2007-2014年山东省高考数列解答题
2014年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。
2014年高考山东理科数学试题及答案(精校版)
高三 数 学（理）期末模拟（六）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元）42 3 5 销售额y （万元） 4926 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元解析：由题意可知 3.5,42x y ==，则429.43.5,9.1,a a =⨯+=9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B 。
5、不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D.(,4][6,)-∞-+∞解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。
2014年山东省高考数学试卷(理科)
2014年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D． x3＞y36．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．47．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12 D．188．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．210．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_________．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为_________．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=_________．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为_________．15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．解答：解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．l n（x2+1）＞ln（y2+1）C．s inx＞siny D．x3＞y3考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲边梯形的面积是4，故选：D．点评：考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12 D．18考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；解答：解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解答：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．解答：解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．解答：解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．考点：二项式系数的性质；基本不等式．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．解答：解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．点评：本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．考点：函数恒成立问题；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．解答：解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y=3x+b，y=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）点评：本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（﹣，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．解答：解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ0 1 2 34P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=；点评：本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈[0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．解答：解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；qiss；sxs123；wfy814；翔宇老师；孙佑中；静定禅心；minqi5（排名不分先后）菁优网2015年2月1日。
2014全国各地高考真题 ——数列专题及答案解析
2014全国各地高考数列真题山东：(19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差为2，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .（19）解：（I ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+， 即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （II ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+. 因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn += (2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数. 上海：23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值， 以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.23.解：（1）由题得，263[3,6]933x x x x ⎧≤≤⎪⎪⇒∈⎨⎪≤≤⎪⎩ （文科）（2）∵1133n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11133n n n q q q --≤≤，∴111()03(3)0n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈。
2014年山东省高考理科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，，4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x >6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）188.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+29.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+by a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2007--2013山东高考数学数列
k 1
2k 3 (2k 3) 2 2k 2 4(k 1)
4(k 1) 2 4( k 1) 1 1 (k 1) 1 ( k 1) 1 4(k 1) 4(k 1)
所以当 n k 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关 的命题,以及放缩法证明不等式.
所以 当n 2时，bn S n S n 1
1 n=1 2 因此，bn n≥2 n(n 1)
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q,且 q＞0. 因为
12 13 1 2 12 2
7 8 ,
所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列｛an｝的前 78 项， 故 a81 在表中第 13 行第三列，
q 因此 a81 b 13
2
4 . 91
Байду номын сангаас
又
b13
2 , 13 14
所以 q=2. 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S， 则S
bk (1 q k ) 2 (1 2k ) 2 (1 2k ) （k≥3）. 1 q k (k 1) 1 2 k (k 1)
由①－②得：3
an
n n 1 1 (n 2). 3 3 3 1 (n N * ). n 3
验证 n 1 时也满足上式， an (II) bn n 3n ，
Sn 1 3 2 32 3 33 ...n 3n
3Sn 1 32 2 33 3 34 ...n 3n1
山东历年高考题 数列
山东历年高考题 数列（文.理）2007（17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （文.理）2008(19)(本小题满分12分)将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝nN n nS S b b 22-1=（n ≥2）.(Ⅰ)证明数列｛nS 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.（理）2009（20）（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(l o g1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立 （文）20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和nT山东2010（9）设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （文理）（18）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（文理）2011. 20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .（理）2012 （20）（本小题满分12分） 在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m）内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m 。
