线性规划发展史及简单的线性规划

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线性规划发展史及简单的线性规划

• 50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年 C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。 • 线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如 MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
简单线性规划讲解
例1.解下列线性规划问题：（1）求z=2x+y的最大值，使x、y满足约束条 y ≤x 件 x＋y ≤1 -1 ≤y
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y 满足约束条件 3 y -5 x ≤15 y ≤1+ x x -5y ≤3
练习： 1.设变量x、y满足约束条件
- y + x ≤ -1
• 数学模型 • （1）列出约束条件及目标函数 • （2）画出约束条件所表示的可行域 • （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
发展
• 法国数学家J.- B.- J.傅里叶和C.瓦莱－普森分别于1832 和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 • 1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 • 1947年美国数学家G.B.Dantzing提出求解线性规划的单纯形法，为这门学科奠定了基础。 • 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 • 1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。

简单的线性规划(一)

y
1
x+<0 x+y-1=0
x
二元一次不等式表示平面区域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以表示区域不包括边界
O
2x+y-6=0
3
x
二元一次不等式表示平面区域
例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
简单的线性规划
中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，
但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
二元一次不等式表示平面区域
作业：P64 习题 7.4 1
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块儿热毛巾轻柔地为自己擦脸呢，就伸出双手哆哆嗦嗦地抓住男娃儿的手，吃力地说：“小直子，是你吗？你哥和你姐呢？”小沙弥记着师傅的嘱咐，不敢多说什么，只轻轻地说：“你一定饿坏了吧？我喂你多喝点儿热粥吧。等喝饱了，你就安静地睡觉。放心啊，一切都好着呢！你先歇息，有什么话，咱们以后再说。”小沙弥说着，扶着耿老爹慢慢坐起来。然后端来一碗热粥，一勺一勺地喂给耿老爹喝。耿老爹确实饿坏了，一口气喝下去两碗，这才对小沙弥说：“我喝好了。告诉爹，你是怎么逃命的啊？你的头发怎么没了呢？你哥和你姐呢？”聪明的小沙弥有点儿明白了，这个落难的人，是把自己当成他的儿子了！而且，他们是父子四人一起落难的！震惊的小沙弥不敢多问，赶快扶耿老爹重新躺下来，并且给他掖一掖被子，亲切地说：“你太累了，需要好好歇息。我先把灯熄了吧。我就睡在你的旁边，有什么事情你就叫我。我也很累了，咱们睡觉吧！”小沙弥说着，一口吹灭了灯，躺在耿老爹身旁装睡。听耿老爹又念叨了一句：“唉，怎么没有看见你哥和你姐呢？”一会儿，听到耿老爹呼吸均匀地睡着了，小沙弥轻轻地下炕，直奔师傅屋里去了。老和尚还没有歇息，正微微眯缝着眼睛在铺上打坐呢。小沙弥进屋来没敢大声说话，只是垂手站在一边。老和尚听见动静微睁双眼，看到是机灵的小徒弟进来了。他心下明白，小家伙这个时候还来，肯定是有重要事情要和他说，就问：“徒儿，可是落难的施主醒过来了？”小沙弥说：“师傅，他醒过来了，我已经喂他吃了两碗热粥，此时睡着了。他把我认作自己的儿子了，睡着之前一直喊我小直子，问我是怎么逃命的，头发怎么没有了；还说怎么没有看见我的哥哥和姐姐。”老和尚双手合十说：“阿弥陀佛！不幸的人啊，看来是父子四人同时落难的。你回去一定要好生照顾。他刚刚活过来，意识尚未完全清醒呢。如果认你为儿，你不必否认。等他的身体逐渐恢复了，我再给他慢慢疏导吧。”小沙弥听从师傅嘱咐，马上返回厨房的火炕上陪耿老爹睡觉去了。从此之后，耿老爹就在小寺庙里住了下来。这个寺庙实在是太小了，除了前院正中供奉有大肚弥勒佛的香火房还算说得过去之外，前、后院加起来也就还有十几间极普通的木制板房了。而且，这个寺庙里的僧人也就只有前面提到的师徒四人。不过，这个寺庙虽然很小，僧人也只有老少四人，但出家人慈悲为怀的慈善和仁爱之心却是一点儿也不少的。尽管日日三餐都是粗茶淡饭，但师徒四人亲亲热热和和气气地生活在一起。因此，与其说这是一个寺庙，倒不如说这里就是一个普普通通的人家。而且，师徒四人都用特别友善的心，非常耐心地对待身体逐渐恢复，但意识一直糊涂不清的耿老爹。尤其是那个极其机

线性规划PPT课件

线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基于几何方法的线性规划算法。它将可行解的边界表示为椭球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步骤包括初始化、构建椭球和迭代更新。在每次迭代中，根据当前椭球的位置和方向来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标准算法，通过迭代和优化，找到满足约束条件的最大或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需要先找到一个初始解，这可以通过手动计算或使用软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和优化，逐步逼近最优解，每次迭代都需要重新计算目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

