概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第6章 参数估计[1]
概率论与数理统计及其应用_习题答案_(浙大_盛骤谢式千版本)
《概率论与数理统计》习题解答教材：《概率论与数理统计及其应用》，浙江大学盛骤、谢式千编，高等教育出版社，2004年7月第一版目录第一章随机事件及其概率1第二章随机变量及其分布9第三章随机变量的数字特征25第四章正态分布33第五章样本及抽样分布39第六章参数估计42第七章假设检验53第一章 随机事件及其概率1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+= )()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.485、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学
6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。
解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，1
个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2
个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中抽
出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽取
330 的概率为
48 0.48 100
5，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列
事件的概率。
（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球。
（2）4 只中至少有 2 只红球。
（3）4 只中没有白球。
解: （1）所求概率为 C52C41C31 8 ；
C142
字的概率分别为多少？ 解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 M ，“程序在 A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 N1, N2 , N3 。则根据全概率公式有
P(M ) 3 P(Ni )P(M | Ni ) 0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025 ， i 1
特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的概率。
解：根据题意， n(n M ) 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法
有 M n 种，某一特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的可能分法有
C
k n
(M
1) nk
种，所以某一特定的销售点得到
k(k
n)
张提货单的概率为
Cnk (M 1)nk 。
Mn
7，将 3 只球（1~3 号）随机地放入 3 只盒子（1~3 号）中，一只盒子 装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求 3 只球至少有 1 只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。 解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！=6 种： 123，132，213，231，312，321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312， 231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以 （2）没有配对的概率为 2 1 ；
概率论第六章课后习题答案
概率论第六章课后习题答案概率论第六章课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
第六章是概率论中的重要章节，主要涉及随机变量及其概率分布、数学期望和方差等内容。
在课后习题中，我们将通过解答一些典型问题，进一步加深对这些概念的理解。
1. 随机变量X的概率分布函数为F(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 3/4, 2 ≤ x < 3{ 1, x ≥ 3(1) 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
(2) 求P(0.5 ≤ X ≤ 2.5)。
解：(1) 概率密度函数f(x)是概率分布函数F(x)的导数。
根据导数的定义，我们可以得到：f(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 1/4, 2 ≤ x < 3{ 0, x ≥ 3(2) P(0.5 ≤ X ≤ 2.5) = F(2.5) - F(0.5) = 3/4 - 1/4 = 1/2 2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ c(1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1{ 0, 其他(1) 求常数c的值。
(2) 求P(|X| > 0.5)。
解：(1) 概率密度函数f(x)的积分值等于1。
我们可以计算：∫[-1,1] c(1 - x^2) dx = 1解这个积分方程，可得c = 3/4。
(2) P(|X| > 0.5) = 1 - P(|X| ≤ 0.5)= 1 - ∫[-0.5,0.5] c(1 - x^2) dx= 1 - 3/4 ∫[-0.5,0.5] (1 - x^2) dx= 1 - 3/4 [x - x^3/3] |[-0.5,0.5]= 1 - 3/4 [(0.5 - 0.5^3/3) - (-0.5 + 0.5^3/3)] = 1 - 3/4 [0.5 - 0.5/3 - (-0.5 + 0.5/3)]= 1 - 3/4 [1/3]= 1 - 1/4= 3/43. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ kx^2, 0 ≤ x ≤ 2{ 0, 其他(1) 求常数k的值。
概率论与数理统计及其应用(课后习题答案)
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=⨯⨯，所以所求得概率为72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。
概率论与数理统计及其应用课后答案（浙江大学-盛骤版）
概率论与数理统计及其应用课后答案（浙江大学-盛骤版）
目录
第一章随机变量及其概率. (2)
第二章随机变量及其分布. (13)
第三章随机变量的数字特征. (30)
第四章正态分布. (39)
第五章样本及抽样分布. (49)
第六章参数估计. (55)
第七章假设检验. (68)
第一章随机变量及其概率
1,写出下列试验的样本空间：
（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解:（1）S {2,345,6,7} ；（2）S {2,3,4, } ；（3）S
{H ,TH ,TTH ,TTTH , }；
（4）S {HH , HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6} o