2007年山东高考数学理科试题及答案详解
AB∥DC ．
D1
（Ⅰ）设 E 是 DC 的中点，求证： D1E ∥平面 A1BD1 ； A1
B1
C1
（Ⅱ）求二面角 A1 BD C1 的余弦值．
（20）（本小题满分 12 分）
D
E C
A
B
如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里，当甲船
（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 D ，“方程 x2 bx c 0 有实数”为事件 E ，
由上面分析得
P(D) 11 ， P(D E) 7 ，
36
36
P(E D) P(D E) 7 ． P(D) 11
（19）（本小题满分 12 分）
解法一：
（Ⅰ）连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形，
间直角坐标系，不妨设 DA 1，则 D(0，00，) ，A(1，0，0) ，B(1，1，0) ，C(0，2，2) ，A1(1，0，2) ，
DA1 (1，0，2) ， DB (1，1，0) ，
z
设 n (x，y，z) 为平面 A1BD 的一个法向量．
D1
C1
（Ⅰ）当 b 1 时，判断函数 f (x) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数 f (x) 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 n
，不等式
ln
1 n
1
1 n2
1 n3
都成立．
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014年山东高考理科数学试题和答案
2014年山东省高考理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+29.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年高考真题——理科数学(山东卷)解析版 Word版含
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的。
1．已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+2．设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B AA ．[0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ．(1,4) 3．函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(， B ． )2(∞+，C ．),2()210(+∞ ，D ． )2[]210(∞+，， 4．用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 A ．方程02=++b ax x 没有实根 B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根0舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312 C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5．已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y x C ．y x sin sin > D ．33y x >6．直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2 D ．47．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组 与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数12)(+-=x x f ,kx x g =)(.若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．)210(， B ．)121(，C ．)21(， D ．)2(∞+， 9．已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 A ．5 B ．4 C ．5 D ．210．已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 A ．02x =±y B ．02=±y x C ．02y x =± D ．0y 2x =±第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,解析版)
（ A） 2 2 （ B） 4 2 （ C） 2（D） 4
（ 7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa ）的
分组区间为 [12,13) ， [13,14) ， [14,15) ， [15,16) ， [16,17] ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，
, bc 6
, S ABC 3
bc sin A 2
6
1 13. 【答案】 4
h1 1 【解析】分别过 E, C 向平面 PAB做高 h1, h2 ，由 E 为 PC 的中点得 h2 2 ，
S ABD 由 D 为 PB 的中点得
14. 【答案】 2
1
1
1
1
S ABP
V1 :V2 ( S ABD h1 ) : ( S ABP h2 )
山东理科数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
（ 1）已知 a, b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则 ( a bi )2
（ A） 5 4i （ B） 5 4i （ C） 3 4i （ D） 3 4i
图像应位于直线 f ( x) 3x b 的右下方 . 根据图像分析得，当 f ( x) 3x b 与 g( x)
4 x2 在第二象限
相切时， b 2 10 ，由 h( x) g( x) 恒成立得 b 2 10 .
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（ 2）设集合 A { x || x 1| 2} ， B { y | y 2x , x [0, 2]} ，则 A B
山东省2007高考数学样卷(文理各一套)
山东省2007年高考样题数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于A.{1，2}B. {3，4}C.{1}D. {-2，-1，0，1，2}本小题主要考查不等式的解法及集合的基本运算，考查实数、集合的运算能力． 解答：A 2．一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是 A.21 B. 61 C.32 D. 43 本题主要考查互斥事件的概率．解答：A3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是A.x x f sin )(=B.1)(+-=x x fC.()x x a a x f -+=21)(D.x x x f +-=22ln )( 本小题主要考查基本函数及其复合函数的奇偶性与单调性，考查函数基本性质的应用．解答：D4．如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0B ．[]1,0C ．[]2,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 本小题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的能力．解答：C5．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx ，()54cos -=-x π，则=x 2tan A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 本小题主要考查利用同角三角函数关系式与二倍角公式求值，考查运算能力． 解答：D6．已知向量,，且65,2+-=+=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D本小题主要考查平面向量的运算与共线向量的概念，考查运算能力．解答：A7.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法 本小题主要考查随机抽样的三种抽样方法．解答：B8．已知实数a , b 满足等式b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121，下列五个关系式①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b④b<a<0 ⑤a=b 其中不可能成立的关系式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个本小题主要考查指数式、指对互化以及分类讨论数学思想方法．解答：B9．在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+恒成立的函数的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3本题主要考查函数的凹凸性，看上去好像超纲，但结合函数的图像准确理解凹凸的含义，不难作出答案．解答：B10．在△ABC 中，若Cc B b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是 A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形本题主要考查解三角形的知识，要求对正弦、余弦定理灵活掌握．解答：B11． 变量y x ,满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+≥+0,024*********y x y x y x y x ，则使y x z 23+=的值最小的()y x ,是A. ( 4.5 ,3 )B. ( 3,6 )C. ( 9, 2 )D. ( 6, 4 )本小题主要考查一元二次不等式组与平面区域问题以及简单的线性规划问题，考查数形结合的能力．