线性规划发展简史

线性规划的发展简史1.两个重要人物利奥尼德·康托洛维奇(L.V.Kantorovich, 1912—1986) ，苏联数学家，出生于俄国圣彼得堡的一个医生家庭.1930年毕业于列宁格勒大学,1934年成为该校最年轻的数学教授,1935年获该校数学博士学位.1948—1960年任列宁格勒科学院数学所研究室主任,1958年当选为苏联科学院通讯院士,并于1964年成为苏联科学院院士.1960—1971年任苏联科学院西伯利亚分院数学所副所长,1971—1976年任苏联国家科学技术委员会管理研究所室主任.1976年任苏联科学院系统分析所所长.他曾于1949年获斯大林数学奖,1965年获列宁经济学奖.康托洛维奇对经济学的贡献主要在于,他建立和发展了线性规划方法,并运用于经济分析,对现代经济应用数学的重要分支——线性规划方法的建立和发展做出了开创性贡献.他把资源最优利用这一传统的经济学问题,由定性研究和一般的定量分析推进到现实计量阶段,对于在企业范围内如何科学地组织生产和在国民经济范围内怎样最优地利用资源等问题做出了独创性的研究.康托洛维奇的主要著作包括:《生产组织和计划中的数学方法》(1939年),《经济资源的最优利用》(1959年),《经济最优决策》(1972年,合著),《最优规划文集》(1976年)等.因在创建和发展线性规划方法以及革新、推广和发展资源最优利用理论方面所做出的杰出贡献，与美籍荷兰经济学家库恰林·库普曼斯(T.C.Koopmans, 1910—1985)一起分享1975年度诺贝尔经济学奖.乔治·伯纳德·丹兹格（G.B.Dantzig，1914—2005），美国数学家. 因创造了单纯形法，被称为“线性规划之父”. 他在去世之前拥有3个院士头衔(国家科学院，国家工程院和美国科学院).他1936年在马里兰大学科利奇帕克分校获得数学和物理学士学位，在密歇根大学获得数学硕士学位，1946年在加利福尼亚大学伯克利分校获得博士学位.1976年他在马里兰大学获得荣誉博士学位.丹兹格出生在美国，他的父亲托比阿斯·丹兹格是俄罗斯数学家，曾在巴黎师从著名数学家亨利·庞加莱(J.H.Poincaré)学习.托比阿斯与索邦大学学生安雅·乌里松结婚，他们移民美国.1939年丹兹格在伯克利作研究生.有一堂课丹兹格迟到了，上课不久，耶日·內曼（J.Neyman）教授在黑板上写了两个著名的未解统计学问题的例子. 丹兹格稍后到达时把它们当作习题抄下.按丹兹格的话，那些问题“看来比平常难了点”，不过几天后他递交了两题的完整解答，仍以为它们是已逾期的功课.六周后心情激动的教授內曼探访丹兹格，他准备好把丹兹格其中一题的解答递交往一份数学期刊发表. 多年后另一个研究者亚伯拉罕·瓦尔德（A.Wald）得到第二题的结论，要发表一份论文.他知道了丹兹格之前的解答，就把丹兹格列为合著者.第二次世界大战中断丹兹格的伯克利研究生学习.他成了美国空军管理部统计控制战斗分析处主任，处理供应链的补给和管理成千上百的人员和物资.1946年，丹兹格获得伯克利的博士学位，仍回到美国空军管理部. 丹兹格的上司伍德（M.Ｗood）和希奇赫克（D.Hitchock）要他解决如何使计划过程机械化的问题. 具体任务是：寻找一个方法能更快地计算出分时间段的调度、训练和后勤供给的方案.当时计算这些问题，都是依靠经验总结出的优先准则，而不是当成一个大系统来考虑，也没有一个明确的目标函数.丹兹格深入研究了这个问题以后，提出了目标函数的概念，并提出了单纯形求解方法(1947年).这个方法在线性规划领域沿用多年，至今还在发挥作用.1952年他在兰德公司任研究数学家，在公司电脑上实行线性规划.1960年他被母校聘任教授计算机科学，当上运筹学中心主任. 1966年他在斯坦福大学当类似职位，留在那里直到1990年代退休.他除了线性规划和单纯形法的杰出工作，还推进很多领域的发展，有分解论、灵敏度分析、互补主元法、大系统最优化、非线性规划和不确定规划.从1982年开始，为表彰丹兹格，国际数学规划协会设立丹兹格奖，1982年起每三年颁给一至两位在数学规划有突出贡献的人.2005年5月13日，丹兹格因糖尿病和心血管疾病的并发症，在加利福尼亚州帕洛阿尔托他的家中逝世，享年91岁.2.线性规划发展过程中的几个重大历史事件1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.。

关于线性规划的一个历史背景介绍【精编】

关于线性规划的一个历史背景介绍现代企业的规模越来越庞大，管理也越来越复杂。

单凭人力对管理问题进行分析与判断，已属力不从心。

例如汽车装配线上成千上万的部件之库存与分配，银行对多种股票债券的投资与管理，或港口多种货物的装卸与调度，都必须在电脑的帮助下完成。

而电脑总是按照某种数学模型来运算的。

所以，现代企业家了解一些与管理有关的数学模型，应该是很重要的。

本文所介绍的，是一种叫作「线性规划」的数学模型。

我们不介绍这种模型的具体内容，只谈这种模型的发展历史及有关的故事。

希望读者可以从中了解，管理问题是如何促进数学的研究，而数学的进展又如何推动了管理的革新。

从军用转到商用二十世纪三十代，苏联科学院院士康托洛维奇写过一本书，讲述解决经济问题的数学方法，其中已有线性规划的论述。

不过线性规划真正成为一门学科并得到应用，还是从二次世界大战开始。

当时一批在军队中服务的英国科学家，可能为了保密，把他们的工作对外统称为「线性规划」，这个名称居然沿用到今。

其後在美国军队中也有了类似的机构。

当时在美国空军服役的科学家丹茨格把他用来解决某一些管理问题的方法加以总结，提出了「单纯形方法」。

这个方法一直保密，直到战後的1947年，当丹茨格离开军队，转任斯坦福大学教授之後，才公开发表。

同时，一批从军队中转业到工商界的科学家，也把他们在处理军事问题中研究出来的方法，应用到工业和商业的管理中去，使得战後的管理科学蓬勃发展。

加上高速电脑的帮助，大量的数学方法，在管理中得到广泛应用。

康托洛维奇由於在这方面的创造贡献，得到诺贝尔奖；而丹茨格由於发明了单纯形法，也被誉为「线性规划」之父。

为了说明什麽是线性规划，我们引用丹茨格解决的一个问题来作例子。

这个问题称为「配餐问题」。

美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。

当然这些营养成份可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。

线性规划基本模型

单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法，其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的系数和约束条件，通过一系列的数学运算，将问题转化为更简单的形式，直到找到最优解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现的特点，是解决线性规划问题最常用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过在一定的约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数，来找到一组变量的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一个成熟的学科分支，有许多成熟的算法和软件工具可用于解决各种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化利润。

