江苏省常熟中学2019_2020学年高一数学9月阶段调研测试试题(扫描版)
2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期9月阶段调研测试数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期9月阶段调研测试数学试题一、单选题 1．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．6【答案】B 【解析】在等差数列中，若，则，解得，故选B.2．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3 B ．3C ．－3D ．不确定【答案】C【解析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值. 【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=± 当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C. 【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.3．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+（0πx <<） C ．4e e x x y -=+ D ．3log log 3x y x =+（01x <<）【答案】C【解析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】解：对于A ：当0x <时，44y x x=+-，∴该函数的最小值不是4，排除A ；对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；对于C ：4244x x x x y e e e e --=+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，4e e x x y -∴=+的最小值为4，对于D ：01x <<，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ，故选：C ． 【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( )A ．{}|04a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤【答案】D【解析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（ ）A. 30-︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 【答案】D【解析】【分析】把直线方程化为斜截式：23y x =-+ 【详解】Q化简后，直线方程为2y x =+， ∴直线的斜率为 ∴直线的倾斜角为150︒故选：D【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于简单题2.已知,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 值是（ ） A. 45- B. 35- C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】 利用倍角公式，令27cos 22cos 125x x =-=，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，可得答案 【详解】由27cos 22cos 125x x =-=得，216cos 25x =，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，所以， 的4cos 5x =- 故选：A【点睛】本题考查倍角公式的应用，属于简单题3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -－a+2－=0，即a 2-a -2=0，解得a=2或-1－经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．－a=-1－故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：， 若直线12122112211221000l l A B A B AC A C B C B C ⇔-=-≠-≠P 且（或）； 4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人. 考点：本小题主要考查分层抽样应用. 点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.5.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29【答案】C【解析】【分析】连续掷两次骰子，以先后得到点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足2210x y +<，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数,根据古典概型个数得到结果.【详解】这是一个古典概型，由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个， 而满足2210x y +<，的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4个,94136P == 故选：C【点睛】本题将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能直观的感受到对象的总数，难点在于列举的时候做到不重不漏，属于简单题6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o ，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯==,c =,2222cos 132338252b a c ac B =+-=+-=-= ,5b = ,2sin b R B === ，选C. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A. 1B.C. D. 2【答案】B【解析】的由题意得a －3－4－5－6－5b －a －b －6－解得a －2－b －4，所以样本方差s 2－15[(2－4)2－(3－4)2－(4－4)2－(5－4)2－(6－4)2]－2 . 故答案为B.8.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 【答案】B【解析】【分析】①直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点A （1，3），然后利用圆C 的圆心为点（1，3），然后算出CA 即可判断是否相切，即可判断①②当1a =-时，直线250x y +-=经过圆心（2，1），明显地，直线l 平分圆C 的面积，这样就可以判断②③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，然后解出a 即可判断③；④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++，利用反证法，即可判断④ 【详解】①圆C 的标准方程为22(2)(1)16x y -+-=,圆心坐标（2，1）,半径4r =，直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点（1，3），又Q 4<，所以点（1，3）在圆C 内，所以直线l 和圆C 相交，不可能相切故：①正确②当1a =-时，直线l 的方程为250x y --+=，即250x y +-=，又由直线250x y +-=经过圆心（2，1），所以当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积，故：②正确③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，此时，对于圆心C 与A 连成的直线CA ，必有CA l ⊥，又Q CA 的斜率为2-，∴l 的斜率为12，则有11212a a -=+，解出14a = 故：③正确④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++， 过点（1，3）且斜率为12-的直线方程为13(1)2y x -=--，即270x y +-=，圆心（2，1)到直线270x y +-=的距离d '==所以直线270x y +-=截圆C 所得的弦长d ==，满足8d ≤<，但直线l 的斜率不可能为12-，从而直线l 的方程不可能为270x y +-=，若d =，则只存在一个a 的取值，使得直线l 截圆C 所得的弦长为d故：④不正确故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于简单题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（ ）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD【解析】【分析】A 中，直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在B 中，直线倾斜角的取值范围是[)0,pC 中，直线的斜率为tan α时，它的倾斜角不一定为αD 中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在【详解】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误对于B ，直线倾斜角的取值范围是[)0,p ，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y x =的斜率为5tan 4π，它的倾斜角为4π，C 错误 对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误故选：ACD【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的概念，属于基础题10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形D. 