解答：A12.若122=+b a ，222=+c b ，222=+a c ，则ca bc ab ++的最小值为A ．213-B ．321-C ．321--D ．321+ 本小题主要考查对代数式的认识，考查综合运用条件解决问题的能力．解答：B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前，将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13．()()=-+++-221111i i i i.本小题主要考查复数的代数运算，考查运算能力．解答：-114．求满足100005312222<++++n 的最大整数解的程序框图A 处应为 .本小题主要考查学生对于基本框图逻辑结构的理解，同时考查学生对于数列求和以及不等式等实际数学问题的具体分析的能力．解答：n -215．已知两个圆：122=+y x ①与()1322=-+y x ②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆()()222r b y a x =-+-和()()222r d y c x =-+-的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 __________.本小题主要考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和归纳推广数学命题的能力．解答：()()0222222=--++-+-d c b a y b d x a c .16．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，命题p ：若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //命题q ：若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//下面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）. ①“p 或q ”为真；②“p 且q ”为真； ③p 真q 假 ； ④“p ⌝”为真本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及命题的判断，考查逻辑推理能力和空间想象能力．解答：①④三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写文字说明；证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 ()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. （18）（本小题满分12分） 已知向量()x x cos ,sin 2=，)cos 2,cos 3(x x =，定义函数 ()()1log -⋅=x f a ()1,0≠>a a（I ）求函数()x f 的最小正周期；（II ）确定函数()x f 的单调递增区间.本小题主要考查平面向量与三角函数的综合运用.解：（I ）因为12cos 2sin 3cos 2cos sin 322++=+=⋅x x x x x n m 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2log πx x f a ，故ππ==22T （II ）令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x g ，则()x g 的单调递增的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ， ()x g 的单调递减的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ 当10<<a 时，函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ 当1>a 时，函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ (19) （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得F D 1⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值;（III ）求异面直线D 1E 与BC 1所成的角.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．利用两平面的法向量求也可．解：（Ⅰ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABE 1A 1上的射影．∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1于是D 1E ⊥平面AB 1F ， D 1E ⊥AF ．连接DE ，则DE 是D 1ED 底面ABCD 内的射影．∴D 1E ⊥AF ，DE ⊥AF ．∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 既当点F 是CD 的中点时，D 1F ⊥平面AB 1F ．（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（Ⅰ）知点F 是CD 的中点．又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD ．连接AC ；设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ．连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的影．∴C 1H ⊥EF ，既∠C 1HC 上二面角C 1－EF －C 的平面角．在Rt △C 1CH 中，∵C 1C =1，CH =41，AC =42． ∴22421tan 11===∠CH C C HC C ． ∴cos ∠C 1HC =31 故二面角C 1－EF －A 的余弦值为31 （III ）连结1BC ，取11D A 的中点G ，连接BG ，因为 B E //1GD ，BE =1GD ， 则BG //D 1E ，则直线BG 与BC 1所成的角，即为异面直线D 1E 与BC 1所成的角 在△BC 1G 中，由余弦定理得22cos 1=∠GBC ，则所求角为ο45． （20）（本小题满分12分）（I ）已知椭圆C 的方程是()012222>>=+b a b y a x ，设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（Ⅱ）利用（I ）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.本题主要考查直线与椭圆的位置关系，学生的作图能力．解：（I ）设直线l 的方程为m kx y +=，与椭圆C 的交点()11,y x A 、()22,y x B ， 则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ， ∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b m b m kx m kx y y k a b km a x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a .∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. （Ⅱ）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A 1、B 1和C 1、D 1，并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1，连接直线M 1N 1，那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心.21.（本小题满分12分）已知函数()()0,,ln 2≠+-==a bx ax x g x x f（Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()x f 的图象C 1与函数()x g 图象C 1交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 本题综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用．解：（I ）x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()x h 存在单调递减区间，所以0)(<'x h 有解.又因为0>x 时，则0122>-+x ax 有0>x 的解.①当0>a 时，122-+=x ax y 为开口向上的抛物线，0122>-+x ax 总有0>x 的解；②当0<a 时，122-+=x ax y 为开口向下的抛物线，而0122>-+x ax 总有0>x 的解；则044>+=∆a ,且方程0122=-+x ax 至少有一正根.此时，01<<-a 综上所述，a 的取值范围为()()+∞⋃-,00,1.（II ）证法一 设点P 、Q 的坐标分别是()11,y x P ，()22,y x Q ，210x x <<，则点M 、N 的横坐标为,221x x x += 在C 1点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= 在C 2点N 处的切线斜率为b x x a b ax k x x x ++=+=+=2)(|212221假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则21k k = 即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=1212ln ln x x y y -=- 所以1212121)1(2ln x x x x x x +-= 设12x x t =则1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r ，则22214(1)(),(1)(1)t r t t t t t -'=-=++ 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在),1[+∞上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则t t t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 证法二：同证法一得)(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+ 因为01>x ，所以)1(2ln )1(121212-=+x x x x x x令12x x t =，得1),1(2ln )1(>-=+t t t t ② 令11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t t t r t t t t t r 则 因为22111)1(ln t t t t t t -=-='+，所以1>t 时，0)1(ln >'+t t故t t 1ln +在[)+∞,1上单调递增.