2，设A,B 是两个事件，已知P(A) 0.25,P(B) 0.5,P(AB) 0.125,，求
P(A B), P(AB), P(AB), P[( A B)(AB)]。
解：P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.625，
P(AB) P[(S A)B] P(B) P(AB) 0.375，
P(AB) 1 P(AB) 0.875，
P[(A B)(AB)] P[(A B)(S AB)] P(A B) P[(A B)( AB)] 0.625 P(AB) 0.5。
第6章-参数估计课后习题答案(高教出版社-浙江大学)
第6章 参数估计1，设总体0),,0(~>B b U X 未知，921,,,X X X 是来自X 的样本。
求b 的矩估计量。
今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b 的矩估计值。
解：因为总体),0(~b U X ，所以总体矩2/)(b X E =。
根据容量为9的样本得到的样本矩∑==9191i i X X 。
令总体矩等于相应的样本矩：X X E =)(，得到b 的矩估计量为X b2ˆ=。
把样本值代入得到b 的矩估计值为69.1ˆ=b。
2，设总体X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<-=他其θθθx x x f X 00)(2)(2，参数θ未知，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求θ的矩估计量。
解：总体X 的数学期望为3)(2)(02θθθθ=-=⎰dx x xX E ，令X X E =)(可得θ的矩估计量为X 3ˆ=θ。
3，设总体),,(~p m B X 参数)10(,<<p p m 未知，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求p m ,的矩估计量（对于具体样本值，若求得的mˆ不是整数，则取与m ˆ最接近的整数作为m 的估计值）。
解：总体X 的数学期望为 mp X E =)(，)1()(p mp X D -=，二阶原点矩为[])1()()()(22+-=+=p mp mp X E X D X E 。
令总体矩等于相应的样本矩：X X E =)(，∑===n i i X n A X E 12221)(得到X A X p 21ˆ-+=，()()222ˆA X X X m -+=。
4，（1）设总体0),(~>λλπX 未知，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，n x x x ,,,21 是相应的样本值。
求λ的矩估计量，求λ的最大似然估计值。
（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数)(~λπX ，下面是X 的一个样本：6 4 9 6 10 11 6 37 10求λ的最大似然估计值。
概率论与数理统计第六章习题答案
第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率 引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。
8364编号概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4）抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）；（2）；（3）}7,6,5,4,3,2{=S },4,3,2{ =S ；（4）。
},,,,{ TTTH TTH TH H S =}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =2，设是两个事件，已知，求B A ,,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P 。
)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃解：，625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为，所以所求得概率为648998=⨯⨯72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。
（1）该数是奇数的可能个数为100455=⨯⨯个，所以出现奇数的概率为48344=⨯⨯48.010048=（2）该数大于330的可能个数为，所以该数大于48454542=⨯+⨯+⨯330的概率为48.010048=5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学
字的概率分别为多少？ 解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 M ，“程序在 A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 N1, N2 , N3 。则根据全概率公式有
P(M ) 3 P(Ni )P(M | Ni ) 0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025 ， i 1
63
（1）至少有 1 只配对的概率为1 1 2 。
33
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总结资料
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8，（1）设 P(A) 0.5, P(B) 0.3, P(AB) 0.1, ，求 P(A | B), P(B | A), P(A | A B) , P(AB | A B), P(A | AB) . （2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到33-ຫໍສະໝຸດ -总结资料-
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（2） 所求概率为 C42C82 C43C81 C44 201 67 ；
C142
495 165
（3）所求概率为 C74 35 7 。
C142 495 165
6，一公司向 M 个销售点分发 n(n M ) 张提货单，设每张提货单分发给
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
P(B) 0.3 3
P( A) 0.5 5
P( A | A B) P[ A( A B)] P( A) 5 ，
P(A B) P(A B) 7
P( AB | A B) P[ AB( A B)] P( AB) 1 ，
P(A B) P(A B) 7
P( A | AB) P[ A( AB)] P( AB) 1。
|
N3)
0.1 0.04 0.025
0.16
第6章参数估计1(第1、2节 点估计)综合讲练
