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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ，证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ，当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调数列。调减少）的数列统称为单调数列调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理）定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ，从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

高等数学上册教材目录

高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。

高数上第一章无穷小量与无穷大量

3
lim 1. lim x1(1 x )(1 x x 2 ) x11 x x 2
性质 3 若 lim X ，limY ，则lim( X Y ) ；
性质 4 若 X Y ，lim X ，则limY ；
性质 5 若 lim X ，则lim( X ) 。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
1 例如： f ( x ) 2 x ， g( x ) 2 x ， 2x
1 （2）解： ∵ lim 0 ，而 arctanx ， 2 x x
arctanx ∴ lim 0 。 x x
x x x x 对于自变量的其他几种变化趋势（， 1.4.2 无穷大量，
x ， x ， x ， n ），同样可以定义无 1. 定义
例2.求下列极限
x2 3x （1） lim x2 x 2
x 2 3 x x2 10 错解： lim 。 lim( x 2) 0 x2 x 2
x2
lim( x 2 3 x )
正解：∵ lim
x2
x2 x 2 3 x
x2
x2
0 0 ， 2 lim( x 3 x ) 10
x x
x x
令 f ( x ) A ，则 lim 0 ，且 f ( x ) A 。
x x
充分性
若 f ( x ) A ， lim 0 ，则
x x x x x x
x x
lim f ( x ) lim ( A ) A lim A 。
当 x 时， 1 x2 是无穷小量。
2.无穷小量的性质

高数上册第一章第三节函数的极限

x
x
③ x→+∞及x→-∞情形 lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
x x
lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
【证】函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性
x 1 f ( x) A 2 x 1 任给 0, x 1 要使 f ( x ) A , 只要取 ,
2
2 x 当0 x 1 时, 就有 1 2 , x 1
x x0
② “ε δ”定义
0, 0, 使当0 x x0 时,恒有 f ( x ) A .
【注意】 a . 0 x x0 意味着 x x0
即函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关;
b. 与任意给定的正数有关 ( ( ) ).
【数列极限】
n 时， xn a
的一般概念。
xn f ( n) —— 整标函数
若将n 的特殊性撇开，这样可以引出函数极限
【函数的极限】
y f ( x) 有
x x x0
两大类情形
1
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sin x 当 x 时的变化趋势. 1.【引例】观察函数 x
5.【水平渐近线】
如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数 y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
6
机动目录上页下页返回结束
1.【引例】 ① 函数 f ( x ) x 1 在 x 1

《高数数学(上)》-导数与微分

(2)设函数 u1(x),u2 (x),u3(x) un (x) 可导, f (x) u1(x)u2 (x) un (x),写出 f (x) 的求导公式.
解（1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0

高数上第一章§1.4无穷小量与无穷大量

x→+∞
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量，
x→+∞
1 是无穷小量。但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之，反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小的商却有多种可能性。的商却有多种可能性。
例如，都是无穷小，例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
不一定。答：不一定。不一定
1 例如：， g ( x ) = −2 x ，例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .

同济版本高数上第一章部分知识总结

一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。

比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。

根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。

而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。

即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。

记作：f−1。

其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。

而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。

这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。

由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。

且f∘g与g∘f意义不同。

二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。

注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。

实际上，y与f(x)的意义一样。

大一上学期高数全部知识点

大一上学期高数全部知识点一、函数与极限在大一上学期的高等数学课程中，学习了函数与极限的相关知识。

函数是数学中的基础概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。

而极限则是函数变化过程中趋于某一值的特性。

1. 函数基本概念函数是一个映射关系，将一个自变量的值映射到唯一的因变量的值上。

函数的定义域、值域、图像是其中重要的概念。

2. 极限的定义与性质极限描述了函数在接近某一点时的趋势。

通过极限的定义，可以判断函数在某一点是否收敛。

同时，我们也学习了极限的性质，如极限的唯一性、四则运算法则等。

3. 函数的连续性连续性是函数的重要性质，它描述了函数在某一点附近变化的平滑程度。

我们学习了连续函数的定义以及连续函数的运算法则。

二、导数与微分导数与微分是高等数学中另一个重要的知识点，它描述了函数在某一点的变化率。

1. 导数的定义与性质导数描述了函数在某一点附近的变化趋势，是函数变化率的一个重要指标。

我们学习了导数的定义、导数的运算法则以及高阶导数的概念。

2. 常用函数的导数在具体求导的过程中，我们学习了常用函数的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3. 微分的概念与应用微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点的局部线性逼近。

