华大学出版社
第一章复合材料概论
1.1复合材料及其种类
1、复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。
2、复合材料从应用的性质分为功能复合材料和结构复合材料两大类。功能复合材料主要具有特殊的功能。
3、结构复合材料由基体材料和增强材料两种组分组成。其中增强材料在复合材料中起主要作用，提供刚度和强度，基本控制其性能。基体材料起配合作用，支持和固定纤维材料，传递纤维间的载荷，保护纤维。根据复合材料中增强材料的几何形状，复合材料可分为三大类：颗粒
复合材料、纤维增强复合材料（fiber-reinforced composite）、层禾口
复合材料。
（1）颗粒：非金属颗粒在非金属基体中的复合材料如混凝土；金属颗粒在非金属基体如固体火箭推进剂；非金属在金属集体中如金属陶
'瓷O
（2）层合（至少两层材料复合而成）：双金属片；涂覆金属；夹层玻璃。
（3）纤维增强：按纤维种类分为玻璃纤维（玻璃钢）、硼纤维、碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维和芳纶纤维等。
按基体材料分为各种树脂基体、金属基体、陶瓷基体、和碳基体。按纤维形状、尺寸可分为连续纤维、短纤维、纤维布增强复合材料。
还有两种或更多纤维增强一种基体的复合材料。如玻璃纤维和碳纤维增强树脂称为混杂纤维复合材料。
5、常用纤维（性能表见P7表1-1）
玻璃纤维（高强度、高延伸率、低弹性模量、耐高温）
硼纤维（早期用于飞行器，价高）碳纤维（主要以聚丙烯腈PAN纤维或沥青为原料，经加热氧化，碳化、石墨化处理而成；可分为高强度、高模量、极高模量，后两种成为石墨纤维（经石墨化2500~3000°C）；密度比玻璃纤维小、弹性模
第二章各向异性弹性力学基础
x 1 1 y T 1 2 2 12 xy
1 1 [ Q ] 2 ij 2 12 12
或者
1 1 R 2 1 2 12 12
广义的正交各向异性单层板本构
1 S11 2 S12 0 12
S12 S 22 0
1 2 S 66 12 0 0
x S11 x T T S T y S12 y S xy xy 16
Q12 Q22 Q26
Q16 x cos T sin Q26 y sin cos Q66 xy
2 2
sin 2 cos 2 sin cos
2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
Q12 Q11 0
0 1 可简写 0 2 Q 66 12
1 1 2 Q 2 12 12
x 1 1 1 1 广义的正交各 y T 2 T Q R T R y 向异性单层板 xy 12 本构 xy
1 1 [ Q ] 2 ij 2 12 12
或者
1 1 R 2 1 2 12 12
广义的正交各向异性单层板本构
1 S11 2 S12 0 12
S12 S 22 0
1 2 S 66 12 0 0
x S11 x T T S T y S12 y S xy xy 16
Q12 Q22 Q26
Q16 x cos T sin Q26 y sin cos Q66 xy
2 2
sin 2 cos 2 sin cos
2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
Q12 Q11 0
0 1 可简写 0 2 Q 66 12
1 1 2 Q 2 12 12
x 1 1 1 1 广义的正交各 y T 2 T Q R T R y 向异性单层板 xy 12 本构 xy
各向异性弹性力学基础
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2, x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31,12,31,12（即 5,6,5,6）变号，可得：
S 16 S 26 S 36 S 45 0
2、几何关系（小变形）
在x3变向时要变号，为保2证W相同，
y
2 z
2 yz
z2 y2 yz
2z
x2
2z2x
2zx
zx
(zxxyyz)22x
x y z x yz
(xyyzzx)22y
y z x y zx
(yzzxxy)22z
z x y z xy
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
E 1 ,E 2 ,E 3 ,1,2 3,1 2,G 3 2,G 3 3,G 1 12
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij
E j Ei
S ij 可展开为：
没有对称性。
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
各向异性弹性力学
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建筑结构的各向异性分析
总结词
建筑结构的各向异性分析是利用各向异性弹性力学理论，对 建筑结构在不同方向上的受力特性进行详细分析和评估的过 程。
详细描述