1.线性规划简介

13
设备原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型(Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为x1 , x2)：目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
§2.1
• 一般形式目标函数：约束条件： s.t.
线性规划问题的提出
Max（Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
大轿车座椅的限制：非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目产品大轿车载重车提供量
生产能力
5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年)
钢材 (吨) 2 2 1600
问题分析: 如何安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产使得工厂获利最大？设定决策变量：设Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为x1 , x2 目标：获利最大的利润制约条件：生产能力和原材料的供给量

第一章_线性规划

第一节线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点：（1）目标函数求最大值；（2）所求的变量都要求是非负的；（3）所有的约束条件都是等式；（4）常数项非负。综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可获利润见表所示：

线性规划问题的算法综述

线性规划问题的算法综述本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。

现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。

线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。

毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。

提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。

单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。

把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。

显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。

几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。

1数学模型线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。

设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。

在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。

线性规划

第二章线性规划线性规划（linear programming，简称LP）是运筹学的一个重要分支，研究得比较早，尤其自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟．线性规划研究的对象大体可分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理地计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使生产成本、费用最小等．这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）．线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，而目标函数只能是一个．在经济管理问题中，大量的问题是线性的，有的可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值．据美国《财富》杂志对全美500家大公司的调查，线性规划的应用名列前茅，有85%左右的公司频繁地使用线性规划．第一节线性规划问题及其数学模型一、线性规划问题的数学模型在生产实践和日常生活中，经常会遇到如何合理地使用有限资源（如资金、劳力、材料、机器、仪器设备、时间等），以获得最大效益的问题．例2-1 某制药厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种药品，这些药品分别需要在D、、四种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品Ⅰ和Ⅱ在各BCA、台设备上所需要的加工台时数如表2-1．已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和12．该制药厂每生产1千克药品Ⅰ可得利润200元，每生产1千克药品Ⅱ可得利润300元．问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？A、两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数表2-1 B药品A B C DⅠ 2 1 4 0Ⅱ 2 2 0 4这是一个资源有限，但需利润最大的线性规划问题．解设1x ，2x 分别表示在计划期内药品Ⅰ和Ⅱ的产量（千克），Z 表示这个期间的制药厂利润．则计划期内生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的利润总额为21300200x x Z +=（元）．但是生产Ⅰ、Ⅱ两种药品在A 设备上的加工台时数必须满足122221≤+x x ；在B 设备上的加工台时数必须满足8221≤+x x ；在C 设备上的加工台时数必须满足1641≤x ；在D 设备上的加工台时数必须满足1242≤x ；生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的数量应是非负的数，即0,21≥x x ．于是上述的问题归结为：目标函数 21300200Max x x Z += 122221≤+x x8221≤+x x约束条件 1641≤ x1242≤x0,21≥x x同样，在经济生活和生产活动中也遇到另一类问题，即为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使消耗（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少．例2-2 用3种原料321B B B 、、配制某种食品，要求该食品中蛋白质、脂肪、糖、维生素的含量不低于15、20、25、30单位．以上3种原料的单价及每单位原料所含各种成分的数量，如下表2-2所示．问应如何配制该食品，使所需成本最低？表2-2 3种原料所含成分营养成分原料食品中营养成分的最低需要量（单位） 1B 2B3B蛋白质（单位/千克）5 6 8 15 脂肪（单位/千克）3 4 6 20 糖（单位/千克）8 5 4 25 维生素（单位/千克）10 12 8 30 原料单价（元/千克）20 25 30这个问题是在食品的营养要求得到满足的前提下，如何通过适当的原料配比，使食品的成本最低．