要览● 提示复习数学期望与方差的定义、性质 熟记点估计的概念（估计量与估计值） 熟记估计量的评选标准● 辨析一、点估计概述1、参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.例如, 灯泡的寿命X 是一个总体, 根据实际经验知道, X 服从2(,)N μσ, 但对每一批灯泡而言, 参数2,μσ是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为(,)F x θ, 其中θ为未知参数(θ可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本12,,,n X X X再依据该样本对参数θ作出估计, 或估计参数θ的某已知函数()g θ.2、点估计的概念（估计量与估计值）设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的样本，其观测值为12(,,,)n x x x ，θ是总体X 的未知参数，参数的点估计就是构造一个统计量12(,,,)n X X X θ 随机变量 去估计未知参数θ；以其观测值12(,,,)n x x x θ 数值 来估计θ的真值.注: 估计量12(,,,)n X X X θ∧是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值, θ的估计值 θ一般是不同的.二、估计量的评选标准在具体介绍估计量的评价标准之前, 需指出: 评价一个估计量的好坏, 不能仅仅依据一次试验的结果, 而必须由多次试验结果来衡量. 因为估计量是样本的函数, 是随机变量. 故由不同的观测结果, 就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计, 应在多次重复试验中体现出其优良性.1、无偏性 P147定义1 估计量是随机变量, 对于不同的样本值会得到不同的估计值. 一个自然的要求是希望估计值在未知参数真值的附近, 不要偏高也不要偏低. 由此引入无偏性标准.定义1 设 12(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 E θθ= 则称 θ是θ的无偏估计量；否则，称 θ是θ的有偏估计量.如果 n lim E θθ→+∞= 则称 θ是θ的渐进无偏估计量. 注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称()E θθ- 为用 θ估计θ而产生的系统误差. 例如, 用样本均值作为总体均值的估计时, 虽无法说明一次估计所产生的偏差, 但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重要使用不会产生系统偏差.对一般总体而言，我们有定理1 (P147)设12,,,n X X X 为取自总体X 的样本,总体X 的均值为μ, 方差为2σ.则(1) 样本均值X 是μ的无偏估计量;(2) 样本方差2211()1n i i SX X n ==--∑是2σ的无偏估计量; (3) 样本二阶中心矩2211()ni i B X X n ==-∑是2σ的有偏估计量.2、有效性 P149定义2 一个参数θ常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对θ的偏离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准—有效性.定义2 设 1112(,,,)n X X X θθ= 与 2212(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的两个无偏估计量，如果12D D θθ< 则称1θ∧较2θ∧有效.注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设12,,,nX X X 为取自总体X 的一个样本, 12(,,,)n X X X θ是未知参数θ的一个估计量, 若 θ满足: (1) ()E θθ=,即 θ为θ的无偏估计; (2) ()()D D θθ*≤, θ*是θ的任一无偏估计. 则称 θ为θ的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计). 3、相合性（一致性） P151定义3 我们不仅希望一个估计量是无偏的, 并且具有较小的方差, 还希望当样本容量无限增大时, 估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值, 由此引入相合性(一致性)的评价标准.定义3 设 12(,,,)nX X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 θ依概率收敛于θ，即对任意0ε>，有{}1{}0n n l im P l im P θθεθθε→+∞→+∞-<=⇔-≥= 即P θθ→⋅则称 θ为θ的（弱）相合估计量（一致性估计量）.概率论与数理统计 第6章 参数估计 1（第1、2节 点估计）估计量的评选标准一、点估计概述 1、参数估计2、点估计的概念（估计量与估计值） 二、估计量的评选标准 1、无偏性 2、有效性3、相合性（一致性）一、点估计概述1、参数估计2、点估计的概念（估计量与估计值）设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的样本，其观测值为12(,,,)n x x x ，θ是总体X 的未知参数，参数的点估计就是构造一个统计量12(,,,)nX X X θ随机变量 去估计未知参数θ；以其观测值12(,,,)nx x x θ数值 来估计θ的真值.二、估计量的评选标准1、无偏性 P147定义1设 12(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 E θθ= 则称 θ是θ的无偏估计量；否则，称 θ是θ的有偏估计量.如果 n lim E θθ→+∞= 则称 θ是θ的渐进无偏估计量. 定理1 (P147)设12,,,n X X X 为取自总体X 的样本,总体X 的均值为μ, 方差为2σ.则(1) 样本均值X 是μ的无偏估计量;(2) 样本方差2211()1n i i SX X n ==--∑是2σ的无偏估计量; (3) 样本二阶中心矩2211()ni i B X X n ==-∑是2σ的有偏估计量.2、有效性 P149定义2设 1112(,,,)n X X X θθ= 与 2212(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的两个无偏估计量，如果12D D θθ< 则称1θ∧较2θ∧有效.3、相合性（一致性） P151定义3设 12(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 θ依概率收敛于θ，即对任意0ε>，有{}1{}0n n l im P l im P θθεθθε→+∞→+∞-<=⇔-≥= 即P θθ→⋅则称 θ为θ的（弱）相合估计量（一致性估计量）.【补例6.1.1】证明P147定理1，即设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的样本，总体X 的均值()E X μ=，方差2()D X σ=，则（1）样本均值11ni i X X n ==∑是总体均值()E X μ=的无偏估计量；（2）样本方差2211()1ni S X X n i ==--∑是总体方差2()D X σ=的无偏估计量； （3）样本二阶中心矩2211()n i i B X X n ==-∑是总体方差2()D X σ=的有偏估计量，但它是总体方差2()D X σ=的渐进无偏估计量.【提示】 P147定义1设 12(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 E θθ= 则称 θ是θ的无偏估计量；否则，称 θ是θ的有偏估计量.如果 n lim E θθ→+∞= 则称 θ是θ的渐进无偏估计量. 