2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课堂导学案 新人教B版选修1-1
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-1)教师用书：第2章 圆锥曲线与方程 2-3-1
2.3 抛物线
2．3.1抛物线及其标准方程
1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)
2．了解抛物线的实际应用．(难点)
)
3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点
[基础·初探]
教材整理抛物线的定义与标准方程
阅读教材P57～P58例1以上部分，完成下列问题．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程
四种不同标准形式的抛物线方程
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(4)抛物线可看作双曲线的一支．( )
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________
解惑：______________________________________________________
疑问2：_____________________________________________________
解惑：______________________________________________________
疑问3：_____________________________________________________
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．准线方程为y ＝23
的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2
＝83
y B ．x 2
＝－83
y C ．y 2＝－83x
D ．y 2
＝83
x
解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43
.故所求抛物线的标准方程为x 2
＝－83
y .
答案：B
2．已知抛物线y －2 016x 2
＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝
⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝
⎛
⎭
⎪⎫
0，
18 064 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫0，
1504 解析：抛物线的标准方程为x 2
＝12 016y ，故其焦点为(0，1
8 064
)． 答案：C
3．抛物线y ＝12x 2
上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.
148 D.1
24
解析：将方程化为标准形式是x 2
＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为1
48
. 答案：C
4．一动圆的圆心在抛物线y 2
＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)
D ．(0，4)
解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2
＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B
5．抛物线y 2
＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)方法一：∵双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0，b>0)，则ba＝12.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
4
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：渐近线方程为 y＝±32x，变形得3y±2x＝0， 由渐近线方程的推导过程可设双曲线的方程为x42－y92＝ λ(λ≠0)，
当 λ>0 时，由 2 4λ＝6，解得 λ＝94. 此时，所求双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1；
2019_2020学年高中数学第2讲参数方程2圆锥曲线的参数方程课件新人教A版
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程 非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适 用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
2．如图，设 P 为等轴双曲线 x2－y2＝1 上的一点，F1、F2 是两 个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
)
A．x2＋y42＝1
B．x2＋y22＝1
C．y2＋x42＝1
D．y2＋x42＝1
[解析] 易知 cos θ＝x，sin θ＝2y，
∴x2＋y42＝1，故选 A.
[答案] A
2．方程xyc＝osbcθo＝s aθ， (θ 为参数，ab≠0)表示的曲线是(
)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
[答案] (1,0)
4．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xy＝ ＝t1＋－12，t (t 为参数)
与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ， θ
(θ 为参数，a>0)有一个公共点在 x 轴上，
则 a＝________.
[解析] ∵xy＝ ＝t1＋－12，t， 消去参数 t 得 2x＋y－3＝0.
普通方程
参数方程
ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0)
抛物线的简单几何性质-高中数学ppt课件
就可以求出| AB | . 9
解
由题意可知,
p
2,
p 2
1,
y A
A`
焦点F1,0,准线l : x 1.如
OF
图2.3 4,设Ax1, y1 , Bx2, y2 , B` B
x
A, B到准线l的距离分别为dA, dB.
由抛物线的定义可知
图2.3 4
| AF | dA x1 1,| BF | dB x2 1.
于是,当-1<k<1/2 ,且k≠0时, 方程(П)有2个解 从而方程组(І)有2个解. 这时,直线l与抛物线有2个公共点.
17
③由△<0,即 2k2+k-1>0
解得
k<-1或k>1/2
于是,当k<-1或k>1/2时, 方程(П) 没有实数解, 从而方程组(І) 没有解. 这时,直线l与抛物线没有公共点.
y 轴的右侧,开口方向与x轴正向相同;当x 值增大时,| y | 也增大,这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸.
2 对称性
以 y 代 y,方程 1 不变,所以这条抛物线
关于 x 轴对称.我们把抛物线的对称轴叫
做 抛物线的轴.
4
3 顶点 y2 2 px p 0 1
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线
的顶点 .在方程 1中,当y 0 时, x 0, 因 此 抛 物 线1 的 顶 点 就 是 坐 标 原 点.
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末归纳总结课件北师大选修11
(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1， wk.baidu.com圆心到直线 l 的距离 d＝2|m5|，
由
d<1
得|m|<
5 2.