解设321x x x 、、分别表示原料321B B B 、、的用量（千克），Z 表示食品的成本（元），则这一食品配制问题变为：目标函数 321302520Min x x x Z ++= 15865321≥++x x x20643321≥++x x x约束条件 25458321≥++x x x3081210321≥++x x x0,,321≥x x x例2-3 某医院每天至少需要下列数量的护士（见表2-3）．表2-3 某医院每天至少需要的护士数班次时间护士数1 上午6时－上午10时 602 上午10时－下午2时 703 下午2时－下午6时 604 下午6时－晚10时 505 晚10时－凌晨2时 206 凌晨2时－上午6时 30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时．试问：为满足每班所需要的护士数，医院最少应雇用多少护士？请列出线性规划问题的数学模型．解设1x 表示第1班次向病房报到的护士数；2x 表示第2班次向病房报到的护士数；3x 表示第3班次向病房报到的护士数；4x 表示第4班次向病房报到的护士数；5x 表示第5班次向病房报到的护士数；6x 表示第6班次向病房报到的护士数．则有目标函数 ∑==61Min Z j j x 6016≥+x x7021≥+x x6032≥+x x约束条件 5043≥+x x2054≥+x x3065≥+x x0≥j x 且为整数 6,,2,1Λ=j例2-4 某一卫生所配有1名医生和1名护士．医生每天工作8小时，护士每天工作9小时．服务的项目是接生和做小手术．一次接生，医生要花0.5小时，护士同样要花0.5小时；一次小手术，医生要花1小时，护士要花1.5小时．这是一所小规模的卫生所，每天容纳的手术数和接生数合计不能超过12次．假定一次手术的收入为200元，一次接生的收入为80元．问怎样合理安排接生和手术的数量，使医生和护士一天工作能收入最多？解设每天手术数为1x ，每天接生数为2x ，则目标函数 2180200Max x x Z +=82121≤+x x 9212321≤+x x 12 21≤+x x0,21≥x x 且为整数二、线性规划问题的结构特征从上面4个例子可见，线性规划的数学模型（model of LP ）有如下特征：1．都有一组未知变量（n x x x ,,,21Λ）代表某一方案，它们取不同的非负值，代表不同的具体方案；2．都有一个目标要求，实现极大或极小．目标函数要用未知变量的线性函数表示；3．未知变量受到一组约束条件的限制，这些约束条件用一组线性等式或不等式表示．正是由于目标函数和约束条件都是未知变量的线性函数，所以我们把这类问题称为线性规划问题．线性规划问题的一般形式：目标函数 n n x c x c x c Z +++=Λ2211 (Min)Max11212111),(b x a x a x a n n ≥=≤+++Λ22222121),(b x a x a x a n n ≥=≤+++Λ约束条件 …………………………m n mn m m b x a x a x a ),(2211≥=≤+++Λ0,,,21≥n x x x Λ这里，n n x c x c x c +++Λ2211称为目标函数，记为Z ，其中，j c （n j ,,2,1Λ=）称为成本或利润系数；ij a （m i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）称为约束条件中未知变量的系数；i b （m i ,,2,1Λ=）称为限定系数．约束条件三、线性规划问题的标准形式建立线性规划的标准形式有助于我们研究它的求解方法，至于其他各种形式的线性规划问题，我们可以先将非标准形式变成标准形式，然后再用标准形式的求解方法求解．（一）线性规划问题的标准形式线性规划的标准形式（standard form of LP ）为：目标函数 n n x c x c x c Z +++=Λ2211Max 11212111b x a x a x a n n =+++Λ22222121b x a x a x a n n =+++Λ…………………………m n mn m m b x a x a x a =+++Λ22110,,21≥n x x x Λ0≥i b (m i ,,2,1Λ=)式中，jc （n j ,,2,1Λ=）称为成本或利润系数；ij a （m i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）称为未知变量的系数；i b （m i ,,2,1Λ=）称为限定系数．标准形式的主要特点是：①目标函数最大化；②所有的约束条件由等式表示；③所有的变量和每一约束条件右端的常数项均为非负值．（二）书写形式为书写简便，我们可以将上述线性规划问题的标准形式写成如下两种形式，其中..t s 代表约束条件．1．简缩形式∑==nj j j x c Z 1Max∑==nj i j ij b x a 1 m i ,,2,1Λ=..t s 0≥j x n j ,,2,1Λ=约束条件0≥i b m i ,,2,1Λ=2．矩阵形式CX Z =Max b AX = ..t s 0≥X0≥b其中， ),,,(21n c c c C Λ=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211= n x x x X Λ21= m b b b b Λ21 = 000 0Λ= 这里C 为成本或利润向量，X 为决策向量，A 为系数矩阵（或称约束矩阵），b 为限定向量（或称右端向量），条件0≥X 称为非负约束．（三）标准形式的转化当给出的线性规划为非标准形式时，可以按照下述的方法化为标准形式．1．目标函数的转换若给出的线性规划要求目标函数极小化，即 ∑==nj j j x c Z 1Min ，因)(Max Min Z Z --=，所以只须令Z Z '=-，即有j nj j x c Z Z ∑=-=-='1)(Max )(Max Max这就是标准形式的目标函数了．2．约束条件的转换由于标准形式要求所有的约束条件是等式，必须把不等式的约束条件化为等式．须引入新的变量，代表每个不等式左右端之间的差额．这些新的变量称为松弛变量或剩余变量．这里有2种情况：一种是约束条件为“≤”形式的不等式，则可在“≤”的左端加入非负的松弛变量，把原“≤”形式的不等式变为等式；另一种是约束条件为“≥”形式的不等式，则可在“≥”号的左端减去一个非负的剩余变量（也可称松弛变量），把不等式改为等式．例如前面例2-1中线性规划问题的标准形式可写为：目标函数 21300200Max x x Z += 12 22321＝x x x ++8 2421＝x x x ++..t s 16 451＝x x + 12 4 62＝x x +0,,,621≥x x x Λ式中6543x x x x 、、、为松弛变量．例2-2中线性规划的标准形式可写成：321302520Max x x x Z ---='15 86 5 4321=-++x x x x20 64 3 5321=-++x x x x..t s 25 45 8 6321=-++x x x x30 812107321=-++x x x x0,,,721≥x x x Λ式中Z Z '-=，74~x x 为剩余变量（也可称松弛变量）．要注意的是松弛变量或剩余变量都是非负值，它们的实际意义是未被利用的资源或额外的提供量．由于松弛变量或剩余变量都不会影响目标函数的增加或减少，所以在目标函数中它们的系数都应当为零．3．变量的非负转换若存在无非负要求的变量，即变量k x 取正值或负值都可以，在物理、经济意义上都是合理的，这时为了满足标准形式对变量的非负要求，可令k x ＝k x '－k x ''，其中，0≥'k x ，0≥''k x ．由于k x '可能大于k x ''，k x '也可能小于k x ''，故k x 可为正值也可为负值．以上讨论说明，任何形式的线性规划问题都可化成标准形式．第二节线性规划问题的图解法讨论两变量的线性规划问题的图解法（graphical solution of LP problems ），是为了更直观地了解线性规划问题及其解的基本概念，从而了解求解线性规划问题的一般方法——单纯形法的基本原理．