样本方差的简算公式 2211()1n i S X X n i ==--∑ 2211[()]1n i i X n X n ==--∑ ………… ① 总体方差的简算公式 22()D X E X E X =- ………………… ②⇒22()E X D X E X =+ ………………… ③【证明】注意到，样本12,,,n X X X 相互独立且与总体X 同分布，故i E X E X =μ=i D X D X =2σ=11()n i i X E n =∑11()ni i X E n ==∑11n i i E X n ==∑11ni n μ==∑1n n μ=μ=11()n i i X D n =∑121()ni i X D n ==∑121n i i D X n ==∑1221ni n σ==∑21n nσ=（1因11()n i i X E n =∑11()ni i X E n ==∑11n i i E X n ==∑11ni n μ==∑1n n μ=μ=（2因2E S 2211{[()]}1n i i E X n X n ==--∑ （ 由①式 ） 2211{[()]}1n i i E X n X n ==--∑ 2211{[()]}1n i i E X n X n ==--∑ 2211{()[()]}1n i i E X n E X n ==--∑ 2211{()[()]}1n i i E X n E X n ==--∑ （ 由③式 ） 2211{[()()][()()]}1n i i i D X E X n D X E X n ==+-+-∑222211{[][]}1n i n n nσσμμ==+-+-∑ 22221{[][]}1n n n σμσμ=+-+- 22221{}1n n n n σμσμ=+---221{}1n n σσ=-- 21(1)1n n σ=--2σ= 故由P147定义1知，该结论成立，即记为22211()1ni SX X n i σ∧===--∑ （3计量，但它是总体方差2()D X σ=的渐进无偏估计量因2E B 211[()]n i E X X n i ==-∑2111[()]1n i n E X X n n i =-=--∑ 21[]n E S n -=21()n E S n -=21n nσ-= 2σ≠ （由（2）知） 故2n l im E B →+∞211[()]nn i l im E X X n i →+∞==-∑21n n l im n σ→+∞-=2σ=故估计量.【补例6.1.2】设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的样本，总体X 的均值()E X μ=，方差2()D X σ=，对任意常数i a （ 1,2,,i n = ），且11ni i a ==∑，试证：（1）μ∧1ni i i a X ==∑均是μ的无偏估计；（2）当1i a n =（ 1,2,,i n = ）时，μ∧1n i i i a X ==∑11ni i X X n ===∑是μ的有效估计.【提示】P147定义1设 12(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的估计量，如果 E θθ= 则称 θ是θ的无偏估计量；否则，称 θ是θ的有偏估计量.如果 n lim E θθ→+∞= 则称 θ是θ的渐进无偏估计量. P149定义2设 1112(,,,)n X X X θθ= 与 2212(,,,)n X X X θθ= 为未知参数θ的两个无偏估计量，如果12D D θθ< 则称1θ∧较2θ∧有效.样本方差的简算公式 2211()1n i S X X n i ==--∑ 2211[()]1n i i X n X n ==--∑ ………… ① 总体方差的简算公式 22()D X E X E X =- ………………… ②⇒22()E X D X E X =+ ………………… ③【证明】注意到，样本1X 、2X 、… 、n X 相互独立且与总体X 同分布，故i E X E X =μ= i D X D X =2σ=11()n i i X E n =∑11()ni i X E n ==∑11n i i E X n ==∑11ni n μ==∑1n n μ=μ=11()n i i X D n =∑121()ni i X D n ==∑121n i i D X n ==∑1221ni n σ==∑21n nσ=（1）μ∧1ni i i a X ==∑均是μ的无偏估计 因E μ∧1()n i i i E a X ==∑1()n i i i E a X ==∑1()n i i i a E X ==∑1n i i a μ==∑1ni i a μ==∑1μ=⨯μ=故，μ∧1ni i i a X ==∑均是μ的无偏估计 （2估计因D μ∧1()n i i i D a X ==∑21()ni i i a DX ==∑221nii a σ==∑221ni i a σ==∑ ……… ①11()n i i X D n =∑121()n i i X D n ==∑121n i i D X n ==∑1221ni n σ==∑21n nσ=…………………………………………………………… ②利用施瓦兹不等式222111()()()nnni ii ii i i x y x y ===≤⋅∑∑∑取iix a =，1iy =（ 1,2,,i n = ），得2221111()()(1)()nnn nii ii i i i a a a n ====≤⋅=⋅∑∑∑∑⇒22211111()1nn iii i a a n nn==≥=⨯=∑∑ 即211nii a n=≥∑……………………………………………………………… ③ 由①、②、③式，知D μ∧221nii a σ==∑21D X nσ≥=即注:本例说明11ni i X X n ==∑的优良性：对于任意总体X ，样本均值简记为BLUE.【§6.1 例6】（第2版课件补充）【§6.1课堂练习】【习题6-1 EX2】【习题6-1 EX4】【习题6-1 EX7】【第六章考研真题6】【第六章考研真题10】● 提示了解矩估计（一阶、二阶） 熟记求最大似然估计的一般步骤似然函数()L θ取对数后，()ln L ln L θ=一定要化简[]ln a b ln a lnb ⨯=+；alnln a lnb b=-；k lna k lna = 注：当似然方程组无解或似然函数不可微时，可利用似然函数的性质，确定其最值点，相应可求出未知参数的最大似然估计.● 辨析一、矩估计法 1、矩估计法的基本思想矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由大数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩 ()kk E Xμ=；样本k 阶矩 11nk k i i A X n ==∑；总体k 阶中心矩 [()]k k V E X E X =-；样本k 阶中心矩 11()nk k i i B X X n ==-∑.2、求矩估计的一般方法 了解设总体X 的分布函数12(;,,,)k F x θθθ 中含有k 个未知参数12,,,k θθθ , 则(1) 求总体X 的前k 阶矩12,,,k μμμ ，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为12(,,,),1,2,,i i k g i k μθθθ== （*）(2) 从（*）中解得 12(,,,),1,2,,j j k h j k θμμμ== (3) 再用(1,2,,)i i k μ= 的估计量i A 分别代替上式中的i μ,即可得(1,2,,)j j k θ= 的矩估计量: 12(,,,),1,2,,j k jh A A A j k θ== 注：求12,,,k V V V 类似于上述步骤，最后用12,,,k B B B ⋅⋅⋅⋅代替12,,,k V V V ，求出矩估计(1,2,,)j j k θ= .