在建筑结构设计中，由于材料、结构和构造等因素的影响， 结构在不同方向上可能会表现出不同的力学特性。各向异性 弹性力学提供了对这种复杂行为的数学描述，帮助工程师更 准确地预测和评估建筑结构的性能。
各向异性弹性力学的理论完善和数值模拟方法的发展
理论模型与解析解
深入研究各向异性弹性力学的理论模型，寻 求复杂问题的解析解，以揭示各向异性材料 的内在力学行为和规律。
数值模拟方法
发展高效、精确的数值模拟方法，如有限元 法、有限差分法和边界元法等，用于模拟和 分析各向异性材料的复杂力学行为和多场耦 合问题。
晶体材料
晶体材料由于其内部原子或分子的排 列具有规则性，因此表现出明显的各 向异性。其弹性性质取决于晶体结构、 晶格常数等因素。
复合材料
复合材料由多种材料组成，其弹性性 质取决于各组成材料的性质以及它们 的排列和分布。纤维增强复合材料是 最常见的各向异性复合材料之一。
03
各向异性弹性力学 在工程中的应用
各向异性弹性力学的基本方程
广义胡克定律
在各向异性弹性力学中，胡克定律的形式会有所不同，需要考虑 应变和应力的关系，以及材料的方向性。
复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础
化的优势。
建筑领域
在高层建筑和大跨度结构的设计中 ，利用各向异性材料的特性，可以 实现结构的优化和抗震性能的提升 。
汽车工业
汽车的车身和底盘结构大量采用各 向异性材料，如铝合金和钢，以提 高车辆的安全性和燃油经济性。
各向异性弹性力学在复合材料设计中的应用
结构设计
损伤容限设计
通过各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的层合板、夹芯板等结构进 行精确的分析和设计，以满足特定的 力学性能要求。
通过研究复合材料的损伤演化机制和 破坏准则，可以预测和防止在使用过 程中出现的损伤和破坏，提高复合材 料的安全性和可靠性。
优化设计
利用各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的铺层角度、厚度等进行优 化设计，以实现最佳的力学性能和功 能特性。
各向异性弹性力学在其他领域的应用
生物医学工程
在人工关节、牙科植入物等生物医学 工程领域，各向异性弹性力学理论被 用于模拟和预测材料的生物相容性和 力学性能。
各向异性材料的性质
各向异性材料的应力应变关系
01
各向异性材料的应力应变关系是非线性的，其弹性常数也不是
标量，而是与方向有关的张量。
各向异性材料的强度
02
各向异性材料的强度在不同方向上有所不同，其强度极限与方
向有关。
各向异性材料的变形行为
03
各向异性材料的变形行为与方向有关，不同方向的变形行为存
建筑领域
在高层建筑和大跨度结构的设计中 ，利用各向异性材料的特性，可以 实现结构的优化和抗震性能的提升 。
汽车工业
汽车的车身和底盘结构大量采用各 向异性材料，如铝合金和钢，以提 高车辆的安全性和燃油经济性。
各向异性弹性力学在复合材料设计中的应用
结构设计
损伤容限设计
通过各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的层合板、夹芯板等结构进 行精确的分析和设计，以满足特定的 力学性能要求。
通过研究复合材料的损伤演化机制和 破坏准则，可以预测和防止在使用过 程中出现的损伤和破坏，提高复合材 料的安全性和可靠性。
优化设计
利用各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的铺层角度、厚度等进行优 化设计，以实现最佳的力学性能和功 能特性。
各向异性弹性力学在其他领域的应用
生物医学工程
在人工关节、牙科植入物等生物医学 工程领域，各向异性弹性力学理论被 用于模拟和预测材料的生物相容性和 力学性能。
各向异性材料的性质
各向异性材料的应力应变关系
01
各向异性材料的应力应变关系是非线性的，其弹性常数也不是
标量，而是与方向有关的张量。
各向异性材料的强度
02
各向异性材料的强度在不同方向上有所不同，其强度极限与方
向有关。
各向异性材料的变形行为
03
各向异性材料的变形行为与方向有关，不同方向的变形行为存
PPT-1.各向异性体弹性力学基础
xd ( u v w w v u w ) y d ( ) z d ( ) yz d ( ) zx d ( ) x y z y z z x
xy d (
v u )]dxdydz x y
U0
1 ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy ) 2
m1 m2 m3
l2 m2 n2
y'
1 y 'z ' 2
y
1 yz 2
简写为
l l T
l l
T
应力张量转轴公式
应变分量转轴公式
x ' l12 2 y' l2 z ' l 32 y ' z ' 2l 2 l 3 z ' x ' 2l l 31 x ' y ' 2l1l 2 m12
假设
内容
数理应用
适用条件 物体内各 点的应力不 超过弹性极 限。
与复材性质 矛盾的处理
在引起其变形的 应力和应变之间呈线 完全弹性 外界因素消除后能 性关系。 完全恢复原状。 可不考虑由于变形引起 物体在力和温度 的物体尺寸和位置的变 等外界因素作用下 化；可略去应变、转角 所产生的变形远小 的二次幂或二次乘积以 于物体尺寸。 上的项。 在力和温度变化 由弹性力学求得的应 等外界因素作用之 力仅仅是由外力或温度 前，物体内部无应 变化所引起的。 力。
xy d (
v u )]dxdydz x y
U0
1 ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy ) 2
m1 m2 m3
l2 m2 n2
y'
1 y 'z ' 2
y
1 yz 2
简写为
l l T
l l
T
应力张量转轴公式
应变分量转轴公式
x ' l12 2 y' l2 z ' l 32 y ' z ' 2l 2 l 3 z ' x ' 2l l 31 x ' y ' 2l1l 2 m12
假设
内容
数理应用
适用条件 物体内各 点的应力不 超过弹性极 限。
与复材性质 矛盾的处理
在引起其变形的 应力和应变之间呈线 完全弹性 外界因素消除后能 性关系。 完全恢复原状。 可不考虑由于变形引起 物体在力和温度 的物体尺寸和位置的变 等外界因素作用下 化；可略去应变、转角 所产生的变形远小 的二次幂或二次乘积以 于物体尺寸。 上的项。 在力和温度变化 由弹性力学求得的应 等外界因素作用之 力仅仅是由外力或温度 前，物体内部无应 变化所引起的。 力。
复合材料力学ppt
• 美国麻省理工学院材料科学与工程系教授J P Clark;1985
• 以碳纤维 碳化硅纤维 氧化铝纤维 硼纤维 芳纶纤维 高 密度聚乙烯纤维等高性能增强材料;并使用高性能树脂 金属与陶瓷等为基体;制成的具有比玻璃纤维复合材料 更好性能的先进复合材料
• 到2020年;只有复合材料才有潜力获得2025%的 性能提升;其中陶瓷基和聚合物基复合材料的密度 刚度 强度 韧性和抗高温能力都可能有如此大的改 善;而被列为最优先发展的材料
y z
z
变形协调方程
2 x y 2
2 y x 2
2 xy xy
2 y z 2
2 z y 2
2 yz yz
2 z x 2
2 x z 2
2 xz zx
x
xz y
xy z
yz x
2 2x yz
y
xy z
yz x
zx y
2 2y zx
z
yz x
zx y
xy z
2 2z xy
物理方程— 本构关系 Hooke 定理
– 1994年出版;师昌绪主编 材料大辞典
• 由两种以上材料组合而成的 物理和化学性质与原材料不同 但又保 持某些有效功能
• 一般一种材料作为基体;其他材料作为增强相 • 一定尺度上的组合
• 先进复合材料Advanced posite Materials;简称 ACM是指加进了新的高性能纤维的而区别于低技 术的玻璃纤维增强塑料的复合材料
• 以碳纤维 碳化硅纤维 氧化铝纤维 硼纤维 芳纶纤维 高 密度聚乙烯纤维等高性能增强材料;并使用高性能树脂 金属与陶瓷等为基体;制成的具有比玻璃纤维复合材料 更好性能的先进复合材料
• 到2020年;只有复合材料才有潜力获得2025%的 性能提升;其中陶瓷基和聚合物基复合材料的密度 刚度 强度 韧性和抗高温能力都可能有如此大的改 善;而被列为最优先发展的材料
y z
z
变形协调方程
2 x y 2
2 y x 2
2 xy xy
2 y z 2
2 z y 2
2 yz yz
2 z x 2
2 x z 2
2 xz zx
x
xz y
xy z
yz x
2 2x yz
y
xy z
yz x
zx y
2 2y zx
z
yz x
zx y
xy z
2 2z xy
物理方程— 本构关系 Hooke 定理
– 1994年出版;师昌绪主编 材料大辞典
• 由两种以上材料组合而成的 物理和化学性质与原材料不同 但又保 持某些有效功能
• 一般一种材料作为基体;其他材料作为增强相 • 一定尺度上的组合
• 先进复合材料Advanced posite Materials;简称 ACM是指加进了新的高性能纤维的而区别于低技 术的玻璃纤维增强塑料的复合材料
第02章各向异性弹性力学基础
只有2个独立参数，因为E、、G之间有关
系。
§2.3
§2.3 正交各向异性材料的 工程弹性常数
工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和
剪切模量Gij，这些常数由实验测定。
Ei
i i
i
1,2,3—
分别在各弹性主方向有作 用力时的应力应变之比
ij
i j
— 应单变独与在jj方方向向应有变正之应比力的时负i方值向上
物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
x
y
C11 C 21
C12 C 22
C13 C 23
C14 C 24
C15 C 25
C16 C 26
x y
z yz
C
31
C 41
C 32 C 42
C 33 C 43
C 34 C 44
C 35 C 45
C 36
C 46
z yz
S12
S 22
S 23
0
0 S16
0
S
26
s
S13
S 23
S 33
0
0
S
36
0 0 0 S44 S45 0
0
0
0
S45 S55
0
S16 S26 S36 0 0 S66
2.2.2正交各向异性材料