一、线性规划问题解的基本概念设线性规划问题的标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥===∑∑==mi b n j x m i b x a t s x c Z ij nj i j j i nj jj ,,2,10,,2,10,,2,1..11ΛΛΛMax 1．可行解满足约束条件的解T n x x x X ),,,(21Λ=，称为线性规划问题的可行解．所有可行解的集合称为可行域．2．最优解满足目标函数式的可行解，称为线性规划问题的最优解．3．最优值对应于最优解的目标函数之值，称为最优值．二、两个变量的线性规划问题的图解法例2-5 以上一节例2-1为例:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0,124164821222..3002002121212121x x x x x x x x t s x x Z Max由于此问题是两变量的线性规划问题，因而可用图解法求解．求解过程是先求出满足约束条件的可行解区域；然后从可行解区域中找出最优解．具体步骤如下：第1步建立平面直角坐标系，取1x 为横轴，2x 为纵轴．第2步求满足约束条件的可行解区域．本例中作直线①：122221=+x x ,第一个约束不等式的解由直线122221=+x x 及其左下方半平面表示；作直线②：8221=+x x ，第二个约束不等式的解由直线8221=+x x 及其左下方半平面表示；作直线③：1641=x ，第三个约束不等式的解由直线1641=x 及其左方半平面表示；作直线④：1242=x ，第四个约束不等式的解由直线1242=x 及其下方半平面表示；1x 和2x 变量非负条件的区域为第1象限．满足所有约束条件的可行解区域（也称可行域）是由上述5个区域的公共部分表示，即图2-1中OABCD 的区域（包括边界）．在这个区域里的每一点(包括边界上的点)都是可行解．从图上我们可以看到这个可行域是一个凸多边形，我们把它称为凸集（如果在形体中任意取两点连接一根直线，若线段上所有的点都在这个形体中，则称该形体为凸集）．第3步作目标函数的等值线簇，确定目标函数值增加方向．本例中，由目标函数21300200 x x Z +=可知，当Z 值取不同的数值时，在图上可得到一簇以Z 为参数的平行线．位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称每条直线为“等值线”．对于直线21300200 x x Z +=来说，当Z 值由小变大时，直线3003212Z x x +-=向右上方平行移动．作直线600300200 21=+x x （Z ＝600），在这条直线上的所有点其Z 值均为600．第4步从可行解区域内找满足目标函数的最优解．从图2-1中可以看到，当等值线600300200 21=+x x 向右上方平移到距原点最远且仍与可行域有一交点时，那个交点便是使Z 值取值最大的可行解，即最优解．在本例中C 点是最优解，此时1x ＝4，2x ＝2，Z ＝1400．简单表示为：X *＝()T24，Z *=1400．例2-6 用图解法解线性规划： 212Max x x Z +=10221≤+x x 1 21≥+x x..t s 0 1≥x 0 2≥x 4 2≤x解按照例2-5的步骤作出图2-2，求出凸五边形ABCDE 所围成的可行区域，并作目标函数的等值线)2(2221==+Z x x ，随着Z 值的逐渐增大，等值线不断向右上方平行移动，最后与可行域的边AB 重叠．所以线段AB 上的每一点所对应的（21 ,x x ）都为最优解，即该线性规划问题有无穷多个最优解，不过最优值是唯一的，10*=Z ．例2-7 解下列线性规划：⎩⎨⎧≥≤-+=0,80810..123212121x x x x t s x x Z Max 解从图2-3可看出，规划的可行域是无界的，并且无最优解（最优解无限大）．这个例子中出现的情况在实际问题中并不存在，因为资源是有限的，所以不可能取得无限大的收益．出现这种情况往往是由于建立数学模型时考虑不周，忽略了某些约束条件而造成．三、线性规划问题解的特点由上面的图解法可以直观地看出线性规划问题的解具有如下几个特点：1．可行域总是凸多边形；2．如果一个线性规划问题确实存在唯一的最优解，那么它必定可在其可行域的一个顶点上达到；3．如果一个线性规划问题存在多重最优解，那么至少在其可行域有两个相邻的顶点所对应的目标函数值相等，且达到最大值（或最小值）；4．如果可行域中一个顶点的目标函数值比其相邻顶点的目标函数值要好的话，那么它就比其他所有顶点的目标函数值都要好，或者说它就是一个最优解．有时在求解线性规划时，会发现线性规划的约束条件矛盾，无法找到可行域，这时线性规划无解；有时也会遇到可行域无界且无最优解，这时称为无界解．第三节单纯形法在实际问题中，我们常常遇到的线性规划问题不是仅涉及两个变量，而是两个以上的多变量线性规划问题．对两个以上的多变量线性规划问题无法用图解法求解，必须使用简便有效的求解方法——单纯形法（simplex method）．一、单纯形法的基本原理（一）典型方程组一般线性规划问题标准形式的约束条件如下式（2-1），是一个有n个未知数、m个方程的线性方程组．如果这m个方程是独立的（即其中任一方程均不能由其它方程代替），则通过初等变换，必能使式（2-1）化成式（2-2）形式的同解方程组：∑==njijijbxa1mi,,2,1Λ=（2-1）1x ' +11221111b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ 2x ' +22222112b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ （2-2）…………………………………………………………mx '+m n mn m mm m mm b x a x a x a '=''+⋅⋅⋅+''+''++++2211 式中n x x x '⋅⋅⋅'',,,21是重新排序后的变量．式（2-2）被称为典型方程组．即如果在一个线性方程组中的每一个方程中都有系数为1，并且不再出现在其它方程的一个未知量，则此方程组称为典型方程组．（二）基本变量如果变量j x 在某一方程中系数为1，而在其它一切方程中的系数为零，则称j x 为该方程中的基本变量．否则为非基本变量．如式（2-2）中的m x x x '⋅⋅⋅'',,,21为基本变量，n m mx x x '⋅⋅⋅''++,,,21为非基本变量．基本变量的个数为线性无关的方程的个数．事实上，n 个变量中任意m 个都可能作为基本变量，因此由排列组合知识可知，基本变量的组数为mn c 个，n 为未知变量的个数，m 为线性无关的方程的个数．（三）基本解在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量得到的解，称为基本解．基本解的个数为m n c 个．（四）基本可行解基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解，基本可行解的个数最多不超过m n c 个．例如，对方程组32 4321=+-+x x x x ① 13 2421=+x x x － ②施行初等变换[①×（－2）＋②],可以得到：32 4321=+-+x x x x ① 572 432-=-+-x x x ③ [③×(－1)] : 32 4321=+-+x x x x ① 572432=+-x x x ④ [④×（－1）＋①]: 25431-=-+x x x ⑤ 572432=+-x x x ④式⑤和④为典型方程组，基本变量是1x 和2x ，非基本变量为3x 和4x ．设非基本变量3x 和4x 为零，则1x 和2x 分别等于-2和5，即对应于典型方程组⑤和④，基本解为：X =()T0052-．