高一数学下册知识点调研测试11

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2019-2020年高一下学期期末学情调研测试数学含答案

2019-2020年高一下学期期末学情调研测试数学含答案xx.06注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分160分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上的指定的位置.3.答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效.4.本卷考试结束后，上交答题卡.参考公式：圆柱的体积公式其中是圆柱的底面半径是圆柱的高.球的体积公式其中是球的半径.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1.已知则 ▲ . 2.不等式的解集是 ▲ .3.如图,在正方体中,二面角的大小是 ▲ .4.函数的最大值是 ▲ .5.如图，球内切于圆柱.记球的体积为圆柱的体积为则的值是 ▲ .6.在△中,角所对的边分别为若则角的大小是 ▲ .7.圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为的扇形,▲ .8.若不等式对任意的都成立,则实数的取值范围是 ▲ . 9.记等差数列的前项和为.若且则 ▲ . 10.关于直线与平面有以下四个命题：①若则是异面直线； ②若则；③若则； ④若则.其中正确的命题的序号是 ▲ .(写出所有正确命题的序号)11.若则的值是 ▲ .12.将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵.记第行第列(为正整数)位置上的数为如那么 ▲ .13.若满足的△恰有一个,则实数的取值范围是 ▲ .14.已知则的最小值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知.(1)求的值；A A D (第5题图)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… (第12题图)(2)若求的值.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中为的中点.(1)求证：平面；(2)若平面求证：平面平面.17.(本小题满分14分) 已知等差数列中,其前项和为.(1)求等差数列的通项公式；(2)令,求数列的前项和.18.(本小题满分16分)某厂以千克/小时的速度匀速生产一种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求的取值范围；(2)要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润.A B C D E P (第16题图)19.(本小题满分16分)如图，在△中,∠.(1)求的长和△的面积；(2)延长到到连结若四边形的面积为求的最大值.20.(本小题满分16分)在数列中，为其前项和.已知(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数,使得当时,…恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在,请说明理由；(3)是否存在等差数列,使得对任意的都有… ？若存在,试求出的通项公式;若不存在,请说明理由.N A B C M (第19题图)参考答案..)3(;8)2(;2)1.(202)2(;3;13)1.(19.812500,4)2(];5,2[)1.(18.N ,7,4221321N ,7,21321)2(;28)1.(17.16.10334)2(;6)1.(1523.142]1,0(.1341.12257.112.1015.94.822.74.632.52.44.3)1,0(.23.1222n b a S BC x n n n n n n n n T n a πa ππn n n ABC n n =====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤+-=-=+--≤--**存在元利润为略｝｛△ .。

江苏省宿迁市高一年级11月学情调研数学试卷(含答案)

宿迁市高一年级11月学情调研试卷数学一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．设集合A={-2，-1,0,1}，B={0,1,2}，则A ∩B= ．2. 已知函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则((1))f f -= ． 3. 已知(1)f x x -=，则(2)f = ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ．5.定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ． 6．函数()812-=x x f 的定义域是 . 7．已知215+=a ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为． 8. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()21f x x x =+-，则当0x <时,()f x = ．9.某班共有40人，其中18人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动， 12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．10. 已知集合[)4,1=A ，()a B ,∞-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．11. 已知二次函数()f x 被x 轴截得的弦长为4，且顶点坐标为（1，4），则函数()f x = ．12. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=2,2,32)(2x a x x x x f x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是．13.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若x ()10f x ->，则实数x 的取值范围是．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，0≤x <1，2x ＋12，x ≥1.若a >b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是．二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案．．写在答题卡上．．．．．．) 15.（本小题满分14分）（1）已知全集U={2，a 2+9a +3，6}，A={2，|a +3|}，∁U A={3}，求实数a 的值（2）设全集U={1，2，3，4}，且A ={x | 250x x m -+=,x ∈U}，若U C A ={2，3}，求m 的值．16.（本小题满分14分）设全集U =R ，集合{}|13A x x =-<≤，{}242|3x x B x --=≥3．（1）求B 及A ∩B ；（2）若集合{|20}C x x a =+>，满足B C C =U ，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分15分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1．（1）当a =-2时，求使f (x )=-1成立的x 的值；（2）若f (1－a )＝f (1＋a )，求实数a 的值．18（本小题满分15分）已知函数()f x x x m =-，x ∈R ，且0)4(=f ．（1）求实数m 的值；（2）作出函数()f x 的图象并直接写出()f x 单调增区间．（3）若函数()f x 的定义域为()b a ,，值域为[]4,0，写出b a ,满足的条件。

{高中试卷}高一数学下学期调研考试试题[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：1 / 32 / 3高一数学下学期调研考试试题命题人：王建群20XX-3-4一、填空题（本大题共12题每小题7分共84分）1、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 152-=，则使n S 取最小值的n=______。

2、等差数列}{n a 中，1144=+a a ，则此数列的前17项的和=___________。

3、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，则通项=n a ______________。

4、△ABC 中060=A ，3=a ，则sin sin sin a b c A B C++++=______________。

5、△ABC 中，13,34,7===c b a ，则最小内角的大小是____________。

6、△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则C cos =____________。

7、△ABC 中;;;AB a BC b CA c ===若a b b c c a ⋅=⋅=⋅则△ABC 为_______三角形。

8、一等差数列}{n a 的前12项的和为354，前12项中，奇数项和与偶数项和之比为 32∶27，则公差d=__________。

9、等差数列}{n a 中，已知1008=S ，39216=S ，则=4S ____________。

10、一个物体从490m 的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m ，以后每秒比前1秒多降落9.80m ，经过_____________秒物体才能落到地面。

11、△ABC 中，B b A a cos cos =则△ABC 是________________________。

（判断形状）12、△ABC 中，下列判断不正确．．．的是________________。

（1）,30,14,70=∠==A b a 有1解；（2）,150,25,300=∠==A b a 有1解；（3）,45,9,60=∠==A b a 有2解；（4）,60,10,90=∠==B c b 无解。

2023届高一下学期期末调研检测数学(参考答案)

16、 ①④
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、(本小题满分 10 分)
解：（1） |=a | 2,|=b | 3, < a,b=> 150° ，
∴ | a − 2b=| (a − 2b)2= a2 − 4a ⋅b + 4b2 ………………2 分
2
−
4 3
=
2 3
；
在 ∆ADB
中，由正弦定理得，
sin
AB ∠ADB
=
sin
AD ∠ABD
，
高一下期末（数学）参考答案
第2页共4页
A
D
B
C H
2
即
5 3
=
sin
3 ∠ABD
，故 sin ∠ABD
= 2255 ，………………10
分
5
由图可知 ∠ABD 为锐角，则 cos ∠ABD = 1− sin2 ∠ABD =11 5 ， 25
所以 = 3 Sn
n(n2+= 1)
2(
1 n
−
n
1 +
1)
………………10
分
故数列{
3 Sn
}
的前
n
项和
T=n
2(1 −
1 2
+
1 2
−
1 3
+
⋅⋅⋅+
1 n
−
n
1 +
1=)
2(1 −
n
1 +
1)
=
2n n +1
．………………12
分
19、（本小题满分 12 分）