从而011ln >-+t t ，即0)(>'t r于是)(t r 在[)+∞,1上单调递增.故0)1()(=>r t r 即)1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 22.(本小题满分14分)已知数列{}n b 是等差数列，100,1103211=+++=b b b b b ， （Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ;（Ⅱ）设数列{}n a 的通项⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ba 11lg ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与1lg 21+n b 的大小，并证明你的结论. 本题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.解：（Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1002)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==211d b ∴12-=n b n（Ⅱ）由12-=n b n ，知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1211lg 311lg 11lg n S n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121131111lg n ，12lg lg 211+=+n b n .因此要比较n S 与1lg 21+n b 的大小，可先比较与12+n 的大小.取1=n ，有()11+＞112+⋅，取2=n ，有（1+1）（1+31）＞122+⋅，……由此推测（1+1）（1+31）…（1+121-n ）＞12+n . ①若①式成立，则由对数函数性质可断定：1lg 21+>n n b S 下面用数学归纳法证明①式. （i ）当1=n 时已验证①式成立.（ii ）假设当k n =()Z k k ∈≥,1时，①式成立，即（1+1）（1+31）…（1+121-k ）＞12+k .那么，当1+=k n 时，（1+1）（1+31）…（1+121-k ）［1+1)1(21-+k ］＞12+k （1+121+k ）=1212++k k ()22+k ， ∵()2221212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k －2)32(+k＝012112)384(48422>+=+++-++k k k k k k ，2)k +>=. 因而 .1)1(2)1211)(1211()311)(11(++>++-+++k k k这就是说①式当1+=k n 时也成立.由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：1lg 21+>n n b S山东省2007年高考样题数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},5,2,0{},,|{=∈∈+=+P Q b P a b a Q P 若}6,2,1{=Q ，则Q P +中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6本题主要考查集合概念的理解，以及对知识的迁移能力，对基本知识的掌握要准确、牢固． 解答：B2．一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是A.21 B.61 C.32 D. 43本题主要考查考生对于古典概型的理解、运用，互斥事件的概率加法公式． 解答：A3.若b a c b a +===,2,1，且a c ⊥，则向量a 与b的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°本题主要考查向量的内积及运算，向量的内积是解决夹角与距离的工具，应灵活掌握． 解答：C4. 为了得到函数)62s i n (π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度本题 综合考查三角函数诱导公式，三角函数图象变换的知识，以及逻辑分析能力和直觉思维能力． 答案;B5. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l .C.若β⊥l 且βα⊥,则α//lD. 若m =⋂βα且m l //,则α//l . 本题主要考查立体几何初步的有关知识，包括直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的知识，要求学生有很好的空间想象能力． 解答：B6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样本题主要考查统计中的抽样方法的有关知识，新课程把这部分只是放到了必修内容里，也就是说对于现代公民应必备的知识，反映了我们整个国家的进步，此类题型应该给予重视． 解答：D7. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是A.50<<kB.05<<-kC. 130<<kD.50<<k 本题主要考查平面解析几何初步知识，包括圆的一般方程、圆的标准方程、直线与圆的交点等知识，但此题考察的解题方法是数形结合的思想方法． 解答：A8 . 向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( )解答：B9 . 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 A.直角三角形. B.等边三角形. C.钝角三角形. D.等腰直角三角形.本题主要考查解三角形的知识， 要求对正弦、余弦定理灵活掌握． 解答：B10．已知实数b a ,满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①a b <<0 ②0<<b a ③b a <<0 ④0<<a b⑤b a =其中不可能．．．成立的关系式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个本小题综合考查指数式、指数式与对数式互化以及指数函数的有关知识，分类讨论数学思想方法． 解答：BhABCD11．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 本题以一元二次不等式的有关知识为载体，综合考查考生利用已经获取的信息，处理并解决新问题的能力． 解答：C12．在直角坐标系xoy 中，已知A O B ∆三边所在直线方程分别为3032,0,0=+==y x y x则AOB ∆内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A ．95B ．91C ．88D ．75本题主要考查了解析几何必修内容的线性规划． 解答：B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前，将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13.复数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++的积为实数的充要条件是 . 本题主要考查复数和常用逻辑用语的知识． 解答：0=+bc ad14.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得63.272=K ，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的（有关，无关）本题主要考查统计案例的有关知识，对828.102>K 就有99.9%理由认为两个量是有关系的．解答：有关.15. 已知n 次多项式()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 ,如果在一种算法中，计算kx 0()n k ,4,3,2=的值需要1-k 次乘法，计算()03x P 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算()010x P 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：()()()1100,+++==k k k a x xP x P a x P ，（=k 0, 1，2，…，1-n ）．利用该算法，计算()03x P 的值共需要6次运算，计算()010x P 的值共需要 次运算．本题涉及算法的知识，但重在考查考生的合情推理能力和创造性思维能力． 解答：65，2016. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.本题通过多选的开放形势，综合考查椭圆和双曲线的概念、简单几何性质，并结合平面向量的知识，考查学生处理简单轨迹问题的能力 ． 解答： ③④三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值．本小题考查两角和正、余弦公式，倍角的正弦、余弦公式，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式等基础知识，考查基本运算能力．解：……3分47443ππαπ<+≤且0)4cos(>+πα，∴47423ππαπ<+≤………………………………6分从而，……………8分…………………………10分………………………………12分18.(本题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P =f (t )； 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）300本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．