高等数学1(下)复习题

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大一下册高数习题册附标准答案

重积分§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D⎰⎰+=22其中D 为：422≤+y x( dxdy y x I D⎰⎰+=22=πππ3162.4..312.4.=-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分dxdy y x a D⎰⎰--222=12π，求a 的值。

解：dxdy y x a D⎰⎰--222=3.34.21a π81=a3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求⎰⎰Ddxdy 3解：由于D 的面积为π2, 故⎰⎰Ddxdy 3=π64、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤2)][ln(y x +,故1I ≤2I5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1:222)]([y x D dxdy xy f V6、根据二重积分的性质估计下列积分的值⎰⎰Dydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤0⎰⎰Dydxdy x 22sin sin 2π≤)7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim820f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ§ 2 二重积分的计算法1、设⎰⎰+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（）A ：212ln 3ln 87+-- B ：212ln 3ln 89-+C ：212ln 3ln 89-- D ：412ln 3ln 89--2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(为（）A ：0B ：31C ：32D ： 13、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分⎰⎰Dxy dxdy ye 为（）A ：e e e 212124-- B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+ D ：2421e e -4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰++-2111),(为（）A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+112111102),(),( B dx y x f dy y ⎰⎰--1110),( C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+112111102),(),( D dx y x f dy y ⎰⎰---11202),(5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(2为（）A ⎰⎰1),(22D dxdy y x f B ⎰⎰22),(4D dxdy y x fC ⎰⎰1),(42D dxdy y x f D⎰⎰22),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(22为（）A ⎰⎰1),(222D dxdy y x f B ⎰⎰1),(422D dxdy y x fC ⎰⎰1),(822D dxdy y x f D⎰⎰1),(2122D dxdy y x f7、.设f(x,y)为连续函数，则⎰⎰a xdy y x f dx 0),(为( )A ⎰⎰a a ydx y x f dy 0),( B ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(C ⎰⎰a y dx y x f dy 0),( D ⎰⎰a xdx y x f dy 0),(8、求⎰⎰=Ddxdy yx I 22，其中:D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49)9、设I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx ,交换积分次序后I 为：I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx =⎰⎰3ln 03),(y edx y x f dy10、改变二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+4240200),(),(xx dy y x f dx dy y x f dx =⎰⎰21221xxdx ydx x11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+Dy x dxdy e 的值解：⎰⎰+Dyx dxdy e=⎰⎰⎰⎰-==+121101)1())((e dy e dx e dy edx y xl yx12设 I=⎰⎰--Ddxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331R π)13、计算二重积分⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x解：⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22==-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ2032220202)4()4(241π 14、计算二重积分⎰⎰Dy xdxdy e },m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}解：⎰⎰Dy xdxdy e }22,max{=1101022-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx yy xx y15、计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx yx 22，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：⎰⎰++D dxdy yx y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπθθ-=+⎰⎰+rdr r r d§ 3 三重积分1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ωxdxdydz 为( )A ⎰⎰⎰--12101y x y xdz d dx B ⎰⎰⎰---2102101y yx xdy dz dxC ⎰⎰⎰---2102101x yx xdz dy dx D ⎰⎰⎰10110xdz dy dx2、设Ω是由曲面x 2+y 2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（）A ⎰⎰⎰120202ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ⎰⎰⎰2020202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d dC ⎰⎰⎰2022202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ⎰⎰⎰2220dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ωdv e z ||解：⎰⎰⎰Ωdv e z ||=⎰⎰⎰--≤+111||222)(z y x z dz dxdy e =2⎰=-122)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32(1/364)5、设Ω是球域：1222≤++z y x ，求⎰⎰⎰Ω++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 (0) 6、计算⎰⎰⎰+Qdxdydz y x )(22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的区域(π564) 7、计算⎰⎰⎰Qzdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域(2/27))8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t tz y x t )(1lim 222222240⎰⎰⎰≤++→++π解：dxdydz z y x f t t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++222222240(1limπ=)0(')(4limsin )(1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt ==⎰⎰⎰⎰→→ϕϕθπππ§4 重积分的应用1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）A )2(41+πB )2(21+πC )2(43+π D 2+π(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )A (0,35)B (0,36)C (0,37)D (0,38)(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）A (0,0,34)B (0,0,35) C (0,0,45) D (0,0,47)(4)、质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )A 31μB 32μC μD 34μ2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 38)4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3解：π102559222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 1S π2025516222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 3Sπ70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3)122(2222222R dxdy R y x R R y x π-=++=⎰⎰≤+S6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立体的体积解：43)(2132222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V 第九章自测题一、选择题: （40分） 1、⎰⎰-x dy y x f dx 1010),(=( )A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy x B ⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C ⎰⎰11),(dx y x f dy D ⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰Ddxdy y x a 222. A 1D 321 3、设⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).A 40220a rdr a d aπθπ=⎰⎰ B 4022021a rdr r d aπθπ=⋅⎰⎰; C 3022032a dr r d a πθπ=⎰⎰ D 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰.4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz =( ).A481 B 481- C 241 D 241- .5 、设Ω是锥面,0(222222>+=a by a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的空间区域在第一卦限的部分,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361D ab c 361. 6、计算⎰⎰⎰Ω=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）A ⎰⎰⎰=101020zdz rdr d I πθ B ⎰⎰⎰=11020rzdz rdr d I πθC ⎰⎰⎰=11020rrdr dz d I πθ D ⎰⎰⎰=zzrdr d dz I 02010πθ.7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )A π3B π2C π5D π22.8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).A μ3B μ5C μ4D μ6二、计算下列二重积分:（20分）1、⎰⎰-D d y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9402-π)2、⎰⎰Dd xyσarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围成的在第一象限内的闭区域 . (2643π) 3、⎰⎰+-+Dd y x y σ)963(2,其中D 是闭区域:222R y x ≤+ (2494R R ππ+)4、⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）1、⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),( (⎰⎰-xxdy y x f dx 3220),()2、⎰⎰-+2111),(x xdy y x f dx (⎰⎰⎰⎰-+2220211),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )3、⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a (⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a)四、计算下列三重积分:（15分）1、Ω+⎰⎰⎰Ω,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2,,π=+==z x o z o y 及平面所围成的区域 (21162-π) 2、,)(22⎰⎰⎰Ω+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围 (π3250) 五、（5分）求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .(22222221a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:310101])([61)()()(⎰⎰⎰⎰=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0)0(,)()()()(,)()(1==='=⎰⎰F dx x f t F x f x F dt t f x F x且则=⎰⎰⎰101)()()(x yx dxdydz z f y f x f =-⎰⎰dy x F y F y f dx x f x11)]()()[()(dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(2122⎰+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(613F。