高一数学下学期调研考试试题

第十三中学2021-2021学年高一数学下学期调研考试试题创作人：历恰面日期：2020年1月1日分值：150分考试时间是是：120分钟一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕1.全集，集合和关系的韦恩图如下图，那么阴影局部所表示集合中的元素一共有A. 3个B. 4个C. 5个D. 无数个2.在中，，，，那么A. B. C. D.3.用半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，那么这个无底圆锥的体积为A. B. C. D.4.在等比数列中，，前3项之和，那么公比q的值等于A. 1B.C. 1或者D. 或者5.设中BC边上的中线为AD，点O满足，那么A. B. C. D.6.设a、b是正实数，以下不等式：；；；恒成立的序号为A. B. C. D.7.假设，那么A. B. 1 C. D.8.三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，那么此棱锥的体积为A. B. C. D.9.以下命题中正确的个数是假设a，b，c成等差数列，那么，，一定成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，可能成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，一定成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，可能成等差数列．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.函数，假设，那么x的取值范围是A. B.C. D.11.不等式的解集为，那么不等式的解集为A. B.C. D.12.假设，是一组基底，假设向量，那么称为向量在基底，下的坐标，向量在基底，下的坐标为，那么在另一组基底，下的坐标为A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕13.，那么的最小值是______．14.假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，那么这个圆锥的侧面积是______．15.某决定对教室用药熏消毒法进展消毒，根据药学原理，从药物释放开场，每立方米空气中的含药量毫克与时间是小时之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开场，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室．16.假设数列满足d为常数，那么称数列为“调和数列〞正项数列为“调和数列〞，且，那么．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分，其中17题10分，18-22题每一小题各12分〕17.如下图，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，，，，D，H，G为垂足，假设将绕AD旋转，求阴影局部形成的几何体的外表积与体积．18.各项均为正数的数列的前n项和为满足求数列的通项公式；设为数列的前n项和，假设对恒成立，务实数的最小值．19.小王大学毕业后，决定利用所学专业进展自主创业．经过场调查，消费某小型电子产品需投入年固定本钱3万元，每消费x万件，该产品需另投入流动本钱万元．在年产量缺乏8万件时，，在年产量不小于8万件时，每件产品的售价为5元．通过场分析，小王消费的商品能当年全部售完．写出年利润单位：万元关于年产量单位：万件的函数解析式．年产量为多少万件时，小王在这一商品的消费中所获利润最大？最大利润是多少？注：年利润年销售收入固定本钱流动本钱20.如图，在平面四边形ABCD中，，，．求的值假设，，求BC的长．21.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角A的大小假设，求的取值范围．各项均为正数数列满足．求数列的通项公式；假设等比数列满足，，求的值用含n的式子表示；假设，，求证：数列是等差数列．2021-2021学年第二学期19级调研考试数学答案和解析1.【答案】A解：0，1，2，3，，2，3，，故阴影局部所表示集合为，其中的元素一共有三个．应选A2.【答案】A【解析】解：，，利用余弦定理，，，利用正弦定理，，根据合分比性质，应选：A．3.【答案】A【解析】解：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为r，那么底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长，可得圆锥的高根据圆锥的体积公式，可得应选A4.【答案】C【解析】解：在等比数列中，，，，化简得，解得或者，应选：C．5.【答案】A【解析】解：中BC边上的中线为AD，，中BC边上的中线为AD，，，应选：A．6.【答案】D【解析】解：、b是正实数，当且仅当时取等号，不恒成立；恒成立；，当时，取等号，例如：，时，左边，右边不恒成立；恒成立．答案：D7.【答案】B【解答】解：，，．应选B．8.【答案】A解：由于三棱锥与三棱锥底面都是，O是SC的中点，因此三棱锥的高是三棱锥高的2倍，所以三棱锥的体积也是三棱锥体积的2倍．在三棱锥中，其棱长都是1，如下图，，高，．选A．9.【答案】C【解答】解：对于，取，，，，，错；对于，，正确；对于，，b，c成等差数列，，，正确；对于，，正确．综上选C．10.【答案】A解：由题意可知，，即，所以或者解得或者．故x的取值范围是．11.【答案】C【解答】解：由不等式的解集为，可得所以，所以不等式等价于，因为，所以可得，所以，解得或者，所以不等式的解集为12.【答案】D【解答】解：因为在基底下的坐标为，即，令，那么，解得，故在基底，下的坐标为．应选D．13.【答案】5【解析】解：，，当且仅当，即时取等号，的最小值是5．故答案为：5．14.【答案】【解析】解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，对于轴截面有：，，，所以圆锥的侧面积为：．故答案为：．15.【答案】解：依题意：，，，，至少需小时后，学生才能回到教室．故答案为．16.【答案】20解：根据“调和数列〞的定义及题设，可得d为常数，所以为等差数列，所以由，得，所以，所以．17.【答案】解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为．所求旋转体的外表积由三局部组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面．，，故所求几何体的外表积为：阴影局部形成的几何体的体积：18.【答案】当时，，解得，当时，，整理得，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，；由题意得对恒成立，令，那么，即对恒成立，即数列为单调递减数列，最大值为，，即的最小值为．19.【答案】解：因为每件商品售价为5元，那么x万件商品销售收入为5x万元．依题意得，当时，，当时，．所以当时，，此时，当时，获得最大值万元．当时，，此时，当且仅当，即时，获得最大值15万元．因为，所以，当年产量为10万件时，小王在这一商品的消费中所获利润最大，最大利润为15万元．20.【答案】解：由题意，在平面四边形ABCD中，，，，在中，由余弦定理得，；设，那么．因为，，且和均为三角形内角，所以，，于是，在中，由正弦定理，得，故BC．21.【答案】解：由正弦定理得，整理得，即，故．又，故A．因为，，所以，故因为，所以，故，故．22.【答案】解：解：各项均为正数数列满足．，解得．时，可得：，化为：，．时，，相减可得：．数列为等差数列．．等比数列满足，可得公比，．，，；证明：，可得：，，又．解得，，，时，．相减可得：．，相减可得：设，化为：．又，可得，以此类推可得：，即，数列是等差数列．22.。

高一下学期数学调研测试试题(doc 10页)

高一下学期数学调研测试试题(doc 10页)湖北省武昌区2010-2011学年度高一下学期调研测试试题（数学）本试卷共150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干A ．a b c>> B ．b a c>> C ．c a b>>D ．b c a >> 5．函数ln |sin |,[,0)(0,]22yxx ππ=∈-⋃的图象是（）6．若直线l 将圆22240x yx y +--=平分，但不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．1[0,]2B ．[0,1]C ．[0,2]D ．1[,1]27．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 8．设532πθπ<<，且1cos 5θ=，那么sin 2θ的值为（） A ．105B ．105-C ．155-D ．1559．已知函数21,0,()1,0,x f x xx <⎧=⎨+≥⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(21)-AB CDD．(1,21]--10．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为（）A．2B．22C．32 D．42二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清，模凌两可均不得分.11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C 所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.12．若向量a、b满足1b=，且a与b的夹角为3π，则a=，2a b+=___________．13．一个组合体的三视图如图，则其表面积为．14.根据表格中的数据，可以判定方程02=--x ex的一个解所在的区间为)1,(+k k （∈k N ），则k 的值为．x 1- 0 1 23 xe 37.01 72.239.709.202+x1234515．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin()3066f x x x ππωωω⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（本小题满分12分）圆228+=内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角α为x y的弦．（Ⅰ）当135α=时，求AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．18．（本小题满分12分）如图，设矩形()>的周长为4，把它关于AC折ABCD AB AD起来，AB折过去后，交DC与点P．设AB x=，求ADP∆的最大面积及相应的x的值．19．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，（Ⅰ）求证：11//B D 平面1C BD ；（Ⅱ）求证：1A C ⊥平面1C BD ；（Ⅲ）求二面角1B C D C --的余弦值．20．（本小题满分13分）记数列{}na 的前n 项和为11,1,21nn n S aa S +==+且.已知数列{}nb 满足323log nnba -=．（Ⅰ）求{}na 和{}nb 的通项公式；（Ⅱ）设nn nc a b =⋅，求数列}{nc 的前n 项和nT ．21．（本小题满分14分）已知函数)(1)(log12---=x x a ax f a，其中01a a >≠且．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并证明()f x 的单调性；（Ⅲ）当)2,(x -∞∈时，()40f x -<恒成立，求实数a 的取值范围．湖北省武昌区2010-2011学年度高一下学期调研测试试题（数学）参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C ． 7．A 8．C 9．C 10．B ．二、填空题：11．12 127 13．(20213π+ 14.115．4三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()2sin()2sin 2cos .632f x x x x πππωωω⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭…………………………………3分由题意得222ππω=⋅，所以2ω＝. 故()2cos 2f x x=．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()46x f π-的图象. ()()2cos 2()2cos().464623x x x g x f πππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦所以………………………（9分）当2k π≤23x π-≤2k ππ+(k ∈Z), 即4k π＋32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z) ．………………………………（12分）17．解：（Ⅰ）直线AB 的方程为：30x y +-=. ………………………………………………（2分）圆心O 到直线AB 的距离2232211d ==+..…………………………………………………（4分）所以弦AB 的长为23228()142⨯-=.…………………………………………（6分）（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，OP AB ⊥. 由于直线OP 的斜率20210OP K -==-.……………………………………………（8分）所以直线AB 的斜率12AB K =-.…………………………………………………（10分）所以直线AB 的方程为1(1)22y x =--+，即250x y +-=.………………（12分）18．（本小题满分12分）解：如图，因为AB x=，所以2AD x=-.………………（2分）设PC a =，则DP x a =-．由勾股定理，得222(2)()x x a a -+-=．……………………（4分）可得222x x a x-+=.22x DP x a x-=-=.……………………………………（6分）所以ADP ∆的面积212232(2)2x x x S x x x --+-=-=2()3x x=-++.………（8分）0,x >222.x x x x+≥⋅=…………………（10分）2()3S x x∴=-++322≤-当且仅当2x x=时，即当2x =“=”号. 答：当2x =ADP ∆的最大面积为322-……………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵11//,B D BD又1111,BD C BD B D C BD ⊂⊄平面平面，∴11//B D 平面1C BD .……………………………………（2分）（Ⅱ）连结AC ，交BD 于O ，则BD AC ⊥. 又1A A ⊥BD ，1BD A AC ∴⊥平面.11A A AC⊂C 平面，1BD A C ⊥.连结1C O ，在矩形11A C CA 中，设1A C 交1C O于M.A C D BAB CD EO M由11A A OCAC CC=，知11ACA CC O ∠=∠. 11112C OC ACO C OC CC O π∴∠+=∠+∠=，111,.2C MO AC C O π∴∠=∴⊥又110,,,COBD CO C BD BD C BD =⊂⊂平面平面11AC C BD ∴⊥平面. ………………………………………………………………（7分）（Ⅲ）取1DC 的中点E ，连结BE ，CD.1BD BC =，1BE DC ∴⊥.1CD CC =，1CE DC ∴⊥.BEC∠为二面角1B C D C --的平面角.设正方体的棱长为a ，则2CE =.又由112BD BC DC a===，得6BE =.在BEC ∆中，由余弦定理，得2223cos 2BE CE BC BEC BE CE +-∠==⋅.所以所求二面角的余弦值为3.………………………………………………（12分）20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由121n n aS +=+，得()1212nn aS n -=+≥.两式相减，得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥.又21213a S =+=， ∴213aa =.所以{}na 是首项为1，公比为3的等比数列.∴13n na-=. ………………………………………………………………（4分）又()13143log 23log 323123n nn ba n -=+=+=-+=n-1（应改为：()1333log 23log 323123n nn ba n -=+=+=-+=n-1）31n b n ∴=-..………………………(7分)（Ⅱ）由（Ⅰ），得()1313n nc n -=-⨯..…………………………………………(8分) ∴1221215383(34)3(31)3n n nTn n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，……………(9分)2313235383(34)3(31)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，得：2122333333(31)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯165322nn -=--⨯，∴165344nnn T-=+⋅……………………………………………………………(13分) 应改为：2122333333(31)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯565322nn -=--⨯，∴565344nnn T-=+⋅……………………………………………………………(13分)21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令log xtat x a =∴=，.代入，得2()()1tta f t a a a -=--.即2()()(01),1x x af x a a a a x R a -=->≠∈-，且………………………………..（2分）（Ⅱ）当210()1aa f x R a >>-时，，在上是增函数。

高一数学下册知识点调研测试10

向量一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b ==，则AC BA +等于（）A ．aB ．bC ．0 D ．a b +2．已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++的模等于（）A ．0B ．3 C． D ．3．如图所示，D 、E 、F 分别为△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是：（） A ．FD DA FA += B ．0FD DE FE ++=C ．DE DA FB +=D ．DA DE FD +=4．若a b 与均为非零向量，则||||||a b a b +=+是//a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，1A B B C C A ===，则||AB AC -的值为（）A ．0B ．1CD ．2 6．设O 是△ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是△ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 A EC F D二、填空题7．已知向量,a b 满足a b +=且||1b =，则|||a a b ++= 。

8．已知,,a b c 的模分别为1、2、3，则||a b c ++的最大值为 9．CD BC AB ++= 。

10．若向量a b 与的方向相反，且||||a b <，则a b a +与的方向。

三、解答题11．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，且,A O O C O D O B ==。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

12．如图，在重300N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30︒和60︒，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小。

以/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，13．一艘船从A点出发，Array同时河水的流速为2/km h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流速的夹角表示）。

高一数学下学期期末调研考试试题新人教A版及参考答案

第二学期期末调研考试高中数学说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中。

1．已知向量a =),2(x ，b =)4,1(，若a ⊥b ，则实数x 的值为A ．8B ．21C ．21- D ．2- 2．2sin75°cos75°的值为A ．．12- C ．12 D 3．已知a >b ，c >d ，且c 、d 不为0，则下列不等式恒成立的是 A ．dbc a > B ．bd ac > C ．d b c a ->- D ．d b c a +>+ 4．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a ，则}{n a 的前5项和5S = A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135°C ．B ＝45°D ．以上答案都不对 6．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为A ．⎩⎨⎧≥+-≤0422y x y B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤≤042020y x x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤04202y x x yD ． ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤≤042020y x x y7．已知3a =，23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是 A. 30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒ 8．若0>xy ，则对xyy x +说法正确的是 A ．有最大值2- B ．有最小值2 C ．无最大值和最小值 D ．无法确定9．数列{a n }的通项公式n n a n -+=1（*N n ∈），若前n 项的和10=n S ，则项数n 为A ．10B ．11C ．120D ．12110．函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象如下图，则 A ．ω＝4π，ϕ＝4π B ．ω＝4π，ϕ＝45πC ．ω＝2π，ϕ＝4πD ．ω＝3π，ϕ＝6π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学知识点专题练习11 不等式中的恒成立问题探索

x
x
又 x + 1 ≥ 2 x⋅ 1 = 2 （当且仅当 x = 1 ，即 x =1时取等号）
x
x
x
∴
x
+
1 x
−
2 min
=
2
−
2
=
0
即 m 的取值范围为：(− ∞,0]
∴m ≤ 0
18．已知函数 f ( x) = −x2 + ax + b .
（1）若关于 x 的不等式 f (x) > 0 的解集为(−1,3) ，求实数a,b 的值；
1 / 10
故选 A. 4．下列命题中，正确的是( )
A．若 ac > bc ，则 a > b
．若，则 B a > b,c > d a − c > b − d
．若，则 C a > b,c > d ac ≥ bd
D．若 a < b ，则 a < b
【答案】D 【解析】c < 0 时，若 ac > bc ，则 a < b ，排除 A ；
【答案】【解析】不等式
可化为
，
令
，
则对于，不等式
恒成立，等价于
，
因为所以故答案为 .
15．关于的不等式【答案】【解析】由题得因为
恒成立，所以为上的增函数，，解得，
在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________.
，，
所以
.
当且仅当 x=-1 时得到等号.
所以 ≥a -2.
，即
，
①a=0 时，不等式变为
，解得＜1；
②a＞0 时，不等式变为

重庆市2021-2022学年高一下学期学业质量调研数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1.已知公差不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，，则（）A ．16B ．8C ．4D ．22. 甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的条件下，甲､乙同时击中目标的概率为（）A．B．C．D．3. 已知、、是非零实数，则“、、成等比数列”是“”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4. 为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A ，B ，C ，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（）A ．180种B ．240种C ．480种D ．540种5. 某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（）A ．82.5B ．85C ．90D ．92.56. 直线与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切7. 若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（）A．B．C．D．8. 已知函数，则下列选项正确的是（）A ．函数的值域为B．函数的单调减区间为，C ．若关于x 的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D ．若关于x 的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是9. 已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________．10.二项展开式，则______，______.11.设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是______.12. 将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．13.已知直三棱柱中，为正方形，P ，O 分别为，BC 的中点．重庆市2021-2022学年高一下学期学业质量调研数学试题(高频考点版)重庆市2021-2022学年高一下学期学业质量调研数学试题(高频考点版)(1)证明：平面；(2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积．14. 已知是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为．(1)求抛物线焦点坐标及准线方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值．15.在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，是正三角形，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.16. 设为实数，已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求证：是上的增函数；（3）求：当时，的取值范围.。

江苏省宿迁市高一年级11月学情调研数学试卷含答案

宿迁市高一年级11月学情调研试卷数学一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．设集合A={-2，-1,0,1}，B={0,1,2}，则A ∩B= ．2. 已知函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则((1))f f -= ． 3. 已知(1)f x x -=，则(2)f = ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ．5.定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ． 6．函数()812-=x x f 的定义域是 . 7．已知215+=a ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为． 8. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()21f x x x =+-，则当0x <时,()f x = ．9.某班共有40人，其中18人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动， 12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．10. 已知集合[)4,1=A ，()a B ,∞-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．11. 已知二次函数()f x 被x 轴截得的弦长为4，且顶点坐标为（1，4），则函数()f x = ．12. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=2,2,32)(2x a x x x x f x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是．13.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若x ()10f x ->，则实数x 的取值范围是．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，0≤x <1，2x ＋12，x ≥1.若a >b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是．二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写．．．在答题卡上．．．．．) 15.（本小题满分14分）（1）已知全集U={2，a 2+9a +3，6}，A={2，|a +3|}，∁U A={3}，求实数a 的值（2）设全集U={1，2，3，4}，且A ={x | 250x x m -+=,x ∈U}，若U C A ={2，3}，求m 的值．16.（本小题满分14分）设全集U =R ，集合{}|13A x x =-<≤，{}242|3x x B x --=≥3．（1）求B 及A ∩B ；（2）若集合{|20}C x x a =+>，满足B C C =，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分15分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1．（1）当a =-2时，求使f (x )=-1成立的x 的值；（2）若f (1－a )＝f (1＋a )，求实数a 的值．18（本小题满分15分）已知函数()f x x x m =-，x ∈R ，且0)4(=f ．（1）求实数m 的值；（2）作出函数()f x 的图象并直接写出()f x 单调增区间．（3）若函数()f x 的定义域为()b a ,，值域为[]4,0，写出b a ,满足的条件。

2023学年绍兴市高一数学(下)期末调研测试卷附答案详析

2023学年绍兴市高一数学（下）期末调研测试卷全卷满分100分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数12i -的共轭复数是（）A ．12i-B ．12i+C ．12i-+D ．12i--2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（）A ．4B ．CD ．23．十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（）A ．3，17，12B ．5，16，14C ．7，17，14D ．7，17，134．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若//,//m m αβ，则//αβC ．若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n5．已知平面四边形ABCD ，,1,AB BC AB BC CD AD ⊥====，若BD xBC yBA =+，则x y -=（）A ．34B ．1C ．54D ．326．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 4a Bb Ac b -=+，则cos A =（）A ．18-B ．18C ．14-D ．147．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，其中()24,()12,()8n n A n B Ω===，()5,()16n C n A B == ，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件C 互为对立D ．事件A 与事件C 相互独立8．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC =．ACEF 绕AC 旋转，且E ∉平面ABCD ，则（）A ．平面EFB ⊥平面EFD B ．平面ABF ⊥平面ABC C ．平面ABF ⊥平面BCFD ．平面ABF ⊥平面ADF二、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．复数2i +5B ．复数1i z =-的虚部为﹣1C ．若122i,i z z ==，则12z z >D ．若复数12,z z 满足22120z z +=，则120z z ==10．已知一组样本数据123456,,,,,x x x x x x 的标准差0s ≠，其平均数3x x =，则下列数据的标准差与s 不相．．等．的是（）A ．1234562,2,2,2,2,2x x x x x x B ．123456,,,,x x x x x x x x x x x x ------C ．12456,,,,x x x x x D ．1234562,2,2,2,2,2x x x x x x x x x x x x------11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A ．EG GF⊥B ．平面EFG 经过棱AB 的中点HC ．平面EFG 334D ．点D 到平面EFG 3三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12．抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是．13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，||||1a b == ，则向量a 在向量a b +上的投影向量的模为．14．正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,2),(A B (1)求||AB 及向量OA 与OB夹角的大小；(2)若//(2)AB OA tOB +，求实数t 的值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAB 是正三角形，AD ⊥平面PAB ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．(1)证明：//MN 平面PAD ；(2)求四棱锥P ABCD -的体积．17．某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．(1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；(2)求乙工厂频率分布直方图中a ，b 的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；(3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,//,6,4,AB DE AB EF AB BD EF ⊥===3,cos 4EAD EAB EAB ∠=∠∠=．(1)证明：BD ⊥平面ACE ；(2)求点E 到平面ABCD 的距离；(3)求侧面ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值．19．克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O 是凸四边形ABCD 的外接圆，其中CD =．(1)若圆O 的半径为r ，且2CBD ABD ∠=∠，(ⅰ)求ABD ∠的大小；(ⅱ)求AC BD ⋅的取值范围(用r 表示)．(2)若2π5π1,2,,36AD BC ADC ⎡⎤==∠∈⎢⎣⎦，求线段BD 长度的最大值．1．B【分析】根据共轭复数的定义可以求得.【详解】由共轭复数的定义可得，复数12i -的共轭复数为12i +，故选：B.2．C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.【详解】斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图如图所示，根据斜二测画法的原则可知，2O A '=，1O C '=，45CO A '∠= ，所以直观图的面积为sin 4521O A O C ︒''⨯⨯=⨯.故选：C.3．C【分析】根据题意，由极差，众数以及第一四分位数的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得10,12,14,14,15,16,16,17,17,17，则极差为17107-=，众数为17，且001025 2.5⨯=，则第一四分位数为14.故选：C 4．D【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一分析求解．【详解】若//,m n αα⊂，则m 与n 可能平行也可能异面，A 选项错误；若//,//m m αβ，则α与β可能平行也可能相交，B 选项错误；若,m ααβ⊂⊥，则m 可能与β平行，可能与β相交，也可能在β内，C 选项错误；垂直于同一平面的两条直线互相平行，D 选项正确.故选：D.5．B【分析】构建以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求BD xBC yBA =+，1,CD AD ==得到两个关系式，即可x y -=求值；【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，(0,0),(1,0),(1,1),A B C 则(0,1),(1,0),BC BA ==-因为(0,1)(1,0)(,)BD xBC yBA x y y x =+=+-=-，(1,0)(,)(1,),AD AB BD y x y x AD =+=+-=-化简22(1)3y x -+=，即2222y x y+=+(0,1)(,)(,1),1,1CD CB BD y x y x CD =+=-+-=--== 化简得22(1)1y x +-=，即222y x x+=所以222y x +=，即1x y -=,故选：B.6．A【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为1cos cos 4a Bb Ac b -=+，由正弦定理可得1sin cos sin cos sin sin 4A B B A C B -=+，又()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+⎡⎤⎣⎦，所以1sin cos sin cos sin cos cos sin sin 4A B B A A B A B B -=++，即12sin cos sin 4B A B -=，又()0,πB ∈，所以sin 0B >，所以1cos 8A =-.故选：A 7．B【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐一判断即可得解.【详解】对于A ，()16,()12,()8,()4n A B n A n B n A B ===∴= ，所以与事件B 可以同时发生，故A 错；对于B ，()()()()()121()811,,(Ω)242(Ω)2436n A n B P A P B P A P B n n ======∴= ()()41()16,()12,()8,()4,(Ω)246n A B n A B n A n B n A B P AB n ⋂⋃===∴⋂=∴=== ,()()()P A P B P AB ∴=,所以事件A 与事件B 相互独立，故B 正确；对于C ，()()()1()5(Ω)24,()12,()5,,,(Ω)2(Ω)24n A n C n n A n C P A P C n n ===∴==== ()()1P A P C ∴+≠,所以事件A 与事件C 不对立，故C 错误；对于D ，由图可知()0n A C = ，所以()C 0P A =，所以()()()P A P C P AC ∴≠，所以事件A 与事件C 不相互独立，故D 错误；故选：B.8．A【分析】利用旋转体的性质，发现B D 、在平行四边形ACEF 绕AC 旋转得到的旋转体上，从而利用半圆得到线线垂直，再结合旋转轴垂直横截面，即可得到另一个线线垂直，从而可证线面垂直，最后得证.【详解】如图，过D 作直线DM AC ∥，因为矩形ABCD 中，1,AB BC ==．所以2AC =，又平行四边形ACEFACEF 的高为2，又在ABC 中，令D 到AC 高为h ，所以1111212222AC h AD DC h h ⋅=⋅⇒⨯⨯=⨯⨯=所以平行四边形ACEF 绕AC 旋转时，会经过B D 、，形成如图所示半圆 BNM ,由旋转体的性质可知，AC BNM ⊥平面，所以EF BNM ⊥平面,又BN BNM ⊂平面，所以EF BN⊥又在半圆 BNM 中，BM 为直径，所以BN NM ⊥，又EF NM N = ，,EF EFD NM EFD ⊂⊂平面平面，所以BN DEF ⊥平面，又BN EFB ⊂平面，所以EFB EFD ⊥平面平面，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题的关键是平行四边形ACEF 绕AC 旋转时经过B D 、两点，从而可以利用旋转体的性质来解题.9．AB【分析】根据复数模长公式和虚部的定义可以判断A 、B 选项，虚数不能比较大小，可判断C 选项，举反例即可判断D 选项.【详解】对于A 选项，2i +A 正确，对于B 选项，1i z =-的虚部为1-，故B 正确，对于C 选项，因为122i,i z z ==，均为虚数，虚数不能比较大小，故C 错误，对于D 选项，令12i,1z z ==，则22120z z +=，故D 错误，故选：AB.10．ACD【分析】根据方差（标准差）的性质及方差公式一一判断即可.【详解】因为123456,,,,,x x x x x x 的标准差0s ≠，其平均数3x x =，则123456366x x x x x x x x +++=++=，对于A ：数据1234562,2,2,2,2,2x x x x x x 的标准差为2s ，故A 符合题意；对于B ：数据123456,,,,x x x x x x x x x x x x ------的标准差为s ，故B 不符合题意；对于C ：因为()()()()()()2222212345626x x xxx x x x x x x x s -+-+-+-+-+-=()()()()()22222124566x x x x x x x x x x-+-+-+-+-=，又数据12456,,,,x x x x x 的平均数为1245633555x x x x x x x x ++++===，设数据12456,,,,x x x x x 的标准差为1s ，则12456,,,,x x x x x 的方差()()()()()2222212456215x x x x x x x x x xs -+-+-+-+-=，所以221s s >，则1s s >，故C 符合题意；对于D ：数据1234562,2,2,2,2,2x x x x x x x x x x x x ------的标准差为2s ，故D 符合题意；故选：ACD 11．ABD【分析】记M 为11D C 的中点，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，然后说明平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，之后根据正方体的对称性和勾股定理，逐个选项验证即可.【详解】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和F ，G 和N ，H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而1FG BC HM ，故FG HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG MH ，同理有NE MH ，故FG MH NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而222EN FG λλλ==+=，()222151224MN MF EH GH λλλ⎛⎫====-+=-+⎪⎝⎭由于22EN FG HM λ==<，FG MH NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而OE ON =，OF OG =.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH 2λ2，2524λλ-+222225225211322424224λλλλλλλλλ⎛⎫-⋅-+⎛⎫⎛⎫-+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以它们的面积都等于(2211313221222422λλλλλλ⋅+⋅-++-+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+当34λ=时，(732141164S λ⋅=+==C 错误.由于112DO DB ==O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG而当12λ=时，,,,,,E H G F M N 分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而22OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO 所以，点D 到平面EFG 的距离的最大值是32，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于截面六边形的构造，这是利用正方体的对称性的关键.12．14##0.25【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件A ，抛掷两枚质地均匀的骰子，所以可能结果有6636⨯=个，其中事件A 包含的基本事件有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5共9个，所以()91364P A ==.故答案为：1413【分析】计算出a b +=()a ab a b⋅++ 求出答案.【详解】11cos 601122a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=，()222121211132a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= ，故a b += 向量a 在向量a b + 上的投影向量的模为()a ab a b ⋅+=+.故答案为：2141+##1【分析】设出底面边长和高后，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式计算即可.【详解】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM ，则2BM =，PM h =，所以PB =设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则1O ，2O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB△中，222()h R R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCD V a h r ar -==+⨯⨯所以r =，所以22222244h a Rh a a h ah rh ah+++==⋅22=222=22=令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪=令1)t t >，则212(1)R t r t +=-，令1(0)m t m =->，则222111122R m m m r m m++==++≥++，当且仅当12m m=，即m =所以Rr1+.1.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是表示出外接球半径和内切球半径之比后，经过多次换元转化将式子化简，从而得解.15．(1)2AB = ，π,3OA OB = (2)2t =-【分析】（1）先求出AB，然后可求出||AB ，利用向量的夹角公式可求出向量OA 与OB 夹角；（2）求出2OA tOB +的坐标，再利用向量平行的条件列方程求解即可.【详解】（1）因为O为坐标原点，(0,2),(A B ，所以(1)AB =-，(0,2),(OA OB ==，所以2AB ==，1cos ,2OA OB OB OA OB ⋅===，因为,[0,π]OA OB ∈ ，所以π,3OA OB = ，即向量OA 与OB 夹角的大小为π3；（2）因为(0,2),(OA OB ==，所以22(0,2)((,4)OA tOB t t +=+=+，因为//(2)AB OA tOB + ，(1)AB =-，41t+=-，解得2t =-.16．(1)证明见解析【分析】（1）做辅助线构造平行四边形，从而证明线线平行，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）连接PM ，证明PM 垂直于底面，从而确定PM 为锥体的高，再利用体积公式求体积即可.【详解】（1）证明：如图，取PD 的重点Q ，连接AQ ，QN ，因为在PDC △中，Q ，N 分别为的PD ，PC 中点，所以//QN CD ，且12QN CD =，因为在正方形ABCD 中，M 分别为AB 的中点，所以//AM CD ，且12AM CD =,所以四边形AMNQ 是平行四边形，则//MN AQ ，又AQ ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）连接PM ，因为AD ⊥平面PAB ，PM ⊂平面PAB ，所以AD PM ⊥,又因为侧面PAB 是正三角形，M 为AB 的中点，所以PM AB ⊥，且PM =，又因为,AD AB ⊂平面ABCD ，AD AB A ⋂=，所以PM ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ﹣ABCD 的体积是211133V S PM =⋅=⨯⨯正方形ABCD 17．(1)55.5(2)0.035a =，0.01b =，中位数65.71(3)314【分析】（1）结合频率分布直方图，由平均数的公式代入计算，即可得到结果；（2）由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得,a b ，再由中位数的公式代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由分层抽样可得抽取的8个零件中[40，50)个数为4个，再由概率的计算公式，代入计算，即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为350.15450.2550.3650.2750.1850.0555.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70，即()0.020.015100.7a ++⨯=，解得0.035a =，再由频率分布直方图的性质可知()0.0050.0150.0350.020.015101b +++++⨯=，解得0.01b =，因为()0.0050.010.015100.30.5++⨯=<，()0.0050.010.0150.035100.650.5+++⨯=>，所以中位数位于[)60,70之间，设中位数为x ，则()()0.0050.010.01510600.0350.5x ++⨯+-⨯=，解得65.71x ≈.即乙工厂被测零件尺寸的中位数为65.71.（3）由分层抽样可知，甲工厂抽取尺寸在[40，50)为0.0210320.02100.0110⨯⨯=⨯+⨯个，则甲工厂抽取尺寸在[70，80)为321-=个，乙工厂抽取尺寸在[40，50)为0.0110520.01100.01510⨯⨯=⨯+⨯个，则乙工厂抽取尺寸在[80，90)为523-=个，所以抽得的8个零件中[40，50)个数为4个，记为,,,A B C D ，另外4个零件记为a b c d ,,,，设事件E 为抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内，所有情况为()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a A b A c A d ，()()()()()(),,,,,,,,,,,B C B D B a B b B c B d ，()()()()(),,,,,,,,,C D C a C b C c C d ，()()()(),,,,,,,D a D b D c D d ，()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ，共28种，其中满足条件的为()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ，共6种，则()632814P E ==.所以抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率为314.18．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）证明EAB EAD ≅ ，得到EB ED =，进而得到BD EG ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）证明EH ABCD ⊥平面，确定EH 即为所求，勾股定理求出EH 即可.（3）利用面面平行，把所求二面角转化为了平面JKE 与面ADE 所成的角，设交线为m ，然后分别证明,m LE m EH ⊥⊥,从而找到对应的平面角，再求出正切值，即可得解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为,EAB EAD AB AD ∠=∠=,所以EAB EAD ≅ ,所以EB ED =设AC BD G ⋂=,连接EG ，则G 为BD 的中点，BD EG ⊥,又EG AC G ⋂=,所以BD ⊥平面ACE ；（2）过点E 作EH AC ⊥,垂足为H ,因为BD ⊥平面ACE ，EH ⊂平面ACE ，所以BD EH ⊥，又BD AC G ⋂=，所以EH ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ABCD 的距离即为线段EH 的长度.因为DE AB ⊥,EH AB ⊥,所以AB EDH ⊥平面,所以AB DH ⊥，又因为ABD △为正三角形，所以点H 为ABD △的中心.延长DH 交AB 于点I ，则I 为AB 的中点.因为在Rt AEI 中，3,3,cos 4EI AI AI EAB ⊥=∠=,所以4AE =,因为6AH ==所以2EH ===.所以点E 到平面ABCD 的距离为2.（3）过点H 作BC 的平行先分别交AB,CD 于点J,K ，则BJ=CK=4，因为EF =4,//AB EF ,所以,,//,EF BJ EF BJ EF CK EF CK == ,所以四边形EFCK 和四边形EFBJ 均为平行四边形，所以//,//EK CF EJ BF ,所以平面//JKE 平面BCF .过点E 作直线//m JK ,则平面ADE 平面JKE m =,过点H 作HL AD ⊥,垂足为L ,连接LE .因为,HL JK EH JK ⊥⊥,所以JK EHL ⊥平面,所以m EHL ⊥平面,所以,m LE m EH ⊥⊥,所以LEH ∠为二面角A m J --的平面角.因为sin 2HL AH LAH EH =∠==在直角三角形LEH 中，tan HL LEH EH ∠=因为平面//JKE 平面BCF ,所以，侧面ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值为32.19．(1)(ⅰ)π=6ABD ∠，(ⅱ)()223,AC BD r r ⋅∈-【分析】（1）(ⅰ)根据正弦定理和倍角公式即可求得cos ABD ∠，从而得解；(ⅱ)由(ⅰ)结论得出AC 是圆O 的直径，设=BAC α∠，用α表示数量积，再根据α的取值范围，求出数量积的范围；（2）令=ADC θ∠，利用余弦定理和题干中的托勒密定理，用θ表示BD ，再通过换元法，以及函数单调性求出BD 的最大值.【详解】（1）（i ）因为2,2sin sin CD ADr rCBD ABD==∠∠所以sin sin 22cos ,sin sin CD CBD ABDABD AD ABD ABD∠∠===∠∠∠又因为CD ，所以cos ABD ∠，所以π=6ABD ∠，（ii ）因为π=6ABD ∠，所以π=23DAC CBD ABD ∠∠=∠=,所以π=2ABC ∠，所以AC 是圆O 的直径，由（i ）可得,CD AD r =，设=BAC α∠，则=2cos AB r α，所以()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ ()22π2cos22cos cos 14cos 3r r r r r ααα=⋅⋅-⋅⋅=-又π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以()2cos 01α∈，()223,AC BD r r ⋅∈-.（2）设=ADC θ∠，=1AD CD ，所以，由余弦定理得222=2cos AC AD CD AD CD ADC +-⋅∠=13214θθ+-⨯=-,在ABC 中，2,πAC BC ABC θ=∠=-,由余弦定理得222=2cos AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠,代入整理得：2+4cos 0AB AB θθ⋅+=，解得=2cos AB θ-由托勒密定理可知BD AC CD AB BC AD ⋅=⋅+⋅，代入得BD =.t ，222t BD t t t -==-t ∈），设2m t t=-，则BD m =(513m ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦）因为y m =(513⎡+⎢⎢⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当=7m ，即5π=6θ时，BD取得最大值7.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是设=ADC θ∠，然后借助余弦定理和托勒密定理，用θ表示出BD =，看上去很复杂，但是通过两次换元发现，可以简化成BD m =.。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(1)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1. △ABC 中，若 a =1，c =2，B =60∘，则 △ABC 的面积为 ( ) A ． 12B ． 1C ．√32D ． √32. 若书架中放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，则抽出一本书为外文书的概率为 ( ) A ． 15B ． 310C ． 25D ． 123. 若 θ 为两个非零向量的夹角，则 θ 的取值范围为 ( ) A ．(0,π) B ．(0,π] C ．[0,π) D ．[0,π]4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A = { 抽到一等品 }，事件 B = { 抽到二等品 }，事件 C = { 抽到三等品 } ,且已知 P (A )=0.65，P (B )=0.2，P (C )=0.1．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为 ( ) A ．0.7 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.35. 下列关于古典概型的说法中正确的是 ( ) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④若样本点总数为 n ，随机事件 A 包含其中的 k 个样本点，则 P (A )=kn ． A ．②④ B ．③④ C ．①④ D ．①③④6. 给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第 60 百分位数是 ( ) A ． 102 B ． 102.5 C ． 103 D ． 103.57. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据数据能得到的统计结论的编号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④8.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α10.半径为2的球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π二、填空题（共6题）11.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为．12.思考辨析判断正误．( )做100次拋硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是5110013.若空间两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是．14.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，=．z2，则z2z115.平均数：如果n个数x1，x2，⋯，x n，那么x=叫做这n个数的平均数．16.思考辨析判断正误为了更清楚地反映学生在这学期多次考试中数学成绩情况，可以选用折线统计图．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93，45分，最近一次考试成绩只有45分的原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价（90分及90分以上为优秀，75∼90分为良好）？19.类比绝对值∣x−x0∣的几何意义，∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是什么？20.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90∘，PA=AC=2BC．(1) 若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；(2) 若PA与平面ABC所成角的大小为60∘，求二面角C−PB−A的余弦值．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由题得 △ABC 的面积 S =12AB ⋅BC ⋅sin60∘=12×2×1×√32=√32．【知识点】三角形的面积公式2. 【答案】D【解析】在 10 本书中，中文书 5 本，外文书为 3+2=5 本，由古典概型，在其中抽出一本书为外文书的概率为 510，即 12．【知识点】古典概型3. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】D【解析】由题意知事件 A 、 B 、 C 互为互斥事件，记事件 D =“抽到的是二等品或三等品”，则 P (D )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.2+0.1=0.3．【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特征及计算公式可知①③④正确．【知识点】古典概型6. 【答案】D【解析】 5×0.6=3，第 60 百分位数是第三与第四个数的平均数，即103+1042=103.5．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确．【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，故A 错误；频率是由试验的次数决定的，故B 错误；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错误．【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】点 A 在直线 l 上，表示为 A ∈l ，l 在平面 α 内，表示为 l ⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为球的半径为 r =2，所以该球的表面积为 S =4πr 2=16π．【知识点】球的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03．【知识点】频率与概率12. 【答案】 ×【知识点】频率与概率13. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系14. 【答案】 −1−2i【解析】由题意，根据复数的表示可知z1=i，z2=2−i，所以z2z1=2−ii=(2−i)⋅(−i)i⋅(−i)=−1−2i．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义15. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】√【知识点】频率分布直方图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】小明5次考试成绩从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．【知识点】复数的加减运算20. 【答案】(1) 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．又PA⊥PB，PB∩BC=B，所以PA⊥平面PBC，因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC．(2) 如图，过P作PH⊥AC于点H，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH=60∘，不妨设PA=2，所以PH=√3，以 C 为原点，分别以 CA ，CB 所在直线为 x 轴，y 轴，以过 C 点且平行于 PH 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,1,0)，P(1,0,√3)，因此 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)．设 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 PAB 的一个法向量，则 {n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x 1+y 1=0,−x 1+√3z 1=0,令 z 1=√3，可得 n ⃗ =(3,6,√3)，设 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 PBC 的一个法向量，则 {m ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {y 2=0,x 2+√3z 2=0,令 z 2=√3，可得 m ⃗⃗ =(−3,0,√3)，所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=4√3×2√3=−14，易知二面角 C −PB −A 为锐角，所以二面角 C −PB −A 的余弦值为 14．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】(1) 取 PB 的中点 M ，连接 EM ，CM ，过点 C 作 CN ⊥AB ，垂足为 N ，如图所示．因为 CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，所以 CN ∥DA ，又 AB ∥CD ，所以四边形 CDAN 为矩形，所以 CN =AD =8，DC =AN =6．在 Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6，所以 AB =12．因为 E ，M 分别为 PA ，PB 的中点，所以 EM ∥AB 且 EM =6，又 DC ∥AB ，且 CD =6，所以 EM ∥CD 且 EM =CD ，则四边形 CDEM 为平行四边形，所以 DE ∥CM ．因为 CM ⊂平面BPC ，DE ⊄平面BPC ，所以 DE ∥平面BPC ．(2) 存在．理由如下：由题意可得 DA ，DC ，DP 两两互相垂直，故以 D 为原点，DA ，DC ，DP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ．则 D (0,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，所以 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)．假设 AB 上存在一点 F 使 CF ⊥BD ，设点 F 坐标为 (8,t,0)(0≤t ≤12)，则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)，由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0，所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。

浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题含答案

湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a ，b是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A.a b=± B.//a b C.0a b ⋅= D.22a b =【答案】D 【解析】【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则22a b =，故D 正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A 错误；两者不一定共线，故B 错误；两者不一定垂直，故C 错误.故选：D.2.已知复数z 满足(1i)3i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出z ，即可得对应点的坐标得答案．【详解】∵(1i)3i z -=+，∴()()()()3+i 1i 3i 24i12i 1i 1+i 1i 2z +++====+--，则12i z =-∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限．故选：D ．3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则π2πl r =，所以2l r =，所以2lr ==.故选：A.4.设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥B.若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC.若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD.若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，对ABD 找到反例即可，对C 由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A ，若αβ⊥，//m α，//n β，直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对B ，若m α⊂，n β⊂，//m n ，平面,αβ可能相交或平行，故B 错误；对C ：如图，若m αβ= ，//n α，//n β，过直线n 作两个平面,γδ，,t l δαγβ== ，根据线面平行的性质可得可得//,//n t n l ，则//t l ，因为l β⊂，t β⊄，则//t β，又因为t α⊂，m αβ= ，则//t m ，则//m n ，故C 正确；对D ，若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，故D 错误.故选：C .5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数D.中位数<众数<平均数【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（）A.0B.12C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），在DEF 中利用余弦定理运算求解.【详解】取11A B 的中点F ，连接11,,A C EF DF ，因为1AA //1CC ，且11AA CC =，则11AA C C 为平行四边形，可得AC //11A C ，又因为,E F 分别为1111,C D A D 的中点，则EF //11A C ，所以EF //AC ，故异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），设正方体的棱长为2，则DE DF EF ===，在DEF中，由余弦定理222cos 210DE EF DF DEF DE DF +-∠===⋅，所以异面直线DE 与AC所成角的余弦值是10.故选：D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A 处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（）A.284mB.286mC.288mD.290m【答案】C 【解析】【分析】先求出AM ，然后在AMC 中用正弦定理求出MC ，最后求出CD .【详解】因为AMB是等腰直角三角形，所以)m AM ==，在AMC 中，180456075AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知：)sin m sin sin sin 22CM AM AM MACCM MAC MCA MCA⋅∠=⇒==∠∠∠，在CDM V中，()sin 60288m 2CD CM =︒==.故选：C8.已知ABC 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则ab的取值范围是（）A.(0,2)B.C.2)D.2)【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得2A B =，再求得角B 的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦定理得22a b bc -=，得22a b bc =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2222cos b bc b c bc A +=+-，即2cos b c b A =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()πC A B =-+，则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以sin sin cos cos sin B A B A B =-，即sin sin()B A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππ0,022A B <<<<，则ππ22A B -<-<，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以B A B =-，则2A B =，因为ABC 为锐角三角形，π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得π6π4B <<，所以sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B BB b B B B====∈.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.A 与D 是互斥事件B.B 与E 是对立事件C.E C D =⋃D.A C E=⋂【答案】ABC 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 的真假，根据事件的交、并的概念判断CD 的真假.【详解】对A ：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A ：只参加科技游艺活动，与事件D ：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A 正确；对B ：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B 和事件E 满足两个特点，故B 正确；对C ：C D ⋃表示：至多参加一种科普活动，即为事件E ，故C 正确；对D ：C E 表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D 错误.故选：ABC10.若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是（）A.||||||z w z w +=+B.||||z w z w -=-C.||||||z w z w ⋅=⋅D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.【详解】不妨设()()i ,,i ,,z a b a b w c d c d =+∈=+∈R R 且22220,0a b c d +≠+≠．对于A ，()i z w a c b d +=+++，故z w +=，而||||z w +=，故A 错误，对于B ，()i z w a c b d -=---，()i z w a c b d -=---,则z w -=,z w -=故||||z w z w -=-，B 正确，对于C,()()()i i izw a b c d ac bd ad bc =++=-++==，()()i i z w a b c d =++＝，故||||||z w z w ⋅=⋅，因此C 正确．对于D，i ii ia b z a b w c d c d ++===++，i iz a b wc d -==-z zw w =，D 正确．故选：BCD11.如图，一张矩形白纸ABCD ，4AB =，AD =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点N ．现分别将ABE ，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDEB.当A ，C 重合于点P 时，PD⊥平面PFMC.当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24πD.当A ，C 重合于点P 时，四棱锥P BFDE -的体积为3【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B ，利用反证法可以说明B 错误；对于C ，根据题意判断出外接球的球心为DF 的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D ，利用平面PMN ⊥平面BEDF ，可求得四棱锥P BFDE -的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将,ABE CDF △△沿,BE DF 折起，且点,A C 在平面BFDE ，此时A 、M 、N 、C 四点共面，平面ABE ⋂平面AMNC AM =，平面CDF ⋂平面AMNC CN =，当平面//ABE 平面CDF ，//AM CN ，由题意得：AM CN =，所以四边形AMNC 是平行四边形，所以//AC MN ，又因为AC ⊄平面BEDF ，MN ⊂平面BEDF ，所以//AC 平面BFDE ，故A正确；因为tan tan 2CAD ABE ∠=∠=，所以CAD ABE ∠=∠，则可得90AME ∠=︒，即BE AC ⊥，同理可得DF AC ⊥，当,A C 重合于点P 时，如上图，在PME △中，cos cosPM PB MPE PBE PE BE ∠==∠==，又因为PE =，所以433PM =，因为2MN AC AM CN =--=-=MN CN =，所以MDC △为等腰三角形，即4MD CD ==，4PD =，222PD PM MD +≠，故PD 和PM 不垂直，则PD 不垂直于平面PFM ，故B 错误；在三棱锥P DEF -中，DEF ，DPF 均为直角三角形，所以DF 为外接球直径，则外接球半径2DFR ==，则三棱锥P DEF -外接球表面积为24π24πR =，故C 正确.,,DF PN DF MN PN MN N ⊥⊥= ，,PN MN ⊂平面PMN ，所以DF ⊥平面PMN ，又因为DF ⊂平面BEDF ，所以平面BEDF ⊥平面PMN ，平面BEDF 平面PMN MN =，过点P 作PG MN ⊥，因为PMN 的等边三角形，所以可得2PG =，由面面垂直性质定理可知PG ⊥平面BEDF ，即PG 为四棱锥P BEDF -的高，所以1116222333P BEDF BEDF V S -=⨯⨯=⨯⨯=，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A 和事件B 相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，则()P AB =__________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】∵事件A 与事件B 相互独立，则A 与事件B 也相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，∴131()()()1248P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭故答案为：18．13.已知向量(4,3)a = ，(2,4)b = ，则b 在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】b 在a 方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭.故答案为：1612,55⎛⎫⎪⎝⎭14.已知四面体A BCD -中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60︒，且4BC =，3AD =，120ACD ∠=︒，则四面体A BCD -体积的最大值是__________．【答案】32【解析】【分析】作出辅助线，找到60EDA ∠=︒，求出EDA S = ，由正弦定理得到点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED的距离最大，且最大距离为2，从而求出三棱锥C AED -的体积最大值为32，由C AED A ECD A BCD V V V ---==得到答案.【详解】在平面BCD 内，分别过,B D 作,CD BC 的平行线交于点E ，连接AE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则4ED BC ==，60EDA ∠=︒，则11sin 34sin 6022EDA S AD ED EDA =⋅∠=⨯⨯︒= 在ACD 中，3AD =，120ACD ∠=︒，由正弦定理得2sin 32AD RACD ===∠，其中R 为ACD的外接圆半径，解得R =则点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，作CF ⊥AD ，垂足为F ，如图1，则当F 为AD 的中点，即AC CD =时，CF 最大，此时1322AF DF AD ===，如图2所示，此时333tan 30232CF AF =︒=⨯=，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED 的距离最大，且最大距离为2，连接CE ，此时三棱锥C AED -的体积最大，最大为13322⨯⨯=，而C AED A ECD A BCD V V V ---==，故四面体A BCD -的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛，将四面体A BCD -补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A =“第一次摸到红球”，事件B =“第二次摸到红球”．（1）求()P A 和()P B 的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．【答案】（1）2()5P A =，2()5P B =（2）910【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件A 和B 包含的样本点，即可求解；（2）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，第一次摸到红球的可能结果有8种，即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以82()205P A ==．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以82()205P B ==．【小问2详解】事件AB =“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，则两次摸到都是红球的概率21()2010P AB ==，故两次摸到的不都是红球的概率()()19111010P A B P AB +=-=-=．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得1cos 2A =，则得到A 的大小；（2）利用三角形面积公式得4bc =，再结合余弦定理得b c +的值，则得到其周长.【小问1详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】因为ABC 的面积为所以112a ⨯=，得a =.由1sin 2bc A =122bc ⨯=所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，化简得2()312b c bc +=+，所以2()24b c +=，即b c +=，所以ABC 的周长为a b c ++=.17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按[)50,60，[)60,70，…，[]90,100依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x 的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．【答案】（1）0.01x =（2）平均值为：79.5，第60百分位数为85（3）82615【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；（3）应用分层方差公式计算求解.【小问1详解】由题意得(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=，所以0.01x =；【小问2详解】参与测试学生的成绩平均值：10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．第60百分位数为0.60.458010850.750.45-+⨯=-；【小问3详解】设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为3x ，4x ，5x ，23s ，24s ，25s ，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数7548569358515x ⨯+⨯+⨯==，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差()()()2222222334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2224655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦82615=18.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC 所成角的正弦值为3．若球O 与三棱台111ABC A B C -内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ；（2）求二面角1B BC A --的正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积和球O 的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台1111ABCD A B C D -的体积为6，球O 的表面积为2π3．【解析】【分析】（1）只需证明AC BD ⊥和AC EF ⊥即可；（2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，把三棱台111ABC A B C -的内切球转化为三棱锥-P ABC 的内切球问题.【小问1详解】设11A C 与11B D 、AC 与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．在等腰梯形11A C CA 中，因为E ，F 为底边中点，所以AC EF ⊥，又EF 与BD 相交，,BD EF ⊂平面11B D DB ，所以AC ⊥平面11B D DB ．【小问2详解】由（1）可知平面ABCD ⊥平面11B D DB ，又平面ABCD ⋂平面11B D DB BD =，过点1B 作1B H BD ⊥于H ，则1B H ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1B H BC ⊥，再作HG BC ⊥于G ，又因为1B H HG H = ，1,B H HG ⊂平面1B HG ，所以BC ⊥平面1B HG ，因为1B G ⊂平面1B HG ，所以1B G BC ⊥，则1B GH ∠是二面角1B BC A --的平面角．因为1B H ⊥平面ABCD ，故1B BH ∠是侧棱1BB 与底面ABC所成角，所以1sin 3B BH ∠=．在1Rt B BH △，111sin 3B H BB B BH =∠=，11cos 3BH BB B BH =∠=，在Rt BGH △，sin 306GH BH =︒=，在1Rt B GH，11tan 6B H B GH GH ∠==．因此二面角1B BC A --的正切值为【小问3详解】将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，由题意可知三棱台111ABC A B C -为正三棱台，所以三棱锥-P ABC 为正三棱锥，因此三棱台111ABC A B C -和三棱锥-P ABC 的内切球为同一个球，设1O ，2O 是111A B C △和ABC 的中心，由（2）易知在160B BG ︒∠=，所以三棱锥-P ABC 为正四面体，所以2122r PO =，因此平面1111D C B A 是四棱锥P ABCD -的中截面，则2AB =，111A B =，故四棱台1111ABCD A B C D -的体积121133326V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯=⨯⨯+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦．球O的表面积为2224π4ππ63S r ⎛=== ⎝⎭．19.已知函数1()()f x x x a x=---，R a ∈．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）已知点()1,2A x ，()2,2B x 是函数()f x 图象上的两个动点，且满足210x x >>，求123x x a -+的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(1)-∞-，(0,1)（2）1a =-或01a <<（3）(,5)-∞【解析】【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，得出a 的范围，把,A B 两点坐标代入函数得12,x x 与a 的关系式，借助关系式用1x 来表示123x x a -+，即121111111323212x x a x x x x x ⎛⎫-+=--++ ⎪⎝⎭-，构造函数11111111()23212h x x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭-，分析函数单调性可得值域，即123x x a -+的取值范围.【小问1详解】()()[)[)()()1,1,01,112,,10,1a x x f x x x a x x a x x ⎧-+∈-⋃+∞⎪⎪=---=⎨⎪-++∈-∞-⋃⎪⎩，则()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)-∞-，(0,1)．【小问2详解】函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增，故()f x 在(,0)-∞的最小值为(1)1f a -=+，同理，()f x 在(0,)+∞的最小值为(1)1f a =-，故结合图象可得，函数()f x 有两个零点时需满足(1)120f a a -=+=⎧⎨<⎩解得：1a =-．或(1)10(1)100f a f a a -=+>⎧⎪=-<⎨⎪>⎩解得：01a <<．综上所述：1a =-或01a <<．【小问3详解】由题意得：2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，则23a <<．且()()1112212212f x x a x f x a x ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，则11212212a x x x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，因为2a >，101x <<，所以21111121220x a x x x --=-=>，故21112x <<．所以1121111121111111111132235223212212x x x a x x x x x x a x x x x x ⎛⎫-+=-++=-+-=--++ ⎪--⎝⎭-．又11122(0,1)x a x -=-∈，故()1111111212g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-单调递增，所以()1121111111323212h x a x x x x x x x ⎛⎫=+-=--++ ⎪⎝⎭-单调递增，故()1(1)5h x h <=．因此123x x a -+的取值范围为(,5)-∞．【点睛】方法点睛：要求123x x a -+的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：+增增=增，+减减=减，增-减=增，减-增=减；。

2021年高一下学期第二次学情调研数学试题含答案

2021年高一下学期第二次学情调研数学试题含答案一、填空题：（每小题5分，共14题，合计70分）1. 直线互相垂直，则的值为__________.2.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．3.已知等比数列{an}中，若,则__________4.已知数列{an }中，a1= 1，3an+1= 3an+ 2，则an为__________.5.直线被曲线截得的弦长等于 .6.直线必过定点，该定点为 .7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．8. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax+ by= 1与圆O的位置关系是 .9. ．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于1，且∠BAC=30°，M、N分别在AC和AD上，则BM+MN+NB的最小值为10.设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.求数列{|a n|}的前n项和T n＝_______11.a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.⑤a⊥M，bM,若b∥M，则b⊥a其中正确命题的序号是．12.已知数列满足,的前项的和，则S xx=13.已知圆和过原点的直线的交点为则的值为_______14设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是________(只填序号)．①d<0；②a7＝0；③S9>S5；④S6与S7均为S n的最大值二、解答题：（第15、16、17题每题14分，第18、19、20题每题16分，合计70分）15. 已知直线，（１）若直线过点(3,2)且，求直线的方程；（２）若直线过与直线的交点，且，求直线的方程．16如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.17.设数列满足：，，．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求．18. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D点在平面ABC内的射影落在AB上.（1）证明：AD⊥平面DBC；（2）求三棱锥D-ABC的体积.；（3）若在四面体D-ABC内有一球，当球的体积最大时，球的半径是多少？19.如图，在平面直角坐标系中，点，直线。

高一数学下学期期中调研测试试题含解析试题

2021-2021学年高一数学下学期期中调研测试试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。

【详解】，故此题选B。

【点睛】此题考察了诱导公式，特殊角的三角函数，属于根底题.，，向量与一共线，那么实数的值是〔〕A. B. C. -3 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量一共线的充要条件，可直接求解。

【详解】因为向量与一共线，所以有，故此题选C。

【点睛】此题考察了一共线向量的坐标表示，意在考察学生的计算才能，较为根底。

是〔〕A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的奇函数【答案】A【解析】【分析】运用公式，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性的定义进展判断即可。

【详解】，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此此题选A。

【点睛】此题考察了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进展判断是解题的关键。

中，〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的几何意义及一共线向量的概念进展化简。

【详解】，故此题选B。

【点睛】此题考察了向量加法的几何意义及一共线向量的概念，意在考察学生的计算、推理才能。

的图象关于点对称，那么可以是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把点代入解析式，求出的表达式，结合选项，选出答案。

【详解】因为函数的图象关于点对称，所以有，令，故此题选C。

【点睛】此题考察了正弦型函数的对称性，解题的关键是利用整体代入，考察学生分析、解决问题的才能。

，，那么与垂直的向量是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出的坐标表示，然后分别与四个选项里面的向量作数量积运算，结果为零，就符合题意。

5728高一数学第二学期期末调研测试

高一数学第二学期期末调研测试高一数学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．在空间直角坐标系中，线段A B 的端点坐标为A (1，0，2)，B (1，－4，4)，则线段AB 的中点坐标为 ▲ ．2．与直线270x y ++=垂直的一条直线的斜率k = ▲ ．3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 ▲ ．4．直线x －y －5＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0所截得的弦的长为 ▲ ．5．对于相异三条直线l、m、n和相异两个平面α、β，给出下列四个命题：①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中真命题的序号是▲ ．6．在数列{a n}中，若对n∈N*，总有a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，则a12＋a22＋…＋a n2= ▲ ．7．设M为平面内以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－2，2)三点为顶点的三角形及其内部，当点(x, y) 在区域M上运动时，4x－y的最小值是▲ ．8．设△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，且a＝4，b＝，A＝30，则B= ▲ ．9．设等差数列{}n a中，a8=2000，a2000=8，则a2008= ▲ ．10．设m≠0，则圆2222220x y mx my m+-+-=与圆22286160x y mx my m+--+=的位置关系是▲ ．(请填写“内含”、“内切”、“相交”、“外切”、“外离”之一)11．设0x≥，则当x= ▲ 时，函数(2)(3)1x xyx++=+取得最小值．12．若△ABC的三个内角A，B，C成等比数列，则B的取值范围是▲ ．13．在△ABC中，如果sin:sin:sin:(1):(2)A B C n n n=++，其中n*∈N，那么cos C的最小值等于▲ ．14．一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f(P), 那么d的最大值是▲ ．ABCDA 1B 1C 1D 1二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证： (1)平面B 1AC //平面DC 1A 1; (2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.16．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，BC =20，DC =40, 105,60,150ABC BCD ADC ︒︒︒∠=∠=∠=．求: (1)AB ;(2)四边形ABCD 的面积．17．(本小题满分15分)已知无穷等差数列{a n }的前三项依次为11，14，17． (1)该数列有多少项在区间[100, 200]上？并求这些项的和； (2)设82na nb -=，S n 为{b n }的前n 项和，试比较S n 与1的大小．18．(本小题满分15分)过点Q (2,-作圆C ：x 2＋y 2＝r 2(0r >)的切线，切点为D ，且QD ＝4．(1)求r 的值；(2)设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+，求OM 的最小值(O 为坐标原点).ABCDADBC19．(本小题满分16分)设函数f (x )的定义域和值域均为[)0,+∞，且对任意x ∈[)0,+∞列．又正项数列1{},3,n a a =中其前n 项和S n 满足*1()().n n S f S n +=∈N (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)133,n na a +的等比中项，求数列{b n }前n 项的和T n .20．(本小题满分16分)已知梯形ABCD , AB ∥CD , AB =a , CD =b , a >b ．现给出端点在两腰上、且与两底边平行的三条线段PQ 、RS 、MN ：①线段PQ 是梯形的中位线；②线段RS 将梯形的面积等分；③线段MN 将梯形分成相似的两个梯形．(1)在图中大致作出三条线段PQ 、RS 、MN ，并由此得出三条线段的大小关系是 ▲ ； (2)证明你的结论；(3)另有一条端点在两腰上、且与两底边平行的线段，其长度为1112a b +，请你给出该线段的特征，并证明它与(1)中的三条线段比较，长度最小.高一数学参考答案及评分标准200807一、填空题1．(1，－2，3) 2. 2 3. π 4.5. ①②6. 413n - 7. －10 8. 60或1209. 0 10. 外切 11. 1 12. (π0,3⎤⎥⎦13. 14- 14. 5二、解答题15．(1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以，A 1C 1//AC ，而A 1C 1⊄平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ，所以A 1C 1//平面B 1AC . …………3分同理，A 1D //平面B 1AC . …………5分因为 A 1C 1、A 1D ⊂平面DC 1A 1，A 1C 1A 1D ＝A 1，所以平面B 1AC //平面DC 1A 1. …………7分 (2) 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以B 1B ⊥平面ABCD ， …………9分而AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥B 1B . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 因为B 1B 、BD ⊂平面B 1BDD 1，B 1BBD ＝B ，所以AC ⊥平面B 1BDD 1. …………12分因为AC ⊂平面B 1AC ，故有平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1. …………14分16．(1) 连结BD ，因为105,60,150ABC C ADC ︒︒︒∠=∠=∠=，所以3601056015045A ︒∠=---=， …………2分在BCD ∆中,2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ 2212040220401200=+-⨯⨯⨯=，于是BD = …………5分因为222BD BC CD +=，所以90CBD ︒∠=，从而1059015,1804515120ABD BDA ∠=-=∠=--=. …………7分在ABD ∆中, sin sin AB BDADB A=∠∠所以sin sin BD ADB AB A ∠===∠ …………10分(2)因为6sin15sin(4530)-=-= 所以四边形ABCD 的面积S ABCD =S △DBC + S △DBA=112022⨯⨯⨯=. …………14分17. 已知等差数列11，14，17，…的通项公式为()113138n a n n =+-=+. …………3分(1)由10038200n ≤+≤，得3164n ≤≤，又n ∈N *, 所以该数列在[100，200]上有34项. …………6分其和()31643417(101200)51172n a a S +==+=． …………9分(2)因为38n a n =+，所以()8312.2na nn b -== …………11分对任意的正整数n ,112n n b b +=，且112b =，于是{}n b 是首项和公比均为12的等比数列. …………13分所以()()1112211 1.121nnn S ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<- …………15分18．(1) 圆C ：x 2＋y 2＝r 2(0r >)的圆心为O (0，0)，于是()222225,QO =-+=由题设知，QDO ∆是以D 为直角顶点的直角三角形，故有 3.r OD == …………5分 (2) 设P (x 0，y 0)(000,0x y >>)，则22009x y +=，且直线l 的方程为009x x y y +=. …………7分令y ＝0，得x ＝09x ，即09,0A x ⎛⎫⎪⎝⎭，AMDCN P Q RS令x ＝0，得y ＝09y ，即090,B y ⎛⎫⎪⎝⎭.于是OM OA OB =+00009999,00,,x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………10分因为000,0x y >>, 且22009x y +=，所以2200009.22x y x y +≤= …………12分所以0027276,92OM x y ⎛=≥= …………14分当且仅当00x y =时取“＝”号.故当P ⎝⎭时，OM 取得最小值6. …………15分19．(1)0)x ≥2= 于是2().f x =…………2分因为*1()(),nn S f S n=∈N ＋所以21()n n S f S +==，故…………6分因为113,(1S a n ==-，所以2*3().n S n n =∈N …………8分所以*13,(1),3,(1),63(),(2,)63,(2,)n n n n n a n n SS n n n n n -==⎧⎧===-∈⎨⎨-≥∈-≥∈⎩⎩N N N . …………10分 (2)133,n n a a +的等比中项，所以2133,n n a a +=⋅ …………12分于是()191111.(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-+⨯--+ …………14分故()()()121111111.2335212121n n n T b b b n n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=+++=-+-++-=-++ …………16分20．(1)如图(只要求三条线段的顺序关系正确). …………2分三条线段的大小关系是 MN <PQ <RS； …………4分 (2)中位线PQ =2a b +. …………5分由于梯形ABNM 与梯形MNCD 相似，所以DC MN MN AB =，即MN …………7分设RS =x ，梯形ABCD 的高=h ，则梯形RSCD 的高=x b h a b --，则1()()2x b x b h a b h a b -+=+-，AED C FO解之，RS…………9分2a b +；又()2222()0224a b a b a b-++-=>，所以2a b +故MN <PQ <RS ． …………12分(3)设梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，则端点在两腰上、且与两底边平行并过点O 的线段长为111a b +.如图，设EF 为上述线段，由三角形相似可得 EO DO DO b ===，于是ab EO =. 同理可得ab OF a b =+，从而2ab EF a b==+1112a b +. …………14分因为11a b +≥EF=1112a b <=+MN ，而MN <PQ <RS ，故该线段与(1)中的三条线段比较，长度最小. …………16分。

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