解：（I ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为（II ）设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )-g (t )即当0≤t ≤200时，配方整理得所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200< t ≤300时，配方整理得所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 19.（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =,4=BC ，41=AA ，点D 是AB 的中点， （I ）求证：1BC AC ⊥； （II ）求证：11//CDB AC 平面.本题考察学生对空间图形中直线与直线，直线与平面相互关系的识别能力，综合考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．证明：（I ）直三棱柱111C B A ABC -，底面三边长3=AC ，5=AB ，4=BC∴ BC AC ⊥，又ABC CC 平面⊥1，∴1BC 在平面ABC 内的射影为BC ∴1BC AC ⊥；（II ）设1CB 与B C 1的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，∴ 1//AC DE ， ∵ 1CDB DE 平面⊂，11CDB AC 平面⊄，∴11//CDB AC 平面 . 20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前项和为22n S n =,{}n b 为等比数列，且11b a =, ()1122b a a b =-, (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 本题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：(Ⅰ)因为当1=n 时，211==S a ，当2≥n 时， ()24122221-=--=-=-n n n S S a n n n ，故{}n a 的通项公式为24-=n a n ，设{}n b 的公比为q ，则11b qd b =，4=d ，所以41=q 故111412--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==n n n q b b ，即{}n b 的通项公式为142-=n n b（Ⅱ）∵()114124224---=-==n n nn n n n b a c ，∴121214)12(...45431...--++⨯+⨯+=+++=n n n n c c c T ，n n n n n T 4)12(4)32(...4543414132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-，两式相减得()()]54)56[(314124...4442131321+-=-+++++--=-n n n n n n T ， ∴]54)56[(91+-=n n n T . 21.（本小题共12分） 已知函数()a x x x x f +++-=9323，（I ）求()x f 的单调递减区间；（II ）若()x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 本题主要考查导数在研究函数中的应用，会用导数求函数的单调区间、最值. 解：（I ）()9632++-='x x x f ，令()0<'x f ，解得1-<x 或3>x ，所以函数()x f 的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为()a a f +=+-+=-2181282，()a a f +=+++-=22181282， 所以()()22->f f ，因为在（－1，3）上()0>'x f ，所以()x f 在[－1, 2]上单调递增，又由于()x f 在[－2，－1]上单调递减，因此()2f 和()1-f 分别是()x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 2022=+a ，解得 2-=a ， 故()29323-++-=x x x x f ，因此72931)1(-=--+=-f ，即函数()x f 在区间[－2，2]上的最小值为－7．22.（本题满分14分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ，（I ）求抛物线方程；（II ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（Ⅲ）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，直线的方程，直线与抛物线、圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的等基本知识，综合考查学生运用解析法处理几何问题的能力．解：（I ）抛物线2,524,222=∴=+-==p p p x px y 于是的准线为. ∴抛物线方程为x y 42=.（II ）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得()4,0B ，()2,0M ，又∵()0,1F ， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为()134-=x y ，MN 的方程为x y 432-=-， 解方程组)54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得． （Ⅲ）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当4=m 时，直线AK 的方程为4=x ，此时，直线AK 与圆M 相离，当4≠m 时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为04)4(4=---m y m x ， 圆心()2,0M 到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得．1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离； 当1=m 时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。
山东高考数学历届(数列)题精选带详解
[2014年19题][2013年20题][2012年20题][2011年20题][2010年18题] 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . [2009年20题] 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当2=b 时，记1()4n nn b n N a ++=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T[2008年19题]将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥．（1）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． [2007年17题] 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．[2014年19题][2013年20题][2012年20题][2011年20题][2010年18题] 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以n b =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).[2009年20题] 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当2=b 时，记1()4n nn b n N a ++=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T 解:(1) 对任意n N +∈,(,)n n S 均在(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠为常数)图像上.所以n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为公比是b 的等比数列,b rb b b a a +-=∴)1(12，所以1r =- ,所以1(1)n n a b b -=- （2）当2=b 时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- [2008年19题]将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥．（1）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． （1）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--，即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （2）解：设表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++==， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此91421381-==q b a ． 又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥． [2007年17题] 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，,解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2nn b n ∴==又2ln 31=-+n n b b {}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++,故3(1)ln 22n n n T +=．。
2007-2016年山东卷文科(数列)专项训练题(原版)
1 (n N ) ，求数列 an 的前 n 项和 Tn . a 1
2 n
(2011 年山东文，20)（20） （本小题满分 12 分） 等比数列 {an } 中， a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）若数列 {bn } 满足： bn an ( 1) ln an 求数列 {bn } 的前 n 项和 S 2 n .