《高等数学》试卷1(下)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高等数学1复习题

高等数学1（下）复习题1．求过直线12324x y z+-==和直线外一点()3,2,1A 的平面方程．2．求过点()3,1,2A -且与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程．3．求直线121:-==zy x l 与平面01:=+--z y x π的夹角．4．求两直线1121:1+==z y x l 与11112:2-+=-=z y x l 的夹角．5．求两平面1:1=+y x π与2:2=+-z y x π的夹角．6.求过直线1x 1y 2z 3L :11---==-且平行于直线2x 2y 1z L :211+-==的平面方程．7.求直线2x 4y z 03x y 2z 90-+=⎧⎨---=⎩在平面4x-y+z=1上的投影直线的的方程．8.求过点(1,2,4)且与直线11232x y z +-==+垂直相交的直线方程．9．求下列函数的定义域：(1)z x y =-； 2(2)ln(21)z y x =-+；22(3)arccosz u x y=+．10．()sin ,z f x y x =，求,x xx z z ．11．设(),z z x y =由方程232zy xz -=所确定，求,z zx y∂∂∂∂，dz ．12．设(),z z x y =由方程2223x y z xyz ++=所确定，23u xy z =,求()1,1,1u x∂∂．13．设223z x y =+，3,sin x t y t ==，求dz dt．14．函数(),z f x y =在点()00,x y 处连续是它在该点偏导数存在的（） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件．16．已知曲空曲线Γ：23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，求曲线在()1,1,1--处的切线及法平面方程．17．求球面22256x y z ++=在()02,4,6M 的切平面及法线方程．18．求函数22u x y =-在()1,1点沿{}4,3α=-方向的方向导数．19．求2222u x y z =++在点()1,1,1P 处沿方向PO 的方向导数，其中O 为坐标原点．20．求数量场()()222,,ln 23u x y z x y z =++的梯度．21．设(),,u u x y z =有一阶连续偏导数，12,P P 为空间两点，则u 沿方向 12PP的方向导数为．A 1212PPgradu PP ⋅； B 12gradu PP ⋅ ；C 1212gradu PP gradu PP ⋅⋅ ；D 1212gradu PP gradu PP ⋅．22．求229620z x xy y x y =-++-+的极值．23．设(,,)M x y z 为平面1x y z ++=上的点，且该点到两定点(1,0,1)，(2,0,1)的距离平方之和为最小，求该点的坐标．24．设(,)f x y 为连续函数，交换下列积分的积分次序：（1）()()2111111,,xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰；（2）()()200,,a a aaxxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰；（3）()2122,xxdx f x y dy --⎰⎰；（4）()2102,yydy f x y dx ⎰⎰；（5）()()dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰+22121121,,．25．求()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中:,5,1D y x y x y ===围成区域．26．求()22x y Dedxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,D x y x y a ≥≥+≤．27．设Ω是由22z x y =+及22z x y =+所围．试计算2222x y e I dv x y +Ω=+⎰⎰⎰．28．求Lxds ⎰，L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围区域边界．29．已知曲线积分()()sin L yx x dx x dy x ϕϕ-+⎡⎤⎣⎦⎰与路径无关，其中()x ϕ可导，且()1ϕπ=，求()x ϕ．30．计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是221z x y =--在xoy 面上方的部分曲面的上侧．31．验证()()sin sin cos cos y y x x dx x x y y dy -++++是某函数(),u x y 的全微分，并求出该函数(),u x y ．32．计算积分()()222222Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰，式中L 是从点()0,0O 沿曲线sin y x =到点(),0A π的弧段．33．利用格林公式计算dy y x dx y x L)1()1(22++-⎰，其中L 为正向圆周：422=+y x34．利用格林公式计算dy y e dx y y e x Lx )2cos ()2sin (-+-⎰，其中L 为沿上半圆0,)(222≥=+-y a y a x 、从)0,2(a A 到)0,0(O 的段弧．35．求()22I x y dS ∑=+⎰⎰，其中222:0,01x y z z ∑+-=≤≤．36．计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为)10(22≤≤+=z y x z 之间的下侧．37．利用高斯公式计算3323(sin )()()z y x dydz e y dzdx x z dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑是上半球面224y x z --=的上侧．38．判别下列级数的敛散性：1) 12sin 5n n n π∞=∑； 2) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；3) 11tan2n n n π∞+=∑； 4) 221(!)2n n n∞=∑．39.判别下列级数是否收敛，是否绝对收敛？ 1)1(1)21n n n ∞=-+∑； 2) 1cos32n n n n π∞=∑； 3)∑∞=--113sin 2)1(n n n n π．40．求幂级数()2ln 1nnn n x n∞=-∑的收敛域．当1x =时，是绝对收敛还是条件收敛？41．试求幂函数()12112121n n n n x n ∞+-=--∑的收敛域及和函数．42．设幂级数()01nn n a x ∞=+∑的收敛域为()4,2-，求级数()03nn n na x ∞=-∑的收敛区间．43．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是4，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是．44．试将函数411y x =-展开为x 的幂级数．45．函数()1x x e -的Maclaurin 级数中20x 的系数为．46．设周期为2π的函数()2200x f x xx ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=处收敛于．47．()21010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则()f x 以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛于，在2x π=收敛于．。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（）. A.0=⋅b a B.0 =⨯b a C.0 =-b a D.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2B.2- C.1D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.19622--y y x . 4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+=. 三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）.A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）. A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3B.4 C.5D.65.函数22232y x xy z --=的极大值为（）.A.0B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz（）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（）.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D.()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221. 四.应用题1.316. 2.00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、zyz R x ,--D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高数第下册复习题