特别地，有3、矩估计法（一阶、二阶） 了解 （1）矩估计法（一阶、二阶）的基本原则通常用样本一阶原点矩111ni i A X X n ===∑估计总体均值μ；样本二阶中心矩22221111()[()]n n i i i i B X X X n X n n ===-=-∑∑估计方差2σ.即，用样本均值 11ni i X X n ==∑估计总体均值μ；样本二阶中心矩22221111()[()]n n i i i i B X X X n X n n ===-=-∑∑估计方差2σ.（2）矩估计法（一阶、二阶）的基本步骤设12(,)θθθ=∈Θ（即1,2k =，有两个未知参数12,θθ）为总体X 的未知参数.● 总体中未知参数12(,)θθθ=∈Θ的矩估计 第1步 求出总体矩与样本矩212();()[()]E X v D X E X E X μ===- （ 含有θ ） 112112211211()1();1()()ni i ni i i ni i ni a x xn b x x n A X Xn B X X n =======-===-∑∑∑∑其观察值为其观察值为第2步 列矩估计方程组，即用样本均值估计总体均值，用样本二阶中心矩（未修正样本方差）估计总体方差 （1）一阶矩估计，矩估计方程为11A μ∧= （即1k =，有一个未知参数1θ）即11()ni i E X X X n ∧===∑（2）二阶矩估计，矩估计方程组为;1122A v B μ∧∧== （即2k =，有两个未知参数12,θθ）即21111();()()n ni i i i E X X X D X X X n n ∧∧=====-∑∑第3步 解矩估计方程组，即可得到未知参数θ的矩估计12(),,,i n MEX X X i i θθθ∧∧== （1,2i =） 估计量（含样本12,,,n X X X 的表达式）12(,,,)i i i n MEx x x θθθ∧∧⇒== （1,2i =） 估计值（含样本观察值12,,,n x x x 的表达式） ● 特别地，总体均值μ与方差2σ的矩估计二、最大似然估计法1、最大似然估计法的思想注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.2、似然函数P155定义2设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的一个样本，其观察值为12(,,,)n x x x ，12(,,,)r θθθθ=∈Θ （即有r 个未知参数12,,,r θθθ ）为总体X 分布的未知参数；若X 为离散型，概率分布为{}(;)P X x p x θ==，若X 为连续型，密度函数为(;)f x θ.称θ的函数11(;)()(;)n i i ni i p x X L X f x θθθ==⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩∏∏当为离散型随机变量当为连续型随机变量为似然函数.()L θ为样本12(,,,)n X X X 取值样本观测值12(,,,)n x x x 的可能性3、最大似然估计 P155定义2选取θ的估计θ∧，使得()()L max L θθθ∧∈Θ=此时称θ∧为θ的最大似然估计.（MLE .）4、对数似然函数由于()ln L θ与()L θ有相同的最值点，即()()ln L max ln L θθθ∧∈Θ=通常称()ln L θ为对数似然函数，不加区分也简称为似然函数. 5、求最大似然估计的一般步骤第1步 利用X 的分布，求出似然函数11(;)()(;)n i i ni i p x X L X f x θθθ==⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩∏∏当为离散型随机变量当为连续型随机变量取对数并化简，得()ln L ln L θ=第2步 当()ln L ln L θ=关于θ可微时，建立似然方程组0iln Lθ∂=∂ （1,2,,i r = ） — 若只有一个未知参数θ，即1r =时，似然方程为0d ln Ld θ= 第3步 求似然解方程组确定()ln L ln L θ=的最大值点MLE θθ∧∧=，通常似然方程组的解就是最值点，MLE θθ∧∧=即为未知参数θ的最大似然估计.特别地，当似然方程组无解或似解函数不可微时，可利用似然函数的性质，确定其最值点，相应可求出未知参数的最大似然估计.注: 因函数ln L 是L 的单调增加函数,且函数()ln L θ与函数()L θ有相同的极值点,故常转化为求函数()ln L θ的最大值点较方便. 6、最大似然估计的不变性如果θ∧是θ的最大似然估计，()g μθ=是θ的函数且存在单值反函数，则()g μθ∧∧=是()g μθ=的最大似然估计.可推广到有限多个参数的情形概率论与数理统计 第6章 参数估计 1（第1、2节 点估计）点估计的常用方法一、矩估计法二、最大似然估计法一、矩估计法矩估计法（一阶、二阶） 了解 （1）矩估计法（一阶、二阶）的基本原则通常用样本一阶原点矩111ni i A X X n ===∑估计总体均值μ；样本二阶中心矩22221111()[()]n n i i i i B X X X n X n n ===-=-∑∑估计方差2σ.即，用样本均值 11ni i X X n ==∑估计总体均值μ；样本二阶中心矩22221111()[()]n n i i i i B X X X n X n n ===-=-∑∑估计方差2σ.（2）矩估计法（一阶、二阶）的基本步骤设12(,)θθθ=∈Θ（即1,2k =，有两个未知参数12,θθ）为总体X 的未知参数.总体中未知参数12(,)θθθ=∈Θ的矩估计 第1步 求出总体矩与样本矩212();()[()]E X v D X E X E X μ===- （ 含有θ ） 112112211211()1();1()()ni i ni i i ni i ni a x xn b x x n A X Xn B X X n =======-===-∑∑∑∑其观察值为其观察值为第2步 列矩估计方程组，即用样本均值估计总体均值，用样本二阶中心矩（未修正样本方差）估计总体方差 （1）一阶矩估计，矩估计方程为11A μ∧= （即1k =，有一个未知参数1θ）即11()ni i E X X X n ∧===∑（2）二阶矩估计，矩估计方程组为;1122A v B μ∧∧== （即2k =，有两个未知参数12,θθ）即21111();()()n ni i i i E X X X D X X X n n ∧∧=====-∑∑第3步 解矩估计方程组，即可得到未知参数θ的矩估计12(),,,i n MEX X X i i θθθ∧∧== （1,2i =） 估计量（含样本12,,,n X X X 的表达式）12(,,,)i i i n MEx x x θθθ∧∧⇒== （1,2i =） 估计值（含样本观察值12,,,n x x x 的表达式） 特别地，总体均值μ与方差2σ的矩估计二、最大似然估计法求最大似然估计的一般步骤 第1步 利用X 的分布，求出似然函数11(;)()(;)n i i ni i p x X L X f x θθθ==⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩∏∏当为离散型随机变量当为连续型随机变量取对数并化简，得()ln L ln L θ=第2步 当()ln L ln L θ=关于θ可微时，建立似然方程组0iln Lθ∂=∂ （1,2,,i r = ） — 若只有一个未知参数θ，即1r =时，似然方程为0d ln Ld θ= 第3步 求似然解方程组确定()ln L ln L θ=的最大值点MLE θθ∧∧=，通常似然方程组的解就是最值点，MLE θθ∧∧=即为未知参数θ的最大似然估计.特别地，当似然方程组无解或似解函数不可微时，可利用似然函数的性质，确定其最值点，相应可求出未知参数的最大似然估计.