因基本变量中1x 为负值，所以此解不是基本可行解．根据方程组①和②有4个未知变量，因此通过初等变换可得到24c 组（即6组）典型方程组和基本解．若令2x 和4x 为基本变量，通过初等变换，方程组①和②可变换为： [①×（－1）＋②]: 32 4321=+-+x x x x ① 25 431－=-+x x x ③ [③×（－1/5）]: 324321=+-+x x x x ① 4.0202.0431=+--x x . x ④ [④×（－2）＋①] : 2.2604.1321=-+ x . x x ⑤ 4.0202.0431=--x x . x ＋ ④此时，典型方程组的基本变量为2x 和4x ，非基本变量为1x 和3x ．基本解为：T X ）（0.4 0 2.2 0 =，因为基本变量为非负值，所以此基本解也为基本可行解．（五）单纯形法的原理理论上已经证明，线性规划的基本可行解与可行域的顶点是一对一的．这就决定了线性规划可行域的顶点个数最多也不超过m n c 个．上面讨论线性规划问题解的特点时已指出，如果线性规划有最优解，一定可以在可行域的某个顶点处达到．因此，单纯形法的基本思路是：根据问题的标准形式，从可行域中的一个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），并且使目标函数的值逐步增大；当目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解．在用单纯形法求解线性规划问题时，应考虑的问题：1．建立初始基本可行解在用单纯形法求解时，首先应将线性规划问题以标准形式表达、约束条件以右端常数非负的典型方程组表示，确定初始基本可行解．在前面的阐述中，已讨论了如何将一般线性规划问题转化为标准形式的线性规划问题，如何将约束条件通过初等变换以典型方程组形式表示，以及如何得出基本可行解（最初得到的基本可行解也称初始基本可行解），此处不再赘述．经过变换，典型方程组和初始基本可行解可用式（2-3）表示：1x +11221111b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ 2x +22222112b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ （2-3）………………………………………………………m x +m n mn m mm m mmb x a x a x a '='+⋅⋅⋅+'+'++++2211 初始基本可行解：T mb b X )00(10ΛΛ''=． 2．最优性检验得到一个基本可行解后，我们要判断它是不是最优解．一般情况下，经过迭代后式（2-3）变为∑+='-'=nm j jiji i xa b x 1（m i ,,2,1Λ=）（2-4）将式（2-4）代入目标函数式，整理后得∑∑∑+==='-+'=n m j mi j iji jmi i i x a c c b c Z 111)( （2-5）令∑='=mi i i b c Z 10 , ∑='=mi iji j a c Z 1, n m m j ,,2 ,1Λ++= 于是∑+=-+=nm j j j jx Z cZ Z 10)( （2-6）由于当m j ,,2 ,1Λ=时，j mi ij i j c a c Z ='=∑=1，即0=-j j Z c （m j ,,2 ,1Λ=），所以式（2-6）也可写作∑∑∑=+=+=-+-+=-+=mj j j j nm j nm j j j jj j jx Z c x Z cZ x Z cZ Z 11100)()()(∑=-+=nj j j j x Z c Z Z 10)( n j ,,2 ,1Λ=再令j j j Z c C -= n j ,,2 ,1Λ=j C 为变量j x 的检验数．则∑=+=nj j j x C Z Z 10 （2-7）（1）最优解判别若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为基本可行解，且对一切n j ,,2 ,1Λ=,有0≤j C ，则)0(X 为最优解．（2）无有限最优解判别若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为一基本可行解，有一个k C >0，且对一切m i ,,2,1Λ=有0≤ik β（ik β为约束条件方程中的系数，n k ,,2,1Λ=），那么该线性规划问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）．事实上，应用向量的乘法，可以将检验数的求法表示得简明一些．令j c 表示目标函数中变量j x 的系数，B C 表示基本变量在目标函数中的系数行向量，j P 表示变量j x 在典型方程中的系数列向量，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⋅-=-=mj j j B j j B j j j j a a a C c P C c Z c C Λ21 n j ,,2 ,1Λ= （2-8）基本变量的检验数总等于0．目标函数值b C Z B ⋅=.3．基本可行解的改进若初始基本可行解)0(X 不是最优解及不能判别无最优解时，需找一个新的基本可行解．具体方法是：首先确定进基变量，再确定出基变量．进基变量的确定：由式（2-7）可知，检验数j C 对线性规划问题的实际意义是：j C 表示当变量j x 增加1个单位时，目标函数的增加量；其经济意义表示相对利润．当0>j C 时，说明非基本变量j x 增加1个单位，目标函数可以增加，即现在的函数值不是最优，还能增加．这时要将某个非基本变量换到基本变量中去（称为进基变量）．为了使目标函数值增长最快，所以应选择j C 值最大的一项所对应的非基本变量进基,k C =>)0j C (max . 则对应的k x 为进基变量．进基变量所在的列（k ）称为枢列．出基变量的确定：当进基变量确定后（假设i x 是进基变量），出基变量的选定是应用“最小比值规则”．即用此时的各约束方程右端的常数项i b （非负数）与相应方程中k x 的正系数ik β相比，并选取最小商值的基本变量l x 为出基变量（将由基本变量变为非基本变量）．{}lkl ik ik i i bb βββθ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0min min出基变量所在的行（l ）称为枢行．枢行与枢列交点处的元素（lk β）称为枢元．然后通过初等变换，将约束条件转为关于新的基本变量的典型方程组，并求得新的基本可行解．对于新的基本可行解可再进行上述的最优性检验．二、单纯形解法上面介绍的单纯形法原理看似复杂，但如用表格形式计算，则比较容易操作．单纯形法的计算步骤：第1步：找出初始基本可行解，建立初始单纯形表．第2步：检验对应于非基本变量的检验数j C ，若对所有的0≤j C（n j ,,2 ,1Λ=），则已得到最优解，计算最优值∑==mi i i b c Z 1，即可结束．否则，转入下一步．第3步：在所有0>j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解），停止计算．否则转入下一步．第4步：根据()0max >j C ＝k C ，确定k x 为进基变量，再依据“最小比值规则”（{}lk l ik ik i i b b βββθ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0min min ）确定l x 为出基变量．第5步：实施以枢元素为中心的初等变换，使约束方程组变为关于新的基本变量的典型方程组，得到新的单纯形表，重复第二步…，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止．