高数第下册复习题一、极限与连续性1. 极限的定义：给定函数f(x)在点x=a的极限存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε。

其中L是极限值。

2. 极限的性质：极限存在的唯一性，有界性定理，保号性定理，夹逼定理等。

3. 连续函数的定义：如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在且等于f(a)，则称f(x)在x=a处连续。

4. 连续函数的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，闭区间上连续函数的有界性和最值定理。

二、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数存在，如果极限lim(h→0) [(f(a+h) - f(a))/h]存在。

2. 导数的基本性质：导数的和、差、积、商的运算法则，链式法则，反函数的导数，复合函数的导数。

3. 高阶导数：一阶导数的导数称为二阶导数，依此类推。

4. 微分：如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在x=a处的微分定义为df(a) = f'(a)dx。

三、中值定理与泰勒公式1. 罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = 0。

2. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) -f(a))/(b - a)。

3. 泰勒公式：如果函数f(x)在点x=a的邻域内具有n阶导数，则f(x)可以展开为泰勒级数，即f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ... +f^(n)(a)(x - a)^n / n! + R_n(x)，其中R_n(x)是余项。

四、不定积分1. 不定积分的定义：如果函数F(x)的导数等于f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，F(x) + C（C为常数）称为f(x)的一个不定积分。

高数下册复习题

高数下册复习题# 高数下册复习题一、极限与连续性1. 极限的定义：- 定义极限的概念，并给出一个函数极限存在的条件。

2. 无穷小的比较：- 比较两个无穷小量的大小，并说明如何比较。

3. 极限的运算法则：- 给出极限运算的基本法则，并举例说明。

4. 连续性的定义：- 定义函数在某点连续的条件。

5. 间断点的判定：- 描述如何判断一个函数在某点的间断点类型。

6. 连续函数的性质：- 列举连续函数的基本性质。

二、导数与微分1. 导数的定义：- 描述导数的几何意义和物理意义。

2. 基本导数公式：- 列出基本的导数公式。

3. 导数的运算法则：- 给出导数的四则运算法则。

4. 复合函数的求导法则：- 描述复合函数求导的链式法则。

5. 隐函数求导：- 给出隐函数求导的方法。

6. 高阶导数：- 解释什么是高阶导数，并给出求高阶导数的步骤。

7. 微分的概念：- 定义微分，并说明微分与导数的关系。

三、中值定理与泰勒公式1. 罗尔定理：- 描述罗尔定理的条件和结论。

2. 拉格朗日中值定理：- 给出拉格朗日中值定理的表述。

3. 柯西中值定理：- 解释柯西中值定理。

4. 泰勒公式：- 介绍泰勒公式，并给出一个函数的泰勒展开。

四、不定积分1. 不定积分的定义：- 定义原函数和不定积分。

2. 基本积分公式：- 列出基本的积分公式。

3. 换元积分法：- 描述第一类换元积分法和第二类换元积分法。

4. 分部积分法：- 解释分部积分法的适用条件和计算步骤。

5. 有理函数的积分：- 给出有理函数积分的方法。

五、定积分1. 定积分的定义：- 定义定积分，并说明其几何意义。

2. 定积分的性质：- 列举定积分的基本性质。

3. 定积分的计算：- 描述如何计算定积分。

4. 定积分的应用：- 给出定积分在几何、物理等领域的应用实例。

六、级数1. 级数的概念：- 定义无穷级数，并说明其分类。

2. 正项级数的判别法：- 列出正项级数的几种判别法。

3. 交错级数的判别法：- 描述交错级数的判别方法。

高数大一下知识点练习题

高数大一下知识点练习题高数（即高等数学）是大学本科数学中的一门重要课程，对于理工科学生而言，高数的学习是一个重要的里程碑。

大一下学期，学生们将进一步学习和掌握高数的知识点，并通过练习题来巩固所学内容。

本文将选取一些常见的高数知识点练习题进行讲解和解答，以帮助读者更好地理解和掌握高数的要点。

练习题一：求函数的极值问题描述：已知函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求函数在定义域内的极值点。

解答：首先，我们需要求出函数的导数 f'(x)，然后找出导函数为零的点，即为函数的驻点。

接下来，我们再求出驻点的二阶导数 f''(x)，判断二阶导数的正负性以确定函数的极值。

求导过程如下：f'(x) = 3x^2 - 3令 f'(x) = 0，则有 3x^2 - 3 = 0解得 x = ±1求二阶导数：f''(x) = 6x根据二阶导数的正负性判断：当 x < -1 时，f''(x) < 0，函数凹向下，有极大值；当 -1 < x < 1 时，f''(x) > 0，函数凹向上，有极小值；当 x > 1 时，f''(x) < 0，函数凹向下，有极大值。

综上所述，函数 f(x) 的极大值点为 x = -1，极小值点为 x = 1。

练习题二：曲线的切线方程问题描述：已知函数 f(x) = ln(x^2 + 1)，求函数在点 x = 1 的切线方程。

解答：首先，我们需要求出函数f(x) 在点x = 1 处的导数f'(1)，作为切线的斜率。

然后，利用切线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)来求出切线方程。

求导过程如下：f'(x) = 2x / (x^2 + 1)f'(1) = 2 / 2 = 1切线过点 (1, f(1)) = (1, ln(1^2 + 1)) = (1, ln2)，斜率为 1，切线方程为 y - ln2 = 1(x - 1)。

高等数学下考试题库（附答案）

⾼等数学下考试题库（附答案）《⾼等数学》试卷1（下）⼀.选择题（3分?10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+C.(){}21,22≤+y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=?b aB.0 =?b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极⼩值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则4,1πyz ＝（）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=??02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分⽅程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =⼆.填空题（4分?5）1.⼀平⾯过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平⾯⽅程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6）1.设v e z usin =，⽽y x v xy u +==,，求.,yz x z 2.已知隐函数()y x z z ,=由⽅程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z 3.计算σd y x D+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱⾯所围成的⽴体的体积（R 为半径）.四.应⽤题（10分?2）1.要⽤铁板做⼀个体积为23m 的有盖长⽅体⽔箱，问长、宽、⾼各取怎样的尺⼨时，才能使⽤料最省？ .试卷1参考答案⼀.选择题 CBCAD ACCBD ⼆.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2.12,12+=??+-=??z yy z z x x z . 3.?=πππρρρ?202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应⽤题1.长、宽、⾼均为m 32时，⽤料最省.2..312x y =《⾼数》试卷2（下）⼀.选择题（3分?10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平⾯⽅程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平⾯的夹⾓为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+C.()?≤+≤20,22πy x y x D.()?<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平⾯0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数2 2232y x xy z --=的极⼤值为（）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=??2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若⼏何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1D.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定⼆.填空题（4分?5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线??-==+=t z t y t x 213平⾏，则直线l 的⽅程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲⾯2242y x z -=在点()4,1,2处的切平⾯⽅程为_____________________________________.三.计算题（5分?6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ?2.设22uv v u z -=，⽽y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z 4.如图，求球⾯22224a z y x =++与圆柱⾯ax y x 222=+（0>a ）所围的⼏何体的体积.四.应⽤题（10分?2） 1.试⽤⼆重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的⾯积.试卷2参考答案⼀.选择题 CBABA CCDBA. ⼆.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=?? . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=??+-=??. 4.-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应⽤题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《⾼等数学》试卷3（下）⼀、选择题（本题共10⼩题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平⾯x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆⼼在原点，半径为R ，⾯密度为22y x +=µ的薄板的质量为（）（⾯积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n⼆、填空题（本题共5⼩题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹⾓为z y x =-+=-1321___________。

大一下学期高等数学考试题

一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、 6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