Ch3各向异性弹性力学基础
S12 S22 S32 S42 S52 S62
S13 S23 S33 S43 S53 S63
S14 S24 S34 S44 S54 S64
S15 S25 S35 S45 S55 S65
S16 1 S26 2 S36 3 S46 4 S56 5 S66 6
对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵， 其分量是和坐标方向选取有关！！！ 可以从两方面理解：1 张量的分量、2 以单 拉为例
正交各向异性 (9个弹性常数)(13-4)
• 是指过均质弹性体的每一点有三个互相正交 的弹性主轴(三个互相正交的弹性对称面)的情 况
x3
x3
Байду номын сангаас
x1
x2 x1
右手坐标系 左手坐标系
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
刚度（柔度）矩阵中的弹性常数不够直 观，因此实际中要引入
工程常数
• 指广义的弹性模量,泊松比,剪切模量等弹性 系数. • 可以通过简单的拉伸与纯剪得到. • 比柔度系数,刚度系数的确定容易.
第二章___弹性力学基本理论new
第二章 弹性力学基础理论
前言
在这一章里，我们将学习结构有限元分析方法所依赖的力学方面的基础理论知识，而不是全面介绍弹性力学的内容，也不介绍如何直接用弹性力学求解结构问题。
求解一个在载荷作用下的受约束弹性体的结构问题，属弹性力学范畴。弹性力学与材料力学和结构力学的任务都是分析结构在弹性阶段的应力和位移，但三者研究对象有所分工。 材料力学：基本只研究所谓杆状结构——长度远大于高度和宽度的构件。 结构力学：研究杆状构件组成的集合体结构，即，杆系结构。如桁架、刚架等。
弹性力学：主要研究非杆状结构，如板、壳、三维实体。弹性力学也研究杆状结构，但比材料力学精确。
以梁为例：材料力学要假设梁具有平行于图形自身平面的对称平面，即梁的横截面具有：①垂直对称轴；②载荷作用在对称平面内；③梁在横向载荷下弯曲时，具有平面截面的假定——即横截
面上的正应力按直线分布。在材料力学中净截面内应力均匀。而弹性力学无须引进这些假定。
图2-1 材料力学中对梁结构的解析
2.1 弹性力学基本假设
讨论问题的基础。这些基本假设包括：
理想弹性体假设和微小位移假设。 其中题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力假设：图2-2 弹性力学中对梁结构的解析
基本假设是弹性力学理想弹性体假设包括：连续性、均匀性、各向同性和完全弹性假设。微小位移假设是指形变值远小于物体的尺寸。
超出基本假设的问学等。
1. 理想弹性体
研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存 连续性假设 假设所在任何空隙。这样才可以使应力、应变和位移是连续的，才可以用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。也就是说，根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。虽然实际结构都是微粒组成的，它们彼此间有间隙，但只要微粒的尺寸和它们之间的距离远小于物体的尺寸，作连续性假设就不会引起显著误差。对于工程材料，微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸，采用这一假设并不会引起明显的误差。
各向异性弹性力学
则（2－1） 的两式可以写成矩阵乘法的形式，第一式 可以写作
11
22
L1111
L2211
33
23
L3311 L2311
32
L3211
31 L3111
13
L1311
12
21
L1211
L2111
L1122 L2222 L3322 L2322 L3222 L3122 L1322 L1222 L2122
M1122 M 2222 M 3322 2M 2322 2M 3122 2M1222
M 1133 M 2233 M 3333 2M 2333 2M 3133 2M1233
2M 1123 2M 2223 2M 3323 4M 2323 4M 3123 4 M 1223
2M 1131 2M 2231 2M 3331 4M 2331 4M 3131 4 M 1231
L1121 11
L2221
22
L3321 L2321
33 23
L3221
32
L3121 31
L1321
13
L1221 12
L2121
21
记作
L
（2－2）
可以理解为张量等式， ， 理解为应力张量和应变张 量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ， 理解为应力列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩 阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的 对称矩阵。
