压力容器应力分析3(1)

周向应力
pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
pi p0 Ri2 R02 1 R02 Ri2 r 2
径向应力
r
pi Ri2 R02
p0 R02 Ri2
pi p0 Ri2 R02 1
R02 Ri2
r2
（2-34）
轴向应力
z
pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
dr dr
dr
n1
r
n
r
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
4
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力 有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压
的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半 径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中 的三向应力。
应力
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2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r
d
r
r
drd
r rd
2
dr
sin
2
0
r
r
d r
dr
（2-26）
8
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
m'1
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z
1 2
r
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0
2
rRi K 2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
;
A
B r2
（2－33）
12
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时， r pi ； 当 r R0 时， r p0 。
由此得积分常数A和B为：
A pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2 R02
R02 Ri2
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2.3 厚壁圆筒应力分析
r
z
1 E
r
z
（2-29）
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2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
将式（2-28）中的应变换成应力 并整理得到：
r d 2 r 3 d r 0
dr 2
dr
解该微分方程，可得 r 的通解。将 r 再代入式（2-26） 得 。
r
A
B r2
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
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2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
z
Ri2 pi R02 p0 R02 Ri2
pi Ri2 R02
p0 R02 Ri2
径向应力 r 为压应力（负值）。
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2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律：
内壁周向应力
有最大值，其值为： max
pi
K2 K2
1 1
外壁处减至最小，其值为：
min
pi
2 K2 1
内外壁 之差为 pi ；
径向应力内壁处为 pi ，随着 r 增加， 径向应力绝对值
逐渐减小，在外壁处 r =0；
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
1 1
pi
K
2 2
1
poK 2 K 2 1
1
Ri2 r2
po
2K 2 K 2 1
po
K K
2 2
1 1
z
pi
K
1 2
1
po
K K2
2 1
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2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
厚壁容器：
Do / Di 1.11.2
应力
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 仅是半径的函数。
位移
周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
3
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
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2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
po=0 任意半径 r 内壁处
处
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
r=Ri
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r
处
poK 2 K 2 1
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
n -16 厚壁圆筒中微元体的位移
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2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变
r
w
dw
dr
w
dw dr
周向应变
r wd rd
rd
w r
变形协调方程
d
dr
1 r
r
（2-27） （2-28）
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2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
r
1 E
max
pi
K2 1 K2 1
min
pi
2 K2 1
rr min 0
r max p0
r z
p0
K2 K2 1
min
p0
K2 1 K2 1
max
p0
2K 2 K2 1
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
16
2.3 厚壁圆筒应力分析
从图2-17中可见， 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： ①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值），
＝A
（2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
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2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
2
2.3 厚壁圆筒应力分析