高数下册复习题及答案

高数下册复习题及答案一、选择题1. 函数f(x)=\( e^x - 1 \)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. \( e \)2. 曲线y=\( x^2 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. -1D. 03. 函数f(x)=\( \sin x \)的二阶导数是：A. \( \cos x \)B. \( -\sin x \)C. \( -\cos x \)D. \( \sin x \)二、填空题1. 函数f(x)=\( x^3 - 2x^2 + 3x \)的一阶导数是_________。

2. 若f(x)=\( \ln x \)，求f'(1)的值为_________。

3. 曲线y=\( x^3 \)在点(2,8)处的法向量是_________。

三、计算题1. 求函数f(x)=\( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点。

2. 求曲线y=\( x^2 + 2x - 3 \)在x=1处的切线方程。

3. 证明函数f(x)=\( x^3 \)在R上是严格递增的。

四、解答题1. 已知函数f(x)=\( 3x^2 - 5x + 2 \)，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2. 解微分方程：\( (x^2 + 1)y'' - 2xy' + 2y = 0 \)。

3. 讨论函数f(x)=\( \ln(1 + x) \)的连续性和可导性。

五、证明题1. 证明罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2. 证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得\( f'(c) =\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。

六、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=\( 0.5x^2 - 100x + 500 \)，求该工厂生产x件产品时的最低成本。

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高等数学(1)下复习题

《高等数学(1)下》复习资料一、填空题1、设sin ,z uv t =+而,cos t u e v t ==，则dz dt = . 2、设 22ln()2arctan ,y x y x +=则dy dx= . 3、曲线23x t y t z t ===，，在点(1,1,1)处的切线方程为 .4、设函数224z x y xy =+-，则 (1,1)dz = .5、设234(,,),f x y z x y z =++则(1,1,1)gradf --= .6、微分方程24342()1xy x y x y x ⅱⅱ++=+的阶数为 .7、含有未知函数的方程叫微分方程.8、微分方程sin dy xy x dx+=的自变量是，未知函数是，方程的阶数为 . 9、若级数11(2)n nu ¥=-å收敛，则lim n n u = . 10、常数项级数113nn ¥=å的和为 . 12、常数项级数11(1)n n n ¥=+å的和为 . 13、设2(,)ln(),f x y x y =+则(1,1)y f = .14、设区域222:D x y a + (0)a >，则3Ddxdy 蝌= .15、微分方程ln ln x ydy y xdx =满足11x y ==的特解是 .16、设D ：12,13x y＃＃，则D xydxdy 蝌= . 17、设曲线22:1L x y +=，第二型曲线积分12L xdy ydx -òÑ= . 18、设L 为圆周229x y +=，则曲线积分22L x y ds +⎰= . 19、改变二次积分的积分次序：ln 10(,)e x dx f x y dy 蝌= .20、函数22z x y =+在约束条件1x y +=下的极小值为 .二、单项选择题1、设曲线L 为圆周：122=+y x ，则第一型曲线积分⎰Lds =（） A 、0 ； B 、π ；C 、π2 ；D 、π32、下列命题中正确的命题是 ( )A 、若函数),(y x f 在点),(00y x 连续，则），在点（00),(y x y x f 必可微；B 、若函数），（）与，（）的两个偏导数，在点（000000),(y x f y x f y x y x f y x 都存在，则），）在点（，（00y x y x f 必可微； C 、若级数 ∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 必收敛; D 、若级数∑∞=1n n u收敛，则0lim =∞n n u . 3、幂级数1(1)nnn x n ¥=-å的收敛域是（） A 、(1,1)- B 、[]1,1- C 、[)1,1- D 、(]1.1-.4、极限22)1,0(),()ln(lim y x e x y y x ++ 的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、2ln5、二元函数 y x y x f -=),(的定义域是（）A 、 {}0,0),(>>y x y xB 、{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(C 、 {}0,0),(≥≥y x y xD 、 {}y x y x y x ≤≥≥2,0,0),( . 6、下列级数中发散的级数是（）A 、112n n ¥=å B 、11sin n n ¥=å C 、211n n ¥=å D 、1(1).n n n ¥=-å 7、设函数 =++=），，（，则100),,(222xx f zx yz xy z y x f ( )A 、0B 、1C 、2D 、38、设曲线L 为圆周：122=+y x ，则第一型曲线积分3Lds òÑ=（） A 、0 B 、2π C 、 3π D 、 6p9、设D ：422≤+y x ，则二重积分=⎰⎰σd D 41（） A 、 π B 、2π C 、π4 D 、π810、设22,sin ,,t u x y xy x t y e =++==则0t du dt ==（）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0三、解答题1、求函数 zx yz xy u ++=在点P （1，1，2）沿方向l 的方向导数，其中l 的方向角分别为3,4,3πγπβπα=== . 2、设22(),,z f u u x y ==+其中f 具有一、二阶连续导数，求 22,,.z z z x y x抖抖 3、求曲面2850x xy x z --++=在点0(2,3,1)M -处的切平面方程及法线方程.4、计算下列二重积分：(1)、D xydxdy 蝌，其中积分区域D 由直线1, 2.y x y x ===围成. (2)、(32)D x y dxdy +蝌，其中积分区域D 由两坐标轴及直线1x y +=围成. (3)、22(1)D x y dxdy --蝌，其中D ：)0(222>≤+a a y x(4)、D ，其中D ：2222(0).a x y b b a ??>4、计算下列第一型曲线积分：(1)、22()Lx y ds +òÑ，其中:cos ,sin (02).L x a t y a t t p ==＃ (2)、(),L x y ds +ò其中L 为连接(1,0)A 及(0,1)B 两点的直线段.5、计算下列第二型曲线积分（注：第(1) 、(2)题直接计算；第(3) 、(4)题用格林公式计算）(1)、22,L xdy ydx x y -+ò，其中L 是圆周222(0)x y a a +=>，按逆时针方向绕行. (2)、,L xydx ò其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 之间的一段弧. (3)、(2)(43)L y x dx x y dy -++òÑ，其中L 是圆周222(1)(2)(0)x y a a -+-=>，按逆时针方向绕行.(4)、22(2)()L xy x dx x y dy -++òÑ，其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围成的闭区域D 的正向边界曲线.6、判别下列级数的敛散性：(1)、11n n n ¥=+å； (2)、1sin 3n n p ¥=å； (3)、11sin n n ¥=å； (4)、1!n n n n ¥=å； (5)、511(2)n n n n ¥=+å；（6）1(1)ln nn n ¥=-å. 7、解下列微分方程：(1)、21xy y x ¢=+； (2)、y y x y¢=+； (3)、x y e y x x ¢+= 四、证明题1、证明曲线积分(2,1)423(1,0)(23)(4)I xy y dx x xy dy =-++-ò在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值.2、验证： 2222(2)(2)x xy y dx x xy y dy +-+--在整个xoy 平面内存在原函数(,)u x y ，并求一个原函数.3、验证函数12cos sin y C ax C ax =+是微分方程2220d y a y dx+=的通解.注：该复习题没有包含第八章的内容请根据自己的情况自行掌握。