若线性规划模型为：CX Z =Min ..t s b AX = 0≥X上述单纯形法的计算步骤仍有效，只是其中的第二步改为：若对所有的0≥j C （n j ,,2,1Λ=），则已得到最优解；第三步改为在所有0<j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）；第四步改为)0min(<j C ＝k C ，确定k x 为进基变量．例2-8 现以例2-1来说明单纯形法的表上解法．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0,124164821222..3002002121212121x x x x x x x x t s x x Z Max解首先将线性规划问题标准化，即在约束条件中引入松弛变量3x 、4x 、5x 、6x ，则标准化后的线性规划模型为：21300200Max x x Z +=12 22321＝x x x ++ 8 2421＝x x x ++..t s 16 451＝x x + 12 462＝x x + 0,,,621≥x x x Λ此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表（表2-4）：表2-4 单纯形法求解例2-1（1）表2-4中：10040010004001021000122 为典型方程组中变量的系数，j x 为规划中出现的变量，j c 为变量j x 在目标函数中的系数，B X 为基本变量，B C 为基本变量在目标函数中的系数，b 为典型方程组右端常数项（非负值），θ为确定出基变量的商值，ikii b βθ=（0>ik β），j C 为变量j x 的检验数，j P C c C B j j ⋅-=，Z为此时目标函数值，b C Z B ⋅=．根据初始单纯形表可以看出：初始基本可行解是01=x ，02=x ，123=x ，84=x ，165=x ，126=x此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=12168120000Z ＝0检验数111P C c C B ⋅-=＝200－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅04120000＝200222P C c C B ⋅-=＝300－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅40220000＝3003C =4C =5C ＝6C ＝0（基本变量的检验数总等于零）由于01>C ，02>C ，所以初始基本可行解非最优解．又由于12C C >，所以确定2x 为进基变量．进一步求最小θ值：{}{}33,4,6min 412,28,212min 0min min ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=ik ik i i b ββθ即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是6x ，于是6x 为出基变量．表中给第4个约束方程中2x 的系数4加上方括号以突出其为枢元．接下去的工作是将2x 取代6x ，表2-4中的约束方程化为以3x 、4x 、5x 和2x 为基本变量，1x 和6x 为非基本变量的典型方程，以便求出新的基本可行解．从表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成1，而枢列中的其它元素变为零（即以枢元为中心的初等变换）就可以了．此处可先将第4个方程除以4，使枢元位置变成1；然后用新得到的第4个方程乘以（-2）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个方程所在位变为零．这样我们可以得到新的单纯形表（表2-5）．表2-5给出的新的基本可行解是1x ＝0，2x ＝3，3x ＝6，4x ＝2，5x ＝16，6x ＝0此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=31626300000Z ＝900检验数111P C c C B ⋅-=＝200-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅0412300000＝200666P C c C B ⋅-=＝0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅4102121300000＝75-2C ＝3C =4C =5C ＝0（基本变量的检验数总等于零）表2-5 单纯形法求解例2-1（2）由于01>C ，所以此时基本可行解非最优解，确定1x 为进基变量．进一步计算最小θ值：{}{}24,2,3min 416,12,26min 0min min ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=ik ik i i b ββθ即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是4x ，于是4x 为出基变量．接着进行第二次迭代，将1x 取代4x ，表2-5中的约束方程化为以3x 、1x 、5x 和2x 为基本变量，4x 和6x 为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表．重复单纯形法计算第2 步～第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止（见表2-6和表2-7）．表2-6 单纯形法求解例2-1（3）表2-7 单纯形法求解例2-1（4）表2-7中：目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=244030002000Z =1400检验数444P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅2120130002000=-150555P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅8121414130002000=225- 1C =2C =3C =6C =0（基本变量的检验数总等于零）由于0≤j C ，6,,2,1Λ=j ，所以此基本可行解41=x ，22=x ，03=x ，04=x ，05=x ，46=x ，即为最优解，最优值为Z *＝1400．与前面图解法求解结果一致．为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5给出的基本可行解对应于顶点A ，表2-6给出的基本可行解对应于顶点B ，表2-7给出的最优解对应于顶点C ．线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题．例2-9 用单纯形法求解下列规划问题43213Min x x x x Z +++=4 22321=++-x x x..t s 6 3421=++x x x0,,,4321≥x x x x解令Z Z -='，于是原线性规划问题变为标准形式：43213Max x x x x Z ----='4 22321=++-x x x..t s 6 3421=++x x x 0,,,4321≥x x x x由于约束方程组已是典型方程组，所以可直接用单纯形表求解，见表2-8．表2-8 单纯形法求解例2-9表2-8计算得最优解是1x ＝0，2x ＝2，3x ＝0，4x ＝4，最优值为Z *＝-Z '*=6．实际上，此线性规划问题也可根据单纯形法求解的基本思想，按照前面单纯形法计算步骤中提到的改变检验数判断方法，直接用单纯形表求解极小化问题，见表2-9．若对所有的0≥j C （n j ,,2,1Λ=），则已得到最优解；所有0<j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有。