(*)
∴|CD|＝2 1－d2＝2
1－45m2＝
2 5
5－4m2.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝－12x＋m， 由x42＋y32＝1，
得 x2－mx＋m2－3＝0，
在△ABC 中，C(－4,0)，B(4,0)，动点 A 满足 sinB －sinC＝12sinA，求点 A 的轨迹方程．
[分析] 由已知条件 sinB－sinC＝12sinA，可以考虑利用正 弦定理转化为三角形边的关系，再根据双曲线的定义即可写出 点 A 的轨迹方程．
[解析] 在△ABC 中，由 sinB－sinC＝21sinA 及正弦定理， 得|AC|－|AB|＝12|BC|，
[方法规律总结] 求轨迹方程时，如果能够准确把握一些 曲线的定义，先判断曲线类别再求方程，往往对解题起到事半 功倍的效果.
直线与圆锥曲线的位置关系
(2014·陕西文，20)已知椭圆 ax22＋by22＝1(a>b>0)经过点(0， 3)，离心率 为12，左右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．
已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程．
2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质素养课件新人教A版选
(2)当焦点在 x 轴上时，由ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求双曲线方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时，由ba＝23且 a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为y92－x42＝1.
(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22 －y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双 曲线的标准方程为y22－x42＝1.
【解题探究】根据双曲线的几何性质求标准方程． 【解析】(1)设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)． 由题知 2b＝12，ac＝54.又 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
与弦长、中点有关的问题，常联立直线与曲线的方程，利 用根与系数的关系求解．在解题时，要注意灵活转化．
3．直线 l 在双曲线x32－y22＝1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求直线 l 在 y 轴上的截距 m.
【解析】直线 l 的方程为 y＝2x＋m， y＝2x＋m，
由x32－y22＝1， 得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线 l 与 双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－56m，
代入双曲线方程，得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72<0， ∴A，B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－27， ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|＝ 2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 2· －22－4×－72＝6.
2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.1抛物线及其标准方程课件北师大版
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图②所示,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2 3.
因为2 3 >2,所以点B在抛物线内部,过点B作BQ垂直于准线,垂足 为Q,交抛物线于点P1,连接P1F.
此时,由抛物线的定义知,|P1Q|=|P1F|. 所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4, 即|PB|+|PF|的最小值为4.
解析:∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线.
答案:A
12345
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点 的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 解析:如图所示,抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,PE垂 直于准线且垂足为E,由抛物线的定义知,|PF|=|PE|=4+2=6.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
抛物线定义的应用
【例1】 (1)过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的圆的圆心的轨迹是
()
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
(2)设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB的中点,
若|AB|=6,则M到直线x=-1的距离为
2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程讲义苏教版
2.4.1 抛物线的标准方程
1．抛物线的标准方程
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或
y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线y 2
＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)
D ．(－4,0)
B [抛物线y 2
＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p
2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]
2．抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
C [由y 2
＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.] 3．抛物线x ＝4y 2
的准线方程是( ) A ．y ＝12
B ．y ＝－1
C ．x ＝－1
16
D ．x ＝18
C [由x ＝4y 2得y 2
＝14x ，故准线方程为x ＝－116
.]
4．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．
x 2＝－12y [∵p
2
＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .]
【例1】 ． (2)若抛物线的方程为y ＝ax 2
(a ≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0 x ＝－38 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14a y ＝－14a [(1)抛物线2y 2－3x ＝0的标准方程是y 2
＝
32x ，
∴2p ＝32，p ＝34，p 2＝3
(浙江专版)2019-2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1
2.4.2 抛物线的简单几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一抛物线的简单几何性质
思考观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
答案(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有
⎩⎪
⎨
⎪⎧2px＝y2≥0，
p>0，
所以x≥0.
梳理四种形式的抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0) 图形
范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴
焦点坐标F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，
p
2
F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，－
p
2准线方程x＝－
p
2
x＝
p
2
y＝－
p
2
y＝
p
2顶点坐标O(0,0)
离心率e＝1
通径长
2p
直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2
＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，
y 2
＝2px 解
的个数，即二次方程k 2x 2
＋2(kb －p )x ＋b 2
2019-2020年人教B版数学选修4-4讲义：第2章+2.3 圆锥曲线的参数方程及答案
2.3 圆锥曲线的参数方程 2.
3.1 椭圆的参数方程 2.3.2 抛物线的参数方程 2.3.3 双曲线的参数方程
学习目标：1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点)
1．椭圆的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a cos t y ＝b sin t
， 0≤t ≤2π.