微分可以用于函数近似计算、优化问题等领域。

三、积分与应用积分是高等数学中的另一个核心概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

1. 不定积分与定积分不定积分是积分的基本形式，它表示了在导数的反演过程中。

定积分则是对函数在一定区间上的累积效应进行计算。

2. 定积分的计算方法我们学习了定积分的计算方法，如换元法、分部积分法、定积分的性质等。

通过这些方法，可以有效地计算复杂函数的定积分。

3. 积分的应用积分可以用于计算曲线的长度、曲线下的面积、物体的质量、重心等众多问题。

在学习过程中，我们也接触了一些具体的应用例子，如求弧长、求面积等。

四、级数与数列级数与数列是大一上学期高数课程的最后一个重要知识点，它描述了无穷多项之和的性质。

《高数知识：上册重点难点》

《高数知识：上册重点难点》一、关键信息项1、函数与极限函数的概念、性质和分类极限的定义、性质和计算方法无穷小与无穷大的概念和性质极限的四则运算和两个重要极限函数的连续性和间断点的类型2、导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义基本初等函数的导数公式导数的四则运算和复合函数求导法则隐函数和参数方程求导微分的定义和运算3、中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理函数的单调性和极值函数的凹凸性和拐点函数图形的描绘洛必达法则4、不定积分不定积分的概念和性质基本积分公式换元积分法和分部积分法5、定积分定积分的概念、性质和几何意义牛顿莱布尼茨公式定积分的换元法和分部积分法反常积分的概念和计算6、定积分的应用平面图形的面积体积弧长物理应用（如变力做功、液体压力等）11 函数与极限111 函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。

设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，都有唯一的 y 值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作y ＝f(x)，x∈D。

函数的要素包括定义域、值域和对应法则。

112 函数的性质函数具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。

单调性是指函数在某个区间上的增减情况；奇偶性是指函数关于原点或 y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间上重复出现的性质；有界性是指函数值存在上下界。

113 函数的分类常见的函数类型有基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）、复合函数、分段函数等。

12 极限的定义极限是高等数学中一个非常重要的概念，用于描述函数在某个点或无穷远处的趋势。

设函数 f(x)在点 x₀的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x₀| ＜δ时，｜f(x) A| ＜ε 成立，则称常数 A 为函数 f(x)当 x 趋于 x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A 。

高数大一上册知识点笔记

高数大一上册知识点笔记1. 函数与极限:- 函数的概念及基本性质- 极限的定义与性质- 极限运算法则2. 导数与微分:- 导数的定义与计算- 导数的几何意义与物理意义- 微分的概念与计算3. 微分中值定理与高阶导数:- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 高阶导数的概念与计算4. 不定积分与定积分:- 不定积分的定义与基本性质- 基本积分公式与常用积分公式 - 定积分的概念与性质- 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用:- 曲线长度与曲面面积- 物理应用：质量、质心与静力学6. 微分方程:- 高阶导数与高阶线性微分方程 - 一阶线性微分方程- 可分离变量的一阶微分方程- 齐次线性微分方程7. 无穷级数:- 数列极限与数列的收敛性质 - 正项级数与收敛判别法- 收敛级数的性质- 幂级数及其收敛域8. 函数序列与函数级数:- 函数序列的定义与性质- 函数序列的一致收敛性- 麦克劳林级数与泰勒级数9. 空间解析几何:- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程- 空间直线与平面的位置关系 - 空间曲线与曲面的位置关系10. 多元函数与偏导数:- 多元函数的概念与性质- 偏导数的定义与计算- 高阶偏导数与混合偏导数11. 多元函数的极值与条件极值: - 多元函数的极值与最大最小值 - 条件极值与拉格朗日乘数法12. 重积分:- 二重积分的概念与计算- 二重积分的性质与应用- 三重积分的概念与计算- 三重积分的性质与应用13. 曲线与曲面积分:- 第一类曲线积分的概念与计算 - 第二类曲线积分的概念与计算- 曲面积分的概念与计算14. 广义积分:- 广义积分的概念与收敛性- 参数积分的概念与性质- Gamma函数与Beta函数的定义与性质这些是高数大一上册的主要知识点笔记，对于每个知识点，可以进一步展开，提供详细的定义、定理、公式和实例，以帮助理解和掌握相关内容。