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如果 3 0 ，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向 伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的 面内剪应变。
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
S16 S 26 S36 S 45 0
即： S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。
第三章 各向异性弹性力学基础
§3-1 各向异性弹性力学基本方程
基本未知量： 位移分量：u, v, w
应变分量： x , y , z , yz , zx , xy 应力分量： x , y , z , yz , zx , xy
基本方程： 1、平衡方程
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
2
x zx ( )2 x y z x yz 2 y zx xy yz ( )2 y z x y zx yz zx xy 2 z ( )2 z x y z xy
C66
剪 - 剪耦 合
§3-2 各向异性弹性力学的本构方程
一、完全各向异性（21个弹性常数）
1 S11 1 S12 2 S13 3 S14 4 S15 5 S16 6
其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应 力23、31和 12。可见各向异性体一般具有耦 合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以 引起正应变；反之亦然。
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
，而是
ij
Ej
ji
Ei
即 ij 没有对称性。
E1 E 2 E 3 , 12 G G G 23 12 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 2 2 3 1 3 1 2 3 1 23 23 31 G 31 12 12
六、弹性常数的取值范围
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， ห้องสมุดไป่ตู้23） G12 , G （或 23
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式： 2 2 2 xy x y
y
2
x
2
xy
2 2
y
2
z 2 2 z y yz
2
yz
2
z x zx 2 2 x z zx
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由 a）、 b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
2 1
2 4
而 1 4 在z变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
ij, j f i 0
分量形式为：
(i, j 1,2,3)
x xy xz X 0 x y z yx x y y yz z Y 0
zx zy z Z 0 x y z
2、几何关系（小变形）
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：
1 ij (u i , j u j ,i ) 2
分量形式为：
u x x
yz
zx
w v y z
u w z x
v y y
w z z
xy
v u x y
变形协调方程：六个应变分量应该满足的一 个关系，即 ij,kl kl,ij lj,ki ki,lj 0 (i, j, k , l 1,2,3)
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
利用两个方向下材料的应变能密度表达式 应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单 位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 设仅有 1 , 4 ，即有
W S11 2S14 1 4
2
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
3、边界条件 * 力边界条件： ij ni Ti (在S )
位移边界条件： ui ui (在Su ) 4、各向异性本构方程（小变形） (i, j 1,2,,6) i Cij j 及 i Sij j
1、对于各向同性，可推得： 1 1 E0 2 1 实际上一般为： 0 2 2、对于正交各向异性，有：
E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 0
1 E1
12
对称
E2 0 1 E2
，…… 等等
作业：
1.推导正交各向异性材料柔度矩阵为 零的分量； 2.推导正交各向异性材料中各个常数 的取值范围。