高等数学下考试题库(附答案)(1)

《高等数学》试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k ,b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a⊥bC. a,b3D. a, b43.函数y2x2y 21的定义域是（） .x2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C. x, y 1 x2y 22 D x, y 1 x2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05.函数z x3y33xy的极小值是（） .A.2B.2C.1D.16.设z xsin y ，则z＝（） . y 1,4A.2B.2C.2D.2 227.若p级数1收敛，则（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数x n的收敛域为（） .n 1 nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9.幂级数在收敛域内的和函数是（） .n 021 B.2 C.2 D.1A.1212x x x x10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）.A.y ce xB. y e xC. y cxe xD. y e cx二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为______________________.2.函数z sin xy的全微分是 ______________________________.3.设z x3 y 23xy3xy 1 ，则 2 z_____________________________.x y1的麦克劳林级数是 ___________________________.4.2x5.微分方程y 4 y 4 y 0 的通解为_________________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设z e u sin v ，而 u xy, v x y ，求z , z.x y2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y2z24x2z 5 0 确定，求z ,z .x y3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x 2y242.D4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 条件下的特解.四 .应用题（ 10 分2）1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？1 2..曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点1,，3求此曲线方程.试卷 1 参考答案一 .选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2xy 2 z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3. 6x2y 9 y 2 1 .4.1 nxn.n 1n 025. y C 1 C 2 x e 2 x.三 .计算题1.z e xyy sin xycos x y ，z e xy x sin x y cos x y .xy2.z 2 x , z 2 y . xz 1 yz 122sind 6 2.3.d4. 16R 3 .35. y e 3 x e 2x .四 .应用题1.长、宽、高均为 3 2m 时，用料最省 .2. y1 x2 .3《高数》试卷 2（下）一 .选择题（ 3 分 10）1.点 M 1 4,3,1 ， M 2 7,1,2 的距离 M 1 M 2 （） .A. 12B. 13C. 14D. 152.设两平面方程分别为x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（）.A. B. C.3D.6423.函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.x, y 0 x 2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x2y 2D. x, y 0 x2y2224.点P1,2,1 到平面x 2 y2z50 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数z2xy3x2 2 y 2的极大值为（） .A.0B.1C.11 D. 26.设z x23xy y 2，则z1,2（） .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数ar n是收敛的，则（） .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18.幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是（） .n 1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程xy y ln y0的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC. y e xD. y cxe x二 .填空题（ 4 分5）x3t1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线y t平行，则直线 l的方程为 __________________________.z12t2.函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.1的麦克劳林级数是 ______________________.4.1 x25.微分方程xdy 3 ydx0 在y x 11条件下的特解为 ______________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2.设z u2 v uv2，而 u x cos y,v x sin y ，求z ,z .x y3.已知隐函数z z x, y由 x33xyz 2 确定，求z ,z .x y4.如图，求球面x 2y 2z24a 2与圆柱面 x 2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.四 .应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .d 2 xg .（提示：当 t 0dt 2时，有 x x0，dxv0）dt试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x 2y 2 z11..1122.e xy ydx xdy .3. 8x8 y z 4 .4. 1 n x2n.n 05.y x3.三 .计算题1. 8i 3 j2k .2.z3x2sin ycos y cosy sin y ,z2x3sin ycosy sin y cosy x3sin3y cos3y.x yz yz z xz3.x xy z2,y xy z2.4.32 a32.3 2 35.y C1 e 2 x C2 e x.四 .应用题161..31 gt22. x v0t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B、20C、 24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A 、 2 ,2,B、 2 ,2C、22225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z分别为（）x y 22 D 、2 2 , 2222A 、x R,y B 、x R ,y C、x R , y D、x R,y z z z z z z z z6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2的薄板的质量为（）（面积 A=R 2）2B、2212A、R A2R A C、3R A D、R A27、级数(1)n x n）n的收敛半径为（n 1A 、2B、1C、 1D、 3 28、 cosx 的麦克劳林级数为（）A 、( 1)nx 2nB、( 1)n x 2n C、( 1)n x 2 n D、( 1)nx2n 1 ( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!n0n1n 0n 09、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1 D 、 1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）1、直线 L1： x=y=z 与直线 L ：x1y3z的夹角为___________。