若cos cos cos a b c A B C==，则ABC V 是等边三角形 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，化简得0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>，然后即可判断选项A 正确对于B ，通过倍角公式，化简为22sin A sin B =，然后即可判断选项B 错误对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，sin sinB A =，然后即可判断选项C 错误对于D ，利用正弦定理，把cos cos cos a b c A B C==化简为tanA tanB tanC ==，即可判断选项D 正确 【详解】对于A ，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+-Q ，()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>，又由A ，B ，C 是ABC ∆的内角，故内角都是锐角，故A 正确对于B ，若cos cos a A b B =，则sinAcosA sinBcosB =，则22sinAcosA sinBcosB =，则22sin A sin B =，则A B =或90A B ︒+=，ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,故B 错误对于C,cos cos b C c B b +=，sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=，即A B =，则ABC V 是等腰三角形，故C－正确对于D ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，则tanA tanB tanC ==， A B C ==，即ABC V 是等边三角形，故D 正确故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理使用，属于简单题 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（ ）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B. 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切【答案】BC【解析】【分析】求出圆心坐标，求出圆心到直线的距离d ，判断d 与R 关系进行判断即可【详解】对于A 选项，圆心坐标为(,)M cos sina α-，半径1R =，则圆心到直线0kx y -=的距离d ==|sin()|1αθ+=…,（θ是参数），即≤d R ，即直线l 和圆M 相交或相切，故A 错误；对于B 选项，Q 直线l 和圆M 相交或相切，∴对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点，故B 正确； 对于C 选项，对任意实数k ，当|()|1sin αθ+=时，直线l 和圆M 相切，故C 正确，对于D 选项，取0α=，则圆M 的方程为：()2211x y -+=,此时y 轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k ，不正确，故D 错误故选：BC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的内容，属于简单题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 【答案】50【解析】【分析】由已知中频率分布直方图中，共9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数【详解】由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，这9个长方形的面积和为1，故中间一个小长方形的面积等于16，即中间一组的频率为16，又由样本容量为300， 故中间一组的频数为1300506⨯=故答案为:50【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．【答案】4【解析】【分析】由三点共线的性质可得AB 和AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解.【详解】由题意可得k AB =k AC ,∴312612122m ---=++－∴m =4－ 故答案为4.【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；b a的取值范围是_______. 【答案】 (1). 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). ()1,2 【解析】【分析】 先由正弦定理把b a 换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得2cos b A a =，进而2B A =和三角形的内角和求得A 的范围，进而根据余弦函数的单调性，求得b a 的取值范围 【详解】由正弦定理可知sin 2sin cos 2sin sin b B A A cosA a A A===，180A B C ︒++=Q ，2B A =， 3180A C ∴+=︒，60603C A ︒︒=-<，060A ∴<<︒，0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 12A ∴<<， 则12b a <<，故的b a值域为为()1,2 答案：(1).0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2).()1,2 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利 用三角函数的基本性质来解决问题16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a的取值范围是____________．【答案】11 3a≤<【解析】【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1－CTCP≥sin30°，解不等式即可．【详解】由圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2－得圆心C（a，a），半径a－－a－0－－设过P的一条切线与圆的切点是T，则a－－当Q为切点时，－CPQ最大，－圆C上存在点Q使得－CPQ=30°－－满足CTCP≥sin30°－12，整理可得3a2+2a－2≥0，解得a或a－又CTCP≤1≤1，解得a≤1－又点 P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2外一点，－a2+－2－a－2－2a2，解得a－1－－a－0－－≤a－1－1a≤<－【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率. 【答案】（1）13；（2）38．【解析】 试题分析：－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－.－－－－－－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2－－－－－－－－－－－16－－－－－－－－－2a b -≥－－6－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－. 试题解析：－－－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－. －－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－ －－－－－－－5－－－－2163=. －2－－－－－－－－－－(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)－16－－－－－－－2a b -≥－－()()()()()()1,3,1,4,2,4,3,1,4,1,4,2 －－6－－－－－－－－2a b -≥－－－－63168=. 18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α【答案】（1）π；（2）10-. 【解析】 【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，进而可得周期；（2）由条件可得3sin(2)45πα+=，4cos(2)045πα+=->，进而由cos 2cos[(2)]44ππαα=+-即可得解.【详解】函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭11sin 222sin 2cos 222x x x x x =-++ sin 2cos2x x =+)4x π=+，（1）最小正周期为22ππ=； （2）α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，352[,]444πππα+∈，由f (α，得3sin(2)045πα+=>，所以32[,]44ππαπ+∈， 所以4cos(2)45πα+=-.所以43cos 2cos[(2)]()4455ππαα=+-=-+=. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．【答案】（1）2a =，2b =；（2）2a =，2b =-或23a =，2b =. 【解析】 【分析】()1利用直线1l 过点()3,1--，直线1l 与2l 垂直，斜率之积为1-，得到两个关系式，求出a ，b 的值． ()2类似()1直线1l 与直线2l 平行，斜率相等，坐标原点到1l ，2l 的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a ，b 的值． 【详解】()121l l ⊥Q ，()()110a a b ∴-+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =．()122//l l Q ，1a a b ∴=-，1a b a∴=-， 故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a--++=，()101aa x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等．141a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小； （2）求边长c . 【答案】（1）3A π=（2）2c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理得3sin sin A B=3sin B A =sin B A +=解即可（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯，求出c 的值后，判断其是否符合题意即可【详解】解：（1）在ABC V 中，由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin A B=3sin B A =，sin B A +=，所以sin A =， 因为ABC V 是锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯， 即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，舍去；当2c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==>，且b c >，b a >，所以ABC V 为锐角三角形，符合题意，所以2c =.【点睛】本题考查解三角形中正弦与余弦定理的运用，属于简单题21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i i nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑． 