注: 因函数ln L 是L 的单调增加函数,且函数()ln L θ与函数()L θ有相同的极值点,故常转化为求函数()ln L θ的最大值点较方便.【补例6.1.3】设总体X 的分布如下，12(,,,)n X X X 是取自总体X 的一个样本，其观察值为12(,,,)n x x x ，求未知参数的最大似然估计值： （1）X 服从参数为p （0p <<1，p 未知）的“01-”分布； （2）X 服从参数为p （0p <<1，p 未知）的几何分布； （3）X 服从参数为λ（0λ>，λ未知）的泊松（Poisson ）分布.【提示】 最大似然估计法（离散型）的基本步骤X 的分布律为{}P X k ==⇒ X 在样本12,,,n x x x 处取值的概率为(,){}k k p x P X x θ== （θ为未知参数） 作似然函数：1212()(,,,;)(,)(,)(,)n n L L x x x p x p x p x θθθθθ== 取对数并化简：()ln L θ=⋅⋅⋅似然方程：0d ln L d θ=令解出：MLE θθ∧∧= = （含样本观察值12,,,n x x x 的表达式） （估计值）⇒MLE θθ∧∧= = （含样本12,,,n X X X 的表达式） （估计量） 【解】利用最大似然估计法（离散型）（1）X 服从参数为p （0p <<1，p 未知）的“01-”分布⇒ X 的分布律为1{}k k P X k p q -== （ 1q p =-，0,1k = ）⇒ X 在样本12,,,n x x x 处取值的概率为。
概率论与数理统计及其应用课后答案第二版浙大版4-7章
第4章 正态分布1，（1）设)1,0(~N Z ，求}24.1{≤Z P ，}37.224.1{≤<Z P ，}24.137.2{-≤<-Z P ； （2）设)1,0(~N Z，且9147.0}{=≤a Z P ，0526.0}{=≥b ZP ，求b a ,。
解：（1）8925.0)24.1(}24.1{=Φ=≤Z P ，0986.08925.09911.0)24.1()37.2(}24.1{}37.2{}37.224.1{=-=Φ-Φ=≤-≤=≤<Z P Z P Z P 0986.0)]37.2(1[)]24.1(1[)37.2()24.1(}24.137.2{=Φ--Φ-=-Φ--Φ=-≤<-Z P（2）)37.1(9147.0}{Φ==≤a Z P ，所以37.1=a ；}{10526.0}{b Z P b Z P <-==≥，所以)62.1(9474.0}{Φ==<b Z P ，即62.1=b 。
2，设)16,3(~N X，求}84{≤<X P ，}50{≤≤X P 。
解：因为)16,3(~N X，所以)1,0(~43N X -。
2957.05987.08944.0)25.0()25.1(}43843434{}84{=-=Φ-Φ=-≤-<-=≤<X P X P 4649.0)7734.01(6915.0)430()435(}50{=--=-Φ--Φ=≤≤X P 。
3，（1）设)36,25(~N X ，试确定C，使得9544.0}25{=≤-C XP 。
（2）设)4,3(~N X，试确定C ，使得95.0}{≥>C XP 。
解：（1）因为1)6(2)6()6(}25{}25{-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=≤-C C C C X C P C X P所以得到9772.0)6(=ΦC ,即0.26=C ，0.12=C 。
（2）因为)1,0(~23N X -，所以95.0)23(1}{≥-Φ-=>C C X P ，即95.0)23(,05.0)23(≥-Φ≤-ΦC C 或者，从而645.123≥-C ，29.0-≤C。
概率论与数理统计浙大版习题答案六
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i iXP （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
概率论与数理统计答案第六章
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解： 8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P =2628.0)]25(1[2=Φ-（2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15}=.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10}=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i i X P解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i ii ii iX P XP χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλnX D ===[六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
概率论与数理统计课后答案第6章
第6章习题参考答案1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。
2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最大似然估计值。
3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。
4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。
5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最大似然估计。
6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。
7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。
8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。
9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解故的矩估计量是的无偏估计。
10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。
11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。
12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。
13.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。
14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。
为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。
概率论与数理统计及其应用课后答案
概率论与数理统计及其应用课后答案概率论与数理统计及其应用习题解答第1章随机变量及其概率1，写下以下试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录丢掷的次数。
（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录丢掷的次数。
（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4）抛一枚硬币，若出现h则再抛一次；若出现t，则再抛一颗骰子，观测发生的各种结果。
求解：（1）s（4）s2，设a,b是两个事件，已知p(a)?0.25,p(b)?0.5,p(ab)?0.125,，求p(a?b),p(ab),p(ab),p[(a?b)(ab)]。
______（2）s?{2,3,4,?}；（3）s?{h,th,tth,ttth,?}；?{2,3,4,5,6,7}；{hh,ht,t1,t2,t3,t4,t5,t6}。
解：p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.625，p(ab)?p[(s?a)b]?p(b)?p(ab)?0.375___，p(ab)?1?p(ab)?0.875，___p[(a?b)(ab)]?p[(a?b)(s?ab)]?p(a?b)?p[(a?b)(ab)]?0.625?p(ab)?0.53，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
1概率论与数理统计及其应用习题解答求解：在100，101，…，999这900个3位数中不涵盖数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求出概率为648900?0.724，在仅由数字0，1，2，3，4，5共同组成且每个数字至多发生一次的全体三位数中，余因子一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。
（1）该数是奇数的可能个数为4?4?3?48个，所以发生奇数的概率为48100?0.4848（2）该数大于330的可能将个数为2?4?5?4?5?4?330的概率为48100?0.48，所以该数大于5，袋中存有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中余因子4只，谋以下事件的概率。
概率论与数理统计浙大四版习题答案第六章1-成考类
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i iXP （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
浙江大学概率论与数理统计第六章
随机样本
一、总体与个体 二、随机样本的定义 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
试验的全部可能的观察值称为总体.
2. 个体
总体中的每个可能观察值称为个体.
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命. 当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
例4 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 2000 21 132 , , 2000 2000 1207 588 43 , , , 2000 2000 2000
第二节
抽样分布
一、基本概念 二、常见分布
三、小结
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的一个样本, g( X 1 , X 2 ,, X n )是 X 1 , X 2 ,, X n 的函数 , 若 g中 不含未知参数 , 则称 g( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个统 计量.
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第6章 参数估计1，解：因为总体),0(~b U X，所以总体矩2/)(b X E =。
根据容量为9的样本得到的样本矩∑==9191i iX X。
令总体矩等于相应的样本矩：XX E =)(，得到b 的矩估计量为X b2ˆ=。
把样本值代入得到b 的矩估计值为69.1ˆ=b。
2，解：总体X 的数学期望为3)(2)(02θθθθ=-=⎰dx x xX E ，令XX E =)(可得θ的矩估计量为X 3ˆ=θ。
3，解：总体X 的数学期望为mpX E =)(，)1()(p mp X D -=，二阶原点矩为[])1()()()(22+-=+=p mp mp X E X D X E 。
令总体矩等于相应的样本矩：XX E =)(，∑===ni iX nA XE 12221)(得到XA X p21ˆ-+=，()()222ˆA X XX m-+=。
4，解：（1）因为总体的数学期望为λ，所以矩估计量为X=λˆ。
似然函数为()()!!)(111i ni n x i x ni x ex eL ni ii=--=∏∑=∏==λλλλλ，相应的对数似然函数为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∏--∑===!ln ln )(ln 11i n i ni i x n x L λλλ。
令对数似然函数对λ的一阶导数为零，得到λ的最大似然估计值为xxnni i==∑=11ˆλ。
（2）根据（1）中结论，λ的最大似然估计值为2.7ˆ==x λ。
5，解：（1）似然函数为 []nnx x n i pp p p p L ni i i --=∑-=-∏==1)1()1()(11，相应的对数似然函数为pn p n x p L n i i ln )1ln()(ln 1+-⎪⎭⎫⎝⎛-∑==。
令对数似然函数对p 的一阶导数为零，得到p 的最大似然估计值为xx npni i1ˆ1==∑=。
（2）根据（1）中结论，p 的最大似然估计值为2651ˆ==xp。
6，解：（1）似然函数为 (212222)(2)(12121)(σμσμσπσπμ∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏==----=ni i i x nx ni eeL ，相应的对数似然函数为()nni i x L σπσμμ2ln2)()(ln 212-∑--==。
令对数似然函数对μ的一阶导数为零，得到μ的最大似然估计值为xnxni i==∑=1ˆμ。
（2）似然函数为 ()212222)(222)(122121)(σμσμπσσπσ∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏==----=ni i i x n x ni eeL ，相应的对数似然函数为()221222ln 22)()(ln πσσμσn x L ni i -∑--==。
令对数似然函数对2σ的一阶导数为零，得到2σ的最大似然估计值为∑=-=ni ix n122)(1ˆμσ。
7，解：（1）似然函数为 θθθθθ/21/211)(∑∏=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∏==-=-=ni i i x n ini x i ni ex e x L ，相应的对数似然函数为θθθ/ln 2ln)(ln 11∑--==-∑ni i ni i x n x L 。
令对数似然函数对θ的一阶导数为零，得到θ的最大似然估计值为221ˆ1x x nni i ==∑=θ。
相应的最大似然估计量为2ˆX =θ。
（2）似然函数为 θθθθθ/321/321122)(∑∏=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏==-=-=ni i i x nini x ini ex exL ，相应的对数似然函数为θθθ/)2l n (3ln2)(ln 11∑--==-∑ni i ni i x n x L 。
令对数似然函数对θ的一阶导数为零，得到θ的最大似然估计值为331ˆ1x x nni i ==∑=θ。