大一下册数学期末复习题

大一下册数学期末复习题大一下册数学期末复习题数学作为一门重要的学科，对于大学生来说是必修课之一。

大一下册的数学学习内容相对来说更加深入和复杂，因此期末复习显得尤为重要。

本文将从几个方面介绍大一下册数学期末复习题。

一、微积分微积分是大一下册数学学习的重点和难点之一。

在微积分的学习中，我们需要掌握函数的极限、导数和积分等概念和计算方法。

对于复习题来说，可以选择一些典型的例题进行练习，同时也要注意理解和掌握相关的定理和公式。

例如，可以选择一些求极限的题目，通过计算极限来加深对极限概念的理解和应用。

二、线性代数线性代数是大一下册数学学习的另一个重要内容。

在线性代数的学习中，我们需要掌握矩阵的运算、线性方程组的解法以及向量空间的概念等。

对于复习题来说，可以选择一些典型的线性方程组求解题目进行练习，通过解题来加深对线性方程组的理解和应用。

三、概率论与数理统计概率论与数理统计是大一下册数学学习的另一个重要内容。

在概率论与数理统计的学习中，我们需要掌握概率的基本概念和计算方法，以及统计的基本概念和计算方法。

对于复习题来说，可以选择一些典型的概率计算题目和统计推断题目进行练习，通过解题来加深对概率和统计的理解和应用。

四、数学分析数学分析是大一下册数学学习的另一个重要内容。

在数学分析的学习中，我们需要掌握函数的连续性、可导性以及极值等概念和计算方法。

对于复习题来说，可以选择一些典型的函数极值求解题目进行练习，通过解题来加深对函数的极值和最值的理解和应用。

五、数学建模数学建模是大一下册数学学习的另一个重要内容。

在数学建模的学习中，我们需要将数学知识应用于实际问题的建模和求解过程中。

对于复习题来说，可以选择一些实际问题的数学建模题目进行练习，通过解题来加深对数学建模的理解和应用。

总之，大一下册数学的期末复习题涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计、数学分析和数学建模等多个方面的内容。

通过选择典型的例题进行练习，可以加深对相关概念和方法的理解和应用。

大一下学期高等数学考试题及答案

大一下学期高等数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某一个确定的数值，这个确定的数值称为该点处函数的（）。

A. 极限值B. 导数值C. 积分值D. 定积分值答案：A2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）。

A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 2x^2+3x答案：A3. 曲线y=x^3-3x+2的拐点是（）。

A. (1,0)B. (-1,-2)C. (0,2)D. (2,8)答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]上的定积分为（）。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案：A5. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=cos(x)D. f(x)=sin(x)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。

答案：27. 曲线y=e^x在点(0,1)处的切线斜率为______。

答案：18. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为______。

答案：x*ln(x)-x+C9. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。

答案：6x10. 曲线y=x^2-4x+5与x轴的交点个数为______。

答案：0三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

答案：112. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2-2x+1) dx。

答案：(1/3)x^3 - x^2 + x | from 0 to 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/313. 求函数f(x)=x^2-6x+8的极值点。

答案：极小值点为x=3，极大值点不存在。

四、证明题（每题10分，共10分）14. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。

答案：略五、应用题（每题10分，共10分）15. 一个物体从高度为100米的塔上自由落下，求物体落地时的速度。

大一高数下册知识点加题库

大一高数下册知识点加题库一、高数下册知识点1. 三角函数三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在高数下册中，我们会学习三角函数的性质、图像、周期性等基本知识，以及三角函数的应用。