【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ）815P = ;（Ⅲ）115分 【解析】 【分析】(I)由题意结合频率分布直方图的结论可得6n = －(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为815P =;(III)结合所给数据，求得回归方程为0.550ˆˆyx =+ ，据此估计他的物理成绩大约是115分.【详解】（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为 ()10.040.0350.35P =+⨯= 所以该班总人数为21600.35N == 分数在110～115内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=分数在110～115内的学生的人数600.16n =⨯=（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,,A A A A 女生为12,,B B 从6名学生中选出2人的基本事件为()()()()()1213141112,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B ()()()()()()()()()()23242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15个 其中恰好含有一名女生的基本事件为()()()()()1112212231,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B()()()324142,,,,,,A B A B A B 共8个所以所求的概率为815P = （Ⅲ）121717880121001007x --+-+++=+=69844161001007y --+-+++=+= 由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5ˆ,1000.51005099ˆ4ba===-⨯= 所以线性回归方程为0.550ˆˆyx =+ 当130x =时，ˆ115y= 所以估计他的物理成绩大约是115分22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程； －2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】－1）直线l 的方程为12x =或10x +=－－2－0r <≤m n ⋅为定值1.. 【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得k 即可求得直线方程；(2) 设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1由PA ==，化简可得()2212x y -+=又点P 在圆B 上，所以转化为点p 轨迹与圆B 有交点即可得解（3）()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---，直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++，令x =，则122112x y x y m x x -=+ ， 同理可得()()2212211221221212 x y x y x y x yn mn x x x x ，则-+==--利用()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点即可得定值. 试题解析：（1）1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意. 2︒ 若直线l 的斜率存在，设l的方程为：122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --+= ∴点O 到直线l 的距离d =∵直线l 被圆O，∴221d +=⎝⎭∴3k =，此时l 的方程为：10x += ∴所求直线l的方程为12x =或10x -+= （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r -≤≤，∴0r <≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y --- ∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+ 同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+-- ()()222212212212111x x x x x x ---==-∴m n ⋅为定值1.。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题
江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（ ） A. 30-︒ B. 60︒C. 120︒D. 150︒2.已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 的值是（ ） A. 45-B. 35-C.35D.453.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为 A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －14.－－－－－－－－210－－－－－－270－－－－－－300－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－n－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－7－－－－－－－－－－－－－－－－ － A. 7B. 8C. 9D. 105.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（ ）A. 13B. 16C. 19D.296.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（ ）A. B. 5C.D. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( )A. 1D. 28.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（ ）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形 B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形 C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形 D. 若cos cos cos a b cA B C==，则ABC V 是等边三角形 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（ ）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离 B 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其的.他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；ba的取值范围是_______. 16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a 的取值范围是____________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4四个形状大小完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率.18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期； （2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α 19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小； （2）求边长c .21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．的（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i inii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑． 22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点1,22C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程；－2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.。
江苏省常熟市2019-2020学年高一下学期期中考试试题 数学【含答案】
江苏省常熟市2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卷相应的位置。
1.直线x 3－2＝0的倾斜角为A.－30°B.60°C.120°D.150°2.已知x ∈(2 ，π)且cos2x ＝725，则cosx 的值是 A.－45 B.－35 C.35 D.45 3.已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为A.－1或2B.－1C.2D.0或24.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为A.7B.8C.9D.105.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P(m ，n)的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝10内部的概率是 A.13 B.16 C.19 D.296.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，B ＝45°，若△ABC 的面积S ＝2，则MABC 的外接圆直径为 5227.样本a ，3，4，5，6的平均数为b ，且不等式x 2－6x ＋c<0的解集为(a ，b)，则这个样本的标准差是 238.已知直线l ：(a －1)x ＋(2a ＋1)y －7a －2＝0(a ∈R)和圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －11＝0，给出下列说法： ①直线l 和圆C 不可能相切；②当a ＝－1时，直线l 平分圆C 的面积：③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则a ＝14；④对于任意的实数11d<8)，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d 。