（3）因为),,(~p m B X其分布律为mx p p C x X P xm xxm ,2,1,0,)1(}{=-==-所以，似然函数为[]∑-⨯∑⨯∏=-∏===-=-=ni ini ii ii ix mn x x mni x m x x mn i p pCp p Cp L 11)1()1()(11，相应的对数似然函数为()∑===+-⎪⎭⎫⎝⎛∑-+∑=ni x mni ini i i C p x mn x p p L 111ln )1ln(ln )(。
令对数似然函数对p 的一阶导数为零，得到p 的最大似然估计值为mx xmnpni i==∑=11ˆ。
8，解：根据题意，可写出似然函数为)1(2)1(2}{)(52231θθθθθθθ-=⨯-⨯==∏==i i x X P L ，相应的对数似然函数为)1l n (ln 52ln )(ln θθθ-++=L 。
令对数似然函数对θ的一阶导数为零，得到θ的最大似然估计值为6/5ˆ=θ。
9，解：根据题意，写出对应于总体X 和Y 的似然函数分别为()212222)(2)(12121)(σβασβασπσπβα∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏=+=------=ni i i X nX ni eeL ，()212222)(2)(12121)(σβασβασπσπβα∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏=-=+--+--=ni i i Y nY ni eeL ，相应的对数似然函数为()nni i X L σπσβαβα2ln2)()(ln 212-∑---=+=，()nn i i Y L σπσβαβα2ln2)()(ln 212-∑+--=-=，令对数似然函数分别对βα+和βα-的一阶导数为零，得到 ⎩⎨⎧=-=+YX βαβα， 算出βα,最大似然估计量分别为2ˆY X +=α，2ˆY X -=β。
10，解：（1）均匀分布),0(θU 中的未知参数θ的矩估计量为X2ˆ=θ。
由于θθθ=⨯==22)(2)ˆ(X E E ，所以X 2ˆ=θ是θ的无偏估计量。
（2）①因为λλ=⨯==∑=n nY E nY E ni i 1)(1)(1，所以Y 是λ的无偏估计量。
②2224)(3)()(3)(λλλλλ+=++=+=Y E Y E Z E 。
（3）因为)(4)(13)(1)(3)(2212Z E n nY E n Y E U E ni i =+=+⨯+=+=∑=λλλλλ，所以，U 是)(Z E 的无偏估计量。
11，解：（1）因为θθθθθ=+++=+++=)(31)(61))()((31))()((61)(43211X E X E X E X E T Eθ25/))(4)(3)(2)(()(43212=+++=X E X E X E X E T E ，θ=+++=4/))()()()(()(43213X E X E X E X E T E 。
所以，31,T T 是θ的无偏估计量。
（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出18/5)(91)(361))()((91))()((361)(2222243211θθθθθ=+++=+++=X D X D X D X D T D )(4/16/))()()()(()(1243213T D X D X D X D X D T D <=+++=θ，所以，3T 是比1T 更有效的无偏估计量。
12，解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。
根据标准的结论，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛±2/ασZ n x 。
（1）μ的置信水平为0.95的置信区间为()()()58.1491,42.146458.13147896.14814782712961478025.0=±=⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±Z 。
（2）μ的置信水平为0.90的置信区间为()()()40.1489,60.146640.111478645.1481478271296147805.0=±=⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±Z 。
13，解：（1）根据已知结论，正态分布均值μ的最大似然估计量和矩估计量相同：X=μˆ。
所以μ的最大似然估计值为8.56ˆ==x μ。
（2）μ的置信水平为0.95的置信区间为()()()04.58,56.5524.18.5696.14.08.561048.56025.0=±=⨯±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±Z 。
14，解：（1）2,σμ的无偏估计值为72.14ˆ==x μ，9072.1)(11122=--=∑=ni ix x n s。
（2）μ的置信水平为90%的置信区间为()()148.15,292.14428.072.146991.13038075.172.14)1(05.0=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n t n s x15，解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。
根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为()()27.72,33.6097.53.662010.2124.93.66)1(025.0=±=⎪⎭⎫⎝⎛⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n t n sx 。
16，解：根据题中数据，计算可得样本均值07.19=x，样本方差245.3=s 。
μ的置信水平为0.95的置信区间为()()24.20,90.1717.107.190395.232245.307.19)1(025.0=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n t n sx17，解：根据题中数据计算可得75.372=s 。
（1） 方差2σ的无偏估计即为样本方差75.372=s 。
（2） 2σ的置信水平为0.95的置信区间为()86.102,41.19404.475.3712,337.2375.3712)1()1(,)1()1(2975.022025.02=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n sn n s n χχ，所以σ的置信水平为0.95的置信区间为()()142.10,406.486.102,41.19)1()1(,)1()1(2975.022025.02==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n sn n sn χχ。
18，解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++±-)22(151917.2)2(11025.021025.021t s n n t n n s x x ww B A⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=0739.215191266.77.2)22(151917.2025.0t s w()()05.9,65.335.67.2-=±=19，解：根据题中数据计算可得=Xs 2，=Ys 2。