山东卷（数列）
1 1 (1 n 1 ) n 1 1 2 1 1 1 1 n 1 1 23 2 n2 Tn 2 3 4 5 n 1 n 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 n 1 n 1 n 2 4 2 2 3 1 n 1 3 n 3 所以 Tn n n 1 n 1 2 2 2 2 2
(2010 年山东文，18)（18） （本小题满分 12 分） （Ⅰ）设等差数列 an 的公差为 d，因为 a3 7 ， a5 a7 26 ，所以有
a1 2d 7 ，解得 a1 3,d 2 ， 2a1 10d 26
所以 an 3 （ 2 n 1)=2n+1 ； S n = 3n+ （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an 2n+1 ，所以 bn=
山东卷（数列）
(2007 年山东文，18)（18） （本小题满分 12 分） 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {an } 的前 n 项和．已知 S3 7 ，
3a2，a3 4 构成等差数列． 且 a1 3，
近6年来高考数列题分析(以全国卷课标Ⅰ为例)
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
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2007-2014年山东省高考数列解答题2007年山东卷理第17题设数列{}n a 满足21*12333 (3),.3n n na a a a n N -+++=∈(I)求数列{}n a 的通项; (II)设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】(I)2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈(II) 3nn b n =⋅，23132333...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅ 231233333n n n S n +-=+++-⋅11332313n n n S n ++--=-⋅-， 111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅ 2008年山东卷理第19题将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--112()1n n n n S S S S ---⇒=-11112n n S S -⇒-=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，21n S n ⇒=+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第31行第三列， 因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =． 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥．2009年山东卷理第20题等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(l o g1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r=+,当1n =时,11a S b r==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n++=,所以121211135721·······2462nn b b b n b b b n++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)2n n b b b n bb b n++++=⋅⋅>. ①当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立. ②假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (246)2k k b b b k b b b k ++++=⋅⋅>.则当1n k =+时,左边=11212111113572123··· (24)6222k k kk b b b bk k b b b bk k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.2010年山东卷理第18题已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(*n ∈N )，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
2011年山东卷理第20题等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意。
因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3，故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln nn n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以21222(133)[111(1)](ln 2ln 3)[125(1)]ln 3,n n n n S n -=++++-+-++--+-+-++- 所以当n 为偶数时，132ln 3132n n nS -=⨯+- 3ln 31;2n n=+-当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=⨯--+-- 13ln 3ln 2 1.2n n -=--- 综上所述，3ln 31,212n n n nn S n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数3-ln3-ln2-1,n 为奇数2012年山东卷理第20题在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为{}n b ，求数列{}n b的前m 项和m S ．解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个等差数列，所以3454384a a a a ++==，即428a =．所以，数列{}n a 的公差9473289945a a d --===-， 所以，*4(4)289(4)98()n a a n d n n n =+-=+-=-∈N（Ⅱ）对*m ∈N ，若 299m m n a <<，则 298998m m n +<<+，因此 121919m m n --+≤≤， 故得 2199m m m b -=-于是 123...m m S b b b b =++++35212121(999...9)(199...9)9(181)19181199109180m m m mm m --+=++++-++++⨯--=----⨯+= 2013年山东卷理第20题解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==所以21n a n =-2014年山东卷理第19题已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .。