高中数学复习典型题专题训练54---点到平面的距离问题

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点到平面的距离高中数学高考立体几何

求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。

事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。

说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。

其中θ是指二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。

值得指出的是：θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。

其优点在于应用它并不．强求．．作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。

这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。

还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有mdarcsin =θ；若所求二面角为钝二面角，则md arcsin-=πθ 下面举例说明该公式在解题中的应用。

例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。

第（1）问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。

点到面的距离专题

测试题一、选择题 (每小题6分，共36分)1．平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( ) A.3 B.334 C.32 D.33【解析】 cos ∠POM ＝cos ∠POH ·cos ∠MOH ，∴22＝32cos ∠POH . ∴cos ∠POH ＝23. ∴sin ∠POH ＝13， ∴PH ＝PO ·sin ∠POH ＝3×13＝ 3. 【答案】 A2．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A ．a B.22a C.33a D.3a 【解析】作PH ⊥平面ABC 于H ，连结CH 并延长，交AB 于D ，连结PD ，由PH ·CD ＝PC ·PD ，求得PH ＝33a . 【答案】 C3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.2λ3D.55【解析】 A 1B 1∥面D 1EF ，∴G 到面D 1EF 的距离为A 1到面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt △A 1D 1E 中，A 1H＝A 1D 1·A 1E D 1E ＝1×121＋⎝⎛⎭⎫122＝55. 【答案】 D4．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为( )A.a 2B.22aC.32aD.62a 【解析】当P 、Q 为中点时，PQ 为AB 和CD 的公垂线，此时最短，求出得PQ ＝22a . 【答案】 B5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3【解析】由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，经计算BB ′＝2a ，A ′B ＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中得A ′B ′＝a ，∴AB ∶A ′B ′＝2∶1.【答案】 A6．已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A 、B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( )A ．b ≤c ≤aB ．a ≤c ≤bC ．c ≤a ≤bD ．c ≤b ≤a【解析】如图：α∥β，考虑m ，n 异面时，m 和n 的距离等于α、β间距离，点A 到n 的距离可以如下作出：过A 作AO ⊥面β于O ，过O 作OC ⊥n 于C ，则AC 为A 点到直线n 的距离，显然，此时c ≤b ≤a ，故选D.【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．如图所示，在正三棱柱ABC —A1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．【解析】如图所示，在△ABC 中，AB ＝1，则AB 边上的高CD 长度为32，∠C 1DC ＝60°.∴CC 1＝32，C 1D ＝ 3.在△CDC 1中，CO ⊥C 1D ，由图可知CO 为面ABC 1的垂线，∴由等面积法可得12C 1D ·CO ＝12CD ·CC 1. ∴CO ＝34. 【答案】 348．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M为AC 边上的一个动点，则PM 的最小值为________．【解析】作CH ⊥AB 交AB 于H ，连结PH .∵PC ⊥平面ABC ，∴PH ⊥AB ，则当点M 在H 处时，PH 最小． ∵AC ＝8cos 60°＝4，∴CH ＝4sin 60°＝23，∴PH ＝CH 2＋PC 2＝27，即PM 的最小值27.【答案】 279．(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于________．【解析】如图所示，取BD 中点E ，连接AE 、CE .∵△ABD 、△BCD 均为等腰三角形，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∴BD ⊥平面AEC .∴∠AEC 为二面角A —BD —C 的平面角，∴∠AEC ＝120°.在平面AEC 内过A 作CE 的垂线AH ，垂足为H ，则H 在CE 的延长线上．∵BD ⊥平面AEC .∴BD ⊥AH .又AH ⊥CE ，∴AH ⊥平面BCD .∵∠BAD ＝120°，∴∠BAE ＝60°，∴cos ∠BAE ＝AE AB，∴AE ＝1. 又∠AEH ＝60°，∴AH ＝32. 【答案】32三、解答题 (10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结A 1D ，DC ，A 1C .(1)求证：BC 1∥面A 1DC ；(2)求BC 1到面A 1DC 的距离．【解析】 (1)证明：如图所示，连结AC 1交A 1C 于E ，连结DE ，则DE ∥BC 1，而DE ⊂平面A 1DC ，∴BC 1∥平面A 1DC .(2)∵BC 1∥平面A 1DC ，∴BC 1上任一点到平面A 1DC 的距离等于BC 1到平面A 1DC 的距离．∴求C 1到平面A 1DC 的距离即可．∵平面A 1DC 过线段AC 1中点，∴A 到平面A 1DC 的距离等于C 1到平面A 1DC 的距离．由题意知CD ⊥AB ，CD ⊥AA 1，∴CD ⊥面ABB 1A 1.过A 作平面A 1DC 的垂线，垂足H 在A 1D 上．在Rt △A 1AD 中，A 1A ·AD ＝A 1D ·AH ，∴AH ＝A 1A ·AD A 1D ＝a ·12a a 2＋14a 2＝55a ，即BC 1到平面A 1DC 的距离为55a . 11．如图，已知ABCD 是矩形，AB ＝a ，AD ＝b ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2c ，Q 是P A 的中点，连结QB 、QD ，BD .求：(1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离．【解析】 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足，连接QE ，∵QA ⊥面ABCD ，由三垂线定理，得QE ⊥BD ，∴QE 的长为Q 到BD 的距离．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，∴AE ＝aba 2＋b 2.在Rt △QAE 中，QA ＝12P A ＝c ， ∴QE ＝QA 2＋AE 2＝c 2＋a 2b 2a 2＋b 2. ∴Q 到BD 的距离为c 2＋a 2b 2a 2＋b 2. (2)∵平面BQD 经过P A 的中点Q ，∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BDQ 的距离．在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足．∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥面AQE .∴BD ⊥AH ，∴AH ⊥面BQE ，即AH 为A 到面BQE 的距离．在Rt △AQE 中，∵AQ ＝c ，AE ＝ab a 2＋b 2， ∴AH ＝abc(a 2＋b 2)c 2＋a 2b 2.∴P 到面BQD 的距离为abc(a 2＋b 2)c 2＋a 2b 2.12．(2008年北京高考)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求二面角B －AP －C 的大小；(3)求点C 到平面APB 的距离．【解析】 (1)证明：如图(1)所示，取AB 中点D ，连结PD ，CD .∵AP ＝BP ，∴PD ⊥AB .∵AC ＝BC ，∴CD ⊥AB .∵PD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥AB .(2)∵AC ＝BC ，AP ＝BP ，PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC .又PC ⊥AC ，∴PC ⊥BC .又∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ，且AC ∩PC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC .如图(2)所示，取AP 中点E ，连结BE ，CE .∵AB ＝BP ，∴BE ⊥AP .∵EC 是BE 在平面P AC 内的射影，∴CE ⊥AP .∴∠BEC 是二面角B —AP —C 的平面角．在△BCE 中，∠BCE ＝90°，BC ＝2，BE ＝32AB ＝6， ∴sin ∠BEC ＝BC BE ＝63. ∴二面角B —AP —C 的大小为arcsin63. (3)由(1)知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD .如图(3)所示，过C 作CH ⊥PD ，垂足为H .∵平面APB ∩平面PCD ＝PD ，∴CH ⊥平面APB .∴CH 的长即为点C 到平面APB 的距离．由(1)知PC ⊥AB ，又PC ⊥AC ，且AB ∩AC ＝A ，∴PC ⊥平面ABC .∵CD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥CD .在Rt △PCD 中，CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， ∴PC ＝PD 2－CD 2＝2.∴CH ＝PC ·CD PD ＝233.∴点C 到平面APB 的距离为233.。

点到平面的距离习题

点到平面的距离习题1.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，13AB BC AD a ===，PA ⊥平面ABCD ，且PA a =，点F 在AD 上，且CF PC ⊥．(1)求点A 到平面PCF 的距离；(2)求AD 到平面PBC 的距离．2如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CC 1丄底面ABC ，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点．(1) 证明：BF//平面A 1DE ，(2) 若AC =BC =CC 1=2，求点F 到平面A 1DE 的距离．3如图，将直角边长为√2的等腰直角三角形ABC ，沿斜边上的高AD 翻折，使二面角B −AD −C 的大小为π3，翻折后BC 的中点为M ．(Ⅰ)证明：BC ⊥平面ADM ；(Ⅱ)求点D 到平面ABC 的距离．4如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD =2，DC =BC =1，AB =2，AB//DC ，∠BCD =90°．(I)求证：AD ⊥PB ；(2)求A 点到平面BPC 的距离．5如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，ΔPAD 是直角三角形，且PA =AD =2，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点．(1)求证：面EFG ⊥面PAB ；(2)求异面直线EG 与BD 所成的角的余弦值；(3)求点A 到面EFG 的距离．1．(1)63a；(2)22a.2. (1)证明：略（2）点F到平面A1DE的距离为2√55．3. (Ⅰ)证明：略(Ⅱ)解：设点D到平面ABC的距离为d，由题意得V A−BCD=V D−ABC，由已知得∠BDC=π3，则BC=1，AB=√2，AM=√72，∵V A−BCD=13×√34×1=√312，∴V D−ABC=13×√74×d=√312，∴d=√217．4.解：(1)如图所示：，在四边形ABCD中，连接BD，由DC=BC=1，AB=2，∠BCD=∠ABC=π2，在△ABD中，BD=AD=√2，又AB=2，因此AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又BD∩PD=D，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB；(2)在四棱锥P−ABCD中，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，而BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∴S△BPC=12×BC×PC=√52，而S△ABC=12×AB×BC=1，，设点A到平面PBC的距离为ℎ，由V A−BPC=V P−ABC可得：13×S△BPC×ℎ=13×S△ABC×PD，∴ℎ=1×2√52=4√55，即点A到平面PBC的距离为4√55．5 (1)证明：∵ABCD为正方形，ΔPAD是直角三角形，且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA又AB⋂PA=A，∴AD⊥面PAB．∵E、F分别是线段PA、PD的中点，∴EF/AD，∴EF⊥面PAB．又EF⊂面EFG，∴面EFG⊥面PAB．(2)解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM//BD，∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角．在RtΔMAE中，EM=√EA2+AM2=√6，同理EG=√6，又GM=12BD=√2，∴在ΔMGE中，(3)解：取AB中点H，连接GH，HE，则GH//AD//EF，∴E、F、G、H四点共面，过点A作AT⊥HE于T，∵面EFGH⊥面PAB，∴AT⊥平面EFGH，∴AT就是点A到平面EFG的距离．在RtΔAEH中，AE=AH=1，∴AT=AE⋅AHEH =√2=√22，故点A到平面EFG的距离为√22．。

解析几何中的点到平面的距离计算问题

解析几何中的点到平面的距离计算问题在解析几何中，点到平面的距离计算问题是一个重要的概念。

它涉及到从一个给定的点到一个平面的最短距离。

这个问题在实际应用中有广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学和工程学等领域。

首先，我们来看一下点到平面的距离的定义。

对于给定的平面A和一个点P，点P到平面A的距离可以定义为从点P到平面A的最短距离。

换句话说，这个距离是垂直于平面A的线段的长度，该线段的起点是点P，终点是平面A上的一个点。

为了计算点到平面的距离，我们需要了解平面的一般方程。

一个平面可以用方程Ax + By + Cz + D = 0来表示。

其中，A、B和C是平面的法向量的分量，D是平面的常数项。

假设我们要计算点P(x0, y0, z0)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离。

我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 计算平面的法向量：平面的法向量可以通过平面的系数A、B和C来计算。

法向量的分量为(A, B, C)。

2. 计算点P到平面的投影点：我们需要计算点P在平面上的投影点Q。

投影点Q可以通过点P沿着平面的法向量的方向移动一段距离来获得。

我们可以使用向量计算的方法来计算投影点Q。

首先，我们可以将向量PQ表示为PQ = (x0 - x, y0 - y, z0 - z)，其中(x, y, z)是平面上的点。

然后，我们可以将向量PQ与平面的法向量进行点积运算，得到投影点Q在平面上的坐标。

3. 计算点P到平面的距离：点P到平面的距离就是点P到投影点Q的距离。

我们可以使用向量计算的方法来计算这个距离。

距离可以通过向量PQ的模长来计算，即distance = |PQ| = √((x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2)。

这个算法可以应用于二维和三维空间中的平面。

对于二维空间中的平面，可以简化为计算点到直线的距离。

对于三维空间中的平面，需要考虑点到面的距离。

在实际应用中，点到平面的距离计算问题经常用于计算两个物体之间的距离。

点到平面的距离公式高中数学

点到平面的距离公式高中数学点到平面的距离公式高中数学点到平面的距离公式是高中数学中比较重要的一部分。

理解和掌握这个公式，对于在几何学、三角学、微积分和物理学等学科中处理问题都有很大的帮助。

下面，我们将详细介绍一下点到平面的距离公式。

一、点到平面的直线距离在介绍点到平面的距离公式之前，我们先来了解一下点到平面的直线距离公式。

如果在平面上给定一个点P和一条直线L，P到L的距离可以表示成为P到L所在直线的距离，也可以表示成为P到L所在直线上的点Q的距离。

根据勾股定理，可以得到点P到直线L的距离公式为：d(P, L) = |ax0 + by0 + c|/√(a² + b²)其中，a、b、c分别为直线L的一般式的系数，即ax + by + c = 0，(x0, y0)为点P的坐标。

二、点到平面的距离公式像上面提到的点到直线距离公式一样，点到平面距离公式也可以表示为点P到平面所在直线的距离或者点P到平面上某一个点的距离。

根据勾股定理，可以得到点P到平面Ax + By + C + D = 0的距离公式为：d(P,平面) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)其中，(x0, y0, z0)为点P的坐标，A、B、C和D分别为一般式的系数，即Ax + By + Cz + D = 0。

三、点到平面的距离应用点到平面的距离公式广泛应用于几何学、三角学、微积分和物理学等多个学科领域。

在几何学中，通过点到平面的距离公式，可以计算出曲线在某一点的切线方程，进而得到曲线的切线和法线。

在三角学中，点到平面的距离公式被用于计算图形的面积和体积，例如棱锥的体积、圆锥的体积、球台的体积等等。

在物理学中，点到平面距离公式被广泛应用于力学、电学和光学等学科中，例如计算电势和磁场强度、阴影的投影长度、磁场和电场的力线等等。

综上所述，点到平面的距离公式是高中数学中比较重要的一部分，它不仅能够帮助我们解决各种问题，而且还可以扩展到多个学科领域。

《点到平面的距离》进阶练习(二)

《点到平面的距离》进阶练习一．选择题1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）A．a B． a C． a D． a2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC到平面A1B1C1D1的距离为（）A． B． C．1 D．23．正三角形ABC边长为2，平面ABC外一点P，PA=PB=PC=，则P到平面ABC的距离为（）A． B． C． D．二．填空题4.已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，平面ABC外一点P到三个顶点A、B、C的距离均为14，则P到平面ABC的距离为．5．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点D到平面ACD1的距离．参考答案1.C2.C3.C4.75.解析1．【分析】本题考查点、线、面间的距离计算，正确分析题目的条件，找出几何体中的直线与平面之间的关系，即可获得解题思路．利用几何体的特征是本题的关键．取A1C的中点O，连接AO．说明A1O等于A到平面ABC的距离，直接求解即可．【解答】解：如图所示，取A1C的中点O，连接AO．∵AC=AA1，∴AO⊥A1C．又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A1A⊥平面ABC．又∵，∠ACB=90°∴BC⊥AC，∴BC⊥AO．因此AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得A1O=a．故选C.2．【分析】本题考查空间几何体的距离的求法，正方体的特征以及直线与平面的距离，基本知识的考查．直接利用直线与平面平行，结合正方体的特征写出结果即可．【解答】解：因为几何体是正方体，直线AC在底面ABCD上，所以直线AC∥平面A1B1C1D1，直线AC到平面A1B1C1D1的距离为正方体的棱长：1．故选C．3．【分析】解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，本题考查三垂线定理，以及点、线、面间的距离，解决距离问题的关键是根据题意找到所求的线段，考查学生计算能力，逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．结合题意画出图形，再过P作底面ABC的垂线，垂足为O，所以得到PO就是P到平面ABC的距离，然后连接CO并延长交AB于E，进而利用解三角形的有关知识求出PO得到答案．【解答】解：如图所示，由题意可得：过P作底面ABC的垂线，垂足为O，所以PO就是P到平面ABC的距离，再连接CO并延长交AB于E，因为P为边长为2的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=，所以O是三角形ABC的中心，并且有CE⊥AB，所以根据三垂线定理可得：PE⊥AB，因为正三角形ABC边长为2，所以CO=，又因为PC=，所以PO=．故选C．4．【分析】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知条件利用余弦定理求出a=21，由正弦定理，求出△ABC外接圆半径R=7，由此能求出点P到平面ABC的距离．【解答】解：由已知得c=9，b=15，A=120°，a2=b2+c2﹣2bccosA=92+152﹣2×9×15×（﹣）=212，即a=21，由正弦定理，△ABC外接圆半径R=×==7，∵P到A，B，C的距离均为14，∴P在底面ABC上的射影是△ABC的外心，设为O，PO==7．即点P到平面ABC的距离为7．故答案为7．5．【分析】本题主要考查了点面的距离的计算．常采用等体积法来解决．先求得V D1﹣ADC，进而求得AD1，AC，CD1，进而求得△ACD1的面积，最后利用等体积法求得答案．【解答】解：依题意知DD1⊥平面ADC，则V D1﹣ADC=•DD1•S△ADC=×1××1×1=，AD1==，AC==，CD1==，∴AD1=AC=CD1，∴S△ACD1=××=，设D到平面ACD1的距离为d，则V D﹣ACD1=•d•S△ACD1=•d•=V D1﹣ADC=，∴d=．故答案为．。

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

点到平面的距离公式推导在实际问题中的应用

点到平面的距离公式推导在实际问题中的应用在几何学中，我们常常遇到计算点到平面的距离的问题。

点到平面的距离公式是一种推导方法，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将探讨点到平面的距离公式的推导过程，并介绍其在实际问题中的应用。

一、点到平面的距离公式推导要推导点到平面的距离公式，我们首先需要明确几个关键概念。

假设平面上有一个点P(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

我们的目标是求点P到平面的距离。

1. 求平面上的任意一点Q(x2, y2, z2)为了推导点到平面的距离公式，我们需要选取平面上的任意一点Q(x2, y2, z2)。

为了方便计算，我们可以选取平面上的某一定点，比如直角坐标系中的原点O(0, 0, 0)。

这样，我们可以假设点Q为O，即Q(0, 0, 0)。

2. 计算点P和Q之间的距离点P和Q之间的距离可以使用三维空间中的欧几里得距离公式计算。

根据欧几里得距离公式，点P和Q之间的距离d可以表示为：d = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2)由于我们选取的点Q为O(0, 0, 0)，所以该公式可以简化为：d = √(x1^2 + y1^2 + z1^2)3. 将点P的坐标代入平面方程将点P的坐标代入平面方程Ax + By + Cz + D = 0，得到：Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0由于平面上的任意一点Q(0, 0, 0)都满足平面方程，所以上式成立。

4. 代入平面方程中的常数D由于平面方程中的常数项D为任意常数，我们可以根据实际情况，将平面方程中的D消去。

假设D为-p，则上式可以变形为：Ax1 + By1 + Cz1 = p根据点到平面的距离定义，点P到平面的距离等于点P在垂直于平面的方向上的投影长度。

我们可以将平面的法向量记为N(A, B, C)，即N = (A, B, C)。

点到平面的距离问题.

全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）一侧，则MBC 的重心到平面a 的距离为的距离.如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD , DAB =90：' , AD =a , PD 丄面 ABCD , P D =a ,求点D 到平面PAB 的距离.【例11典例分析已知线段AB 在平面a 外，A 、B 两点到平面a 的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面a 的距离为（ A . 1 B . 2 C. 1 或 2 D . 0 或 1 【例21MBC 的三个顶点A , B , C 到平面a 的距离分别为2,3,4，且它们在平面a 的同【例31 如图，正方体 ABCD -ABQP 的棱长为1 , E 是AB F 的中点.求E 到平面ABC 1 D 1【例41如图，在正三棱柱 ABC -ARG 中，AB=1，若二面角 C-AB-G 的大小为60 ,（2007湖北文5）在棱长为1的正方体PD-^AB 中，E 、F 分别为棱AA 、BB F 的中点，G 为棱AB i 上的一点，且 AG =A （0<1），则点G 到平面D I EF 的距离为（）A 飞B •返C •邑2 3【例5】【例6】求点C 到面ABC I 的距离.【例7】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体 ABCD — ABQD ’中, 棱A i B i 上的一点，且A 1G 厂血 A. 5/3 B.——E 、F 分别为棱AA,、BB i 的中点，G 为 = A （0<1 ），则点G 到平面D I EF 的距离为（） 3 C. CC lB（2007江苏i 4）正三棱锥P _ ABC 高为2，侧棱与底面所成角为 45。

，则点A 到侧面PBC如图，已知P 为 MBC 外一点， ⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直， ⑵若PA =PB =PC ，求证：0为MBC 的外心.⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC =a ,求P 点到平面 ABC 的距离.如右图，是一个边长为 a 的正方体 ABCD -A i BiGD i ,⑴求证：AC i 丄平面ABD ； ⑵求A 点到平面 A BD 的距离.已知长方体 ABCD —ABiGD i 中，棱AB=AD=1，棱隔=2 .⑴求点A 到平面AB i D i 的距离.【例8】【例9】四棱锥P PD =a , -ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，且 NBCD=60i , PD 丄平面ABCD ,E 到平面PCD 的距离.的距离是【例10】PO 丄平面ABC ，垂足为0 , 求证： 0为MBC 的垂心；【例11】【例i2】 E 是PA 中点.求点 C⑵连结A i B ，过点A 作A i B 的垂线交BB i 于E ，交AB 于F .① 求证：BD i 丄平面EAC ；② 求点D 到平面ABD i 的距离.1。

高中数学点到平面的距离问题练习

高中数学点到平面的距离问题练习【例1】已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧，则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例4】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=o ，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D到平面PAB 的距离．HACBDP【例5】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60o ，求点C 到面1ABC的距离.EDC 1B 1A 1CBA【例6】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（） ABCDAA 1【例7】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（） ABCD ABCDE【例8】（2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是．【例9】四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【例10】如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例11】如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例12】已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．。

高二数学点到平面的距离

例3
【思路点拨】因为直线A1B1 ∥平面ABE，所以A1B1 到平面ABE的距离等于点A1 到平面ABE的距离，从而转化为点到平面的距离求解．
【解】如图，以D为原点，分别以DA、DC、 DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则 A1(1,0,2)、A(1,0,0)、E(0， 3，1)、C(0， 3， 0)，过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F，易得 BF＝ 3， ∴B(1,2 3，0)， → → ∴A B ＝(0,2 3，0)，B E ＝(－1，－ 3，1)．设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， n· →＝0， AB 2 3y＝0，则由得－x－ 3y＋z＝0， n· →＝0， BE
(1)在直线 l 上取一点 A，同时确定直线 l 的方向 n 向量 n，并求 n0＝ . |n| → (2)计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量|AP|. → → (3)计算AP在 n0 上的投影AP·0. n →2 → 2 (4)由公式 d＝ |AP| －|AP·0| 求距离． n
AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1 到直线GF的距离．
空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线
距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来
求解．
→
→
【名师点评】利用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量．
求线面距和面面距
若直线a∥平面α，则直线a上的任意一点到平面
的距离都相等；若平面α∥平面β，则平面α上任
意一点到平面β的距离也都相等．因此直线到平
面的距离以及两平行平面间的距离都可转化为点
到平面的距离解决．

高考数学中的点到平面距离及相关题型分析

高考数学中的点到平面距离及相关题型分析高考数学中，经常会涉及到点距离问题。

其中，点到平面的距离是考生经常会遇到的难点之一。

本文将通过对点到平面距离问题的分析，探讨其相关的解题方法和技巧。

一、点到平面距离的定义点到平面距离是指从一个点到平面的垂线段的长度，也可以说是平面上距离这个点最近的点与这个点之间的距离。

在数学中，我们可以通过向量的知识来求解点到平面距离，具体来说，就是利用点和平面的法向量进行计算。

这个距离的计算公式可以用以下方式表示：$$d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}$$其中，$d$表示点到平面的距离，$\vec{AP}$表示从点$A$到平面$P$的向量，$\vec{n}$表示平面$P$的法向量。

二、点到平面距离的求解方法在具体的题目中，我们通常需要对点到平面距离进行求解。

以下是几种常见的求解方法：1. 利用向量求解点到平面距离在利用向量求解点到平面距离时，我们需要将点的坐标表示为向量形式，同时将平面表示为一个点和法向量的形式。

具体的求解方式可以按照以下几个步骤进行：(1)计算法向量对于平面的法向量，我们可以采取以下两种方式进行计算：(a)已知平面上的三个点$A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$和$C(x_3,y_3,z_3)$，则平面的法向量可以通过以下方式计算：$$\vec{n}=(\vec{AB}\times\vec{AC})/||\vec{AB}\times\vec{AC}|| $$其中，$\times$表示向量的叉乘，$||\vec{AB}\times\vec{AC}||$表示向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模。

(b)若平面的解析式为$ax+by+cz+d=0$，则平面的法向量可以用以下方式表示：$$\vec{n}=(a,b,c)$$(2)计算点到平面的距离通过上述方式可以得到平面的法向量和点的向量，接下来，我们根据上文提出的公式，即可将点到平面的距离计算出来。

[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何

[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离是指特定的点到指定的平面之间的距离。

它在高中数学、高考、立体几何中有非常重要的知识点。

在几何中，点到平面的距离的理解是：从平面到点的法向量的模，即为点到平面的距离。

所谓法向量，是一个与该平面法方向一致，并且与平面全相切的向量，因此，求点到平面的距离，就是求法向量的模。

根据向量的性质，可以把点到平面的距离表示为点到平面法向量点积的绝对值。

设A(x1, y1,z1)是给定点，表示该点在三维坐标系中的位置，n=(a,b,c)是平面Ax+By+Cz-D=0的法向量，那么，点A到平面Ax+By+Cz-D=0的距离就是|Ax1+By1+Cz1-D|/√(a2+b2+c2)另外，从立体几何的角度来看，点到平面的距离是有关立体角度定理的。

给定一个平面∏，并设P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)两点坐标，其实际距离就是|PQ|=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2]。

如果将点P和点Q的坐标分别投影到平面∏上，形成两个投影点P′(x1,y1)和Q′(x2,y2)，点P到平面∏的距离就是将点P投影到平面∏上的距离，即|P′P|=√[(x1-x1′)2+(y1-y1′)2]；点Q到平面∏的距离就是将点Q投影到平面∏上的距离，即|Q′Q|=√[(x2-x2′)2+(y2-y2′)2]。

同时，根据立体角度定理可以得出：|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=[(x1-x1′)2+(y1-y1′)2]+[(x2-x2′)2+(y2-y2′)2]。

利用上面的结果可以求出点到平面的距离，即|P′P|和|Q′Q|。

由点到平面的距离这一概念，可以进一步解决众多实际问题，如：求空间两点最短连线是什么；空间直线和平面的位置关系；求直线和平面的最短距离等。

总而言之，点到平面的距离是高中数学、高考、立体几何等领域中非常重要且常见的概念，它熟悉掌握可以为很多问题的解决提供有力的理论支撑。

高考数学复习空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.学生版

【例1】已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧，则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．OEA 1D C 1B 1DCA【例4】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D到平面PAB 的距离．HACBDP【例5】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 典例分析板块一.点到平面的距离问题的距离.EDC 1B 1A 1CBA【例6】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（） AB．2C．3DAA 1【例7】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（） ABCD ABCE【例8】（2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是．【例9】四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【例10】如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例11】如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例12】已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．H OAC DA1B1C1D1①求证：1BD⊥平面EAC；②求点D到平面11A BD的距离．。

点到平面的距离及其应用

点到平面的距离及其应用在我们的日常生活中，点到平面的距离是很常见的一个概念。

无论是在建筑设计、数学或者物理等领域，点到平面的距离都被广泛地应用。

具体而言，点到平面的距离是指一个点到一个平面的最短距离。

接下来，我将从几个方面来介绍点到平面的距离及其应用。

一、点到平面的距离的计算方法点到平面的距离可以通过向量的知识进行计算。

设点P(x1,y1,z1)在平面Ax+By+Cz+D=0上，其到该平面的距离为d，则有公式：d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²)其中，A、B、C为平面的法向量，D为平面的截距。

在计算过程中需要将法向量化为单位向量，并注意正负号。

例如，对于平面2x + 3y + 4z = 10和点P(1,-1,2)，可以先求出该平面的法向量为 (2,3,4)，然后将其化为单位向量：√(2²+3²+4²) = √29，故单位法向量为(2/√29,3/√29,4/√29)。

代入公式，可得d=|2(1)+3(-1)+4(2)-10|/√29=3/√29。

二、点到平面的应用1.建筑设计在建筑设计中，点到平面的距离往往被用来计算建筑中线距离、水平间距、垂直间距等。

例如，在设计天花板和地面之间的吊顶时，根据建筑平面，可通过点到平面的距离计算吊顶的高度，以达到美观和安全的要求。

此外，在石材拼接时，也需要考虑石板与墙面的距离，用点到平面的距离计算能够有效避免石材与墙面的缝隙不均匀。

2.物理学在物理学中，点到平面的距离常常用于计算距离类问题。

例如，在分析磁场分布时，可以将磁场看作平面，通过点到平面的距离计算磁场点的距离，描绘出磁场强度随距离的变化规律。

此外，在计算机图形学中，也需要用到点到平面的距离，用于实现几何建模和计算机视觉等。

3.数学研究此外，在数学的研究中，点到平面的距离也有很多应用。

例如，在解析几何中，对于平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以通过点到平面的距离计算确定平面过点的切平面方程。

[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何

[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。

点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。

平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。

是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。

点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。

2、点与平面的离差是什么。

3、点到平面的离差怎么算。

4、点到平面的离差的计算公式。

1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。

2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。

3.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

4.在数学中，绝对值或模数|x|的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正)，|0|=0。

5.例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。

6.数字的绝对值可以被认为是和零的距离。

立体几何必考知识汇总一空间几何体结构1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

点到平面的距离计算测试题(含答案)

点到平面的距离计算一、单选题(共9道，每道11分)1.正四面体的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离2.在正方体中，，则点A到平面的距离为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离3.如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离4.如图，在三棱锥中，底面，，，为的中点，，则点到平面的距离为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离5.如图，在正三棱柱中，，则点C到平面的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离6.如图，三棱锥的侧棱两两垂直，且，，则点O到平面的距离为( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离7.如图，在四面体中，E为BC中点，，，则点E到平面ACD的距离为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离8.如图，在正三棱柱中，若，D是的中点，则点到平面的距离为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离9.如图，已知四边形ABCD是正方形，平面．分别是的中点，若点到平面的距离为，则点到平面的距离为( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离。

平面几何间的距离(高中全部8种方法详细例题)

平面几何间的距离(高中全部8种方法详细例题)1. 垂线段法（点P到直线AB的距离）已知直线AB上有一点P，求点P到直线AB的距离。

例题：已知直线AB的方程为2x + 3y = 6，点P(1, 2)，求点P到直线AB的距离。

解法：1. 写出点P到直线AB的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)2. 将直线AB的方程转化为一般式：Ax + By + C = 02x + 3y - 6 = 03. 代入P的坐标(1, 2)和直线AB的系数A, B, C：d = |2*1 + 3*2 - 6| / √(2^2 + 3^2)= |2 + 6 - 6| / √13= 2/√132. 点到直线的距离公式（点P到直线AB的距离）已知直线AB的斜截式方程为y = kx + b，求点P到直线AB的距离。

例题：已知直线AB的斜截式方程为y = 2x + 3，点P(-1, 4)，求点P 到直线AB的距离。

解法：1. 写出点P到直线AB的距离公式：d = |kx0 - y0 + b| / √(k^2 + 1)2. 将直线AB的斜截式方程转化为一般式：kx - y + b = 02x - y + 3 = 03. 代入P的坐标(-1, 4)和直线AB的斜率k, 截距b：d = |2*(-1) - 4 + 3| / √(2^2 + 1)= |-2 - 4 + 3| / √5= 3/√53. 点到平面的距离公式（点P到平面ABC的距离）已知平面ABC的标准方程为Ax + By + Cz + D = 0，求点P到平面ABC的距离。

例题：已知平面ABC的标准方程为2x + 3y + 4z - 10 = 0，点P(1, 2, 3)，求点P到平面ABC的距离。

解法：1. 写出点P到平面ABC的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)2. 代入P的坐标(1, 2, 3)和平面ABC的系数A, B, C, D：d = |2*1 + 3*2 + 4*3 - 10| / √(2^2 + 3^2 + 4^2)= |-1| / √29= 1/√294. 点到点的距离公式（点P到点Q的距离）已知点P(x1, y1)和点Q(x2, y2)，求点P到点Q的距离。

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