(2)若椭圆的中心不在原点而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝x 0＋a cos t y ＝y 0＋b sin t
， 0≤t ≤2π. 2．双曲线的参数方程
双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a sec θy ＝b tan θ.
3．抛物线的参数方程
抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩
⎨⎧
x ＝2pt 2
y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．
思考1：椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？
[提示] 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ
y ＝b sin φ
(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )
的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．
思考2：双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ [提示] sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3
2π.
思考3：类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？ [提示] ⎩⎪⎨⎪⎧
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)
2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1的全部内容。
2.3。2 双曲线的几何性质
学习目标1。了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。2。理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。3。掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．
知识点一双曲线的性质
标准方程
错误!－错误!＝1
(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1（－a，0),A2
（a,0）
顶点坐标：A1(0，－a），A2
（0，a)
渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x
离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!
a，b,c间的关
系
c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）
(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1
2.4.2 抛物线的几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一抛物线的范围
思考观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，
y∈__________.
抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，
y∈__________.
抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，
y∈__________.
抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，
y∈__________.
知识点二四种形式的抛物线的几何性质
标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形
范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴
焦点F(p
2
，0)F(－
p
2
，0)F(0，
p
2
)F(0，－
p
2
)
准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
y ＝－p 2
y ＝p 2
顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1
通径长 2p
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2
＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，
y 2
＝2px
解
的个数，即二次方程k 2x 2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1_1
2．3 抛物线
2.3.1抛物线及其标准方程
内
容标准学科素养
1.理解并掌握抛物线的定义．
2.理解并掌握抛物线的标准方程．
3.掌握求抛物线标准方程的方法．
4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.
发展逻辑推理提高数学运算能力
授课提示：对应学生用书第39页
[基础认识] 知识点一抛物线的定义
预习教材
P56－57，思考并完成以下问题
我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？
提示：可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．
知识梳理抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
知识点二抛物线的标准方程
知识梳理抛物线标准方程的几种形式
图形标准方程焦点坐标准线方程
y 2
＝2px (p >0)
⎝⎛⎭
⎫p 2，0 x ＝－p 2
y 2＝－2px (p >0)
⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2
x 2＝2py (p >0)
⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2
x 2＝－2py (p >0)
⎝⎛⎭⎫0，－p 2
y ＝p
2
1．若动点P 到点(3,0)的距离和它到直线x ＝－3的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．双曲线
高中数学第二章圆锥曲线与方程2
④离心率 抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离之 比，叫做抛物线的________，用 e 表示，由定义可知，e ＝1.
7/85
(2)注意三个结论 ①抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴， 一条准线，没有中心． ②抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点 P(x0，y0)的焦半 径为 x0＋p2. ③过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条 弦，称为抛物线的通径，通径长为 2p.
30/85
变式训练2 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点
在 y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
31/85
[解析] 如右图所示，设正 三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛 物线上，且坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，则 y21＝2px1，y22＝2px2， 又因为|OA|＝|OB|，所以 x21＋y21 ＝x22＋y22，即 x12－x22＋2px1－ 2px2＝0.
33/85
题型三
中点弦问题
【例 3】 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰 被 Q 平分，求 AB 所在直线的方程．
[分析] 中点弦问题用点差法或设直线方程，代入 抛物线方程，利用韦达定理解决．
34/85
[解析] 方法一：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
2019年人教版 高中数学【选修 2-1】第二章 圆锥曲线与方程章末总结word版含答案
2019 年编·人教版高中数学
章末总结
知识点一 圆锥曲线的定义和性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重 要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总 之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F 1，F 2 为左、右焦点，P 为双曲线上 一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝12 3，求双曲线的标准方程．
知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点， 二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是 一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲 线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两
个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情
况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 )，反映在消元后的方程上，该方程 是一次的．
例 2
如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y 2＝2x 于 M(x 1， y 1)，N(x 2，y 2)两点． (1)求 x 1x 2 与 y 1y 2 的值； (2)求证：OM ⊥ON.
知识点三 轨迹问题
轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的
几何性质课堂导学案 新人教B 版选修1-1
三点剖析
一、利用抛物线定义求最值
【例1】 在抛物线x 2=8y 上求一点P ，使得P 点到焦点的距离与P 点到定点A (1，3)的距离
之和最小，并求出这个最小距离.