2. 导数与微分导数和微分是微积分中的重要概念。

在高数下册中，我们将学习导数的定义和性质，包括常用函数的导数、导数的运算法则等。

同时还会学习微分的概念和应用，比如泰勒展开式、极值问题等。

3. 不定积分不定积分也是微积分的重要内容之一。

在高数下册中，我们将学习不定积分的定义和性质，掌握常见函数的不定积分法则，以及利用不定积分解决实际问题的方法。

4. 定积分与曲线的长度、曲线的面积定积分是微积分中的另一个重要概念。

在高数下册中，我们将学习定积分的定义和性质，以及定积分的应用，比如计算曲线的长度、曲线下的面积等。

5. 偏导数与多元函数的微分偏导数是多元函数求导的一种形式。

在高数下册中，我们将学习偏导数的定义和性质，掌握求解多元函数偏导数的方法，以及多元函数的微分和泰勒展开式的应用。

二、高数下册题库为了帮助大家更好地复习和巩固高数下册的知识，下面提供一些高数下册的题库，供大家练习：1. 三角函数题目：a) 求解三角方程sin(x)=0的所有解。

b) 计算sin(π/6)的值。

c) 求解cos(x)=1的所有解。

2. 导数与微分题目：a) 计算函数f(x)=3x^2+2x-1的导数。

b) 求函数f(x)=x^3的微分。

c) 计算函数f(x)=e^x的二阶导数。

3. 不定积分题目：a) 计算∫(2x+1)dx。

b) 计算∫sin(x)dx。

c) 求解定积分∫(x^2+3x-5)dx。

4. 定积分与曲线的长度、曲线的面积题目：a) 计算曲线y=x^2在区间[0,1]上的长度。

b) 计算曲线y=x^2在区间[0,1]上与x轴之间的面积。

c) 计算曲线y=2x在区间[0,1]上的长度。

5. 偏导数与多元函数的微分题目：a) 计算函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2的偏导数。

大一高数下册期末总复习题1

第八章多元函数微分学1．函数)1arccos(arcsin 2y y x u -+=的定义域为的定义域为。

2．设．设 x y x y x f 2sin ),(2+=，则=--+®xx f x f x )0,1()0,1(lim 0。

3．设22yx x z +=，则=dz 。

4．球面3222=++z y x 上点)1,1,1(处的切平面方程是处的切平面方程是。

5．可微函数),(y x f z =在点),(y x 处取得极大值的必要条件是处取得极大值的必要条件是。

6．函数),(y x f z =具有一阶偏导数，其沿着x 轴负方向的方向导数为：轴负方向的方向导数为：。

7．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极大值的必要条件是处取得极大值的必要条件是。

8．设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x 则点P 的坐标为坐标为。

9．22)(y x z +=在点)2,1(处的全微分=dz 。

1010．设空间三点．设空间三点)111(，，M ，)122(，，A ，)212(，，B ，则=ÐAMB 。

1111．．2xyz =在点)111(，，处的切平面方程为处的切平面方程为。

1212．二元函数的偏导数连续是函数可微的．二元函数的偏导数连续是函数可微的条件。

条件。

1313．可微函数．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是。

1414．函数．函数xy y x z333-+=的驻点是的驻点是。

1515．．=++-®®)()cos(1lim 22220,0y x y x y x 。

1616．曲面．曲面32=+-xy e z x在)0,2,1(处的切平面方程为处的切平面方程为。

1717．函数．函数)ln(222z y x u ++=在)1,2,1(-M 处的梯度=M u grad 。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。

大一高数下册知识点及题目

大一高数下册知识点及题目大一高数下册是学习高等数学的重要阶段，本文将针对该学期的知识点和相关题目进行介绍和讨论。

下面将按照章节的顺序，逐一介绍相关知识点，并附带一些相关题目供学习参考。

第一章：多元函数微分学1.1 偏导数偏导数是多元函数微分学的基本概念，表示函数对某个自变量的变化率。

求解偏导数的方法主要有几何法和代数法。

举例如下：题目1：求函数z=3x^2+2xy-4y的关于x的偏导数。

题目2：求函数z=sinx+cosy的关于y的偏导数。

1.2 隐函数与参数方程隐函数和参数方程是描述二维曲线的常见方法，掌握它们可以帮助我们研究曲线的性质。

下面是两个相关题目：题目1：已知曲线的方程为x^2+y^2=4，求曲线上某点处的切线方程。

题目2：已知参数方程x=t^2，y=t+1，求该曲线上的切线方程。

第二章：多元函数微分学的应用2.1 总微分和偏导数的应用通过总微分和偏导数的应用，可以求解相关函数在某个点处的线性逼近值以及误差估计。

以下是两个典型问题：题目1：给定函数f(x,y)=xy+sinx，求函数在(0,0)处的线性逼近值。

题目2：已知函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=9确定，求z在点(2,1,2√2)处的线性逼近值。

2.2 多元函数的极值与最值对于多元函数，求解其极值和最值是重要的研究方向。

常用方法有条件极值和非条件极值的求解。

下列为两个实例：题目1：求解函数f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y的极值点。

题目2：在条件x^2+y^2=1下，求解函数f(x,y)=x^2+4y^2-2x的最大值和最小值。

第三章：重积分3.1 二重积分二重积分是计算平面区域上某个函数的平均值、面积等相关问题的数学工具。

以下是两个相关题目：题目1：计算函数f(x,y)=xy在区域D={(x,y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的二重积分值。

题目2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在极坐标下区域D={(r,θ)|0≤θ≤π/2，0≤r≤1}上的二重积分值。