大一上学期的高数课程重点在于奠定基础，熟练掌握这些知识点对于后续的学习和应用都具有重要意义。

高数上册目录

高数上册目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 反函数与复合函数1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的性质1.3.2 无穷大的性质1.4 极限的运算法则1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 极限的复合运算法则1.5 极限存在准则及两个重要极限1.5.1 极限存在准则1.5.2 两个重要极限公式第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.2 函数的求导法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则2.2.3 复合函数的导数2.3 高阶导数2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 高阶导数的计算2.4 微分2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的计算第三章微分中值定理3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必达法则3.2.1 洛必达法则的形式3.2.2 洛必达法则的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法第五章定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何意义5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在几何学中的应用5.3.2 定积分在物理学中的应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.1.1 微分方程的定义6.1.2 微分方程的阶6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 高阶微分方程的解法6.3.2 线性微分方程第七章空间解析几何7.1 向量及其运算7.1.1 向量的概念7.1.2 向量的运算7.2 平面与直线7.2.1 平面的方程7.2.2 直线的方程7.3 曲面与空间曲线7.3.1 曲面的方程7.3.2 空间曲线的方程第八章多元函数微分8.1 多元函数的概念8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的性质8.2 偏导数8.2.1 偏导数的定义8.2.2 偏导数的计算8.3 全微分8.3.1 全微分的定义8.3.2 全微分的计算8.4 多元函数的极值8.4.1 极值的定义8.4.2 极值的求法。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高数上第一章知识点总结

⾼数上第⼀章知识点总结第⼀章函数与极限1.1 函数及其性质1.1.1 集合集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。

元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。

集合的表⽰⽅法：枚举法，描述法。

1.1.2 集合的运算基本运算：并、交、差。

全集\基本集：研究的问题所限定的⼤集合。

余集\补集：I - A或者A C 。

运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。

1.1.3 区间与领域有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。

b-a：区间长度⽆限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]邻域：以点x0为中⼼的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。

若δ是某⼀正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的⼀个邻域，记作U(x0,δ)。

去⼼邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作U(x0,δ)。

左邻域：(x0-δ,x0)右邻域：(x0,x0+δ)1.1.4 映射X，Y是两个⾮空集合，存在⼀个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯⼀确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的⼀个映射。

定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。

满射：R(f) = Y 单射：f(x1) ≠ f(x2) ⼀⼀映射：满射+单射泛函、变换、函数逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。

1.1.5 函数D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。

y = f(x),x∈D。

y是因变量，x是⾃变量，D称为定义域。

1.1.6 函数的特性（1）函数的有界性X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。

数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。

大一上学期高等数学必记公式

第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

（高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE 可逆，则先分解因子aA+bE再说。

●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。

高数上第一章§1.5.4间断点及其分类

当 x ≠ ±1 时，根据初等函数在其定义区间上是连续的结论，内连续。的结论，知 f ( x ) 在 ( −∞ , −1), ( −1, 1), (1, + ∞ ) 内连续。 1 ∵ lim f ( x ) = lim ( x − 1)arctan = 0 ， f (1)=1 ， x→1 x→1 x 2 −1
之间的任一个值。与最小值 m 之间的任一个值。
内至少有一个实数根。例 6 ．证明方程 x ⋅ 2 x − 1= 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根。
证明：令 f ( x ) = x ⋅ 2 x − 1 ，则 f ∈C [ 0 , 1 ] ，
∵ f (0)= −1< 0 ， f (பைடு நூலகம்)=1> 0 ，
即 f (c )= µ 。
的几何意义是：定理 7 的几何意义是：连续曲线弧 y= f ( x ) 与直线 = 至少有一个交点。 y = µ 至少有一个交点。
y
f (b)
y= f (x) =
µ
f (a)
o
a c1 c2
c3
b
x
推论：推论：设 f ∈C [a , b] ，则 f 能取得介于它的最大值 M
∵ lim tan x = ∞ ，
x→ π 2
π ∴ x = 是 y = tan x 的第二类间断点第二类间断点， 2
且是无穷间断点且是无穷间断点。无穷间断点
1 处无定义，例 2．∵ y = sin 在 x = 0 处无定义，． x
1 的一个间断点。 ∴ x = 0 是 y = sin 的一个间断点。 x
f ( x )= x 在 (−1, 1) 内无最大值也无最小值。内无最大值也无最小值。 −

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。

性质：唯一性、局部有界性、保号性。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。

无穷大：函数值趋于无限。

1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。

性质：连续函数的四则运算结果仍连续。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的瞬时速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。

第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。

3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。

极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。

3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。

拐点：凹凸性改变的点。

第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。

4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。

分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。

第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。

5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。

区间可加性：积分区间的可加性。

5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。

5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。

物理意义：质量、功、平均值等。

第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。

6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。

全微分：多元函数的微分。

6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。

高数上第一章154间断点及其分类

利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函数，分别分析这些基本初等函数的间断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注意各基本初等函数定义域的变化对复合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函数的运算性质（如加减、乘除、复合等），判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现，间断点可分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相等，但极限存在。通过补充或修改函数在该点的定义，可以使函数在该点连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因此没有间断点。但在某些特定情况下（如底数或指数趋于无穷大时），可能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但当对数函数的真数趋于零或负无穷大时，可能会出现间断现象。此时需要结合对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类