线性规划基础知识

线性规划
Linear Programming
§1 线性规划发展简史
线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法。
线性规划问题最早是前苏联学者康德洛维奇（L.V. Kantorovich）于1939年提出的。 1952年，美国国家标准局（NBS）在当时的SEAC 电子计算机上首次实现单纯形算法。 1976年IBM研制成功功能十分强大、计算效率极高的线性规划软件MPS，后来又发展成为更为完善的 MPSX。
s.t.
x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1
（1）（2）
x31+x32+x33+x34=1
x41+x42+x43+x44=1
（3）
（4）
x11+x21+x31+x41=1
x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1 xij=0, 1
x 1 , x 1 , x n 0
记向量和矩阵
c1 x1 b1 a 11 a 12 c x b a 2 ，X= 2 ，b= 2 ，A= 21 a 22 C= c n x n b n a m1 a m2 a 1n a 2n a mn
≤2000 ≤8000 ≤5000 ≥0
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=293.6，x2=1500，x3=0，x4=58.84 最大利润为： z=12734.41（元）

简单的线性规划问题

三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析

知识讲解简单的线性规划问题_基础

简单的线性规划问题【学习目标】1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2. 掌握线性规划问题的图解法.3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.【要点梳理】要点一、线性规划的有关概念：线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．线性目标函数：关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二、线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三、确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域；③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；④作答．要点诠释：确定最优解的思维过程：线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解【典型例题】类型一：求目标函数的最大值和最小值.例1. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1y y x xy 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m－n ＝( )A ．5B ． 6C ． 7D ． 8【答案】B【思路点拨】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数z=2x+y 过点B （2，-1）时取得最大值，过点A （-1，-1）时取得最小值. 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A ，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=-=x y y 1，解得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即A(－1，－1)，此时z ＝－2－1＝－3，此时n ＝－3，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点，B ，直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧=+-=11y x y ，解得⎩⎨⎧-==12y x ，即B(2，－1)，此时z ＝2×2－1＝3，即m ＝3，则m －n ＝3－(－3)＝6，故选：B ．【总结升华】1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．举一反三：【变式1】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩.【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小，以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大. 所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，max 35351722z =⨯+⨯=.【变式2】（2015 天津）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】如图所示，阴影部分即为线性规划的可行域，当直线166zy x =-+经过点A （0，3）时，z 取得最大值18.故选: C 。

简单的线性规划(一)

课题：简单的线性规划(一)教学目标：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2010年考试说明要求A 级。

知识点回顾：1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则(1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的_____，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的______的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的______，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的_____的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.2. 目标函数可转化为y 轴上截距的z=ax+by 最值问题。

课前训练：1. 设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x+3y 的最小值为2. 在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为3. 已知点(,3)P a 在不等式组352504301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩所表区域内；则a 的范围是4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是5.若⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≥035,4,1y x y x y 表示的平面区域的面积6.图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示为．典型例题：若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中区域的面积为设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为课堂检测：1．已知点()2286,3424x y x y Q x y x y ⎧⎫⎧+<+⎪⎪∈⎨⎨⎬+>⎩⎪⎪⎩⎭，如果直线:20l ax y ++=经过点Q ，那么实数a 的取值范围是．2. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，动点M(x,y) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，则−→OM ·−→OC 的最大值为。

【运筹学】线性规划的历史(1)课件

线性规划发展的历史
• 1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡(Karmarkar)提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000 时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。
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---线性规划---
线性规划发展的历史
• 1971年KLee和Murty提出一个例子，在这个例子中单纯形法需要迭代2n-1步，说明单纯形算法不是一种好算法。
• 1979年苏联数学家L.G.Khachian(哈奇扬) 提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
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---线性规划---
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---线性规划---
列奥尼德·康托罗维奇 Leonid Vitaliyevich Kantorovich (January 19, 1912 in Petersburg — April 7, 1986 in Moscow)
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---线性规划---
• 40 年代初, 欧美各过对于这样一个问题颇感兴趣—— — 如何安排一个成年人每天的食品种数及其数量, 使得既能满足营养上的需要, 又能使伙食支出最小。 1945年“ 芝家哥经济学派”的鼻祖, 美国经济学家乔治·施蒂格勒( George J.Stigler) 给出了一个解答—— — 按照他列出的食品单,每年伙食总开支为39.93 美元 ( 当时的标准) 。此举并未引人注目, 因为斯帝格勒的解题方法是原始的, 但他后来因“ 产业机构市场功能, 以及公共领域管制的原因和效果” 的贡献于1982 年获诺贝尔经济学奖。
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---线性规划---
线性规划发展的历史

第一章线性规划

欢迎阅读第一章线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义C 三B 为其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ⨯矩阵。

例如线性规划的Matlab 标准型为1.3 线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的标准型为∑==nj j j x c z 1min(3) ∑==≤n j ij ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4)可行解满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

可行域所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。

1.4 线性规划的图解法图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。

我们先应用图解法来求解例1。

如上图所示，阴影区域即为LP 问题的可行域R 。

对于每一固定的值z ，使目标函数值等于z 的点构成的直线称为目标函数等位线，当z 变动时，我们得到一族平行直线。

让等位线沿目标函数值减小的方向移动，直到等位线与可行域有交点的最后位置，此时的交点（一个或多个）即为LP 的最优解。

对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。

不难看出，本例的最优解为T x )6,2(*=，最优目标值26*=z 。

从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：（1）可行域R 可能会出现多种情况。

第一章线性规划

对于标准形式的线性规划问题若约束方程系数矩阵中不存在现成的初始可行基则不能简单的用上述单纯形法而通常采用所谓的人工变量法
第一章线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基，对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两

线性规划发展史及简单的线性规划