解析：过A 作直线l 与准线垂直交于点A ′，与抛物线交于点P ，则P 点即为所求. 将P (1，y )代入x 2=8y 中，则y =81，于是点P 的坐标为(1,8
1)，且最小距离d =5. 温馨提示
此题解法中将点P 到焦点F 与点A 的最小距离，转化为线段AA ′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.
二、焦点弦问题
【例2】 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.
思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.
解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点.
∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1，0)，
∴直线方程为y =k (x -1).
由,4)1(2⎩⎨⎧=-=x
y x k y 整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.
∴x 1+x 2=2242k
k +. ∴｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜
=x 1+x 2+2=2
242k k ++2. 又｜AB ｜=36，∴2242k
k ++2=36, 解得k 2=81,即k =±4
2.
∴所求直线方程为y =42(x -1)或y =-4
2(x -1). 温馨提示
(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k ，但是计算复杂，一般不采用.
(2)也可以利用弦长公式｜AB ｜=21k +｜x 1-x 2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.
(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB ｜=x 1+x 2+p ,解起来更简捷.
三、直线与抛物线的位置关系
【例3】 直线l ：y =kx +1,抛物线C ：y 2=4x ，当k 为何值时l 与C 有(1)一个公共点；(2)两
个公共点；(3)没有公共点.
解析：将l 和C 的方程联立,412⎩⎨⎧=+=x
y kx y 消去y ，得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.(*) 当k =0时，方程(*)只有一个解x =
41,∴y =1. ∴直线l 与C 只有一个公共点(4
1，1)，此时直线l 平行于对称轴. 当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程.
(1)当Δ＞0，即k ＜1,且k ≠0时，l 与C 有两个公点，此时称直线l 与C 相交；
(2)当Δ=0，即k =1时，l 与C 有一个公共点，此时称直线l 与C 相切；
(3)当Δ＜0,即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时称直线l 与C 相离.
综上所述，可知：当k =1或k =0时，直线l 和C 有一个公共点；当k ＜1,且k ≠0时，直线l 和C 有两个公共点；当k ＞1时，直线l 和C 没有公共点.
温馨提示
一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.
各个击破
类题演练1
给定抛物线y 2=2x ，设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值.
解析：设P (x 0,y 0),(x 0≥0),
则y 20=2x 0,
∴d =｜PA ｜=.12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x
∵a ＞0,x 0≥0,
∴(1)当0＜a ＜1时，1-a ＞0,此时当x 0=0时，
d 最小=.12)1(2a a a =-+-
(2)当a ≥1时，1-a ≤0,
此时当x 0=a -1时，
d 最小=12-a
变式提升1
抛物线y 2=2px 动弦AB 长为a (a ≥2p ),弦AB 中点到y 轴最短距离是( ) A.2
a B.
2p C.22p a + D.22p a - 答案：D
类题演练2
过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点. 求证：.2||1||1p
FB FA =+ 证明：设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则｜FA ｜=x 1+
2p ,｜FB ｜=x 2+2p ,｜AB ｜=x 1+x 2+p 当AB ⊥x 轴时，结论显然成立；当AB 不垂直于x 轴时，⎪⎩
⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2
消去y 得k 2x 2-p (k 2
+2)x +42
2p k =0, 则x 1+x 2=22)2(k
k p +,x 1x 2=42
p , .24
)(2)2
)(2(|
|112
2121212121p p x x p x x p x x p x p x p x x FB |FA|=+++++=++++=+
变式提升2
(2006湖北黄冈中学综合能力测试(三)，14)已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|
|||21PF PF =e ，则e 的值为_________. 解析：如图，抛物线准线为x =-3c ,,|
|||21e PF PF =
又｜PF 2｜=｜P H ｜，∴||1PH PF =e ,∴x =-3c 也为椭圆E 的准线.∴-c a 2=-3c ⇒e =3
3. 答案：3
3
类题演练3 设双曲线22
a
x -y 2=1(a ＞0)与直线x +y =1相交于两个不同的点A 、B ，求a 的取值范围. 解析：由C 与l 相交于两个不同的点， 故知方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0 ①
所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0
)1(84012222a a a a 解得0＜a ＜2且a ≠1. 故a 的取值范围是(0，1)∪(1，2)
变式提升3
设抛物线y 2=2px (p ＞0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，求p 的值. 解析：由题意可知，抛物线必在直线3x +4y +12=0的上方.
则直线3x +4y +12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x +4y +7=0.
由题意⎩⎨⎧=++=0
74322y x px y 只有一解.